Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục pdf

Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến
đổi Fourier liên tục
3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức
3.2 Chuỗi Fourier liên tục
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
5-1
• Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
• Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
• Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
• Biến đổi Fourier ngược
Từ chuỗi Fourier đến phép biến đổi F
 Tín hiệu tuần hoàn   Chuỗi Fourier
 Tín hiệu không tuần hoàn   Biến đổi Fourier
 Xét xung chữ nhật đơn có độ rộng 2T
1
x(t)
-T
1
T
1
1
0
t
0
ω
0
k
ω
ω
k
a

x(t) là trường hợp giới hạn của dãy
xung chữ nhật khi
T
→ ∞
 Đặt
0
k
ω ω
=
khi
,
T
ω
→ ∞
vô cùng nhỏ,
phổ của tín hiệu tiến tới một hàm của biến liên tục ω
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-2
Từ chuỗi Fourier đến phép biến đổi F
 Định nghĩa hàm phổ X(jω) từ quan hệ
0
( )
k
X jk Ta
ω
=
k, ω
0
tùy ý
 Đặt x
T

(t) là dãy xung chữ nhật thì chuỗi Fourier của nó được biểu
diễn thành
0
0
0
0 0
1
( ) ( )
1
( )
2
jk
T
k
jk
k
x t X jk e
T
X jk e
ω
ω
ω
ω ω
π
∞
=−∞
∞
=−∞
=
=

∑
∑
,
T
→ ∞
 Khi
( ) ( )
T
x t x t
→
1
( ) ( )
2
( ) ( )
j t
j t
x t X j e
X j x t e dt
ω
ω
ω
π
ω
∞
−∞
∞
−
−∞
=
=

∫
∫
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-3
Ví dụ 1: Xung chữ nhật đơn
 Xét xung chữ nhật không tuần hoàn đặt tại không
 Biến đổi Fourier là
Chú ý, các giá trị là thực
1
T
π
x(t)
-T
1
T
1
1
0
t
 Nguyên lý bất định
Heisenberg
Khoảng thời gian
tồn tại tín hiệu tỷ lệ
nghịch với băng
thông
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-4
Định nghĩa phép biến đổi Fourier
 Tín hiệu x(t) và biến đổi Fourier X(jω) của nó có quan hệ với nhau
thông qua phương trình tổng hợp và phương trình phân tích
 Ký hiệu cặp biến đổi Fourier
 Tương tự, các điều kiện hội tụ Dirichlet cũng tồn tại đối với biến

đổi Fourier, giống như ở chuỗi Fourier
( ( , ))
T
= −∞ ∞
Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier ngược
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-5
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến
đổi Fourier liên tục
3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức
3.2 Chuỗi Fourier liên tục
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
5-6
• Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
• Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
• Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
• Biến đổi Fourier ngược
Điều kiện hội tụ - Biến đổi F
Điều kiện 1. x(t) khả tích tuyệt đối
Điều kiện 2.
Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t)
có hữu hạn các cực đại và cực tiểu
Điều kiện 3.
Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có
hữu hạn các điểm không liên tục, với các giá
trị không liên tục là hữu hạn
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-7
Ví dụ 2: Hàm mũ tắt dần
 Xét tín hiệu (không tuần hoàn)
 Do đó biến đổi Fourier là

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-8
Ví dụ 3: Tín hiệu xung đơn vị
 Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị được tính toán như sau
 Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị là hằng số với mọi ω
 Nguyên lý bất định Heisenberg vẫn được thỏa mãn
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-9
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến
đổi Fourier liên tục
3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức
3.2 Chuỗi Fourier liên tục
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
5-10
• Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
• Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
• Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
• Biến đổi Fourier ngược
PBĐ Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
 Với mọi t, x(t+T) = x(t)
 Tín hiệu tuần hoàn được biểu
diễn bằng chuỗi Fourier
 a
k
tương ứng với thành phần của x(t) có tần số bằng một số nguyên
lần tần số cơ bản 1/T
 Tín hiệu tuần hoàn vi phạm điều kiện Dirichlet 1 để cho pbđ Fourier
tồn tại
 Tuy nhiên, hạn chế này sẽ được giải quyết nếu có mặt các hàm xung
trong pbđ Fourier
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-11
 Xét một pbđ Fourier là một xung đơn diện tích 2π đặt tại tần số

PBĐ Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
 Tín hiệu x(t) tương ứng là
 Tổng quát hơn, xét dãy xung
là tín hiệu sin phức tuần hoàn với chu kỳ 2π/ω
0
 Tín hiệu x(t) tương ứng là
 Phép biến đổi Fourier của một tín hiệu tuần hoàn là một dãy các
xung đặt tại các tần số hài với độ lớn 2πa
k
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-12
Ví dụ 1: Dãy xung chữ nhật
 Xét tín hiệu tuần hoàn x(t) sau:
 Chúng ta đã biết các hệ số chuỗi Fourier của x(t) là
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-13
 Do đó phép biến đổi Fourier của x(t) là
Ví dụ 1: Dãy xung chữ nhật
0
0
ω
0
2
ω
0
2
ω
−
0
ω
−
ω

1
4
T T
π
( )
X j
ω
0 1
1
0 1 0
0 1
0
sin( )
4
( ) ( ) 2 ( )
k
k
k T
T
X j T k
T k T
ω
π
ω δ ω ω δ ω ω
ω
∞
=−∞
≠
= − −
∑

 Đồ thj của X(j ω) theo ω
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-14
Ví dụ 2: Dãy xung đều
 Dãy xung đều rất hữu ích trong việc phân tích các hệ thống (các bộ
trích mẫu, tổng hợp tiếng nói, …):
( ) ( )
k
x t t kT
δ
∞
=−∞
= −
∑
 Các hệ số chuỗi Fourier là:
0
2
2
1 1
( )
T
jk t
k
T
a t e dt
T T
ω
δ
−
−
= =

∫
với mọi k
 Do đó biến đổi Fourier của x(t) là
0 0
( ) ( )
k
X j k
ω ω δ ω ω
∞
=−∞
= −
∑
……
t
0 T 2T
-T
-2T
x(t)
1
……
( )
X j
ω
ω
0
ω
0
ω
−
0

2
ω
0
2
ω
−
0
0
ω
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-15
Một số hàm đặc biệt
 Hàm cửa sổ
 Hàm tam giác
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-16
Một số hàm đặc biệt
sin
sinc( )
x
x
x
=
là hàm đóng vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu,
còn đgl hàm lọc hay hàm nội suy
 sinc(x) là hàm chẵn của biến x
 sinc(x) =0 khi sin x =0 ngoại trừ tại x =0, tức là khi
, 2 , 3 ,
x
π π π
= ± ± ±
 Sử dụng quy tắc L’Hopital, ta có sinc(0) =1

 sinc(x) là dao động theo hàm sin với chu kỳ 2π, có biên độ giảm dần
theo hàm 1/x
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-17
Bảng biến đổi Fourier
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-18
Bảng biến đổi Fourier
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-19
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến
đổi Fourier liên tục
3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức
3.2 Chuỗi Fourier liên tục
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
5-20
• Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
• Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
• Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
• Biến đổi Fourier ngược
Tính chất tuyến tính
 Nếu
và
thì
 Chứng minh từ định nghĩa của biến đổi Fourier (vì toán tử tích phân
là tuyến tính)
 Được mở rộng cho tổ hợp của một số bất kỳ các tín hiệu
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-21
Tính chất dịch thời gian
 Nếu
thì
 Chứng minh
Thay thế t bởi t – t

0
Do đó
 Một tín hiệu bị dịch trong miền thời gian:
– Không thay đổi biên độ của ảnh Fourier
– Dịch pha của ảnh Fourier đi bởi –ωt
0
(dịch pha tuyến tính)
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-22
Tính chất dịch tần số
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-23
Tính chất co giãn thời gian/tần số
( ) ( )
1
( ) ( )
x t X j
j
x at X
a a
ω
ω
↔
↔
a là hằng số thực
 |a|>1: nén trục thời gian, giãn trục tần số
|a|>1: giãn trục thời gian, nén trục tần số
 Mở rộng trong miền thời gian tỷ lệ nghịch với mở rộng trong miền
tần số (còn gọi là băng thông)
x(t) rộng hơn
↔
phổ hẹp hơn

x(t) hẹp hơn
↔
phổ rộng hơn
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-24
Đạo hàm và tích phân
 Đạo hàm hai vế của phương trình tổng hợp
 Do đó
 Quan trọng: Đạo hàm trong miền thời gian được thay thế bằng phép
nhân trong miền tần số
 Tương tự với tích phân
Giá trị trung bình hay thành phần một chiều (DC)
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-25