CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC doc

CHƯƠNG 4
PHÂN TÍCH VÀ THIẾTKẾ
PHÂN

TÍCH

VÀ

THIẾT

KẾ

HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
4.1 Ổn định củahệ rờirạc
42
Tiê
h ẩ
Rth
Hit
4
.
2

Tiê
uc
h
u
ẩ
n
R
ou

th
–
H
urw
it
z
4.3 Tiêu chuẩnJur
y
y
4.4 Quỹđạonghiệmsố
ấ
4.5 Ch
ấ
tlượn
g
hệ rờirạc
4.6
Thiết
kế
hệ
rời
rạc
dùng
quỹ
đạo
nghiệm
số
4.6

Thiết

kế
hệ
rời
rạc
dùng
quỹ
đạo
nghiệm
số
4.7 Thiếtkệ bộđiều khiểnPID
4.1 ỔN ĐỊNH CỦA HỆ RỜI RẠC
+ Hệ thống được gọi là ổn định nếu tín hiệu vào bị chặn thì tín
hiệurabị chặn (Bounded Input Bounded Output).
hiệu

ra

bị

chặn

(Bounded

Input

Bounded

Output).
+ Hệ thống điều khiển liên tục ổn định nếu tất cả nghiệm phương trình
đặc tính nằm bên trái mặt phẳng phức.

+ Quan hệ giữa z và s: z = e
Ts
nên s nằm bên trái mặt phẳng phức tương
đương với z nằm trong vòng tròn đơn vị.
ề ể ổ ế ấ
+ Hệ đi
ề
u khi
ể
n rời rạc
ổ
n định n
ế
u t
ấ
t cả nghiệm phương trình đặc
trưng nằm bên trong vòng tròn đơn vị: |z| < 1
Cần lưu ý
¾ H
ệ
th
ố
n
g
rời r
ạ
c cho bởi sơ đ
ồ
kh
ố

i:
ệ g ạ
óh ìhđặ íh
{
}
(
)
Z
c
ó
p
h
ương tr
ì
n
h

đặ
c t
í
n
h
:
{
}
(
)
)()()( 0)(1 s
H
sG

z
G
H
z
G
H
Z
=
=
+
¾
Hệ thố ời hhệ h tì ht thái
¾
Hệ

thố
ng r
ời
rạc c
h
o
hệ
p
h
ương
t
r
ì
n
h

t
rạng
thái
:
⎨
⎧
+=+ )()()1( krBkxAkx
dd
⎩
⎨
=
)()( kxCkc
d
có phương trình đặc tính:
(
)
0det =
−
d
AzI
4.2 TIÊU CHUẨN ROUTH-HURWITZ
+ Muốn sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để đánh giá tính ổn
1
1
định hệ rời rạc ta thực hiện phép đổi biến:
1
1
1
1

−
+
=⇔
−
+
=
z
z
w
w
w
z
+
Vớ
i
c
á
c
h
đổ
i
b
i
ế
n nh
ư
tr
ê
n
,

m
iề
n n
ằ
m
t
r
o
n
g

vò
n
g

t
r
ò
n
đơ
n
vị
m
ặt

Vớ
cc đổ b ế ư ê,
iề ằ to gvò gtò đơ vị ặt
phẳng z tương ứng với nửa trái mặt phẳng w.
ế ồ ằ ẳ ồ

+ N
ế
u không t
ồ
n tại w n
ằ
m bên phải mặt ph
ẳ
ng phức thì không t
ồ
n
tại z nằm ngoài vòng tròn đơn vị nghĩa là hệ rời rạc ổn định.
4.3 TIÊU CHUẨN JURY
+ Xét ổn định hệ rời rạc có phương trình đặc tính:
0
1
1
10
=++++
−
−
nn
nn
azazaza K
+ Cách thành l
ập
bản
g
Jur
y

ập gy
• Hàng 1 là các hệ số của phương trình đặc tính theo thứ tự
chỉ s
ố
tăn
g
d
ầ
n.
g
• Hàng chẵn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó
viết theo thứ tự ngược lại.
• Hàng lẻ thứ i = 2k +1 ( k ≥ 1 ) gồm có (n – k) phần tử, phần tử
c
xác định bởi công thức:
3,21,2
1
+−−−−
=
kjnii
cc
c
c
ij
xác

định

bởi

công

thức:
3,11,1
1,2
+−−−−
−
=
kjnii
i
i
j
cc
c
c
Phát biểu tiêu chuẩn Jury
Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số
ở hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury đều dương.
4.4 QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Định nghĩa
Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương
trình đặc tính của hệ th
ố
n
g
khi có một thôn
g
s
ố
nào đó tron

g
hệ
Định

nghĩa
g g g
thay đổi từ 0 đến +
∞
Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số
Muốn áp dụng các qui tắc, ta biến đổi phương trình đặc tính về dạng:
0
)(
1
=
+
zN
K
(
*
)với
K
là thông số thay đổi
0
)(
1
+
z
D
K
()

với

K
là

thông

số

thay

đổi

)
(
)(
)(
0
D
zN
KzG =
Đặt
và gọi n, m lần lượt là số cực và số zero của G
0
(z)
⎧
−
=
⇔

1
)
(
1)((*)
0
G
zG
:điềukiệnbiênđộ
)
(
z
D
⎩
⎨
⎧
+=∠
=
⇔
π
)12()(
1
)
(

0
0
lzG
z
G
:điều

kiện

biên

độ
:điều kiện pha
01: số nhánh củaquỹ đạobằng bậcphương trình đặc tính và bằng
n
11 quy tắc vẽ
01:

số

nhánh

của

quỹ

đạo

bằng

bậc

phương

trình

đặc

tính

và

bằng

n
.
02:
+ Khi K = 0, các nhánh của quỹ đạo xuất phát từ các cực của G
0
(z).
+ Khi K tiến đến +
∞
: m nhánh của quỹ đạo tiến đến m zero của G
0
(z),
n-m nhánh còn lại tiến đến
∞
theo các tiệm cận xác định bởi qui t
ắ
c 5
và qui tắc6
và

qui

tắc

6
.
03: quỹ đạo đối xứng qua trục thực.
04: một điểm trên trục thực thuộc quỹ đạo nếu tổng số cực và zero của
G
(z)
bên phảinólàmộtsố lẻ
G
0
(z)
bên

phải

nó

là

một

số

lẻ
.
05: góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo với trục thực xác định
11 quy tắc vẽ (tt)
theo
06: giao điểmgiữa các tiệmcậnvớitrụcthựclàđiểmAcótọa độ xác
(

)
(
)
K,3,2,1,0 )12(
±
±
±
=
−
+= lmnl
π
α
06:

giao

điểm

giữa

các

tiệm

cận

với

trục

thực

là

điểm

A

có

tọa

độ

xác

định theo
()
mnzpOA
m
j
n
i
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
−=
∑
∑
(p
i
, z
j
là các cực và zero của G
0
(z))
07: điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nằm trên trục thực và là
nghiệmcủaphương trình
j
j
i
⎟
⎠
⎜
⎝
∑
∑
== 11
i
j
0
0
=
dK

nghiệm

của

phương

trình
08: giao điểm của quỹ đạo với đường tròn đơn vị xác định bằng 1 trong
0
=
dz
2 cách sau
• Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz hoặc tiêu chuẩn Jury.
Th
jb
( ới
2
b
2
1) à h ìh(*) â bằ hầ
•
Th
ay
z
= a+
jb

(
v
ới

a
2
+
b
2
=
1)
v
à
o p
h
ương tr
ì
n
h

(*)
, c
â
n
bằ
ng p
hầ
n
thực và phần ảo để tìm giao điểm với vòng tròn đơn vị và K
gh
.
09: góc xuất phát của quỹ đạo tại cực phức p
j
được xác định bởi

11 quy tắc vẽ (tt)
j
() ( )
∑∑
≠==
−−−+=
n
jii
ij
m
i
ijj
ppzp
,11
argarg
πθ
Dạng hình học của quy tắc trên là:
θ
j
= π +
(
∑
g
óc từ các zero đ
ế
n c
ự
c
p
j

)
j
(
∑
g ự
p
j
)
–(∑ góc từ các cực còn lại đến cực p
j
)
10: tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 đến +
∞
11: hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo có thể xác định từ điều kiện biên
độ
1
)
(
)(
=
z
D
zN
K
)
(
z
D
4.5 CHẤT LƯỢNG HỆ RỜI RẠC
451Đáp ứng quá độ

Xác định theo một trong hai cách sau:
ế ổ
4
.
5
.
1

Đáp

ứng

quá

độ
+ Cách 1: tính C(z), sau đó bi
ế
n đ
ổ
i
Z
ngược có được c(k).
+ Cách 2: tính x(k) của hệ phương trình trạng thái và suy ra c(k).
Cặp cực quyết định: hệ bậc cao có thể xấp xỉ gần đúng về hệ
bậchaivớihaicựclàcặpcực quyết định
bậc

hai

với

hai

cực

là

cặp

cực

quyết

định
.
Đối với hệ liên tục, cặp cực quyết định là cặp cực nằm gần
trục ảo nhất. Do z = e
Ts
, nên đối với hệ rời rạc, cặp cực quyết
định là cặpcựcnằmgần vòng tròn đơnvị nhất
định

là

cặp

cực

nằm

gần

vòng

tròn

đơn

vị

nhất
.
Tính theo côn
g
thức sau:
4.5.2 Độ vọt lố
g
+ Cách 1: tính theo công thức
%100
max
×
−
=
xl
xl
c
cc
POT
+ Cách 2: khi biết cặp cực quyết định của hệ rời rạc và
dựa vào quan hệ

z
=
e
Ts
để suy ra nghiệm
s
*
từ đó tính
ξ
và
ω
ϕ
j
rez
±
=
*
dựa

vào

quan

hệ

z

e
để

suy

ra

nghiệm

s
,
từ

đó

tính

ξ
và

ω
n
.
ln
ξ
−
=
r
(
)
(
)
2

2
2
2
ln
1
ln
ϕ
ω
ϕ
ξ
+
=
+
r
r
n
(
)
ϕ
ω
T
n
Sau đó tính
POT
t
l
Sau

đó

tính

POT
,
t
xl
,
Đ
ị
nh l
ý

g
iá tr
ị
cu
ố
i:
4.5.3 Sai số xác lập
)
(
)
1
(
lim
)
(
lim
1
z

E
z
k
e
e
xl
−
−
=
=
ị ýg ị
)
(
)
1
(
lim
)
(
lim
1
z
E
z
k
e
e
zk
xl
→

∞
→
Xét hệ thống rời rạc có sơ đồ khối:
)
(
z
R
)(1
)
(
)1(lim
1
1
zGH
z
R
ze
z
xl
+
−=
−
→
Hệ trên có sai số xác lập:
•
Nếu tín hiệuvàolàhàmnấc đơnvị:
1
)
(
=

z
R
•
Nếu

tín

hiệu

vào

là

hàm

nấc

đơn

vị:
1
1
)
(
−
−
=
z
z
R

P
xl
K
z
GH
e
+
=
+
=
1
1
)
(
lim1
1
(K
P
gọi là hệ số vị trí)
• Nếu tín hiệu vào là hàm dốc đơn vị:
P
z
→
)
(
1
(
)
2
1

1
1
)(
−
−
−
=
z
Tz
zR
(
)
()
V
z
xl
KzGHz
T
e
1
)(1lim
1
1
=
−
=
−
→
(K
V

gọi là hệ số vận tốc)
4.6 THIẾT KẾ HỆ RỜI RẠC
DÙNG QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Hàm truyền của các khâu hiệu chỉnh rời rạc
củabộ điều khiểnbùpha
của

bộ

điều

khiển

bù

pha
⎟
⎞
⎜
⎛
⎨
⎧
<
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
+

1
)
(
C
C
z
zz
K
z
G
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
⎩
⎨
<
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
+
=
1

)

(
C
C
C
CC
p
pz
K
z
G
Khâ ớ h
+
Khâ
u s
ớ
m p
h
a:
z
C
< p
C
+ Khâu trễ pha: z
C
> p
C
4.6.1 Thiết kế bộ điều khiển sớm pha
Ph ìhđặ íh ủ hệ ớ khi hiệ hỉ h1
GH( )
0

+
Ph
ương tr
ì
n
h

đặ
c t
í
n
h
c
ủ
a
hệ
trư
ớ
c
khi

hiệ
u c
hỉ
n
h
:
1
+
GH(

z
)
=
0
+ Phương trình đặc tính của hệ sau khi hiệu chỉnh: 1 + G
C
(z)GH(z) = 0
()
CC
C
C
CC
pz
pz
z
z
KzG <
+
+
= )(
+ Khâu hiệu chỉnh sớm pha có dạng:
Ta cần chọn giá trị K
C
, z
C
và p
C
để đáp ứng của hệ thỏa yêu cầu
về chấtlượng quá độ (thể hiện qua vị trí củacặpcực quyết
về

chất

lượng

quá

độ

(thể

hiện

qua

vị

trí

của

cặp

cực

quyết

định).
Trình tự thiết kế
Bước 1 - Xác định cặp cực quyết định từ yêu cầu thiết kế về

ấ ố
ch
ấ
t lượng của hệ th
ố
ng trong quá trình quá độ:
Độ vọt lố
Thờii áđộ
Ts
n
n
n
e
z
j
s
=
⇒
−
±
−
=
⇒⇒
*
2
,
1
2*
2
,

1
1 ,
ξ
ω
ξω
ω
ξ
Thời
g
i
an qu
á

độ
,…
n
n
n
j
2
,
1
2
,
1
ξ
ξ
ξ
B ớ 2
Xá đị hó h ầ bù

để ặ ế đị h ằ ê
*
-1T
2**
ξωϕ
ξω
n
T
zezr
n
=∠===
−
B
ư
ớ
c
2
-
Xá
c
đị
n
h
g
ó
c p
h
a c
ầ
n

bù

để
c
ặ
p cực quy
ế
t
đị
n
h
n
ằ
m tr
ê
n
quỹ đạo nghiệm số của hệ sau khi hiệu chỉnh theo:
2,1
z
(
)
(
)
∑
∑
Φ
mn
**
0
*

180
(
)
(
)
∑
∑
==
−
−
−
+−=
Φ
j
j
i
i
z
z
p
z
11
0
argarg
180
(
p
i
và
z

j
là các c
ự
c và zero của h
ệ
th
ố
n
g
G
(
z
)
trước khi hi
ệ
u chỉnh
)
(
p
i
j
ự ệ g
()
ệ )
Φ
*
180
°
+
Σ

ótừ á ủ
GH( )
đế
*
Dạng hình học của công thức trên là:
Φ
*
=
–
180
°
+
Σ
g
ó
c
từ
c
á
c cực c
ủ
a
GH(
z
)
đế
n cực
z
*
– Σgóc từ các zero của GH(z) đến cực z*

Bước 3 - Xác định vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh:
+ Vẽ 02 nửa đườn
g
th
ẳ
n
g
b
ấ
t k
ỳ
xu
ấ
t
p
hát từ c
ự
c
q
u
yế
t đ
ị
nh
g g ỳ p ự qy ị
z* sao cho hai nửa đường thẳng này tạo với nhau một góc bằng
Φ
*
Gi điể ủ 02 ử đườ thẳ à ớit thự là ị
Φ

*
.
Gi
ao
điể
m c
ủ
a
02
n
ử
a
đườ
ng
thẳ
ng n
à
y v
ới

t
rục
thự
c
là
v
ị
trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh.
+ Đối với hệ rời rạc, ta thường dùng phương pháp triệt tiêu nghiệm
cực của hệ th

ố
n
g
đ
ể
chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh.
g
Bước 4 - Tính hệ số khuếch đại K
C
sử dụng công thức:
1)()(
*
=
=zz
C
zGzG
4.6.2 Thiết kế bộ điều khiển trễ pha
(
)
C
C
C
C
C
p
z
zz
K
z
G

>
+
=
)
(
+ Khâu hi
ệ
u chỉnh trễ
p
ha có d
ạ
n
g
:
(
)
C
C
C
C
C
p
z
p
z
K
z
G
>
+

)
(
ệ p ạ g
+ Ta cần chọn giá trị K
C
, z
C
và p
C
để giảm sai số xác lập của hệ mà
không ảnh hưởng đáng kể đến chất lượng đáp ứng quá độ.
p
+
1
+ Đặt
C
C
z
p
+
+
=
1
1
β
Trình tự thiết kế
Bước 1 - Xác định
β
từ yêu cầu về sai số xác lập:

Nếu yêu cầu về sai số xác lập cho dưới dạng hệ số vị trí thì:
*
P
P
K
K
=
β
(
K
P
và
K
P
*
là hệ số vị trí củahệ trước và sau khi hiệuchỉnh)
(
K
P
và

K
P
là

hệ

số

vị

trí

của

hệ

trước

và

sau

khi

hiệu

chỉnh)
.
Nếu yêu cầu về sai số xác lập cho dưới dạng hệ số vận tốc thì:
*
V
V
K
K
=
β
(
K
và

K
*
là hệ số vậntốccủahệ trước và sau khi hiệuchỉnh)
Bước 2 - Chọn zero của khâu hiệu chỉnh rất gần điểm +1 để không
làm ảnh hưởng đáng kể đếndạng QĐNS
(
K
V
và

K
V
là

hệ

số

vận

tốc

của

hệ

trước

và

sau

khi

hiệu

chỉnh)
.
làm

ảnh

hưởng

đáng

kể

đến

dạng

QĐNS
11
−
≈
⇒≈−
CC
zz
Bước3

–
Tính cựccủakhâuhiệuchỉnh
:
(
)
C
C
z
p
+
+
−
=
11
β
(Chú ý: |z
C
| < 1)
Bước

3

Tính

cực

của

khâu

hiệu

chỉnh
:
(
)
C
C
p
β
Bước 4 - Tính K
C
theo:
1)()(
*
=
=zz
C
zGzG
Do yêu cầuthiếtkế không làm ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng quá độ
Do

yêu

cầu

thiết

kế

không

làm

ảnh

hưởng

đáng

kể

đến

đáp

ứng

quá

độ

nên có thể tính gần đúng: (z
1,2
là cặp cực quyết định của hệ
trước khi hiệu chỉnh.
2,1
*
2,1
zz =

4.6.3 Thiết kế bộ điều khiển sớm trễ pha
Ta biểudiễnhàmtruyền khâu hiệuchỉnh sớmtrễ pha dướidạng:
Ta

biểu

diễn

hàm

truyền

khâu

hiệu

chỉnh

sớm

trễ

pha

dưới

dạng:
)()()(
21
zGzGzG

CCC
=
• G
C1
(z) là khâu hiệu chỉnh sớm pha
•
G
C2
(z)
là khâu hiệuchỉnh trễ pha
G
C2
(z)
là

khâu

hiệu

chỉnh

trễ

pha
ế ế
ể
Bài toán đặt ra thi
ế
t k
ế

G
C
(z) đ
ể
cải thiện đáp ứng quá độ
và sai số xác lập của hệ thống.
Trình tự thiết kế
Bước1
–
Thiếtkế khâu sớmphaG
C1
(z)
để thỏamãnyêucầuvề đáp
Bước

1

Thiết

kế

khâu

sớm

pha

G
C1
(z)

để

thỏa

mãn

yêu

cầu

về

đáp

ứng quá độ
Bước 2 – Đặt G
1
(z) = G
C1
(z).G(z)
Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha G
C2
(z) mắc nối tiếp vào G
1
(z)để thỏa
mãn yêu cầuvề sai số xác lập mà không thay đổi đáng kể đáp ứng
mãn

yêu

cầu

về

sai

số

xác

lập

mà

không

thay

đổi

đáng

kể

đáp

ứng

quá độ của hệ thống sau khi đã hiệu chỉnh sớm pha

4.7 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID
Hàm truyền các khâu hiệu chỉnh rời rạc
của bộ điều khiển PID
+Khâ tỷ lệ
K
G
)
(
+

Khâ
u
tỷ

lệ
:
PP
K
z
G
=
)
(
+ Khâu vi
p
hân:
p
• Sai phân tới:
()
1)( −= z

T
K
zG
D
D
• Sai phân giữa:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
z
z
T
K
zG
D
D
1
2
)(
2
• Sai phân lùi:
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
z
z
T
K
zG
D
D
1
)(
⎠
⎝
Công thức sai phân lùi được sử dụng trong thực tế
+ Khâu tích phân:
• Tích phân hình chữ nhật tới:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
1
)(

z
z
TKzG
II
• Tích phân hình chữ nhật lùi:
⎠
⎝
1
z
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
1
1
)(
z
TKzG
II
• Tích phân hình thang:
⎠
⎝
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
−
+
=
1
1
2
)(
z
zTK
zG
I
I
Công thức tích phân hình thang cho kết quả chính xác nhất
+Hàmtr ền các bộ điề khiểnPD PI PID:
+

Hàm

tr
uy
ền

các

bộ

điề
u

khiển

PD
,
PI
,
PID:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+=
z
z
T
K
KzG
D
PPD
1
)(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

−
+
+=
⎠
⎝
z
zTK
KzG
I
PPI
1
1
2
)(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+

+=
z
z
T
K
z
zTK
KzG
DI
PPID
1
1
1
2
)(
4.7.1 Phương pháp Zeigler
-
Nichols
4.7.1

Phương

pháp

Zeigler
Nichols
Các hệ số K
P
, K
I

, K
D
có thể chọn bằng phương pháp thực nghiệm
Zeigler-Nichols như đã trình bày trong môn học Lý thuyết điều
khiển tự động 1.
4.7.2 Phương pháp giải tích
Từ
y
êu c
ầ
u thi
ế
t k
ế
v
ề
đá
p
ứn
g

q
uá đ
ộ

(
v
ị
trí n
g

hi
ệ
m của
p
hươn
g

y p gq ộ ( ị g ệ p g
trình đặc tính) và sai số xác lập, có thể tính toán giải tích để chọn
thông số bộ điều khiển PID số.