tài liệu hướng dẫn tự học môn hình học 10

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
1
CHƯƠNG I. VECTƠ
oOo


CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1. Đoạn thẳng, đường thẳng và tia:

Cho hai điểm A, B ta có một đoạn thẳng
duy nhất, kí hiệu: AB hoặc BA.
(Giới hạn hai đầu)


Đường thẳng d
(Khơng giới hạn - dài vơ tận)

Tia Ax
(Giới hạn một đầu)
2. Trọng tâm tam giác:


Trọng tâm G của tam giác là giao điểm ba đường
trung tuyến, và
AMAG
3
2

.

3. Đường trung bình của tam giác:


Đường trung bình trong tam giác song song và
bằng
2
1
cạnh đáy.

4. Hình bình hành:
Cho hình bình hành ABCD. Ta có:
AB // DC và AB = DC
BC // AD và BC = AD
AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi
đường
. Khi đó O gọi là tâm của hình bình hành.



 Ghi chú:

B
A
d
x
A
M
G
c
b
a
B
C
A
N
M
B
A
C
O
D
A
B
C
Ti liu hng dn t hc mụn Hỡnh hc 10
Ti liu lu hnh ni b
2
Đ1. CC NH NGHA

1. Khỏi nim vect:

Cho on thng AB. Nu ta chn im A lm im u, im B lm im cui thỡ on thng AB cú
hng t A n B. Khi ú ta núi AB l mt on thng cú hng.
nh ngha: Vect l mt on thng cú hng.
Vect cú im u A, im cui B c kớ hiu l:
AB



Khi khụng cn ch rừ im u v im cui ca mt vect thỡ vect
c kớ hiu l:
a

,
b

,
x

,
y

, gi l cỏc vect t do.

T hai im phõn bit ta cú bao nhiờu vect? Nhn xột s khỏc nhau gia on thng v vect?
2. Vect cựng phng, vect cựng hng:
ng thng i qua im u v im cui ca mt vect c gi l giỏ ca vect ú.

nh ngha: Hai vect c gi l cựng phng nu giỏ ca chỳng song song hoc trựng nhau.

Nhn xột: Nu hai vect cựng phng thỡ chỳng cú th cựng hng hoc ngc hng.
Ba im phõn bit A, B, C thng hng khi v ch khi hai vect
AB
v
AC
cựng phng.
Khng nh: "Nu ba im A, B, C thng hng thỡ hai vect
AB
v
BC
cựng hng" ỳng hay sai? vỡ sao?
3. Hai vect bng nhau:
Mi vect cú mt di, ú l khong cỏch gia im u v im cui ca vect ú. di vect
AB
c kớ hiu l
AB
. Vy:
BAABAB

Vect cú di bng 1 gi l vect n v.
Hóy nhn xột v hng v di ca hai vect
AB
v
DC
trong hỡnh v sau:

Hai vect
a

v
b

c gi l bng nhau nu chỳng cú cựng hng v cựng di, kớ hiu
ba



.
A
B
x
a
giaự cuỷa vectụ AB
A
B
Hai vectụ cuứng phửụng, ngửụùc hửụựng
Hai vectụ cuứng phửụng, cuứng hửụựng
S
R
Q
P
F
E
D

C
B
A
D
A
B
C
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
3
 Hãy dựng vectơ
OA
bằng vectơ
a

.


* Chú ý: Khi cho trước vectơ
a

và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho
aOA


.
4. Vectơ - không:
 Vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối đều là A (điểm đầu và điểm cuối trùng nhau), được kí hiệu
là:
AA

và gọi là vectơ - không.
 Vectơ - không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
 Độ dài vectơ - không:
AA
= 0, nên mọi vectơ - không đều bằng nhau.
 Vectơ - không được kí hiệu:
0

.

