Mô hình toán thủy văn lưu vực nhỏ - Chương 2 doc

C
C
h
h


ơ
ơ
n
n
g
g


2
2




Các mô hình ngẫu nhiên trong Thuỷ Văn

2.1 Lời mở đầu 41
2.2 Vai trò của các mô hình ngẫu nhiên trong mô hình hoá lu vực 43
2.3 Các đặc trng thống kê của chuỗi thuỷ văn thời gian 44
2.4 Các mô hình ngẫu nhiên 59
2.5 Các mô hình bộ nhớ ngắn 60
2.6 Các mô hình bộ nhớ dài 74

2.7 So sánh các mô hình bộ nhớ ngắn và bộ nhớ dài 82
2.8 Các quá trình hình thành số liệu hàng ngày 83
2.9 Các quá trình phân rã 89
2.10 Các mô hình hỗn hợp 92
2.11 Những vấn đề thờng gặp với các mô hình thủy văn ngẫu nhiên.97
2.12 Lựa chọn mô hình 100
2.13 Ước lợng các tham số 102
2.14 Tóm tắt 124
Tài liệu tham khảo 125

39

40

Các mô hình ngẫu nhiên trong Thuỷ Văn
Tác giả:
D. G. DeCoursey, Agricultural Research Service, USDA, Fort
Collins, CO 80522;
J. C. Shaake, Hydrological Services Division, National Weather
Service, Silver Springs, MD 20 910;
E. H. Seely, USDA Sedimentation Laboratory, Oxford, MS 38655


Ngẫu nhiên: theo tiếng Hylạp là kỹ năng bắn mục tiêu. Nếu một ngời
đang bắn vào bia, nó giống nh là mật độ bắn vào gần tâm là lớn nhất và mật
độ bắn ra ngoài rìa là nhỏ nhất. Vị trí điểm bắn là ngẫu nhiên nhng dao động
quanh vị trí tâm bia. Vì vậy từ ngẫu nhiên đã chỉ tới sự thay đổi tự nhiên.
Trong các mô hình lu vực sông nó biểu diễn không gian và thời gian của các
quá trình thuỷ văn nh dòng chảy và giáng thủy.

2.1 Lời mở đầu
Các chơng còn lại của cuốn tài liệu này giới thiệu các phơng pháp giải
gần đúng các bài toán sử dụng trong xây dựng mô hình hệ thống thuỷ văn và
các bộ phận hợp thành. Nói chung, chúng mô tả các quá trình vật lý liên quan
tới sự chuyển động của nớc và làm ô nhiễm trên và xuyên qua mặt đất.
Thờng thì các bài toán thời gian mà ta quan tâm không yêu cầu chi tiết các
quá trình vật lý mà chỉ yêu cầu biểu diễn các quá trình này là một chuỗi thời
gian. Trong mô hình ngẫu nhiên có thể sử dụng các công thức đơn giản. Các
chuỗi thời gian thuỷ văn: giáng thủy, dòng chảy, nhiệt độ và hàng hoạt các yếu
tố khác, có thể đợc xem là các ví dụ của các quá trình ngẫu nhiên.

41
Mô hình ngẫu nhiên có vị trí quan trọng với các đặc trng thống kê của
các quá trình thuỷ văn. Để hiểu đợc toàn bộ chơng này cần nắm chắc kiến
thức về xác suất và thống kê. Tuy nhiên các trích dẫn và các ví dụ trong suốt
chơng này đã đa ra cho các độc giả những kiến thức chung, tuy có hạn chế
hơn, về các quá trình ngẫu nhiên trong thuỷ văn. Ba giáo trình rất hữu ích:
Haan (1977), Yeievich (1972a và b): mô tả lợi ích của quá trình ngẫu nhiên
trong mô hình thuỷ văn. Box & Jenskins (1976) & Grani, Maime & Walles
(1977) và các trích dẫn từ nhiều tài liệu khác cũng đợc đa vào trong chơng
này. Laurence & Kathegada (1977) cũng lấy trích dẫn từ các tài liệu đó trong
khi áp dụng với dòng chảy trong sông nhng đa ra một quan điểm phân tích
hoàn hảo hơn. Matalas (1975) mô tả vấn đề này nh một lĩnh vực của thuỷ văn
ngẫu nhiên. Các phơng pháp ứng dụng qúa trình ngẫu nhiên vào tất cả các
vùng tài nguyên nớc đợc trình bày trong các tài liệu tham khảo mở rộng của
Shen (1976). Vì chơng này tập trung vào các khái niệm cơ bản của các qúa
trình ngẫu nhiên nên không tập trung vào các mô hình và các quá trình cụ thể.
Các chi tiết của các mô hình đó không đợc mô tả. Nhiều mô hình đợc trình
bày trong các kỳ yếu hội thảo về Thống kê trong thuỷ văn đợc tài trợ bởi cơ
quan nghiên cứu nông nghiệp - USDA.

Nội dung chơng này có thể đợc chia thành 3 phần chính:
* Phần thứ nhất bàn về đặc trng thống kê của chuỗi thời gian trong
thuỷ văn. Trong phần này chúng ta có các đề mục là: chuỗi thời gian liên tục và
chuỗi thời gian rời rạc, các đặc trng phân bố một chiều và đặc trng phân bố
hai chiều, các đặc trng phân bố chung, các đặc trng phân bố dài hạn. Ví dụ
nh hiệu ứng Hurst, hàm phơng sai và các dạng khác nhau của tính bất đối
xứng.
* Phần thứ hai của chơng này nói về nhiều loại mô hình ngẫu nhiên
khác nhau. Các mô hình này có thể thay đổi. Các mô hình đợc bàn đến bao
gồm: các quá trình nh: quá trình trung bình trợt, quá trình tự hồi quy), kết
hợp quá trình tự hồi quy và trung bình trợt và quá trình trung bình trợt tích
phân tự hồi quy. Các mô hình "bộ nhớ dài" nh nhiễu phân đoạn nhanh Gauxơ,
lọc nhiễu phân đoạn, đờng gấp khúc và vài dạng của quá trình tự hồi quy
trung bình trợt cũng đợc trình bày ở đây. Tiếp theo là so sánh một vài mô

