Mô hình toán thủy văn lưu vực nhỏ - Chương 4 pdf

C
C
h
h


ơ
ơ
n
n
g
g


4
4




Quá trình thấm
4.1 Giới thiệu 207
4.2 Mô tả chung 208
4.3 Ph ơng trình cơ bản 211
4.4 Những cách giải cho phơng trình Richard 216
4.5 Các nhân tố ảnh hởng tới thấm 218
4.6 Các mô hình thấm gần đúng 234
4.7 Các phơng pháp số trị 258
4.8 Tổng kết 269
Tài liệu tham khảo 270

205

206
Quá trình thấm
Tác giả:
R. W. Skaggs. Giáo s Sinh học và Kỹ thuật nông nghiệp, Đại học
Tổng hợp Bắc Califfocnia, Raleign, Bắc Califfocnia 27650
R. Khalleed, Phó giáo s Thuỷ văn, Đại học Công nghệ và Mỏ New
Mexico, Socorro, New Mexico, 87810

4.1 Giới thiệu
Thấm đợc định nghĩa nh sự di chuyển của nớc từ bề mặt vào trong
lòng đất. Nó là một quá trình thuỷ văn quan trọng cần phải đợc xem xét một
cách cẩn thận theo mô hình hoặc các thủ tục đối với việc mô tả thuỷ văn lu
vực. Ví dụ, khả năng thấm của đất xác định cho một trận ma nào đó, nếu sự
phân bố về tổng lợng nớc và thời gian ma vợt quá giới hạn đó thì phần
vợt quá đó có khả năng tạo dòng chảy mặt hoặc tích tụ nớc trên bề mặt. Các
loại đất giống nhau có quan hệ với những nhân tố kiểm soát quá trình thấm
cũng chi phối sự chuyển động và phân bố nớc trong đất kéo dài trong suốt thời
gian thấm và sau khi quá trình thấm kết thúc. Vì thế, sự am hiểu về thấm và
các yếu tố ảnh hởng là rất quan trọng đối với việc xác định sự cân bằng của bề
mặt cũng nh sự tích trữ và chuyển động của nớc trong lòng đất giữa các lu
vực. Philip (1969), Hillel (1971), và Morel- Seytoux (1973) đã công bố những
bài báo xuất sắc về quá trình thấm. Nhiều khía cạnh của thấm và thẩm lậu
cũng đã đợc xử lý chi tiết trong tài liệu su tập bởi Hadas cùng với các cộng
sự (1973).
Mặc dù, thấm có thể liên quan tới sự chuyển động của nớc trong đất

theo hai hoặc ba chiều, nh lợng ma từ sờn đồi, nó thờng chảy theo
phơng thẳng đứng và đây chính là quá trình sẽ đợc nhấn mạnh. Cuộc thảo

207
luận sẽ bắt đầu với việc mô tả tổng thể quá trình thấm. Quá trình này sẽ phải
theo trình tự tổng quan lại các phơng pháp lý thuyết đã đợc đặt ra để đặc
tính hoá quá trình thấm và sự chuyển động của nớc trong lòng đất với các
điều kiện ban đầu và điều kiện biên khác nhau. Những lời giải cho phơng
trình cơ bản đã đợc sử dụng để giải thích sự ảnh hởng của các yếu tố nh
lợng nớc ban đầu chứa trong đất và tốc độ thấm. Sự ảnh hởng của các nhân
tố khác nh các nhân tố bề mặt và lực cản đối chuyển động của không khí cũng
đợc xem xét. Các phơng pháp xấp xỉ cho việc dự báo thấm sử dụng phơng
trình đại số đơn giản sẽ đợc đa ra và thảo luận trong chơng này.
4.2 Mô tả chung
Xem xét thấm trong một cột đất sâu, đồng nhất cùng với một lợng nớc
ban đầu không đổi. Tại thời điểm t = 0, nớc đợc ngăn lại ở một độ nông nhất
định trên bề mặt của đất và tiếp tục thêm vào đó một lợng để giữ độ sâu
không thay đổi. Thông lợng hay tỷ lệ của nớc thấm vào trong mặt đất đợc
gọi là tốc độ thấm, f. Tốc độ thấm, trong nhiều trờng hợp nơi ảnh hởng
không khí đi qua là không đáng kể, sẽ giảm theo thời gian nh ở biểu đồ hình
4.1. Sự giảm của tốc độ thấm cơ bản là do sự biến đổi gradient thuỷ lực ở bề
mặt nhng nó cũng có thể bị ảnh hởng bởi các yếu tố khác nh bề mặt kết
dính và lớp vỏ cứng. Nếu việc đo lờng vẫn đợc tiếp tục tiến hành với thời
gian đủ dài, thì tốc độ thấm sẽ đạt tới một tốc độ không đổi, f
c
. Hằng số thấm f
c
thờng đợc giả thiết là bằng với hệ số dẫn suất thuỷ lực bão hoà, K
o
, nhng

thực chất nó nhỏ hơn K
o
vì một ít không khí đã bị giữ lại. Trong hầu hết các
trờng hợp f
c
gần đúng với K
s
, suất dẫn thuỷ lực với sự bão hoà không khí còn
d.
Do nớc luôn đợc tích tụ trên bề mặt, nên trong thí nghiệm, có tính giả
thuyết của chúng ta, tốc độ thấm bị hạn chế bởi các yếu tố liên quan tới đất.
Tốc độ thấm cũng bị hạn chế bởi các yếu tố về đất thờng đợc gọi là dung tích
thấm (f
p
) của đất. Hillel (1971) đã ghi chú thuật ngữ "dung tích" đợc sử dụng
chung để biểu thị một lợng hoặc thể tích và có thể dẫn đến sai lệch khi áp
dụng cho quá trình tốc độ - thời gian. Ông đã đa ra thuật ngữ khả năng thấm
của đất chứ không phải dung tích thấm.

208


Hình 4.1 (a)Tốc độ thấm ngợc với thời gian đối với bề mặt ao và đối với tốc độ ứng dụng
không đổi R (ảnh hởng của dòng không khí đ đợc bỏ qua).
(b) Sức chứa nớc ngợc với độ sâu tại vị trí thời gian 1, 2, 3, , 6 trong hình 4.1a đối với tốc
độ ứng dụng không đổi.
Chú ý: Tại thời điểm 1, 2 và 3, dung tích thấm > R do đó tốc độ thấm bị giới
hạn bởi tốc độ ma; tại thời điểm 4 dung tích thấm = R; và tại thời
điểm 5 và 6 dung tích thấm < R, độ sâu ẩm ớt tăng theo độ dày và
nớc lấy từ dòng chảy và / hay trữ lợng nớc bề mặt.

