Kỹ thuật và quản lý hệ thống nguồn nước ( Đại học Quốc gia Hà Nội ) - Chương 3 pot

76

CHƯƠNG
3
Quy hoạch tuyến tính
và những ứng dụng trong
hệ thống nguồn nớc




3.1. Quy hoạch tuyến tính
Mô hình quy hoạch tuyến tính (QHTT) đã và đang đợc áp dụng rộng
rãi trong các bài toán phân bổ tối u tài nguyên. Nh tên của nó gợi ý, mô
hình QHTT có hai tính chất cơ bản là cả hàm mục tiêu và các ràng buộc là
các hàm tuyến tính của các biến quyết định. Dạng tổng quát của một mô
hình QHTT có dạng:
Max (hoặc Min)
j
n
j
j
xcx



1
0
(3.1.1a)

Với các biểu thức ràng buộc:
ij
n
1j
ij
bxa


với i = 1, 2, n (3.1.1b)
x
j


0, với j = 1, 2, n (3.1.1c)
Trong đó, c
j
là hệ số của hàm mục tiêu, a
ij
là hệ số công nghệ và b
i
là hệ số
vế phải của phơng trình ràng buộc (Right Hand Side - RHS) ở dạng đại số,
mô hình QHTT này có thể khai triển nh sau:
Max (hoặc Min) x
0
= c
1
x
1
+ c

2
x
2
+ + c
n
x
n
(3.1.2a)
Với các ràng buộc:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ + a
1n
x
n


b1
a
12
x
2
+ a
22

x
2
+ + a
2n
x
n


b2


77

M

M

M

M

M

(3.1.2b)
a
m1
x
1
+ a
m2

x
2
+ + a
mn
x
n


b
m

x
1


0; x
2


0, x
n


0
ở dạng ma trận, mô hình QHTT có thể viết chính xác là:
Max (hoặc Min) x
0
= C
T
x

(3.1.3a)
Với ràng buộc
Ax

b (3.1.3b)
x

0 (3.1.3c)
Với C là véc tơ cột (n x 1) của các hệ số hàm mục tiêu, x là vec tơ cột (n
x 1) của các biến quyết định, A là ma trận (m x n) của các hệ số công nghệ,
b là véc tơ cột (m x 1) các hệ số các vế bên phải hàm ràng buộc. Chỉ số trên
T ký hiệu chuyển vị của ma trận hay vectơ. Các sách hay có liên quan đến
QHTT bao gồm Gass (1985), Taha (1987), Vinston (1987) và Hillien và
Lieberman (1990).
Ví dụ 3.1.1. Xét một hệ thống bao gồm một nhà máy sản xuất và một nhà máy xử lí chất thải
(Fiering và các cộng sự, 1971). Nhà máy sản xuất tạo ra các thành phẩm với giá bán ra cho mỗi thành
phẩm là 10 nghìn đô la. Tuy nhiên, giá sản xuất cho mỗi thành phần là 3 nghìn đô la. Trong quá trình
sản xuất hai đơn vị chất thải đợc tạo ra từ mỗi thành phẩm. Ngoài việc quyết định số lợng các
thành phẩm nên sản xuất, ngời quản lý nhà máy cũng cần quyết định lợng chất thải đợc thải ra
không qua xử lí để làm sao lợi nhuận thực (net-benefit) của nhà máy là tối đa mà yêu cầu về chất
lợng nớc của sông không bị vợt quá mức cho phép. Công suất tối đa của nhà máy xử lí chất thải là
10 đơn vị chất thải với hiệu suất sử lý là 80%, và giá thành cho mỗi đơn vị chất thải là 0,6 nghìn đô
la. Đồng thời nhà máy cũng phải trả thuế ảnh hởng cho lợng chất thải thải ra sông (2 nghìn đô la
cho mỗi một đơn vị chất thải ra). Đơn vị quản lý kiểm soát ô nhiễm nớc đa ra tiêu chuẩn tối đa là 4
đơn vị chất thải của mỗi nhà máy thải ra. Hãy thiết lập mô hình QHTT cho bài toán này.
Lời giải. Bớc đầu tiên của việc xây dựng mô hình là xác định các thành phần hệ thống và các mối
quan hệ tơng tác của chúng. Trong ví dụ này, các thành phần của hệ thống là: nhà máy sản xuất, nhà
máy xử lí chất thải, và con sông nhận lợng chất thải. Từ định nghĩa của bài toán, ta thấy có 2 biến
quyết định là: (1) số lợng các đơn vị thành phẩm nên sản xuất, x
1

, và (2) lợng chất thải đổ trực tiếp
vào sông không qua xử lí, x
2
. Từ sự mô tả mối quan hệ qua lại giữa thành phẩm, lợng chất thải đợc
tạo ra, hiệu suất nhà máy xử lí, một sơ đồ minh họa hệ thống nghiên cứu có thể đợc thiết lập và thể
hiện trên hình 3.1.1. Lợng chất thải ở mỗi nhánh có thể đợc xác định bằng nguyên lý cân bằng
khối lợng.
Vấn đề cốt lõi cần làm trớc khi xây dựng mô hình là xác định mục tiêu và các ràng buộc của bài
toán. Trong ví dụ này, mục tiêu của bài toán tối đa lợi nhuận thực. Các ràng buộc gây ra bởi các hạn
chế về công suất nhà máy xử lí chất thải và lợng chất thải cho phép đổ vào sông đợc quy định với
các nhà kiểm soát ô nhiễm nớc. Khi đã xác định đợc mục tiêu và các ràng buộc của bài toán, bớc
xây dựng mô hình tiếp theo về cơ sở liên quan đến việc chuyển hóa các mô tả các mục tiêu và ràng
buộc bằng ngôn ngữ sang sự diễn tả bằng toán học thông qua các biến quyết định và các thông số.
Lãi thực của nhà máy sản xuất đợc xác định dựa trên 4 yếu tố: (a) số lợng bán ra các thành phẩm
(tính bằng nghìn đô la) giá thành sản xuất của các thành phẩm (tính bằng nghìn đô la), 3x
1
; (c) chi
phí cho việc xử lí chất thải (nghìn đô la) tạo ra từ quá trình sản xuất, 0,6(2
x1
-x
2
) và (d) thuế ảnh hởng
(nghìn đô la) đánh vào lợng chất thải không qua xử lí, 2{x
2
+0,2(2x
1
-x
2
)}. Lợi nhuận thực của nhà
máy bằng tổng lợng tiền thu đợc trừ đi tổng các chi phí. Hàm mục tiêu của bài toán là tối đa hóa

78

lợi nhuận thực (lãi ròng), và bằng: 10x
1
-{3x
1
+0,6(2x
1
-x
2
)+2

x
2
+0,2(2x
1
-x
2
)

}. Hàm mục tiêu có thể
diễn giải là:
Max x
0
= 5x
1
-x
2

Theo hình. 3.1.1, ràng buộc do hạn chế về công suất của nhà máy xử lí nớc thải có thể diễn tả bằng
công thức toán học là:
2x
1
- x
2


10

Hình 3.1.1
Sơ đồ mô tả hệ thống sản xuất xử lí chất thải.
Ràng buộc này cho thấy lợng chất thải đợc xử lí, 2x
1
- x
2
, không thể vợt quá công suất của nhà
máy, bằng 10 đơn vị chất thải. Tơng tự, ràng buộc liên quan đến tổng lợng chất thải có thể đổ vào
sông đợc diễn giải là:
x
2
+ 0,2(2
x1
- x
2
)

4
ở đó, vế trái (LHS) của điều kiện ràng buộc này là tổng lợng chất thải đổ vào sông (xem hình 3.1.1)

và vế phải (RHS) của nó là tổng lợng đơn vị chất thải cho phép đổ ra sông quy định bởi cơ quan
kiểm soát ô nhiễm nớc.
Ngoài hai ràng buộc dễ nhận thấy ở đây, tồn tại một ràng buộc khá nhỏ để nhận biến đợc, và cần
đợc đa vào trong mô hình. Một ràng buộc cần thiết để chắc chắn rằng một khối lợng nớc đợc
xử lí là dơng. Nói một cách khác, mô hình nên bao gồm một ràng buộc làm cho lợng chất thải qua
xử lí này không âm, (2x
1
- 2). Nó có thể đợc diễn giải bằng công thức toán học nh sau:
2x
1
-x
2


0
Cuối cùng, hai biến quyết định không thể âm, xét về ý nghĩa vật lý. Do đó, ràng buộc không âm của
hai biến quyết đinh, x
1


0 và x
2


0, phải đợc đa vào hớng ràng buộc. Phiên bản cuối cùng của
mô hình quy hoạch tuyến tính đợc viết dới dạng toán học, sau một vài biến đổi, có thể tóm tắt lại
thành:


