Mô hình hóa toán học sóng gió trong đại dương bất đồng nhất không gian ( Đại học quốc gia Hà Nội ) - Chương 3 potx

81 82

Chơng 3
Giải số trị phơng trình cân bằng
năng lợng sóng
3.1. Những vấn đề giải số trị phơng trình tiến triển
năng lợng sóng
Việc giải quyết thnh công bi toán về tính v dự báo sóng
gió phụ thuộc vo chất lợng mô hình vật lý, sự hiện thực hóa
số trị đối với phơng trình cân bằng năng lợng sóng v độ
chính xác của trờng gió cho trớc. Nói chung, phải nhận xét
rằng phần lớn những mô hình sóng gió hiện hnh không phải l
những mô hình đạt trình độ cao về phơng diện sơ đồ giải số trị.
Nhiều công trình [113, 170, 172, 173, 372] đã cho thấy rằng việc
giải số phơng trình cân bằng năng lợng sóng có ý nghĩa
nguyên tắc quyết định độ chính xác v hiệu quả của mô hình.
Những sai số trong khi giải số có thể tơng đơng với sai số liên
quan tới tính thiếu tin cậy của thông tin ban đầu về gió cũng
nh sự cha hon thiện trong quan niệm vật lý về quá trình.
Phơng pháp các đặc trng m t
a đã sử dụng để giải
phơng trình (2.1) cho phép nhận đợc nghiệm phản ánh khá
chính xác những đặc điểm truyền sóng. Ta nhớ lại rằng để xác
định phổ tần số
góc ở một điểm phải "thu lợm" tất cả các
thnh phần phổ từ khắp thủy vực đi tới.
Tuy nhiên, nếu sử dụng phơng pháp đặc trng dới dạng
nh trớc
đây để tính toán sóng gió trên những thủy vực đại
dơng rộng lớn thì sẽ không hợp lý vì hai lý do. Thứ nhất, nó
không có khả năng tính tới sự tơng tác phi tuyến yếu giữa các

sóng, vì để tính cần có thông tin về tất cả các hi điều ho tại
mỗi nút tính, thế nhng tất cả các hi đó lại đợc tập trung chỉ
vo một điểm. Thứ hai, trong các bi toán dự báo nghiệp vụ
cũng nh nói chung trong nhiều trờng hợp khác, cần có đợc
thông tin đầy đủ về các đặc trng tích phân v bản thân phổ
sóng tại tất cả các điểm nút của vùng lới. Sử dụng phơng
pháp các đặc trng đối với những thủy vực lớn (với nửa bắc của
Đại Tây Dơng có toứi gần 400 điểm trên lới tính bớc
2,52,5) thì không tối u, vì trên từng bớc thời gian phải tập
trung tất cả các tia từ ton bộ thủy vực vo từng điểm tính.
Khi giải số phơng trình (2.1) có thể sử dụng phơng pháp
sai phân hữu hạn
nh một phơng pháp vạn năng. Tuy nhiên
thực hiện giải số nh vậy với phơng trình (2.1) vẫn còn khá
nặng nhọc. Đó l vì khác với giải bi toán trên mặt phẳng, ở đây
phải xấp xỉ số hạng bổ sung dtdS //





, lm tăng số chiều của
phơng trình. Bi toán sẽ phức tạp hơn nữa nếu ta toan tính
thực hiện nó dới dạng đầy đủ, có tính tới dòng chảy bất đồng
nhất không gian v đáy không bằng phẳng.
Trong số những phơng pháp số khác nhau
đợc dùng
trong các mô hình sóng gió, phải lu ý cách giải số phơng trình
cân bằng năng lợng sóng đề xuất trong mô hình
WAM [303,

365], ở đây đã cố gắng giải phơng trình ny trên mặt cầu, có
tính tới khúc xạ sóng trên nớc nông v ảnh hởng của dòng
chảy. Hiện nay mô hình
WAM có lẽ l mô hình duy nhất trong
đó phơng trình đợc thực hiện đầy đủ nhất. Để xấp xỉ thnh
phần đặc trng cho sự biến thiên mật độ phổ nh một hm
hớng

, đã sử dụng sơ đồ sai phân trung tâm bậc hai.
Tuy nhiên sơ đồ số giải phơng trình (2.1) đã chọn trong mô
hình
WAM cha thật tối u. Vấn đề l ở chỗ khi tính lan truyền
các sóng phổ hớng hẹp thì sai số tính toán thnh phần
83 84

dtdS //

trong phơng trình trở nên đáng kể do khuếch tán
số lớn. Nh vậy, so với phơng trình cân bằng viết cho mặt
phẳng, đã nảy sinh thêm nguồn các sai số, để giảm thiểu chúng
phải tăng khối lợng tính toán lên rất nhiều.
Cách giải số phơng trình cân bằng
năng lợng sóng trên
mặt cầu do V. V. Rvkin đề xuất rất đáng quan tâm. Nếu thông
thờng thì ngời ta chấp nhận rằng tại mỗi nút lới tính trên
mặt cầu số góc hớng
l

nh nhau v thể hiện dới dạng phân
đều khoảng ];[

20 , bây giờ có thể chọn cụ thể những hớng rời
rạc trên mỗi vĩ độ để đạt tới xấp xỉ nghiệm cực đại. Có thể lm
điều ny, nếu đa ra một tập thống nhất các đặc trng cho ton
bộ vùng lới sao cho cùng một số các đặc trng đi qua những
nút khác nhau về vĩ độ. Các tập hớng tại những vĩ độ khác
nhau sẽ khác nhau, nhờ đó m nghiệm sẽ đợc xác định chỉ trên
các đặc trng v không cần thiết phải nội suy khi tìm mật độ
phổ
S tuỳ thuộc vo góc . Mặc dù tính hấp dẫn của phơng
pháp ny, nó có nhợc điểm l cách chọn lới hớng cụ thể khó
tổng quát hóa trong trờng hợp hiện diện dòng chảy bất đồng
nhất v đáy không bằng phẳng.
Chúng ta lu ý một nguyên nhân sai số nữa, điển hình
nhất khi tính toán lan truyền năng lợng sóng trong các mô
hình phổ. Trong tính toán số thì phổ tần
góc liên tục của sóng
phải cho dới dạng một số lợng nhất định các thnh phần phổ.
Độ rộng hữu hạn của khoảng chia dải tần v góc sẽ dẫn đến sự
phức tạp hóa bất bình thờng mô tả truyền sóng. Trong trờng
hợp lý tởng, năng lợng nhiễu động sóng thoạt đầu giới hạn
trong một vùng no đó, theo thời gian cần phải lan truyền khá
đều đặn theo mặt đại dơng. Tuy nhiên trong phần lớn các mô
hình, mức phân giải phổ của mô hình thờng rất thô, tạo nên
cái gọi l "hiệu ứng xé lẻ". Điều ny dẫn đến chỗ phần năng
lợng chủ yếu từ vùng nhiễu động ban đầu bắt đầu lan truyền
dọc theo các hớng đợc định trớc bởi biểu diễn rời rạc phổ tại
nguồn. Trên một khoảng cách no đó kể từ nguồn, trên những
hớng đã nêu, biểu lộ nồng độ năng lợng sóng cao dị thờng,
trong khi trên các hớng khác rõ rng l thiếu hụt. Nh vậy sự

