Kỹ thuật và quản lý hệ thống nguồn nước ( Đại học Quốc gia Hà Nội ) - Chương 2 docx

41
CHƯƠNG
2
Kinh tế học
trong
hệ thống nguồn nớc




2.1. Phân tích kinh tế kỹ thuật
Phân tích kinh tế kỹ thuật là một quá trình đánh giá có thể đợc sử
dụng để so sánh các phơng án công trình tài nguyên nớc khác nhau và
lựa chọn một phơng án kinh tế nhất. Quá trình này đòi hỏi phải xác định
những phơng án khả thi và sau đó áp dụng một kỹ thuật chiết khấu để
chọn phơng án tốt nhất. Để thực hiện phân tích này, cần phải hiểu một số
khái niệm cơ bản nh tính tơng đơng về loại hình, tơng đơng về thời
gian, và các hệ số chiết khấu.
Một trong những bớc đầu tiên trong phân tích kinh tế là tìm ra một đơn
vị giá trị chung chẳng hạn nh là các đơn vị tiền tệ. Thông qua sử dụng đơn
vị giá trị chung này, các phơng án khác nhau có thể đợc đánh giá. Sự
đánh giá về tiền tệ của các phơng án nói chung diễn ra qua một số năm.
Mỗi giá trị tiền tệ phải đợc xác định bằng lợng và thời gian. Giá trị thời
gian của tiền có đợc từ sự sẵn sàng của con ngời để trả lãi cho việc sử
dụng tiền. Hệ quả là, tiền tại các thời điểm khác nhau không thể đợc kết
hợp hay so sánh một cách trực tiếp, mà đầu tiên phải biến đổi tơng đơng
thông qua sử dụng các hệ số chiết khấu. Các hệ số chiết khấu chuyển một
giá trị tiền tệ tại một thời điểm này thành một giá trị tơng đơng tại một
thời điểm khác.

42

Các ký hiệu đợc dùng để diễn tả hệ số chiết khấu: i là tỷ lệ lãi suất
hàng năm; n là số năm; P là lợng tiền hiện tại; F là lợng tiền tơng lai; và
A là lợng tiền hàng năm. Xét một lợng tiền P đợc lãi cho n năm với tỷ lệ
lãi suất là i %. Tổng F tơng lai tại thời điểm kết thúc n năm đợc xác định
theo quy trình sau:
Do đó tổng lợng tiền tơng lai là
F = P(1 + i)
n
(2.1.1)

Lợng tiền tại thời điểm
bắt đầu của năm
+
Lãi suất
=
Lợng tiền tại thời
điểm cuối năm
Năm đầu tiên P + iP = (1+i)P
Năm thứ hai (1+i)P + iP(1+i) = (1+i)
2
P
Năm thứ ba (1+i)
2
P + iP(1+i)
2
= (1+i)

3
P





Năm thứ n (1+i)
n-1
P + iP(1+i)
n-1
= (1+i)
n
P
và hệ số lợng phức hợp chi trả đơn là







ni
P
F
i
P
F
n
%,,1

(2.1.2)
Hệ số này xác định số đô la tích lũy sau n năm cho mỗi đô la đợc đầu
t ban đầu với tỷ lệ lãi suất là i %. Hệ số giá trị hiện tại chi trả một lần
(P/F, i%, n) đơn giản là nghịch đảo của hệ số lợng phức hợp chi trả đơn.
Bảng 2.1.1 tổng kết các hệ số chiết khấu khác nhau.
Các hệ số chuỗi hàng năm đồng đều đợc sử dụng cho sự tơng đơng
giữa những lợng tiền hiện tại (P) và lợng tiền hàng năm (A) hay giữa
lợng tơng lai (F) và lợng hàng năm (A). Xét lợng tiền A phải đợc đầu
t hàng năm (ở cuối mỗi năm) để tích lũy lợng tiền F sau n năm. Giá trị
cuối cùng của A trong năm thứ n đợc rút ngay trên khoản tiền chi trả vì thế
nó không tích lũy lãi suất. Giá trị tơng lai F là
F = A + (1 + i)A + (1+i)
2
A + + (1+i)
n-1
A (2.1.3)
Nhân phơng trình (2.1.3) với (1+i), và trừ đi phơng trình (2.1.3) ta
nhận đợc hệ số quỹ đầu t









ni
F
A

i
i
F
A
n
%,,
11
(2.1.4)
Hệ số quỹ đầu t là số đô la A phải đầu t i% vào cuỗi của mỗi n năm
để tích lũy 1 đô la. Hệ số lợng phức hợp chuỗi (F/A) là nghịch đảo của
hệ số quỹ đầu t (bảng 2.1.1), là lợng đô la sẽ tích lũy nếu một đô la đợc
đầu t vào cuối những năm n với i %. Hệ số hoàn vốn đầu t có thể đợc
xác định bằng cách nhân hệ số quỹ đầu t (A/F) với hệ số lợng phức hợp
chi trả đơn (Bảng 2.1.1)


43
P
F
F
A
ni
P
A

%,,
(2.1.5)
Hệ số này là số đô la có thể rút ra tại cuối mỗi n năm nếu 1 đô la lúc đầu
đợc đầu t. Nghịch đảo của hệ số hoàn vốn đầu t là hệ số chuỗi giá trị
hiện tại (P/A), cho ta số đô la đợc đầu t ban đầu để phát sinh 1 đô la tại
cuối mỗi năm.
Hệ số chuỗi gradient đồng đều là số đô la đầu t ban đầu để thu đợc
1 đô la sau một năm, 2 đô la sau hai năm, 3 đô la sau 3 năm và n đô la sau n
năm.
Ví dụ 2.1.1. Một dự án tài nguyên nớc có lợi nhuận bằng 20000 đô la sau một năm đầu tiên và tăng
theo một chuỗi gradient đồng đều tới 100000 đô la sau 5 năm. Lợi nhuận vẫn không đổi ở mức
100000 mỗi năm cho đến hết năm 30, sau đó chúng giảm xuống 0 đô la theo một gradient đồng đều
đến cuối năm 40, Giá trị hiện tại của lợi nhuận là bao nhiêu? Biết rằng tỷ lệ lãi suất là 6%.
Bảng 2.1.1
Tổng kết về các hệ số chiết khấu
Loại hệ số chiết
khấu
Ký hiệu
Cho
trớc