 Ghi chú:

O
a
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
4
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho ba vectơ
cba



,,
đều khác vectơ
0

. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Nếu hai vectơ
ba


,
cùng phương với
c

thì
a

và

b

cùng phương.
b) Nếu
ba


,
cùng ngược hướng với
c

thì
a

và
b

cùng hướng.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, BC.
a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ
0

có điểm đầu và điểm cuối là một trong số các điểm A, B, C, D, O,
M, N.
b) Chỉ ra hai vectơ có điểm đầu, điểm cuối lấy trong số các điểm A, B, C, D, O, M, N mà:
i/ cùng phương với
AB
; ii/ cùng hướng
AB
; iii/ ngược hướng với

AB
.
c) Chỉ ra các vectơ bằng vectơ
MO
,
OB
.
Bài 3: Chỉ ra các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau trong hình sau:

Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi
AB
=
DC
.
Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.
a) Tìm các vectơ khác
0

và cùng phương với
OA
;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ
AB
.
Bài 6: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Chứng minh
EF
=
CD
.
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao

điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. Chứng minh
NCAM 
,
NIDK 
.
y
z
w
x
u
v
b
a
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
5
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1. Tổng của hai vectơ:


Định nghĩa: Cho hai vectơ
a

và
b

. Lấy
một điểm A tùy ý, vẽ
aAB



và
BC
=
b

.
Vectơ
AC
được gọi là tổng của hai vectơ
a


và
b

. Ta kí hiệu tổng hai vectơ
a

và
b

là
ba



.
Vậy:

baAC





2. Quy tắc hình bình hành:

Nếu ABCD là hình bình hành thì:
ACADAB 


3. Tính chất của phép cộng các vectơ:
Với ba vectơ
cba



,,
tùy ý ta có:
abba





(tính chất giao hốn)
)()( cbacba








(tính chất kết hợp)
aaa





 00
(tính chất của vectơ - khơng)
4. Hiệu của hai vectơ:
 Hãy nhận xét về hướng và độ dài của hai vectơ
AB
và
CD
trong hình bình hành ABCD:







a) Vectơ đối: Cho vectơ
a


. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với
a

được gọi là vectơ
đối của vectơ
a

, kí hiệu là -
a

.
* Chú ý:  Vectơ đối của vectơ
AB
là
BA
, nghóa là
BA
AB



 Vectơ đối của vectơ
0

là vectơ
0

.

Ví dụ: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Tìm ít nhất

ba cặp vectơ đối nhau?

Giải:





b
a
D
A
B
C
D
A
B
C
B
A
D
E
F
B
A
C
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
6

b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ:
Cho hai vectơ
a

và
b

. Ta gọi hiệu của hai
vectơ
a

và
b

là vectơ
)( ba



, kí hiệu
ba



.
Vậy:
)( baba







* Chú ý: Phép tốn tìm hiệu hai vectơ còn
gọi là phép trừ vectơ.
c) Quy tắc ba điểm:
Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có:
ACBCAB 


CBACAB 



Ví dụ: Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta ln có
CBADCDAB 
.
Giải:








5. Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác:
 Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi
0


 IBIA
.
 Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi
0

 GCGBGA
.

 Ghi chú:
















b
a
O
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ

7
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có
a)
0

 DACDBCAB
; b)
CDCBADAB 
.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng
a)
BAOBCO 
; b)
DBBCAB 
;
c)
OCODDBDA 
; d)
0 DCDBDA
.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng
MDMBMCMA 
.
Bài 4: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì. Chứng minh rằng:
RQNPMSRSNQMP 
.
Bài 5: Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Tính độ dài các vectơ
BCAB 

,
ACAB 
,
ACAB 
,
BCAB 
.
Bài 6: Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng
minh rằng
0

 PSIQRJ
.
Bài 7: Chứng minh rằng
CDAB 
khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Bài 8: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ
MB
MA

và
MB
MA

.
Bài 9: Cho
ba


,

là hai vectơ khác
0

. Khi nào có đẳng thức
a)
baba





; b)
baba





.
Bài 10: Cho
0 ba


. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ
a

và
b

.