42
hình "bộ nhớ ngắn và dài", và tả sự hình thành chuỗi số liệu ngày bằng các mô
hình nh là quá trình nhiễu ngắn. Cuối cùng quá trình phân rã và các mô hình
ma theo không gian và thời gian cũng đợc đề cập đến.
*Phần cuối cùng của chơng quan tâm tới sự lựa chọn mô hình và sự ớc
lợng các tham số. Các đề mục chính gồm có các tập số liệu cha đầy đủ, các
đặc trng của tham số ớc lợng nh đặc trng độ lệch, phơng sai nhỏ nhất,
tính ổn định. sự bàn luận về phơng pháp số và một số phơng pháp ớc lợng
các tham số khác nhau. Các phơng pháp ớc lợng đợc mô tả bao gồm:
phơng pháp môment, phơng pháp bình phơng tối thiểu, phơng pháp thích
hợp tối đa và các phơng pháp thống kê Bayơ.
2.2 Vai trò của các mô hình ngẫu nhiên trong mô hình hoá
lu vực
Thuật ngữ mô hình hoá lu vực có ý nghĩa rất khái quát. ở đây nó
đợc sử dụng để chỉ sự mô phỏng theo kết quả phân tích của các quá trình xảy

ra trong các lu vực tự nhiên. Các mô hình đợc phát triển từ lý do khác nhau
vì thế có nhiều dạng khác nhau. Tuy nhiên, thờng thiết kế để thích hợp với
một trong hai mục đích chính. Các quá trình ngẫu nhiên có vai trò khác nhau
trong từng mục đích riêng
Mục đích thứ nhất của việc xây dựng mô hình lu vực sông là đạt đợc
sự hiểu biết tốt hơn về hiện tợng thuỷ văn xảy ra trong một lu vực. Và sự
thay đổi trong lòng sông có thể tác động tới các hiện tợng nh
thế nào? Các
mô hình xây dựng với mục đích này thông thờng dựa trên cơ sở vật lý, và các
mô hình không ngẫu nhiên (mô hình tất định). Hiện tợng thuỷ văn đợc mô
phỏng thờng đợc xác định bởi các định luật về: tính liên tục, năng lợng và
động lợng. Các mô hình đó đợc sử dụng chủ yếu trong việc phân tích từng
hiện tợng riêng biệt, mặc dù sự mô tả liên tục các mô hình đã đợc phát triển.
Nh vậy các mô hình này rất hiếm khi đợc sử dụng để lập ra số liệu tổng hợp.
Các quá trình ngẫu nhiên có thể đợc sử dụng làm tăng sự thay đổi theo không
gian và thời gian cho các quá trình khác nhau, ví dụ nh quá trình thấm, ma,
nhiệt, bốc hơi và bức xạ mặt trời. Ngoại trừ một số hiện tợng trong quá trình

43
ma và quá trình thấm, áp dụng các quá trình ngẫu nhiên này không phù hợp
và không đợc bàn đến trong chơng này.
Một mục đích khác của việc xây dựng mô hình lu vực sông là sự lập ra
chuỗi số liệu thuỷ văn để thuận tiện cho thiết kế hoặc dự báo. Các mô hình
đợc xây dựng với mục đích này thay đổi thành nhiều dạng xác định. Sử dụng
nhiều thông tin về các quá trình vật lý có liên quan tới các hộp đen. ở đây các
quá trình này không đợc quan tâm. Hầu hết các mô hình này là một loại
tham số, trong đó một số yếu tố của hệ thống thuỷ văn đợc kết hợp với nhau
và cấu trúc bên trong của mô hình đợc trình bày ít hơn. Giá trị đầu vào ngẫu
nhiên cho các mô hình đó tuỳ thuộc vào cấu trúc mô hình.
Các mô hình tơng đối đơn giản nh: tính toán dòng chảy hàng năm từ

lợng ma năm yêu cầu đầu vào ngẫu nhiên đơn giản. Trong ví dụ đó, một sơ
đồ cho các sự kiện hình thành của lợng ma hàng năm sẽ cung cấp đầu vào.
Khi các mô hình trở nên phức tạp hơn, số liệu đầu vào ngẫu nhiên cũng phức
tạp hơn. Ví dụ nh thừa nhận một mô hình lu vực sông đã đợc thiết kế để
cung cấp toàn bộ biểu đồ thuỷ văn của dòng chảy có chu kỳ nhiều năm. Một mô
hình nh vậy có thể sử dụng lợng ma giờ, tốc độ gió, độ ẩm tơng đối, các hệ
số lực cản của dòng chảy, có ít tham số trong các tham số đó có thể đợc xét độc
lập. Khái quát thống kê cho mô hình này rất cần cho một mô hình mô phỏng
phức tạp nhiều biến.
Một số mô hình lu vực sông đợc thiết kế để liên tục cung cấp số liệu
thuỷ văn tổng hợp, có thể tất cả là ngẫu nhiên. Trong các mô hình này một số
ít đợc thừa nhận đối với cấu trúc bên trong của mô hình, hoàn toàn dựa vào
các tham số thống kê của số liệu lịch sử đầy đủ. Ví dụ nh dòng chảy hàng năm
của một trạm đo dòng chảy đợc tổng hợp bởi quá trình ngẫu nhiên. Tất cả dựa
vào giá trị kỳ vọng, độ lệch chuẩn và sự tơng quan của chuỗi số liệu từ trạm
đo.
2.3 Các đặc trng thống kê của chuỗi thuỷ văn thời gian
Mục đích của mô hình ngẫu nhiên là để đặc trng cho tính thống kê của
một hay nhiều chuỗi thời gian. Thực vậy, các loại mô hình ngẫu nhiên khác
nhau th
ờng đợc nghiên cứu trong các số hạng của các chuỗi thời gian lập

44
đợc. Ví dụ về các đặc trng này bao gồm: xu hớng, sự phụ thuộc (thay đổi
theo mùa), kỳ vọng, phơng sai, độ lệch chuỗi tơng quan, tự tơng quan,
tơng quan quan hệ và các đặc trng dài hạn, nh thay đổi phạm vi và hàm
phơng sai. Vì các mô hình thống kê khác nhau đợc trình bày trong các số
hạng của các đặc trng này đối với riêng mô hình ngẫu nhiên và các trị số của
các tham số trong mô hình có thể đợc lấy từ các thống kê của các chuỗi thời
gian đã quan trắc. Vì các đặc trng đề cập ở trên đợc trình bày kỹ hơn trong