Tìm

Hệ số
Các hệ số chi trả đơn
Hệ số lợng phức
hợp
, %,
F

i n
P




P F

1
n
i



Hệ số giá trị hiện
tại
, %,
P
i n
F




F P

1
1
n
i

Các hệ số chuỗi hàng năm đồng nhất
Hệ số quỹ đầu t
, %,
A
i n
F




F A
(1 ) 1
n
i
i



Hệ số hoàn vốn
, %,
A
i n
P

P A
(1 )
(1 ) 1
n
n
i i
i




Hệ số lợng phức
hợp chuỗi
, %,
F
i n
A




A F

1 1
n
i
i

Hệ số chuỗi giá trị
hiện tại
, %,
P
i n
A




A P


1 1
1
n
n
i
i i




Các hệ số chuỗi gradient đồng đều


44

Hệ số chuỗi giá trị
hiện tại gradient

đồng đều
, %,
P
i n
G




G P


1
2
1 1
1
n
n
i ni i
i i





*Các hệ số chiết khấu thể hiện số đô la của một đô la đã cho của P. F. A và G.
Lời giải Giá trị hiện tại của chuỗi đồng đều cho các năm 1 tới 5 là

242822$
1411.12200005%,6,20000

G
P

Giá trị hiện tại của chuỗi hàng năm cho các năm từ 6 đến 30 là

252.955$
74726.07834.121000005%,6,5%,6,100000

F
P
A
P


Hình 2.1.1
Sơ đồ luồng tiền mặt
Giá trị hiện tại của chuỗi gradient đồng đều cho các năm 31 đến 40 đợc mô hình hóa bằng một
chuỗi các đầu t hàng năm bằng 80000 đô la trên một năm cho các năm 31 đến 39 và trừ đi một
chuỗi gradient đồng đều cho các năm tơng tự, nh đợc chỉ ra trong hình 2.1.1. Giá trị hiện tại đợc
xác định bằng cách áp dụng hệ số giá trị hiện tại chi trả một lần

80000 ,6%,9 ,6%,30 20000 ,6%,8 ,6%,31
80000 6,80170 0,17411 20000 26,05137 0,16425
$9159
P P P P
A F G F







Tổng giá trị hiện tại là
$242822 + $955252 +$9159 = $1207233
2.2. Phân tích chi phí lợi nhuận
Các dự án nớc kéo dài theo thời gian, chịu những chi phí trong thời
gian của dự án, và các lợi nhuận sản xuất. Về cơ bản, các chi phí là lớn

trong thời kỳ bắt đầu và xây dựng ban đầu, sau đó là các chi phí duy trì và


45
hoạt động. Các lợi nhuận tích lũy tới một tối đa qua thời gian nh đợc
miêu tả trong hình 2.2.1. Giá trị lợi nhuận hiện tại (PVB) và giá trị chi phí
hiện tại (PVC) tơng ứng là


n
n
i
b
i
b
i
b
bPVB






1

1
1
2
21

0
(2.2.1)
và


n
n
i
c
i
c
i
c
cPVC






1

1
1
2
21
0
(2.2.2)
Giá trị hiện tại của lợi nhuận thực bằng
PVNB = PVB - PVC

n
nn
i
cb
i
cb
i
cb
cb









1

1
1
2
2211
00
(2.2.3)

Hình 2.2.1
Các chi phí và lợi nhuận theo thời gian.
Để tiến hành phân tích chi phí lợi nhuận, cần phải có các quy tắc tối
u hóa kinh tế của việc thiết kế dự án và các quy trình phân cấp dự án.
Howe (1971) chỉ ra rằng điểm quan trọng nhất trong quy hoạch dự án là xét
phạm vi rộng nhất của các phơng án. Về cơ bản, phạm vi của các phơng
án đã chọn đợc hạn chế bởi trách nhiệm của cơ quan và/hoặc các nhà quy
hoạch tài nguyên nớc. Đặc trng của bài toán cần giải quyết có thể cũng
quy định phạm vi của các phơng án. Điều tra sơ bộ về các phơng án có
thể giúp loại trừ các dự án bởi tính không khả thi về kỹ thuật hay chi phí.
Xét một bài toán thiết kế dự án đơn mục tiêu tối u chẳng hạn nh việc
xây dựng một hệ thống kiểm soát lũ hay một dự án cấp nớc. Kích thớc tối
u có thể đợc xác định bằng cách lựa chọn phơng án sao cho giá trị các
số gia của chi phí hiện tại,
PVC

, bằng số gia của giá trị lợi nhuận hiện tại,
PVB

,
PVCPVB

46

Số gia giá trị lợi nhuận và chi phí là có đợc do một sự gia tăng cho
trớc về kích thớc của một dự án


n
n
i
b
i
b
i
b
PVB









1

1
1
2
21
(2.2.4)
và


n
n
i
c
i
c
i
c
PVC









1

1
1

2
21
(2.2.5)
Khi chọn một tập hợp các dự án, một quy tắc cho sự lựa chọn tối u là
tối đa hóa giá trị lợi nhuận thực hiện tại. Một chỉ tiêu phân loại khác là sử
dụng tỷ số lợi nhuận chi phí (B/C), PVB/PVC.
PVC
PVB
C
B

(2.2.6)
Phơng pháp này có tùy chọn về việc trừ các chi phí định kỳ khỏi lợi
nhuận hàng năm hay gộp tất cả các chi phí trong giá trị chi phí hiện tại. Mỗi
tùy chọn này sẽ dẫn tới một B/C khác nhau, với các B/C cao hơn khi không
tính đến các chi phí hàng năm, nếu B/C lớn hơn 1. B/C thờng đợc sử
dụng để loại bỏ ngay từ đầu các phơng án không khả thi mà B/C của
chúng <1.