Dung tích n ớc,
Độ sâu, Z
Dòng thấm
Tốc độ thấm, f
Tốc độ d R (hằng số)
L ợng thấm
Thời gian, t

Bây giờ xem xét cột đất giống nhau nh đã miêu tả ở trên với việc nớc
thấm ở một tốc độ không đổi, R, với bề mặt. Đối với trờng hợp này tốc độ thấm
trong suốt giai đoạn đầu của hiện tợng (điểm 1, 2 và 3 trong hình 4.1a và các
đờng cong 1, 2 và 3 trong hình 4.1b) sẽ bằng R và bị giới hạn bởi tốc độ cung
cấp nớc chứ không phải những điều kiện và đặc tính của đất. Với điều kiện là
tốc độ cung cấp nớc nhỏ hơn dung tích thấm, nớc sẽ thấm nhanh nh tốc độ
cung cấp nớc và tốc độ thấm sẽ đợc điều khiển bởi tốc độ cung cấp nớc (f =
R). Khi quá trình thấm tiếp tục, f
p
giảm cho đến khi cân bằng với tốc độ cung

209
cấp nớc (điểm 4 trong hình 4.1a và đờng cong 4 trong hình 4.1b). Đối với
những lần sau dung tích thấm sẽ nhỏ hơn R (điểm 5 và 6 trong hình 4.1a và
đờng cong 5 và 6 trong hình 4.1b). Bề mặt sẽ bắt đầu tích tụ nớc và tốc độ
thấm sẽ đợc điều khiển bởi mặt cắt ngang của đất (f = f
p
). Nớc đợc cung cấp
vợt quá khả năng thấm sẽ trở thành một nguồn tích trữ nớc sẵn có cho bề
mặt hoặc dòng chảy.
Tốc độ thấm thông thờng đợc biểu diễn theo đơn vị độ dài trên đơn vị
thời gian (hoặc thể tích trên một đơn vị diện tích trên một đơn vị thời gian, L

3
L
-
2
T
-1
), ví dụ, cm/h, mm/h. Tổng thể tích thấm hoặc dung tích thấm, F=F(t), là
tổng khối lợng nớc đã thấm qua (L) ở bất kỳ thời gian t và có thể đợc biểu
diễn nh sau:


=
t
dttftF
0
)()(
(4.1)

ở đây f là tốc độ thấm mà có thể hoặc không thể cân bằng với dung tích
thấm nh đã thảo luận ở trên.


Hình 4.2 Các vùng thấm của Bodman và Coleman (1943)
L ợng chứa n ớc
Vùng bão hòa
Vùng chuyển tiếp
Vùng chuyển
qua
độ sâu
Vùng ẩm

front ẩm


210
Sự phân bố nớc trong đất trong suốt quá trình thấm từ một bề mặt giữ
nớc vào trong một vùng đất tơng đối khô và đồng nhất đã đợc giới thiệu lần
đầu tiên bởi Bodman và Coleman (1943). Họ cho rằng phần mô tả có thể đợc
chia ra làm 4 vùng nh biểu đồ 4.2. Vùng bão hoà kéo dài từ bề mặt tới độ sâu
cực đại xấp xỉ 1,5 cm. Vùng chuyển tiếp là khu vực dung lợng nớc trong đất
giảm nhanh, kéo dài từ vùng bão hoà đến vùng chuyển nớc, một vùng mà
dung lợng nớc gần nh không thay đổi, nó kéo dài trong khi thấm cứ tiếp
tục. Vùng ẩm tồn tại gần nh trong trạng thái không thay đổi trong suốt quá
trình thấm và đạt đợc độ thấm cực đại trớc khi đạt tới giới hạn của quá trình
thấm nớc vào trong đất (vùng front ẩm - hình 4.2). Trừ những vùng bão hoà
và vùng chuyển tiếp, các kết quả của Bodman và Coleman đã hoàn toàn đợc
khẳng định bởi những nhà nghiên cứu khác. Trong khi có nhiều ý kiến không
ủng hộ, nhng ngời ta đã hoàn toàn nhất trí rằng trong hầu hết các trờng
hợp đất sẽ không hoàn toàn bão hoà tại bề mặt do có sự giữ một lợng không
khí ở trong lớp sát mặt đất và có thể là do dòng chuyển động ngợc lại của
không khí. Hầu hết các lý thuyết về sự chuyển động nớc trong đất không dự
báo đợc vùng chuyển tiếp. Tuy nhiên Mc Whorter (1976) đã chỉ ra rằng sự
biến đổi đột ngột của mặt cắt gần với bề mặt có thể đợc dự đoán cho lợng
ma thấm qua nếu lực cản sự chuyển động của không khí đợc xem xét.
4.3 Phơng trình cơ bản
Thấm trớc hết đợc khống chế bởi các nhân tố chủ yếu trong sự chuyển
động của nớc trong đất. Trong phần này chúng ta sẽ kiểm tra lại những quy
luật thống trị về chuyển động của nớc trong đất và việc sử dụng những quy
luật này để mô tả đặc điểm của sự thẩm thấu trong số hạng của đặc tính đất
và các điều kiện biên. Mối quan hệ cơ bản trong việc mô tả sự chuyển động của
nớc trong đất đợc xuất phát từ một cuộc thí nghiệm do Darcy thực hiện vào

năm 1856, ông đã tìm ra tốc độ chảy trong chất liệu xốp là cân bằng trực tiếp
với gradien thuỷ lực. Định luật Darcy có thể đợc viết nh sau:

q
s
= -K H/s (4.2)


211
ở đây q là thông lợng, hoặc thể tích của nớc di chuyển qua đất theo
hớng s trên một đơn vị diện tích trên đơn vị thời gian (L
3
L
-2
T
-1)
); và H/s là
gradien thuỷ lực theo hớng s. Hệ số tỉ lệ K là dẫn suất thuỷ lực (L/T), nó phụ
thuộc vào cả đặc tính của chất lỏng lẫn môi trờng xốp. H là cột nớc tiềm
năng (L) nó là tổng của một vài thành phần tiềm năng đã đợc thảo luận chi
tiết bởi Day và các cộng sự (1967). Đối với chúng ta, H có thể đợc xem là cân
bằng với cột thuỷ lực, nó là tổng của áp suất đầu nớc, h và khoảng cách giữa
mặt phẳng hoặc cột nâng lên. Mặt phẳng mốc tại mặt đất đợc tính nh sau:

H= h-z (4.3)

trong đó z là khoảng cách đo một cách chính xác từ mặt đất xuống phía dới.
Đối với áp lực đầu nớc dơng, dung lợng nớc , thờng bất biến và
đất đợc coi nh bão hoà. Tuy nhiên, dới những điều kiện tự nhiên thì sự bão
hoà này là hiếm do lợng không khí bị giữ trong đất. Thay vào đó =

s
, dung
lợng nớc bão hoà, với h>0. Đối với đất cha bão hòa, áp lực cột nớc h vốn
âm và quan hệ phi tuyến với dung lợng nớc dùng để đo thể tích . Mối tơng
quan giữa h và là một thuộc tính của đất gọi là đặc trng đất - nớc. Tuy
nhiên, h=h() không phải là hàm duy nhất trong đó h không chỉ phụ thuộc vào
mà còn phụ thuộc vào việc đất khô hay ẩm tại thời điểm đó. Đó là, đặc trng
đất- nớc biểu thị hiện tợng trễ nh dới biểu đồ hình 4.3. Hiện tợng trễ đã
đợc Childs (1969) và Nielsen và các cộng sự (1972) nghiên cứu chi tiết.
Đối với đất đã bão hoà, dẫn suất thuỷ lực là không đổi theo h. Bất cứ khi
nào dẫn suất thuỷ lực ở một dung lợng nớc cho trớc thay đổi từ điểm này
sang điểm khác trong đất thì đất đó gọi là không đồng nhất. Nếu dẫn suất thuỷ
lực không phụ thuộc vào vị trí trong khối lợng đất, thì đất là đồng nhất. Nếu
dẫn suất thuỷ lực phụ thuộc vào hớng dòng chảy, thì đất không đẳng hớng.
Đất đẳng hớng có các hàm dẫn suất thuỷ lực không phụ thuộc vào hớng.
Chils (1969) đã đa ra thảo luận định luật của Darcy về đất không đẳng
hớng.

212
Đối với những vùng đất chỉ bão hoà một phần và có dung lợng nớc
thay đổi theo cả thời gian và vị trí, phơng trình cho thông lợng có thể đợc
viết nh sau:

qK
H
s
s
= ()

(4.4)

ở đây dẫn suất thuỷ lực K là hàm của dung lợng nớc . Do mối quan
hệ = (h) là một tính chất của đất (mặc dù nó cũng phụ thuộc vào nguồn gốc
đất khô hay ẩm bởi hiện tợng trễ), chúng ta có thể viết K = K(h), và

qKh
H
s
s
= ()


(4.5)

Đ ơng l ợng n ớc,

Hình 4.3 Biểu đồ của các đờng cong trễ (hysteresis) điển hình,
trong đó: IDC là đờng cong thoát nớc đầu tiên, MWC và MDC là đờng
cong ẩm và thoát nớc chính, PWSC và PDSC là đờng cong ẩm
và phân hình (scanning) thoát nớc gốc, SWSC và SCSC là đờng
cong ẩm và phân hình (scanning) thoát nớc thứ hai. (Gillham,
1972, đợc trích dẫn bởi Rawlins, 1976)
áp suất cột n ớc, h

213
Đối với đất cha bão hoà nớc chủ yếu chảy trong những lỗ nhỏ và qua
những màng nằm xung quanh và giữa những phần tử rắn. Khi dung lợng
nớc giảm, diện tích cắt ngang của màng cũng giảm và hớng dòng chảy của
nớc bị thu hẹp lại. Kết quả sẽ dẫn đến việc dẫn suất thuỷ lực giảm nhanh

cùng với dung lợng nớc, nh ở biểu đồ hình 4.4. Trong hầu hết các trờng
hợp, hiện tợng trễ trong mối tơng quan K() là rất nhỏ. Tuy nhiên, khi
K=K(h) đợc dùng nh trong phơng trình (4.5), hiện tợng trễ có thể hoàn
toàn là do hiện tợng trễ trong mối tơng quan h() ( xem hình 4.3).
Nh đã chú ý ở trớc, đất tự nhiên thờng không bão hoà hoàn toàn do
lợng không khí bị mắc lại trong quá trình làm ẩm. Do vậy, kể cả ở những
vùng gần nh đã bão hoà bên dới mực nớc ngầm, dung lợng nớc có thể
bằng
s
, lợng nớc ở sự bão hoà không khí d thừa thay cho tổng thể tích các
lỗ hổng. Dẫn suất thuỷ lực tơng ứng là K (hình 4.4a) có thể vẫn đợc coi là
không đổi trong những vùng dới mực nớc ngầm và thỉnh thoảng đợc coi
nh dẫn suất đợc bão hòa.


Hình 4.4 Dẫn suất thuỷ lực tỉ lệ theo dung tích nớc (a) và đoạn đầu của áp suất nớc đất (b)

Nguyên lý bảo toàn vật chất cho hệ thống nớc trong đất có thể đợc
viết nh sau:


214
q.t/ =
(4.6)

ở đây
q
là vectơ thông lợng, t là thời gian (T) và là dung lợng nớc trong
đất (L
3

/L
3
). Phơng trình 4.6 đợc viết lại cho dòng chảy theo hớng thẳng
đứng z:

/t=- q
z
/z (4.7)

Kết hợp phơng trình (4.7) và phơng trình (4.5) và lấy số liệu tại bề
mặt sao cho H = h-z ta đợc phơng trình Richard đối với phơng thẳng đứng:

[]
zKzhhK
z
thhC




//)(/)( =
(4.8)

ở đây dung tích nớc trong đất, C(h), có thể thu đợc từ đặc tính nớc
trong đất nh:

C(h)= d/dh (4.9)

Chú ý rằng việc sử dụng phơng trình (4.8) giả thiết rằng không có sự
cản trở của sự di chuyển không khí trong đất và áp suất không khí không đổi

trên toàn bộ miền. Thờng không có trờng hợp này và sẽ đợc thảo luận trong
phần tiếp theo.
Phơng trình (4.8) có thể đợc khai triển để đa vào dòng chảy hai chiều
bằng cách thêm vào số hạng /x (K(h)h/x) vào vế phải của phơng trình. Nó
cũng có thể viết với dung lợng nớc , nh là một biến phụ thuộc vào định
nghĩa sự khuếch tán nớc trong đất nh D()= K(h)dh/d, vì thế:

z
K
z
)(D
zt













=


(4.10)

215
Đầu tiên phơng trình (4.8) và (4.10) đợc giải bởi Richard (1931) và
đợc nhắc đến nh các dạng của phơng trình Richard (Swarizendruber,
1969).
Cả hai dạng của phơng trình Richard cho dòng chảy theo phơng thẳng
đứng bao gồm hai tham số đất: phơng trình phụ thuộc có chứa D() và K(),
và phơng trình phụ thuộc h có chứa C(h) và K(h). Những tham số này có quan
hệ với đất cha bão hoà bởi D=K/C. Đối với hầu hết các loại đất, cả ba tham số
biến thiên rõ ràng cùng với dung lợng nớc hoặc áp lực cột nớc. Tính phi
tuyến của các tham số này là khởi nguồn của việc khó giải phơng trình
Richard đặc biệt là các điều kiện biên thích hợp cho quá trình thấm.
Việc biểu diễn hai phơng trình dựa trên biến h và biến để mô tả sự
chuyển động của nớc trong đất cha bão hoà có nhiều thuận lợi. Khi đạt đến
các điều kiện bão hoà, phơng trình h đợc rút gọn thành hệ phơng trình
Laplace mô tả dòng bão hoà. Đối với dòng bão hoà thì K(h) đạt đến giá trị
không đổi, C(h)=0, và áp suất cột nớc, h biến đổi từ giá trị âm đến dơng. Đối
với các trờng hợp khi mà cả điều kiện dòng chảy bão hoà và cha bão hoà đều
tồn tại, phơng trình nền h tìm đợc lời giải đúng; tuy nhiên, phơng trình nền
không hiệu lực với điều kiện bão hoà do D() tiến đến vô cùng. Mặt khác, có
một số u điểm của phơng trình nền là mô tả hoàn chỉnh dòng chảy cha
bão hoà khi cả và D biến đổi với bậc đại lợng nhỏ hơn so với sự biến đổi của
h và C tơng ứng. Một cách tổng quát, sai số trong nghiệm số của phơng trình
nền có tần suất nhỏ hơn so với phơng trình nền h.
4.4 Những cách giải cho phơng trình Richard
Để mô tả quá trình thấm bằng việc sử dụng phơng trình của Richard,
điều cần thiết trớc hết phải giải phơng trình đó khi tồn tại những điều kiện
biên. Lấy quá trình thấm trong ao hồ làm ví dụ, ta có những điều kiện biên và
những điều kiện ban đầu đợc viết nh sau:

h= , z = 0, t > 0

h= h
i
, z , t 0

216
h= h
i
, z 0, t = 0
trong đó là độ sâu của nớc ao và h là áp suất cột nớc trong đất có liên quan
tới dung lợng nớc ban đầu. Hoặc dới dạng hàm nếu sử dụng phép phân
tích, hoặc dới dạng bảng nếu sử dụng số liệu thì lời giải có đợc sẽ là h=h(z,t).
Tốc độ thấm trên bề mặt có thể đợc xác định ở bất cứ thời điểm nào đơn giản
bằng việc áp dụng định luật của Darcy. Do vậy, cả sự phân bố áp suất cột nớc
vào bất cứ lúc nào trong suốt quá trình thấm lẫn tốc độ thấm đều có thể đợc
định rõ qua việc giải phơng trình Richard.

Đất mùn Sarpy
Tốc độ thấm (mm/h)
Cát hỗn hợp
Đất mùn Castor
Đất mùn phù sa Geary
Đất mùn phù sa Columbia
Đất sét nhẹ Yolo

Hình 4.5 Tốc độ thấm dự báo từ việc giải theo phơng trình Richards cho độ sâu đất với bề
mặt ao nông. Các đặc tính của đất đợc cho vào theo lý thuyết nh sau: Sarpy 1 và Geary
s.1 Hanks và Bowers (1962); Castor 1. Staple và Gupta (1966); Yolo 1.c. Philip (1957a);
Sand m. Skaggs cùng các cộng sự (1969); Columbia s.1 Kirkham và Powers (1972)
Thời gian (phút)

Tính phi tuyến về những thuộc tính K, D và C của đất đã làm hạn chế
những lời giải chính xác có sử dụng phép phân tích của phơng trình (4.8) và
(4.10) ngoại trừ rất ít trờng hợp đợc giới hạn. Tuy nhiên, nhiều giải pháp kỹ
thuật số đã đợc phát triển thích hợp cho việc giải các phơng trình đó với
những điều kiện biên khác nhau.
Những phơng pháp số cũng nh những kỹ thuật xấp xỉ để giải những
phơng trình cơ bản sẽ đợc thảo luận chi tiết ở các phần sau của chơng này.

217
Trong phần tiếp theo, lời giải bằng số cho phơng trình của Richard đợc sử
dụng để kiểm tra ảnh hởng của các nhân tố đối với qúa trình thấm, nh
những đặc tính của đất và các điều kiện biên khác nhau.
4.5 Các nhân tố ảnh hởng tới thấm
4.51 Những đặc tính của đất
Chúng ta có thể rút ra kết luận từ những điều đã đợc thảo luận trớc
đây về phơng trình (4.8) và (4.10) là thấm phụ thuộc vào đặc tính K(h), C(h)
và D() của đất. Sự hiểu biết về những mối liên quan này (cả K(h) với C(h) hoặc
K() và D()) là cần thiết để giải phơng trình Richard trong một loạt những
điều kiện ban đầu và những điều kiện biên.
Đối với đất có nhiều lớp, những đặc tính này phải đợc xem xét ở từng
lớp và đối với dòng chảy đa chiều trong đất không đẳng hớng thì những đặc
tính trên phải đợc xem nh là một hàm của hớng dòng chảy.

Cát hỗn hợp
Đất mùn Sarpy
Đất mùn Castor
L ợng thấm tích luỹ (mm)
Đất mùn phù sa Geary
Đất mùn phù sa Columbia
Đất sét nhẹ Yolo

Thời gian (phút)

218
Hình 4.6 Các mối quan hệ thấm tích luỹ dự báo cho các loại đất trong hình 4.5
Mối liên hệ giữa tốc độ và thời gian thấm, nh đã đợc dự đoán, thông
qua lời giải bằng số của phơng trình (4.8) về thấm theo phơng thẳng đứng từ
bề mặt có ao vào lòng đất có độ sâu đồng nhất đợc mô tả trên hình 4.5 với sáu
loại đất. Hình vẽ tơng ứng về thấm luỹ tích đợc mô tả trong hình 4.6. Khi đó
tốc độ thấm tiến đến K, một trong những biến số quan trọng nhất kiểm soát
thấm là hệ số dẫn suất thuỷ lực. Tuy nhiên, trong suốt giai đoạn đầu của
thấm, cấu trúc của đất và sự phân bố những lỗ nhỏ trong đất lại có ảnh hởng
đáng kể. Khi lớp đất sát front ẩm tiến đến sự bão hoà thì gradient thuỷ lực là
nh nhau và suất dẫn thuỷ lực bắt đầu điều khiển tốc độ dòng chảy. Nói
chung, phạm vi của những lỗ nhỏ càng rộng, sự thay đổi đối với tốc độ thấm
càng diễn ra từ từ.
ảnh hởng của những đặc tính của nớc trong đất và mối quan hệ giữa
dẫn suất thuỷ lực và hàm lợng nớc đối với quá trình thấm đợc Hanks và
Bowers nghiên cứu năm 1963. Họ đã chỉ ra những sự biến đổi về sự khuếch tán
đất- nớc với dung lợng nớc thấp có ảnh hởng đáng kể đến thấm từ bề mặt
có ao. Tuy nhiên, những thay đổi trong sự khuếch tán hoặc trong thuộc tính
đất- nớc ở dung lợng nớc gần sự bão hoà có ảnh hởng rất mạnh tới quá
trình thấm. Do đó, những sai số trong việc đánh giá đặc tính thuỷ lực của đất
có tác động lớn đối với dung lợng nớc gần sự bão hoà hơn là đối với những
điều kiện khô ráo trong suốt quá trình thấm.
4.5.2 Dung lợng nớc ban đầu (
i
)
Một trong những nhân tố quan trọng ảnh hởng tới thấm của nớc vào
trong lòng đất là dung lợng nớc ban đầu. Hình 4.7 biểu thị đờng cong của

dòng vào đối với thấm từ bề mặt có ao (vũng nớc) nông vào một vùng đất bùn,
sâu ở Columbia. Có bốn lời giải bằng số đợc tìm ra cho phơng trình của
Richard với điều kiện dung lợng nớc ban đầu đồng nhất. Những đặc tính của
đất đã đề cập trên do Kirkham và Power công bố năm 1972. Điều đáng chú ý là
tốc độ thấm luôn cao trong điều kiện ban đầu khô nhng sự phụ thuộc vào
dung lợng nớc ban đầu lại giảm theo thời gian. Nếu thấm tiếp tục thì tốc độ
thấm cuối cùng sẽ tiến đến K
s
mà không liên quan gì đến dung lợng nớc ban

219
đầu. Tốc độ thấm cao hơn tại dung lợng nớc ban đầu thấp, bởi vì gradient
thuỷ lực cao hơn và thể tích dự trữ nhiều hơn.


Hình 4.7 Tốc độ thấm dự báo đối với đất phù sa sâu ở Columbia cùng với các dung lợng
nớc ban đầu khác nhau. Dung lợng nớc bo hoà đối với đất này là
s
= 0.34
Đất mùn phù sa Columbia
Tốc độ thấm (mm/h)
Thời gian (phút)

Những thay đổi trong dung lợng nớc ban đầu cũng nh trong sự phân
bố những lỗ nhỏ hoặc trong cấu trúc của đất đều có ảnh hởng nh nhau đến
tốc độ thấm. Dung lợng nớc ban đầu càng cao thì tốc độ thấm ban đầu càng
chậm và tốc độ này càng tiến nhanh đến K. Nói cách khác, dung lợng nớc
ban đầu cao sẽ làm giảm hiệu quả của trạng thái xốp và của những lỗ nhỏ đối
với thấm của nớc. Philip (1957) đã chỉ ra rằng vào tất cả các thời điểm trong
quá trình thấm, front ẩm tăng càng nhanh nếu dung lợng nớc ban đầu càng

cao. Một lần nữa, việc này cũng cùng có ảnh hởng giống nh ảnh hởng của
việc làm giảm trạng thái xốp tổng cộng đến sự tăng front ẩm, do vậy dẫn suất
thuỷ lực tồn tại không đổi.
4.5.3 Cờng độ ma

220
Nh đã đợc chỉ ra trớc đây, thấm phụ thuộc vào tỷ lệ của nớc tham
gia vào quá trình thấm cũng nh những điều kiện của đất. Ví dụ đối với một
vùng đất có cùng độ sâu, nếu cờng độ ma (ký hiệu là R) thấp hơn K
s
thì thấm
có thể tiếp diễn một cách không xác định ở tốc độ tơng xứng với cờng độ ma
mà không tạo ra sự tích tụ nớc trên bề mặt (đờng cong biểu thị cờng độ
ma R=3mm/h đợc mô tả trên hình 4.8).
Dung lợng nớc trong đất ở trờng hợp này không đạt đến sự bão hoà ở
bất kỳ điểm nào mà tiến đến một giá trị giới hạn mà giá trị này phụ thuộc vào
lợng ma. Đặc biệt đối với hàm lợng nớc đã đợc đề cập, đất sẽ tiến đến
một dung lợng nớc đồng nhất,
i
, trong đó
i
là dung lợng nớc mà dẫn suất
thuỷ lực lại tơng xứng với lợng ma, tức là K(
i
)= R. Bởi vì dẫn suất thuỷ lực
không bão hoà sẽ giảm dần cùng với việc giảm , tốc độ ma càng nhỏ thì giá
trị của
i
càng thấp. Những nghiên cứu chi tiết về thấm nớc ma đã đợc
Rubin và các đồng sự của ông tiến hành (đợc trình bày trong cuốn Rubin và

Steinhardt năm 1963, 1964; Rubin và các đồng sự năm 1964; và Rubin năm
1966). Họ chỉ ra rằng những thảo luận ở trên cho là R<K chỉ có giá trị đối với
những loại đất có độ sâu nh nhau. Đối với những loại đất có những lớp hạn
chế thì thấm tại R<K
s
sẽ không tiếp diễn mà không tạo ra vũng nớc trên bề
mặt. Khi front ẩm đi đến lớp đất giới hạn thì dung lợng nớc trên lớp này sẽ
tăng và vũng nớc trên bề mặt sẽ xuất hiện ngay cả khi lợng ma thấp hơn K
s

của lớp mặt. Vũng nớc trên bề mặt có xuất hiện hay không là phụ thuộc vào
những đặc tính của lớp đất giới hạn, dung lợng nớc ban đầu và điều kiện
biên cũng nh tốc độ nớc rút theo chiều ngang.
ảnh hởng của lợng ma cao hơn dẫn suất bão hoà (R>K
s
) đến tốc độ
thấm trong vùng đất bùn Geary đã đợc mô tả trên hình 4.8. Ban đầu, nớc
thấm qua ở một tốc độ nhất định. Sau một khoảng thời gian t, tốc độ thấm sẽ
thấp hơn R, vũng nớc trên bề mặt sẽ xuất hiện và nớc sẽ thừa cho thấm tiếp
tục. Thời gian tạo ra vũng nớc trên bề mặt chậm dần khi lợng ma tăng và
nh vậy mối quan hệ giữa tốc độ và thời gian thấm rõ ràng là phụ thuộc vào
cờng độ ma (hình 4.8).


221

Hình 4.8 Tốc độ thấm dự báo đối với profile đất phù sa sâu đồng nhất Geary, với tốc độ ứng
dụng bề mặt không đổi và bề mặt ao nông. Dung lợng nớc ban đầu đều giống nhau
i
=

0.26 tơng đơng với h
i
= -750 cm nớc.
N ớc tù
Tốc độ thấm (mm/h)
Thời gian (phút)

Nếu tốc độ thấm đợc mô tả với thấm tích tụ, ký hiệu là F (hình 4.9)
thay cho thời gian thì những mối quan hệ trên sẽ phụ thuộc vào R ít hơn. Thực
tế, đối với những mục đích tơng tự thì mối quan hệ này cũng có thể đợc coi là
độc lập với R và một đờng cong duy nhất sẽ đợc áp dụng cho tất cả tốc độ lớn
hơn K
s
. Sự thừa nhận này gắn liền với phơng pháp Green- Ampt của Mein và
Larson (1973) đợc dùng để dự báo thời gian tạo ra vũng nớc và với mô hình
tham số của R.Smith (1972). Smith (1972) cho rằng sự thừa nhận này có thể
đợc áp dụng cả trong trờng hợp có ma thất thờng mà trong đó lợng ma
hoặc tốc độ ứng dụng không ổn định đã giảm xuống dới tốc độ thấm trong một
thời gian. Reeves và Miller (1975) cũng đa ra giả thuyết tơng tự. Họ đã tìm
ra lời giải bằng số cho phơng trình Richard có tính đến hiện tợng trễ và lớp
vỏ bề mặt. Những nghiên cứu của họ đã chỉ ra rằng dung tích thấm có thể gần
giống với một chức năng đơn giản của thấm tích tụ mà không tính đến tốc độ
và thời gian ma. Những tìm tòi này rất quan trọng trong việc áp dụng những
tham số cho phơng pháp gần đúng khi phơng trình Green- Ampt không phụ
thuộc vào tốc độ ma và do đó chỉ phải xác định với những điều kiện ban đầu

222
khác nhau. Điều này đã làm giảm đáng kể điều kiện cần thiết của đầu vào và
làm cho phơng pháp này dễ sử dụng hơn.

Hình 4.9 Tốc độ thấm của hình 4.8 với thấm tích lũy
N ớc tù
Tốc độ Thấm (mm/h)
Thấm lũy tích (mm)
4.5.4 Bề mặt cứng và khép kín
Trong những thảo luận trớc chúng ta đã thừa nhận rằng khối đá dới
đất thì luôn cứng và không thay đổi theo thời gian. Còn những đặc tính thuỷ
lực trên bề mặt đất lại có thể thay đổi trong suốt quá trình cung cấp nớc,
những thay đổi vốn phụ thuộc vào lớp phủ bề mặt này có ảnh hởng lớn đối với
tốc độ thấm hơn là một vài nhân tố đã đợc đề cập. Quả thực trong một số
nghiên cứu ban đầu về thấm, sự giảm theo hàm mũ của tốc độ thấm theo thời
gian đợc coi là do làm giảm sự kết tập và làm tăng các chất keo làm cho đất bị
bao phủ dần (Horton, 1939).

223
Edward và Larson (1969) đã vận dụng lý thuyết chuyển động của nớc
trong đất để nghiên cứu ảnh hởng của sự phát triển lớp phủ bề mặt đối với
quá trình thấm của nớc vào đất canh tác. Họ xác định dẫn suất thuỷ lực bão
hoà của một lớp đất bề mặt dày 0,5 cm là một hàm của thời gian để mô phỏng
lợng ma. Trong một ví dụ, dẫn suất thuỷ lực bão hoà của lớp bề mặt giảm từ
1,9 cm/h xuống còn 0,2 cm/h sau 2 giờ lợng ma mô phỏng áp dụng với tốc độ
7 cm/h. Thấm tích tụ đã dự báo trong khoảng thời gian 2 giờ giảm khoảng 50%
và tốc độ thấm giảm từ 25 xuống10 mm/h do có lớp phủ bề mặt. Tốc độ thấm sẽ
không giảm thấp hơn nữa bởi vì gradient sức hút tại bề mặt tăng khi lớp phủ
bề mặt hình thành. Hillel và Gardner, năm 1969, 1970 đã dùng phơng pháp
phân tích gần chính xác để đánh giá ảnh hởng của lớp phủ bề mặt đối với
trạng thái ổn định và quá trình thấm trong thời gian ngắn. Họ cho rằng thấm
vào đất có lớp vỏ cứng có thể gần đúng với việc thừa nhận rằng nớc đi vào lớp
đất phía dới lớp vỏ cứng với một sức hút gần nh liên tục, quy mô của nó phụ

thuộc vào dẫn suất thủy lực, độ dày của lớp vỏ cứng và những đặc tính thuỷ lực
của lớp đất bên dới.
Morin và Benyamini, năm 1977, đa ra kết luận rằng lớp vỏ do chịu tác
động của ma tạo nên là nhân tố quan trọng gây ảnh hởng tới tốc độ thấm
của vùng đất trống Hamra. Để miêu tả quá trình thấm, họ chú ý nhấn mạnh 3
điều kiện ban đầu của đất: đất khô không có lớp vỏ cứng, đất ẩm có lớp vỏ cứng
và đất khô có lớp vỏ cứng. Đối với mỗi điều kiện ban đầu trên tốc độ thấm có
thể đợc mô tả theo những số hạng của lợng ma tích tụ xâm nhập vào bề
mặt chứ không phải là thấm tích tụ nh ở hình 4.9. Khi nghiên cứu theo cách
này đối với mỗi loại trong 3 điều kiện ban đầu trên, họ đã tìm thấy rằng, năng
suất thấm không phụ thuộc vào lợng ma. Khi lợng ma đợc mô phỏng có
cờng độ là 130 mm/giờ, năng suất thấm của vùng đất trống Harma giảm tới 8
mm/h sau 60 phút, trái lại năng suất thấm của vùng đất có một lớp bảo vệ
bằng rơm ở trên bề mặt vẫn có cờng độ là 130 mm/giờ.
Do bản chất phức tạp của quá trình tạo thành lớp phủ bề mặt và sự khó
khăn trong việc mô tả cách thức thay đổi theo thời gian của những đặc tính
thuỷ lực trong lớp bề mặt, một vài ngời đã cố gắng sử dụng lý thuyết chuyển
động nớc - đất để phân tích hiện tợng. Tuy nhiên, kết quả của một số cuộc

224
nghiên cứu đã chỉ ra tầm quan trọng của lớp phủ bề mặt. Một thí dụ về ảnh
hởng mà những điều kiện của lớp bề mặt đem lại cho mối quan hệ giữa tốc độ
và thời gian thấm trong vùng đất bùn Zanesville đợc biểu diễn trên hình 4.10.
Từ những vùng đất canh tác thu đợc những dữ liệu về loại đất có vỏ mà đa
ra để mô phỏng lợng ma trong 2 giờ, và sau đó lại đợc kiểm tra trong điều
kiện đất khô ráo. Nghiên cứu tơng tự trên loại đất có cỏ cho thấy không có
ảnh hởng gì đối với mối quan hệ thấm.

ảnh h ởng của điều kiện
bề mặt

Tốc độ thấm (inch/h)
Mặt đất đ ợc cày xới
Mặt đất cứng



Hình 4.10 ảnh hởng của bề mặt bịt kín và cứng trong lúc ma tác động đến tốc độ thấm đối
với đất phù sa ở Zanesville
Thời gian (phút)

Mannering và Meyer năm 1963, đã chỉ ra rằng lớp bảo vệ bằng rơm có
mật độ hơn một tấn trên một mẫu đã làm cản trở sự đóng kín bề mặt do tác
động của ma. Với lớp bảo vệ có mật độ nửa tấn hoặc ít hơn trên mỗi mẫu thì
việc tạo thành lớp vỏ bề mặt xuất hiện và thấm tích tụ giảm từ 32mm xuống
còn 12mm trong vòng 30 phút thử nghiệm trên vùng đất bùn Wea. Những tốc
độ thấm tơng ứng cuối cùng bị giảm từ 6 xuống 2mm/h. Những nghiên cứu
khác về sự ảnh hởng của lợng ma và những nhân tố khác nhau của đất
trong việc tạo thành lớp phủ bề mặt và đối với quá trình thấm do Moldenhauer
và Long tuyên bố năm 1964, Burwell và Larson năm 1969, Koon và các đồng

225
nghiệp năm 1879, Horton năm 1940 và Duley năm 1939. Rõ ràng, việc tạo
thành lớp vỏ bề mặt có ảnh hởng đáng kể, thậm chí là quyết định đối với
thấm ở những vùng đất trống hoặc đất không có lớp bảo vệ. Do đó, nhân tố này
cũng cần thiết phải đợc chú ý khi nghiên cứu về thấm trong điều kiện có ma.
Điều này cũng đặc biệt quan trọng đối với những vùng đất chỉ có một phần lớp
phủ bề mặt nh đất trồng trọt theo luống trong thời gian chuẩn bị gieo hạt và
giai đoạn đầu của thời kỳ cây sinh trởng.
4.5.5 Đất phân lớp
Hanks và Bowers năm 1962, đã giải phơng trình Richard để ứng dụng

cho thấm từ một bề mặt có vũng nớc vào một loại đất có hai lớp. Sự phân bố
áp lực đầu nớc liên tục đợc dự báo tại các biên của lớp đất, nhng việc dự báo
sự phân bố dung lợng nớc thì không liên tục do có sự khác nhau của những
đặc điểm nớc - đất giữa hai loại đất. Đối với đất thô ở trên đất mịn, thấm tiếp
diễn đúng nh đối với đất thô cho đến khi front ẩm đi đến lớp biên giữa hai lớp
đất. Sau đó sự tiến tới của front ẩm chậm dần, áp lực đầu nớc dơng tăng
trong lớp đỉnh và tốc độ thấm tiến tới đợc dự báo cho đất mịn. Mối quan hệ
giữa tốc độ và thời gian thấm đã dự báo đối với đất mịn ở trên đất thô thì gần
giống nh đã dự báo cho loại đất có kết cấu mịn ngoại trừ sự giảm của tốc độ
thấm khi front ẩm tiến đến lớp đất thô. Whisler và Klute năm 1966, đã đề cập
giải pháp tơng tự đối với đất có cấu trúc thô ở trên đất mịn, những vi lợng có
cấu trúc mịn ở trong đất thô và những vi lợng có cấu trúc thô ở trong đất mịn.
Cách giải của họ đối với vi lợng có cấu trúc thô trong đất mịn đợc dự báo
front ẩm sẽ đợc duy trì đối với giai đoạn trớc khi đi vào lớp thô. áp lực đầu
nớc tại front ẩm gần nh luôn âm. Do đó, những lỗ lớn hơn trong lớp đất có
kết cấu thô không lấp đợc đầy nớc mà chỉ dẫn tới sự bão hoà một phần và
dẫn suất thuỷ lực thấp. Kết quả là có một sự giảm lớn trong tốc độ thấm cùng
với sự bao phủ một phần khi front ẩm dịch chuyển vào trong lớp đất thô. Miller
và Gardner đã quan sát ảnh hởng này đối với thấm vào những loại đất khô và
đợc phân tầng. Do đó, một lớp đất mỏng có kết cấu mịn hay thô hơn các loại
đất khác đều có sự giảm của tốc độ thấm khi front ẩm đi tới lớp đó.


226
4.5.6 Sự di chuyển và sự kẹt lại của không khí trong đất
Phần trớc chúng ta đã nói rằng sự phát triển của phơng trình Richard
thừa nhận sự di chuyển của không khí trong đất qua mặt cắt ngang với sự cản
trở không đáng kể và áp suất không khí vẫn duy trì liên tục. Phơng trình
Richard sẽ đợc viết đối với áp suất không khí thay đổi sẽ đợc đề cập ở cuối
phần này. Tuy nhiên ngay khi nó đợc viết theo những số hạng của h, phải giả

thiết là áp suất không khí không đổi. Giả thiết này luôn luôn đợc chứng minh
bằng độ nhớt nhỏ của không khí liên quan tới độ nhớt của nớc và bằng việc
giả thiết rằng không khí có thể thoát qua những lỗ lớn vốn vẫn mở một phần
trong suốt quá trình thấm. Trong khi những giả thiết này có trong một vài ví
dụ, vẫn có một số trờng hợp trong đó không khí bị giữ lại bởi thấm của nớc
gây ra sự tăng dần áp suất không khí khi front ẩm tiến đến và giảm tốc độ
thấm. Thậm chí đối với những mặt cắt sâu, sự tăng dần của áp suất không khí
làm cho tốc độ thấm thấp hơn nếu lực cản của sự di chuyển không khí là
không đáng kể.
Sự mắc lại của một lợng không khí nhất định trong những lỗ riêng biệt
của đất thờng xảy ra trong suốt quá trình thấm không tính đến việc có hay
không có sự tăng dần áp suất không khí khi front ẩm tiến đến. Những lỗ chứa
không khí bị mắc lại không có giá trị cho việc vận chuyển nớc và dẫn tới một
dẫn suất thuỷ lực của K
s
thay cho K
o
nh đã đợc thảo luận trớc đây. Sự khác
nhau giữa K
s
và K
o
phụ thuộc vào số lợng và kích cỡ của những lỗ bị hạn chế
bởi lợng không khí bị mắc lại. Wilson và Luthin năm 1963, đã cho rằng sự
mắc lại xuất hiện chủ yếu trong những lỗ lớn hơn. Slack vào năm 1978 đã đa
ra phơng pháp ớc lợng K
s
đối với những lợng không khí khác nhau đã mắc
lại trong những lỗ lớn. Việc sử dụng phơng pháp của ông cho 10% tổng lợng
không khí bị mắc lại (

s
= 0,9
o
) sẽ dự báo 80% đến 90% sự giảm xuống trong
dẫn suất thủy lực. Do vậy sự mắc lại của không khí trong những lỗ riêng biệt
có thể có ảnh hởng đáng kể đối với K
s
và đối với quá trình thấm.
Thực tế về sự ảnh hởng của việc di chuyển không khí đối với thấm đã
đợc thừa nhận từ nhiều năm nay (Ví dụ: Free và Palmer năm 1940). Những
nghiên cứu về các ảnh hởng của sự tăng dần áp suất không khí và dòng
không khí trong quá trình thấm đợc tiến hành bởi Wilson và Luthin (1963),

227
Peck (1965) và Adrian và Franzini (1966). Một cuộc nghiên cứu đặc biệt chi tiết
về hiện tợng này với thấm của dầu khí đợc McWhorter tuyên bố năm 1971.
Ông đã tiến hành thí nghiệm về thấm trong cả điều kiện độ sâu giới hạn lẫn
điều kiện độ sâu không giới hạn cũng nh đã trình bày phơng pháp phân tích
cho việc dự báo ảnh hởng của dòng hai pha.
Hầu hết tài liệu liên quan đến các phơng trình về dòng đa pha không
thể trộn lẫn đợc tìm thấy trong những tạp chí về năng lợng dầu khí.
Breitenbach và các đồng nghiệp của ông (1968a, b) đã phát triển phơng trình
về dòng đa pha đối với những pha dầu, pha nớc và pha khí, và mô tả những
kỹ thuật số để giải các phơng trình trong bể chứa dầu mỏ. Việc tiếp cận của
công trình dầu mỏ của việc làm mô hình dòng chất lỏng đa pha đợc áp dụng
để miêu tả sự di chuyển hai pha (không khí- nớc) trong môi trờng xốp không
bão hoà (Green và các đồng nghiệp của ông, 1970; Phuc và Morel- Seytoux,
1972). Trình tự phân tích cũng đợc phát triển cho việc xử lý phơng trình hai
pha (McWhorter, 1971, 1976; Brustkern và Morel- Seytoux, 1970, 1975;
Noblanc và Morel- Seytoux, 1972; Sonu và Morel- Seytoux, 1976).

Những phơng trình khác nhau về phần phi tuyến đối với dòng chảy
ngắn hạn hai pha thông qua môi trờng xốp không bão hoà thu đợc bằng sự
kết hợp:
(a) phơng trình liên tục đối với mỗi pha của chất lỏng,
(b) định luật Darcy đối với mỗi pha,
(c) phơng trình tập trung nớc,
(d) phơng trình xác định áp suất mao dẫn,
(e) phơng trình trạng thái của pha không khí.
Những giả thiết tiếp theo đợc tạo do:
(a) định luật Darcy có giá trị cho cả pha ẩm (nớc) và không ẩm (không
khí),
(b) hai chất lỏng, không khí và nớc, là đồng nhất và không nén đợc,
(c) nớc nh là pha ẩm không nén đợc và không khí nh là pha không
ẩm nén đợc và

228
(d) dòng chảy là đờng đẳng nhiệt.
Những phơng trình liên tục đối với hai pha là:

pha nớc,
t
S
z
q
w


=

(4.11a)

và pha khí,
)S(
t
)q(
z
aaaa



=


(4.11b)

trong đó chỉ số dới a là đề cập đến pha không khí, S là sự bão hoà chất lỏng =
/, là trạng thái xốp, và là mật độ chất lỏng.
Định luật Darcy đối với hai pha có thể đợc biểu diễn nh sau:
pha nớc,









à

= g
z
P
kk
q
r
(4.12a)

và pha khí









à
= g
z
Pkk
q
a
a
a
ra
a
(4.12b)

ở đây k là tính thấm tuyệt đối hoặc bão hoà (L
2
) theo hớng z (dẫn suất thuỷ
lực có thể đợc định nghĩa là K= k
g/à); k
r
, k
ra
lần lợt là tính thấm tơng đối
của nớc và không khí;
à, à
a
lần lợt là độ nhớt của nớc và không khí (ML
-1
T
-
1
); g là gia tốc trọng trờng (LT
-2
); và P là áp suất chất lỏng (ML
-1
T
-2
). Phơng
trình bảo toàn chất lỏng biểu diễn nh sau:

S
w
+ S
a

= 1 (4.13)
Sử dụng định nghĩa và áp suất mao dẫn, P
c
, trong một trờng bão hoà
một phần:

229