Bất đẳng thức

Chuyên đề bất dẳng thúc
1. Cho

. Chứng minh rằng

( đúng theo Cơsi).
Đẳng thức xảy ra

đều.

2. Chứng minh với mọi

ta có

( đẳng thức xảy ra

)

Lại có
Đẳng thức xảy ra

hoặc

.

3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

Ta có :

Đặt

.

Khi đó
Xét hàm số
Suy ra :

.

Vậy

,chẳng hạn khi

4. Trong các số thực
Hãy tìm

thỏa mãn hệ thức

để cho biểu thức

.
đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị lớn nhất đó.

1


đạt giá trị lớn nhất

5. Tùy theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

và đạt dấu "=" khi

thỏa mãn

Hệ này có

hệ có nghiệm

khi

.

Vậy khi
Với

.

Đặt
và đạt dấu = khi
Vậy
6. Cho
minh rằng

là độ dài trung tuyến,

là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác

.

.

Đẳng thức xảy ra

đều.

7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số :
Ta có :
Đặt

Điều kiện :
2

. Chứng


Ta có :

Thay vào biểu thức của y ta được :
+

đồng biến trên

( vì

).

Vậy
8.

là 2 nghiệm của phương trình:

Với giá trị nào của

thì biểu thức

đạt giá trị lớn nhất .

Điều kiện để phương trình có nghiệm là :

Ta có :
Khi đó :

Vì

Do đó

Vậy

9. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

Đặt

nên
, khi

với

thì
. Khi đó :

Xét

Ta có :

3

.


Xét bảng biến thiên:
10. Cho

là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng:

Do giả thiết

(đpcm) Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi
11. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Áp dụng Cơsi cho trường hợp 2 số và trường hợp 3 số, ta có:

Vậy GTNN của P là . Dấu =
12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

Đặt

với
.

- Nếu

nghịch biến trong
.

- Nếu

đồng biến tròn

4

.


- Nếu

thì có bbt

Vậy

Kết luận

13. Giả sử

.

là hai số dương thỏa mãn điều kiện

Giá trị

. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

đạt được khi

Vậy
14. Chứng minh:

ta có:

Nhận xét:

Dấu “ ” xảy ra
15. Cho 3 số dương

thoả mãn

Chứng minh:

Ta có:

5

.


16. Chứng minh
Ta có:
BĐT đã cho đúng, “

17. Cho

” xảy ra

. Chứng minh

Ta có:

bất đẳng thức đã cho đúng,
dấu “ ” xảy ra
18. Chứng minh

Dấu

xảy ra

19 Chứng minh rằng
Ta có:
Dấu
20. Chứng minh rằng với mọi số dương

xảy ra

ta ln có bất đẳng thức

Vì

Tương tự:
Do đó vế trái bất đẳng thức cần chứng minh không lớn hơn :
(đpcm).
6

Đẳng thức xảy ra

.


21. Cho

thoả mãn

Chứng minh:

Từ giả thiết suy ra:

*) Xét
Ta có:
Mà

nên

là nghiệm của phương trình

*) Trường hợp:

Mà

là nghiệm của phương trình:

Từ
Tương tự cho

, ta có:

22. Cho 3 số

thoả mãn

Chứng minh:

Từ

Kết hợp
mà

nên

là 2 nghiệm của phương trình

Tương tự cho

7


23. Cho 3 số thực

thoả mãn các điều kiện sau:

Từ giả thiết suy ra:

Do

Dấu “ ” xảy ra

26. Cho

là nghiệm của phương trình:

nên

24. Cho

25. Cho

. Chứng minh

. Chứng minh:

hoặc 2 trong 3 số

bằng 1, số còn lại bằng 0

Chứng minh:

Chứng minh :

(*)đúng
Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi trong 3 số

có 1 số bằng 2 và 1 số bằng 0
8

27. Cho

Chứng minh:

Ta chứng minh:

. Thật vậy:

Ta có:

dấu “

”

28. Cho

29. Chứng minh trong

Chứng minh:

ta có

Ta có :