Bảng 2.2.1
Xác định quy mô tối u của việc xây dựng một công trình thủy điện của Ví dụ 2.2.2 (Nguồn: Sewell và những
ngời khác, 1961)
1 2 3 4 5 Tiền lãi
Quy mô
(kw)

Chi phí
C($000)
Lợi nhuận
B($000)

Lợi nhuận
thực($000) B/C
Chi phí
C
($000)

Lợi nhuận B
($000)

B/C

50,000 15,000 18,000 3,000 1,2 - - -
60,000 17,400 21,000 3,600 1,2 2,400 3,000 1,3
75,000 21,000 26,700 5,700 1,3 3,600 5,700 1,6
90,000 23,400 29,800 6,400 1,3 2,400 3,100 1,3
*100,000 26,000 32,700 6,700 1,3 2,600 2,900 1,1
125,000 32,500 38,500 6,000 1,2 6,500 5,800 0,9
150,000 37,500 42,500 5,000 1,1 5,000 4,000 0,8
200,000 50,000 50,000 - 1,0 12,500 7,500 0,6
*Quy mô tối u của dự án.
Việc lựa chọn phơng án tối u dựa trên tỷ lệ số gia lợi nhuận chi phí,
CB


/
, còn tỷ số B/C đợc sử dụng để phân loại các phơng án. Tỷ số số
gia lợi nhuận chi phí bằng

kj
kj
APVCAPVC
APVBAPVB
C
B





(2.2.7)
trong đó PVB(A
j
) là giá chị lợi nhuận hiện tại cho phơng án A
j
. hình 2.2.2
là một sơ đồ minh họa phơng pháp lợi nhuận chi phí.


47
Ví dụ 2.2.1. Xác định quy mô tối u của việc xây dựng một công trình thủy điện sử dụng quy trình
phân tích chi phí- lợi nhuận. Các công trình kích thớc khác nhau và lợi nhuận tơng ứng đợc liệt kê
trong Bảng 2.2.1.
Lời giải Theo hình 2.2.2, quy trình phân tích chi phí lợi nhuận đầu tiên tính các B/C của từng phơng
án và phân loại các công trình với B/C >1 ở dạng chi phí tăng. Theo Bảng 2.2.1, các B/C cho các
phơng án là các tỷ số số gia lợi nhuận chi phí, đợc cho trong cột 8. So sánh các phơng án 50000

và 60000 kW,
CB


/
bằng
3.1
2400
3000



C
B

Chú ý rằng tỷ số số gia lợi nhuận chi phí là lớn hơn 1 cho tới các công trình 100000 và 125000 kW
đợc so sánh trong đó
9.0/



CB
. Điều này có nghĩa rằng số gia lợi nhuận không còn lớn hơn
số gia chi phí. Quy mô tối u của việc xây dựng là công trình 100000 kW, có lợi nhuận thực lớn nhất.
2.3 Lý thuyết hành vi khách hàng
2.3.1. Độ thoả dụng
Một khách hàng giả sử lựa chọn một trong các phơng án theo một cách
thức nào đó để có đợc sự thỏa mãn. Cũng giả sử rằng ngời tiêu thụ hiểu
rõ các phơng án hiện có. Hàm thoả dụng chứa thông tin gắn liền với mức
độ thỏa mãn của mỗi phơng án. Một hàm thỏa dụng với m hàng hóa, w

1
,
w
2
, , w
m
, đợc biểu diễn bằng


m
wwwfu , ,,
21

(2.3.1)


48


Hình 2.2.2
Sơ đồ các bớc phân tích chi phí-lợi nhuận.
Xét hàm thỏa dụng cho một trờng hợp đơn giản trong đó một ngời
tiêu thụ có hai mặt hàng để chọn, hàm thỏa dụng đợc biểu thị bằng


21
, wwfu
(2.3.2)
trong đó w
1

và w
2
là những định lợng của hai mặt hàng khác nhau. Giả sử
rằng các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm thỏa dụng liên tục, và đạo
hàm bậc nhất dơng thực sự vì thế một khách hàng sẽ luôn mong đợi nhiều
hơn của cả hai mặt hàng. Hàm thỏa dụng đợc xác định cho sự tiêu thụ
trong một khoảng thời gian nhất định.
Một mức thỏa dụng riêng u
0
có thể đợc định nghĩa bằng


21
0
, wwfu
(2.3.3)
trong đó u
0
là không đổi và định nghĩa một đờng đẳng dụng là quỹ tích
của tổ hợp các hàng hóa mà với nó ngời tiêu thụ có cùng một mức độ thỏa
mãn. Với một tổ hợp các hàng hóa đơn lẻ không thể cho ra hai mức độ thỏa


49
mãn, tức là các đờng đẳng dụng không cắt nhau. Các dạng hàm thỏa dụng
là lõm, hạn chế dạng của các đờng đẳng dụng. Với hai điểm, (
0
2
0
1

, ww
) và
(
1
2
1
1
, ww
) trên một đờng đẳng dụng trong đó




1
2
1
1
0
2
0
1
0
,, wwfwwfu
,
phơng trình sau đợc thỏa mãn

01
2
0
2
1
1
0
1
1,1 uwwwwfu

(2.3.4)
với tất cả
10



. Phơng trình (2.3.4) diễn đạt rằng tất cả các điểm nằm
giữa một
đoạn thẳng nối hai điểm trên một đờng đẳng dụng đợc đặt nằm trên các
đờng đẳng dụng của các mức độ thỏa mãn cao hơn (Xem hình 2.3.1). Một
bản đồ đẳng dụng là một hệ các đờng đẳng dụng có các mức độ thỏa
dụng hay thỏa mãn khác nhau nh trong hình 2.3.2.
Một đặc trng khác của các đờng đẳng dụng là chúng có xu hớng
tiệm cận tới các trục, tức là một mặt hàng ngày càng ít đợc tiêu thụ, sự hi
sinh của việc từ bỏ một đơn vị bổ xung trở nên lớn hơn. Rất nhiều đơn vị
mặt hàng thứ hai phải đợc thay thế để duy trì cùng một mức độ thỏa mãn.
Sai phân toàn phần của một hàm thỏa dụng bằng
2
2

1
1
dw
w
f
dw
w
f
du






(2.3.5)

trong đó
1
/ wf
và
2
/ wf
là độ thỏa dụng biên tế.
Đi dọc theo một đờng đẳng dụng và thế một mặt hàng cho một mặt
hàng khác, du = 0 vì thế
0
2
2
1