các trích dẫn, nó không đợc bàn đến ở đây. Tuy nhiên, trớc khi xem xét các
loại mô hình khác nhau đợc sử dụng trong thuỷ văn, một số sự phân loại các
đặc trng của các mô hình ngẫu nhiên sẽ đợc bàn đến bởi vì nó có tầm quan
trọng trong cấu trúc tập dữ liệu trớc khi lựa chọn mô hình hay phù hợp mô
hình.
2.3.1 Chuỗi thời gian sự kiện và rời rạc
Hai loại chuỗi thời gian, hoặc sự kiện hoặc rời rạc thờng xảy ra trong
thuỷ văn. Chuỗi liên tục xảy ra khi một trạng thái của một hệ thống có thể là
hữu hạn. Chuỗi liên tục thờng xảy ra trong mô hình giáng thuỷ khi mỗi ngày
đợc coi là ẩm ớt hoặc khô ráo. Một loạt các ngày ẩm (khô) liên tục tạo thành
một chuỗi thời gian liên tục, chuỗi rời rạc xảy ra khi sự thay đổi tuỳ ý trong
chuỗi thời gian đợc tiếp diễn, nhng với mục đích tính toán và phân tích, thời
gian đợc xét riêng biệt. Ví dụ dòng chảy là liên tục nhng vì chuỗi số liệu đợc
lấy hàng giờ, hàng ngày hay hàng tháng, hình thành một chuỗi rời rạc.
2.3.2 Các đặc trng phân bố bậc nhất
Khi nghiên cứu các sự kiện thủy văn, có thể hiểu thấu đáo đợc một
trong số các hiện tợng đã quan trắc ở một trạm đo lu lợng dòng chảy. Tuy
nhiên, để hiểu đợc học thuyết của các quá trình ngẫu nhiên cần thừa nhận
rằng đã hiểu đ
ợc các hiện tợng khác nhng thực tế thì không phải vậy. Sự
kiện quan trắc cộng với các sự kiện khác, các sự thực hiện giả thuyết hình
thành toàn bộ số liệu hay các hàm đặc trng mà định nghĩa là quá trình ngẫu
nhiên để hình dung đợc nhiều hàm đặc trng từ một tổng thể sẽ đa ra sự
kiện dòng chảy ghi đợc rất dài và chia nó thành nhiều phần, mỗi phần có số

45
liệu của 10 năm. Hình 2.1 minh họa cho một số các hàm đặc trng của một
quá trình ngẫu nhiên cho dòng chảy hàng năm.

Hình 2.1. Các thể hiện đơn giản của quá trình ngẫu nhiên rời rạc
Tốc độ dòng chảy trung bình hàng năm (CMS)
Tần số của của các
giá trị quan trắc
Thời gian theo năm

Nếu ta muốn biết sự phân loại của các sự kiện xảy ra ở một thời điểm đã
cho trong chuỗi các sự kiện này thì nó có thể tìm đợc bằng cách đánh dấu trên
đồ thị số liệu quan trắc vào thời gian đó (xem hình 2.1).
Cho dòng chảy trong một khoảng thời gian biểu diễn trong bảng là q
sau đó lấy giới hạn khi số lợng các chuỗi tăng vô hạn và khi qặ0 thì toán đồ
này thay đổi trong giới hạn tiến đến một hàm liên tục, đợc xem nh là hàm
mật độ xác suất một chiều. Hàm này thờng biểu diễn bằng phơng trình:


0q
m
q
r
lim)t,q(f
1



=
(2.1)

trong đó r là giá trị m vào thời điểm t, có độ lớn trong khoảng q=r=r+q
(Freeman, 1986). Hàm mật độ xác suất một chiều này có đặc trng là:

46
(2.2)

+

= 1
1
dqtqf ),(

Mặc dù các đặc trng đặc biệt của f
1
(q,t) tuỳ thuộc vào số liệu và trờng
ứng dụng, hầu hết các số liệu thuỷ văn có các đặc trng thông thờng. Trong
các đặc trng này là các mô men của f
1
(q,t) mà chúng có thể thay đổi hoặc
không thay đổi theo thời gian t. Số liệu thuỷ văn thờng xuyên lấy theo mùa và
có các xu hớng khác mà tạo ra giá trị kỳ vọng và phơng sai có thể thay đổi
theo thời gian.
Nếu giá trị kỳ vọng (mô men bậc nhất) của các f
1
(q,t) không thay đổi
theo thời gian, quá trình đợc gọi là ổn định ở giá trị kỳ vọng hay sự ổn định
bậc nhất. Nếu tự tơng quan của quá trình không phụ thuộc vào thời gian
trong chuỗi mà nó đợc tính toán, mà chỉ phụ thuộc vào độ lớn thì chuỗi này
đợc gọi là ổn định ở cả giá trị phơng sai và giá trị tơng quan. Nếu chuỗi là
ổn định cả ở kỳ vọng và tơng quan nó đợc coi là bậc hai hay ổn định yếu. Nếu
chuỗi là ổn định ở các moment bậc cao hơn, và cả với kỳ vọng và tơng quan thì
chuỗi là ổn định bậc cao, đôi khi đợc gọi là ổn định mạnh hay ổn định theo
nghĩa nghiêm ngặt.

Nếu giá trị kỳ vọng thay đổi theo thời gian, nghĩa là theo một hớng,
quá trình có thể đợc biểu diễn bằng tổng của 2 thành phần:

ttt
xq +à= (2.3)

trong đó
à
t
là giá trị kỳ vọng (à
t
thay đổi theo thời gian) và x
t
là đại lợng ngẫu nhiên bất
kỳ có kỳ vọng bằng 0.
Giá trị kỳ vọng
à
t
của quá trình này thờng đợc nói đến nh là một đại lợng
không ngẫu nhiên. Các đại lợng không ngẫu nhiên đó có thể đợc hiểu bằng nhiều cách.
Một cách biểu diễn bằng đa thức:


=
+à=à
n
1i
i
i0t
t

(2.4)

47
trong đó : à
0
là hằng số (giá trị kỳ vọng) và
i
là các hệ số thời gian.
Sự dao động theo mùa của giá trị kỳ vọng, phơng sai và mô men bậc cao hơn có
thể đợc biểu diễn dới dạng tơng tự. Nếu số liệu đợc quan trắc dới dạng số liệu theo
tháng thì xu thế hay đại lợng không ngẫu nhiên rất có thể có một chu kỳ hàng năm đợc
tạo ra bởi sự thay đổi theo mùa. Hầu hết các số liệu quan trắc thuỷ văn nh dòng chảy,
nhiệt độ chỉ ra các xu hớng này. Các đa thức, các chuỗi biến đổi Fourier hay các hàm tuần
hoàn khác có thể đợc sử dụng để mô tả các mô hình này và khi loại bỏ chúng từ số liệu
quan trắc thì thành phần còn lại sẽ là ổn định trong giá trị kỳ vọng
Một cách khác để loại bỏ ảnh hởng theo mùa là chuẩn hóa chuỗi ban đầu qt bằng
cách thành lập chuỗi mới Xt . Ví dụ trong trờng hợp số liệu hàng tháng:


12, ,1, =

= i
q
x
i
it
t

à
(2.5)

trong đó
àt và i là các giá trị trung bình tháng và độ lệch chuẩn của qt và i là chỉ
số các tháng.
Khi so sánh với việc sử dụng một chuỗi hay chuỗi Fourier thì hạn chế của phơng
pháp này là cần nhiêu tham số hơn. Ví dụ tham số j cho mỗi tháng với j là chỉ số mô men
đợc xét đến.
2.3.3 Các đặc trng phân bố bậc hai
Các quá trình thuỷ văn tự nhiên luôn có tơng quan theo dãy với nhau.
Một ví dụ đặc biệt là dòng chảy trong sông ngòi trải qua thời kỳ dòng chảy kiệt
khi nớc ngầm chảy vào sông là chủ yếu. Sự tơng quan theo dãy là tơng
quan của một giá trị ở thời điểm t
1
với các giá trị của thời điểm t
2
, mối tơng
quan này đợc biểu diễn chuẩn trong hàm mật độ xác suất bậc hai


0
0
lim),;,(
2
1
21
22112

=
q
q
m
qq
r
tqtqf
(2.6)

48
trong đó r là tỷ lệ của m chuỗi có giá trị q
1
<m<q
1
+q
1
tại thời điểm t
1
và m có
giá trị trong khoảng q
2
<m<q
2
+q
2
tại thời điểm t
2
(Freeman, 1265). Chú ý
rằng, q
1

và q
2
là các giá trị của q tại các thời điểm khác nhau chứ không phải là
các hàm đặc trng khác nhau. Tích phân hàm mật độ hai chiều, một trong hai
chu kỳ thời gian dẫn đến hàm mật độ một chiều vào thời điểm khác


+

= )t,q(fdq)t,q;t,q(f
111222112
(2.7)

Sự phụ thuộc theo dãy giữa hai giá trị của cùng quá trình giống nhau q
t

ở thời điểm t
1
và t
2
luôn đợc đo trong cả hai thành phần của tự tơng quan:

{
}

+

+

=

=
21221122211
221121
),;,())((
))((),(
dqdqtqtqftqttqt
tqttqtEtt
àà
àà
(2.8)

trong đó E
{
bao hàm giá trị cần tìm hay hệ số tơng quan:
}

21
21
21
t.t
)t,t(
)t,t(


=
(2.9)

Các đặc trng khác của hàm mật độ 2 chiều f
2
(q

1
, t
1
, q
2
, t
2
) đã không đợc
phát triển để ứng dụng thực nghiệm trong thuỷ văn, chỉ có sự tự biến đổi và sự
tự tơng quan là đợc sử dụng.
Nh đã đề cập đến trớc đây, nếu một sự phụ thuộc theo dãy giữa các
giá trị tại 2 thời điểm t
1
và t
2
tơng ứng mà chỉ phụ thuộc vào hiệu t
1
-t
2
, nghĩa
độ trễ k, quá trình đợc gọi là ổn định (dừng) trong hiệp phơng sai.
Cả sự ổn định (dừng) trong giá trị kỳ vọng và hiệp phơng sai đều đợc
gọi là ổn định yếu hay ổn định cấp hai. Trong thực tế: tât cả các học thuyết hữu
ích của các quá trình ngẫu nhiên thừa nhận là ổn định cấp hai.


49
2.3.4 Các đặc trng phân bố chung
Hàm mật độ chung đợc mô tả trong phần này có liên quan tới quan hệ
xác suất giữa hai hay nhiều quá trình ngẫu nhiên độc lập. Không nên lầm lẫn

giữa hàm mật độ xác suất chung của các quá trình ngẫu nhiên là không độc
lập, ví dụ nh ở các khu vực lân cận. Hàm mật độ chung bậc 1 cho 2 quá trình
q
t
và p
t
đợc xác định bằng:

0p
0q
m
pq
r
lim)t,p;t,q(f
2111




=
(2.10)

trong đó r là tỷ lệ của m cặp tại thời điểm t
1
có giá trị trong khoảng q<r<q+q
và tại thời điểm t
2
có giá trị trong khoảng p < r < p+p. Chú ý t
1
và t

2
có thể
nh nhau.
Sự phụ thuộc theo dãy của các giá trị của hai quá trình tại các thời điểm
t
1
và t
2
luôn tính đợc trong các số hạng của hiệp phơng sai quan hệ (q,t
1
,p,t
2
)
hay tơng quan quan hệ f(q,t
1
,p,t
2
). Nếu sự phụ thuộc theo dãy giữa p và q chỉ
phụ thuộc vào hiệu (t
1
-t
2
) và không phụ thuộc vào các thời điểm t
1
, t
2
tơng
ứng, quá trình là ổn định hiệp biến.
Nếu các quá trình ngẫu nhiên không độc lập thì thông thờng tơng
quan quan hệ giữa hai quá trình phải đợc xác định trong các số hạng của

hớng của độ trễ (t
1
-t
2
) hoặc (t
2
-t
1
).

()(
1221
t,p;t,qt,p;t,q
)


(2.11)

Nói cách khác: các tơng quan quan hệ giữa lợng ma trong ngày t
1
và
dòng chảy vào ngày t
2
(biểu diễn sau một ngày) là không giống nh tơng quan
quan hệ giữa lợng ma ngày t
2
với dòng chảy ngày t
1
(trớc 1 ngày). Đây là
thực tế, thậm chí nếu quá trình là ổn định.

50
2.3.5 Các đặc trng dài hạn
Quan tâm đến những nhu cầu nớc lâu dài thông qua hồ chứa, khi mà
nhu cầu xấp xỉ bằng với dòng chảy trung bình hàng năm, và quan tâm đến các
thời kỳ dòng chảy kiệt kéo dài, cả hai đòi hỏi chúng ta phải khảo sát đặc trng
thống kê dài hạn của chuỗi thuỷ văn.
Khoảng độ lệch tích luỹ khỏi giá trị kỳ vọng (hiệu ứng Hurst):
Dung tích hồ chứa nớc cần đợc cung cấp với tỷ lệ dòng chảy đến trung bình
trong một khoảng thời gian có liên quan tới độ lệch tích luỹ của dòng chảy khỏi
giá trị trung bình hạn dài của nó. Nếu một chuỗi số liệu dòng chảy sông ngòi
biểu diễn bằng độ lệch của nó khỏi giá trị trung bình, các giá trị này đợc tích
luỹ và đợc đánh dấu trên đồ thị, chuỗi sẽ chỉ ra độ lệch tích luỹ cực đại và cực
tiểu. Khoảng của độ lệch tích luỹ này, R, tuỳ thuộc vào độ dài n của chu kỳ
đợc xác định bằng