Dấu “ ” xảy ra

đều

9

30. Chứng minh :

ta có:

+) Ta chứng minh:

Nhận xét: Cho
Thật vậy

đúng do

đúng

Áp dụng:

đúng
+) Ta chứng minh:

Ta có:
Tương tự:
đúng
Từ

BĐT cần chứng minh đúng

31. Cho

thoả mãn:

Chứng minh:

Từ giả thiết suy ra

10


Dấu “ ” xảy ra

32. Cho

Chứng minh

Nhận xét:
Ta có

Dấu

xảy ra

33. Cho

. Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức

Do

nên

( luôn đúng do áp dụng bất đẳng thức Cơsi ) (đpcm).

34. Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Đặt

luôn cùng dấu với

35. Cho các số

,do đó

. Chứng minh rằng :

Ta có :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi hoặc Bunhiacopxki:
11

.


Dấu " = " xảy ra khi
36. Chứng minh rằng nếu

thì
(1)

(do x > 0)
(2) ln đúng nên (1) được chứng minh .
37. Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

,
38. Cho

là hai số thực thỏa mãn

và

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Theo bất đẳng thức Côsi ta có :

Suy ra :
Với

thỏa mãn giả thiết thì

Vậy

, đạt khi

12


39. Chứng minh rằng nếu

là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì
.

Có

. Do đó theo Cơsi:

.
Đẳng thức xảy ra

.

40. Cho

Chứng minh rằng :
(1)

Cộng vế với vế suy ra:

(1)
41. Với

thỏa mãn đẳng thức

Chứng minh rằng

.

Biến đổi :

Đặt

thì giả thiết

Và đpcm

.

Theo Bunhiacopxki :

13


Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có:
.
Đẳng thức xảy ra
42. Chứng minh rằng với các số dương

bất kỳ, ta có:

.

Có
Viết 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.
43. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Điều kiện

.

.Ta có :

Đẳng thức đạt được khi và chỉ khi

.

Vậy GTLN bằng 1 .
Mặt khác
Đẳng thức xảy ra

.

Vậy GTNN bằng -1.
44. Chứng minh rằng với mọi

Áp dụng Côsi:

:

.Cộng lại ta có (đpcm)

45. Chứng minh rằng:
Với
Đặt
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si cho số dương ,

số dương

14

và số dương ta có:


46. Chứng minh rằng:

Ta có:
Hồn tồn tương tự ta có:
Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh
47. Cho a>0,b>0.Chứng minh rằng:

với

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si ta có:

48. Cho

.Chứng minh rằng:

Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si cho bốn số dương:
Ta có:

Thu gọn ta có:

49. Chứng minh rằng:

với

Ta có:
Ta lại có:
Vậy

(đpcm)

50. Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất:

Ta có:
15


Lại có:
Cộng 3 BDT ta có:
Vạy
51. Cho

khi
và: a+b=2.Tìm giá trị lớn nhất của:

Ta có b=2-a. Thay vào có:

với

.

Khảo sát F trên [0;2] ta có MaxF=F(2;0)=40.
52. Cho a,b,c>0. Chứng minh:
Ta có các bất đẳng thức:

;

;

.

Vậy có:
Lại có:

nên có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức khi a=b=c

53. Cho a,b>2 và: a+b=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Vì a>2; b>2 nên có a-2>0 và b-2>0.
Theo BDT Cosi ta có:

hay:

hay:

Cộng vế hai bất đẳng thức ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 320 khi a=b=4.

54. Cho bốn số x, y, z , t thay đổi thỏa mãn hệ điều kiện :
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Theo bunhiacơxki ta có :
Ngồi ra, với

.
.

ta có

16


.
Mặt khác,

, và với
thì

55. Cho các số x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện

và

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Đặt

.
.

thì :
có

;

Từ Bảng biến thiên ta có:
56. Các số x, y, z thay đổi nhưng ln ln thỏa mãn điều kiện :
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Đẳng thức
Mặt khác :

Có thể chọn

thì

( và

57. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương

ta có :

ta có :

Tương tự ta cũng có :
17

)


Suy ra :
(đpcm)

Dấu “=” xảy ra

và

và

58. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện

. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Có

Đặt

thì giả thiết
và

.