1






dw
w
f
dw
w
f

và sắp xếp lại
2
1
1
2
w
f
w
f
dw
dw

(2.3.6)
Phơng trình này định nghĩa tỷ lệ thay thế biên hay tỷ lệ thay thế
hàng hóa (Henderson và Quandt, 1980). Tỷ lệ thay thế biên là độ dốc của
một đờng đẳng dụng dw
2
/dw
1
mà nó xác định tỷ lệ một ngời tiêu thụ thay
thế w
1
cho w
2
trên một đơn vị tỷ lệ của w
1
để duy trì một mức độ thỏa dụng
xác định.
2.3.2. Tối đa hóa độ thỏa dụng
Xét ràng buộc ngân sách của một khách hàng nh sau


50

2211
0
wpwpB
(2.3.7)
trong đó B
0
biểu thị thu nhập khách hàng, p
1

và p
2
tơng ứng là giá của w
1

và w
2
. Một khách hàng muốn tối đa hóa hàm thỏa dụng (2.3.2) với giả thiết
phơng trình ràng buộc ngân sách (2.3.7).
Bài toán tối đa hóa có ràng buộc này có thể đợc tiếp cận thông qua
việc sử dụng một hàm Lagrange (để biết chi tiết, xem Mục 4.5)


Hình 2.3.1
Đờng đẳng dụng


51

Hình 2.3.2
Phân bổ thu nhập tối u.




2211
0
21
, wpwpBwwfL

(2.3.8)
Phơng trình này kết hợp các phơng trình (2.3.2) và (2.3.7) và sử dụng

là một nhân tử Lagrange. Các ẩn số trong hàm Lagrange là w
1
, w
2
và

.
Để tối u (tối đa hóa), các điều kiện sau phải đợc thỏa mãn từ các nguyên
lý đơn giản trong tính toán đạo hàm:
0
1
11






p
w
f
w
L

(2.3.9a)
0
2

22






p
w
f
w
L

(2.3.9b)
0
2211
0



wpwpB
L

(2.3.9c)
Kết hợp các phơng trình (2.3.9a, b) dẫn tới
2
1
2
1
p

p
w
f
w
f





hay
2
1
1
2
p
p
w
w



(2.3.10)
Phơng trình này nói lên rằng, độ thỏa dụng tối đa đạt đợc khi tỷ số độ
thỏa dụng biên tế phải bằng tỷ số giá cả. Các điểm tối u cho phân bổ thu
nhập đối với ba mức ngân sách B
0
, B
1
và B

2
đợc minh họa trong hình 2.3.3.


52

Theo phơng trình (2.3.6) vế trái của phơng trình (2.3.10) là tỷ lệ thay
thế biên (
12
/ ww
), vì thế tại độ thỏa dụng tối đa, tỷ lệ thay thế biên là
bằng tỷ số giá cả. Các phơng trình (2.3.9a, b) có thể đợc viết thành







2
2
1
1
p
w
f
p
w
f
(2.3.11)

Phơng trình này nói lên rằng độ thỏa dụng biên tế chia cho giá của hàng
hóa phải giống nhau cho tất cả các mặt hàng.
Các điều kiện bậc hai cho sự tối đa hóa của phơng trình hàm Lagrange
(2.3.8) đòi hỏi định thức ma trận Hessian là dơng (để biết chi tiết hơn,
xem Mục 4.3).
0
0
21
2
2
2
2
12
2
1
21
2
2
1
2

pp
p
w
f
ww
f
p
ww
f
w
f
(2.3.12)
tức là
02
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
21
21
2

p
w
f
p
w
f
pp
ww
f
(2.3.13)
Từ các phơng trình (2.3.9a, b),

/1/
11
wfp
và





/1/
22
wfp
,
đợc thế vào trong phơng trình (2.3.13) và nhân với
2

dẫn tới
02
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2

2121
2

w
f
w
f
w
f
w
f
w
f
w
f
ww
f
(2.3.14)
Đây là bất đẳng thức chặt cho một hàm giả lõm thực sự (Mục 4.3).
2.3.3. Các hàm cầu
Một hàm cầu của khách hàng biểu thị lợng hàng hóa mà khách hàng
sẵn sàng mua nh một hàm của giá cả và thu nhập. Đờng cầu nói chung
đợc giả sử có độ dốc âm (Hình 2.3.4), tức là giá càng thấp thì nhu cầu
càng cao. Các hàm cầu là các hàm đơn trị của giá cả và thu nhập, nh đợc
biểu thị trên đờng cầu về nớc trong hình 2.3.4. Nếu tất cả các giá và thu
nhập thay đổi cùng một tỷ lệ, thì nhu cầu vẫn không đổi. Điều này nói lên

rằng các hàm cầu là thuần nhất bậc không về giá và thu nhập (Henderson và
Quandt, 1980).
Hai lực tác động tới khách hàng khi giá của một mặt hàng thay đổi: (1)
sự trao đổi hàng hóa hay ảnh hởng thay thế; và (2) ảnh hởng thu nhập


53
mà thu nhập tăng nếu giá giảm và giảm nếu giá tăng. ảnh hởng thay thế
luôn luôn xảy ra sao cho một sự tăng về giá cả của một mặt hàng sẽ dẫn đến
mặt hàng đợc tiêu thụ ít hơn. Một sự giảm giá sẽ dẫn tới hàng hóa đợc
tiêu thụ nhiều hơn.
Độ co giãn cầu là tỷ lệ thay đổi tơng xứng về lợng nhu cầu chia cho
tỷ lệ thay đổi tơng xứng trong chính giá cả của nó
1
1
1
1
11
11
11
/
/
p
w
w
p
pp
ww

(2.3.15)
Các hàng hóa với độ co giãn cao (
11


-1) là những thứ cần thiết. độ co
giãn lớn ám chỉ rằng lợng nhu cầu là rất nhạy với những thay đổi giá cả.
Một phí tổn của ngời tiêu thụ đối với một hàng hóa là p
1
w
1
vì thế thay
đổi theo giá cả là