Bài 11: Cho ba lực
MAF 
1
,
MBF 
2
và
MCF 
3
cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng
yên. Biết cường độ của
21
, FF
đều là 100N và góc AMB bằng 60
0
. Tìm cường độ và hướng của lực
3
F
.
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
8
§3. TÍCH CỦA VETƠ VỚI MỘT SỐ

1. Định nghĩa:
Cho số k  0 và vectơ
a


0


. Tích của vectơ
a

với số k là một vectơ, kí hiệu là k
a

, cùng hướng với
a

nếu k > 0, ngược hướng với
a

nếu k < 0 và có độ dài bằng k
a

.
Ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ.
Quy ước: 0.
a

=
0

, k.
0

=
0


.
2. Tính chất:
Với hai vectơ
a

và
b

bất kì, với mọi số h và k, ta có:
 k(
ba



) =
bkak



 (h + k)
akaha






 h(k
a


) = (hk)
a

1.
a

=
a

, (-1).
a

= -
a

.
 1) Cho hình bình hành MACB, gọi I là giao điểm của AB và MC. Nhận xét gì về mối quan hệ giữa
MB
MA

với
MI
.

2) Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Dựa vào đẳng thức
0

 GCGBGA
, chứng minh
MGMCMBMA 3

.
3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác:
a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có:
MI
MB
MA
2


.
b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có:
MGMCMBMA 3

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng
ACADACAB 32 
.
Giải:










4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
 Điều kiện cần và đủ để hai vectơ
a


và
b

(
b


0

) cùng phương là có một số k để
a

=
k
b

.
 Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để
ACkAB 
.
5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

Cho hai vectơ
a

và
b

không cùng phương.

Khi đó mọi vectơ
x

đều phân tích được một
cách duy nhất theo hai vectơ
a

và
b

, nghóa
là có duy nhất cặp số h, k sao cho
bkahx






Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt
AFvAEu 


,
. Hãy phân tích các vectơ
DCDEAGAI ,,,
theo hai vectơ
vu



,
.
I
B
M
A
C
C
x
b
a
A'
B'B
A
O
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
9
Giải:

Ví dụ 2: Cho 4 điểm A, B, C, M thỏa mãn
032

 MCMBMA
. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng
hàng.
Giải:

 Ghi chú:

















Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
10

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng:
ACADACAB 2
.
Bài 2: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:
a)
02

 DCDBDA
; b)
ODOCOBOA 42 
, với O là một điểm túy ý.
Bài 3: Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:
ADBCBDACMN 2

Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ
CABCAB ,,
theo hai
vectơ

BMvAKu 


,
.
Bài 5: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho
MCMB 3
. Hãy phân
tích vectơ
AM
theo hai vectơ
ABu 

và
ACv 

.
Bài 6: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho:
023

 KBKA
.
Bài 7: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho
02

 MCMBMA
.
Bài 8: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE,
EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Bài 9: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần

lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng
MOMFMEMD
2
3

.
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
11
§4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1. Trục và độ dài đại số trên trục:
 Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc
và một vectơ đơn vị
e

.
Kí hiệu: (O;
e

).

 Cho điểm M nằm trên trục (O;
e

). Khi đó có duy nhất một số k sao cho
OM
= k
e


. Ta gọi số k đó là
tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
 Cho hai điểm A, B nằm trên trục (O;
e

). Khi đó có duy nhất số a sao cho
AB
= a
e

. Ta gọi số a đó là
độ dài đại số của vectơ
AB
đối với hệ trục đã cho và kí hiệu a =
AB
.
* Nhận xét: Nếu
AB
cùng hướng
e

thì
AB
= AB, còn nếu
AB
ngược hướng
e

thì
AB

= -AB.
Độ dài đại số của vectơ
OM
chính là tọa độ điểm M.
 Nếu hai điểm A và B trên trục (O;
e

