Mô hình hóa toán học sóng gió trong đại dương bất đồng nhất không gian ( Đại học quốc gia Hà Nội ) - Chương 1 pptx

tác ba sóng v tiêu tán năng lợng sóng liên quan tới sự đổ
nho sóng ở nớc nông.
Cuốn chuyên khảo ny l sự tiếp tục lôgic những công trình
đà nêu trên đây. ở đây cố gắng giải đáp một loạt những câu hỏi
đặt ra trớc đây về quan điểm tổng hợp trong việc mô tả sóng
gió trên Đại dơng Thế giới trong điều kiện bất đồng nhất
không gian của nó, ở đây ngụ ý về các dòng chảy quy mô lớn, bất
đồng nhất độ sâu đại dơng, ảnh hởng của tính mặt cầu của
mặt Trái Đất... Tác giả muốn nhấn mạnh rằng trong chuyên
khảo ny sóng gió đợc xét trong khuôn khổ một cách phát biểu
bi toán tổng quát duy nhất nh l một quá trình thủy động xác
xuất với tính biến thiên không gian từ những quy mô ton cầu,
nh các đại dơng với kích thớc sánh với bán kính Trái Đất,
đến những quy mô khu vực tiêu biểu l các biển v quy mô địa
phơng tiêu biểu l các thủy vực hẹp hơn, nhng có gradient
vận tốc dòng chảy hay độ sâu đáng kể trong đới ven bờ, tại đó
sóng đại dơng sau khi du ngoạn hng nghìn kilômét sẽ kết
thúc sự tồn tại.

phần 1 - dẫn lập bi toán tổng quát,
Những vấn đề v kết quả nghiên cứu
sóng gió trong biển sâu

Chơng 1
bi toán về sự tiến triển phổ sóng gió

1.1. Bi toán thủy động lực về sự phát sinh chuyển
động sóng trong chất lỏng bởi dòng không khí
Ta xét sự tiến triển của sóng gió dới dạng giải bi toán về
chuyển động cùng nhau trong hệ thống nớc không khí với
những điều kiện động lực học v động học tơng ứng ở biên

phân cách hai môi trờng đợc cho trớc. Giả thiết rằng chuyển
động trong các môi trờng tuân theo những định luật bảo ton
khối lợng v động lợng. Định luật thứ nhất (định luật bảo
ton khối lợng) viết dới dạng

d i
i div (U i )  0 ,
(1.1)
dt

trong ®ã  i mật độ không khí ( i 1 ) hc n−íc ( i  2 ), U i 
vËn tốc di chuyển của môi trờng.
Nếu mật độ chất lỏng không đổi, phơng trình (1.1) sẽ đơn
giản hơn v có d¹ng

21

22



div(U i ) 0 .

(1.2)

Phơng trình bảo ton động lợng viết cho các trục tọa độ
gắn chặt với Trái §Êt quay cã d¹ng

 
 

dU i
i
 i U i  grad( Pi )  i g  Fi .
(1.3)
dt



Thnh phần thứ nhất l lực quán tính, liên quan tới gia tốc

của khối lợng. Thnh phần thứ hai chứa vectơ quay hay hai
lần tốc độ góc quay Trái Đất lực Coriolis. Giá trị tuyệt đối của

vectơ ny   2 / 12 giê  1,46  10 4 s 1 . Trong thnh phần mô

tả hiệu ứng cđa träng lùc, vect¬ g  {0, 0,  g} ®Ỉc tr−ng cho gia

tèc träng tr−êng g  9,81 m/s 2 . Hớng của vectơ g quyết định

phơng thẳng đứng địa phơng.

Thnh phần Fi ở vế phải phơng trình (1.3) l tổng của tất
cả các lực tác dụng lên thể tích đơn vị của chất lỏng, một trong
những lực đó l do nhớt phân tử. Hầu nh trong tất cả các
trờng hợp khi có hiệu ứng nhớt, ta có thể xem nớc l chất lỏng
không nén đẳng hớng, còn tenxơ ứng suất có thể đợc viết dới
dạng
Pij p ij 2 eij ,
(1.4)
trong đó ij tenxơ đơn vị ( ij 1 khi i j , nếu không thì

ij 0 ), hệ sè nhít cđa chÊt láng.
e ij 

1  U i U j


x i
2 x j



,



(1.5)

trong đó eij tenxơ các tốc độ biến dạng. Do đó, nếu thoả mÃn điều
kiện không nén (1.2) thì lực ma sát trên một đơn vị thể tích bằng

Fij 2

x ij



U ij
x ij

.

(1.6)

Ta chuyển sang xét mô hình hai lớp có gián đoạn mật độ v

hệ số nhớt động học tại mặt phân cách di động (r , t )

  1,2.10 3 g / cm3 ;
 a
3
 w  1,0 g / cm ;

  1,5  10 1 cm2 /s khi z  ;
 a
2
2
 w  1,0  10 cm /s khi z  .

(1.7)

§Ĩ xác định ta sẽ xem chất lỏng phía dới l bất động tại
thời điểm ban đầu


U (r , z, t  0)  0,
 ( r , t  0) 0 .
(1.8)

ở đây hệ tọa độ Đecac r , t đợc chọn sao cho trục z x3
hớng thẳng đứng lên trên, còn mặt phẳng z 0 trùng với mặt

phân cách không nhiễu động (r {x, y}) .
Do các đại lợng a , a vμ  w ,  w rÊt kh¸c nhau, c¸c phép
đơn giản hóa thông thờng trong các phơng trình (1.1)(1.3)
khi z   vμ khi z   sÏ kh¸c nhau. V×  w  w /  a  a 100 , nên
có thể cho rằng tại giai đoạn phát triển đầu tiên dòng không khí
giống với lớp biên rối bình thờng bên trên mặt tờng cứng v
do đó dòng ny l chuyển động có xoáy. Đối với lớp biên ny,
những giả thiết thông thờng của lý thuyết lớp biên logarit bên
tờng sẽ đợc coi l thoả mÃn, vậy l ở cách xa mặt đệm di động
có thể gán cho lớp ny một tốc độ ma sát xác ®Þnh U * .
Víi líp chÊt láng phÝa d−íi (n−íc) vấn đề sẽ khác. Do có sự
khác biệt lớn về các hệ số nhớt động lực học của nớc v không
khí, sự truyền xung bởi các ứng suất nhớt qua mặt phân cách
tỏ ra tơng đối kém hiệu quả.

23

eij

24




Ta biĨu diƠn tr−êng vËn tèc d−íi d¹ng U  grad   V , trong


®ã   thÕ cđa vận tốc, V rot ( A) hợp phần solenoit (xoáy)

rot (U ) ( A) .



Khi đó div(U )   ()  0 vμ (U ) (V ) , tức lực nhớt đợc





xác định chỉ bởi hợp phần xoáy. Thông thờng nó chỉ có vai trò
trong các lớp biên mỏng gần mặt nớc v gần đáy v có thể đợc
tính đến nhờ những hiệu chỉnh nhá thªm vμo xÊp xØ thÕ

U  grad () . Trong phÐp xÊp xØ nμy chun ®éng cđa n−íc cã
thĨ xem l chuyển động thế v các phơng trình động lùc häc
t¹i z   cã d¹ng
1
 P
  gz
2
t 

2

2        0 ;

 
z 







 

 z2

2


  0 ,



(1.9)

(1.10)

trong ®ã  vμ các toán tử vi phân ngang.
ở đây thế vận tốc trong phơng trình (1.10) đợc xác

thế của chuyển động trong lý thuyết sóng mặt cổ điển khi ứng
dụng vo mô tả sóng gió chỉ l một cách xấp xỉ khá thô. Khác
với mô tả chuyển động của nớc, trong các phơng trình chuyển
động của lớp biên khí quyển những thnh phần nhớt v độ
xoáy của dòng tỏ ra có giá trị rất đáng kể v không nên bỏ qua
chúng. Trong trờng hợp ny phải giải phơng trình xuất phát

(1.3), trong đó đối với bi toán lớp biên ngời ta bỏ qua lực

Coriolis. Tốc độ dòng không khí U đợc biểu diễn thnh ba số
hạng:



U U1  U 2 U 3 ,


trong ®ã U 1  giá trị tốc độ dòng trung bình, U 2 độ chênh


lệch với U 1 gây bởi sóng trên mặt nớc, U 3 những thăng
giáng rối ngẫu nhiên của tốc độ, để xác định chúng phải sử
dụng các phơng trình khép kín [190].
Bi toán về chuyển động cùng nhau của môi trờng hai lớp
nớc không khí đợc giải nhờ điều kiện biên động học v điều
kiện liên tục của các ứng suất pháp tuyến tại z









1
2

0,
n

(1.12)

trong ®ã   /  n  ®¹o hμm theo phơng pháp tuyến với mặt
hoặc với đáy H .
Tuy nhiên, ta lu ý rằng quan niệm thông thờng về tính có
25





(1.11)

v tại đáy z H ( x, y ) :

1
2



2
Pa  Pw       1

định bằng cách giải bi toán biên đối với phơng trình Laplace
(1.10) với những điều kiện biên tại mỈt tù do z  ( x, y, t ) :
 