1
1
1
1
1
1
1
11
1
11
1
p
w
w
p
w
p
w
pw
p
wp

111
1

w
(2.3.16)
Điều này rõ ràng chứng tỏ rằng nếu
1
11


, những phí tổn của một
khách hàng trên w
1
sẽ tăng với p
1
. Nếu
1
11


, những phí tổn của một khác
hàng sẽ giảm và nếu
1
11


, các phí tổn sẽ giữ không đổi. Độ co giãn theo
giá của cầu là một đặc trng của đờng cầu vì thế độ co giãn này bị ảnh
hởng bởi những nhân tố có ảnh hởng đến nhu cầu. Điển hình là, một
hàng hóa có dộ co giãn càng lớn, càng có sẵn nhiều thay thế, phạm vi sử

dụng càng rộng và phần thu nhập của ngời tiêu thụ đợc dùng vào hàng
hóa đó càng lớn. Tóm lại, nhu cầu là tơng đối không co giãn khi những
thay đổi về lợng nhỏ hơn tỷ lệ thuận với giá cả và là tơng đối đàn hồi khi
những thay đổi về lợng lớn hơn tỷ lệ thuận với giá cả.
Độ co giãn chéo theo giá của cầu liên hệ sự thay đổi tỷ lệ về lợng của
một mặt hàng với sự thay đổi tỷ lệ về giá cả của một mặt hàng khác
1
2
2
1
21
p
w
w
p




(2.3.17)
Đại lợng này có thể là dơng hoặc âm.


54


Hình 2.3.4
Đờng cong nhu cầu nớc của cá thể
Ví dụ 2.3.1. Billings và Agthe (1980) đã xây dựng hàm cầu về nớc cho Tucson, Arizona nh sau
ln(Q) = -7,36 - 0,267 ln(P) + 1,61 ln(I) - 0,123 ln(D) + 0,0897 ln(W)

trong đó Q là lợng tiêu thụ nớc hàng tháng của hộ gia đình trung bình, đơn vị là 100 ft
3
; P là giá
biên đối với hộ gia đình, đơn vị là cent/100 ft
3
; D là chênh lệch giữa chi phí thực tế cho nớc và nớc
thải trừ đi chi phí có thể phải trả nếu tất cả nớc đợc bán với giá biên ($); I là thu nhập cá nhân trên
hộ gia đình, đơn vị $/tháng; W là lợng bốc thoát hơi nớc trừ lợng ma (đơn vị inche). Xác định độ
co giãn theo giá của cầu đối với nớc.
Lời giải Hàm cầu cho loại hàng hóa này, nớc, có thể đợc viết bằng
Q = 0,0006362P
-0,267
I
1.61
D
-0,123
W
0,0897

độ co giãn theo giá của cầu theo phơng trình (2.3.15) bằng
dP
dQ
Q
P



trong đó

1.267 1.61 0.123 0.0897

1
0,267 0,0006362
0,267
dQ
P I D W
dP
P Q





Do đó độ co giãn bằng

1
0,267
0,267
P
P Q
Q





Độ co giãn theo giá bằng -0,267 này chứng tỏ rằng với 1,0 % tăng lên về giá, 0,267 % giảm về lợng
nhu cầu sẽ đợc kỳ vọng hoặc ngợc lại, 1,0 % giảm về giá sẽ tạo ra 0,267 % giảm về lợng nhu cầu.


55

2.4. Lý thuyết công ty
Một công ty là một đơn vị kỹ thuật mà trong đó các hàng hóa đợc tạo
ra (Henderson và Quandt, 1980). Lý thuyết công ty tập trung vào giải thích
một công ty nên làm nh thế nào cho việc: (a) phân bổ các đầu vào hay các
tài nguyên của nó trong sản xuất của đầu ra hay sản phẩm; (b) quyết định
mức độ sản xuất; và (c) đối với một thay đổi về giá của các đầu vào và đầu
ra. Sự chuyển đổi các đầu vào thành các đầu ra đợc diễn tả thông qua sử
dụng một hàm sản xuất. Các hệ thống nguồn nớc có thể đợc phân tích sử
dụng các khái niệm của lý thuyết công ty.
2.4.1. Các khái niệm cơ bản
Một hàm sản xuất biểu diễn lợng đầu ra bằng một hàm của các lợng
đầu vào thay đổi. Các đầu vào có thể đợc xét là các đầu vào không đổi (sự
không đổi do thực tế là lợng đầu vào không thay đổi) và các đầu vào biến
đổi. Hàm sản xuất có thể đợc phát biểu bằng toán học cho một đầu ra, q,
với m đầu vào thay đổi x là


m
xxxfq , ,,
21

(2.4.1)
Một hàm sản xuất giả định trớc hiệu suất kỹ thuật và các trạng thái đầu
ra lớn nhất có thể nhận đợc từ mọi tổ hợp đầu vào có thể.
Xét quá trình sản xuất đơn giản trong Bảng 2.4.1, có hai đầu vào biến
động, nớc tới x
1
và phân bón nitrogen x
2
, với đầu ra là sản lợng ngũ cốc,

q,
),(
21
xxfq
(2.4.2)
Quá trình sản xuất này cũng có một số đầu vào không đổi gồm có hạt
giống, lao động, sự phục vụ của máy móc, và sự phục vụ của đất.
Các mức đầu vào và đầu ra là các tỷ lệ của sự sử dụng hay sự sản xuất
trên một đơn vị thời gian. Trong ví dụ sản xuất trong Bảng 2.4.1 đơn vị thời
gian là một mùa canh tác. Trong thời gian dài, các mức của tất cả các đầu
vào là các biến còn trong thời gian ngắn, một đầu vào ấn định là không đổi
mà mức sẵn có không thể đợc thay thế.
Tổng sản phẩm của đầu vào x
2
trong sản xuất bằng q là lợng đầu ra từ
đầu vào x
2
nếu x
1
đợc ấn định bằng
1
x



21
, xxfq

vì thế q là một hàm của chỉ x
2

. Quan hệ giữa q và x
2
đợc thay bằng việc đổi
1
x
. Với mỗi giá trị của
1
x
, một đờng cong tổng sản phẩm có thể đợc
xây dựng để biểu thị đờng cong của tổng sản phẩm q bằng một hàm của
lợng đầu vào thay đổi
2
x
.


