Luật số lớn trong xác suất thống kê - 2 ppsx

b- Nếu (A
n
) là dãy các biến cố độc lập và = + thì 1
Chứng minh.
a- Ta có

Suy ra

Theo giả thiết nên số hạng dư 0 khi n . Vậy
P(A ) = 0.
b- Ta có . Để chứng minh P(A ) = 1 ta cần chứng minh
hay ta phải chứng minh P( ) = 0 với mọi n. Với N > n ta có
P( ) < P( ) = =
vì 1 - x < e
-x
với mọi 0 < x < 1. Do = + ta suy ra ) khi
N . Vậy 0 khi N . Do đó , nghĩa là P(A )
= 1. Bổ đề được chứng minh.
Định lí 3.3. (Bất đẳng thức Côn môgôrốp)
Giả sử X
1
, X
2
, , X
n
là dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó, với > 0 cho trước
tuỳ ý ta có
(6)
Chứng minh. Đặt ; , k = 1, 2,…, n và

Rõ ràng A

0
, A
1
,…, A
k
là xung khắc từng đôi, trong đó , k = 1,
2,…, n.Ta có
và
Vì E(S
n
/A
k
) = 0 nên


Theo giả thiết A
k
độc lập với các , j > k.Vì vậy
với j > k
với h ¹ j, h, j > k > 1 và với k > 1
Tóm lại
.
Từ đó suy ra

Định lí 3.4. (Định lí Côn môgôrốp 1)
Nếu X
1
, X
2
, , X

n
là dãy biến ngẫu nhiên độc lập thoả mãn điều kiện
(7)
thì dãy X
1
, X
2
, , X
n
tuân theo luật số lớn.
Chứng minh . Đặt và . Xét xác suất

Theo bất đẳng thức Cônmôgôrốp ta có:

Vậy

Đổi thứ tự lấy tổng ta có

Do các số hạng ở vế phải của bất đẳng thức trên có thể ước lượng bởi
,
trong đó p là số sao cho 2
p
< j < 2
p + 1
.Vậy
,
hay chuỗi hội tụ. Từ đó suy ra P
m
0 khi m . Theo Định lí 1.6 ta có
. Định lí được chứng minh.

Hệ quả 3.5. Gọi m
A
là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Bernoulli
và p là xác suất để biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử. Khi đó

Hệ quả 3.6. Nếu dãy biến ngẫu nhiên X
1
, X
2
, , X
n
độc lập và có cùng phân phối
với kì vọng và phương sai DX
1
= DX
n
= s
2
hữu hạn thì

Ví dụ 3.7. Cho X
1
, X
2
, , X
n
là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối
xác suất:
X
k

- 1 0 1
P

a. Chứng minh rằng khi n .
b. X
1
, X
2
, , X
n
có tuân theo luật mạnh số lớn không? Tại sao?
Giải. a. Ta có


Theo Hệ quả 2.1 thì khi n .
b. Do X
1
, X
2
, , X
n
độc lập, có cùng phân phối với EX
k
= 0 và DX
k
= với mọi k
=1, , n. Theo Hệ quả 3.6 ta có

Vậy X
1

,…, X
n
tuân theo luật mạnh số lớn.
Ví dụ 3.8. Cho X
1
, X
2
, , X
n
là các biến ngẫu nhiên độc lập

có cùng hàm mật độ:

a. Chứng minh rằng khi n .
b. Dãy X
1
, X
2
, , X
n
có tuân theo luật mạnh số lớn không ? Tại sao?
Giải. Với mọi k = 1, 2, , n thì

Đặt Þ . Từ đó
EX
k
=
Tương tự,

Vậy

a. Do dãy X
1
,…,X
n
độc lập có EX
1
= … = EX
n
= và phương sai DX
1
= … =
DX
n
=
2

Theo Hệ quả 2.1 ta có: khi n .
b. Ta có
.
Theo Định lí 3.4, dãy X
1
,…,X
n
tuân theo luật số lớn.