(2.12)
minQmaxQR =
ở đây:







=

=

n
0t
t
qqMaxmaxQ (2.13)






=

=
n
0t
t
qqMinminQ (2.14)

Nếu là quá trình Gauss và không tơng quan theo dãy, giá trị cần tìm
phạm vi tỷ lệ,

/R
, đợc chia cho độ lệch chuẩn của chuỗi là:

{}
n25.1n
2
/RE =

=

(2.15)

với các giá trị n lớn, (Siddiqui, 1976). Ngoài ra có thể xem giải thích ở phơng
trình (2.18) sau đây.
Thực nghiệm với các giá trị mẫu thống kê này từ số liệu quan trắc dài
của số liệu dòng chảy, các lớp vành đai thực vật và độ dày các lớp bùn trong các

51
lòng hồ lâu năm chỉ ra rằng R/ n
H
với 0.5 H 1.0 , H đợc gọi là hệ số
Hurst sau khi Hurst (1950) đã làm tất cả để chứng minh sự tồn tại của nó.
Trong phân tích của ông và nhiều ngời khác đã tìm ra giá trị của H = 0.7
(Loyd - 1976). Độ lệch của H với 0.5 sẽ là giá trị của nó cho toàn bộ quá trình
Gaus đã dẫn tới sự tranh luận mở rộng giữa các nhà thuỷ văn học có liên quan
tới các đặc trng dài hạn của các mô hình ngẫu nhiên khác
Mối quan hệ giữa biên độ và chu kỳ của số liệu quan trắc với H = 0.7
không thể đợc qui cho bất kỳ một quá trình vật lý đặc biệt nào. Nó có thể đợc
tạo ra bởi:
a) Loại bộ nhớ đặc biệt lớn, không thích hợp với hầu hết các hệ thống
thuỷ văn
b) Giá trị kỳ vọng không ổn định rất có khả năng xảy ra
c) Các kết quả của các sự kết hợp khác nhau của các hệ thống lu trữ
đặc biệt, có thể xảy ra trong hệ thống thuỷ văn
d) Các quá trình khác: ví dụ nh sự phân bố không theo qui luật phân bố
Gaus hay phụ thuộc của thời gian.
Bất luận nguyên nhân dẫn đến những tranh cãi trên, rất nhiều sơ đồ
toán học đã đợc đề xuất để hình thành số liệu có những tính chất này. Nhiễu
phân đoạn Brown, FB
n

đợc Mandelbrot và Mallis (1968) thảo luận và đợc
đa ra trong chơng này cùng với một số sơ đồ gần đúng thích hợp cho các
thuật toán máy tính. FB
n
giả thiết một dạng của bộ nhớ vô hạn. Klemess
(1974) và Potters (1976) cũng mô tả sự bất ổn định của giá trị trung bình, giải
thích đợc hiện tợng Hurst và nó có thể đợc đa vào sơ đồ hình thành nh
thế nào. Boss và Salas ( 1978) đã đa ra một mô hình hỗn hợp cho cân bằng
luân phiên. Mà những tiếp cận của Klemes và Potters là một trờng hợp đặc
biệt. Siddiqui (1976) đã chỉ rõ các đặc trng thống kê khác, ngoài ra H cần
đợc xét đến trớc khi bác bỏ các mô hình Gauss và thừa nhận các sơ đồ đã sử
dụng để tái hiện lại hiện tợng Hurst.
Nguyên nhân thực của hiện tợng Hurst có thể sẽ không bao giờ đợc
đa ra tuy nhiên nó tồn tại và trong nhiều trờng hợp có thể sẽ đợc xem xét

52
trong sự lập ra các đồ hình tổng hợp. Một số phơng pháp đợc thảo luận trong
chơng này hay đã có trong tài liệu có khả năng lập ra các đồ hình đó.
Hàm phơng sai: Nghiên cứu lu vực sông là quan tâm tới sự thay đổi
của tổng quan liên tục, ví dụ sự tích tụ dòng chảy trong 30 ngày. Đa về giá trị
trung bình, các số liệu thống kê này đợc gọi là hàm phơng sai,
, là
phơng sai của tổng N lần quan trắc liên tục của quá trình ngẫu nhiên dừng,
kỳ vọng bằng 0.
)N(


+
+=
=

Nt
1ti
i
xVar)N(
(2.16)

Nếu chuỗi các kỳ quan trắc là Gaus và không tơng quan theo dãy, hàm
phơng sai là:

2
N)N( =
(2.17)

trong đó
2 là phơng sai của N kỳ quan trắc. Biểu diễn phơng trình
(2.17) dới dạng khác:

N
)N(
=


(2.18)

So sánh phơng trình (2.15) và (2.18) ta có thể thấy với Gaus quá trình
không tơng quan theo dãy là căn bậc hai của hàm phơng sai chia cho độ lệch
chuẩn, thì tỷ lệ với
phạm vi tỷ lệ chia cho độ lệch chuẩn
{
/RE

}
2.3.6 Tính bất đối xứng
Mỗi mô hình đợc bàn đến trong các phần sau áp dụng trong các quá
trình có kỳ vọng bằng không, tơng tự với các độ lệch của một quá trình khỏi
kỳ vọng. Đặc biệt hơn chỉ áp dụng các quá trình Gaus, trong đó tất cả các sự
thay đổi tuỳ ý đợc phân bố chuẩn. Các mô men bậc ba và cao hơn không đợc

53
giải thích, vì hầu hết số hàm thuỷ văn không phải là dạng Gaus nhng là bất
đối xứng. Các bài toán về tính bất đối xứng cần đợc quan tâm.
Số liệu thuỷ văn bất đối xứng có thể có từ hai nguồn. Một là sự phân bố
của các sự kiện có số lợng cực lớn có tỷ lệ cao hay thấp so với các sự kiện khác
trong tập hợp các sự kiện. Sự phân bố của tổng lợng ma hàng ngày thực tế là
bất đối xứng. Nó có đoạn cuối dài về phía phải, là hớng của các giá trị lợng
ma lớn. Một nguồn khác của tính bất đối xứng là sự xảy ra của một số lợng
cực lớn các sự kiện có cùng độ lớn. Trong một số trờng hợp một số lớn các sự
kiện có cùng độ lớn có thể cho biết đặc trng chứa hai tập hợp mà có thể sẽ
đợc đề cập tới đồng thời.
Sự phân bố bất đối xứng của các sự kiện: Có hai cách gần đúng cơ
bản để giải bài toán bất đối xứng. Biến đổi số liệu để đa ra các trạng thái
chuẩn sau đó đa vào số liệu đã biến đổi. Xây dựng mô hình với số liệu biến
đổi. Giải thích tính bất đối xứng theo một hớng lệch tuỳ ý. Ta có thể nhận
thấy gần đúng thứ hai dờng nh hợp lý hơn, nhng gần đúng thứ nhất thiết
thực hơn.
Sự biến đổi số liệu đợc thực hiện để tạo ra một quá trình mới:

y = g(x) (2.19)