56

Năng suất trung bình (AP- Average Product) của x
2
là tổng sảm phẩm
chia cho lợng đầu vào thay đổi x
2
với đầu vào ấn định
1
x



2

21
2
,
x
xxf
x
q
AP
(2.4.3)
Năng suất biên (
2
x
MP
) của x
2
là tỷ lệ thay đổi của tổng sản phẩm theo
lợng đầu vào thay đổi x
2



22
2
1
2
,
2
x
q
x

xxf
x
q
MP
x









(2.4.4)
năng suất biên là độ dốc của đờng cong tổng sản phẩm. Theo hình 2.4.1,
năng suất biên tăng từ gốc tới điểm uốn của đờng cong tổng sản phẩm mà
độ dốc là tối đa. Năng suất biên và năng suất trung bình là bằng nhau tại giá
trị lớn nhất của năng suất trung bình.
Ví dụ 2.4.1. Sử dụng hàm sản xuất đợc trình bày trong bảng 2.4.1 để xác định các năng suất trung
bình và năng suất biên cho nớc tới đợc giữ không đổi bằng 7 inche/mẫu và xét 40 và 50 pao phân
bón /mẫu
Lời giải Tổng sản phẩm cho 40 và 50 pao phân bón trên một mẫu với nớc bằng 7 inch/mẫu là 126
và 161 giạ, tơng ứng. Năng suất trung bình theo phơng trình (2.4.3) cho 40 pao phân bón là
15.3
40
126
2

x

q
AP

và với 50 pao là 3.22. Năng suất biên theo phơng trình (2.4.4) là
5.3
4050
126161
2







x
q
MP

là độ dốc của đờng cong tổng sản phẩm.

Bảng 2.4.1
Quy trình sản xuất của mối quan hệ giữa lợng nớc tới, phân bón nitrogen, và sản lợng ngô (giạ/mẫu) Schefter et
al., 1978)
Số pao
Nitrogen/mẫu x
1
: Số inch tới - Nớc/mẫu
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0

10 0,0

1,8 5,0 9,0 13,2 17,0 19,8 21,0 20,0 16,2 9,0 0,0 0,0

0,0

20 0,0

5,0 12,8

22,2 32,0 41,0 48,0 51,8 51,2 45,0 32,0 11,0

0,0

0,0

30 0,0

9,0 22,2

37,8 54,0 69,0 81,0 88,2 88,0 81,0 63,0 33,0

0,0

0,0

40 0,0

13,2 32,0

54,0 76,8 98,0 115,2 126,0 128,0 118,8 96,0 57,2

0,0

0,0

50 0,0

17,0 41,0

69,0 98,0 125,0 147,0 161,0 164,0 153,0 125,0 77,0

6,0

0,0

60 0,0

19,8 48,0

81,0 115,2 147,0 172,8 189,0 192,0 178,2 144,0 85,8

0,0

0,0

70 0,0

21,0 51,8

88,2 126,0 161,0 189,0 205,8 207,2 189,0 147,0 77,0

0,0

0,0

80 0,0

20,0 51,2

88,0 128,0 164,0 192,0 207,2 204,8 180,0 128,0 44,0

0,0

0,0

90 0,0

16,2 45,0

81,0 118,8 153,0 178,2 189,0 180,0 145,8 81,0 0,0 0,0

0,0

100 0,0

9,0 32,0

63,0 96,0 125,0 144,0 147,0 128,0 81,0 0,0 0,0 0,0

0,0

110 0,0

0,0 11,0

33,0 57,2 77,0 85,8 77,0 44,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0

120 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 6,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0

130 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0

57

Hình 2.4.1
Tổng sản phẩm, năng suất trung bình và năng suất
biên
Một đờng đẳng lợng định nghĩa quỹ tích của tất cả các tổ hợp của
các đầu vào thay đổi mà cho ra cùng một mực đầu ra, q
0
, ví dụ


21
0
, xxfq
(2.4.5)
Các đờng đẳng lợng cho một quá trình hai biến đầu vào đợc minh
họa trong hình 2.4.2 trong đó các mực đầu ra là q
3
> q
2
> q
1
.
Tỷ lệ thay thế kỹ thuật (RTS Rate of Technical Substitution) là giá
trị âm độ dốc của đờng đẳng lợng
1
2
dx
dx
RTS

(2.4.6)
đây là tỷ lệ mà tại đó một đầu vào phải đợc thay thế cho một đầu vào khác
để duy trì cùng mức đầu ra. Đạo hàm toàn phần của một hàm sản xuất là




2
2
21
1
1
21
,,
dx
x
xxf
dx
x
xxf
dq






(2.4.7a)
21
21

dxMPdxMP
xx

(2.4.7b)
Để giữ một đờng đẳng lợng không đổi trong dx
1
và dx
2
, thì dq = 0
21
21
0 dxMPdxMP
xx

(2.4.8)
Vì thế tỷ lệ thay thế kỹ thuật là tỷ số của các năng suất biên


58

2
1
1
2
x
x
MP
MP
dx
dx

RTS
(2.4.9)

Hình 2.4.2
Họ các đờng đẳng lợng cho quá trình hai biến đầu
vào
Bản đồ đờng đẳng lợng của quá trình sản xuất trong Bảng 2.4.1 đợc
chỉ ra trong hình 2.4.3. Nếu
1
x
MP
hay
2
x
MP
trở thành âm, thì quá nhiều đầu
vào x
1
hay x
2
tơng ứng, đợc sử dụng trong quá trình sản xuất và RTS sẽ là
âm. Quá trình sản xuất trong hình 2.4.3 minh họa vùng hoạt động hợp lý
mà cả
1
x
MP
và
2
x
MP

đều dơng và đợc kèm theo bởi các đờng gợn R
1
và
R
2
. Điểm B là có thể a thích hơn điểm A bởi vì tại điểm B cần rất ít x
2
để
tạo ra cùng một đầu ra. Tơng tự, điểm B là a thích hơn điểm C vì tại điểm
B cần rất ít x
1
để tạo ra cùng một đầu ra. Tại điểm D cần thiết quá nhiều cả
x
1
và x
2
.
Dới dạng tổng quát hơn với n biến đầu vào cùng với một đờng đẳng
lợng, ta có quan hệ sau







m
j
j
j

dx
x
xf
1
0
(2.4.10)
trong đó x = (x
1
, x
2
, , x
m
).
2.4.2. Những tổ hợp đầu vào tối u
Xét hàm chi phí tuyến tính sau cho quá trình sản xuất có hai biến đầu
vào
C = r
1
x
1
+ r
2
x
2
(2.4.11)