Theo Bunhiacopxki :

Nếu

thì

Đảo lại , nếu

thì

.

Vậy
59. Cho

. Chứng minh rằng

( đúng theo Côsi).
Đẳng thức xảy ra

đều.

18

60. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:
Ta ln có :
Theo bất đẳng thức Cơ-Si ta có:

nên

Hồn tồn tương tự ta cũng có:

(1)

(2)

(3)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:
(đpcm).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
61. Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:
Ta có:
Theo bất đẳng thức Cơ-Si ta có:

nên

(1)
Hồn tồn tương tự ta cũng có:

(2)

(3)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
62. Tìm giá trị nhỏ nhất của M =

ta có 1 +

với x ; y; z > 0

=

tương tự với các nhân tử trong ngoặc còn lại ta được M
dấu = xảy ra khi x = y = z
63. Cho a,b,c là các số dương và a+b+c = 1.Chứng minh rằng :
Áp dụng BĐT

được:
19


suy ra

Mà ta có
Vậy

Đẳng thức xảy ra

64. Cho x và y là nghiệm của phương trình:

thức:
.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

65. Cho x và y là nghiệm của phương trình:
thức:

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

66. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.

biết x và y thay đổi thoả mãn điều kiện:

67. Cho x,y,z thay đổi thoả điều kiện :

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

20


68. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng :

Đẳng thức xảy ra
69. Cho x, y, z là những số dương . Chứng minh rằng

Có
( dấu = xảy ra

). Do đó :

70. Cho a,b,c,d là 4 số dương thỏa mãn điều kiện
Tìm Max của A=abcd

21


71. Cho x,y,z > 0 và x*y*z=1, n thuộc tập hợp các số nguyên dương.

Tìm Min của biểu thức :

72. CMR nếu tam giác ABC có các cạnh a,b,c và có diện tích bằng 1 thì

Ta có
Vậy nên
Biến đổi
Từ đó

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c
73. Cho x,y dương thỏa mãn :

Tìm giá trị nhỏ nhất của x+y.

Áp dụng bất đẳng thức BunhiaCopxkia ta có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy

74. Cho

. Chứng minh:

22

.


BĐT đã cho tương đương với:
Đặt

với

Ta có:
AD định lí Lagrange đối với hàm số:

trên

, thì tồn tại

. Từ (1) suy ra:
Suy ra:
75. Cho

(đpcm).
CMR:

Đặt
Khi đó bất đẳng thức trở thành

Ta có vì
Tương tự ta có :
Cộng lại với nhau
Cơsi cho 2 số dương

(x)
và
(y)

Từ x,y được
76. Chứng minh với mọi a,b,c dương, ta có:
Sử dụng bdt Cauchy - Schwarz ta có:

Từ hai bdt trên suy ra điều phải chứng minh

23

sao cho:


77. Cho a>0,b>0,c>0 và abc=1 ,chứng minh : P=
Ta có bất đẳng thức với a,b,c >0 :
Vì tích abc=0 và a>0,b>0,c>0 nên ta đặt :

(với x,y,z >0}

Vậy
78. Cho

. Tìm min A =

79. Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P =

Ta có theo cauchy
tương tự
lại có

và
và

và

Cộng theo vế 6 bdt rút gọn dc

vậy
80. Cho tam giác

. Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Ta có:

vì
Vậy Bất đẳng thức đúng
24


81. Tìm min:

với x>0,y>0,z>0 và :

Áp dụng BĐT với 6 số dương :
Đặt

,phương trình tương đương

áp dụng BĐT cosi :
nên
dễ thấy
nên min
82. Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa

.tìm min : A=

ta có
vậy min P =9
83. Tìm min : A=
Ta có:

,biết

P=

mà :

84. Cho x,y,z là 3 số dương và

vậy min P = khi x=y=

. Chứng minh rằng

Ta có
Tương tự

Cộng vế theo vế ta được

25