Luật số lớn trong xác suất thống kê - 1 potx

Luật số lớn
1. Các khái niệm và mối quan hệ giữa các loại hội tụ cơ bản
Định nghĩa 1.1. Dãy biến ngẫu nhiên (X
n
, n > 1) được gọi là hội tụ theo xác suất
tới biến ngẫu nhiên X khi n , ký hiệu , nếu với mọi > 0 tuỳ ý
(1)
Định nghĩa 1.2. Dãy biến ngẫu nhiên (X
n
, n > 1) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn
tới biến ngẫu nhiên X khi n , ký hiệu nếu
P[w: ] = 1.
(2)
Nhận xét: Đặt thì
[w: ] = = A
Vậy (2) trở thành P(A) = 1. Từ đó, tiêu chuẩn hội tụ hầu chắc chắn có thể phát
biểu như sau:
Dãy biến ngẫu nhiên (X
n
, n > 1) hội tụ hầu chắc chắn tới X khi n khi và chỉ
khi với > 0 tuỳ ý,
= 0 (3)
hay
0 khi n .
So sánh giữa hai loại hội tụ , từ nhận xét trên ta có
Định lý 1.3. Nếu thì khi n .
Lưu ý rằng khẳng định ngược lại nói chung không đúng. Thật vậy
Ví dụ 1.4. Cho (X
n
) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối

Với mọi 0< < 1 ta có
.
Như vậy, Mặt khác,


Điều này có nghĩa dãy (X
n
) không hội tụ h.c.c.
Ta có kết quả sau:
Định lí 1.5. . Nếu dãy biến ngẫu nhiên (X
n
, n > 1) là đơn điệu tăng (giảm) và
khi n thì khi n .
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết X 0; X
n
> 0; X
n
và
khi n .
Giả sử (X
n
) không hội tụ hầu chắc chắn đến X. Điều đó có nghĩa là tồn tại > 0
và tập A với P(A) > > 0 sao cho với Î A và với mọi n. Vì (X
n
) là
dãy giảm khi n tăng nên = X
n
. Vậy P[X
n
> ] > P(A) > > 0 với mọi n.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết .Định lí được chứng minh.
Định lí 1.6. khi và chỉ khi khi n , nghĩa là
với > 0 cho trước thì
0 khi n . (4)
Chứng minh. Có khi và chỉ khi khi n .
Hơn nữa, dãy là đơn điệu giảm và tiến tới 0 theo xác suất khi n .
Theo Định lí 1.5 ta nhận được khi n . Định lí được
chứng minh.
Định lí 1.7. Nếu < với mọi > 0 thì khi n
.
Chứng minh.Ta có
< .
Theo giả thiết < nên phần dư 0
khi n .
Vậy 0 khi n , nghĩa là khi n .
Hệ quả 1.8. Nếu thì tồn tại dãy con {n
k
} sao cho khi n
.
Chứng minh. Vì nên ta có thể chọn được dãy n
k
để

Suy ra
< < + .
Theo Định lí 1.7 ta có .
2. Luật yếu số lớn
Định nghĩa 2.1. Dãy biến ngẫu nhiên (X
n
)

được gọi là tuân theo luật yếu số lớn
nếu với > 0 cho trước tuỳ ý
(5)
Định lí 2.2 (Định lí Trêbưsép)
Nếu dãy biến ngẫu nhiên X
1
, X
2
, , X
n
độc lập và có phương sai bị chặn bởi cùng
mội hằng số C, nghĩa là DX
1
< C, DX
2
< C, , DX
n
< C, thì dãy (X
n
) tuân theo
luật yếu số lớn.
Để có thể chứng minh được định lý trên, ta cần bất đẳng thức quan trọng sau
Bất đẳng thức 2.3. (bất đẳng thức Trêbưsép)
Giả sử biến ngẫu nhiên X có kì vọng E(X) và phương sai D(X) hữu hạn. Khi đó

Chứng minh. Với A Î đặt .Vì
W = [w : < ] È [w: > ]
nên

Ta có
E(X - E(X))
2
=

Từ đó suy ra

Chứng minh Định lý 2.2. áp dụng định lí Trêbưsép cho đại lượng ta có:
với > 0
0 khi
n .
do X
1
,…, X
n
là độc lập và DX
i
< c; i = 1, 2,…, n.Định lí được chứng minh.
Hệ quả 2.4. Nếu X
1
, X
2
, , X
n
là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có EX
k
= a và DX
k
< C với mọi k = 1,2, , n thì .
Hệ quả 2.5. Gọi k là số lần biến cố A xuất hiện trong dãy n phép thử Bernoulli.

Giả sử xác suất để biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử là p. Khi đó
khi n .
Chứng minh. Đặt , k = 1, 2,…, n
Ta có k = X
1
+ X
2
+ … + X
n
. Do X
1
, X
2
,…, X
n
độc lập và có cùng phân phối với
EX
k
= p và DX
k
= p(1 - p) , k = 1, 2,…, n. Theo Hệ quả 2.4 ta có khi
n .
3. Luật mạnh số lớn
Định nghĩa 3.1. Dãy biến ngẫu nhiên X
1
, X
2
, , X
n
được gọi là tuân theo luật

mạnh số lớn nếu

Nếu đặt thì dãy (X
n
) tuân theo luật mạnh số lớn nếu

Để có thể chứng minh các kết quả về luật mạnh số lớn, ta có cần các kết quả quan
trọng sau
Bổ đề 3.2. (Bổ đề Borel – Cantelli)
a- Nếu (A
n
) là dãy các biến cố thoả mãn thì 0.