59
trong đó r
1

và r
2
là giá của các đầu vào x
1
và x
2
tơng ứng. Với C đợc cố
định tại C
0
thì một đờng đẳng phí là quỹ tích của những tổ hợp đầu vào
có thể cho chi phí cố định đó. Rút x
2
từ phơng trình (2.4.11) ra ta có
1
2
1
2
2
x
r
r
r
C
x
(2.4.12)

Hình 2.4.3
Một bản đồ đẳng lợng của bề mặt phản ứng sản xuất miêu tả trong Bảng 2.4.1 (Schefter et al., 1978)
hình 2.4.4 minh họa một họ các đờng đẳng phí xếp chồng lên một họ
các đờng đẳng lợng. Những tổ hợp đầu vào tối u là những tổ hợp đầu

vào cho một đờng đẳng lợng riêng mà chi phí là nhỏ nhất. ở đây là tại các
điểm A, B và C cho các mức đầu ra q
1
, q
2
và q
3
tơng ứng. Đạo hàm phơng
trình (2.4.12) theo x
1
là
2
1
1
2
r
r
dx
dx

(2.4.13)
Và kết hợp với phơng trình (2.4.9) xác định tỷ lệ thay thế công nghệ
bằng
2
1
1
2
2
1
r

r
MP
MP
dx
dx
RTS
x
x

(2.4.14)
Nếu một nhà sản xuất hoặc là tối đa hóa đầu ra với giả thiết một chi phí
xác định hay tối tiểu hóa chi phí với giả thiết một đầu ra xác định, thì nhà


60

sản xuất sẽ luôn luôn sử dụng các đầu vào để làm cho RTS và tỷ số giá đầu
vào là bằng nhau. Phơng trình (2.4.14) có thể đợc sắp xếp lại thành
21
21
r
MP
r
MP
xx

(2.4.15)
Phơng trình này phát biểu rằng tổ hợp đầu vào tối u đợc tìm thấy ở
nơi mà năng suất biên của mỗi đầu vào trên một đô la chi phí của nó là
bằng nhau đối với tất cả các đầu vào.

Quỹ tích của các điểm tiếp xúc xác định đờng chi phí nhỏ nhất của
công ty nh đợc chỉ ra trong hình 2.4.4. Hoạt động thích hợp trong một
quá trình sản xuất chỉ chọn các tổ hợp đầu vào nằm trên đờng chi phí nhỏ
nhất. Đờng chi phí nhỏ nhất có thể đợc phát biểu bằng toán học là
g(x
1
, x
2
) = 0 (2.4.16)
với nó các điều kiện thứ nhất và thứ hai cho tối đa hóa ràng buộc và cực tiểu
ràng buộc đợc thỏa mãn (Henderson và Quandt, 1980).

Hình 2.4.4
Họ các đờng đẳng phí trên một họ các đờng đẳng lợng.
Ví dụ 2.4.2. Sử dụng hàm sản xuất trong Bảng 2.4.1, một nhà sản xuất có kinh phí chi tiêu bằng
$100/mẫu cho các đầu vào, nớc và phân bón. Các chi phí của các đầu vào này là $10/mẫu-inch cho


61
nớc và $2,50/pao/mẫu cho phân bón. Nhà sản xuất đang hoạt động để tỷ lệ thay thế kỹ thuật là 19
pao phân bón trên một inch nớc trên một mẫu và năng xuất là 20 giạ/mẫu. Nhà sản xuất đang hoạt
động tối u hay cha?
Lời giải. Nhà sản xuất đang hoạt động sao cho tỷ lệ thay thế kỹ thuật là 19; tuy nhiên, RTS tối u
theo phơng trình (2.4.14) bằng
4
5.2
10
2
1

r
r
RTS

Về cơ bản điều này nói lên rằng quá nhiều phân bón đang đợc sử dụng và rằng nớc có thể đợc
thay thế cho phân bón. Một nhà sản xuất phải sử dụng 4 pao trên một inch để tại vị trí tối u. Bằng
việc thế một inch nớc cho 19 pao phân bón, nhà sản xuất sẽ có thể tiết kiệm lợng trên một mẫu sau
19 pao

$2.5/pao - 1 in

$10/in = $37.50
và vẫn tạo ra 20 giạ trên một mẫu. Việc tiết kiệm này có thể đợc áp dụng để mua nớc nhiều hơn để
tăng đầu ra hơn 20 giạ/mẫu.
Sự tơng tự cho việc tối đa hóa đầu ra này với giả thiết một ràng buộc
chi phí có thể đợc lấy từ hàm Lagrange đợc biểu diễn bằng




2211
0
1211
, xrxrCxxfL

(2.4.17)
trong đó
1

là nhân tử Lagrange. Các đạo hàm riêng của (2.4.17) là

0
11
11
1






r
x
f
x
L

(2.4.18)
0
21
22
1






r
x
f

x
L

(2.4.19)
0
2211
0
1
1



xrxrC
L

(2.4.20)
Các phơng trình (2.4.18) và (2.4.19) có thể đợc dùng để nhận đợc
(2.4.15). Cũng nh vậy, các phơng trình (2.4.18) và (2.4.19) có thể đợc
dùng để giải cho nhân tử Lagrange
2211
1
11
rx
f
rx
f

(2.4.21)
Một cách tiếp cận khác có lẽ là tối thiểu hóa chi phí của việc sản xuất
một mức độ đầu ra xác định, trong trờng hợp nào phơng trình (2.4.11)
đợc cực tiểu hóa với giả thiết phơng trình (2.4.5). Hàm Lagrange là




21
0
222112
, xxfqxrxrL

(2.4.22)
trong đó các đạo hàm riêng của L
2
theo x
1
, x
2
và
2

là
0
1
21

1
2






x
f
r
x
L

(2.4.23)


62

0
2
22
2
2

x
f
r
x
L

(2.4.24)

0,
21
0
2
2



xxfq
L

(2.4.25)
Các phơng trình (2.4.23) và (2.4.24) có thể đợc sử dụng để nhận đợc
phơng trình (2.4.15).
Tối đa hóa lợi nhuận là mục đích sau cùng của công ty trong đó các mức
của cả chi phí và đầu ra có thể thay đổi. Lợi nhuận, P
f
, là chênh lệch giữa
tổng lợi tức (pq) và tổng chi phí (C)
CpqP
f

221121
, xrxrxxpf
(2.4.26)
Để tối đa hóa, tập các đạo hàm riêng
1
/ xP
f

và
2
/ xP
f

bằng 0
0
1
11






r
x
f
p

x
P
f
(2.4.27)
0
2
12






r
x
f
p
x
P
f
(2.4.28)
Hai phơng trình này có thể đợc sử dụng để nhận đợc phơng trình
(2.4.15).
Ví dụ 2.4.3. Một phơng pháp luận cho việc ớc lợng chi phí của việc kiểm soát ô nhiễm từ nớc lũ
đô thị đợc xây dựng bởi Heaney và những ngời khác (1978) để xác định tổ hợp tối u của lợng trữ
và xử lí. Các đầu vào là thể tích lợng trữ và tỷ lệ xử lí, và đầu ra cho hàm sản xuất là mức kiểm soát
lớn nhất. Các đờng đẳng lợng đợc biểu thị bằng


KS

eTTTT


121

trong đó T là tỷ lệ xử lý thời tiết ẩm (đơn vị inch/giờ) ; T
1
là tỷ lệ xử lý mà tại đó đờng đẳng lợng là
tiệm cận tới trục tung, đơn vị inch/giờ; T
2
là tỷ lệ xử lí mà tại đó các đờng đẳng lợng giao với trục
hoành, đơn vị inch/giờ; S là thể tích lợng trữ (đơn vị inch); K là một hằng số trên inch. Chi phí đơn
vị của sự xử lí là r
T
và chi phí đơn vị của lợng trữ là r
S
. Xác định một phơng trình cho lợng trữ tối
u (đơn vị inch) và tỷ lệ xử lí tối u (đơn vị inch/giờ) để tối thiểu chi phí.
Lời giải. Bài toán tối u hóa thời tiết ẩm là tối thiểu hóa chi phí.
Min
TrSrz
TS

(a)
với giả thiết ràng buộc (đờng đẳng lợng)


KS
eTTTT

121
(b)
với T, S

0, Hàm Lagrange là


63




KS
TS
eTTTTTrSrL


121

(c)
các điều kiện bậc nhất cho tính tối u là

KeTTr
S
L
KS
S

12
0

(d)




T
r
T
L
0
(e)

KS
eTTTT
L




121
0

(f)
Từ (d) có

KS
S
eTTKr


12

(g)
và sắp xếp lại











12
ln
TTK
r
KS
S

(h)
và

12
ln
1
TTK
r
K
S
S

S
r
TTK
K
12
ln
1

(i)
Từ (e) thế


T
r
thì








12
ln
1
TTK

r
r
K
S
S
T

Bởi vì S không thể nhỏ hơn 0, lợng trữ tối u, S
*
, sẽ là













0,ln
1
max
12
*
TTK
r

r
K
S
S
T

Lợng xử lí tối u là



*
121
* KS
eTTTT





64

2.4.3. Chi phí trong thời đoạn ngắn
Hàm sản xuất (2.4.2), phơng trình chi phí (2.4.11) và phơng trình
đờng chi phí nhỏ nhất (2.4.16) tạo thành một hệ phơng trình. Bây giờ ta
đi xem xét một phân tích ngắn hạn. Loại phân tích này dựa trên một
khoảng thời gian đủ ngắn sao cho một hay nhiều lợng đầu vào đợc coi là
cố định. Xét một thời gian ngắn sao cho đầu vào x
1
là cố định và x
2

có thể
thay đổi, thì các phơng trình (2.4.2), (2.4.11) và (2.4.16) trở thành



0,
,
2
1
22
1
1
2
1



xxg
xrxrC
xxfq

Hệ phơng trình này đợc kết hợp vào trong một phơng trình đơn giản


crrqC
21
,,

(2.4.29)
trong đó c là chi phí cố định (c =

11
xr
). Trong khoảng thời gian ngắn, các
chi phí của các đầu vào cố định là chi phí cố định. Giả sử rằng các giá đầu
vào là không đổi, thì


cqC

(2.4.30)
Phơng trình này gắn liền với các điểm dọc theo đờng thẳng đứng
trong hình 2.4.5 với
1
x
cố định.
Tổng chi phí có thể thay đổi (TVC Total Variable Cost) là lợng tiền
sử dụng cho các đầu vào có thể thay đổi. Tổng chi phí cố định là lợng tiền
sử dụng cho chi phí hữu hình cố định (cho các đầu vào cố định) và các chi
phí vô hình của sự sản xuất. Tổng chi phí (TC) là tổng của chi phí cố định
và chi phí có thể thay đổi. Chi phí tổng cộng trung bình (ATC), chi phí thay
đổi trung bình (AVC) và chi phí cố định trung bình (AFC) đợc định nghĩa
tơng ứng là


q
cq
ATC

(2.4.31)


q
xr
q
q
AVC
22


(2.4.32)
q
xr
q
c
AFC
11

(2.4.33)
trong đó
11
xrc
, nh trớc. Chi phí biên (MC) là sự thay đổi tổng chi phí có
thể quy cho một đơn vị thay đổi đầu ra
q
TC
dq
dC
MC

(2.4.34)


65
Các hình 2.4.6a và 2.4.6b diễn tả một quá trình sản xuất trong thời đoạn
ngắn mà tổng chi phí là một hàm bậc ba của đầu ra. Có thể thấy rằng đờng
cong MC cắt qua các điểm cực tiểu của các đờng cong AVC và ATC.
Phơng trình chi phí có thể thay đổi trung bình (2.4.32) là
AP
r
q
xr
q
TVC
AVC
1
2
22

(2.4.35)
trong đó AP là năng suất trung bình (q/x
2
). Chi phí biên từ (2.4.34) có thể
đợc định nghĩa thêm
MP
r
q

xr
q
TVC
MC
222







(2.4.36)
trong đó MP là năng suất biên (2.4.4). Điều này thể hiện rằng MC sẽ giảm
cùng với sự tăng MP và tăng cùng với sự giảm MP.
Tổng lợi tức (TR-Total Revenue) từ việc bán một sản phẩm là TR = pq
vì thế lợi nhuận là P
f
= TR - TC. Để tối đa hóa lợi nhuận
0
dq
d
p
dq
dP
f



Hình 2.4.5

So sánh phân tích ngắn hạn và phân tích dài hạn
để tối đa hóa