1  2
n t






2
Ua U 
1  
t

;


(1.13)
1
2



,



(1.14)

trong ®ã ~10 cm3/s2 hệ số ứng suất mặt tại biên nớc không
khí chuẩn hóa theo . Trong phơng trình (1.14) giá trị Pa (tại
z ) phải đợc xác định nhờ giải các phơng trình đối với các
trờng thuỷ động lực ngẫu nhiên U a v Pa của lớp khí quyển
sát mặt nớc, còn Pw (tại z   ) cã thĨ trùc tiÕp biĨu diƠn qua
các đạo hm của thế vận tốc (1.9).
26


Hệ phơng trình đầy đủ (1.3), (1.9)(1.14) để xác định sự
tiến triển của mặt với những điều kiện ban đầu của phơng
trình (1.8) rất phức tạp cho việc phân tích. Khác với lý thuyết
sóng thế cổ điển bình thờng ở đó cho trớc phân bố áp suất Pa
trên mặt cần tìm , trong lý thuyết sóng gió bản thân mặt v
áp suất Pa l các hm cha biết v do đó bi toán xác định mặt
đòi hỏi giải đồng thời các phơng trình (1.9) (1.12) đối với
những nhiễu động sóng khi z v những phơng trình khá
phức tạp của dòng chảy xoáy bên trên biên dao động sóng.
1.2. Phép xấp xỉ quang hình học

Vấn đề mô tả toán học sóng gió còn bị phức tạp do đại
dơng thực có những bất đồng nhất theo phơng ngang v
phơng thẳng đứng khác nhau, ảnh hởng nhiều đến sự phân
bố v phát sinh các sóng trọng lực tại mặt. Những bất đồng
nhất đặc trng nhất trong số đó l: sự biến thiên không gian v
thời gian của các dòng chảy trung bình, chuyển động rối, còn đối
với những vùng đại dơng với độ sâu nhỏ hơn kích thớc ngang
đặc trng của sóng thì địa hình đáy biến thiên cũng lại l một

bất đồng nhất nữa. Vì vậy, việc xem xét ảnh hởng của những
bất đồng nhất tới sự phân bố v phát sinh sóng đáng đợc quan
tâm.
Trong cách dẫn lập tổng quát, bi toán ny rất phức tạp. Vì
vậy, trớc hết nên xét sự lan truyền các sóng gió tơng đối
ngắn, bớc sóng v chu kỳ nhỏ hơn nhiều so với quy mô biến
thiên không gian v thời gian đặc trng của môi trờng. Nếu coi
các đại lợng ny có giá trị cỡ 1100 km v 110 giờ, điều ny
đặc trng cho nhiều chuyển động ở đại dơng, thì ta có thể xét
bi toán ny bằng phơng pháp của quang hình học.
27

Phơng pháp quang hình học dựa trên giả thiết về sự tồn
tại các sóng phẳng. Các sóng phẳng có tính chất l hớng
truyền, bớc sóng v biên độ nh nhau ở mọi nơi. Dĩ nhiên,
những sóng bất kỳ không có những tính chất ny, nhng chúng
có thể đợc xem l sóng phẳng trên từng khoảng không gian

nhỏ. Muốn vậy, cần sao cho biên độ sóng a , vectơ sóng k v tần
số gần nh không đổi trên đoạn di cỡ bớc sóng v trong
khoảng thời gian cỡ chu kỳ sóng. Những biến thiên của các
tham số ny liên quan với biến đổi của nền m trên ®ã sãng lan
trun. Tõ ®ã rót ra ®ßi hái vỊ tính rất bé của những biến thiên
các tham số trong phạm vi biến đổi nền. Nền ở đây đợc hiểu l
những dòng chảy quy mô lớn v những bất đồng nhất địa hình
đáy. Thí dụ, nếu quy mô ngang đặc trng biến thiên địa hình
đáy M 1 , quy mô không gian dòng chảy M 2 v T quy mô
thời gian của dòng chảy, thì điều kiện cần để áp dụng các phơng
pháp quang hình học l phải thoả mÃn các điều kiện:

M 1 k 1 1

M 2 k 1  1

T1  1 .

(1.15)

NÕu tho¶ mÃn những điều kiện ny, có thể đa ra một khái
niệm gọi l các mặt sóng, tại mọi điểm trên ®ã pha cđa sãng t¹i
thêi ®iĨm ®ang xÐt lμ nh− nhau. Trên mỗi vùng không gian
không lớn có thể coi hớng truyền sóng vuông góc với mặt sóng.
Ta đa ra khái niệm các đờng tia sóng m các tiếp tuyến
với chúng tại mỗi điểm trùng với hớng truyền sóng *.
Trong quang hình học sự truyền sóng đợc xem nh sự
truyền các tia sóng, ngời ta bỏ qua bản chất sóng. Phép xấp xỉ
*

Định nghĩa ny ứng với trờng hợp truyền sóng trong các môi trờng đẳng
hớng [86]. Các sóng trọng lực mặt trên các dòng chảy bất đồng nhất thuộc
loại những sóng tản mạn trong các môi trờng bất đẳng hớng. Sau ny sẽ
đa ra định nghĩa chính xác hơn về tia sóng cho trờng hợp đó.

28



k
 grad ( )  0 .
t

cđa quang h×nh häc øng víi tr−êng hỵp tham sè  rÊt bÐ (ë ®©y
  max{(M 1 k ) 1 , ( M 2 k ) 1 , (T) 1} ).
Ta sÏ dÉn ra những phơng trình cơ bản của quang hình
học đó l những phơng trình mô tả sự truyền các tia sãng.

Gi¶ sư ( r , t )  lμ lợng lệch của mặt tự do khỏi mặt cân bằng.
Trong sóng phẳng đơn sắc có dạng
a ei


( k r  t )

 a ei ψ .

(1.16)

Trong tr−êng hợp sóng không phải l sóng phẳng, nhng
quang hình học vẫn đợc áp dụng, thì biên độ a l hm cđa

täa ®é vμ thêi gian a  a(r , t ) v pha có dạng phức tạp hơn so
với trong (1.16). Tuy nhiên, điều quan trọng l: pha l đại
lợng ®đ lín   1 do nã biÕn ®ỉi mét lợng 2 trên khoảng
một bớc sóng.
Biểu thức (1.16) mô tả những sóng hình sin cục bộ. Trên
những khoảng không gian vμ thêi gian nhá, pha  cã thÓ khai
triÓn thμnh chuỗi tới số hạng bậc nhất


0 r   t

 ...
r
t

(1.17)


Nh− vËy, pha  lμ hμm liên hệ với vectơ sóng cục bộ k v

tần số côc bé  :
 
k    grad ( ) ;
r




.
t

Tõ quan hÖ (1.18) trùc tiÕp suy ra r»ng

rot (k ) 0 ,

(1.18)
(1.19)

(1.20)

tức trờng các vectơ sóng cục bộ l không xoáy. Từ (1.19) có thể

thu đợc
29

(1.21)

Biểu thức ny l phơng trình động học bảo tồn mật độ
sóng [190].
Trong môi trờng sóng có thể tồn tại các sóng tự do không
phải với giá trị tần số v số sóng bất kỳ, m chỉ những sóng
no có các tham số thoả mÃn những điều kiện nhất định. Trong

trờng hợp ny, tần số l hm của vectơ sóng  F (k ) . D¹ng
hμm t thc vμo kiĨu chuyển động sóng đang xét v sự cân
bằng các lực ứng với kiểu đó. Tuy nhiên, trong môi trờng bất
đồng nhất v không dừng, tần số phụ thuộc không chỉ vo


vectơ k m vo tọa độ r v thời gian t . Quan hệ tản mạn trong
trờng hợp các tham số môi trờng biến đổi chậm sẽ mang tính
chất cục bộ v đợc viết dới dạng [86]


  F (k , r , t ) ,
k  k (r , t ) .
(1.22)
NÕu sư dơng c¸c phơng trình (1.18) v (1.19), quan hệ tản
mạn cục bộ nμy cã thĨ viÕt l¹i thμnh

   
(1.23)

 F   , r, t  0 .
t
 r

Tuy nhiªn, về nội dung phơng trình xác định pha (1.23)
rất khác với quan hệ tản mạn (1.22), vì nó không đơn giản l
tơng quan đại số giữa tần số v vectơ sóng, m l phơng trình
vi phân đạo hm riêng đối với hm cha biết .
Từ phơng trình (1.23) suy ra sự tơng tự lý thú giữa
quang hình học v cơ học phần tử chất. Phơng trình pha (1.23)
về hình dạng l phơng trình HamiltonJacobi [121] m trong
cơ học đợc giải so với tác động của phần tử D . Tác động D liên

hệ với xung của phần tử P vμ hμm Hamilton H
30



P grad( D ) ,

H

D
.
t

So sánh các công thøc nμy víi nh÷ng biĨu thøc (1.18) vμ
(1.19), cã thĨ thấy rằng: tác động của phần tử chất D trong cơ

học đóng vai trò pha trong quang hình học, xung phần tử P

trong cơ học đóng vai trò vectơ sóng k , còn hm Hamilton H
vai trò tần số . Điều khẳng định ngợc lại cũng đúng [121].

trờng dừng, tức khi quan hệ tản mạn (1.22) hon ton không
phụ thuộc thời gian, thì tần số giữ nguyên không đổi dọc theo
tia, tức const .
Tiếp tục áp dụng phép tơng tự có thể nhận đợc biểu thức
cho pha sóng dọc theo đờng đặc trng, sử dụng định nghĩa
tác động D nh l tích phân của hμm Lagrange L
t
t
 H
D  D 0  L dt  D0  P  Hdt .
P
t0
t0



Nh− vËy, ta ®· lm sáng tỏ sự tơng tự giữa diễn biến của
phần tư chÊt vμ chïm sãng, tøc sãng gåm tËp c¸c sóng đơn sắc
với những tần số nằm trong khoảng bé no đó v chiếm vùng
không gian hữu hạn. Xung của phần tử tơng ứng vectơ sóng,
còn năng lợng tần số của chùm sóng.
Các đặc trng của phơng trình (1.9) đợc cho bởi hệ các
phơng trình vi phân thờng


dr F

dk
F
d F
;
;

.
(1.24)
r
dt
dt k
dt
t
Các phơng trình (1.24) l những phơng trình Hamilton.

Nghiệm {r (t ), t} của các phơng trình (1.24) quyết định các tia
sóng không gian thời gian trong kh«ng gian ba chiỊu {x, y, t} .

Các tia r r (t ) l những hình chiếu của các tia không gian

thời gian lên không gian tọa độ r {x, y} .
Từ phơng trình (1.24) trùc tiÕp suy ra r»ng chïm sãng lan
trun víi tốc độ nhóm
F
(1.25)
Cg .
dk
Phơng trình thứ hai trong (1.24) đặc trng cho sự biến đổi
của vectơ sóng dọc theo tia, còn phơng trình thứ ba trong
(1.24) mô tả sự biến đổi tần số, từ đó suy ra rằng trong môi

31



Nh vậy đối với pha sóng ta có biÓu thøc
t 
   0   kC g d t ,





(1.26)

(1.27)

t0

trong đó 0 giá trị ban đầu của pha.


Trong môi trờng không tản mạn, khi tèc ®é nhãm C g
 
trïng víi tèc ®é pha C  k  / k 2 sè h¹ng thứ hai trong biểu thức
(1.27) bằng không. Trong trờng hợp ny trên các tia không
gian thời gian pha l đại lợng không đổi 0 . Trong môi

trờng tản mạn, xuất hiện một hiện tợng gọi l sù trƠ nhãm
[86] do sè h¹ng thø hai trong biĨu thức (1.27) quyết định. Trễ
nhóm có nghĩa sự dịch chuyển tốc độ truyền chùm sóng so với

tốc độ pha.
Nếu bản thân môi trờng truyền sóng chuyển động với tốc

độ V no đó, v tốc độ biến đổi đủ chậm, thì tất cả những nhận

xét trên đây vẫn đúng. Có thể tách ra giá trị của tốc độ V trong

các phơng trình nh sau. Giả sử r vectơ không gian trong hệ

quy chiếu, trong đó môi trờng chuyển động, r1 vectơ cục bộ
trong hệ tọa độ chuyển động cùng với môi trờng, khi đó


r1 r V t .
32



Chuyển sang biến mới r1 phơng trình Hamilton Jacobi để

xác định pha (1.23) đợc viết dới dạng

/  t  F1  /  r1 , r1 , t   0 ,
trong ®ã hμm Hamilton F1 liªn hƯ víi hμm F (1.22) bëi quan hƯ


F1  F  V   /  r .

Tèc ®é nhóm trong hệ tọa độ di động c g đợc biểu diễn qua
tốc độ nhóm của hệ tọa độ không di ®éng b»ng biĨu thøc




cg  Cg  V .
Nh− vËy ®Ĩ chun tõ hƯ täa ®é di ®éng sang hệ không di động
v ngợc lại chỉ cần sử dụng những công thức đà dẫn trên đây.
1.3. Nguyên tắc bảo tồn tác động sóng

Những phơng trình động học nhận đợc ở mục trớc trên
cơ sở phơng pháp quang hình học, cùng với những điều kiện
ban đầu v điều kiện biên tơng ứng quy định trờng không

xoáy của vectơ sóng k trong không gian v thời gian. Để tìm sự
phân bố của những đặc trng động lực học của sóng, nh mật
độ năng lợng, phải có những dữ liệu về động lực của sóng v
tơng tác của sóng với môi trờng sóng. Cũng nh trớc đây,
nếu giả thiết rằng bớc sóng v chu kỳ l nhỏ so với những quy
mô biến đổi của các tham số môi trờng, thì có thể dùng phép
xấp xỉ quang hình học để xem xét sự tiến triển của biên độ các
sóng trọng lực lan truyền trên mặt đại dơng trong bối cảnh tồn
tại các dòng chảy bất đồng nhất không gian v địa hình đáy
biến đổi. Ta nhận thấy rằng bi toán tơng tự đà đợc xét đối
với những sóng nội v sóng mặt ngắn trong các công trình [25,
26, 283, 369], ở đấy xét tới cả bất đồng nhất của trờng mật độ.
Ta sẽ trình by nghiệm của bi toán thủy động lực về sự lan
truyền các sóng mặt trong điều kiện dòng chảy v độ sâu bất
33

đồng nhất theo không gian. Khác với cách phát biểu bi toán
tổng quát hơn nh trong [25], ta sẽ không chú ý tới sự bất đồng

nhất của trờng mật độ.
Giả sử đại dơng l chất lỏng nặng đồng nhất không nén,
các phơng trình thủy động lực học đợc viết dới dạng

(1.1)(1.3). Bỏ qua tác dụng của lực Coriolis. Vectơ vận tốc U

biểu diễn thnh các thnh phần theo phơng ngang V v thẳng
đứng W .

Các điều kiện biên tại mặt tự do z (r , t ) cã d¹ng


P  Pa  0 ;
W
 V  ,
(1.28)
t
trong đó Pa áp suất khí quyển.

Điều kiện tại ®¸y z  H (r , t )

W  V  H  0.
(1.29)

 

 

Ta sÏ cho r»ng tham số bé đặc trng cho sự biến thiên
chậm của chuyển động nền theo các tọa độ ngang v thời gian,

theo tọa độ thẳng đứng ta không đặt ra giả thiết về sự biến đổi
chậm. Ta biểu diễn tất cả các trờng thủy động lực có mặt trong
những phơng trình thuỷ động dới dạng


~
r , z , t    0 re , z , t e   a  r , z , t  ,
(1.30)
~
trong đó đợc hiểu l một hm thủy động lùc bÊt kú;  0 
tr−êng "nỊn" trung b×nh;  nhiễu động lan truyền trên nền;


re r v te t các tọa độ ngang vμ thêi gian biÕn ®ỉi chËm;

 
a  tham sè biên độ bé. Vì V0 V0 (re , z , t e ) , nên từ phơng trình

liên tục (1.2) rót ra W0   V0 . Gi¶ thiÕt rằng mặt đáy

H H (re ) cũng biến đổi chậm.
Thế biểu thức (1.30) vo các phơng trình (1.1)(1.3), kết
quả l ta có thể tách ra đợc những đại lợng liên quan với
chuyển động "nền"
34






V0
1 
 V0 V0    r P0 ;
te


V0 0 ;



g

(1.32)

P0
.
z

(1.33)

Những điều kiện biên của hệ (1.31)(1.33) trùng lặp với các
biểu thức (1.28), (1.29) nếu gán chỉ số 0 cho tất cả các đại lợng.
Nghiệm của các phơng trình đối với nhiễu động đợc tìm
dới dạng khai triển



1 re , z , t e     2 re , z , t e   ...



i
 ( re , t e )

e
.

(1.34)

ThÕ biÓu thøc khai triÓn (1.34) vμo các phơng trình nhiễu
động v cho các đại lợng bậc a trong khai triển (1.30) bằng
nhau, có thể nhận đợc các phơng trình v điều kiện biên cho
W1 vận tốc thẳng đứng của nhiễu động bậc nhất (sau đây ta
bá qua kh«ng viÕt chØ sè (1)):

 
W    
 k2 W  0 ;

 



 i k  W    i W  V0
V  2   
;

k
    z

i  W

W
P 2 ,
i .

k

(1.31)

(1.38)

Trong các phơng trình cơ bản v các điều kiện biên nếu
chú ý tới các biểu thức (1.30), (1.34) v tách các thnh phần bậc
a , sau một số biến đổi khá phức tạp ta sẽ nhận đợc phơng
trình v những điều kiện biên đối với W2 :

W2  k 2  W2  Q ;






 W2  g k


(1.39)

     W2  Q1 khi z  0 ;
z 



W 2   V  H  Q2
khi
z  H ,
trong ®ã Q, Q1 vμ Q 2 những hm đợc biểu diễn qua 0 v
1 (dạng tờng minh của những hm ny đợc cho trong công
2





(1.35)

trình [25]). Để tồn tại nghiệm của bi toán biên bất đồng nhất
(1.39) cần sao cho các hμm Q, Q1 , Q2 trùc giao víi nh÷ng hμm



k2
W 
   g 3 W khi z  0 ; W  0 khi z   H re  , (1.36)


 
trong ®ã     ( k , V )  tÇn sè Dopler phơ thc vo z . Dấu

riêng của bi toán biên đồng nhất tơng ứng (điều kiện giải
đợc). Điều ny dẫn tới điều kiÖn
0

iW
iW
iW 
(1.40)
 Q k 2 dz  k 2  Q1 z 0  k 2 Q2 z  H .
H

phảy trên chỉ đạo hm theo z . Bi toán biên (1.35), (1.36) sẽ
cho một tập hợp những quan hệ tản mạn đối với những hi dao
động (mode) khác nhau

  F k , re , t
(1.37)


vμ nh÷ng hμm riªng W  W (re , z , t ) phơ thc tham sè vμo re vμ
t e . Nh÷ng giá trị khác đặc trng cho sóng đợc biểu thị qua W





Nếu tính tới dạng tờng minh của các hm Q, Q1 , Q2 , sau
nhiều biến đổi phức tạp, điều kiện (1.40) có thể dẫn tới dạng
định luật bảo ton bất biến đoạn nhiệt

A

re (C g A) 0 ,
(1.41)

te
trong đó

bằng những công thức:
35

36


0

  2
 g
W 2d z   3 
 W z 0 ;
2 2
2 2 k 2 

H 2  k


0

 
 
k  2
1  2V 0

 2 W d z 
C g A     V0

k 
2  2 k 2 2k 2  z 2


H 


 g
 V0
gk 
  
1
 V0  3 
 2 2  W 2 z  0 .

2 2k 2  2 2k 2  z 2  k 
 


A



 

(1.42)

(1.43)

Tõ c¸c tÝnh chÊt cđa bμi to¸n biên (1.35) có thể chỉ ra rằng

tỷ số của các biÓu thøc (1.42) vμ (1.43) thùc sù lμ vËn tèc nhóm


C g F / k .
Lu ý rằng định luật bảo ton bất biến đoạn nhiệt (1.41)
đúng không phải ®èi víi c¸c tr−êng vËn tèc thđy ®éng lùc bÊt
kú, m chỉ đối với những trờng đợc mô tả bởi các phơng
trình thủy động lực học (1.1)(1.3).
Ta xét trờng hợp riêng: khi tốc độ của dòng chảy trung
bình không phụ thuộc vo tọa độ thẳng đứng z . Từ những
tơng quan (1.35)(1.36) dễ dng nhận đợc 2 gk th( kH ) , khi

®ã tèc ®é di chun bÊt biến đoạn nhiệt C g sẽ bằng
1


1 k  g th kH   2 
2kH 
.
C g  V0    V0 
 1 


2k
k
sh 2kH  
k
 


Vμ tõ nh÷ng biĨu thøc (1.41)(1.44) rút ra
E
A ,


(1.44)

(1.45)

trong đó E mật độ năng lợng sóng.
Biểu thức (1.45) đợc biết rộng rÃi trong văn liệu với t
cách l mật độ tác động sóng. Định luật bảo ton mật độ tác
động sóng (1.41) với (1.44) l biểu thức đơn giản v tổng quát
37

nhất trong động lực học sóng. Lần đầu tiên định luật ny đợc
thiết lập dựa trên nguyên lý biến phân của J. Wisem [188, 385]
v đợc phát triển trong các công trình của F. Breterton vμ C.
Garrett [220, 221], A. G. Voronovich [25, 26]. Lu ý rằng
phơng trình bảo ton bất biến đoạn nhiệt (1.41)(1.43) l định
luật có tính chất tổng quát hơn so với nguyên lý bảo ton tác
động sóng, vì nó tính tới sự bất đồng nhất thẳng đứng của vận
tốc dòng chảy trung bình.
Phơng trình (1.41) xác nhận một thực tế rằng tốc độ biến
đổi cục bộ của tác động sóng cân bằng với phân kỳ của dòng tác

động một đại lợng di chuyển với tốc độ nhóm C g của môi

trờng chuyển động tơng đối. Nếu tốc độ trung bình V không

giữ nguyên không đổi thì theo biểu thức (1.24) vectơ sóng k v
tần số riêng có thể biến thiên trong không gian v thời gian,
thnh thử trong khi bảo ton tác động sóng A mật độ năng
lợng sóng không đợc bảo tồn. Giữa sóng v dòng chảy trung
bình diễn ra sự trao đổi năng lợng.
Hệ quả quan trọng rút ra từ nghiệm bi toán l ở chỗ
những đạc trng của phơng trình (1.41) trùng với các phơng
trình (1.24), m những phơng trình ny về phần mình lại l
những đặc trng của phơng trình pha (1.23).
Ta xét bi toán với những điều kiện ban đầu. Để giải bi
~
toán ny phải xác định mặt xuất phát Q trên đó cho trớc
~
những giá trị ban đầu. Ta viết các phơng trình của mặt Q dới

dạng tham số r r0 (,  ) , trong ®ã  vμ  những tọa độ cong
~
~
trên mặt Q . Giả sử tại mặt Q khi 0 (đại lợng lμ tham sè
biÕn ®ỉi däc theo tia, thÝ dơ: thêi gian, tøc   t ) cho tr−íc
tr−êng sãng 0 (, ) xác định bởi giá trị ban đầu cña pha sãng
38


 a 0 (,  ) . NÕu sù truyÒn sãng x¶y

xt hiƯn thõa sè bỉ sung J 2  0 / liên quan với ảnh hởng

~

ra dọc theo tia thì điểm phát sinh tia r ( 0 ) r0 (, ) trên mặt Q

của các dòng chảy bất đồng nhất không gian, vì ta đà nhận đợc
nghiệm của phơng trình bảo ton mật độ tác động sóng (1.41)
chứ không phải năng lợng.



~
Q

0 (, ) v biên độ a

~
Q

sẽ l điều kiện ban đầu tự nhiên đối với quỹ đạo tia sóng

r r () . Nghiệm của các phơng trình vi phân của tia (1.24)
thoả mÃn những điều kiện ban đầu có thĨ biĨu diƠn d−íi d¹ng

 
r  r (, , ) , k  k (, , ) . ë đây các tham số , "đánh số" các
~
tia sóng đi khỏi mặt Q , tham số chỉ vị trí của điểm trên tia
xác định. Tập hợp các đại lợng , , gọi l những tọa độ tia.
Trong trờng hợp tổng quát những tọa độ đó không trực giao.

Phơng trình r r (, , ) xác định một họ tia sinh ra bởi

phân bố cho trớc của trờng trên mặt xuất phát r (0 ) r0 (, ) .
Phơng trình họ tia mô tả sự liên hệ của các tọa độ tia với các
( x, y , z )
khác không trong
tọa độ Đêcac. NÕu Jacobian J1 
 (, , )
 
miỊn ®ang xÐt, thì phơng trình r r ( , , ) có thể giải đơn trị
đối với các tọa ®é tia , ,  t−¬ng øng víi ®iĨm quan trắc đang



xét (r ), (r ),   ( r ) .

Mét hƯ qu¶ quan trọng của nghiệm nhận đợc (1.46) l dọc
theo các đờng đặc trng thoả mÃn đẳng thức [86]

C g A dl const ,
(1.47)
trong đó dl khoảng cách giữa hai hình chiếu vô cùng gần
nhau của các đặc trng trên không gian tọa độ {x, y} . Từ
phơng trình (1.24) suy ra rằng tơng quan (1.47) thiết lập định
luật về sự không đổi của dòng tác động sóng dọc theo ống tia
sóng. Ta cũng lu ý một hệ quả đơn giản nữa rút ra từ (1.24) v
(1.47). Nếu các tính chÊt cđa m«i tr−êng kh«ng phơ thc thêi
gian t , thì tần số giữ nguyên. Ngoi ra, trong trờng hợp
"không gian hình trụ", tức khi các tính chất của môi trờng
sóng chỉ phụ thuộc vo một tọa độ, giả sử phụ thuộc vo y , thì

dọc theo đờng đặc trng cũng giữ nguyên độ lớn của thnh
phần vectơ sóng k x . bản thân các đờng đặc trng l những

Những kết quả dẫn trong chơng ny cho phép viết nghiệm
bi toán với những điều kiện ban đầu về sự truyền sóng trên
mặt nớc trong khi có dòng chảy bất đồng nhất phơng ngang
v đáy không bằng phẳng dới dạng nh− sau:

1 / 2
1 / 2 i
r , t  a0 J1
J2
e ,
(1.46)

đờng song song (hình 1.1). Tơng quan (1.47) có thể viết dới
dạng rất đơn giản: C g y A  const . Nh÷ng hƯ thøc kiĨu nμy đợc

trong đó pha sóng theo (1.26) đợc xác định theo các điều

truyền sóng trên nớc nông, khi độ sâu chỉ biến đổi dọc theo

sử dụng khi giải quyết rất nhiều bi toán, thí dụ, khi mô tả sự
một hớng, tức khi các đờng đẳng sâu song song hay khi có

kiện ban đầu:



mặt các dòng chảy gián đoạn phơng ngang. VÒ sau sÏ xÐt mét



t 


r , t   r0    k C g   d t .

loạt các bi toán tơng tự nh vậy.

0

Khác với trờng hợp cổ điển [86], trong biểu thức (1.46)
39

Những kết quả đà dẫn trong chơng ny cho phép xem xét
một cách thống nhất sự truyền sóng trong đại dơng với nh÷ng
40


bất đồng nhất về trạng thái trung bình của môi tr−êng biÕn thiªn
chËm theo thêi gian vμ biÕn thiªn yÕu theo phơng ngang.
Cần phải lu ý về phạm vi áp dụng của lý thuyết vừa trình
by. Những phơng pháp mô tả hnh vi của sóng trên nớc, m
ta đang nói tới từ trớc tới bây giờ, dựa trên giả thiết rằng sóng
l những sóng phẳng cục bộ. Nhng giả thiết ny không phải
luôn luôn thoả mÃn. Đôi khi xuất hiện những tình huống trong
đó những biến đổi của trờng sóng nhỏ so với bớc sóng đợc
tích luỹ dần. Điều ny dẫn đến trờng sóng tại một vùng no đó
khác hẳn víi tr−êng sãng ph¼ng cơc bé. VËy nÕu trong nghiƯm

(1.46) mμ Jacobian tiÕn tíi b»ng kh«ng J 1  0 , sẽ xuất hiện tình
huống đặc biệt sự tụ tia (caustic), độ rộng của ống tia giảm tới
số không. Khi ®ã trong hƯ thøc (1.47) ®é réng cđa èng tia sẽ vô
cùng hẹp do các tia giao nhau v độ cao sóng trở nên lớn một
cách không hiện thực. Những biến đổi trờng sóng nh vậy diễn
ra ở lân cận vùng tụ tia.

quan điểm tán xạ sóng.
Phơng pháp giải khác có thể dựa trên quan điểm phổ sẽ
trình by trong chuyên khảo ny. Sử dụng phơng pháp ny có

tính u việt ở chỗ họ các tia sóng r  r (, , ) trong kh«ng gian
vËt lý cã thể có dạng khá phức tạp. Điều ny lm cho việc lập
nghiệm l trơn trong ton không gian sẽ phức tạp. Tuy nhiên

trong không gian pha {k , r } sử dụng trong nghiệm phổ thì qua
mỗi điểm chỉ có thể có một quỹ đạo pha đi qua, tức các quỹ đạo
pha không giao nhau. Tính chất ny thực chất l hệ quả của
định lý về sự duy nhất nghiệm của hệ các phơng trình vi phân
thờng với những điều kiện ban đầu cho trớc.
1.4. Mô tả thống kê sóng gió

Đặc điểm rõ rệt nhất của sóng gió l tính ngẫu nhiên của
nó. Vì sóng gió l quá trình động lực xác suất dừng, nên để khảo
sát lý thuyết vμ thùc nghiƯm ng−êi ta sư dơng réng r·i c¸c t
tởng v phơng pháp của lý thuyết quá trình ngẫu nhiên. Đặc
trng quan trắc cơ bản của sóng gió l sự di động của mặt phân

cách nớc không khí ( r , t ) , nên khi mô tả xác suất sóng gió

phải xem ( r , t ) nh một mặt chuyển động ngẫu nhiên. Vậy
những đối tợng khảo sát l những phân bố xác suất của các giá

trị trên tập không gian v thời gian hữu h¹n {rn , t n } ( n  1,2 ) .
Những dữ liệu quan trắc chứng tỏ rằng phân bố xác suất của
tại một điểm cố định gần với phân bố Gauss, mặc dù có ít nhiều
bất đối xứng.
Việc mô tả lý thuyết về sóng gió bằng những hm mật độ
hữu hạn chiều liên quan tới nhiều khó khăn, buộc ngời ta phải
giới hạn ở nghiên cứu những đặc trng thống kê đơn giản nhất
của . Một trong những đặc trng quan trọng nhất trong số đó

Hình 1.1. Các tia sóng trên dòng chảy bất đồng nhất

Những hiện tợng ny sẽ đợc xét sau, khi đó phải sư dơng
41

42


l mômen bậc hai hay hm tơng quan



K r , t   r  r , t  t ,

kê của độ cao cực đại v cực tiểu... Rất nhiều kết quả loại ny

(1.48)

đà nhận đợc trong các công trình của W. Pierson, Iu. M.

trong đó cặp dÊu < > chØ sù lÊy trung b×nh theo tËp hợp thống kê.

Hm tơng quan không gian thời gian K (r , t ) liªn hƯ

víi phỉ S (k , t ) của quá trình ngẫu nhiên bằng biến ®æi Fourie
 



1
 i ( k r  t )
S (k , t ) 
d r d t .
(1.49)
 K ( r ,  t ) e
3
(2  )

Cr−lov vμ các tác giả khác. Những phơng pháp hình học thống

Phơng sai của sóng mặt < 2 > tìm đợc bằng cách tích


phân S (k , t ) theo vectơ sóng hai chiều k v tần số .

Phổ không gian hai chiều của sóng S (k ) xác định từ
phơng trình (1.49) theo công thức

1
S (k )  S (k , )d 
K (  r ,0) e  ik  r d r ,
2 
(2)
cßn phỉ tần số S () theo công thức

1
i t
S ()   S ( k , )dk 
 K 0, t e dt .
2

kê về các mặt ngẫu nhiên đà đợc phát triển một cách triệt để
nhất trong công trình của M. C. LonguetHiggins trong những
năm sáu mơi [127], v sau đó trong các công trình của V. A.
Rogiơcov v Iu. A. Trapeznicov [168].
Ngay những ớc lợng thực nghiệm đầu tiên về sóng gió đÃ
dựa trên mối liên hệ giữa những đặc trng đơn giản nhất của nó
với tèc ®é giã. Thùc chÊt mơc ®Ých chÝnh cđa lý thuyết sóng gió
l xác định mối liên hệ ny từ các phơng trình động lực mô tả
hệ thống nớc không khí. Vì sóng gió v trờng vận tốc gió có

(1.50)

tính chất ngẫu nhiên, nên có thể phát biểu bi toán cơ bản của

lý thuyết sóng gió một cách xác định nhất nh l bi toán tìm
phổ của sóng mặt thông qua những đặc trng thống kê của

(1.51)

Đợc biết rằng các mômen bậc hai hay các phổ tơng ứng
với chúng sẽ cung cấp thông tin thống kê đầy đủ về trờng ngẫu
nhiên nếu trờng đó l trờng Gauss [46]. Vậy thông tin về các
đặc trng phổ sóng l rất quan trọng vì những dữ liệu thực
nghiệm về hm phân bố cho phÐp chóng ta coi tr−êng nhiƠu
®éng mùc n−íc  gần đúng với dạng Gauss. Khi cho phổ, mô
hình mặt Gauss có thể l cơ sở để nhận đợc những thông tin
thống kê về các đặc trng hình học của mặt ngẫu nhiên di động:
về số lợng trung bình các điểm dừng (các cực đại, cực tiểu, các
điểm hypecbôn...) trên một đơn vị bề mặt, những phân bố thống
43

trờng ngẫu nhiên vận tốc lớp biên rối khí quyển.
1.5. Phơng trình ®éng häc cđa sù tiÕn triĨn phỉ
sãng giã

Trong mơc 1.1 ®· ®−a ra c¸ch dÉn lËp thủ ®éng vỊ bμi toán
mô tả sóng gió. Bên cạnh những phức tạp của việc giải quyết bi
toán ny, còn có thêm một khó khăn nữa trong việc mô hình
hóa trờng sóng gió liên quan tới tính chát ngẫu nhiên của nó.
Vì vậy ý đồ giải quyết bi toán tính sóng trong quy mô đại
dơng thực trong cách tiếp cận tiên định l phi hiƯn thùc trong
thùc tÕ. Sè bËc tù do cđa hƯ thực tế l vô tận.
Những thnh tựu lớn nhất trong nghiên cứu sóng gió gắn
liền với việc sử dụng phơng trình động học mô tả sự tiến triển

44


của phổ sóng dới tác động của các trờng ngoại lực, một trong
số đó l trờng gió. Cách viết hình thức phơng trình ny có thể
thực hiện dựa trên những lËp ln sau. NÕu cho ®Õn nay, tøc

trong mơc 1.4, ta đà xét mặt phân cách nớc không khí (r , t )

đồng nhất thống kê theo các tọa độ ngang r {x, y} v dừng, thì
để mô tả tiến triể của trờng ngẫu nhiên ta phải đa ra những
tọa độ v thời gian "chậm", quy mô biến đổi của chúng lớn hơn
nhiều so với những bớc v chu kỳ đặc trng của các sóng đang xét.
Ta có thể đạt đợc sự tổng quát về trờng đồng nhất thống
kê v dừng nếu chuyển sang xem xét các phổ cục bộ phụ thuộc

cả vo các tọa độ chậm re , thời gian t e (sau đây ta sẽ bỏ qua chØ
sè " e ").



S  S (k , , r , t ) .

T−¬ng tù cã thĨ viÕt phỉ tác động sóng

N N (k , , r , t ) S / .

(1.52)

(1.53)

Bây giờ phơng trình tổng quát tiến triển mật độ phổ tác
động sóng có thể viết một cách hình thức dới dạng phơng
trình vËn chuyÓn



dN N





(1.54)

  (N r )   (N k ) 
( N )  G .
dt
t r

k
 

Trong trờng hợp ny nếu các đạo hm r , k , có thể biểu
diễn dới dạng những phơng trình Hamilton:


dk
H
d H

dr H
;

(1.55)
;
dt
r
dt k
dt
t
thì phơng trình (1.54) có thể viết lại dới dạng đạo hμm toμn
phÇn theo thêi gian

45



dN N N dr N dk N d




G.
t
r dt k dt dt
dt

(1.56)

Phơng trình (1.54) hay (1.56) gọi l phơng trình động học,

rất quen thc trong vËt lý lý thut vμ lμ tr−êng hỵp tổng quát
của định lý J. Louivill [121] về sự bảo ton hm phân bố chất
khí nói chung với t cách một hệ các phần tử trong khi hệ đó di
chuyển trong không gian pha. Đại lợng ở vế phải của phơng
trình (1.56) gọi l tích phân tơng tác. Phơng trình vi phân
tích phân (1.56) với tích phân tơng tác mô tả sự đụng độ của
các phân tử trong không gian pha, gọi l phơng trình Bolzman,
do ông ny đề xuất năm 1872.
Nh đà nhận xét trong mục 1.2, những hệ thức (1.55) thể
hiện các phơng trình chuyển động của các chïm sãng víi c¸c


biÕn r vμ k (tõ mơc 1.3 suy ra F H ). Những phơng trình
ny trùng hợp về dạng với các phơng trình Hamilton, chiếm vị
trí trung tâm trong cơ học cổ điển [121, 124], đợc giải theo
xung của phần tử p v các tọa độ q của nó. Những phơng
trình Hamilton chuẩn tắc biểu diễn mét hƯ gåm 2 s (trong
tr−êng hỵp nμy s  3 ) phơng trình vi phân cấp một đối với 2s
hμm Èn p (t ) vμ q(t ) thay thÕ cho s phơng trình cấp hai của
phơng pháp mô tả chuyển động theo Lagrange.
Đạo hm ton phần của hm Hamilton H theo thời gian
đợc viết nh sau
dH H
H
H


qi

pi .
(1.57)
dt
t
i qi
i pi



ThÕ q i vμ p i tõ ph−¬ng trình (1.55) vo biểu thức (1.57),
hai số hạng cuối triệt tiªu lÉn nhau vμ ta cã
dH H

.
dt
t
46

(1.58)


Trờng hợp riêng nếu hm Hamilton không phụ thuộc thời
gian một cách tờng minh thì H / t 0 , tức ta có định luật bảo
ton đại lợng H .
Còn nếu nh hm Hamilton không phụ thuộc vo một trong
các tọa độ thì thnh phần tơng ứng của xung tổng quát giữ
nguyên trong khi hệ chuyển động v có thĨ viÕt
H

pi  

 0.
(1.59)

q
HƯ täa ®é nh− vËy gäi l hệ tọa độ tuần hon.
Giả sử f l một hμm cđa täa ®é q , xung p vμ thêi gian t .

thể viết điều kiện để đại lợng f l tích phân động lợng
( df / dt 0 ) d−íi d¹ng
 f
 H f   0 .
t

(1.63)

NÕu tích phân động lợng không phụ thuộc thời gian một
cách t−êng minh, th× Hf   0 , tøc dÊu ngoặc Poasson của nó với
hm Hamilton phải bằng không. Tính chất quan trọng của các
dấu ngoặc Poassion l ở chỗ nếu f v g l hai tích phân động
lợng, thì các dấu ngoặc tạo ra từ chúng cũng l những tích
phân động lợng { fg} (định lý Poasson).

(1.62)

Để lý giải hình học về hnh vi của các hệ thống động lực,
ngời ta thờng sử dụng khái niệm không gian pha nh l
không gian 2s chiều, trên các trục tọa độ của nó ngời ta đặt
những giá trị của s tọa độ tổng quát v s xung của hệ. Điểm
pha biểu diễn hệ mô tả một đờng tơng ứng trong không gian
pha gọi l quỹ đạo pha. Nếu ta hình dung từng điểm của một

vùng đang xét trong không gian pha di chuyển với thời gian
tuân theo những phơng trình chuyển động của hệ động lực
học, thì tất cả vùng cũng sẽ di chuyển. Trong đó đà chứng minh
[124] đợc rằng thể tích của nó giữ nguyên không đổi
d const . Điều khẳng định ny (định lý Louivill) trực tiếp

Biểu thức (1.62) gọi l dấu ngoặc Poasson đối với các đại
lợng H v f . Nh vậy phơng trình ®éng häc (1.54) cịng cã

rót ra tõ tÝnh bÊt biÕn của thể tích pha trong các phép biến đổi
chuẩn v từ chỗ bản thân những biến đổi trong khi chuyển ®éng
cã thĨ xem nh− biÕn ®ỉi chn.

Ta lËp ®¹o hμm toμn phÇn cđa nã theo thêi gian
df f
f
f




qj 
pj .
dt t
j q j
j p j





(1.60)



Thay thÕ nh÷ng biĨu thøc cđa q i v p i từ phơng trình
Hamilton (1.55) vo ®©y, ta cã
df f

 Hf  ,
dt t

(1.61)

ë ®©y dïng ký hiÖu

f
H f 
.

p j q j q j p j 




Hf     H

j

thĨ xem nh− tỉng của thnh phần không dừng N / t với dấu

ngoặc Poasson tơng ứng đối với N v .
Các hm của những biến động lực học m giữ nguyên
không đổi trong khi chuyển động của hệ thống thờng đợc gọi
l các tích phân động lợng. Từ biểu thức (1.61) thấy rằng có
47

Trong khi mô hình hóa toán học về sóng gió sự chuyển
truyền thống từ những phơng trình thủy động lực học
(1.5)(1.13) sang phơng trình động học (1.54) nh sau [54,
192]. Các trờng thủy động lực chấp nhận l những hm ngẫu
nhiên, những hm ny biểu diễn dới dạng tích ph©n Fourier
48


(hay FourierStiltes). Từ những phơng trình thủy động lực
trong xấp xỉ trờng đồng nhất viết ra những phơng trình
chuyển động cho các thnh phần phổ của trờng độ dâng mặt tự
do. Giải phơng trình ny có dùng những công thức khép kín
các mômen bậc cao sẽ dẫn tới phơng trình tiến triển phổ S của

trao đổi năng lợng trong khi tơng tác sóng với rối trong nớc;
G6 tiêu tán năng lợng do ma sát đáy. G7 tiêu tán năng
lợng do đổ nho đỉnh sóng; G8 sự di chuyển phi tuyến yếu của

trờng sóng gió. Tuy nhiên bản thân cách đặt bi toán thủy
động lực xuất phát không cho phép nhận đợc một cách đúng
đắn dạng hon chỉnh của những cơ chế vật lý khác nhau hình
thnh các phổ sóng gió. ít ra thì điều ny đúng với trờng hợp
tiêu tán liên quan với sự sập đổ của c¸c ngän sãng.

Cã thĨ tiÕp tơc më réng danh s¸ch những cơ chế hình thnh
phổ sóng gió, nếu ta xét thêm thí dụ nh sự tơng tác sóng với
thảm băng G9 . Trong các mô hình hiện đại tính sóng theo

Phải lu ý rằng việc nhận ra phơng trình động học nh l
tơng tác giữa các sóng trong các trờng sóng ngẫu nhiên đợc
biết tới sau các công trình của K. Hasselman [192, 260, 261].
Trong công trình [260] ông đà dùng phơng pháp toán đồ
Feiman để khái quát việc mô tả các tơng tác phi tuyến bằng
những phơng pháp của toán lý cho trờng hợp sóng gió. Các
hm ở vế phải của phơng trình (1.54) đợc gán cho ý nghĩa các
cơ chế vật lý khác nhau hình thnh phổ sóng gió. Ngy nay vế
phải của phơng trình (1.54) gọi l hm nguồn v biểu diễn
dới dạng tổng của nhiều cơ chế vật lý
G Gi .
(1.64)

Mặc dù trong công cuộc khảo sát các cơ chế vật lý hình thnh
phổ sóng gió, đà đạt đợc những thnh tựu nhất định, hiện nay
vấn đề ny vẫn còn khá phức tạp v cha giải quyết đến cùng.

i

Trên cơ sở lý thuyết sóng gió có thể hình dung rằng hm
nguồn ít ra phải bao gồm những thnh phần sau [45]: G1 cơ
chế tính tới dòng năng lợng từ gió cho sóng do tác động của
trờng thăng giáng áp suất; G 2 , G3 , G 4 dòng năng lợng tới

năng lợng trong phổ sóng gió. Đó l những thnh phần cơ bản
của hm nguồn, nhng chúng cha đợc nghiên cứu đầy đủ.

trờng gió, ngời ta tính tới các thnh phần kể trên đây theo tổ
hợp G1 , G2 , G5 , G7 , G8 , khi tính sóng trên biển sâu  G 2 , G5 , G8 .

1.6. Bμi to¸n tổng quát xác định mật độ phổ của tác
động sóng trong đại dơng

Theo truyền thống, khi mô tả sóng gió thờng sử dụng
phơng trình động học viết trong hệ tọa độ phẳng vuông góc
(1.54); nhng với những khoảng cách lớn trên mặt đại dơng
ton cầu thì nó không thích hợp nữa. ở đây đà phải tính tới tính
mặt cầu của mặt Trái Đất. Vậy ta sẽ đề xuất phát biểu bi toán
tổng quát hơn. Rõ rng nên thể hiện bi toán ny trong hệ tọa
độ cầu.
Để mô tả trờng sóng gió trong đại dơng ta sử dụng
phơng trình viết trong hệ tọa độ cầu , , R đối với đại lợng

N no đó, sau ny ta sẽ xác định mối liên hệ của nó với sóng:

sóng do các tơng tác ( G2  tuyÕn tÝnh; G3  phi tuyÕn) cña các
sóng với dòng không khí trung bình v rối khí quyÓn ( G4 ); G5 
49

50


N
 ~
 ~
 ~


( N) 
( N) 
( NR ) 

t


R
(1.65)
 ~
 ~
 ~
 ~
 G
Nk  
Nk  
Nk R 
N


k
k
k R
~
trong ®ã N  hμm phơ thc thêi gian t , vÜ ®é  , kinh ®é  ,

bán kính R , những giá trị tơng ứng của các xung tổng quát
k , k , kR v tần số .
Giả thiết rằng tồn tại toán tử Hamilton H cho phép viết
các phơng trình chuyển độngtrong hệ tọa độ cầu , , R dới
dạng:
dR H

;
dt
k R

dk R
H

;
dt
R

d H

;
dt k
dk
dt

H
;


dH H
.

dt
t

d H

;
dt k

(1.66)

H
dk

;
dt


quang hình (xem c¸c mơc 1.2 vμ 1.3), ta viÕt to¸n tư Hamilton
của chuyển động chùm sóng dới dạng

H gk thkH   V k .

(1.70)

Mét nh©n tư bỉ sung cần tính đến trong hm Hamilton với
t cách nhân tố ¶nh h−ëng tíi sù lan trun c¸c chïm sãng  đó
l hiệu ứng liên quan tới sự quay của Trái Đất. Tuy nhiên, nh
đà thấy trong công trình [201], nhân tư nμy nhá ®Õn møc cã thĨ
hoμn toμn bá qua.
Cho rằng chuyển động diễn ra trong mặt cầu, ta thể hiện
phơng trình chuyển động dới dạng:
k V
d
cg
;
(1.71)
k R
dt

(1.67)

d
V
k
cg
;

dt
k R cos 

 k
H V k V k

V k sin  
  cg
 f


   2 ;

 R
dt
 R cos  R cos  
 k

dk

(1.68)

NÕu nhí rằng chuyển động diễn ra theo mặt cầu, có thể viÕt
r»ng dR / dt  dk R / dt  0 .
Nếu thế các biểu thức (1.66)(1.68) vo phơng trình (1.65),
thì có thể viết lại phơng trình ny nh sau:
~
~
~
~
~
~
N N
N  N 
N  N






k 
k 
  G . (1.69)
k

t


k
Ta thử xác định mối liên hệ giữa các phơng trình (1.65)
hay (1.69) với bi toán tính sóng trong đại dơng. Ta sẽ rút ra
phơng trình chuyển động của chùm sóng trên mặt đại dơng,

xem độ sâu nó H v tốc độ dòng chảy V phụ thuộc vĩ độ  vμ
 
kinh ®é  , tøc H  H (, ) , V  V (, , t ) . XuÊt ph¸t tõ xÊp xØ
51

(1.72)

(1.73)

 H V k V k 
dk
  f



;
 R cos  
dt
   R

(1.74)

dH d k  V
k V



dt
dt
R t
R cos  t

(1.75)

trong ®ã

k
ngoμi ra:

52

2
k

R2



2
k
,
R 2 cos2 

(1.76)


k
k

,
k 
kR 2

k tg
k
;
 2
 kR cos2 
1
cg 
2

k
k

 2 2 ;
k R cos 
f 

gk
k
;
2
th kH  ch kH

(1.77)

(1.78)

nh tác động sóng ứng với một nguyên tố thể tích pha
~
dk x dk y dxdy . Còn độ lớn của N trong phơng trình động học

g th kH
2kH
1
.

k
sh 2kH



ở đây V , V các thnh phần vĩ hớng v kinh hớng của tốc

độ dòng chảy. Các phơng trình (1.71)(1.75) mô tả chuyển
động chùm sóng trên mặt cầu dới ảnh hởng của tốc độ dòng

chảy bất đống nhất V (, , t ) v độ sâu H (, ) .
Trong bi toán tính sóng gió thờng sử dụng không phải

những thnh phần xung tổng quát, m l số sóng k k (hay
tần số ) v góc giữa hớng vectơ sóng v vĩ tuyến (trục Ox
của hệ tọa độ vuông góc địa phơng). Số sóng k liên hệ với các
biến trớc đây k v k bằng tơng quan (1.76), còn góc có
thể xác định bằng
tg

k cos
k

.

(1.79)

Nhờ các tơng quan (1.73)(1.74) có thể chứng minh rằng
biến thiên thời gian của các biến mới k v liên hệ với các biến
cũ bng các tơng quan:

k k
1 

k 
k k   2   ;


cos  
kR 2 





(1.80)



2


 cos  cos  k k  k k .



2
k

~
Ta sẽ xác định mối liên hệ giữa đại lợng N , đà đa ra trên

đây, với mật độ phổ của tác động sóng N (k ) , thờng đợc dùng
trong hệ tọa độ phẳng vuông góc địa phơng x, y . Nhớ lại rằng

mật độ phổ đợc dùng theo truyền thống N (k ) đợc xác định

(1.81)

53

xuất phát (1.65) ứng với một nguyên tố thể tÝch pha
dk dk d d . Nh− vËy, muèn sö dụng phơng trình động học
(1.65) hay (1.69) để xác định mật độ phổ tác động sóng N , ta có
thể cho các đại lợng tơng ứng bằng nhau, có tính đến những
thể tích pha của chúng. Kết quả nhận đợc mèi liªn hƯ sau
~
N k , k , ,   J kN k , , x, y  ,
(1.82)
~
trong ®ã J  to¸n tư Jacobian chun tõ N sang N
J 

k , , x, y 
.
 k , k , ,

(1.83)

Để tính đợc Jacobian J phải tính định thức bâc bốn. Nhờ
mối liên hệ d x d y  R 2 cos  d  d  vμ tơng quan (1.76), bỏ qua
một số biến đổi trung gian, cã thÓ chøng minh r»ng Jacobian
b»ng J  1 / k (®iỊu nμy cịng cã thĨ nhËn thÊy ngay tõ định lý
Louivill [121]).
Nh vậy, phơng trình (1.69) mô tả sự tiến triển của mật độ
phổ tác động sóng N (k , , , ) . Phơng trình ny, sau khi
chuyển sang các biến mới nhờ sử dụng các tơng quan
(1.76)(1.82) v bỏ qua những biến đổi trung gian, có thể ®−a vỊ

d¹ng
N N
N  N  N  N


G



k

(1.84)
t


k
 
54


trong ®ã N ®· lμ hμm cđa vÜ ®é  , kinh ®é  , sè sãng k vμ 

V sin

góc giữa hớng vectơ sóng v vĩ tuyến (hớng về phía đông),
cũng nh tần sè  vμ thêi gian t .

H cos  H 
1 
f sin 


(1.88)
;
R 
 cos   
d
k cos   V
tg cos 

cg  kV cos   
cos   

dt
R
R  

NÕu S  S (, ) l mật độ phổ năng lợng sóng truyền



thống, phụ thuộc vo tần số riêng (đợc đo trong hệ quy chiếu
gắn liền với dòng chảy) v góc , thì liên hệ của nó với mật độ



tác động sóng N (k , ) đợc xác định bằng
S ,    N k ,  k

k
.



  cos   V
  
cos    V sin       


  cos   
  

 V sin    

(1.85)



  k sin   V
 

  cos    V sin       
  R cos  



H sin  H 
f  cos 

;
 cos   


d
V

 k cos   
 kV sin    
dt
t
t
trong ®ã V  V cos ;
V  V sin  .


VËy, nÕu tìm đợc nghiệm của phơng trình (1.84), thì
tơng quan (1.85) cho phép xác định mật độ phổ năng lợng.
Một đặc điểm quan trọng của phơng trình (1.84) l: vế trái của
nó có thể biểu diễn dới dạng đạo hm ton phần theo thời

1
R

(1.89)

,
(1.90)

gian, điều m các tác giả của mô hình WAM [303] đà không
nhận ra. Từ đó suy ra rằng trên mặt cầu, cũng giống nh trên
mặt phẳng, trong trờng hợp không có tác động của hm nguồn
G 0 , dọc đờng đặc trng sẽ bảo ton mật độ tác động sóng.
Với những biến mới, ta viết các phơng trình chuyển động

(1.71)(1.75) dới dạng sau:

d
sin V sin 
 cg

;
dt
R
R

(1.86)

d
V cos 
cos 
 cg

;
dt
R cos  R cos 

(1.87)

tg cos 
1
dk
 V
 k
cos   

V sin      k sin  
dt
R
R
 

55

Nh− vËy, bi toán xác định mật độ phổ tác động sóng đÃ
quy về việc giải hệ phơng trình (1.84), (1.86)(1.90) với những
điều kiện ban đầu (hoặc biên) cho trớc. Nhận thấy rằng tham
gia vo hệ phơng trình với t cách những tham số biến thiên
có các hm đợc cho trớc: trờng ®é s©u H ( ,  ) , tr−êng tèc độ

V
dòng chảy V (, , t ),V (, , t ) v cả trờng tốc độ gió

U    (, , t ),U  (, , t ). Đại lợng cuối ny có mặt trong hm
U
nguồn G v quyết định sự cung cấp năng lợng từ gió cho sóng.
Trong trờng hợp tổng quát, giải bi toán (1.84)(1.90) l
một vấn đề cực kỳ phức tạp, đòi hỏi ti nguyên máy tính lớn. Sự
đa dạng các nhân tố vật lý, những quy mô không gian, thời gian
rất khác nhau cđa chóng lμm cho viƯc hiƯn thùc sè bμi toán ny
khá phức tạp.

56


1.7. tÝnh tíi quy m« kh«ng gian  thêi gian khi phân

tích nghiệm bi toán

Việc đánh giá các thnh phần ở vế phải của hệ phơng
trình (1.84), (1.86)(1.90) cho thấy rằng những cơ chế vật lý
quyết định diễn biến của tr−êng sãng giã thĨ hiƯn víi nhiỊu quy
m« kh«ng gian thời gian. Phải nhận thấy ngay rằng sự biến
thiên độ lớn của số sóng ở các phơng trình (1.86)(1.90) liên
quan với sự hiện diện của dòng chảy v ảnh hởng của độ sâu,
đúng hơn, với biến thiên không gian v thời gian của dòng chảy
v bất đồng nhất độ sâu trong các thủy vực nông. Đồng thời
tính mặt cầu của mặt đại dơng cũng ảnh hởng tới biến thiên
của góc .
Để nhận đợc ớc lợng định lợng của những nhân tố
khác nhau, ta sẽ đa các hm ở vế phải các phơng trình
(1.86)(1.90) về dạng phi thứ nguyên


~ 

~ 

  R /  c  ;   R /  c ;
g

~ 


k  kR /  cg  ;

g


~ 

   R /  cg ,


víi  c g   −íc l−ỵng trung bình của tốc độ nhóm. ở đây
những vế phải các phơng trình cũng sẽ có dạng phi thứ
nguyên, trong đó xuất hiện những tham số phi thứ nguyên


quyết định:  V  /  cg   tû sè giữa tốc độ dòng chảy


trung bình v tốc độ truyÒn sãng;   V  /  k V tỷ số
giữa gradient tốc độ dòng chảy v trị số trung bình của nó, ở


đây k ớc lợng số sóng trung bình; k  H 

 2  k  H 

e
 tham số đặc trng cho bậc của các hiệu ứng tán xạ
trên nớc nông. Hon ton rõ rằng tơng quan so sánh các trị
57

số của các tham số phi thứ nguyên , , sẽ quyết định mức ý
nghĩa định lợng của một cơ chế no đó. Thí dụ, với sóng chu

6 s ở đới nớc nông với kH 1 v gradient độ sâu
H / L 10 3 tham sè  cã bËc 10 3  10 4 . Tham số có trị số
nhỏ hơn một Ýt. Víi H / L  10 4 s 1 trị số 102 , tức tăng
đáng kể những hiệu ứng liên quan tới tính cầu của mặt đại
dơng (trong trờng hợp ny chúng có độ lớn cỡ đơn vị) hay liên
quan tới hiệu chỉnh cộng thêm của tốc độ dòng chảy không đổi
vo tốc độ lan truyền sóng ( 1).
Nh vậy, thậm chí những ớc lợng thô nhất đà cho thấy
rằng: trên những khoảng cách tơng đối nhỏ, thì các hiệu ứng
nớc nông v các hiệu ứng liên quan tới sự hiện diện dòng chảy
với gradient sẽ có ảnh hởng nhất đến sự biến thiên các yếu tố
sóng. Để mô tả những hiệu ứng ny thì tính mặt cầu thực tế
không có ý nghĩa. Nó chỉ biểu lộ trên những khoảng cách ton
cầu. Khi ny những dòng hải lu với gradient nhỏ nhng quy
mô ton cầu sẽ có thể thể hiện vai trò của mình [298].
Việc khảo sát ảnh hởng của những hiệu ứng khác nhau
lên nghiệm của bi toán nên thực hiện bằng cách tách riêng
những quy mô không gian thời gian biểu hiện của các hiệu ứng
đó. Điều ny giúp giản tiện việc phân tích nghiệm bi toán v
phát hiện những cơ chế hữu hiệu nhất hình thnh phổ sóng gió,
có tính tới quy mô không gian thời gian phát triển sóng ở vùng
địa lý cụ thể. Thấy rằng ở đây sẽ phân tích phơng diện hình
học của nghiệm bi toán (tức mô tả sự lan truyền chùm sóng
trong không gian pha). Hình học chùm sóng đợc mô tả không
chỉ bởi vế phải, m bởi cả vế trái của phơng trình động học.
Vậy có thể tiến hnh khảo sát nghiệm bi toán trong những
quy mô không gian thời gian sau đây:
58

1) Quy mô ton cầu (với L1 10 6  10 7 m vμ T1  106 s ): ở quy
mô ny trong mô hình sóng gió phải tính đến độ cong mặt Trái
Đất v sự hiện diện các hải lu ton cầu. ở đây những cơ chế
hữu hiệu l cơ chế điển hình hình thnh phổ trong điều kiƯn
n−íc s©u ( G2 , G5 , G8 ... ), quy mô bất đồng nhất trờng sóng theo
không gian bị quy định bởi quy mô đặc trng của các nhiễu khí
quyển (các xoáy thuận). Thí dụ về mô hình loại ny dẫn trong
chơng 2.
2) Quy mô khu vực I ( L2  10 5  10 6 m , T2 10 5 s ): ở đây sẽ
mô phỏng sóng gió trên nớc sâu, các hồ, hồ chứa nớc lớn...
Những cơ chế hữu hiệu vẫn l ( G2 , G5 , G8 ... ), độ cong mặt nớc
không có vai trò (xem chơng 4 v 8).
3) Quy mô khu vực II ( L3  10 3  10 5 m , T3  10 5  10 5 s ) quy
mô điển hình trong đó có tính tới những bất đồng nhất không
gian của môi trờng: hiện diện các dòng biển (chơng 5) v địa
hình đáy (chơng 6). Đây l trờng hợp phức tạp hơn cả, những
cơ chế hữu hiệu gồm cả các cơ chế điển hình với điều kiện nớc
sâu, lẫn các cơ chế liên quan tới sự biến dạng trên các dòng biển
bất đồng nhất v trên nền nớc nông, kể cả tiêu tán ở đáy ( G6 ).

chế tán xạ, biến dạng v ma sát đáy có thể vợt trội so với quá
trình tơng tác phi tun u cđa c¸c sãng trong phỉ ( G8 ) v sự
cung ứng năng lợng từ gió cho sóng ( G2 ). ThÝ dơ vỊ tr−êng hỵp
nμy sÏ dÉn trong các chơng 5, 6 v 9.
5) Quy mô nhỏ đó l quy mô biến dạng sóng ở đới sóng lăn
v sát mép băng ( L5 10 10 2 m , T5  10  10 2 s ), nơi đây cơ chế
chủ đạo l tiêu tán sóng mạnh mẽ do sóng đổ trên nớc nông
hoặc ở dải sát viền băng.
Sự phân hóa các hiệu ứng theo quy mô nh trên có tính tới
những nhân tố vật lý đà mô tả ở trên không loại trừ việc giải bi

toán một cách ton diện, tức thnh lập những tổ hợp mô hình
thống nhất, thực hiện tuần tự chúng (khi mô hình quy mô nhỏ
dùng những kết quả tính của mô hình quy mô lớn hơn lm dữ
liệu ban đầu hay dữ liệu biên xuất phát) cho phép tối u v đủ
chính xác mô tả tất cả những chi tiết biến thiên trờng sóng.

Những mô hình loại ny mô tả diễn biến của sóng trong các
biển nông v có triều, các thủy vực trải di trên thềm lục địa,
một số vùng khơi đại dơng nơi có hải lu mạnh. Những mô
hình, trong đó xét tới cơ chế tơng tác giữa sóng v trờng băng
( G9 ), cũng thuộc loại ny.
4) Quy mô địa phơng quy mô không gian thời gian biến
dạng sóng trên các dòng biển bất đồng nhất có gradient tốc độ
lớn v ở những vùng nớc nông ven bờ (quy mô địa phơng điển
hình của đới gÇn bê L4  10 2  10 4 m , quy mô thời gian đặc trng
về biến thiên sóng T4 10 4 s ). Trong những trờng hợp nμy c¬
59

60