Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 2 ppsx

Đạo hàm bên trái:

- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm
trong khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng
(a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x
2
, y = sinx
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
• u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
• u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u

• u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và
Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u =
u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).
Đạo hàm của hàm số ngược:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f
-
1
(y) thì hàm số x = f
-1
(y) có đạo hàm tại y = f(x):


x
y
y

x



 0
lim'
2
'
''
v
uvvu
v
u 







)](['
1
)('
1
)()'(
1
1
yffxf
yf





Ví dụ, tìm đạoA hàm của y = arcsinx
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
(c)’ = 0
(x)’ = x-1
(ax)’ = axlna
(ex)’ = ex

(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx



Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo
hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)


Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x),
y(n)(x).


a
x
x
a
ln
1

)'(log 
x
x
1
)'(ln 
2
1
1
)'(arcsin
x
x


2
1
1
)'(arccos
x
x


x
tgx
2
cos
1
)'( 
x
gx
2

sin
1
)'(cot 
2
1
1
)'(
x
arctgx


2
1
1
)'cot(
x
gxarc


2
2
2
2
,
dx
fd
dx
yd
n
n

n
n
dx
fd
dx
yd
,

Ví dụ: Cho y = x

(  R, x > 0), y = ke
x
, tìm y(n)
Công thức Leibniz:
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có:
(u + v)(n) = u(n) + v(n)

trong đó u(0) = u, v(0) = v


2. VI PHÂN

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi
là vi phân cấp 1 của hàm số f.
Vi phân của tổng, tích, thương:
d(u + v) = du + dv
d(u.v) = vdu + udv
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn
(d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f.





n
k
kknk
n
n
vuCuv
0
)()(
.)(
2
v
udvvdu
v
u
d










3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM

Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b)
thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c) = 0.
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại
c  (a,b) sao cho



Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong
trường hợp f(b) = f(a).
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và
g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho



Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong
trường hợp g(x) = x.
Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x
0
thì x
 D, x ≠ x
0
thì tồn tại c nằm giữa x và x
0
sao cho:

)('
)()(
cf

a
b
afbf



)('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf



1
0
)1(
0
0
)(
2
0
0
0
0
0
)(

)!1(
)(
)(
!
)(

)(
!2
)("
)(
!1
)('
)()(






n
n
n
n
xx
n
cf
xx
n
xf
xx

xf
xx
xf
xfxf




Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang


• Đa thức Taylor:



Khi x
0
=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin



L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x  (a,b)



Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:

1
0

)1(
)(
)!1(
)(
)(





n
n
n
xx
n
cf
xR



n
k
k
k
n
xx
k
xf
xP
0

0
0
)(
!
)(
)(
1
)1()(
2
)!1(
)(
!
)0(

!2
)0("
!1
)0('
)0()(




n
n
n
n
x
n
cf

x
n
f
x
f
x
f
fxf
0)(lim)(lim 

xgxf
axax
L
xg
xf
xg
xf
axax


)('
)('
lim
)('
)('
lim
0)(lim)(lim 

xgxf
xx



)(lim)(lim xgxf
axax



• Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
1. Dạng 0/0, /
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)



Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /)



2. Dạng 0.,  - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /.
Ví dụ:


3. Dạng vô định: 00, 1, 0:
Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0)
Ví dụ:



)(lim)(lim xgxf
xx
3

4
27
lim
2
3
3



x
x
x
x
x
x
xtgx
x
sin
lim
0



3
0
sin
lim
x
xx
x



x
arctgx
x
1
2
lim



gx
x
x
cot
ln
lim
0
n
x
x
xln
lim

x
n
x
e
x


lim
xx
x
lnlim
5
0
)4/()4(lim
2
2
xtgx
x



)
cos
1
(lim
2/
tgx
x
x



2
0
lim
x
x

x

x
x
x


1
2
1
lim
x
x
gx
ln
1
1
)(cotlim