79

Max x
0
= 5x
1
- x
2

Với các ràng buộc:
2x
1
- x
2


10
4x
1
+ 0,8 x
2


4
2x
1
- x
2


0
x

1


0 và x
2


0
Xem xét kỹ việc thiết lập mô hình tối u hóa này, ngời ta có thể nhận
thấy rằng mô hình này là một mô hình quy hoạch tuyến tính, Linear
Programming - LP. Tuy nhiên, nếu nói một cách chặt chẽ, mô hình trên có
thể không đợc công nhận là mô hình QHTT nếu các biến quyết định, đặc
biệt là biến x
1
, chỉ có thể mang giá trị nguyên. Nếu xảy ra trờng hợp này,
mô hình là mô hình quy hoạch hỗn hợp và yêu cầu một thuật giải đặc biệt
để giải nó. Thực tế là có một số các giả thiết cần đợc đa vào trong việc
thiết lập mô hình QHTT. Các giả thiết này đợc mô tả một cách chi tiết ở
các mục tiếp theo.
3.1.1. Các giả thiết của các mô hình quy hoạch tuyến tính
Có bốn giả thiết ẩn cơ bản đợc đa vào mô hình QHTT.
1. Giả thiết về tính tỷ lệ. Giả thiết này có nghĩa là sự đóng góp
của biến quyết định thứ j vào giá trị hiệu quả, c
j
x
j
, và việc nó sử
dụng các tài nguyên khác nhau, a
ij
x

j
, tỷ lệ trực tiếp với giá trị của
biến quyết định tơng ứng.
2. Giả thiết về tính cộng hợp. Giả thiết này có nghĩa là, tại một
cấp độ hoạt động cho trớc (x
1
, x
2
, x
n
), tổng lợng sử dụng các
tài nguyên và sự đóng góp vào giá trị hiệu quả tổng hợp bằng tổng
các giá trị tơng ứng đợc tạo ra bởi các hoạt động tiến hành riêng
biệt.
3. Giả thiết về tính khả chia. Các đơn vị của các hoạt động có
thể đợc chia ra làm nhiều cấp độ phân chia, do đó giá trị không
nguyên của các biến quyết định là chấp nhận đợc.
4. Giả thiết về tính tất định. Tất cả thông số của mô hình đợc
giả thiết là không đổi và không có tính bất định. ảnh hởng của
tính bất định của các thông số tới kết quả có thể đợc điều tra
bằng việc tiến hành phân tích độ nhậy.
3.1.2. Các dạng của bài toán QHTT
Do các mô hình QHTT có thể đợc thể hiện dới nhiều dạng khác nhau
(tối đa hóa, cực tiểu hóa,

,

,

), việc cần thiết là phải thay đổi các dạng

này cho phù hợp với một quy trình giải cụ thể. Về cơ bản có 2 dạng mô tả
mô hình QHTT đợc sử dụng: dạng chính tắc và dạng chuẩn.


80

Dạng chính tắc đợc sử dụng cho việc giải các mô hình QHTT theo
phơng pháp đại số. Các đặc điểm cơ bản của nó có liên quan đến: (1) tất cả
các ràng buộc viết dới dạng phơng trình ngoại trừ ràng buộc không âm
của các biến quyết định. Các điều kiện này vẫn tồn tại ở dạng bất phơng
trình; (2) Tất cả các hệ số vế phải của các phơng trình ràng buộc là không
âm, nghĩa là b
i


0; (3) tất cả các biến quyết định là không âm; và (4) Hàm
mục tiêu có thể là cực đại hóa hay cực tiểu hóa. Một mô hình QHTT có
dạng chính tắc đợc thể hiện là:
Max (hoặc Min)
0
1
n
j j
j
x c x



(3.1.4a)
1

, 1,2, ,
0. 1,2, ,
n
i j i
j
j
a x b i m
x j n




với
với
(3.1.4b)
Ví dụ 3.1.2. Biến đổi mô hình QHTT của ví dụ đợc nêu ở mục trớc về sản xuất, xử lí nớc thải
sang dạng chính tắc.
Lời giải. Vì hàm mục tiêu có dạng chính tắc có thể là cực đại hóa hay cực tiểu hóa nên không cần
thiết phải biến đổi hàm mục tiêu này. Tuy nhiên, dạng chính tắc của mô hình QHTT đòi hỏi tất cả cá
ràng buộc phải ở dạng phơng trình. Điều này không thỏa mãn với cả 3 ràng buộc của mô hình ta
đang xét. Do vậy cách biến đổi là điều kiện cần thiết. Chú ý rằng vì ràng buộc đầu tiên có dạng ,
một biến ảo (slack variables) không âm s
1
có thể đợc cộng vào vế trái của ràng buộc, trở thành:
2x
1
- x
2
+ s
1

= 10
Tơng tự, ràng buộc bất phơng trình thứ hai có thể biến đổi về dạng:
0,4x
1
+ 0,8x
2
+ s
2
= 4
Trong đó s
1
là biến ảo không âm ở ràng buộc thứ hai. Đối với ràng buộc thứ 3, vì nó có dạng , một
biến ảo không âm có thể đợc trừ ở vế trái, và ta có kết quả:
2x
1
- x
2
- s
3
= 0
Các biến quyết định nguyên thủy và ba biến ảo của s
1
, s
2
, s
3
đều không âm, và do đó điều kiện thứ 3
của dạng chính tắc đợc thỏa mãn. Thêm vào đó, cả hệ số của vế phải của các ràng buộc cũng là
không âm. Cuối cùng ta có dạng chính tắc của mô hình QHTT cho ví dụ sản xuất, xử lí chất thải nh
sau:

Max x
0
= 5x
1
- x
2
+ 0s
1
+ 0s
2
+ 0s
3

Với ràng buộc:
2x
1
- x
2
+ s
1
= 10
0,4 x
1
+ 0,8x
2
+ s
2
= 4
2x
1

- x
2
- x
3
= 0
Tất cả x và s là không âm.
Dạng chuẩn, mặt khác, rất có ích trong việc thể hiện lý thuyết đối ngẫu
(duality theory) của mô hình QHTT. Nó sở hữu ba đặc tính sau trong việc
thiết lập mô hình: (1) tất cả các biến quyết định là không âm; (2) tất cả các
ràng buộc có dạng ; và (3) hàm mục tiêu có dạng tối đa hóa. Một mô hình
QHTT có dạng chuẩn là:
Max x
0
=
1
n
j j
j
c x


(3.1.5a)
Ràng buộc bởi:


81
1
, 1,2, ,
0, 1,2, ,
n

ij j i
j
j
a x b i m
x j n




(3.1.5b)
Cần chú ý rằng các hệ số ở vế phải của ràng buộc có thể mang giá trị âm.
Ví dụ 3.1.3. Chuyển đổi mô hình QHTT gốc cho ví dụ sản xuất, xử lí nớc thải sang dạng chuẩn.
Lời giải: Vì hàm mục tiêu nguyên bản đã có dạng tối đa hóa nh yêu cầu nên không cần có sự biến
đổi thêm đối với nó. Đối với các ràng buộc, hai ràng buộc ban đầu có dạng nên thỏa mãn yêu cầu
của dạng chuẩn. Tuy nhiên, ràng buộc thứ 3 có dạng , để chuyển nó sang dạng ta nhân cả hai vế
ràng buộc này với -1 và có kết quả nh sau:
-2x
1
+ x
2


0
Yêu cầu không âm của các biến quyết định cùng đợc thỏa mãn. Cuối cùng chúng ta có mô hình
QHTT dới dạng chuẩn sau:
Max (x
0
) = 5x
1
- x

2

Ràng buộc bởi:
2x
1
- x
2


10
0,4x
1
+ 0,8x
2


4
-2x
1
+ x
2


0
x
1


0 và x
2

0
Thông thờng, mô hình QHTT sau khi đợc xây dựng thờng không
thỏa mãn các đặc tính của dạng chính tắc cũng nh dạng chuẩn. Các biến
đổi cơ sở sau đây giúp các bạn có thể chuyển đổi một mô hình QHTT sang
bất kỳ dạng nào:
1. Tối đa hóa một hàm f(x) thì tơng ứng với tối thiểu hóa giá trị âm
của nó, có nghĩa là: Max f(x) = Min {-f(x)}
2. Các ràng buộc có dạng có thể chuyển đổi sang dạng bằng cách
nhân hai vế của bất phơng trình với -1
3. Một phơng trình có thể đợc thay thế bằng hai bất phơng trình
trái dấu nhau. Ví dụ, phơng trình g(x) = b có thể đợc thay thế
bằng g(x)

b và g(x)

b.
4. Một bất phơng trình có dấu giá trị tuyệt đối có thể thay thế bằng
hai bất phơng trình không có dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ,
( )
g x b


không thể thay thế bằng g(x)

b và g(x)

-b
5. Nếu một biến quyết định x không có ràng buộc về dấu (có thể

dơng, bằng không, hoặc âm), nó có thể thay bằng hai biến quyết
định không âm;
x = x
+
- x
-
, với x
+
0 và x
-
0,
6. Để biến đổi một bất phơng trình sang phơng trình, một biến
không âm có thể đợc cộng vào hoặc trừ đi.
3.2. Các thuật giải cho quy hoạch tuyến tính


82

3.2.1. Phơng pháp đồ giải
Một cách đơn giản để giải bài toán QHTT là sử dụng phơng pháp đồ
giải (hình học). Tuy nhiên, phơng pháp này chỉ áp dụng đợc cho các bài
toán QHTT có nhiều nhất là hai biến quyết định (không kể các biến ảo). Để
đặt cơ sở cho việc diễn giải hình học cho thuật giải đại số đợc mô tả sau
này, phơng pháp đồ giải sẽ đợc sử dụng để giải bài toán sản xuất, xử lí
chất thải ở ví dụ sau đây.
Ví dụ 3.2.1. Giải bài toán sản xuất xử lí chất thải để tìm số lợng đơn vị thành phẩm tối u cần sản
xuất x
1
và lựơng chất thải đợc sản sinh và đổ trực tiếp vào sông không qua xử lí x
2

để lãi thực của
nhà sản xuất là lớn nhất.
Lời giải. Xét mô hình QHTT xây dựng cho bài toán ở ví dự 3.1.1, nó liên quan đến hai biến quyết
định và ba ràng buộc (ngoại trừ các yêu cầu không âm của các biến quyết định). Miền nghiệm
(feasible space) đợc xác định bởi tất cả các ràng buộc của mô hình, bao gồm cả ràng buộc không âm
của các biến quyết định. Do hai biến quyết định không thể âm, miền nghiệm phải nằm trong góc
phần t thứ nhất (Đông Bắc). Miền nghiệm (vùng gạch chéo) cho bài toán ví dụ này đợc thể hiện
trên hình 3.2.1. Mỗi đờng liền nét trên hình 3.2.1 đợc xác định từ mỗi ràng buộc tơng ứng ở
phơng trình, và hai trục thể hiện hai điều kiện không âm của hai biến quyết định x
1
và x
2.
Mũi tên
trên mỗi đờng chỉ ra nửa mặt phẳng mà trên đó tất cả các điểm thỏa mãn ràng buộc này. Miền
nghiệm do đó là miền giao của tất cả các nửa mặt phẳng khả thi và tất cả các điểm trên miền nghiệm
thỏa mãn đồng thời tất cả các ràng buộc. Mỗi điểm thuộc miền này là một nghiệm khả thi cho mô
hình tối u.

