Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 1 ppsx

2. Giới hạn vô hạn của hàm số:


N > 0 lớn tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x0 <   f(x) > N


N < 0 nhỏ tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x0<   f(x) < N
Ví dụ: chứng minh



3. Các tính chất của giới hạn hàm số:
Định lý: nếu lim f(x) = L
1
và lim g(x) = L
2
thì
• Lim [f(x) ± g(x)] = L
1
± L
2

• Lim [f(x)g(x)] = L
1
L
2

• Lim [f(x)/g(x)] = L
1
/L
2

(L
2
≠ 0)
• Lim [f(x)]m = L
1
m
(L
1
m
 R)
• Lim C = C
• Lim [Cf(x)] = CL
1

Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.,  - , 1

thì phải biến đổi để khử
chúng.


)(lim
0
xf
xx


)(lim
0
xf
xx




2
)(
1
lim
ax
ax
Ví dụ: Tìm


Định lý: Giả sử g(x)  f(x)  h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x
0
. Nếu


Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong
lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)]
Ví dụ: Tìm



4. Một số giới hạn đặc biệt:



Ví dụ: Chứng minh:

Ví dụ: Tìm:

1lim
0


x
tgx
x
1
arcsin
lim
0


x
x
x
1lim
0


x
arctgx
x
1
3
sin
lim )
2

2


x
x
x
a
x

1
1
lim )
2
1



x
x
b
x
2
8
lim )
3
2



x

x
c
x


Lxhxg
xxxx
)(lim)(lim
00
Lxf
xx


)(lim
0











xx
x
x
2

2
2
1
sinlim

1
sin
lim
0


x
x
x
e
x
x
x









1
1lim
a

x
a
x
x
ln
1
lim
0





ex
x
x


/1
0
1lim
1
)1ln(
lim
0



x
x

x
x
x
x
x








3
lim
3
1
2
lim










x

x
x
x

5. So sánh vô cùng bé
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) =
0
Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình:
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) là VCB bậc cao hơn g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = , f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu
f(x)~g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so
sánh được
Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f
1
(x), g(x)~g
1
(x) thì lim[f(x)/g(x)] =
lim[f
1
(x)/g
1
(x)]
Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x) trong
cùng quá trình thì
f(x) + g(x) ~ f(x)
Ví dụ: Chứng minh

Khi x 0
3
2
3
arcsin2sin
lim
22
0



x
xarctgxx
x
32
~sin xxxx 

6. So sánh vô cùng lớn:
Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu lim F(x)
= 
• Trong cùng quá trình, nếu f(x) là CVB thì 1/f(x) là VCL
• Ngược lại, F(x) là VCL thì 1/F(x) là VCB
Định nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình:
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = , F(x) là VCL bậc cao hơn G(x)
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x)
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ), ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng
bậc.
• Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, F(x), G(x) là hai VCL tương đương. Ký hiệu

F(x)~G(x)
Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, Nếu F(x)~F1(x) ,
G(x)~G
1
(x) thì
lim[F(x)/G(x)] = lim[F
1
(x)/G
1
(x)]

Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) là VCL bậc thấp hơn F(x) trong
cùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x)
Ví dụ: Tìm

xxx
xxx
x
612
67
lim
23
53





Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x
0

nếu:


Nếu chỉ có hoặc

thì f được gọi là liên tục bên phải (bên trái) tại x
0

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x
0
nếu nó không liên tục tại x
0
.
Vậy x
0
là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu:
- Hoặc f(x) không xác định tại x
0

- Hoặc f(x) xác định tại x
0
nhưng lim f(x) ≠ f(x
0
) khi x  x
0

- Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x  x
0

Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x

0
= 0



Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại mọi
điểm thuộc khoảng đó,
• f được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm
thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b
)()(lim
0
0
xfxf
xx


)()(lim
0
0
xfxf
xx


)()(lim
0
0
xfxf
xx









0 x khi1
0 xkhi1
)(
x
x
xf
x
xf
1
)( 
Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x
0
thì các hàm số sau cũng liên tục tại
x
0
: kf (k hằng số), f+g, fg, g/f (g(x
0
)≠0).
Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u
0
và f liên tục tại u0 thì Lim
f[u(x)] = f[lim u(x)] = f(u
0
)

Định lý: Nếu f liên tục trên (a,b) và f(a)f(b) < 0 thì x0  (a,b): f(x
0
) = 0
Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b]

Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x
0
 (a,b). Nếu tồn tại



thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x
0
. Ký hiệu f’(x
0
), y’(x
0
)
Đặt x = x – x
0
, ta có x = x
0
+ x và
đặt y = f(x
0
+ x) – f(x

0
) thì
Ký hiệu dy/dx, df/dx

Đạo hàm bên phải:
0
0
)()(
lim
0
xx
xfxf
xx



x
y
y
x



 0
lim'
x
y
y
x




 0
lim'