Để y có phân bố chuẩn, Widely đã sử dụng sự biến đổi trong thuỷ văn
bao gồm sự biến đổi loga.

y = ln (x + a) (2.20)

và qui luật biến đổi Box - Cox (Box và Cox,1964)

b
)ax(y += (2.21)


54
Các hệ số a và b đợc chọn ra để tạo ra tập số liệu theo phân bố chuẩn.
Một mô hình ngẫu nhiên đợc chọn để biểu diễn y. Các tham số của mô hình
ngẫu nhiên y đợc ớc lợng từ số liệu lịch sử đã biến đổi. Đồ hình tổng hợp
của x đợc tạo thành từ các giá trị đã lập đợc của y bằng việc áp dụng qui luật
biến đổi ngợc lại.
Sự tranh luận chống lại với sự biến đổi trớc khi ớc lợng các tham số
của mô hình là sự khác nhau đã quan trắc đợc giữa các moment đợc lập ra
và các moment lịch sử. Sự khác nhau này xảy ra trong khoảng không đợc biến
đổi. Nói cách khác các giá trị đợc lập ra không xảy ra điều này vì các quan hệ
phân tích giữa các phân bố moments sẵn có, không áp dụng cho các mô men
qua sự biến đổi.
Các momen tính từ các số liệu quan trắc. Do đó đặc biệt các mô men để
sử dụng trong vùng đợc biến đổi. Để giữ chính xác các momen mẫu ban đầu,
chỉ có thể nhận đợc với sự giúp đỡ của các quan hệ phân tích hàng và các
momen mẫu ban đầu. Mà từ các momen mẫu của số liệu đã đợc biến đổi, điều
này đợc biểu diễn cho khối lợng vài độ lệch chuẩn trong trờng hợp biến đổi
loga của Matalas (1967) và Turing (1967).
Sự cân bằng các biến và các momen là rất quan trọng. Thứ nhất, ta đã
biết rằng trong ớc lợng các tham số với số liệu bất đối xứng, các momen
không hiệu quả thống kê. Đặc biệt hệ số bất đối xứng cho các mẫu nhỏ thì vừa

là chênh lệch lớn và rất bất ổn định.
Các tài liệu cho rằng hệ số bất đối xứng, không có ý nghĩa. Do đó trái với
việc giữ lại độ lệch là quan trọng thì việc giữ lại giá trị thực của hệ số lịch sử
không quan trọng. Vì vậy, để tránh tạo ra các tham số của sự biến đổi quá
nhạy đối với hệ số bất đối xứng lịch sử các cách vẽ bản đồ có thể đợc sử dụng
để chuẩn hóa số liệu, nghĩa là sự lựa chọn của a và b trong phép biến đổi Box -
Cox
Thứ hai, trong trờng hợp đặc biệt của sự hình thành dòng chảy sông
ngòi, các lu lợng thấp có khả năng tơng quan hơn các lu lợng cao trong
cùng thời gian trong năm. Các phép biến đổi phi tuyến có khả năng giữ lại các

55
hiện tợng này, Trong khi nếu số liệu không đợc biến đổi thì không thể giữ lại
các hiện tợng mà không thay đổi hệ số tơng quan.
Thứ ba, trong các bài toán có nhiều mô men bậc ba liên quan tới nhiều
biến số. Các biến số này không thể đợc giữ lại mà không đợc biến đổi
Thứ t là tính bất đối xứng cao, các sự lệch hớng tuỳ ý đôi khi cần lập
ra số liệu bất đối xứng. Nghĩa là các hệ số độ lệch lớn hơn 20. Cuối cùng sự lập
ra các sự lệch hớng tuỳ ý không đủ khả năng tính toán.
Số lợng lớn các giá trị bằng 0. Số liệu thuỷ văn khá thờng xuyên, ví dụ
nh lợng nớc hàng ngày (tổng lợng ma và cờng độ ma), bốc hơi, dòng từ
các dòng không thờng xuyên và tải trọng trầm tích có các chu kỳ mở rộng của
các giá trị gốc. Trừ khi số liệu các giá trị là nhỏ, với một sự cố gắng có thể vận
dụng các giá trị đó. Ví dụ: Phân tích lợng ma ngày là một trờng hợp phải
đợc xét. Gần đúng thông dụng nhất đợc sử dụng trong trờng hợp này là sử
dụng chuỗi Maskov. Gabrel và Newman (1962) đã đa ra cách sử dụng của hai
chuỗi trạng thái Markov, xác suất chuyển đổi từ các điều kiện ẩm sang khô
hoặc từ các điều kiện khô hạn sang ẩm ớt.

Trạng thái tơng lai

0 1
0 1-

Trạng thái
hiện tại

1
1-


(2.22)

trong đó: 1 là trạng thái ẩm ớt. 0 là trạng thái khô. là xác suất của một
ngày ẩm tiếp theo sau một ngày khô.
là xác suất một ngày khô tiếp theo một
ngày ẩm.
Công thức này của mô hình đã đợc sử dụng thành công bởi một số nhà
nghiên cứu Deloursey và Seely (1964), Caskey (1963), Weiss (1964), Todosovie
và Woo (1974) và Nicks (1974). Các nhà nghiên cứu khác nh Cooke (1953) và
Torgensen (1949) đã không hoàn toàn đồng tình với công thức đó. Haen và cộng
sự (1976) đã sử dụng ma trận biến đổi cỡ (7x7) để biểu diễn xác suất của ma

56
vào ngày j +1 đã cho biết ma vào ngày j là một mức bất kỳ trong số các mức
khác nhau 0, 0-0.02, 0.03-0.06, 0.07-0.14, 0.15-0.30, 0.31-0.62 và 0.63
Phơng pháp thích hợp tối đa đã đợc sử dụng để tìm ra xác suất biến
đổi. Tách các ma trận đã đợc định nghĩa theo từng tháng và dùng cho 7 trạm
đo ma khác nhau. Do đó cần có 84 ma trận chuyển đổi cỡ (7x7), các kết quả
phù hợp với dự báo tơng đối và sai số thu đợc cỡ 2.5% trên cơ sở một trăm.
Sử dụng các ma trận chuyển đổi, vận dụng các thời kỳ khô hạn của ma

xuất hiện cho phù hợp với việc đánh giá trạm đơn nhng sự mở rộng với trờng
hợp nhiều trạm bơm sẽ dẫn tới một số lợng cực lớn các xác suất chuyển đổi. Ví
dụ, chỉ một mô hình hai trạng thái sẽ đòi hỏi

P=2
2n
(2.23)

các xác suất biến đổi trong đó n là số trạm. Một bài toán khác có sử dụng gần
đúng này là bài toán mà các xác suất chuyển đổi này thay đổi theo mùa và có
thể đợc xác định hàng tháng. Vì vậy đã đa ra một cách làm trơn để điều
chỉnh sự bất đồng nhất giữa các tháng
Wiser (1974) đã sử dụng sự phân bố nhị thức âm để ớc lợng tổng
lợng giáng thuỷ. Các tham số của sự phân bố tìm đợc bởi hai biến đổi của
một tham số storminess. Số lợng các sự kiện mang giá tri 0 thậm chí còn là
hàm tham số chuyển đổi.
ở Arizona xác suất xảy ra sự kiện ma lớn là theo mùa với gần nh
đúng với tất cả các sự kiện ma và thời gian từ tháng 6 tới tháng 10. Osborn và
nnk. (1974) đã sử dụng một sự thay đổi liên tục xác suất xảy ra một sự kiện
cho khoảng thời gian này. Sự xuất hiện hay không xuất hiện của một hiện
tợng vào bất cứ một ngày nào đó nhận đợc bằng việc lập ra những số tuỳ ý
trong khoảng (0, 1). Nếu giá trị của số đợc lập ra nhỏ hơn hay bằng xác suất
xảy ra sự kiện vào ngày đã đa ra thì một sự kiện đã đợc lập ra.
Todorowic và Woolhiser (1974) đã phát triển một dạng chung cho sự
phân bố của tổng lợng giáng thuỷ trong suốt tời gian n ngày. Kỳ vọng và

57
phơng sai của phân bố cũng đã đợc xác định. Sự mô tả này đợc áp dụng với
3 chuỗi các sự kiện khác nhau.
(a) Chuỗi các sự kiện phân bố, nhị thức nghĩa là các sự kiện phân bố đều

có biến đổi tuỳ ý
(b) Chuỗi các sự kiện độc lập có thể thay đổi tuỳ ý
(c) Chuỗi các sự kiện là 2 dạng chuỗi Markov của Gabiriel và Newman
(1962).



Hình 2.2 Phân bố chuẩn có cắt của giáng thuỷ hàng ngày. Sử dụng biến đổi căn bậc hai để
chuẩn hoá giáng thuỷ. (Richardson, 1977)

Trong từng trờng hợp sự phân tích ứng với giá trị trung bình và
phơng sai của sự kiện trong thời kỳ n ngày cho trớc đợc xác định.
Richardson (1977)và Kelman (1977) đã đa ra một gần đúng khác xây
dựng trên mô hình với các chuỗi rời rạc của các quá trình thuỷ văn. Trong gần
đúng của họ quá trình rời rạc của các thời đoạn ngắn mà các giá trị 0 hoặc khác
0 trong một số trờng hợp, có thể là phần đợc cắt ra bởi một chuỗi thời gian
liên tục đã rời rạc hoá.

58
Ví dụ: trong trờng hợp của các giá trị lợng ma phân bố xác suất của
giá trị khác 0 đợc xem nh phần cuối hay một phần của sự phân bố đã đợc
cắt (xem hình 2.2, Richardson (1977)).Cả hai bài báo mô tả cách ớc lợng các
giá trị tham số cho nhiều trạm, các điều kiện phụ thuộc thời gian mà giữ lại
các đặc trng độ trễ và độ tơng quan quan hệ của tập số liệu ban đầu.
Richardson sử dụng biến đổi đa biến đợc mô tả bởi Matalas (1967) (xem trong
chơng này phần các mô hình tự tơng quan) để lập ra đồ hình tổng hợp mà
giữ lại các đặc trng chạy của các ngày có giá trị bằng 0, của tổng lợng ma
và sự phân bố. Gần đúng này có thể áp dụng cho các quá trình dòng chảy
trong các kênh tạm thời mà các giá trị bằng 0, đặc biệt nếu các giá trị dòng
chảy đợc phân bố chuẩn hay sự biến đổi về dạng chuẩn sẽ phù hợp với sự

phân bố chuẩn đợc cắt ra (xem hình 2-3).


Hình 2.3 Phân bố chuẩn có cắt của thể tích dòng chảy tháng. Giá trị của dòng chảy tháng đ
đợc chuẩn hoá bằng một phép biến đổi

2.4 Các mô hình ngẫu nhiên
Các mô hình ngẫu nhiên riêng biệt có thể đợc phân loại bằng nhiều
cách. Trong chơng này đã qui định phân loại chúng thành các mô hình bộ nhớ
dài hoặc bộ nhớ ngắn. Cố gắng để tái hiện lại các đặc trng dài hạn, ví dụ nh

59
hiện tợng Hurst đã đợc mô tả trớc đây, phân biệt các mô hình bộ nhớ dài
với các mô hình bộ nhớ ngắn. Vì vậy các mô hình nhớ dài này bao gồm một số
các quá trình quan trọng, mô hình ngẫu nhiên có thể chỉ đợc áp dụng với một
biến hay một địa điểm hoặc đồng thời với nhiều biến hoặc nhiều địa điểm và
chúng có thể là một chuỗi liên tục hoặc không. Các mô hình bộ nhớ ngắn của
hiện tơng thuỷ văn gồm các quá trình trung bình trợt (ARMA), các quá
trình tự hồi quy và các quá trình kết hợp trung bình trợt và tự hồi quy.
Mỗi mô hình này là một chuỗi liên tục và có thể là đơn biến hay đa biến.
Các mô hình bộ nhớ dài bao gồm: các mô hình nhân tố Gaus - nhiễu, các quá
trình đờng gấp khúc; tuỳ thuộc vào các giá trị tham số, các mô hình ARIMA,
chúng có thể là đơn biến hay đa biến nhng là liên tục. Một mô hình không liên
tục mà có thể có hoặc bộ nhớ dài hoặc bộ nhớ ngắn và là một mô hình rời rạc
hoá. Cuối cùng một loại khác của các mô hình gắn với thời gian và không gian
ma cũng đợc đề cập đến. Tất cả các mô hình này đợc trình bày ngắn gọn
trong các phần tiếp sau đây.
2.5 Các mô hình bộ nhớ ngắn
2.5.1 Quá trình trung bình trợt
Trung bình trợt đã đợc sử dụng thờng xuyên để làm trơn các chuỗi

thuỷ văn thời gian khác nhau. Ví dụ nh nhiệt độ không khí hàng ngày hay
nhiệt độ không khí hàng tuần, tốc độ bốc hơi, tốc độ gió Hệ số trọng số cho sự
làm trơn đó hoặc bằng 1 hoặc bằng 1/n trong đó n là số các sự kiện trong
chuyển động trung bình. Các quá trình trung bình trợt đợc sử dụng trong
việc hình thành ngẫu nhiên số liệu thuỷ văn có hơi khác một chút. Trong cách
sử dụng này quá trình trung bình trợt mô tả độ lệch của các sự kiện liên tiếp
từ giá trị trung bình của chúng. Hệ số trọng lợng cho chuỗi không cần thiết
phải bằng nhau cũng nh không nhất thiết
1.
Mô hình trung bình trợt là mô hình bộ nhớ ngắn đơn giản nhất biểu
diễn một chuỗi các sự kiện dòng chảy nhng chúng phải >0 (ví dụ dòng chảy
năm). Trong các số hạng của độ lệch vào thời điểm t,
t
z
~
so với kỳ vọng, à của
quá trình hay chuỗi các sự kiện z
t

60
à=
tt
zz
~
(2.24)

Sự lệch khỏi giá trị trung bình của quá trình đợc biểu diễn nh là trọng
lợng tổng hữu hạn các thành phần cộng với một thành phần tuỳ ý a
t
.

qtq2t21t1tt
a aaaz
~



=
(2.25)

trong đó

i
là tham số trọng lợng và a
t+i
là thành phần tuỳ ý (nhiễu trắng).
Phơng trình (2.25) biểu diễn quá trình chuyển động thứ q. Nó bao gồm q+2
tham số
à,
1

q
và phơng sai của a
i
, phải đợc ớc lợng từ tập số liệu,
trớc khi nó thể hiện đợc sử dụng trong thực tế. Trong mô hình này giá trị
trung bình
2
a

t
z
~
bằng 0, à là kì vọng thay đổi của qúa trình z
t
,
Hiệp phơng sai với độ trễ k của quá trình là:

{
kttk
z
}
~
z
~
E

=

hoặc

{
}
)a aa)(a aa(E
qktq1kt1ktqtq1t1tk

=


(2.26)

qk0
qk1)(
2
a
kq
1j
kjjk
>=
+=


=
+
(2.27)

trong đó
: phơng sai của z
2
z0
=
t
tính đợc bằng cách cho k = 0 trong phơng
trình (2.26).

Vì a
i
không phụ thuộc độ lêch chuẩn,
{
}
2
a
2
i
aE =
và E {a
i
a
j
} = 0 với i j vì
vậy phơng sai của
t
z
~
là

2
a
2
q
2
2
2
10
2

z
) 1( ++++==
(2.28)

61
Theo phơng trình này phơng sai của độ lệch tìm đợc là

) 1(
2
q
2
2
2
1
0
2
a
++++

=
(2.29)

hàm số tự tơng quan đợc định nghĩa là

0
k
k


=

(2.30)

Thế vào phơng trình (2.27) đa ra hàm tơng tự tơng quan bằng 0 có
độ trễ q.
Để ví dụ cho q = 2,

1
=
2
= 0,5 và thì phơng sai của phơng trình
sẽ là
có dạng:
1
2
a
=
0

,5.1
0
=

thì trễ của tự tơng quan là
2k,0
50.0
25.0
k
2
1
>=

=
=


và các hệ số tự tơng quan

1
5.1
5.1
0
==

6
1
5.1
25.0
1
=

=

3
1
5.1
5.0
2
=

=

2k0
k
>=


Để sử dụng quá trình trung bình trợt lập ra chuỗi tổng hợp cần ớc
lợng của
i


i
. Nếu chỉ một hoặc hai thành phần cần đến, các phơng pháp đồ

62
thị có thể đợc sử dụng để tìm ựơc giá trị nhỏ nhất của tổng bình phơng các
ớc lợng [xem phần 7.16, Box và Zenkins (1976)]. Nếu hơn hai thành phần
cần đến, và một phơng pháp giải chặt chẽ để tìm các giá trị
là cần thiết,
suy ra cần tham khảo thêm đến Box và Zenkins, đặc biệt trong các trang187-
189, 202, 231-233; 224, 255-256; 269-273 đối với các phơng pháp thờng đợc
sử dụng để xác định quá trình và việc ớc lợng các tham số trong mô hình.
i


2.5.2 Các quá trình tự hồi quy
Một mô hình khác đã đợc sử dụng rộng rãi hơn trong phân tích thuỷ
văn là mô hình tự hồi quy. Mặc dù một số các mô hình đợc bàn đến ở phần
sau trong chơng này đa ra sự cải tiến trên mô hình hồi quy và nó vẫn là
công cụ rất hữu ích trong tính toán thuỷ văn và khí hậu. Với quá trình trung
bình trợt, mô hình này làm việc với độ lệch

t
z
~
khỏi giá trị kỳ vọng à của quá
trình hoặc của chuỗi các sự kiện z
t
, tuy nhiên, quá trình tự hồi quy biểu diễn
độ lệch khỏi giá trị kỳ vọng của các quá trình bằng một tổng có trọng lợng của
một độ lệch đầu tiên cộng với một đại lợng tuỳ ý a
t
vì vậy

tptp2t21t1t
az
~
z
~
z
~
z
~
+
++
+
=

(2.31)

là một quá trình tự hồi quy cấp thứ p, nó có p+2 tham số
à,

1
,
p
và phải
đợc tính từ tập số liệu đợc đa ra, giá trị kỳ vọng của chuỗi các sự kiện
à,
các hệ thống trọng lợng tuỳ ý a
2
a

i
là
2
a

Trễ của tự biến đổi của
k

, của
tz
~
,
{
}
kttk
z
~
,z
~
E

=

có thể tính đợc bằng
cách nhân cả hai vế của phơng trình (2,31) với
kt
z
~

và với giá trị thực đã cho:

{}
{
}
kttktptpkt2t2kt1t1ktt
z,az
~
,z
~
z
~
,z
~
z
~
,z
~
Ez
~
,z

~
E

+

+
+

+

=
(2.32)

Biểu diễn bằng phơng trình vi phân:

0k
pkp2k21k1k
>


++


+

=


(2.33)

63