Do giá trị của lợi nhuận thực tối đa là cha biết, một quá trình thử sai cần đợc tiến hành. Đầu tiên, ta
vẽ một đờng thẳng x
0
= 0 để cho hàm mục tiêu tơng ứng đi qua gốc tọa độ. Về mặt toán học mà
nói, tất cả các điểm (x
1
, x
2
) nằm trên đờng
5x
1
- x

2
= 0 sẽ cho giá trị tổng lợi nhuận thật bằng 0, Tất nhiên, ta chỉ quan tâm đến những điểm nằm
trên vùng kẻ chéo thể hiện miền nghiệm.
Để biết đợc tổng lợi nhuận thực có thể đợc cải thiện hay không, đờng thẳng hàm mục tiêu có thể
đợc dịch chuyển tiến hoặc lùi song song với đờng cũ để xem giá trị hàm mục tiêu biến đổi ra sao.
Đờng thẳng thể hiện hàm mục tiêu đợc dịch chuyển sang trái và các giá trị x
1
, x
2
chọn bất kỳ trên
đờng này đợc dùng để tính toán giá trị hàm mục tiêu. Ta có thể thấy rằng giá trị x
0
tơng ứng với
bất cứ đờng thẳng nào dịch chuyển sang trái đờng 5x
1
- x
2
=0 và song song với nó đều có giá trị
âm. Khi càng dịch chuyển đờng này sang trái, giá trị x
0
càng trở nên âm nhiều hơn. Điều này chỉ ra
rằng sự tìm kiếm nghiệm đợc tiến hành sai hớng vì bài toán đặt ra là loại tối đa hóa; giá trị x
0
càng
lớn càng tốt. Nh vậy, hớng tìm kiếm nên đợc thay đổi bằng cách chuyển dịch đờng thẳng hàm
mục tiêu về bên phải của đờng 5x
1
- x
2
=0, Ngay lập tức, giá trị của lợi nhuận thực chuyển sang

dơng và tăng liên tục khi đờng này đợc chuyển xa về phía phải. Tuy nhiên, đờng này không thể
dịch chuyển sang phải một cách vô hạn kể cả khi nó liên tục làm tăng lợi nhuận thực. Nh có thể
nhận thấy, sau khi vợt qua điểm C, đờng thẳng hàm mục tiêu không chứa một nghiệm khả thi nào.
Trong ví dụ này, có thể kết luận rằng, cặp x
1
, x
2
tại điểm C, (6,2), là nghiệm tối u của bài toán. Lợi
nhuận thực có thể đạt đợc của nhà xuất là 5 (6) - 1 (2) = 28 nghìn đô la
Phơng pháp đồ giải chỉ áp dụng đợc cho những bài toán có chứa hai
biến quyết định. Đối với các bài toán có nhiều hơn hai biến quyết định,
hình dạng của các hàm mục tiêu và các phơng trình ràng buộc có dạng các
mặt đa diện lồi trong không gian n-chiều.
3.2.2. Các điểm cực trị (điểm góc) khả thi
Trong ví dụ minh họa vừa rồi, nghiệm tối u của bài toán QHTT tìm
đợc khi sử dụng phơng pháp đồ nằm tại một điểm góc của miền nghiệm
(gọi là điểm khả thi cực trị). Cần nhấn mạnh rằng, không có gì là đặc biệt


83
và trùng hợp về ví dụ này và dẫn đến một kết quả nh vậy. Thực tế, đối với
tất cả các bài toán QHTT nghiệm tối u luôn rơi vào biên của miền nghiệm.
Các điểm cực trị khả thi trong một bài toán QHTT có ba tính chất quan
trọng. ý nghĩa của nó đối với kỹ thuật giải đại số sẽ đợc mô tả ở phần sau.
Những tính chất sau đây đợc đa ra không kèm với chứng minh toán học.
Những chứng minh này có thể tìm thấy ở các sách QHTT hay sách quy
hoạch toán (Dantzig, 1963, Bradley, Hax và Magrati, 1977; và Taha, 1987).
Tính chất 1a: Nếu mô hình QHTT chỉ có duy nhất một nghiệm tối u,
nghiệm này phải nằm tại một điểm cực trị khả thi. Tính chất 1b. Nếu bài
toán có nhiều nghiệm tối u, ít nhất hai trong số các nghiệm tối u nằm tại

hai điểm cực trị khả thi cạnh nhau.
Nh đã đợc minh hoạ trong hớng tiếp cận đồ giải, mỗi bài toán chỉ có
một nghiệm tối u duy nhất, chúng ta luôn có thể nâng lên hay hạ xuống
đờng hàm mục tiêu (hay mặt đa diện) cho đến khi nó tiếp xúc với điểm đó,
điểm tối u, tại một góc của miền nghiệm. Có thể tởng tợng ra rằng các
nghiệm tối u đa nghiệm xảy ra khi đờng thẳng hàm mục tiêu (hay mặt đa
diện) song song với một trong số các biên của miền nghiệm. Đối với bài
toán hai chiều, nếu đa nghiệm xảy ra, hai điểm cực trị khả thi tối u nằm
cạnh nhau. Đối với các bài toán nhiều chiều hơn, có nhiều hơn hai điểm cực
trị khả thi tối u nằm cạnh nhau. ý nghĩa của tính chất này là, trong khi đi
tìm nghiệm tối u cho một bài toán QHTT, sự chú ý có thể tập trung vào
các điểm cực trị khả thi, chứ không phải là vùng bên trong của miền
nghiệm.


84


Hình 3.2
Một miền nghiệm của ví dụ sản xuất xử lí nớc thải.
Tính chất 2: Chỉ có một số hữu hạn các điểm khả thi cực trị.
Xét một mô hình QHTT có dạng chính tắc với m phơng trình và n biến
quyết định cha biết (n>m). Đối với hệ các phơng trình trên, số các
nghiệm có thể là
nCm = n!(n-m)! và là hữu hạn. Tuy nhiên, số nghiệm này cung cấp giới hạn
trên của số các điểm khả thi cực trị bởi vì rất nhiều trong số các nghiệm này
là không khả thi hay không tồn tại. Tính chất này có thể gợi ý rằng nghiệm
tối u có thể thu đợc bằng cách liệt kê và xem xét tất cả các điểm cực trị
khả thi. Tuy nhiên, điều này thờng là không khả thi vì số các điểm khả thi
có thể rất lớn để có thể liệt kê và xem xét một cách hiệu quả. Hơn thế nữa,

nghiệm tối u không thể xác định đợc trớc khi tất cả các điểm cực trị khả
thi đợc liệt kê và xem xét.
Tính chất 3: Nếu một điểm cực trị khả thi tốt hơn (đánh giá với x
0
) tất
cả các điểm khả thi bên cạnh nó thì nó cũng tốt hơn tất cả các điểm cực trị
khả thi còn lại (có nghĩa là nó là một điểm tối u toàn cục.)
Từ tính chất này ta không phải đi liệt kê và xem xét tất cả các điểm cực
trị khả thi để tìm đợc nghiệm tối u của bài toán. Thay vào đó, vị trí của
một điểm cực trị khả thi đang xem xét có thể đợc khẳng định đơn giản
bằng việc so sánh nó với các điểm cạnh nó. Nếu tính chất 3 đợc thỏa mãn,


85
điểm cực trị khả thi mà ta đang xét là nghiệm tối u toàn cục của bài toán
QHTT.
Nên nhấn mạnh rằng yêu cầu cơ bản cho tính chất này tồn tại là miền
nghiệm là lồi. Nếu không, nghiệm tối u thu đợc sẽ không đợc đảm bảo
là nghiệm tối u toàn cục mà chỉ là nghiệm tối u cục bộ. Hiện tợng này
đặc biệt thờng xuyên xảy ra trong các bài toán quy hoach phi tuyết tính.
May mắn là miền nghiệm của các bài toán QHTT hầu nh là luôn luôn lồi.
3.2.3. Thuật giải cho các bài toán quy hoạch tuyến tính
ở mục này ba tính chất quan trọng của điểm cực trị khả thi thảo luận
trớc đây sẽ đợc ứng dụng vào một bài toán QHTT và một thuật giải sẽ
đợc thiết kế để giải bài toán QHTT này. Chúng ta quay lại bài toán sản
xuất, xử lí chất thải trớc đây. Nh đợc mô tả ở hình 3.2.1, mô hình QHTT
có bốn điểm cực trị khả thi. Đầu tiên, ta phải xác định điểm xuất phát cho
việc tìm kiếm nghiệm tối u. Hiển nhiên là nếu điểm xuất phát gần với
điểm tối u, ta có thể hy vọng việc tìm kiếm nghiệm sẽ nhanh hơn. Tuy
nhiên, nhìn chung là rất khó có thể xác định ngay từ đầu một điểm xuất

phát tốt, đặc biệt là cho các bài toán nhiều chiều. Do vậy, sẽ là hợp lý nếu
bắt đầu việc tìm kiếm từ điểm ở gốc tọa độ (x
1
, x
2
) = (0,0) vì điểm gốc là
một điểm cực trị khả thi, chú ý rằng trong công việc tìm kiếm nghiệm tối
u, luôn cần thiết bắt đầu với một nghiệm khả thi.
Khi đã xác định đợc điểm xuất phát cực trị khả thi, giá trị của hàm mục
tiêu tơng ứng x
0
sẽ đợc tính để làm cơ sở cho các bớc so sánh tiếp theo.
Trong trờng hợp này, tại điểm (0,0), giá trị x
0
tơng ứng bằng 0, Bớc tiếp
theo là tìm một nghiệm tốt hơn bằng cách so sánh các giá trị của các hàm
mục tiêu tại các điểm cực trị khả thi bên cạnh. Hai điểm cực trị khả thi bên
cạnh điểm (0, 6) là B (2, 4) và D (5, 0) với các giá trị tơng ứng của hàm
mục tiêu lần lợt là 6 và 25. Kết quả này chỉ ra rằng sự dịch chuyển từ điểm
A đến D đạt đợc sự cải thiệt tốt hơn so với từ A đến B. Do vậy, điểm D trở
thành điểm cực trị khả thi cơ sở.
Tại điểm D, quá trình so sánh đợc lập lại bằng cách xác định các điểm
cực trị khả thi nằm bên cạnh điểm D. Trong trờng hợp này, hai điểm A và
C là hai điểm tiếp giáp. Tuy nhiên từ so sánh trớc đây, giá trị hàm mục
tiêu tại A không tốt hơn giá trị tại điểm hiện tại D. Do vậy điểm C là điểm
cực trị khả thi cần đợc so sánh với điểm D. Tại điểm C (6, 2) giá trị x
0
bằng 5(6) - 1(2)=28. Do giá trị này lớn hơn 25 tại điểm D, điểm cực trị khả
thi cơ sở đợc thay bằng điểm C. Tại điểm cực trị khả thi cơ sở C, không
còn điểm cực trị khả thi tiếp giáp nào để so sánh (điểm B đã đợc so sánh

và loại bỏ bởi điểm D trong bớc trớc đây). Giá trị của x
0
tại điểm C là tốt
hơn so với tất cả các điểm CTKT bên cạnh (điểm B và D). Từ tính chất thứ
ba của các điểm CTKT thảo luận trớc đây, ta có thể kết luận rằng nghiệm


86

tối u của ví dụ sản xuất, xử lí chất thải là sản xuất 6 đơn vị thành phẩm và
đổ trợc tiếp hai đơn vị chất thải ra sông mà không qua xử lí. Điều đó cũng
có nghĩa là có 2(6) - 2=10 đơn vị chất thải đi qua nhà máy xử lí. Giá trị lãi
ròng tơng ứng là 28 nghìn đô la.
Các bớc đợc mô tả trên đây (sử dụng 3 tính chất của các điểm CTKT
để giải một mô hình QHTT) hình thành khái niệm về một thuật giả nổi
tiếng đợc gọi là Phơng pháp đơn hình (Simplex method). Phơng pháp
này là một quy trình tổng quát để giải các bài toán QHTT. Nó là một
phơng pháp rất hiệu quả đã đợc áp dụng để giải các bài toán lớn hơn liên
quan đến hàng trăm các biến quyết định và ràng buộc trên máy tính điện tử.
Các chơng trình máy tính dựa trên phơng pháp đơn hình có mặt rộng rãi
để sử dụng.
Ví dụ 3.2.2. Giải bằng phơng pháp đại số bài toán sản xuất, xử lí chất thải của ví dụ 3.2.1.
Lời giải. Hàm mục tiêu và các ràng buộc có thể đợc viết nh sau:
Hàm mục tiêu: x
0
- 5x
1
+ x
2
+ 0s

1
+ 0s
2
+ 0s
3
= 0
Ràng buộc 1: 2x
1
- x
2
+ s
1
+ 0s
2
+ 0s
3
= 10
Ràng buộc 2: 0,4x
1
+0,8x
2
+ 0s
1
+ s
2
+ 0s
3
= 4
Ràng buộc 3: -2x
1

+ x
2
+ 0s
1
+ 0s
2
+ s
3
= 0
Bớc đầu tiên bắt đầu với điểm CTKT (x
1
= 0 và x
2
= 0)
Bớc lặp 1
Bớc lặp bắt đầu bằng việc lựa chọn hoặc biến x
1
hoặc biến x
2
nên tăng giá từ giá trị 0, Do x
1
có hệ số
âm lớn nhất (-5) nên nó sẽ có tác động lớn nhất cho việc làm tăng hàm mục tiêu. Quyết định tiếp theo
là cần tăng x
1
lên bao nhiêu. Cần nhớ rằng các biến ảo không bao giờ có giá trị âm. Đầu tiên kiểm tra
ràng buộc 1 bằng cách tìm giá trị x
1
với s
1

= 0 và x
2
= 0,
2 1
1
10
5
2 2 2
x s
x


Sau đó thay x
1
= 5 vào các ràng buộc còn lại và tìm giá trị các biến ảo.
Ràng buộc 2: 0,4 (5) + 0,8 (0) + 0s
1
+ s
2
+ 0s
3
= 4
s
2
= 2
Ràng buộc 3: -2(5) + 0 + 0s
1
+ 0s
2
+ s

3
= 0
s
3
= 10
Vì các biến ảo vẫn giữ giá trị dơng với x
1
= 5. Ta xét ràng buộc 2 và tìm giá trị của x1 với x
2
= 0 và
s
2
= 0,
Ràng buộc 2: 0,4x
1
+ 0,8 (0) + 0s
1
+ 0 + s
3
= 4
x
1
= 10
Bây giờ chúng ta đi kiểm tra ràng buộc 1 và 3
Ràng buộc 1: 2(10) - 0 + s
1
+ 0s
2
+ 0s
3

= 10
s
1
= -10
Ràng buộc 3: -2(10) + 0 + 0s
1
+ 0s
2
+ s
3
= 0
s
3
= 20
Đối với ràng buộc 1, x
1
= 10 là quá lớn vì biến ảo s
1
mang giá trị âm (s
1
= -10). Tiếp theo, xét ràng
buộc 2 và tìm giá trị x
1
với x
2
= 0 và s
3
= 0,
Ràng buộc 3: -2x
1

+ 0s
1
+ 0s
2
+ 0 = 0
x
1
= 0
Điều này nói lên rằng nó không di chuyển khỏi vị trí xuất phát.


87
Kết quả của sự phân tích trên cho ta thấy giá trị lớn nhất của x
1
có thể tăng đợc là x
1
= 5, với x
2
= 0,
s
2
= 2,
s3
= 10, Nhìn lại hình 3.2.2, điểm này chính là điểm D. Giá trị hàm mục tiêu x0 tơng ứng với
nghiệm khả thi tại điểm D là:
x
0
- 5(5) + 0 + 0s
1
+ 0s

2
+ 0s
3
= 0
x
0
= 25
Tiếp đến,
2 1
1
5
2 2
x s
x


đợc thay thế vào hàm mục tiêu và các ràng buộc.
Hàm mục tiêu:
2 1
0 2 1 2 3
5(5 0 0 0 0
2 2
x s
x x s s s


0 2 1 2 3
3 5
0 0 25
2 2

x x s s s


Ràng buộc 1:
1 2 1 2 3
1 1
0 0 5
2 2
x x s s s


Ràng buộc 2:
2 1
2 1 2 3
0,4(5 ) 0,8 0 0 4
2 2
x s
x s s s


1 2 1 2 3
0 0.2 0 2
x s s s s


Ràng buộc 3:
2 1
2 1 2 3
2(5 ) 0 0 0
2 2

x s
x s s s


1 2 1 2 3
0 0 0 10
x x s s s


Bớc lặp 2.
Bớc lặp thứ 2 này bắt đầu bằng việc định nghĩa xem biến nào nên đợc tăng lên từ giá trị 0, Hàm
mục tiêu từ trên có dạng:
0 2 1 2 3
3 5
0 0 25
2 2
x x s s s


Hệ số âm lớn nhất là -3/2 của
2
x
. Do đó
2
x
nên tăng từ 0 để làm tăng giá trị hàm mục tiêu.
Câu hỏi tiếp theo là cần tăng
2
x
bao nhiêu.

Ràng buộc 1:
2
x
= 2
1
x
-10 Nếu
1
x
và
2
x
>0 thì
1
s
=0
Ràng buộc 2:
2
x
= 2 + 0,2
1
s
-
2
s
Nếu
1
x
và
2

x
>0 thì
2
s
=0

2
x
= 2
Ràng buộc 3: 0
1
x
+ 0
2
x
+ 0 +0
2
s
+
3
s
= 10, do đó

3
s
= 10
Thay
2
x
=2 từ ràng buộc 2 vào ràng buộc 1,

2
x
= 2
1
x
-10, ta có
1
x
=6. Đối với hàm mục tiêu ta thay
2
2
x

vào, có:
0 1 2 1 2 3
0 1 2 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2 1 2 3
3 5
(2 0, 2 ) 0 0 25
2 2
3 5
3 0,3 0 0 25
2 2
3
2,2 0 28
2
0 0 2,2 1,5 0 25
x s s s s s
x s s s s s

x s s s
x x x s s s







88

Cả
1
x
và
2
x
có hệ số 0, do vậy không thể thay đổi giá trị
1
x
và
2
x
thêm nữa để tăng giá trị hàm mục
tiêu.
3.2.4. Thuật toán cơ bản để giải các bài toán QHTT
Nh đợc minh họa ở ví dụ trên, ba bớc chính liên quan đến giải một
bài toán QHTT:
1. Bớc khởi động: Bắt đầu với một nghiệm cực trị khả thi
2. Bớc lặp: Dịch chuyển tới điểm CTKT bên cạnh

3. Luật dừng: Dùng các bớc lập khi điểm CTKT hiện tại là tốt hơn
so với các điểm bên cạnh nó.
3.3. Phơng pháp đơn hình
3.3.1. Các khái niệm đại số và thiết lập cơ bản
Nh đã đợc minh hoạ từ trớc, mô hình QHTT sử dụng phơng pháp
đồ giải cũng nh hớng tiếp cận tìm kiếm có thể đợc thực hiện dễ dàng khi
bài toán chỉ bao gồm hai biến quyết định. Mục đích của ví dụ trên chỉ là để
minh hoạ các khái niệm hình học của phơng pháp đơn hình và thuật toán
cơ bản của nó. Để giải các bài toán có quy mô lớn hơn, xét về số lợng các
biến quyết định và các ràng buộc, các phơng pháp đợc đề cập trớc đây
không thể áp dụng đợc. Hơn nữa, để thực hiện các thuật toán giải trên máy
tính, các vấn đề phải đợc diễn giải đại số.


89

Hình 3.2.2
Minh họa thuật giải đại số bài toán QHTT.
Trong việc giải bài toán sử dụng các quy trình đại số thì việc dùng các
phơng trình nhìn chung thuận tiện hơn so với dùng bất phơng trình. Do
đó, để giải một mô hình QHTT sử dụng phơng pháp đại số đơn hình, đầu
tiên, mô hình phải chuyển thành dạng chính tắc (nh trong ví dụ 3.1.2). Bài
toán QHTT bao gồm 5 biến quyết định (x
1
, x
2
, s
1
, s
2

, s
3
) và 3 phơng trình.
Trong đại số tuyến tính, hệ phơng trình đợc gọi là bất định nếu số ẩn
lớn hơn số phơng trình. Đối với các bài toán có n ẩn và m phơng trình
trong đó n > m thì không có lời giải duy nhất. Biện pháp khả thi cho việc
giải hệ bất định là đặt (n-m) biến bằng 0 và giải cho m ẩn còn lại. Các
nghiệm tìm đợc đợc gọi là các nghiệm cơ sở. Về mặt lý thuyết, chúng ta
sẽ có tổng số nghiệm là
n
C
m
nghiệm cơ sở cho bài toán nếu tất cả đều tồn
tại. Cho ví dụ ta đang xét, bài toán có nhiều nhất
5
C
3
= 5! / (3! 2!) = 10
nghiệm cơ sở. Về mặt hình học, mỗi nghiệm cơ sở diễn tả giao điểm của 2
phơng trình ràng buộc, một điểm cực trị, bao gồm cả điều kiện dơng của
x
1
và x
2
. Ví dụ chỉ ra trong hình 3.2.1 có 6 nghiệm cơ sở. Hơn nữa, trong số
6 nghiệm cơ sở tồn tại, chỉ có 4 điểm khả thi. Những điểm này đợc diễn tả
bởi 4 điểm cực trị khả thi. Bây giờ chúng ta cùng kiểm tra các nghiệm cơ sở
liên quan tới 4 điểm cực trị khả thi nh trong bảng 3.2.1. Mỗi một điểm cực
trị khả thi có đúng hai biến (trong 5 biến) đợc đặt bằng 0, Một số 0 khác
liên quan tới các điểm cực trị khả thi A và B có đợc từ ràng buộc thứ 3,

trong đó các hệ số bên vế phải của nó bằng 0,


90

Trong bài tập vừa rồi, (n-m) biến quyết định đặt bằng 0 đợc gọi là các
biến không cơ sở trong khi m biến quyết định còn lại mà các giá trị của
chúng tìm đợc bằng cách giải hệ phơng trình gồm m phơng trình và m
ẩn, đợc gọi là các biến cơ sở. Nghiệm của các biến cơ sở là không âm
đợc gọi là nghiệm cơ sở khả thi và nó xác định điểm cực trị khả thi tơng
ứng nằm trong miền nghiệm. Do vậy, trong việc giải đại số mô hình QHTT,
chỉ cần đi xem xét từng nghiệm khả thi cơ sở của mô hình có dạng QHTT
chuẩn.
3.3.2. Dạng đại số của phơng pháp đơn hình
Phơng pháp đơn hình giải một mô hình QHTT bằng cách lợi dụng 3
tính chất của điểm cực trị khả thi đã đợc thảo luận trớc đó. Thuật toán
tìm kiếm sự tối u của một mô hình QHTT luôn tuân theo 2 điều kiện cơ
bản: (1) Điều kiện tối u và (2) Điều kiện khả thi.
Điều kiện tối u đảm bảo rằng không gặp các điểm suy giảm (đối với
điểm nghiệm đang xét). Điều kiện khả thi đảm bảo rằng, bắt đầu với một
nghiệm khả thi cơ sở, chỉ có các nghiệm khả thi cơ sở đợc xem xét trong
suốt quá trình tính toán.
Bảng 3.3.1
Các điểm cực trị khả thi của bài toán sản xuất và xử lí chất thải

(x
1
x
2
s

1
s
2
s
3
)
A (0, 0, 10, 4, 0)
B (2, 4, 10, 0, 0)
C (6, 2, 0, 0, 10)
D (5, 0, 0, 2, 10)

Bảng 3.3.2
Bảng đơn hình của bài toán sản xuất và xử lí chất thải

Cơ sở

x
0

x
1
x
2
s
1

s
2

s

3

Nghiệm
x
0
1 -5 1 0 0 0 0
s
1
0 2 -1 1 0 0 10
s
2
0 0,4

0,8

0 1 0 4
s
3
0 -2 1 0 0 1 0
Để giải đại số mô hình QHTT, dạng chính tắc của mô hình có thể đợc
đặt vào dạng bảng nh trong bảng 3.3.2, trong đó hàm mục tiêu đợc diễn
tả nh sau:


91
x
0
- 5x
1
+ x

2
- 0s
1
- 0s
2
-0s
3
= 0
Bây giờ bài toán QHTT có thể đợc giải theo 3 bớc của thuật giải đã
đợc trình bầy trong Mục 3.2.4.
Bớc khởi động- phơng pháp đơn hình bắt đầu từ một nghiệm khả thi
cơ sở bất kỳ. Các biến ảo cho ta một nghiệm xuất phát khả thi bởi vì từ
bảng 3.3.2 ta thấy (a) các hệ số ràng buộc của chúng tạo nên một ma trận
đơn vị; và (b) toàn bộ các hệ số vế phải đều không âm (tính chất của dạng
chính tắc).
Bớc lặp- bớc này liên quan đến hai quy trình tính toán dựa trên điều
kiện tối u và điều kiện khả thi. Quy trình thứ nhất xác định ra một biến
khả thi cơ sở mới làm cho giá trị hàm mục tiêu đợc cải thiện. Phơng pháp
đơn hình thực hiện điều này bằng cách lựa chọn một trong số các biến
không cơ sở hiện thời để tăng lên trên giá trị 0, biết trớc rằng hệ số của nó
trong hàm mục tiêu có khả năng cải thiện giá trị hiện thời của x
0,
Do một
điểm cực trị khả thi trong mô hình QHTT phải có (n-m) các biến không cơ
sở bằng 0, một biến cơ sở hiện thời phải đợc biến đổi thành không cơ sở,
biết trớc nghiệm là khả thi. Biến không cơ sở hiện thời bị biến đổi thành
cơ sở đợc gọi là biến vào trong khi biến cơ sở hiện thời bị biến đổi thành
không cơ sở đợc gọi là biến ra.
Đối với một bài toán tối đa hoá, biến vào đợc lựa chọn dựa trên điều
kiện tối u, vì biến không cơ sở có hệ số âm lớn nhất trong phơng trình x

0

ở bảng đơn hình. Điều này là tơng đơng với việc lựa chọn một biến với hệ
số dơng lớn nhất trong hàm mục tiêu gốc bởi vì độ lớn của hệ số hàm mục
tiêu diễn tả tốc độ thay đổi của hàm mục tiêu do thay đổi một đơn vị giá trị
của biến quyết định.
Hệ số có giá trị âm lớn nhất đợc chọn bởi vì nó có tiềm năng lớn nhất
trong việc cải thiện giá trị hàm mục tiêu. Mặt khác, việc lựa chọn biến vào
cho bài toán cực tiểu hoá tuân theo quy luật ngợc lại. Đó là, lựa chọn biến
không cơ sở với hệ số dơng lớn nhất trong hàng của hàm mục tiêu trong
bảng đơn hình nh là biến vào. Khi mà biến vào đã đợc xác định, một
trong số các biến cơ sở hiện thời phải đợc chọn để trở thành biến không cơ
sở. Sự lựa chọn biến đi ra đợc thực hiện bằng điều kiện khả thi để chắc
chắn rằng chỉ có các nghiệm khả thi đợc liệt kễ xem xét trong suốt các
bớc lặp. Biến ra đợc lựa chọn sử dụng tiêu chuẩn sau:
i
i
ik
b
a


với mọi a
ik
>0
với a
ik
là các hệ số của các ràng buộc liên quan đến các biến vào x
k

Biến cơ sở hiện thời nằm trong hàng hàng có

= min (

i
) đợc lựa chọn
nh là biến ra.
Ví dụ 3.3.1. Dựa trên bảng 3.3.1. lựa chọn biến vào, biến ra cho bớc lặp đầu tiên.


92

Lời giải. Xem xét bảng đơn hình 3.3.2, biến quyết định x
1
có thể đợc lựa chọn nh là biến vào.
Hớng liên quan tới biến vào chỉ ra hớng mà theo đó nghiệm tốt hơn có thể tìm đợc. Xem hình
3.2.1, nó diễn tả sự di chuyển từ nghiệm khả thi cơ sở hiện thời tại điểm A dọc theo chiều dơng
của trục x
1
. Di chuyển dọc theo chiều dơng của trục x
1
, có thể tìm thấy hai điểm cực trị D(5,0) và
E (10,0). Thực tế, 5 và 10 là giao điểm của hai phơng trình ràng buộc thứ nhất và thứ hai với trục
x
1
dơng. hình 3.2.1. cũng chỉ ra rằng điểm E(10,0) là không khả thi cho bài toán. Do vậy, từ điều
này thấy rằng di chuyển dọc theo chiều dơng của trục x
1
từ điểm A chỉ có thể tới điểm D mà không
phá hoại các điều kiện khả thi. Các giao điểm của các phơng trình ràng buộc với trục chỉ ra hớng

tìm kiếm có thể thu đợc từ bảng đơn hình bằng cách tính tỷ số của các phần tử trong cột nghiệm
với các phần tử ràng buộc nằm trong cột tơng ứng với biến vào. Xem xét ví dụ đợc minh họa
trong bảng 3.3.2, hai cột đợc sử dụng để tính toán giao điểm đợc chỉ ra bên dới trong bảng 3.3.3
và theo:
1
1
11
2
2
21
10
5
2
4
10
0,4
b
a
b
a





Tỷ số nhỏ nhất là

= min (

1

,

2
) = min (5,10) = 5
Chú ý rằng tỷ số cho ràng buộc cuối cùng không đợc xác định bởi vì hệ số -2 của cột x
1
chỉ ra
hớng tìm kiếm theo chiều âm trên trục x
1
, nó không khả thi bởi vì các biến quyết định yêu cầu
không âm. So sánh các giá trị của các giao điểm dơng, biến cơ sở có liên quan tới giá trị giao điểm
nhỏ nhất, đó là min(5,10) =5, là s
1
. s
1
này sẽ đợc chọn nh là biến ra và trở thành biến không cơ sở
để cho điều kiện khả thi đợc thỏa mãn. Cho mục đích thảo luận, nếu s
2
đợc chọn là biến ra, sự
quyết định sẽ dẫn chúng ta đến điểm E nằm bên ngoài miền nghiệm và nghiệm trở nên không khả
thi.
Khi mà biến vào đã đợc lựa chọn dựa trên điều kiện tối u và biến ra
đợc lựa chọn theo điều kiện khả thi, trạng thái của các biến trong danh
sách biến cơ sở
Bảng 3.3.3
Tính toán giá trị của cho bớc lặp 1
TT các ràng buộc x
1
Nghiệm
1 2 10 5

2 0,4 4 10
3 -2 0 -
và không cơ sở phải đợc cập nhất. Sử dụng danh sách các biến mới, các
tính toán đa ra một bảng đơn hình mới. Trong tính toán, chỉ ra trong bảng
3.3.2, nên chú ý rằng các phần tử trong mỗi cột dới từng biến cơ sở hiện
thời có giá trị bằng 1 tại các điểm giao của hàng chứa biến ra và toàn bộ các
phần tử khác đều bằng 0, Các biến đổi đại số sau đây đợc thực hiện để
thỏa mãn yêu cầu này.
Các giá trị của các phần tử trong bảng đơn hình liên quan tới các biến cơ
sở và không cơ sở mới có thể đợc tính toán theo các biến đổi hàng (hay
phơng pháp giải triệt tiêu Gauss-Jordan). Hàng ràng buộc có liên quan tới
biến ra đợc gọi là phơng trình chính và làm cơ sở cho biến đổi hàng này.
Các phần tử nằm tại điểm giao giữa cột đi vào và hàng chính đợc gọi là
phần tử chính. Phơng trình chính và phần tử chính đóng vai trò trung tâm
trong tính toán. Trong biến đổi hàng, mục tiêu là biến đổi bảng sang dạng


93
có các phần tử chính bằng một và các phần tử khác bằng không tại bất kỳ
đâu trong cột liên quan tới biến cơ sở mới.
Ví dụ 3.3.2. Xem bảng 3.3.2. thực hiện phép biến đổi chính để cập nhật bảng đơn hình sau khi x
1
và
s
1
đợc lựa chọn tơng ứng là biến vào và biến ra.
Lời giải. Biết rằng x
1
là biến vào và s
1

là biến ra, phần tử chính trong bảng 3.3.4 là 2, nó đợc khoanh
tròn. Hàng tơng ứng với điểm chính này là hàng chính. Biến đổi chính bằng phơng pháp triệt tiêu
Gauss-Jordan, xem bảng 3.3.4, bao gồm 2 bớc sau:
Chia toàn bộ các phần tử trong phơng trình chính liên quan tới s
2
bởi giá trị của phần tử chính.
áp dụng các phép nhân thích hợp vào hàng chính vừa đợc sửa đổi ở bớc (1) và các hàng khác trong
bảng này (xem bảng 3.3.4) sao cho toàn bộ các phần tử khác với phần tử chính trong cột đi vào có giá
trị bằng không.
Bảng đơn hình mới thu đợc sau các biến đổi trên thể hiện trong Bảng
3.3.5 trong đó danh sách thành viên đợc cập nhật, s
1
đợc thay thế bởi
x
1
. Các giá trị trong cột nghiệm liên quan tới ba ràng buộc là các giá trị
tơng ứng với các biến ởc bản hiện thời. Giá trị trong cột nghiệm ở hàng
x
0
là giá trị của hàm mục tiêu tại điểm nghiệm hiện thời. Với bảng đơn
hình hiện thời, nghiệm mới là x
1
= 5 và x
2
= 0 (do trạng thái không cơ
sở của nó) với giá gị hàm mục tiêu tơng ứng x
0
= 25. Các giá trị của
các biến ảo là không quan trọng trong hoàn cảnh hiện thời vì chúng
không có ảnh hởng tới giá trị của hàm mục tiêu.

Bảng 3.3.4
Minh hoạ các biến đổi hàng
x
0

x
1
x
2
s
1

s
2

s
3

Nghiệm

Biến đổi hàng
1 -5 1 0 0 0 0 (+)(x)(5)
0 2 -1 1 0 0 10
(ữ)(2)
0 0,4

0,8

0 1 0 4 (+)(x)( 4)
0 -2 1 0 0 1 0 (+)(x)(2)

Bảng 3.3.5
Kết quả của bớc lặp 1
Cơ sở

x
0
x
1

X
2
s
1
s
2

s
3
Nghiệm

x
0
1 0 -1,5 2,5 0 0 25
s
1
0 1 -0,5 0,5 0 0 5
s
2

0 0 1 -0,2 1 0 2
s
3
0 0 0 1 0 1 10
Trong tính toán thực tế, không cần tính toán các phần tử trong cột cha
các biến cơ sở. Thực ra không phải tất cả các phần tử trong bảng cần tính
toán ở mỗi bớc lặp. Biến đối hàng đợc mô tả ở phần trên có thể đợc sửa
đổi làm tăng tính mềm dẻo để có thể tính toán các giá trị của bất kỳ phần tử
nào trong bảng. Giả thiết rằng trong bất kỳ vòng lặp nào của phơng pháp
đơn hình, phần tử a
ij
ở hàng i cột j là phần tử chính. Giá trị của phân tử tại
giao của hàng k cột l, a
kl
, có thể đợc tình toán theo:
A


kl
= (a
kl
. a
ij
- a
kj
. a
il
)/ a
ij
(3.3.1)

trong đó a


kl
là giá trị mới thay thê giá trị cũ a
kl
trong bảng đơn hình trớc.
Thông tìn cần đợc sử dụng trong phơng trình (3.3.1) đợc thể hiện trên
hình 3.3.1.