) có tọa độ lần lượt là a và b thì
AB
= b - a.
Ví dụ: Trên trục cho các điểm A, B, M, N lần lượt có tọa độ là -4; 3; 5; -2.
a) Hãy biểu diễn các điểm đó trên trục số;
b) Hãy xác định độ dài đại số của các vectơ
AB
,
AM
,
MN
.
Giải:








2. Hệ trục tọa độ:
a) Đònh nghóa:

Hệ trục tọa độ (O;
ji


,
) gồm hai trục (O;
i

) và (O;
j

) vuông góc với nhau.
 Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ.
 Trục (O;
i

) được gọi là trục hoành và kí hiệu Ox
 Trục (O;
j

) được gọi là trục tung và kí hiệu Oy.
 Các vectơ
i

và
j

là các vectơ đơn vò trên Ox và Oy và
ji




= 1.
Hệ trục tọa độ (O;
ji


,
) còn được gọi là Oxy.

* Chú ý: Khi trong mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ Oxy, gọi mặt phẳng đó là
mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy.
b) Tọa độ của vectơ:
Đối với hệ trục tọa độ (O;
ji


,
), mọi vectơ
u

đều được biểu diễn
u

= x
i

+y
j


với (x;
y) là cặp số duy nhất.
Khi đó: cặp số (x; y) được gọi là tọa độ của vectơ
u

, kí hiệu là:
u

= (x; y) hay
u

(x; y).

e MO
trục tung (Oy)
tr ục hoành (Ox)
i2
2-1
1
1
x
y
O
j
i
O
y
x

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10

Tài liệu lưu hành nội bộ
12
Như vậy:
u

= (x; y) 
u

= x
i

+ y
j


* Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung
độ bằng nhau.
Nếu
);( yxu


,
)';'(' yxu


thì
'uu










'
'
yy
xx

c) Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ
OM
được gọi là
tọa độ của điểm M.
 Cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi
OM
= (x; y). Ta viết: M(x; y) hoặc
M = (x; y).



Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu x
M
, tung độ điểm M còn được kí hiệu y
M
.


 Gọi M

1
, M
2
lần lượt là hình chiếu
của M trên Ox, Oy. Khi đó, nếu M(x; y) thì
x =
1
OM

y =
2
OM



Ví dụ 1:
Xác đònh tọa độ các điểm A, B, C, D, E,
F trên hình vẽ.
Giải:






Ví dụ 2:



Biểu diễn các điểm sau đây trên hệ trục tọa

độ Oxy:
M(-2; 3), N(0; -4), P(3; 0), Q(-5; 6), I(-4; -2)

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng:
M
2
M
1
M(x; y)
x
y
O
j
i
F
E
D
C
B
A
y
x
O
-5
-4
-3
-2
-1
-6
5

4
3
2
1
6
-6
6
-1
-2
-3
-4
-5
54
32
1
y
x
O
-5
-4
-3
-2
-1
-6
5
4
3
2
1
6

-6
6
-1
-2
-3
-4
-5
54
32
1


Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
13
Với hai điểm A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
) thì:
AB
= (x
B
- x
A
; y

B
- y
A
)
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2; 5), B(1; 2) và C(4; 1). Tìm tọa độ điểm D sao cho
tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải:








3. Tọa độ của các vectơ
vu



,
vu



,
uk

:
Cho

u

= (u
1
; u
2
) và
v

= (v
1
; v
2
). Khi đó:

vu



= (u
1
+ v
1
; u
2
+ v
2
); 
vu




= (u
1
- v
1
; u
2
- v
2
);  k
a

= (kx; ky) với k
 R;
Ví dụ 1: Cho
)2;1(


a

,
)4;3(b

,
)1;5(


c


. Tìm tọa độ vectơ
cbau




 2
.
Giải:





Ví dụ 2: Cho
)1;2(),1;1(  ba


. Hãy phân tích vectơ
)1;4(


c

theo
a

và
b


.
Giải:












* Chú ý: Vectơ
u

=(u
1
; u
2
) cùng phương với vectơ
v

=(v
1
; v
2
) với
v



0

khi và chỉ khi tồn tại
số thực k khác 0 sao cho
vku



hay





22
11
kvu
kvu
.
Ví dụ 1: Cho
u

=(2; -5). Tìm x biết rằng
b

= (6; x) cùng phương với
u


.
Giải:










Ví dụ 2: Cho ba điểm A(-2; -1), B(3;
2
3
), C(2; 1). Hãy chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Hai vectơ
AB
và
AC
cùng hướng hay ngược hướng?
Giải:
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
14

4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ của trọng tâm tam giác:
 Cho A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
), gọi I(x
I
; y
I
) là trung điểm AB. Từ đăng thức
0

 IBIA
, hãy tìm tọa độ điểm I?

 Cho đoạn thẳng AB có A(x
A
; y
A

), B(x
B
; y
B
). Khi đó tọa độ trung điểm I(x
I
; y
I
) của AB được tính theo
cơng thức:
2
BA
I
xx
x


,
2
BA
I
yy
y


.
 Cho A(x
A
; y
A

), B(x
B
; y
B
), C(x
C
; y
C
), gọi G(x
G
; y
G
) là trọng tâm tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ
OG
theo ba vectơ
OCOBOA ,,
. Từ đó hãy tính tọa độ của G theo tọa độ của A, B, C.

 Cho tam giác ABC có A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
), C(x
C
; y
C

). Khi đó tọa độ trọng tâm G(x
G
; y
G
) được tính
theo cơng thức
3
CBA
G
xxx
x



,
3
CBA
G
yyy
y



.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A(2; 3), B(6; 7), C(1; 2). Tìm tọa độ trung điểm I của cạnh AB và
trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải:

 Ghi chú:
















Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
15

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Trên trục (O;
e

) cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là -1; 2; 3; -2.
a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục;
b) Tính độ dài đại số của
AB
và
MN
. Từ đó suy ra hai vectơ
AB
và
MN
ngược hướng.
Bài 2: Tìm tọa độ của các vectơ sau:
a)
ia


2
; b)

jb


3
; c)
jic



43 
; d)
 id


2,0
j

3
.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A(-1; -2), B(3; 2), C(4; -1). Tìm tọa độ đỉnh D.
Bài 4: Cho
a

=(2; -2),
b

=(1; 4). Hãy phân tích vectơ
c

=(5; 0) theo hai vectơ

a

và
b

.
Bài 5: Các điểm A'(-4; 1), B'(2; 4) và C'(2; -2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác
ABC. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và A'B'C'
trùng nhau.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI





Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
16
* ÔN TẬP CHƯƠNG I *

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

Tài liệu lưu hành nội bộ
17









BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Hãy chỉ ra các vectơ bằng
AB
có điểm đầu và điểm cuối là O
hoặc các đỉnh của lục giác.
Bài 2: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính: a)
ACAB
; b)
ACAB
.
Bài 3: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì. Chứng minh rằng:
RQNPMSRSNQMP 
.
Bài 4: Chứng minh rằng nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C' thì ta có đẳng
thức:
''''3 CCBBAAGG 
.
Bài 5: Cho

a

= (2; 1),
b

= (3; -4),
c

= (-7; 2).
a) Tìm tọa độ của vectơ
cbau




423 
;
b) Tìm tọa độ vectơ
x

sao cho
cbax





;
c) Tìm các số k và h sao cho
bhakc





.
Bài 6: Cho
jiu



5
2
1

,
jimv



4
. Tìm m để
u

và
v

cùng phương.
Bài 7: Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tìm các số m, n sao cho:
a)
OBnOAmOM 

; b)
OBnOAmAN 
;
c)
OBnOAmMN 
; d)
OBnOAmMB 
.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI






Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
18
CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
oOo


CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Các điểm đặc biệt trong tam giác:

Trọng tâm G của tam giác là
giao điểm ba đường trung
tuyến, và
AMAG

3
2

.