hạn chế phân giải góc của mô hình sẽ tạo ra sự bất đẳng hớng
nhân tạo trong phân bố không gian độ cao sóng. Hậu quả của
hiện tợng ny l sự lan truyền sóng lừng từ bão xa đợc dự báo
một cách không đạt.
Về sự tồn tại của vấn đề ny đã nhiều lần nhắc
tới trong các
công trình [172, 173, 217, 331, 372, 381], song cha tìm ra một
giải pháp đủ đơn giản. Thiết tởng cách thức giải quyết vấn đề
tự nhiên nhất l tăng thêm số thnh phần phổ. Theo đánh giá
của [217] độ rộng điển hình của khoảng tần )(


v khoảng góc
)( để tính sóng trên thủy vực Bắc Đại Tây Dơng phải bằng

030, v

51, . Sử dụng độ phân giải chi tiết nh vậy
trong thực tế liệu có hợp lý không?
Giải pháp thứ hai cho vấn đề khắc phục "hiệu ứng xé lẻ"
đợc
đề xuất trong công trình của các tác giả [217] cho trờng
hợp truyền sóng trên mặt phẳng. Họ đề xuất đa hai thnh
phần bổ sung vo phơng trình cân bằng năng lợng sóng cho
phép hiệu chỉnh những hiệu ứng liên quan tới sự hữu hạn của
độ rộng khoảng tần v góc khi rời rạc hóa phổ. Nhợc điểm của
các thnh phần hiệu chỉnh ny l ở chỗ phải giải một phơng
trình phức tạp hơn so với phơng trình cân bằng năng lợng
sóng truyền thống. Nó có thêm những thnh phần bổ sung với
các đạo hm riêng bậc hai v ngoi ra còn một phơng trình bổ

sung để xác định tuổi sóng không đợc xác định địa phơng. Giải
bi toán ny đòi hỏi thêm thời gian tính.
85 86

Vì những lý do đã nêu thấy cần phải xây dựng một phơng
pháp thay thế, không thua kém phơng pháp sai phân hữu hạn
về độ chính xác, đồng thời có lợi điểm về tiết kiệm tính toán.
Một phơng pháp nh vậy có thể xây dựng trên cơ sở kết hợp
phơng pháp các đặc trng với nội suy đa thức cho phép ngời
ta sử dụng để giải phơng trình (1.84) ở các điểm nút vùng lới
trên mặt cầu.
Nh vậy l ta đã cố gắng giải
quyết "vấn đề phơng pháp
luận" phải tiếp cận mô tả sóng nh thế no nh l tiếp cận tới
mô tả trờng hay nh l tiếp cận tới sự lan truyền các hạt. Nếu
nh phơng pháp các đặc trng l cách thức mô tả sự lan
truyền các chùm sóng (các hạt), thì các phơng pháp sai phân
hữu hạn v nội suy l những cách thức mô tả trờng. Theo
chúng tôi, phơng pháp số đã đề xuất sẽ nổi trội so với những
phơng pháp sai phân hữu hạn bình thờng bởi chỗ nó phù hợp
nhất với bản chất vật lý của sự truyền sóng.
Phải nhận xét rằng cách tiếp cận song đề đề xuất dới đây
cho phép khắc phục hiệu ứng "xé lẻ" m k
hông tăng nhiều thời
gian tính toán. Ngoi ra, sử dụng nó trong phơng pháp số trị
nửa Lagrange (sau đâychúng tôi sẽ gọi cách kết hợp ny l
phơng pháp nội suy
tia hay INTERPOL) sẽ cho phép dùng
các bớc thời gian lớn hơn nhiều so với bớc thời gian theo điều
kiện Levi

Courrant m không mất độ chính xác.
3.2. dẫn lập bi toán về truyền sóng để giải bằng
các phơng pháp khác nhau
Phơng trình xuất phát
. Sự tiến triển của phổ hai chiều
sóng biển ),,,,( tS



một hm số của tần số

, hớng

(ở
đây đợc đo ngợc chiều kim đồng hồ kể từ vĩ tuyến), vĩ độ ,
kinh độ

v thời gian t , đợc mô tả bằng một phơng trình, ở
mô hình
WAM [303, 381] dùng dới dạng









G

SSS
t
S
SB















cos
cos
1
(3.1)
trong đó

)(SB toán tử vi phân;

),,,,( tGG hm nguồn.
Trên cơ sở hệ (1.86)(1.90) ta viết các phơng trình chuyển động
chùm sóng dọc cung vòng tròn lớn dới dạng:
R
C
g


sin

; (3.2)



cos
cos
R
C
g

; (3.3)
R
C
g


cos
tg

, (3.4)
trong đó

g
C tốc độ nhóm;

R
bán kính Trái Đất.
Tiếp theo ta sẽ khảo sát nghiệm của hệ phơng trình
(3.1)
(3.4) cho trờng hợp truyền sóng lừng, nếu giả thiết rằng hm
nguồn G bằng không: .0)(

SB
Điều kiện đầu. Để hình thnh những điều kiện đầu gần
hiện thực của bi toán, ta đề cập tới vấn đề khai thác những số
liệu vệ tinh để cải thiện kết quả tính v dự báo sóng gió [210,
229, 305].

Giả thiết rằng thám không vệ tinh đã ghi nhận đợc sóng
với độ cao no đó ở phần bắc Bắc Hải. Lúc đầu tâm của nhiễu
động nằm ở tọa độ

72 0
0
, . Nhiễu động ban đầu đợc
gán bằng một vết không gian xấp xỉ bằng
)/exp(
max

Lr


, trong
đó
r
khoảng cách từ tâm nhiễu động ban đầu đến một điểm
cụ thể,

max
L bán kính tơng quan của nhiễu động ban đầu.
87 88

Trên các thủy vực đại dơng tham số ny đợc ớc lợng bằng
khoảng 1500 km [305]; để khai thác các số liệu vệ tính trên
thủy vực Bắc Hải có thể chấp nhận rằng 150
max

L km [229].
Xem rằng tại thời điểm đầu sóng truyền xuống phía nam.
Hớng truyền sóng tổng quát bằng

90
0
, độ cao sóng lớn ở
tâm bằng 10 m, chu kỳ trung bình bằng 15 s.
Phổ nhiễu động ban đầu xấp xỉ bằng công thức

,,,,,,, FQSFStS
0000
0 (3.5)
trong đó



),(F hm phân bố nhiễu động theo không gian;
)(
0
Q hm phân bố góc của năng lợng;

),(
0
S phổ tần góc
ban đầu của sóng. Hm phân bố không gian chấp nhận tuân
theo mối phụ thuộc hm mũ







]cos[exp,
2
00
2
2
0
F
, (3.6)
trong đó
)/( LR2


v
150L
km những hằng số mô tả mức

độ thuyên giảm nhiễu động ban đầu với khoảng cách.
Hm phân bố năng lợng theo góc chấp nhận bằng













.
,cos
2
- khi 0
2
- khi
3
8
0
00
4
0
Q (3.7)
Phổ tần số đợc mô tả bằng mối phụ thuộc

n
n
n
n
n
mnS
maxmax
exp
1

1
1
0
0
(3.8)
trong đó

0
m mômen bậc không của phổ,


max
tần số cực đại
phổ,
n
tham số đặc trng độ rộng của phổ tần số. Với sóng
lừng có thể chấp nhận
5n
[45].
Xét sự truyền nhiễu động ban đầu trên thủy vực trong thời
gian 48 giờ. Thoạt đầu bi toán sẽ giải bằng giải
tích, sau đó
giải số bằng hai phơng pháp khác nhau. Phơng pháp thứ
nhất l sơ đồ số "ngợc dòng" đã từng đợc thực hiện trong mo
hình
WAM. Phơng pháp thứ hai l phơng pháp nội suy tia.
Các sai số tính toán số sẽ đợc ớc lợng theo kết quả so sánh
với nghiệm giải tích.
Để có nghiệm giải tích của bi toán, ta thế những tơng
quan (3.2)

(3.4) vo phơng trình (3.1), phơng trình ny sau
đó có thể dẫn tới dạng bình lu (2.1), tức dới dạng đạo hm
ton phần theo thời gian. Nh đã chứng minh, trong trờng hợp
không có tác động nguồn
0

G , mật độ phổ năng lợng đợc
giữ bảo ton dọc đờng đặc trng. Nh vậy nghiệm giải tích của
phơng trình (2.1) chúng tôi đã nhận đợc ở mục trớc dới
dạng (2.14).
3.3. Khắc phục hiệu ứng "xé lẻ" nghiệm
Những hiệu chỉnh cho phơng
trình động học liên
quan tới sự gián đoạn tần
góc của biểu diễn phổ
Giải số phơng trình cân bằng năng lợng sóng (3.1) đòi hỏi
biểu diễn phổ liên tục dới dạng rời rạc hóa tần
góc. Ta ký hiệu
),(
lk
n
S l thnh phần phổ ứng với tần số
k

v góc
l
tại
bớc thời gian
n .
Năng lợng trung bình

),(
lk
S tập trung trong khoảng


),,(),,,(




















5050 5050
llkk
có thể
xác định theo kết quả lấy tích phân phổ liên tục trong khoảng

đã cho
89 90














2
2
2
2

11
l
l
k
k
ddSS
lk
,, . (3.9)
Cách truyền thống để ớc lợng tích phân

(3.9) l sử dụng
phơng pháp hình chữ nhật hay hình thang [170, 331]. Tuy
nhiên, nếu giả thiết rằng hm
S l hm liên tục v khả vi hai
lần, thì có thể sử dụng một thuật toán chính xác hơn. Để ớc
lợng tích phân (3.9) có thể sử dụng phép nội suy bình phơng
kép, trong đó lấy các giá trị hm tại các nút
11





kkk
,, v
1l1



ll
,, . Công thức lập phơng của ớc lợng năng lợng có
thể nhận đợc bằng cách nhân các công thức bình phơng của
từng biến [93]






1

1
ji
jlikijlk
SbaS
,
,, , (3.10)
trong đó

jj
ba , những hệ số nội suy: 24/1
1111





bbaa ;
12/11
00

ba . Năng lợng trung bình tập trung trong khoảng
ny không chỉ chứa thnh phần
),(
lk
S


, m cả những giá trị
phổ của các thnh phần kế cận.
Bằng cách tơng tự phơng trình cân bằng năng lợng sóng

(3.1) có thể đợ
c biến đổi để mô tả sự tiến triển của năng lợng
trung bình, có tính tới độ phân giải hữu hạn về tần


v về
góc
. Muốn vậy, ta áp dụng toán tử tích phân kiểu (3.9) vo
phơng trình (3.1).
Nếu sử dụng phép khai triển các hm lợng giác đối với
những giá trị nhỏ
1 :









; sin61
21
4
l
2
2
1

O
lll
/
cos/coscos


(3.11 a)










,/
sin/sinsin
4
l
2
2
1
cos61
21

O
lll


(3.11 b)
đồng thời lu ý rằng đại lợng
tốc độ nhóm có mặt trong các
phơng trình (3.1)
(3.4) tỉ lệ nghịch với tần số
g
C /1 v
thoả mãn biểu thức khai triển

432
11
1
1 O
ii
, (3.12)
thì phơng trình (3.1) có thể biểu diễn dới dạng

S
SS
R
C
SSS
R
C
SS
S
t

S
g
g
tg
2121
211
2
2
cos
cos
cos
sin
cos
sin
cos
//
cos/
cos








0
22
, (3.13)
trong đó 112 112

22
/)/(;/)( .
Khi rút ra phơng trình (3.13) đã giả thiết rằng

. Hai
số hạng đầu (số hạng thứ hai nằm trong cặp dấu ngoặc vuông
thứ nhất) trong phơng trình (3.13) tơng tự nh các số hạng
tơng ứng của phơng trình cân bằng năng lợng xuất phát
(3.1). Những số hạng ny có thêm các thnh phần hiệu chỉnh
với bậc

v

mô tả những biến thiên tốc độ lan truyền các
thnh phần phổ liên quan tới tính gián đoạn tần số v góc. Lý
thú nhất l các số hạng thứ ba v thứ t của phơng trình
91 92

(3.13) (những số hạng nằm trong các cặp dấu ngoặc vuông).
Chúng cung cấp hiệu chỉnh liên quan tới tính hữu hạn của phân
giải phổ theo góc v theo tần số. Những số hạng ny chứa các
đạo hm theo các biến không gian, góc v tần số. Chúng tỉ lệ với

, v tốc độ nhóm
g
C . Những số hạng cuối cùng trong
phơng trình (3.13) l những hiệu chỉnh bậc cao hơn
)(
2
v

)(
2
.
Những số hạng hiệu chỉnh của phơng trình (3.13) có thể
so
sánh với một biểu thức tơng tự đã nhận đợc trong công trình
[217] cho trờng hợp truyền sóng trên mặt phẳng. Số hạng hiệu
chỉnh nhận đợc trong công trình đó phụ thuộc vo "tuổi sóng",
một thứ không xác định địa phơng, v để xác định nó phải giải
một phơng trình bổ sung. Ưu việt chính của số hạng hiệu
chỉnh (3.13) nhận đợc trong công trình ny l ở chỗ nó xác
định địa phơng đối với lan truyền sóng trên mặt cầu. Trên mặt
phẳng phơng trình động học có thể biểu diễn tơng tự

x
S
y
S
C
y
S
C
x
S
C
t
S
ggygx
sincos



0

22















y
S
x
S
C
g
sincos
, (3.14)
trong đó


cos/
ggx
CC 21

v








sin/
ggy
CC 21
l
những thnh phần của tốc độ nhóm. Nh vậy những số hạng bổ
sung trong (3.13) v (3.14) phụ thuộc vo độ phân giải tần
góc,
tốc độ góc, độ bất đồng nhất không gian v góc của trờng sóng.
Khảo sát nghiệm riêng. Sự xuất hiện những số hạng bổ
sung ở vế trái phơng
trình cân bằng năng lợng sóng (3.13)
trong các mô hình sóng gió sẽ dẫn tới tăng đáng kể thời gian
tính khi giải số. Tuy nhiên trong một số trờng hợp có thể đơn
giản hóa mmọt cách đáng kể bi toán ny.

Nhận xét rằng ảnh hởng mạnh của "hiệu ứng xé lẻ" trong
các mô hình phổ sóng nghiệp vụ hiện hnh chủ yếu l do độ
phân giải góc thô (thờng sử dungj 12 hớng) [170, 172, 173,
217, 331]; độ gián đoạn phổ về tần số ở đây đóng vai trò ít quan
trọng hơn
*

. Vì lý do đó chúng tôi giới hạn chỉ xét hiệu ứng gián
đoạn góc, nhng những lập luận của chúng tôi cũng hon ton
có thể áp dụng cho cả trờng hợp khi cần tính tới gián đoạn tần.
Giả sử rằng
L
l quy mô không gian điển hình của lan
truyền sóng ở một vùng no đó. Với đại dơng
L
có bậc một vi
ngn km, với các biển thuộc thèm lục địa nh Bắc Hải
L
có bậc
một vi trăm km. Trên cơ sở kết quả của công trình [217] có thể
chứng minh rằng trong (3.13)













SRSS
L
1 sin

cos
cos
. (3.15)
Đối với quy mô không gian đặc trng của biển thì thừa số
/L)(R
l đại lợng bậc 10, còn với đại dơng nó có bậc đơn vị.
Khi ta loại trừ không xét những thủy vực cận cực thì có thể
chấp
nhận rằng số hạng hiệu chỉnh nằm trong cặp dấu ngoặc
vuông thứ hai ở phơng trình (3.13) sẽ có bậc lớn hơn những số
hạng hiệu chỉnh còn lại. Nếu để lại hiệu chỉnh chính ở phơng
trình (3.13), ta viết lại nó dới dạng

2
2
1

S
R
C

SS
S
t
S
g


~
~
cos
~
cos

(3.16)
trong đó

*
Sự khẳng định định lợng về điều ny có thể xuất phát từ ớc lợng thực tế
các tham số

v

. Thí dụ, với mô hình WAM 6/




0,5, còn
10,/
, vì vậy



.
93 94



sin/ tg
L
RA ;

21 /
~



;

21 /
~



;

21 /
~



.
Nh đã thấy từ phơng
trình (3.16), vế trái của nó biểu
diễn dới dạng toán tử khuếch tán thông thờng mô tả sự "trao
đổi năng lợng" yếu giữa các thnh phần góc kế cận nhau.
Tham số
A phụ thuộc vo vĩ độ

v góc hớng truyền sóng

.

Độ lớn của số hạng hiệu chỉnh trong (3.16) đợc xác định bởi hai
nhân tố. Nhân tố thứ nhất trong số đó phụ thuộc vo độ gián
đoạn phổ về góc, nhân tố thứ hai đợc xác định bởi những hiệu
ứng truyền sóng trên mặt cầu. Trị số của tham số
A giảm khi
truyền sóng lên phía bắc ở Bắc bán cầu v tăng khi truyền sóng
theo hớng ngợc lại. Mối phụ thuộc ny trở nên đáng kể hơn
khi xét truyền sóng trên những khoảng cách ton cầu.
Trong trờng hợp chung vấn đề giải phơng trình (3.16) trở
thnh gắn liền
với ớc lợng đúng đắn tham số
A . Nếu tham số
ny có trị số lớn sẽ lm trơn góc mạnh mẽ, gây nên sự đẳng
hớng dị thờng của phân bố năng lợng theo góc, nếu trị số
tham số ny quá bé thì không khắc phục đợc các hiệu ứng "xé
lẻ nghiệm".
Để có đợc k
hái niệm tờng minh hơn về đặc điểm diễn
biến của nghiệm phơng trình (3.16) ta xét phơng trình
khuếch tán thông thờng, nhng với vế phải đơn giản hóa
/L)( RA
2
2





SS
(3.17)

trong đó

RCA
g
12
2
/
. (3.18)
Nghiệm đơn của phơng trình (3.17),
tuần hon theo biến

, có thể viết dới dạng







2
mimmBS
m
exp, . (3.19)
ở đây

)(mB hm của tham số m , đợc xác định bằng
những điều kiện đầu của bi toán. Nghiệm phơng trình (3.19)
cùng với thời gian sẽ tiến tới phổ đẳng hớng

2
0
0
2
1
dSmBS ,,
lim
. (3.20)
Thời gian thuyên giảm điển hình của quá trình ớc lợng
bằng




gTAmRCAmRm
g
22222
48121 )(/)(/)/( (3.21)
trong đó

T
chu kỳ sóng trung bình. Vì trong thực tế phổ bất
đẳng hớng ban đầu của sóng không cần phải trở thnh đẳng
hớng hon ton, nên có thể giả thiết rằng sự đúng dắn trong
việc sử dụng gần đúng (3.16) bị hạn chế bởi điều kiện

max
t


, (3.22)
trong đó

max
t thời gian truyền sóng cực đại. Từ đây có thể ớc
lợng giới hạn trên của đại lợng
A


max
)(/ gTtmRA
22
48 . (3.23)
Thí dụ, với chu kỳ sóng trung bình 10 s, phân giải góc
12
/ ,
5

m
v thời gian phát triển sóng cực đại 36 giờ, ta
tìm đợc
2
10A
. Trị số chính xác hơn của tham số ny có thể
tìm theo kết quả thí nghiệm số.
Thuật giải số. Hiện thực hóa số đối với việc hiệu chỉnh các

hiệu ứng hữu hạn phân giải góc m chúng tôi đề xuất có thể
diễn đạt bằng phép gần đúng sai phân hữu hạn đơn giản










11
1
21



lk
n
lk
n
lk
n
lk
n
vSSvvSS ,,,,
(3.24)
trong đó

n chỉ số bớc thời gian; RtAC
g
12/



v /LRA
95 96

l những tham số không thứ nguyên phụ thuộc vo các quy mô
đặc trng mô tả sóng. Nhờ tơng quan (3.21) có thể chứng minh
rằng
không phụ thuộc hiện vo độ phân giải góc


. Ta nhận
thấy rằng phơng trình (3.16) mô tả sự l trơn góc của phổ sóng
hay sự "trao đổi năng lợng" yếu giữa các thnh phần góc diễn
ra trên từng bớc truyền sóng.
Một trong những phơng pháp kiểm tra thuật giải
l kiểm
tra sự bảo ton năng lợng ton phần. Để đánh giá biến thiên
năng lợng cho hai hớng, ta lấy tích phân số đối với phổ theo
tất cả các góc

L
l
lk
n
L
l
lk
n
vS
L
S
L
1
1
1
1
22
),(),(


),(),()21(
1


lk
n

lk
n
vSSv (3.25)
Vì phổ
),(
lk
S


l hm tuần hon của các hớng
l

, nên có
thể chứng minh rằng toán tử (3.25) bảo tồn năng lợng ton
phần, do







L
l
lk
n
L
l
lk
n

S
L
S
L
11
1
22
),(),(
. (3.26)
3.4. Phơng pháp nội suy tia (INTERPOL)
Với t cách l một sơ đồ số thay thế cho sơ đồ đợc dùng
trong mô hình
WAM, ta xét một sơ đồ số dựa trên phơng pháp
nửa Lagrange [99, 170, 172, 173] v chúng tôi sửa đổi để tính
truyền sóng trên mặt cầu. Sau đây chúng tôi sẽ gọi sự kết hợp
sơ đồ ny với cách lm trơn góc đã mô tả ở trên l phơng pháp
nội suy
tia (INTERPOL).
Trong phơng pháp số trị nửa Lagrange phơng trình cân
bằng năng lợng sóng đợc giải dới dạng bình lu (2.1) đối với
những thnh
phần phổ truyền dọc theo các đờng đặc trng
(các phơng trình (3.2)
(3.4)). Vậy trong trờng hợp đơn giản
nhất truyền sóng lừng, tực khi hm nguồn bằng không
0G ,
năng lợng đợc giữ nguyên không đổi dọc theo đờng đặc
trng. Nảy sinh sự cần thiết xác định giá trị của phổ tại điểm
đầu của đờng đặc trng.
Xét một trong những nút lới

),(
ji


v chùm sóng với tần
số
k
v hớng truyền
l

. Tọa độ điểm đầu ),(
00
ji
m chùm
sóng nằm tại đó ở thời điểm trớc, có thể nhận đợc nếu sử
dụng phơng trình (3.2)
(3.4). Điểm ny sẽ không trung với nút
của mạng lới đều. Vì cần phải xác định giá trị đầu của phổ
0
S
ở điểm
),(
00
ji
, nên ta sẽ dùng nội suy đa thức

M
p
L
q
lk
n
qfjpfipqlkij
SaS
11
100
),(),(
)(),(
(3.27)
trong đó
),,,,,,( taa
o
lkpqpq
l những hệ số nội suy;
)( pf v

)(qf các hm giá trị số nguyên;

),(
lk
n
pq
S
1
giá trị
phổ tại nút

),(
qp


ở bớc thời gian trớc
1

n
tt . Trong trờng
hợp nội suy tuyến tính kép, nội suy ny l tối u trong lớp nội
suy đa thức đối với nghiệm bi toán đang xét [170], ta sử dụng
2

L
M
.
Có một sự phức tạp bổ sung trong vấn đề nội suy đó l do
tình huống hớng truyền sóng

không phải l hằng số dọc theo
đờng đặc trng khi truyền sóng trên mặt cầu. Từ tơng quan
(2.8) biến thiên góc

dọc đặc trng có thể viết dới dạng
00
ilil
coscoscoscos . (3.28)
V một lần nữa góc đầu
0
l

sẽ lại không trùng với giá trị các
nút đợc cho bởi biểu diễn phổ tại điểm nút. Mật độ phổ ứng với
97 98

góc
0
l
có thể xấp xỉ bằng một đa thức. Giả sử rằng giá trị đầu
của góc phân bố tại điểm nút
),(
ji

l
l

. Từ tơng quan (2.8)
suy ra rằng góc
chỉ phụ thuộc vo vĩ độ

v không phụ
thuộc vo tần số

v kinh độ

. Vì vậy đối với tất cả các điểm
nút nằm trên vĩ độ
j
, góc phân bố đợc biết v bằng
j

, v giá
trị tơng ứng của phổ cũng đợc xác định. Đối với những nút
nằm trên vĩ độ khác, thí dụ
1

j
, góc phân bố tơng đơng có
thể nhận đợc từ tơng quan (2.8).
Để xác định giá trị phổ ứng với góc
0
l
có thể sử dụng nội suy




1
1
11
0
11
m
mljimlji
SaS )()(
,,
(3.29)
trong đó

m
a những hệ số nội suy.

Trong đới lặng sóng, đới ny
có thể xuất hiện trên mặt cầu
(trong trờng hợp ny về hình thức
1
1
0


)(cos
jl
), thì giá trị
của thnh phần phổ tơng ứng chấp nhận bằng không.
Tại bớc tiếp sau của phơng pháp nội suy
tia sẽ sử dụng
toán tử l trơn (3.25). Các điều kiện biên trong phơng pháp nội
suy
tia đợc hiện thực hóa số theo cách sau. Nếu phổ ở nút lới
thuộc đất liền, thì thnh phần phổ tơng ứng bằng không trong
(3.27).
3.5. So sánh các kết quả tính truyền năng lợng
sóng theo sơ đồ số của mô hình WAM v theo
phơng pháp nội suy
tia
Lới số v xác định các đại lợng tích phân của các kết quả
số. Để tính số trị sự lan truyền sóng lừng trên mặt cầu lới đợc
chọn sao cho nó trải di theo vĩ độ từ
12 đến 12 v kinh độ từ
51 đến 75
. Lới gồm 2549 nút với bớc 0,5 theo vĩ độ v 1,0
theo kinh độ, tức khoảng cách giữa hai điểm gần nhất ở tâm

miền lới bằng khoảng 55 km. Miền ny có thể xem nh dạng
đơn giản hóa của thủy vực hai biển Na Uy v Bắc Hải. Hình
dạng bờ đơn giản hóa cho phép có đợc nghiệm giải tích chính
xác của bi toán.
Bi
toán truyền sóng từ nhiễu động ban đầu (3.5)(3.8)
đợc giải tuần tự bằng giải tích v sử dụng sơ đồ số của mô hình
WAM v phơng pháp INTERPOL. Ta sẽ so sánh những kết
quả tính của các phơng pháp bằng cách lập những đại lợng
tích phân liệt kê dới đây:
Trị số trung bình độ cao sóng ),,( th


xác định bằng






ddtSth 2
2
,,,,,, . (3.30)
Trị số quy chuẩn tổng năng lợng trờng sóng lan truyền
xác định bằng
)0(/)()(



tEtEt , (3.31)

trong đó



ddddRtStE
2
cos,,,,)( . (3.32)
Trị số tọa độ vĩ độ trên khoảng di chuyển tâm vùng sóng
với thời gian (di chuyển tọa độ "tâm khối lợng") viết dới dạng

ddddRtSt
tE
t
1
2
cos),,,,()(
)(
)(
(3.33)
Ngoi ra, ta sẽ ớc lợng mức khuếch tán năng lợng trong
k
hông gian theo thời gian. Tham số
)(t

đặc trng cho giá trị
ny sẽ đợc xác định nh l căn bậc hai của diện tích mặt chứa
các sóng với độ cao không nhỏ hơn 1/3 giá trị cực đại tại thời
điểm đang xét
t

)0(/)( TtTt , (3.34)
99 100

trong đó


d d
2
cos,,)( RtFtT , (3.35)
với


),,( tF hm Hevisai








ththFtF
max
,,),,(
3
1
. (3.36)
Sai số bình phơng trung bình (
RMS) tính toán độ cáo sóng

trên thủy vực cũng rất có ý nghĩa v cần đợc tính toán:




ji
ji
NtERRtRMS
,
/,,)(
2
, (3.37)
trong đó

N tổng số điểm tính, còn tham số
E
RR l sai số
chuẩn độ cao sóng
)(
),,(),,(
)(
th
thth
tERR
max
anal
analmodel

, (3.38)
trong đó
)(th
max
anal
độ cao sóng cực đại trên ton thuỷ vực tại
thời điểm đang xét, tính bằng giải tích.
Các kết quả số trị. Phân bố không gian ban đầu của độ
cao sóng trình by trên hình 3.1 a. Kết quả tính độ cao sóng sau
24 giờ lan truyền bằng nghiệm giải tích, bằng sơ đồ số của mô
hình
WAM
*
v phơng pháp INTERPOL tuần tự thể hiện trên
các hình 3.1 b, c, d. Trong các tính toán số đã sử dụng 12 hớng,
bớc thời gian bằng 120 ph. Phân bố không gian của sai số quy
chuẩn (bản đồ sai số)
ERR (theo (3.38)) tại thời điểm 24

t giờ
thể hiện trên hình 3.2. Các hình 3.1c, d cho ta khái niệm về đặc
điểm diễn biến của nghiệm số trị. Các kết quả tính theo sơ đồ số
thứ nhất v các kết quả của phơng pháp
INTERPOL, ở mức độ

*
Tính toán theo mô hình WAM do Janette Onblee cộng tác viên Viện Khí

tợng Hong gia H Lan (
KNMI) thực hiện.
ít hơn, cho thấy một xu thế tập trung năng lợng sóng dọc theo
những hớng cơ sở đợc cho từ ban đầu trớc bởi biểu diễn phổ
ở vùng nhiều động ban đầu. Độ cao sóng trên các hớng đó tỏ ra
bị tăng cao, còn trên các hớng khác bị thấp xuống. Hiệu ứng
ny có tính chất hình học thuần tuý, bị gây nên bởi độ phân giải
góc thô của mô hình v l biểu hiện của hiệu ứng "xé lẻ
nghiệm".

Hình 3.1. Phân bố không gian độ cao sóng tại thời điểm đầu
(a) v
sau 24 giờ tính theo lý thuyết (b), theo mô hình WAM (c) v phơng
pháp INTERPOL (d)
Hình dạng phân bố không gia độ cao sóng trên thủy vực
đợc quy định từ trớc bởi biểu diễn phổ rời rạc tại nguồn nhiễu
động. Trong trờng hợp thể hiện trên hình 3.1 hớng truyền
sóng tổng quát chính xác trùng với hớng góc (hớng cơ sở) đợc
101 102

cho bởi biểu diễn rời rạc tại nguồn nhiễu. đã thực hiện một loạt
thí nghiệm số, trong đó hớng truyền dịch đi một góc
2/


so
với hớng cơ sở đã cho tại nguồn. Nh ta thấy trên hình 3.1,
phần năng lợng cơ bản trong nghiệm số trị tập trung dọc theo
một trong những hớng ny
hớng gần với hớng truyền sóng

tổng quát. Nếu hớng ny chính xác nằm giữa hai hớng cơ sở
của mô hình, thì phân bố không gian độ cao sóng phân rã thnh
cấu trúc hai bớu. Tuy nhiên, mức độ bất đẳng hớng v trị số
sai số tính độ cao sóng trong trờng hợp ny không khác mấy so
với trờng hợp đã biểu diễn trên hình 3.1.
Khác biệt tơng đối giữa các kết quả
số của mô hình WAM,
phơng pháp
INTERPOL v nghiệm giải tích đợc thể hiện
định lợng trên hình 3.2. Mức bất đảng hớng cao gây bởi sự
phân giải góc hạn chế (xem các hình 3.1 b
d) thể hiện rõ nét
trong phân bố sai số quy chuẩn. Điều ny đặc biệt rõ nét trong
trờng hợp sơ đồ số của mô hình
WAM 12 hớng đối với thời
điểm
24t giờ, khi đó giá trị số trị bị cao lên 40% dọc các hớng
cơ sở v bị thấp đi 35% so với các hớng khác. Những sai số ny
tăng dần theo thời gian, đặc biệt ở hớng truyền sóng tổng quát:
kết quả số bị tăng lên +25% tại
12

t giờ, v tại một số điểm sai
số đạt tới 90% sau
48t
giờ. ở các hớng bên giá trị số trị bị
giảm đi
(1520%) tại
12t
giờ v tới 40% tại

48

t
giờ truyền
sóng.
Tăng số hớng trong sơ đồ số
của mô hình WAM đến lên 24
sẽ giảm mức sai số khoảng 2 lần (xem hình 3.2 b). Các kết quả
tính theo phơng pháp nội suy
tia dùng 12 hớng phù hợp khá
hơn với nghiệm giải tích (xem hình 3.2c). Độ chính xác của nó
xấp xỉ tơng đơng với kết quả của mô hình
WAM 24 hớng.
Phơng pháp
INTERPOL 24 hớng giảm sai số tính xuống
khoảng 2 lần.

Hình 3.2. Phân bố không gian sai số ERR (phần trăm) tại thời điểm 24 giờ:
theo mô hình WAM 12 hớng, bớc thời gian 20 ph (a)
theo mô hình WAM 24 hớng, bớc thời gian 20 ph (b)
theo phơng pháp INTERPOL 12 hớng, bớc thời gian 20 ph (c)
theo phơng pháp INTERPOL, 12 hớng, bớc thời gian 6 giờ (d)
Nh đã nhận xét ở trên, bớc thời gian trong phơng pháp
INTERPOL không bị hạn chế bởi điều kiện CourantLevis. Độ
chính xác của nó thậm chí còn có thể cải thiện bằng cách sử
dụng các bớc thời gian lớn. Có thể chứng tỏ điều ny nếu so
sánh mức sai số của phơng pháp
INTERPOL với các bớc 20
ph v 6 giờ (xem các hình 3.2 c, d). Dới đây sẽ giải thích về kết
quả ny.

Những tham số tích phân của nghiệm: tiến triển thời gian
của tổng năng lợng trờng sóng, vị trí tâm của nó, mức độ
103 104

khuếch tán năng lợng v sai số bình phơng trung bình của
nghiệm số trị (các biểu thức (3.32)
(3.34), (3.37)) đợc biểu diễn
trên hình 3.3. Các kết quả chứng tỏ rằng cả hai sơ đồ số
WAM
v
INTERPOL có khả năng tái hiện đặc điểm diễn biến của hai
tham số đầu tiên trong số các tham số đã nêu một cách khá tốt
(xem hình 3.3 a, b). Các tính toán dựa theo phơng pháp
INTERPOL có phơng sai ít nhiều lớn hơn so với kết quả của
mô hình
WAM. Mức năng lợng sóng tổng cộng nhận đợc theo
mô hình thứ nhất trở thnh nhỏ hơn so với mô hình thứ hai.
Phân bố năng lợng trên miền lới khá phù hợp với nghiệm
chính xác, điều ny có thể thấy rõ theo diễn biến của hm
khuếch tán năng lợng
)(t (xem hình 3.3 c).
Đáng chú ý nhất l đặc điểm diễn biến của sai số
bình
phơng trung bình
RMS (xem hình 3.3d). Tại những giai đoạn
đầu truyền sóng (trớc 24 giờ) xảy ra sự tăng đơn điệu sai số
tính toán theo tất cả các phơng pháp số. Tuy nhiên sau đó sai
số bắt đầu giảm, liên quan tới sự di chuyển nhiễu động ra ngoi
miền lới số trị. Sai số bình phơng trung bình (theo ton miền)
của mô hình

WAM 12 hớng đạt 8% sau 12 giờ v 20% sau 40
giờ sau khi bắt đầu truyền nhiễu động. Xê dịch các hớng cơ sở
đi một góc
2/


thực tế dẫn tới cùng sai số ny. Tăng số hớng
gấp hai lần lm giảm mức sai số khoảng 2 lần đối với giai đoạn
truyền sóng giữa, mặc dù ở giai đoạn đầu sai số vẫn giữ ở mức
cũ. Phơng pháp nội suy
tia 12 dùng hớng v cùng bớc thời
gian 20 ph dẫn tới sai số 5% tại thời gian truyền sóng
12

t
giờ
v 12,5% tại
40

t
giờ. Song tăng bớc thời gian lên 3 giờ cho
sai số 3% tại
12

t
giờ v 11% tại
40

t
giờ. Bớc thời gian 6 giờ

dẫn tới sai số 10% tại
40t
giờ. Nh vậy sai số tính toán giảm
nếu tăng bớc thời gian.