94

Khi một bảng đơn hình mới đợc tạo ra, cần phải xem xét xem nghiệm
tối u đã có thể tìm đợc cha. Điều này đợc thực hiện bằng cách kiểm tra
các giá trị của các biến không cơ sở hiện thời trong hàng của hàm mục tiêu
trong bảng đơn hình. Sử dụng lập luận giống nh đã sử dụng ở bớc lặp thứ
nhất, chúng ra xem xem có các biến không cơ sở còn lại nào có tiềm năng
làm tăng thêm giá trị hiện thời của x
0,
Đối với các bài toán tối đa hoá, bất kỳ
một biến không cơ sở nào liên quan đến một hệ số âm trong hàng x
0
của
bảng đơn hình đều có thể là ứng cử cho biến vào trong vòng lặp tiếp sau.
Nếu trờng hợp này xảy ra, bảng đơn hình hiện thời đợc tối u hoá lại sử
dụng một quy trình giống nh đợc mô tả ở trên. Nếu tất cả các hệ số mục
tiêu ở hàng x
0
của bảng đơn hình là không âm, nghiệm tối u đã đạt đợc

bởi vì không còn biến nào có tiềm năng làm tăng thêm giá trị của x
0,

Xem xét bảng đơn hình hiện thời ta thấy rằng hệ số mục tiêu liên quan
tới x
2
(một biến không cở sở) trong hàng x
0
là -1,5. Điều này chỉ ra rằng nếu
tăng giá trị của x
2
từ mức không có thể tiếp tục làm tăng giá trị hiện thời
của x
0
= 25. Do đó x
2
đợc lựa chọn làm biến vào. Để lựa chọn biến ra, các
tỷ số giữa các nghiệm của các biến cơ sở hiện thời (x
1
, s
2
, s
3
) với các thành
phần trong bảng ở các cột đi vào đợc tính toán. Biến cơ sở hiện thời liên
quan tới tỷ số dơng nhỏ nhất đợc lựa chọn làm biến ra. Có nghĩa là, biến
cơ sở hiện thời, tơng ứng với min(-,2/1,10/0) =
min(-,2,) = 2 là biến ra trong vòng lặp thứ hai của phơng pháp đơn hình.
Hàng chính là hàng s
2

và phần tử chính là 1. Sau các biến đổi hàng, bảng
đơn hình mới đợc cập nhật trên bảng 3.3.6. Điểm cực trị khả thi liên quan
tới bảng này là (x
1
, x
2
) = (6, 2) và giá trị của hàm mục tiêu tơng ứng, x
0
, là
28, và lớn hơn giá trị trớc đó bằng 25. Xem xét các hệ số mục tiêu ở hàng
x
0
của bảng ta thấy tất cả các hệ số là không âm. Đối với bài toán cực đại
hoá, là trờng hợp bài toán sản xuất và xử lí chất thải, nó chỉ ra rằng không
có các biến không cơ sở (s
1
, s
2
) nào tồn tại có tiềm năng làm tăng tiếp giá trị
của hàm mục tiêu.


95

Hình 3.3.1
Các biến đổi hàng các phần tử.
Với điều này chúng ra có thể kết luận rằng nghiệm hiện thời (x*
1
, x*
2

) = (6,
2), là nghiệm tối u và lãi thực tối đa có thể thu đợc cho ngời sản xuất
x*
0
= 28 nghìn đô la.
3.3.3. Tóm tắt phơng pháp đơn hình
Từ các mô tả của thuật toán đơn hình để giải các bài toàn QHTT, quy
trình giải tuân theo hai điều kiện cơ bản, đó là, điều kiện tối u và điều kiện
khả thi. Cụ thể hơn cho các biến đổi đại số, hai điều kiện này có thể đợc
mô tả bằng ngôn từ nh sau.



Bảng 3.3.6
Kết quả của bớc lặp 2
Cơ sở

x
0
x
1
x
2
s
1
s
2
s
3
Nghiệm

x
0
1 0 0 2,2

1,5

0 28

s
1
0 1 0 0,4

0,5

0 6

s
2
0 0 1 -0,2

1

0 2

s
3
0 0 0 1

0

1 10



96

Điều kiện tối u làm cơ sở cho việc lựa chọn các biến vào có tiềm năng
làm tiếp tục tăng giá trị của hàm mục tiêu. Nếu cho rằng hàng x
0
đợc thể
hiện lại chỉ theo các biến không cơ sở, ta đi lựa chọn các biến vào trong bài
toán tối đa hoá (tối thiểu hoá) từ các biến không cơ sở có hệ số âm (dơng)
nhất ở hàng x
0,
Khi tất cả các hệ số vế trái của hàng x
0
trong bảng đơn hình
là không âm (không dơng), ta đã đạt đợc nghiệm tối u của bài toán.
Điều kiện khả thi làm cơ sở cho việc lựa chọn các biến ra để cho các
nghiệm thu đợc từ các bớc lặp đơn hình luôn khả thi. Biến ra là các biến
cơ sở tơng ứng với các tỷ số dơng nhỏ nhất của giá trị hiện thời của các
biến cơ sở trên các hệ số ràng buộc dơng của các biến vào, không phụ
thuộc vào loại bài toán là cực đại hay cực tiểu hoá.
Các bớc sau đây tóm tắt phơng pháp đơn hình cho bài toán cực đại
hoá:
Bớc 0: Biến đổi bài toán về dạng chính tắc với một nghiệm khả thi cơ
sở xuất phát và sau đó thiết lập dạng bảng. Bảng ban đầu phải luôn chứa các
nghiệm cơ sở khả thi (kiểm tra xem có một ma trận đơn vị).
Bớc 1: Lớt qua hàng x
0

; nếu tất các các phần tử là không âm, dừng
lại; nghiệm tối u đã đợc tìm; nếu không, chuyển đến bớc 2.
Bớc 2: Lựa chọn biến vào là biến tơng ứng với hệ số x
0
âm nhất. Nó
chỉ ra cột chính hay cột chủ chốt.
Bớc 3: Lớt qua các hệ số cột định vị (chủ chốt); nếu tất cả chúng là
không âm, dừng lại; nghiệm không xác định (xem mục 3.6). Nếu ít nhất
một phần tử là dơng, chuyển tới bớc 4.
Bớc 4: Tính

i
= b
i
/a
ik
với mọi a
ik
> 0
ở đây, a
ik
là phần tử thứ i của cột chính. Sau đó tìm

= min (

i
). Biến mà
đợc định nghĩa ở bớc 2 thay thế biến của hàng chính trong vòng lặp tiếp
theo.
Bớc 5: Để thu đợc bảng tiếp theo chia hàng chính cho phần tử chính.

Bây giờ sử dụng hàng này để thực hiện việc biến đổi hàng (phép cộng của
hàng này sau khi đợc nhân) với các hàng khác để thu đợc tất cả các số
không cho các giá trị còn lại trong cột chính (bao gồm cả hàng x
0
). Quay lại
bớc 1.
Phơng trình chính:
Phơng trình chính mới = phơng trình chính cũ / phần tử chính
Các phơng trình khác:
Phơng trình mới = phơng trình cũ - (hệ số cột đi ra) x (phơng trình
chính mới)


97
3.4. Phơng pháp biến nhân tạo
Thuật toán đơn hình đợc trình bày trong mục trớc có thể áp dụng trực
tiếp cho các bài toán mà các biến cơ sở ban đầu có sẵn ngay sau bớc khởi
tạo. Đây là trờng hợp nếu tất cả các ràng buộc trong mô hình là

, các
biến ảo có thể đợc thêm vào để làm cho chúng trở thành đẳng thức. Ma
trận các hệ số công nghệ của các biến ảo tại bớc khởi tạo ban đầu có dạng
một ma trận đơn vị. Tuy nhiên, sẽ cần đến một số sự hiệu chỉnh công thức
mô hình cho các bài toán mà không thể dễ dàng tìm thấy nghiệm khả thi cơ
sở bắt đầu. Điều này thờng xảy ra với những mô hình có các các ràng buộc
thuộc loại

hoặc =. Bằng việc đơn giản là trừ đi biến ảo, s
3
, từ vế trái của

dạng chính tắc của các ràng buộc, dẫn tới
2x
1
- x
2
- s
3
= 0
Ma trận kết quả cùng với các biến ảo (s
1
, s
2
, và s
3
) là
1
s
2 3
s s
1 0 0
0 1 0
0 0 -1

Đây không phải là một ma trận đơn vị. Vì vậy, s
3
không thể đợc sử
dụng nh một trong các biến cơ sở bắt đầu. Trong minh họa trớc về
phơng pháp đơn hình, cả hai vế của ràng buộc thứ ba đợc nhân với -1 tạo
cho nó một ràng buộc

vì thế hệ số công nghệ gắn liền với s
3
là +1. Điều
này là có thể đợc phép bởi vì vế phải của ràng buộc thứ ba là bằng 0 và sự
vận dụng về dấu không vi phạm yêu cầu của vế phải không âm trong dạng
chính tắc. Tuy nhiên, nếu vế phải của ràng buộc thứ ba là dơng, nh là hai
ràng buộc kia, thay đổi chiều của bất đẳng thức sẽ vi phạm yêu cầu không
âm của dạng chính tắc.
Phơng pháp biến nhân tạo đơn giản là một thủ thuật toán học mà
thông qua sự bổ xung các biến (gọi là biến nhân tạo) để có thể giải một mô
hình quy hoạch tuyến tính sử dụng thuật toán đơn hình chính tắc đợc trình
bày ở trên. Về cơ bản, các biến nhân tạo đợc sử dụng trong hai trờng hợp:
(a) với các ràng buộc thuộc loại

, các ràng buộc đợc viết thành:
1
n
ij j i i i
j
a x s r b



(3.4.1)
còn (b) với các ràng buộc thuộc loại =, các ràng buộc đợc viết thành
1
n
ij j i i
j
a x r b

(3.4.2)
trong đó
i
r
là biến nhân tạo không âm.