Trực tâm H của tam giác
ABC là giao điểm ba
đường cao.

Tâm O đường tròn ngoại
tiếp ABC là giao điểm
ba đường trung trực.
Tâm I của đường tròn nội
tiếp ABC là giao điểm ba
đường phân giác trong.
2. Tam giác vuông ABC vuông tại A:
 Hệ thức lượng:

sin =
BC
AC
cos =
BC
AB

tan =
AB
AC
cot =
AC

AB

 Định lí Pitago: BC
2
= AB
2
+ AC
2

 Diện tích: S =
2
1
AB.AC

 Nghịch đảo đường cao bình phương:
222
111
AC
AB
AH


 Độ dài đường trung tuyến AM =
BC
2
1

 Công thức khác:
AB.AC = AH.BC BA
2

= BH.BC CA
2
= CH.CB
3. Các công thức đặc biệt:
 Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)
2

4
3
 Chiều cao tam giác đều: h = cạnh 
2
3

 Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh 
2

4. Diện tích các hình đặc biệt khác:
 Hình vuông: S = cạnh  cạnh  Hình thoi: S =
2
1
(chép dài  chéo ngắn)
 Hình chữ nhật: S = dài  rộng  Hình thang: S =
2
1
(đáy lớn + đáy bé)  chiều cao
 Hình tròn: S = R
2
 Hình bình hành: S = đáy  chiều cao
5. Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet:

 ABC ∽MNP nếu chúng có hai góc tương ứng bằng nhau.
 Nếu ABC ∽MNPthì
MP
MN
AC
AB



BC
MN
AC
AN
AB
AM


§1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0
0
ĐẾN 180
0

M
G
c
b
a
B
C
A

h
c
h
b
H
h
a
c
b
a
B
C
A
R
O
B
A
C
I
r
c
b
a
B
C
A

B
A
C

M
H
B
A
C
N
P
M
A
C
B
N
B
A
C
M
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
19


1. Định nghĩa:

Nửa đường tròn đơn vị:
Nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hồnh
bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

 Nếu cho trước một góc nhọn  thì ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM
bằng . Giả sử điểm M có tọa độ (x
0

; y
0
). Hãy chứng tỏ rằng sin = y
0
, cos = x
0
, tan =
0
0
x
y
, cot =
0
0
y
x

Với mỗi góc  (0
0
   180
0
) ta xác định một điểm M trên
nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM bằng và giả sử điểm M
có tọa độ M(x
0
; y
0
). Khi đó ta định nghĩa:
 sin của góc  là x
0

, kí hiệu sin = y
0
;
 cơsin của góc  là x
0
, kí hiệu cos = x
0
;
 tang của góc  là
0
0
x
y
(x
0
≠ 0), kí hiệu tan =
0
0
x
y
;
 cơtang của góc  là
0
0
y
x
(y
0
≠ 0), kí hiệu cot =
0

0
y
x
.

Các số sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trị lượng giác của góc .
 Nhắc lại mối quan hệ giữa tọa độ của điểm M(x
0
; y
0
) và độ dài đại số của các vectơ
OKvàOH
trong hình vẽ sau:





Ví dụ: Tìm các giá trò lượng giác của góc 135
0
.
Giải:







* Chú ý:  Nếu  là góc tù thì cos, tancot

  tan chỉ xác định khi  ≠ 90
0
, cot chỉ xác định khi  ≠ 0
0
và  ≠ 180
0
.
2. Tính chất:

sin(108
0
-  = sin
cos(108
0
-  = -cos
tan(108
0
-  = -tan
cot(108
0
-  = -cot

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:


Giá trị
0
0
30
0

45
0
60
0
90
0
1
-1
1
R = 1
O
y
x
x
0
y
0
M

1
-1
1
R = 1
O
y
x
K
H
M(x
0

;y
0
)
y
0
x
0
O
x
y
M
y
0
x
0
135
0
O
x
y
N

-x
0
M
y
0
x
0
O

x
y
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
20
l
ư
ợ
ng gi
á
c

sin
0
2
1

2
2

2
3

1
cos
1
2
3

2

2

2
1

0
tan
0
3
1

1
3


cot

3

1
3
1

0
Ví dụ: Tìm các giá trò lượng giác của các góc 120
0
và 150
0
.
Giải:

4. Góc giữa hai vectơ:
Đònh nghóa: Cho hai vectơ
a

và
b

đều khác vectơ
0

. Từ một điểm O bất kì ta vẽ
aOA


và
bOB



.
Góc AOB với số đo từ 0
0
đến 180
0
được gọi là
góc giữa hai vectơ
a

và
b

. Ta kí hiệu góc giữa hai
vectơ
a

và
b

là
),( ba


.
Nếu
),( ba


= 90
0

thì ta nói rằng
a

và
b

vuông
góc với nhau, kí hiệu là
ba



hoặc
ab



.


* Chú ý: Từ đònh nghóa ta có
),( ba


=
),( ab



Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A và có góc B = 50

0
. Tính các góc (
BCBA,
), (
BCAB,
),
(
CBCA,
), (
BCAC,
), (
CBAC,
), (
BAAC,
).
Giải:








5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trò lượng giác của một góc:
 Tính các giá trò lượng giác của góc :

Ấn MODE khi màn hình xuất hiện ấn 1 để chọn đơn vị đo góc là "độ".

Để tính sin, cos, tan của một góc  ấn sin, cos hay tan  ấn góc .
Ví dụ: Tính sin của góc  = 63
0
52'41'' ta thực hiện:
Ấn sin  ấn 63  ấn o'''  ấn 52 ấn o'''  ấn 41 ấn o'''  ấn =
ta được kết quả  0.897859012
* Chú ý: 1
0
= 60', 1' = 60''.
b
a
b
a
O
A
B
Deg Rad Gra
1 2 3
"Độ"
"Radian"
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
21

 Xác định độ lớn của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó:
Để xác định xem giá trị a là sin, cos, tan của góc  là bao nhiêu độ ta thực hiện:
 Chọn đơn vị cho máy là "Deg"
ấn sin
-1

, cos
-1
hay tan
-1
 ấn số a  ấn =
Ví dụ: Tìm góc x biết sinx = 0.3502 ta thực hiện:
Ấn sin
-1
 ấn 0.3502  ấn =   SHIFT  ấn o'''
ta được kết quả 20
0
29'58''.
6. Công thức sin
2
 + cos
2
:
Với mọi góc  bất kì ta có: sin
2
 + cos
2

* Chú ý: (sin)
2
được kí hiệu sin
2
.
Ví dụ1: sin
2
(2a) + cos

2
(2a) =

sin
2
2
x
+ cos
2
2
x
=




Ví dụ 2: Cho góc tù x biết sinx = 0,2. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc x.
Giải:










 Ghi chuù:

R

K
H
M
O
x
y
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
22

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Chứng minh rằng:
a) sin105
0
= sin75
0
; b) cos170
0
= -cos10
0
; c) cos122
0
= -cos58
0
.
Bài 2: Tính 3sin135
0
+ cos60
0

+ 4sin150
0
.
Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a) sin sin(B + C); b) cosA = -cos(B +
C).
Bài 4: Cho góc x, với cosx =
3
1
. Tính giá trị của biểu thức P = 3sin
2
x + cos
2
x.
Bài 5: Cho AOB là tam giác cân tại O có OA = a và có các đường cao OH và AK. Giả sử góc AOH bằng
. Tính AK và OK theo a và .
Bài 6: Cho hình vuông ABCD. Tính:
),cos( BAAC
,
),sin( BDAC
,
),cos( CDAB
.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
23
§2. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. Định nghĩa:
Cho hai vectơ
a

và
b

đều khác vectơ
0

. Tích vơ hướng của
a

và
b

là một số, kí hiệu là
ba


.
, được
xác định bởi cơng thức sau:

),cos(. bababa








* Chú ý:  Nếu
a

=
0

hoặc
b

=
0

ta quy ước
ba


.
= 0.
 Với
a


và
b

khác vectơ
0

ta có
baba




 0.
.
 Khi
ba



tích vơ hướng
aa


.
=
0
0cos aa


được kí hiệu là

2
a

và số này được gọi là bình
phương vơ hướng của vectơ
a

.
Ta có:
2
2
aa



(bình phương vơ hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của nó)
Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và có chiều cao AH. Tính các tích vơ hướng
ACAB.
,
CBAC.
,
BCAH.
.
Giải:

2. Các tính chất của tích vô hướng:
Với ba vectơ
cba



,,
bất kì và mọi số k ta có:

abba





(tính chất giao hoán)

cabacba







).( 

(tính chất phân phối)

).().().( bkabakbak









00,0
22




 aaa
.
Từ các tính chất của tích vô hướng, ta có:

222
.2)( bbaaba









222
.2)( bbaaba








22
))(( bababa








3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
Trên mặt phẳng tọa độ
),,( jiO


, cho hai vectơ
);(
21

aaa 

,
);(
21
bbb 

. Khi đó:
2211
. bababa 



* Nhận xét: Cho hai vectơ
);(
21
aaa 

,
);(
21
bbb 

đều khác vectơ
0

. Ta có:
0.  baba






Ví dụ 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2). Chứng minh rằng
ACAB
.
Giải:








Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
24
Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm M(-3; 4), N(1; -3). Tìm điểm P trên trục Ox
sao cho tam giác MNP vuông tại P.
Giải:

4. Ứng dụng:
a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vectơ
21
;( aaa 

) được tính theo công thức:
2
2
2
1
aaa 


b) Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ
);(
21
aaa 

,
);(
21
bbb 

đều khác
0

thì ta có:
2
2

2
1
2
2
2
1
2211
.
.
),cos(
bbaa
baba
ba
ba
ba










Ví dụ: Tính góc giữa hai vectơ
)1;2( OM
và
)1;3( ON
.

Giải:






c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
) được tính:
22
)()(
ABAB
yyxxABAB 

Ví dụ: Tính khoảng cách giữa hai điểm M(-2; 2), N(1; 1).
Giải:






 Ghi chú:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10
Tài liệu lưu hành nội bộ
25


BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng
ACAB.
,
CBAC.
.
Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a, có trọng tâm G.
a) Tính các tích vô hướng:
CAAB.
,
GBGA.

theo a.
b) Tính
),sin( GBGA
,
),cos( CGAB
,
),tan( BGGA
,
),cot( BCAB
.
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ
ba


,
trong các trường hợp sau:
a)
)4;6(),3;2(  ba


; b)
)1;5(),2;3(  ba


; c)
)3;3(),32;2(  ba


.
Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2). Chứng minh tứ giác

ABCD là hình vuông.
Bài 5: Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm
tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C.
Bài 6: Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).
a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB;
b) Tính chu vi tam giác OAB;
c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 1), B(8; 9), C(5; -3).
a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.
b) Tính: chu vi tam giác ABC, số đo góc A của ABC, tọa độ trực tâm H của ABC.
Bài 8: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Với điểm M tùy ý, tính
MBMA.
theo AB và MI.
Bài 9: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng
OBOA.
trong hai
trường hợp:
a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB; b) Điểm O nằm trong đoạn AB.
Bài 10: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn
sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.
a) Chứng minh
ABAIAMAI 
và
BABIBNBI 
.
b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính
AMAI.
+
BNBI.
theo R.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI