Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 3 doc

CỰC TRỊ

Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x
0
nếu tồn tại một lân
cận của x
0
sao cho f(x)  f(x
0
) (f(x)  f(x
0
)).
Chiều biến thiên của hàm số:
Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):
1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng.
2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a,b) thì f giảm.
Điều kiện cần của cực trị:
Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x
0
và có đạo hàm tại điểm đó
thì f’(x
0
) = 0.
Ví dụ: Hàm số y = x
3
, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị.
Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại.
Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là
điểm tới hạn của f:

a) Không tồn tại f’(x)
b) f’(x) = 0
Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f.
Điều kiện đủ của cực trị:
Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0
a) Nếu x vượt qua x
0
mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại
tại x
0
.
b) Nếu x vượt qua x
0
mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu
tại x
0
.
c) Nếu x vượt qua x
0
mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x
0.

Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x
0
và f’(x) = 0.
a) Nếu f”(x
0
) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu.
b) Nếu f”(x
0

) < 0 thì f(x) đạt cực đại.
Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:
1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút.
2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏ
nhất cần tìm).
Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
f(x) = x
3
– 3x
2
+1 trên đoạn [-1/2, 4]
Biến kinh tế:

Q Quantity Sản lượng
QS Quantity Supplied Lượng cung
QD Quantity Demanded

Lượng cầu
P Price Giá cả
C Cost Chi phí
TC Total Cost Tổng chi phí
R Revenue Doanh thu
TR Total Revenue Tổng doanh thu
Pr Profit Lợi nhuận
K Capital Tư bản
L Labour Lao động
FC Fix Cost Định phí
VC Variable Cost Biến phí

Hàm số kinh tế:

• Hàm sản xuất : Q = f(K,L)
• Hàm doanh thu : TR = PQ
• Hàm chi phí : TC = f(Q)
• Hàm lợi nhuận :  = TR - TC
Ví dụ: Một quán bún bình dân, hãy tính mỗi ngày bán bao nhiêu tô thì có lời với
giá bán 5.000đ/tô và chi phí như sau:
Thuê mặt bằng,
điện nước
50.000đ/ngày

Bún 300đ/tô
Gia vị 200đ/tô
Thịt bò, heo 2.000đ/tô
Nhân viên 500đ/tô

Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế:
• Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của sản
lượng khi tăng lao động hay vốn lên một đơn vị.

• Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét khi
L=100 cho bởi hàm sản xuất sau:
• Chi phí biên MC: (Marginal Cost)
Hàm chi phí: TC = TC(Q)
MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn
vị.
• Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét.
TC = 0,0001Q
3
– 0,02Q
2

+ 5Q + 100
• Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue)
Hàm doanh thu: TR = PQ
LQ 5
• Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định thì MR là
đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1
đơn vị.
• Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là
đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị.
• Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:
Q = 1.000 – 14P
Tìm MR khi p = 40 và p = 30
• Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit)
Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q))
Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay sản
lượng tăng thêm 1 đơn vị
• Tối đa hóa lợi nhuận:
Hàm chi phí: TC = TC(x)
Hàm cầu: x = QD = f(P)
Giả sử thị trường độc quyền:
Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = Px – TC(x)



























0
)(
0
)(
0
0
2
2
2
2
dx
TCTRd
dx

TCTRd
dx
d
dx
d


• Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin:
Định phí: FC = 600
Biến phí: VC = 1/8 x
2
+ 6x
Hàm cầu: x = -7/8 P + 100
Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tốt đa.