98

Chú ý rằng hệ số đi kèm với các biến nhân tạo trong các ràng buộc luôn
luôn bằng +1. Mục đích chính của việc đa ra các biến nhân tạo là để sử
dụng chúng nh các biến khả thi cơ sở ban đầu để áp ụng thuật toán đơn
hình chính tắc. Một lý do khác đa ra các biến nhân tạo là những sự bổ
xung của các biến này có thể gây nên một sự vi phạm của ràng buộc tơng
ứng, trừ khi chúng bằng 0, Các biến nhân tạo có thể đợc sử dụng nh
những chỉ số để nói lên liệu mô hình đã xây dựng có một nghiệm khả thi
hay không. Nếu tất cả các biến nhân tạo trong bài toán đợc chuyển tới
không cơ sở tại mực 0 khi thuật toán đơn hình kết thúc, bài toán có ít nhất
một nghiệm khả thi. Mặt khác, nếu ít nhất một biến nhân tạo vẫn còn trong
các biến cơ sở khi đạt tới tối u, thì không gian nghiệm của bài toán không
tồn tại và bài toán là vô nghiệm.
Sử dụng các biến nhân tạo nh nghiệm cơ sở ban đầu trong bớc lặp đơn
hình, ta cần nhận rõ rằng nghiệm bắt đầu là không khả thi cho các ràng
buộc gốc của bài toán. Để tìm nghiệm khả thi tối u cho bài toán gốc, tất
các các biến nhân tạo phải đợc chuyển về 0, nếu có thể. Có nhiều cách để
làm nh vậy. Các mục con sau trình bày hai phơng pháp đợc sử dụng phổ
biến trong việc giải một mô hình quy hoạch phi tuyến khi các biến nhân tạo

đợc đa ra. Sẽ vẫn sử dụng ví dụ sản xuất, xử lí rác thải để minh họa
những phơng pháp luận này.
3.4.1. Phơng pháp đánh thuế (phơng pháp M lớn)
Không vận dụng dấu của ràng buộc thứ ba của ví dụ sản xuất - xử lí rác
thải, tập hợp ràng buộc có thể đợc viết dới dạng chính tắc:
1 2 1
1 2 2
1 2 3 3
2 10
.4 .8 4
2 0
x x s
x x s
x x s r




(tất cả x
1
, x
2
, s
1
, s
2
, s
3
và r
3

là không âm)
trong đó, r
3
là một biến nhân tạo mà sẽ đợc sử dụng, cùng với s
1
và s
2
, nh
các biến cơ sở bắt đầu.
Nh đã đề cập ở trên, ta nên cố gắng khử tất cả các biến nhân tạo từ tập
hợp biến cơ sở. Với một bài toán cực đại hóa, điều này có thể đợc làm
bằng việc chỉ định một hệ số âm lớn, gọi là -M, cho các biến trong hàm
mục tiêu.
Max
0
1 1
n m
j j i
j i
x c x Mr




Vì bài toán này thuộc loại cực đại hóa, sự liên quan của một hệ số âm
lớn với các biến nhân tạo buộc một bất lợi cao cho sự tồn tại của các biến
nhân tạo dơng bất kỳ. Do đó, trong tiến trình của sự cực đại hóa, thuật
toán này sẽ tự động cố tránh sử dụng biến nhân tạo bất kỳ làm biến cơ sở.

99
Bằng biểu hiện tơng tự, nếu bài toán thuộc loại cực tiểu hóa, một hệ số
dơng lớn (+M) sẽ đợc chỉ định cho mỗi biến nhân tạo trong hàm mục
tiêu
Min
0
1 1
n m
j j i
j i
x c x Mr




Số M lớn này có thể đợc xem nh bất lợi đơn vị cho bất kỳ sự vi phạm
nào của các ràng buộc mô hình. Hàm mục tiêu cho ví dụ này có thể đợc
thành tạo là
Max
0 1 2 1 2 3 3
5 0 0 0
x x x s s s Mr


Có hai hạn chế cơ bản của phơng pháp số lớn M. Đó là:
Bớc cuối cùng phải đợc tiến hành trớc khi phát hiện ra rằng bài toán
không có nghiệm khả thi, tức là, một số biến nhân tạo là dơng.
Trong việc thực thi tính toán của phơng pháp số lớn M, ta phải giả sử
một giá trị số của M. Làm nh vậy, các lỗi tính toán và tính bất ổn định có
thể xuất hiện trong tiến trình lặp chủ yếu do một bài toán xác định tỷ lệ.

Do đó, phơng pháp thứ hai, là phơng pháp hai pha, phá vỡ hai trở ngại
của phơng pháp số lớn M đợc sử dụng trong các gói phần mềm tính toán
quy hoạch tuyến tính.
3.4.2. Phơng pháp hai pha
Phơng pháp này lấy tên từ thực tế rằng những tính toán đi theo hai pha.
Pha thứ nhất của tính toán đơn giản là cố điều chỉnh các biến nhân tạo trong
nghiệm sử dụng phơng pháp đơn hình vì vậy tạo nên một nghiệm bắt đầu,
không có các biến nhân tạo, cho pha thứ hai. Pha thứ hai đơn thuần chỉ
chuyển dịch tới nghiệm tối u sử dụng thuật toán đơn hình.
Trong tính toán Pha I, mô hình đợc giải có một hàm mục tiêu đợc
diễn tả bằng:
Min
0
1
K
k
k
r r



(3.4.3)
trong đó K là tổng số biến nhân tạo trong mô hình, với giả thiết là các ràng
buộc ở dạng chính tắc sau khi thêm các biến nhân tạo cần thiết. Hàm mục
tiêu của pha này là nh nhau cho cả bài toán cực đại hóa và cực tiểu hóa. Vì
tất các các biến nhân tạo là không âm, rõ ràng là r
0
có thể đạt đợc nhỏ nhất
là bằng 0 mà chỉ xảy ra khi tất các biến nhân tạo đều bằng 0, Trong trờng
hợp mà giá trị của r

0
khác 0 khi sự tối u đợc đạt tới, bài toán không có
miền nghiệm.
Dựa trên sự hoàn thành Pha I, sự tối u hóa Pha II tiếp tục, miễn là tất cả
các biến nhân tạo đều trở thành các biến không cơ sở ở mức 0, Trong các


100

tính toán Pha II, bảng tính toán cuối cùng của Pha I đợc hiệu chỉnh bằng
việc hạ thấp các cột gắn liền với các biến nhân tạo. Hơn nữa, dòng r
0
của
bảng đợc thay thế bằng dòng x
0
của hàm mục tiêu gốc. Trớc khi kiểm tra
điều kiện tối u, ta phải kiểm tra bảng đó thỏa mãn yêu cầu rằng dòng x
0

chỉ có thể là một hàm của các biến không cơ sở hay cha. Nếu điều kiện
này không thỏa mãn, các phép tính dòng phải đợc thực hiện để thỏa mãn
yêu cầu. Khi điều kiện này đợc thỏa mãn, thuật toán đơn hình đợc áp
dụng để giải tối u hóa bài toán.
Ví dụ 3.4.1. Giải bài toán sản xuất, xử lí rác thải sử dụng phơng pháp hai pha.
Lời giải. Việc thiết lập Pha I của bài toán sản xuất, xử lí rác thải có thể đợc biểu diễn là:
Min r
0
= r
3

với ràng buộc là:
1 2 1
1 2 2
1 2 3 3
2 10
0,4 0,8 4
2 0
x x s
x x s
x x s r




(Tất cả x
1
, x
2
, s
1
, s
2
, s
3
và r
3
là không âm)
Bảng đơn hình tơng ứng với sự thiết lập mô hình này đợc chỉ ra trong bảng 3.4.1(a). Một lần nữa,
trớc khi đi tiếp với bớc lặp đơn hình, dòng hàm mục tiêu trong bảng đơn hình phải đợc biểu thị
chỉ bằng một hàm của các biến không cơ sở x

1
, x
2
và s
3
. Điều này có thể đợc hoàn thành bằng việc
thêm dòng r
3
cho dòng r
0,
Bảng kết quả đợc trình bày trong bảng 3.4.1(b).
Mô hình pha I bây giờ có thể đợc tối u hóa bằng việc chọn x
1
làm biến vào theo điều kiện tối u
cho các bài toán cực tiểu hóa. Việc lựa chọn một biến ra cũng giống nh trớc đây theo điều kiện khả
thi. Sau một bớc lặp, nghiệm tối u cho pha I của ví dụ này đợc đạt tới dựa trên bảng 3.4.1(c). Dựa
vào bảng cuối cùng của thủ tục pha I, bảng bắt đầu của pha II đợc trình bày trong bảng 3.4.1(d).
Chú ý rằng bài toán cực đại hóa gốc đợc xem xét trong các tính toán pha II.

Chú ý rằng bảng 3.4.1(d) không thỏa mãn yêu cầu rằng dòng x
0
chỉ có thể là một hàm của các biến
không cơ sở. Biến cơ sở x
1
có hệ số khác 0 trong dòng x
0,
Một lần nữa, các phép tính toán dòng lại
đợc áp dụng để khử hệ số -5 của x
1
trong dòng x

0,
Sau các phép tính dòng này, bảng đơn hình kết
quả có thể đợc viết lại nh bảng 3.4.1(e). Rõ ràng là điều kiện tối u không đợc thỏa mãn bởi vì
các hệ số trong hàm mục tiêu của các biến không cơ sở x
2
và s
3
là âm. Sau một bớc lặp nữa, thì đạt
đợc nghiệm tối u với bảng cuối cùng đợc chỉ ra trong bảng 3.4.1(g).
3.5. Giải thích thuật toán bảng đơn hình
Từ bảng đơn hình cuối cùng ta có thể nhận đợc thông tin liên quan tới
nghiệm tối u và giá trị hàm mục tiêu tơng ứng. Có thông tin nào khác
đợc cung cấp bởi bảng đơn hình này không? Câu trả lời là có. Sẽ rất quan
trọng để có thể giải thích thông tin chứa trong bảng đơn hình bởi vì, trong
thực tế, mặt tính toán của một thuật toán đơn hình đợc thực hiện bằng các
máy tính. Ta nên biết giải thích nghiệm cuối cùng nh thế nào và có thể
thực hiện phân tích độ nhạy nh thế nào. Xét bảng cuối cùng, đó là, Bảng
3.4.1(g), của bài toán sản xuất, xử lí rác thải đợc giải bằng phơng pháp
hai pha trong ví dụ 3.4.1. Nh đợc trình bày trong các mục con sau đây, ta
có thể nhận đợc nhiều thông tin hữu ích từ bảng này.
3.5.1. Nghiệm tối u