Kỹ thuật và quản lý hệ thống nguồn nước ( Đại học Quốc gia Hà Nội ) - Chương 5 ppt

166
CHƯƠNG
5
Phân tích
tính bất định
và độ tin cậy của
hệ thống nguồn nớc




Điều đầu tiên trong thảo luận rủi ro và độ tin cậy cho thiết kế hệ thống
nguồn nớc là nhận dạng tính bất định và các thành phần liên quan khác nh
xác suất và tính ngẫu nhiên. Tính bất định có thể đợc định nghĩa một cách
đơn giản là sự xuất hiện của các biến cố nằm ngoài sự kiểm soát của chúng ta.
Tính bất định của một hệ thống nguồn nớc là một đặc trng không thể xác
định và nằm ngoài những kiểm soát của chúng ta. Trong việc thiết kế các hệ
thống nguồn nớc, các quyết định phải đợc đa ra đồng thời với sự tồn tại
của nhiều loại bất định khác nhau.
5.1. Tổng quan về lý thuyết xác suất
Trong mục này chúng tôi trình bày tóm tắt về một số nguyên lý và lý
thuyết cơ bản trong xác suất thống kê có ích cho đánh giá độ tin cậy của các
hệ thống nguồn nớc. Các ớc lợng bằng số về độ tin cậy cho các hệ thống
nguồn nớc đòi hỏi sử dụng các mô hình xác suất thống kê.
5.1.1. Các thuật ngữ
Trong lý thuyết xác suất, một phép thử nói chung biểu thị quá trình quan
trắc. Toàn bộ các kết quả có thể của một phép thử đợc gọi là không gian
mẫu. Một biến cố là một tập hợp con nào đó của các kết quả nằm trong không
gian mẫu. Do đó, một biến cố có thể là một tập rỗng

, hoặc tập con của
không gian mẫu, hoặc chính bằng không gian mẫu. Vì các biến cố là các tập
hợp, các toán tử thích hợp đợc sử dụng nh phép hợp, phép giao và phần
bù. Sự xuất hiện của biến cố A hay biến cố B (nghĩa là hợp của A và B) đợc


167
ký hiệu là
B
A

còn sự cùng xuất hiện của biến cố A và B (nghĩa là phép giao
của A và B) đợc ký hiệu là
B
A

hoặc (A, B). Trong chơng này, phần bù
của biến cố A đợc ký hiệu là A. Nếu hai biến cố A và B không có các phần tử
chung thì chúng đợc gọi là xung khắc từng đôi hay rời nhau và đợc biểu
thị bằng (A, B) =

. Nếu biến cố A mà sự xuất hiện của nó phụ thuộc vào sự
xuất hiện của biến cố B thì đây là một biến cố có điều kiện ký hiệu là
BA
.
Xác suất là một đại lơng số đo khả năng có thể xảy ra của sự xuất hiện
một biến cố. Nói chung, xác suất xuất hiện một biến cố A có thể đợc đánh
giá theo hai cách: (1) các xác suất khách quan hay xác suất sau dựa trên các
quan trắc sự xảy ra của biến cố; (2) các xác suất chủ quan hay xác suất trớc

dựa trên cơ sở của kinh nghiệm và sự phán đoán.
5.1.2.
Các quy tắc tính xác suất.
Ba tiên đề cơ bản của xác suất có thể hiểu bằng trực giác là: (i) P(A)

0
(tính không âm); (ii) P(S) =1 (tính toàn phần) với S là không gian mẫu; (iii)
nếu A và B xung khắc nhau thì P(
B
A

)=P(A) + P(B). Từ hai tiên đề đầu tiên,
giá trị của xác suất phải nằm giữa 0 và 1. Mở rộng tiên đề thứ 3 cho một số
các biến cố xung khắc từng đôi bất kỳ là:

1 2
1
1

k
k
k i i
i
i
P A A A P A P A

U
(5.1.1)
Với hai biến cố xung khắc từng đôi A và B, xác suất của phép giao
P(A

B)=P(A, B) = P(

)=0, Xác suất của hợp hai biến cố A và B có thể đợc
đánh giá bằng:
P(A

B)=P(A) + P(B) - P(A, B) (5.1.2)
Tổng quát, với k biến cố:





1
1
1
1 2
,
, ,
1 , , ,
k
k k k
i i i j
i i j

i
k k k
i j l
i j l
k
k
P A P A P A A
P A A A
P A A A













U
(5.1.3)
Nếu hai biến cố đợc coi là độc lập nhau, sự xuất hiện của một biến cố
này không ảnh hởng đến sự xuất hiện của biến cố kia. Do đó, các biến cố A
và B là độc lập khi và chỉ khi P(A, B) = P(A)P(B). Để tổng quát hóa nguyên lý
này, xác suất xuất hiện đồng thời k biến cố độc lập, cũng đợc xem nh là xác
suất đồng thời, là

11
k
k
i i
ii
P A P A





I
(5.1.4)


168
Cần chú ý rằng tính xung khắc từng đôi của hai biến cố nói chung không
đồng nghĩa với tính độc lập và ngợc lại.
Xét lại biến cố có điều kiện đợc đề cập trớc đó, xác suất mà một biến cố
có điều kiện xuất hiện đợc gọi là xác suất có điều kiện. Xác suất có điều kiện
P(
A B
) có thể đợc tính bằng:






, /

P A B P A B P B

(5.1.5)
trong đó P(
A B
) là xác suất xảy ra biến cố A biết trớc biến cố B đã xảy ra.
Nói các khác P(
A B
) biểu thị đánh giá lại của chúng ta về xác suất của A khi
biết thông tin rằng biến cố B đã xảy ra. Để tổng quát hóa Phơng trình (5.1.5),
xác suất của sự xảy ra đồng thời k biến cố độc lập có thể đợc tính bằng:



1 2 1 3 2 1 1 1
1
.
k
i k k
i
P A P A P A A P A A A P A A A






I
(5.1.6)
Đôi khi, xác suất mà biến cố A xảy ra không thể đợc xác định trực tiếp

hay dễ dàng. Tuy nhiên nói chung biến cố A xảy ra cùng với các đặc trng
khác, C
i
, là các biến cố khác mà làm cho biến cố A xảy ra. Xem hình 5.1.1
biến cố A có thể xảy ra đồng thời với k đặc trng xung khắc từng đôi và xung
khắc chọn lọc C
i
, i = 1,2, , k, trong đó xung khắc chọn lọc đề cập tới khái
niệm hợp của tất cả các biến cố sơ cấp trong một một không gian mẫu. Xác
suất xảy ra biến cố A, không quan tâm tới nguyên nhân của các đặc trng, có
thể đợc tính bằng




1 1
,
k k
i i i
i i
P A P A C P A C P C



(5.1.7)
xác định định lý xác suất toàn phần.

Hình 5.1.1
Sơ đồ Venn chỉ ra biến có A với các đặc trng .
Định lý xác suất toàn phần , phát biểu rằng sự xuất hiện của biến cố A có

thể bị ảnh hởng bởi một số các đặc trng C
i
, i = 1,2, k. Trong một số trờng


169
hợp P(
i
AC
) đợc biết và ta muốn xác định xác suất mà một đặc trng riêng C
i

có trách nhiệm cho sự xảy ra của biến cố A, đó là, P(
i
C A
) đợc yêu cầu. Dựa
vào định nghĩa của xác suất có điều kiện, Phơng trình (5.1.5), và định lý xác
suất toàn phần, Phơng trình (5.1.7), P(
i
C A
) có thể đợc tính bằng

i i
i
i
k
i i
i 1
P A C P C
P C ,A
P C A
P A
P A C P C



(5.1.8)
Phơng trình (5.1.8) đợc gọi là định lý Bayes trong đó P(C
i
) là xác suất
trớc biểu thị tin cậy ban đầu của xác suất về sự xuất hiện của đặc trng C
i
,
P(
i
AC
) là hàm khả năng xảy ra và P(
i
C A
) là xác suất trớc biểu thị đánh giá
mới của chúng ta về C

i
có biết về sự xuất hiện của biến cố A. Định lý Bayes có
thể đợc sử dụng để cập nhật và sửa lại xác suất đã tính khi có thêm thông tin.
5.1.3. Các biến ngẫu nhiên và các phân phối của chúng.
Trong phân tích các đặc trng thống kê hoạt động của hệ thống nguồn
nớc, nhiều biến cố quan tâm có thể đợc xác định bằng các biến ngẫu nhiên
có liên quan. Một biến ngẫu nhiên là một hàm giá trị thực xác định trong
không gian mẫu. Một quy ớc khá chuẩn trong tài liệu thống kê là biến ngẫu
nhiên đợc biểu thị bằng một ký tự viết hoa còn ký tự viết thờng biểu thị giá
trị thực của biến ngẫu nhiên tơng ứng. Theo quy ớc này, ví dụ, Q có thể
đợc sử dụng để biểu thị cờng độ dòng chảy, một biến ngẫu nhiên, còn q
biểu thị giá trị có thể của Q. Một biến ngẫu nhiên có thể là liên tục hoặc rời
rạc. Có nhiều ví dụ về các biến ngẫu nhiên rời rạc trong kỹ thuật hệ thống
nguồn nớc. Mục này chỉ xét các biến ngẫu nhiên đơn chiều. Các trờng hợp
biến ngẫu nhiên đa chiều có thể xem ở các tài liệu khác (Blank, 1980; Devore,
1987).
Hàm phân phối lũy tích (CDF-Cumulative Distribution Function), F(x),
hay đơn giản là hàm phân phối (DF) của một biến ngẫu nhiên X đợc định
nghĩa là:
F(x)=P(X

x) (5.1.9)
F(x) là lũy tích vì đối số hay giá trị thực của nó, x, tăng dần. Hơn nữa, khi
x dần tới biên dới của biến ngẫu nhiên X giá trị của F(x) tiến tới 0; mặt khác,
giá trị của F(x) tiến tới 1 khi đối số của nó dần tới biên trên của biến ngẫu
nhiên X.
Với một biến ngẫu nhiên rời rạc X, hàm khối lợng xác suất (PMF-
Probability Mass Function) của X đợc định nghĩa là:
p(x) = P(X=x) (5.1.10)
trong đó p(x) là khối lợng xác suất, là xác suất tại một điểm rời rạc X = x.

Hàm khối lợng xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc phải thỏa mãn hai


170
điều kiện: (1) p(x
i
)

0 với tất cả xi và (2)
i
p(x ) 1


tất cả i
. Hàm khối lợng xác
suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc và hàm phân phối lũy tích của nó đợc
chỉ ra trong hình 5.1.2a và b. Hàm phân phối lũy tích của một biến ngẫu nhiên
rời rạc X có dạng bậc thang.
Với một biến ngẫu nhiên liên tục, hàm mật độ xác suất (PDF-Probability
density function) đợc định nghĩa là:



dx
xdF
xf
(5.1.11)
trong đó F(x) là hàm phân phối lũy tích của X nh đã đợc xác định trong
Phơng trình 5.1.9. Hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tuc f(x)
là độ dốc của hàm phân phối lũy tích. Biểu diễn bằng đồ thị của một hàm mật

độ xác suất và hàm phân phối lũy tích cho các biến ngẫu nhiên liên tục đợc
chỉ ra trong hình 5.1.2c và d. Tơng tự nh trờng hợp rời rạc, hàm mật độ của
một biến ngẫu nhiên liên tục phải thỏa mãn hai điều kiện: (1) f(x)

0 và (2)



1)( dxxf
.
Cho trớc hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X, hay
hàm khối lợng xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân phối lũy
tích của nó có thể tính đợc sử dụng:



x
dxxfxF )()(
với các biến ngẫu nhiên liên tục (5.2.12a)
và



ni
i
xpxF
1
)()(
với các biến ngẫu nhiên rời rạc (5.1.12b)

171

Hình 5.1.2
Hàm khối lợng xác suất và phân phối lũy tích của các biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục.
Xác suất cho một biến ngẫu nhiên liên tục để lấy một giá trị riêng biệt là
bằng 0 còn trong trờng hợp biến ngẫu nhiên rời rạc thì không nh vậy.
5.1.4. Các đặc trng thống kê của các biến ngẫu nhiên.
Trong thống kế thuật ngữ tổng thể biểu thị sự tập hợp đầy đủ tất cả các giá
trị đại diện cho một quá trình ngẫu nhiên cụ thể. Một mẫu là một tập con bất
kỳ của tổng thể.
Các ký hiệu thờng đợc sử dụng để mô tả các đặc trng thống kê của một
biến ngẫu nhiên có thể đợc phân thành 3 loại: (1) các ký hiệu biểu thị xu
hớng trung tâm; (2) các ký hiệu biểu thị sự phân tán quanh một giá trị trung
tâm; và (3) các ký hiệu biểu thị tính bất đối xứng của một phân phối. Các ký
hiệu thờng đợc sử dụng trong ba loại này có liên quan đến các momen
thống kê của biến ngẫu nhiên. Giá trị kỳ vọng của (X-x0)r là momen thứ r của
biến ngẫu nhiên X xung quanh điểm X = x
0,
Về mặt toán học, giá trị kỳ vọng,
E[(X-x0)r], trong trờng hợp liên tục đợc xác định bằng:






dxxfxxxXE
r
00

(5.1.13a)
Còn với trờng hợp rời rạc:






N
i
i
r
i
xpxxxXE
1
00
(5.1.13b)


172
Trong đó E[ ] là toán tử kỳ vọng thống kê. Trong thực tế ba momen đầu
tiên đợc sử dụng để diễn tả xu hớng trung tâm, tính biến thiên, và tính bất
đối xứng của sự phân phối một biến ngẫu nhiên. Không mất tính tổng quát từ
nay về sau chỉ xét các biến ngẫu nhiên liên tục.
Với sự đánh giá xu hớng trung tâm, kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên X
thờng đợc định nghĩa là

dxxxfXE )(

(5.1.14)
Kỳ vọng này đợc xem là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên. Các
ký hiệu hay các đặc trng thống kê khác cho xu hớng trung tâm của một biến
ngẫu nhiên đợc liệt kê trong Bảng 5.1.1.
Một số đặc trng toán tử hữu ích của kỳ vọng:
1. Kỳ vọng của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng của các
biến ngẫu nhiên riêng lẻ.










k
i
ii
k
i
ii
XEaXaE
11
(5.1.15a)
Nếu X
1

, X
2
, , X
k
là các biến ngẫu nhiên độc lập, thì










k
i
i
k
i
i
XEXE
11
(5.1.15b)
Hai loại momen thờng đợc sử dụng: Momen gốc x
0
= 0 và moment
trung tâm
x
0

=

. Momen trung tâm bậc r đợc xác định bằng




r
r
XE


còn
momen gốc bậc r đợc xác định bằng


r
r
XE
'

. Mối quan hệ giữa các
momen trung tâm và momen gốc bậc r bất kỳ là





r
i

ir
i
ir
i
r
C
0
'
1

(5.1.16a)




r
i
ir
i
irr
C
0
'

(5.1.16b)
trong đó hệ số nhị thức
ir
C
= r!/[i!(r-i)!],
i

là trung bình cho lũy thừa thứ i,
'
ir

là momen gốc bậc r-i. Phơng trình (5.1.16a) đợc sử dụng để tính các
momen trung tâm từ momen gốc, còn phơng trình (5.1.16b) đợc sử dụng để
tính momen gốc từ các momen trung tâm.
Bảng 5.1.1
Các đặc trng thống kê của một biến ngẫu nhiên thờng đợc sử dụng
Các đặc trng thống kê
Tập hợp Các ớc lợng mẫu
Chiều hớng trung tâm
Trung bình số học




173




dxxxfXE


Trung vị
md
x
sao cho

5.0
md
xF




n
i
i
X
n
X
1
1


Giá trị nhóm thứ 50 của số liệu
Tính thay đổi
Phơng sai




2
2

XE

Độ lệch chuẩn




2/1
2

XE

Hệ số biến thiên


/












n
i
ix

XX
n
S
1
2
2
1
1


2/1
1
2
1
1











n
i
i
XX

n
S

XSC
v
/

Đối xứng
Hệ số lệch


3
3





XE






3
1
3
21 Snn
XXn

G
n
i
i






Tơng quan
Hệ số tơng quan


yx
YX


,cov

22
YYXX
YYXX
R
ii
ii

Với việc đo lờng tính biến động, phơng sai của một biến ngẫu nhiên liên
tục đợc định nghĩa là:








dxxfxXEXVar
22
2

(5.1.17)
là một momen trung tâm bậc hai. Căn bậc hai của phơng sai
2

đợc gọi là
độ lệch chuẩn,

, thờng đợc sử dụng khi đánh giá mức độ của tính bất định
gắn liền với một biến ngẫu nhiên. Một độ lệch chuẩn nhỏ hơn biểu thị một
biến ngẫu nhiên với tính bất định nhỏ hơn. Độ lệch chuẩn có đơn vị giống nh
đơn vị của biến ngẫu nhiên. Để so sánh mức độ của tính bất định của hai biến
ngẫu nhiên đơn vị khác nhau, một đại lợng đo lờng vô hớng


/


,
đợc gọi là hệ số biến thiên, là hữu dụng. Sau đây là một số đặc trng quan
trọng của phơng sai:
Var[a] = 0 (5.1.18a)
Var[X] = E [X2] - E2[X] (5.1.18b)
Var[aX] = a
2
Var[X] (5.1.18c)
Nếu tất cả các biến ngẫu nhiên , X, là độc lập thì

k
i
ii
k
i
ii
aXaVar
1
22
1

(5.1.18d)
trong đó ai là một hằng số và
i

là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X
i
.
Để đo đạc độ bất đối xứng của hàm phân phối xác suất của một biến ngẫu
nhiên, hệ số lệch

đợc sử dụng, đợc định nghĩa bằng:


174




3

3
/

XE
(5.1.19)
Hệ số lệch là vô hớng và liên hệ với momen trung tâm bậc 3. Dấu của hệ
số lệch ngầm chỉ phạm vi của sự đối xứng của phân phối xác suất quanh giá
trị trung bình. Nếu
0


, phân phối là đối xứng qua giá trị trung bình;
0


,
phân phối lệch về phía bên phải;
0


, phân phối lệch về bên trái. hình 5.1.3
đợc dùng để minh họa về một phân phối xác suất với các hệ số lệch khác
nhau và vị trí tơng đối của giá trị trung bình

, trung vị xmd, và đỉnh x
mo

đợc chỉ ra trong hình 5.1.3. Đỉnh, x
mo
, là giá trị của biến ngẫu nhiên tại đỉnh

của hàm mật độ xác suất.
Các momen thống kê bậc cao hơn 3 ít khi đợc sử dụng trong ứng dụng
thực tế bởi vì độ chính xác của chúng giảm nhanh khi đợc đánh giá từ một
kích thớc mẫu giới hạn. Các phơng trình đợc sử dụng để tính ớc lợng
mẫu của các momen thống kê trên đợc cho trong Bảng 5.1.1.
Khi xét hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc, mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa
chúng có thể đợc đánh giá bằng hệ số tơng quan

(X, Y) đợc tính bằng:




YX
YXCovYX

/,,
(5.1.20)
trong đó Cov[X, Y] là hiệp phơng sai giữa các biến ngẫu nhiên X và Y. Nh
một ví dụ hệ số tơng quan xác định tính hợp lý của giả thiết rằng các giá trị
của x và y vẽ nên một đờng thẳng. Hiệp phơng sai đợc định nghĩa là giá trị
kỳ vọng của tích


X
X


và

Y
Y


, mà đợc xác định là:










YXYX
XYEYXEYXCov

,
(5.1.21a)
hay

N
i
ii
yyxx
N
YXCov
1
1
,
(5.1.21b)
Với N cặp số liệu. Hiệp phơng sai là một đại lợng đo lờng về xu thế
cho hai biến cùng thay đổi với nhau. Đại lợng đo lờng này có thể bằng 0,
âm, hay dơng tùy vào các biến không tơng quan, các biến tơng quan âm,
hay các biến tơng quan dơng tơng ứng.
Hệ số tơng quan phải lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn hoặc bằng +1, tức
là,


1,1 YX

. Trờng hợp mà


1, YX

có nghĩa là có một quan hệ
dơng hoàn toàn giữa hai biến (tức là tất cả các điểm đều nằm trên một đờng
thẳng) còn

1, YX

là tơng quan hoàn toàn nghịch biến (tức là một biến
tăng còn một biến giảm). Khi


0, YX

là không có tơng quan tuyến tính.
hình 5.1.4 minh họa các giá trị của sự tơng quan. Nếu hai biến ngẫu nhiên X
và Y là độc lập, thì




0,, YXCovYX

. Tuy nhiên điều ngợc lại không
đúng (Xem hình 5.1.4d). Xét sự tơng quan giữa nhiều biến ngẫu nhiên liên
qua, Phơng trình 5.1.18d có thể đợc tổng quát chuyển thành


175

k
i
k
i
k
j
jijiii
k
i
ii
XXCovaaaXaVar ,2
22
1

(5.1.22)


Hình 5.1.3
Dạng phân phối với các độ lệch khác nhau

Hình 5.1.4
Một số ví dụ về hệ số tơng quan (trích từ Harr, 1987)
Ví dụ 5.1.1. Xét cân bằng khối lợng của một hồ chứa nớc mặt qua một thời đoạn một tháng trong đó
m là tháng thứ m. Lợng trữ cuối tháng S
m+1
có thể đợc tính sử dụng định luật bảo toàn khối lợng

176
ST
m+1
= ST
m
+ PP
m
+ QF
m
- EV
m
- R
m

trong đó ST
m
= thể tích lợng trữ ban đầu trong tháng m, PP
m
= lợng giáng thủy trên mặt hồ trong
tháng m. QF
m
= dòng chảy tới hồ trong tháng m. EV
m
= tổng lợng bốc hơi tháng trong tháng m và R
m
=
lợng xả ra hàng tháng từ hồ đợc điều chỉnh cho các mục đích khác nhau. Tại thời điểm bắt đầu của
tháng, thể tích lợng trữ ban đầu và lợng xả ra đợc biết trớc. Hơn nữa, tổng lợng giáng thủy hàng

tháng, dòng mặt chảy vào, và lợng bốc hơi là bất định và đợc giả thiết là các biến ngẫu nhiên độc lập.
Các độ lệch chuẩn và độ lệch trung bình của PP
m
, QF
m
và EV
m
từ số liệu lịch sử của tháng m đợc đánh
giá băng:
E(PP
m
) = 1 KAF, E(QF
m
) = 8 KAF, E(EV
m
) = 3KAF,

(PP
m
) = 0,5 KAF ,

(QF
m
) = 2 KAF ,

(EV
m
) = 1 KAF
trong đó KAF là 1000 mẫu feet. Xác định độ lệch chuẩn và độ lệch trung bình của thể tích lợng trữ
trong hồ vào cuối tháng nếu thể tích lợng trữ ban đầu là 20 KAF và lợng xả thiết kế cho tháng đó là 10

KAF.
Lời giải. Từ Phơng trình (5.1.15a), giá trị trung bình của thể tích lợng trữ cuối tháng trong hồ có thể
đợc xác định bằng:
E(ST
m+1
) = ST
m
+ E(PP
m
) +E(QF
m
) - R
m

= 20 +1 + 8 -3 - 10 =16 KAF
từ phơng trình 5.1.18c, có thể nhận đợc phơng sai của thể tích lợng trữ cuối tháng trong hồ bằng:
Var(ST
m+1
) = Var(PP
m
) + Var(QF
m
) + Var(EV
m
)
= (0,5)
2
+(2)
2
+ (1)

2
= 5,25 (KAF)
2

Do đó, độ lệch chuẩn của ST
m+1
là:


29,225,5
1

m
ST

KAF
Ví dụ 5.1.2. Có lẽ giả thiết về tính độc lập của PP
m
, QF
m
và EV
m
trong Ví dụ 5.1.1 không thật chính xác
trong thực tế. Sau khi kiểm tra số liệu lịch sử gần đây, có tồn tại các tơng quan giữa ba biến ngẫu nhiên
này. Phân tích số liệu thấy rằng

3,0,,4,0,,8,0,
mmmmmm
EVQFEVPPQFPP

.
Tính toán lại độ lệch chuẩn của thể tích lợng trữ cuối tháng.
Lời giải. Theo Phơng trình 5.1.22, phơng sai của thể tích lợng trữ trong hồ chứa tại thời điểm cuối
tháng có thể đợc tính bằng:
Var(ST
m+1
) = Var(PP
m
) + Var(QF
m
) + Var(EV
m
) + 2 Cov(PP
m
, QF
m
)
2 Cov(PPm, EVm) - 2 Cov(QFm, EVm)
=Var(PPm) + Var(QFm) + Var(EVm) +2

(PPm, QFm)

(PPm)

(QFm)

- 2

(PPm, EVm)

(PPm)

(EVm) - 2

(QFm, EVm)

(QFm)

(EVm)
= (0,5)
2
+(2)
2
+(1)
2
+2(0,8)(0,5)(2) - 2(-0,4)(0,5)(1) - 2(-0,3)(2)(1)
=8,45 (KAF)
2

Độ lệch chuẩn tơng ứng của thể tích lợng trữ cuối tháng là:


91,245,8
1

m

ST

KAF
Trong ví dụ 5.1.1 độ lệch chuẩn là 2,29 KAF. Rõ ràng là giả thiết về sự độc lập đã dẫn tới một độ lệch
chuẩn nhỏ hơn.
5.2. Những phân phối xác suất thờng gặp
Trong phân tích độ tin cậy của các hệ thống nguồn nớc, một số phân phối
xác suất thờng đợc sử dụng. Dựa trên đặc tính của biến ngẫu nhiên, các
phân phối xác suất có thể đợc phân loại thành phân phối rời rạc và phân phối


17
7
liên tục. Hai loại phân phối rời rạc thờng đợc sử dụng trong phân tích độ tin
cậy là: phân phối nhị thức và phân phối Poisson. Với các biến ngẫu nhiên liên
tục, có một số hàm mật độ phân phối thờng đợc sử dụng trong phân tích độ
tin cậy. Đó là các phân phối chuẩn, lô ga rít chuẩn, Gamma, Weibull, và phân
phối hàm mũ. Các phân phối khác nh phân phối beta và các phân phối cực
hạn đôi khi cũng đợc sử dụng.
5.2.1. Phân phối nhị thức
Phân phối nhị thức có thể áp dụng cho các quá trình ngẫu nhiên chỉ có hai
kết quả có thể. Trạng thái của các thành phần hay các hệ thống con trong
nhiều hệ thống nguồn nớc có thể đợc phân loại hoặc là đang hoạt động hoặc
là không hoạt động là một ví dụ điển hình của các kết quả nhị phân. Xét một
hệ thống gồm tất cả n thành phần độc lập mà mỗi thành phần có hai kết quả
có thể, là hoạt động hoặc không. Với mỗi thành phần, xác suất hoạt động là p.
Do đó xác suất của việc có x thành phần hoạt động trong hệ thống có thể đợc
tính bằng

nxqpCxp
xnx
xn
, ,2,1,0,

(5.2.1)
trong đó q = 1 - p và
xn
C
là một hệ số nhị phân. Một biến ngẫu nhiên X có
phân phối nhị thức với các thông số n và p có kỳ vọng E(X) = np và phơng
sai Var(X) = npq. Dạng của hàm khối lợng xác suất của một biến ngẫu nhiên
nhị thức phụ thuộc vào các giá trị của p và q. Hàm khối lợng xác suất bị lệch
dơng nếu p < q; đối xứng nếu p = q = 0,5; và bị lệch âm nếu p > q.
Ví dụ 5.2.1. Một ngời vận hành cảng tầu thuỷ quyết định xây dựng thiết bị vận hành mới dọc sông.
Theo một phân tích kinh tế thì anh ta quyết định chọn thiết bị chịu đợc lũ lớn với lu lợng 7500 ft
3
/s.
Ngoài ra anh ta xác định rằng nếu một trận lũ lớn hơn vậy xảy ra trong giai đoạn 5 năm tới thì anh ta sẽ
có thể sửa chữa và thu lại đợc lợi nhuận trong giai đoạn 5 năm này. Nếu xảy ra nhiều hơn một trận lũ
lớn hơn 7500 ft
3
/s, anh ta sẽ mất tiền. Nếu xác suất lu lợng lớn hơn 7500 ft
3
/s hàng năm là 0,15 thì
xác suất mất tiền của ngời vận hành sẽ là bao nhiêu?
Lời giải. Ký hiệu X là một biến ngẫu nhiên đặc trng cho số lần xảy ra của các trận lũ vợt 7500 ft
3
/s
trong giai đoạn 5 năm. Mỗi năm có thể đợc xét nh một phép thử mà ở đó trận lũ lớn hơn 7500 ft

3
/s có
thể xảy ra hoặc không. Do đó, kết quả các phép thử là nhị phân. Giai doận 5 năm đợc coi nh là có 5
phép thử. Biến ngẫu nhiên X trong bài toán này có phân phối nhị thức với các thông số p = 0,15 và n =
5. Ngời vận hành sẽ không mất tiền nếu nhiều nhất là một trận lũ lớn hơn 7500 ft
3
/s xảy ra trong vòng
5 năm. Xác suất để có nhiều nhất một trận lũ nh vậy trong 5 năm là
P(Có nhiều nhất một trận lũ lớn hơn 7500 ft
3
/s trong 5 năm)
8352,03915,04437,0
)15,01()15,0()15,01()15,0(
)1()0(
)1(
41
15
50
05





CC
XPXP
XP

5.2.2.
Phân phối Poisson.

Khi


n
và
0

p
còn np = const, phân phối nhị thức trở thành một
phân phối Poisson với hàm khối lợng xác suất


178


, 2,1,0,!/

xxexp
x


(5.2.2)
trong đó tham số

>0 là trung bình của biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân
phối Poisson. Phân phối Poisson đã đợc áp dụng rộng rãi trong việc mô hình
hóa số sự xuất hiện của các biến cố trong một khoảng thời gian hay không
gian xác định. Phơng trình 5.2.2 có thể đợc chỉnh lại

, 2,1,0,!/

xxvtexp
x
vt
(5.2.3)
trong đó tham số

có thể đợc hiểu là tốc độ trung bình của sự xuất hiện một
biến cố trong khoảng thời gian (0, t).
Ví dụ 5.2.2. Đánh giá lại xác suất ở ví dụ 5.2.1 sử dụng phân bô Poisson
Lời giải. Trong ví dụ 5.2.1 gải thiết rằng trận lũ lớn hơn 7500 ft
3
/s không thể xảy ra quá một lần trong
năm. Nếu bở điều kiện này đi và cho giả thiết là có thể có nhiều hơn một trận lũ xảy ra trong 1 năm mà
không quan tâm đến xác suất nhỏ bao nhiêu. Biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với các thông số v
= np = 5(0,15) = 0,75. Giá trị 0,75 thể hiện kỳ vọng (hay trung bình) của số lần xuất hiện của trận lũ lớn
hơn 7500 ft
3
/s trong vòng 5 năm. Do đó xác suất để có nhiều nhất một trận lũ nh vậy trong 5 năm đợc
tính nh sau
8266,03543,04724,0
!1/)75,0(!0/)75,0(
)1()0()1(
175,0075,0

ee
XPXPXP

So sánh giá trị này với giá trị 0,8352 thu đợc từ ví dụ trớc độ chênh lệch giữa hai giá trị này nhỏ hơn
một phần trăm Sự khác biệt về xác suất thu đợc từ hai ví dụ là bỏ qua đợc nếu giá trị của p nhỏ. Tuy
nhiêm với giả thiết ẩn chứa trong phân phối nhị thức rằng chỉ có duy nhất một trận lũ trong mỗi n có thể
làm cho ta thích sử dụng hàm phân phối Poisson trong đánh giá rủi ro đối với hầu hết các bài toán nguồn
nớc.
5.2.3. Phân phối chuẩn
Phân phối chuẩn là một phân phối rất phổ biến, còn gọi là phân phối
Gauss. Hai tham số liên quan trong phân phối chuẩn là trung bình và phơng
sai. Một biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn có giá trị trung bình

và phơng
sai
2

trong tài liệu này đợc ký hiệu là X ~ N(
2
,

) với hàm mật độ xác suất
bằng

x- với ,
2
1
exp
2
1
2



x
xf
(5.2.4)
Một phân phối chuẩn có dạng hình chuông và đối xứng qua điểm x =

.
Do đó, hệ số lệch của một biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn là bằng 0, Một
biến ngẫu nhiên Y là một hàm tuyến tính của biến ngẫu nhiên phân phối
chuẩn X thì cũng có phân phối chuẩn. Nghĩa là, nếu X ~ N(
2
,

) và Y = ã + b
thì Y ~ N(
22
,

aba
). Một sự mở rộng của định lý này là tổng của các biến
ngẫu nhiên phân phối chuẩn (độc lập hay phụ thuộc) cũng là một biến ngẫu
nhiên phân phối chuẩn với giá trị trung bình và phơng sai có thể đợc tính
bằng các phơng trình (5.1.15a) và (5.1.22) tơng ứng.
Tính toán xác suất cho các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn đợc làm
bằng cách đầu tiên chuyển sang dạng chuẩn hóa Z của nó là


179
Z = (X -

) /

(5.2.5)
trong đó Z có giá trị trung bình bằng 0 và phơng sai bằng 1. Vì Z là một hàm
tuyến tính của biến ngẫu nhiên X, nên Z cũng là một phân phối chuẩn. Hàm
mật độ xác suất của Z, gọi là phân phối chuẩn chính tắc, có thể đợc biểu thị

bằng








z- với ,
2
exp
2
1
2
z
z


(5.2.6)
Các bảng của các hàm phân phối của Z nh bảng 5.2.1, có thể tìm thấy
trong các sách thống kê (Haan, 1977; Blank, 1980 ; Devore, 1987). Những
tính toán xác suất cho X ~ N(
2
,

) có thể đợc thực hiện sử dụng

zzZP
xX
PxXP















(5.2.7)
trong đó


z
là CDF của biến ngẫu nhiên chuẩn chính tắc Z đợc xác định
bằng




z

dssz

(5.2.8)
5.2.4. Phân phối Lô ga rít chuẩn
Phân phối lô ga rít chuẩn là một phân phối liên tục thờng đợc sử dụng
khi các biến ngẫu nhiên không thể là số âm. Một biến ngẫu nhiên X đợc gọi
là phân phối lô ga rít chuẩn nếu dạng chuyển lô ga ríta của nó Y = ln(X) có
một phân phối chuẩn với giá trị trung bình
Xln

và phơng sai
2
ln X

. Phân phối
mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên phân phối lô ga rít chuẩn là

X0 với ,
ln
2
1
exp
2
1
2
ln
ln
ln
X
X
X
X
X
Xf



(5.2.9)
mà có thể đợc lấy từ hàm mật độ phân phối chuẩn là phơng trình (5.2.4).
Các đặc trng thống kê của một biến ngẫu nhiên lô ga rít chuẩn của tỷ lệ gốc
có thể đợc tính từ các đặc trng của biến đợc chuyển sang dạng lô ga ríta.
Để tính các momen thống kê của X từ các momen của ln X, các công thức sau

là hữu ích:


2/exp
2
lnln XXX


(5.2.10a)




1exp
2
ln
22

XXX

(5.2.10b)


1exp
2
ln
2

XX

(5.2.10c)
XXX
3
3

(5.2.10d)



180
B¶ng 5.2.1
C¸c kho¶ng ®êng cong chuÈn chÝnh t¾c (Devore, 1987)




zZPz 

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
- 3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002
- 3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003
- 3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005
- 3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007
- 3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010

- 2,9 0,0019 0,0018 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
- 2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
- 2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
- 2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
- 2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048

- 2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
- 2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
- 2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
- 2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
- 2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183

- 1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
- 1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
- 1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
- 1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
- 1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

- 1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0722 0,0708 0,0694 0,0681
- 1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
- 1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
- 1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
- 1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
-0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,9315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621


181
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9278 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,929 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9916
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9936
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
Từ Phơng trình (5.2.10d) rõ ràng là các phân phối lô ga rít chuẩn luôn
lệch dơng vì
0
X
. Ngợc lại, các momen thống kê của ln X có thể đợc
tính từ các momen của X bởi:








2

2
ln
1
ln
2
1
X
X
X


(5.2.11a)


1ln
22
ln

XX

(5.2.11b)
Vì tổng của các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn đợc phân phối chuẩn,
tích của các biến ngẫu nhiên phân phối lô ga rít chuẩn cũng phân phối lô ga rít
chuẩn. Một số đặc trng của biến ngẫu nhiên phân phối lô ga rít chuẩn hữu ích
là:
1. Nếu X là một biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn và Y = ã
b
thì, Y có
phân phối lô ga rít chuẩn với giá trị trung bình
XY

ba
lnln
ln


và
phơng sai
XbY lnln
222


.
2. Nếu X và Y là phân phối lô ga rít chuẩn độc lập, W=XY có phân phối
lô ga rít chuẩn với giá trị trung bình
YXW lnlnln


và phơng sai
2
ln
2
ln
2
ln YXW


.


182

3. Nếu X và Y là độc lập và phân phối lô ga rít chuẩn thi R = X/Y là
phân phối lô ga rít chuẩn với giá trị trung bình
YXR lnlnln


và
phơng sai
2
ln
2
ln
2
ln YXR


.
Ví dụ 5.2.3. Chuỗi số liệu cờng độ lũ cực đại hàng năm ở một sông có phân phối lô ga rít chuẩn với
giá trị trung bình bằng 6000 ft
3
/s và độ lệch chuẩn bằng 4000 ft
3
/s. (a) Xác suất trong năm mà cờng độ
lũ lớn hơn 7000 ft
3
/s là bao nhiêu? (b) Xác định cờng độ lũ với thời kỳ lặp lại là 100 năm.
Lời giải. (a) Gọi Q là biến ngẫu nhiên biểu thị cờng độ lũ lớn nhất hàng năm. Vì Q đợc giả thiết là
tuân theo luật phân phối lô ga rít chuẩn, ln(Q) là phân phối chuẩn với giá trị trung bình và phơng sai có
thể đợc tính theo phơng trình (5.2.11ê) và (5.2.11b) tơng ứng, với
667.06000/4000
Q

2
ln
2
2 2
ln
1 6000
ln 8,515
2 1 0.667
ln 0,667 1 0,368
Q
Q









Xác suất mà lu lợng lũ vợt quá 7000 ft
3
/s là

ln ln
7000 ln ln 7000
1 ln /
1 ln 7000 8,515 / 0,368
1 8,85537 8,515 / 0,368
1 0,558 1 0,7368 0,2632
Q Q
P Q P Q
P Z Q
P Z
P Z

(b) Một biến cố 100 năm trong thủy văn biểu thị biến cố xảy ra trung bình 100 năm 1 lần. Do đó xác
suất trong mỗi năm mà biến cố 100 năm đợc cân bằng hay vợt quá, là 0,01, tức là, P(Q

q
100
) = 0,01
trong đó q
100
là lu lợng của lũ 100 năm. Phần này của bài toán là xác định q
100
, là phần đảo của phần
(a).
P(Qq
100
) = 1- P(Qq
100
) = 0,99
vì vậy
P(Qq
100
)=1-P(lnQlnQ
100
) = 0,99

100 ln ln
100
100
0.99 ln /
0.99 ln 8,515 / 0,368
0.99 ln( ) 8,515 / 0,368
0.99
Q Q
P Z q
P Z q
q
z










Từ Bảng xác suất chuẩn chính tắc 5.2.1, z = 2,33 với


99.033.2
. Lời giải

100
ln 8,515 / 0,368 2,33
q

với ẩn q
100
tìm ra ln(q
100
) = 9,9284, q
100
= 20,505 ft
3
/s.

5.3. Phân tích độ bất định


183
Trong phân tích và thiết kế các hệ thống nguồn nớc có nhiều số lợng cần
quan tâm có liên quan về mặt chức năng với một số các biến mà trong đó một
số giả thiết là bất định. Ví dụ các công trình thủy lực thờng áp dụng các
phơng trình dòng chảy qua đập là Q = CLH
1.5
để tính công suất đập tràn
trong đó hệ số C và cột nớc H đợc giả thiết là bất định. Nh một hệ quả, lu
lợng qua đập tràn là không tất định. Một kỹ thuật khá rõ ràng và hữu dụng
cho mục đích xấp xỉ này là phân tích đạo hàm bậc nhất về tính bất định
hay đôi khi đợc gọi là phơng pháp delta.

Việc sử dụng phân tích đạo hàm bậc nhất về tính bất định là khá phổ biến
trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật. Tính phổ biến nh vậy nhờ có sự không ràng
buộc tơng đối của nó trong ứng dụng cho một phạm vi rộng các bài toán. Các
phân tích đạo hàm bậc nhất đợc sử dụng để đánh giá tính bất định trong việc
thiết lập mô hình tất định gồm có các thông số bất định (không biết chắc
chắn). Cụ thể hơn, phân tích đạo hàm bậc nhất cho ta khả năng đánh giá giá trị
trung bình và phơng sai của một biến ngẫu nhiên có liên quan bằng quan hệ
hàm số với một số biến khác, một số trong đó là ngẫu nhiên. Bằng việc sử
dụng phân tích đạo hàm bậc nhất, ảnh hởng kết hợp của tính bất định trong
một thiết lập mô hình, cũng nh việc sử dụng các tham số bất định, có thể
đợc đánh giá. Phân tích đạo hàm bậc nhất cho các bài toán kỹ thuật dân sự đã
đợc trình bày bởi Benjamin and Cornell (1970), Ang and Tang (1979) và
Harr (1987). Phơng pháp này đã đợc áp dụng cho nhiều bài toán khác nhau
trong các lĩnh vực thủy lực, thủy văn và chất lợng nớc (Burges and
Lettenmaier, 1975; Tang et al., 1975; Tung and Mays, 1980, 1981; Brown and
Barnwell, 1987; Virjling, 1987; Chow et al., 1988 ; Tung and Hathhorn,
1988).
Xét một biến ngẫu nhiên Y, là một hàm của k biến ngẫu nhiên (trờng hợp
nhiều biến). Về mặt toán học, Y có thể đợc biểu diễn bằng
Y = g(X) (5.3.1)
trong đó X = (X
1
, X
2
, , X
k
) là một vector gồm k biến ngẫu nhiên X
i
. Thông qua
sử dụng khai triển Taylor, về các giá trị trung bình của k biến ngẫu nhiên, xấp

xỉ bậc nhất của biến ngẫu nhiên Y có thể đợc biểu diễn bằng

k
i
j
j
i
i
xX
k
j
ji
k
i
i
i
xX
i
xXxX
XX
Xg
xX
X
Xg
xgY
1 1

2
1

(5.3.2)
trong đó


k
xxxx , ,,
21

, một vector gồm các giá trị trung bình của k biến
ngẫu nhiên. Xấp xỉ bậc nhất bỏ qua các số hạng bậc hai và bậc cao hơn và
phơng trình (5.3.2) có thể đợc rút gọn thành :


184

k
i
i
i
x
i
xX
X
g
xgY
1
(5.3.3)
trong đó
x
i
X
g








đợc gọi là hệ số nhạy biểu thị tốc độ thay đổi của giá trị hàm
g(x) tại
xx
.
Giá trị trung bình (giá trị kỳ vọng) của biến ngẫu nhiên Y, sử dụng phơng

trình (5.1.15a), xấp xỉ bằng




xgYE
Y


(5.3.4)
Phơng sai của Y có thể đợc xấp xỉ bằng

k
i
i
i
i
xX
X
g
VarxgVarYVar
1

Số hạng




0xgVar
với


xg
là một hằng số khi các giá trị trung bình của
x
đợc sử dụng. Phơng trình trên rút gọn thành :

k
i
i
ii
xXaVarYVar
1
0

trong đó
x
i
i
X
g
a

. Sử dụng phơng trình (5.1.22), phơng sai của Y có thể
đợc xấp xỉ bằng:






k
i
k
i
k
j
jijiiiY
XXCovaaaYVar
1
222
,2

(5.3.5)
trong đó
2
i

là phơng sai tơng ứng với biến ngẫu nhiên X
i
. Nếu các X

i
không
tơng quan, tức là Cov[X
i
, X
j
] = 0, thì phơng trình (5.3.5) rút gọn thành



k
i
iiY
a
1
222

(5.3.6)
Phơng trình (5.3.6) có thể đợc biểu thị dới dạng hệ số biến thiên

bằng cách chia cả hai vế cho
2
Y

k
i
X
Y
i
iY
i
x
a
1
2
2
22

(5.3.7)
Các phơng trình (5.3.6) hay (5.3.7) chứa thành phần tơng đối,
22
ii
a

, của
từng thành phần ngẫu nhiên với toàn bộ tính bất định của đầu ra mô hình Y.
Thông tin nh vậy có thể đợc vận dụng để thiết kế các đo đạc để giảm tính

bất định hay để cực tiểu hóa các ảnh hởng của tính bất định.
Ví dụ 5.3.1. Thông thờng ngời ta sử dụng công thức Manning để tính suất chuyển nớc trong kênh hở.
Suất chuyển nớc sử dụng công thức Manning đợc mô ta là


185
1 1/ 2 5 / 3 2/ 3
Q 1.49n S A P



trong đó P là chu vi ớt. Do tồn tại các độ bất định trong các ớc lợng các giá trị của hệ số nhám, độ
dốc đáy kênh, mặt cắt ngang, và chu vi ớt, suất chuyển nớc cũng liên quan đến độ bất định. Giả thiết
là độ bất định trong ớc lợng A và P có thể bỏ qua trong khi độ bất định của hệ số nhám và độ đốc kênh
là quan trọng. áp dụng phân tích đạo hàm bậc nhất để diễn Lời giải ra công thức tính độ bất định của Q
thông qua độ bất định của hệ số nhám Manning n và độ dốc kênh S.
Lời giải. Vì A và P đợc xem là tất định không có tính bất định, chúng có thể đợc kết hợp thành một số
hạng hằng số, K = 1,49A
5/3
P
-2/3
để biểu diễn
Q = K n
-1
S
1/2

Xấp xỉ bậc nhất của giá trị trung bình của Q sử dụng công thức Manning có thể đợc xác định sử dụng
phơng trình (5.3.3)
)(5.0)(

)()(
2/1
1
2/1
2
),(),(
SSSnKnnSnKQ
SS
S
Q
nn
n
Q
QQ
SnSn

trong đó
2/1
1
SnKQ


. Phơng sai của suất chuyển nớc có thể thu đợc bằng cách áp dụng phép
toán phơng sai cho phơng trình này với giả thiết n và S là các biến ngẫu nhiên độc lập,

2
2
),(
2
2
),(
2
S
Sn
n
Sn
Q
S
Q
n
Q

trong đó








n
Q
và








S
Q
là các hệ số nhậy. Bằng một cách khác, độ bất định của Q thông qua hệ số
biến thiên có thể đợc diễn Lời giải bằng việc sử dụng phơng trình (5.3.7) với X

1
= n và X
2
= S nh sau

2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
1/ 2
2
2 2
1/ 2
2
2
2
1/ 2
2
2
2 2
2
1/ 2
0,5
1
0,5
i

i
Q x
i
n s
n s
n s
Q x
X
Q
Q n Q S
n S
Q Q
K S n K S
n Q nS Q
K S K S
Q nS Q
n

2
2
2 2
2
2 2
1 1
0,25
0,25
n s
n s
n S
S
n











5.4. Những tính toán độ tin cậy sử dụng phân

tích tải trọng - sức tải


186
Trong thực tế tất cả các hệ thống nguồn nớc đợc thiết kế để đợc đặt
trong môi trờng tự nhiên v đối mặt với các áp lực bên ngoài khác nhau. Sức
tải hay sức bền của một hệ thống nguồn nớc là khả năng của nó để hoàn
thành nhiệm vụ đã định một cách xuất sắc mà không có sự cố khi chịu các áp
lực hay các tải trọng bên ngoài. Các tại trọng hay các áp lực có xu hớng gây
ra sự cố của hệ thống. Khi sức bền của hệ thống bị vợt quá bởi áp lực, sự cố
xảy ra. Sức tải của một hệ thống nguồn nớc có thể là suất chuyển nớc còn
tải trọng có thể là cờng độ dòng chảy qua hệ thống. Từ các thảo luận trớc
đây về sự tồn tại của tính bất định trong thiết kế, phân tích và mô hình hóa các
hệ thống nguồn nớc, sức tải hay độ bền của hệ thống và tải trọng hay áp lực
bắt buộc là ngẫu nhiên và giả thiết là bất định. Độ tin cậy của hệ thống có thể
đợc ớc lợng bằng việc nghiên cứu tơng tác của tải trọng và sức tải.
Độ tin cậy của một hệ thống nguồn nớc đợc định nghĩa là xác suất mà
khả năng của hệ thống (tức là sức tải) lớn hơn hoặc bằng tải trọng. Mặt khác,
rủi ro là xác suất của tại trọng lớn hơn sức tải. Xét các biến ngẫu nhiên L và R
tơng ứng biểu thị tải trọng và sức tải. Độ tin cậy của hệ thống có thể đợc
biểu diễn toán học bằng


RLP

(5.4.1)
Mối quan hệ giữa độ tin cậy (

) và rủi ro (
'

) là



1' RLP
(5.4.2)
Các tính toán độ tin cậy hay rủi ro sử dụng các phơng trình (5.4.1) và
(5.4.2) không xét sự phụ thuộc thời gian của tải trọng. Nói chung nó đợc áp
dụng khi đánh giá hoạt động của hệ thống đối mặt với một biến cố tải trọng
xấu nhất đơn lẻ. Từ quan điểm tính toán độ tin cậy, điều này đợc đề cập đến
nh một mô hình độ tin cậy tĩnh.
5.4.1. Phơng pháp tích phân trực tiếp.
Từ các phơng trình (5.4.1) và (5.4.2), việc tính toán rủi ro và độ tin cậy
đòi hỏi hiểu biết về các phân phối xác suất của tải trọng và sức tải. Dới dạng
hàm mật độ xác suất đồng thời của tải trọng và sức tải,


L,R
f l,r
, Phơng trình
(5.4.1) có thể đợc biểu diễn bằng:

r
L,R
0 0
f l,r dldr

(5.4.3)
Nếu tải trọng L và sức tải R là độc lập, Phơng trình (5.4.3) có thể đợc
viết thành

r
R L R L
0 0 0
f r f l dr f r F r dr






(5.4.4)
trong đó fL(l) và fR(r) là tải trọng L và sức tải R của hàm mật độ xác suất và
FL(r) là CDF của tải trọng đợc ớc lợng tại L = r. Tính toán độ tin cậy này
đợc gọi là giao thoa tải trọng sức tải mà có thể đợc chỉ ra bằng sơ đồ trong


187
hình 5.4.1. Các bớc tính toán gồm có xác định độ tin cậy sử dụng Phơng
trình (5.4.4) chỉ ra trong hình 5.4.1. Phơng pháp tích phân trực tiếp nhìn
chung thu đợc nghiêm Lời giải tích chỉ cho một số rất ít những sự kết hợp
đặc biệt của các phân phối xác suất. Tích phân số đợc thực hiện riêng cho
việc xác định độ tin cậy.
5.4.2. Các phơng pháp sử dụng biên an toàn và hệ số an toàn.
Biên an toàn (SM safety margin) đợc định nghĩa là sự chênh lệch giữa
sức tải và tải trọng biết trớc, tức là, SM = R - L. Từ phơng trình (5.4.1), độ

tin cậy của một hệ thông có thể đợc biểu diễn dới dạng biên an toàn là




00 SMPLRP

(5.4.5)
Sử dụng biên an toàn cho tính toán độ tin cậy đòi hỏi biết phân phối xác
suất của SM. Nếu là trờng hợp này, độ tin cậy có thể nhận đợc bởi


01
SM
F

trong đó FSM() là hàm phân phối của biên an toàn SM. Trong
một số trờng hợp đặc biệt, phân phối của SM có thể đợc đánh giá dễ dàng
mà không có các biến đổi toán học. Ví dụ, từ thảo luận về phân phối chuẩn
(Mục 5.2.3), phân phối của SM là chuẩn với giá trị trung bình
SM

và phơng
sai
2
SM

nếu tải trọng và sức tải đều là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
Có thể nhận đợc giá trị trung bình và phơng sai của SM, dựa trên các
phơng trình (5.1.15a) và (5.1.22), là bằng

LRSM


(5.4.6)


RLCov
LRSM
,2
222


(5.4.7)
Nếu tải trọng và sức tải là độc lập thì số hạng hiệp phơng sai trong
phơng trình (5.4.7) bằng 0, vì thế


2/1
22
LRSM


. Trong những điều kiện
phân phối chuẩn, độ tin cậy của hệ thống có thể đợc xác định bằng cách trừ
cả hai vế của bất đẳng thức trong phơng trình ) đi
SM

và chia cả hai vế cho
SM

để nhận đợc












SM
SM
SM
SM
SM
P










SMSMSMSM

ZP

//
(5.4.8)
Trong đó


SMSM
SMZ

/
là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn tắc, và



là hàm phân phối chuẩn tắc.
Ví dụ 5.4.1. Nhu cầu nớc hàng năm của một thành phố đợc đánh giá bằng 3 đơn vị, với độ lệch chuẩn
bằng 1 đơn vị. Cũng biết rằng hệ thống cấp nớc của thành phố có một công suất trung bình đợc đánh
giá là bằng 5 đơn vị với độ lệch chuẩn bằng 0,75 đơn vị. Tính độ tin cậy hay xác suất của cung vợt quá
cầu sử dụng biên an toàn là chỉ tiêu thực hiện. Giả sử rằng cả cung và cầu là các biến ngẫu nhiên phân
phối chuẩn độc lập.
Lời giải. Từ phát biểu bài toán, nhu cầu là L và cung cấp là R với
3
L

,
1
L

;

5
R

,
75,0
R

. Giá trị trung bình và phơng sai của biên an toàn SM có thể đợc tính sử dụng các phơng


188
trình (5.4.6) và (5.4.7) là
235
SM

và




5625,1175,0
22
2

SM

. Vì cả nhu cầu và cung
cấp đều là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn, do đó SM cũng là một biến ngẫu nhiên phân phối
chuẩn (xem Mục 5.2.3). Độ tin cậy của hệ thống cấp nớc là xác suất của việc có thể đáp ứng nhu cầu
mà có thể đợc tính bằng

945,060,15625,1/2/0
SMSM
SMP


Rủi ro, xác suất không thể đáp ứng nhu cầu, của hệ thống cấp nớc là
055,0945,011'







.
Mặc dù rất mong muốn tìm đợc các nghiệm chính xác cho tính toán độ
tin cậy, có lẽ nó không hiện thực bởi vì không thể dễ dàng nhận đợc hàm mật
độ xác suất chính xác của biên an toàn. Trong những trờng hợp nh vậy việc
sử dụng xấp xỉ phân phối chuẩn dựa trên giá trị trung bình và phơng sai của
biên an toàn có lẽ là một lựa chọn có thể. Ang (1973) đã chỉ ra rằng, miễn là
99,0

, độ tin cậy không bị ảnh hởng lớn bởi việc lựa chọn phân phối cho L
và R và giả thiết về sự phân phối chuẩn cho SM là khá thích hợp. Tuy nhiên,
với một độ tin cậy cao hơn (ví dụ,
999,0


), dạng phần đuôi của phân phối trở
nên rất quyết định trong trờng hợp nào ta nên dùng một đánh giá chính xác
phân phối của SM hay tích phân trực tiếp để ớc lợng độ tin cậy hay rủi ro.
Hệ số an toàn (SF-Safety factor) đợc định nghĩa là tỷ số của sức tải trên
tải trọng, R/L. Bởi vì hệ số an toàn SF là tỷ số của hai biến ngẫu nhiên, hệ quả
là nó cũng là một biến ngẫu nhiên. Độ tin cậy có thể đợc viết thành P(SF -1).
Một số biến đo lờng của hệ số an toàn và tính hữu dụng của nó trong phân
tích và thiết kế kỹ thuật thủy lực đợc thảo luận bởi Yen (1979). Cũng tơng
tự nh biên an toàn, cần phải biết hàm mật độ xác suất của hệ số an toàn để
các tính toán độ tin cậy sử dụng hệ số an toàn.
Trờng hợp đơn giản nhất là khi cả tải trọng L và sức tải R đều có phân
phối lô ga rít chuẩn. Phép lấy lô ga ríta chuyển SF thành hiệu của ln(R) và
ln(L) mà cả hai đều là phân phối chuẩn. Tính toán độ tin cậy có thể đợc tiếp
tục nh trờng hợp biên an toàn

SFSF
SFSF
LR
LR
LR
LR
ZP
LR
P
LRPLRP
SFPSFP
L
R
P
lnln
lnln
2
ln
2
ln
lnln
2
ln
2
ln
lnln
/
/
0lnln
0lnln0/ln

0)ln(11

(5.4.9)
Trong đó


LRSF lnlnln


và


2/1
2
ln
2
lnln LRSF


, với
Rln

,
Lln

,
Rln

và

Lln


đợc lấy bằng việc sử dụng các phơng trình (5.2.11a) và (5.2.11b). Sau một
số biến đổi đại số, phơng trình (5.4.9) cũng có thể đợc biểu thị dới dạng
các đặc trng thống kê của L và R trực tiếp (Chow, Maidment and Mays,
1988) nh sau


189

22
2
2
11ln
1
1
ln
1
RL
R
L
L
r



(5.4.10)


Hình 5.4.1

Minh hoạ bằng đồ thị các bớc trong tính toán độ tin cậy bằng phơng trình (5.4.4)

Ví dụ 5.4.2. Lời giải ví dụ 5.4.1 với giả thiết công suất (R) và nhu cầu (L) đều phân phối lô ga rít chuẩn.
Lời giải. Từ ví dụ 5.4.1 các hệ số biến thiên của cầu và cung là
333,03/1
L
;
15,05/75,0
R
. áp dụng phơng trình (5.4.10), độ tin cậy của hệ thống cấp
nớc để đáp ứng nhu cầu có thể đợc tính bằng:


190





939,0061,015463,11
333,0115,01ln
15,01
333,01
3
5
ln
1
22
2
2

5.4.3. Các phơng pháp momen thứ hai bậc nhất
Độ tin cậy có thể đợc biểu diễn dới dạng của một hàm vận hành, chẳng
hạn nh hệ số an toàn hay biên an toàn, diễn tả sự vận hành của hệ thống. Một
sự vận hành hệ thống có thể đợc diễn tả thông quả tải trọng L = g(X) và sức
tải R = h (Y) nh W(X,Y) mà nó có thể là một trong các dạng sau:
W1(X,Y) = R - L = h(Y) - g(X) = SM (5.4.11)
W2(X,Y) = (R/L)- 1 = [h(Y)/g(X)] - 1 = SF - 1 (5.4.12)
W3(X,Y) = ln(R/L) = ln[h(Y)] - ln[g(X)] = ln(SF) (5.4.13)
trong đó X và Y là các vector của các tham số bất định trong định nghĩa tải
trọng và sức tải. Phơng trình (5.4.11) là đồng nhất với biên an toàn còn các
phơng trình (5.4.12) và (5.4.13) là dựa trên sự biểu thị hệ số an toàn. Do đó,
độ tin cậy là xác suất mà hàm vận hành lớn hơn hoặc bằng 0.
Phơng pháp momen thứ hai bậc nhất giá trị trung bình (MFOSM). Đồng
nhất với phân tích đạo hàm bậc nhất của tính bất định đợc trình bày trong
Mục 5.3.2, phơng pháp MFOSM ớc lợng giá trị trung bình (
WƯ

) và độ lệch
chuẩn (
W

) của biến vận hành W bằng các phơng trình (5.3.4) và (5.3.5)
tơng ứng. Khi giá trị trung bình và phơng sai của W đợc ớc lợng, chỉ số
độ tin cậy

đợc tính bằng

WW

/
(5.4.14)
Và độ tin cậy có thể đợc tính bằng










'
101010
WW
FFWPWP
(5.4.15)
trong đó FW() là hàm phân phối của biến vận hành W, và W là biến vận hành
đợc chuẩn tắc hóa, xác định theo W = (W -
W

)/
W

. Phân phối chuẩn thờng
đợc sử dụng với W trong trờng hợp mà độ tin cậy có thể đợc tính toán đơn
giản bằng

1
(5.4.16)
trong đó



là hàm phân phối chuẩn tắc (xem Bảng 5.2.1).
Ví dụ 5.4.3. Xét một mặt cắt kênh dẫn hở nhân tạo với hà bờ bê tông và đáy là cuội sỏi. Giả thiết độ bất
định của diện tích mặt cắt ngang (A) và chu vi ớt (P) có thể bỏ qua. Giá trị của diện tích mặt cắt ngang
(A) và chu vi ớt (P) tơng ứng bằng 90 ft
2
và 35 ft. Tuy vậy, hệ số nhám Manning (n) và độ dốc trong
kênh (S) là bất định. Giá trị trung bình của hệ số nhám (n) và độ dốc tơng ứng bằng 0,017 và 0,0016