Hình 3.3. Biến trình thời gian các tham số tích phân của nghiệm số trị
a) tổng năng lợng quy chuẩn (t); b) tọa độ vĩ độ trên dịch chuyển tâm miền
nhiễu <
(t)>; c) mức khuếch tán năng lợng theo không gian (t); d) sai số
bình phơng trung bình độ cao sóng tính toán RMS(t)
1
nghiệm giải tích; 2 mô hình WAM 12 hớng, bớc thời gian 20 ph; 3 mô
hình WAM 24 hớng, bớc thời gian 20 ph; 4
mo hình WAM 12 hớng, bớc
thời gian 20 ph, xê dịch các hớng cơ sở


/2; 5 phơng pháp INTERPOL 12
hớng, bớc thòi gian 20 ph; 6
phơng pháp INTERPOL 12 hớng, bớc
thòi gian 3 giờ; 7
phơng pháp INTERPOL 12 hớng, bớc thòi gian 6 giờ.
Để nghiên cứu sự phụ thuộc của kết quả tính vo hình dáng
không gian của nhiễu động ban đầu đã lặp lại tính toán cho một
loạt hm v mức thuyên giảm xa dần tâm nhiễu. Thấy rằng với
miền lới đã cho, hình dáng của nhiễu ban đầu không ảnh
hởng đáng kể tới sự phân bố v tiến triển độ cao sóng. Về định
tính, những chi tiết phân bố không gian độ cao sóng v diễn
biến của các tham số tích phân l tơng tự nh nhau đối với tất
cả các dạng nhiễu ban đầu khác nhau. Tuy nhiên, về định

105 106

lợng, sai số địa phơng v mức bất đẳng hớng không gian của
độ cao sóng tăng theo mức độ giảm dần độ dn trải không gian
của nhiễu ban đầu.
3.6. Tích phân số hm nguồn trong phơng trình
cân bằng năng lợng sóng
Tổng quan vấn đề
. ở mục trớc đã xét nghiệm giải tích
của phơng trình cân bằng năng lợng sóng trong trờng hợp
hm nguồn chấp nhận bằng không. Đã chứng minh rằng
phơng pháp nội suy
tia l một phơng pháp số khá hiệu quả.
Nhng trong thực tế, khi tính sóng theo trờng gió, ngời ta
quan tâm giải phơng trình với hm nguồn không bằng không
hình thnh nên phổ sóng gió dới tác động của những cơ chế vật
lý khác nhau.
Giải số phơng trình cân bằng năng
lợng sóng cho phép
tách thnh hai phần: tính toán số trị sự phân bố của năng lợng
sóng v tích phân hm nguồn. Trong mô hình hóa toán học về
sóng gió, việc giải quyết nhiệm vụ thứ nhất gắn liền không chỉ
với bản thân việc hiện thực hóa số trị, m với cả bản chất vật lý
của quá trình tạo sóng đợc quan niệm trong mô hình. Nh H.
Tolman [372] đã cho thấy, độ chính xác thấp của nghiệm số trị
có thể dẫn đến giải thích sai về các quá trình vật lý hình thnh
phổ sóng gió.
Hiện nay, để tích phân số vế phải của phơng trình cân
bằng năng lợng sóng đang sử dụng nhiều sơ đồ số hiện v ẩn,
bậc một cũng nh

bậc hai [170, 331], kể cả những sơ đồ Runge-
Kutta. Ta lu ý rằng sử dụng những sơ đồ số bậc cao sẽ trở
thnh không hiệu quả trong các mô hình sóng gió, vì tính cồng
kềnh thực hiện tính toán sóng theo các trờng gió.
Vấn đề còn ở chỗ các vùng khác nhau của phổ sóng gió tiến
triển với tốc độ khác nhau, tốc độ ny về phía mình lại phụ
thuộc vo
độ lớn tốc độ gió v tần số sóng. Điều đó dẫn đến chỗ ở
vùng phổ cao tần các quá trình hình thnh phổ diễn ra khá
nhanh. Để tính toán số trị với chúng đòi hỏi sử dụng bớc thời
gian khá bé, lm tăng số bớc v khối lợng tính toán.
Trong các mô hình số khác nhau thì vấn đề ny đợc giải
quyết một cách khác nhau. Đại đa số trờng hợp, về
sự tăng
trởng phổ ở vùng tần cao ngời ta đề ra những giới hạn nhất
định đối với độ lớn của mật độ phổ, đòi hỏi lm sao để nó không
vợt trội những giá trị của khoảng cân bằng [331].
Trong sơ đồ số của mô hình
WAM [303, 365] phổ đợc chia
ra thnh hai vùng: vùng dự báo, bao gồm vùng cực đại phổ v
vùng tần thấp của nó, v vùng chẩn đoán mô tả phần đuôi tần
cao của phổ. Ngời ta đề ra hai điều kiện đối với độ lớn phổ ở
vùng hai. Điều kiện thứ nhất l: Bắt đầu từ một tần số no đó
mật độ phổ năng lợng đợc cho bằng mối phụ thuộc
)(S
5
.
Ngoi ra, đòi hỏi tốc độ tiến triển mật độ phổ năng lợng sóng
(hay hm nguồn) không vợt trội một giá trị no đó, giá trị ny
trong khi hiện thực số trị mô hình

WAM đợc biểu diễn bằng




max
,min),,(),,( GGSGSG sign , (3.39)
trong đó
54
10620

fG ,
max
,

f tần số tuần hon

2/f .
Nh G. Burgers [227] đã nhận xét, đa ra những hạn chế
nh
trên chứng tỏ về sự mô tả cha thoả đáng quá trình tiêu
tán năng lợng sóng v về tính kém hiệu lực của thuật giải số
trị với phơng trình cân bằng năng lợng sóng. Trong thực hiện
số của mô hình
WAM, khi sử dụng những hạn chế ny đối với
phổ v hm nguồn đã xuất hiện câu hỏi đề về đặc điểm ảnh
hởng của những hạn chế đó lên phổ: liệu có phá vỡ tính chất
107 108

thụ động của năng lợng sóng không, liệu những hạn chế đó có

trở thnh nguồn bổ sung hay nguồn tiêu năng lợng không?
Ta lu ý một điều quan trọng nữa, liên
quan tới tính toán
sóng gió thực tế. Khi thực hiện những tính toán chẩn đoán v
dự báo sóng gió thì thông tin ban đầu về tốc độ gió đợc đa vo
mô hình với một hạn thời gian no đó, thờng trùng với hạn
synop. Hạn ny có thể khác nhau tuỳ thuộc vo một loạt hon
cảnh, thí dụ, tuỳ thuộc vo khoảng thời gian m thông tin đợc
truyền từ những trung tâm thời tiết hạn vừa hay khoảng thời
gian lập bản đồ synop. Thờng khoảng thời gian ny bằng 12
giờ hay 6 giờ, trờng hợp thuận lợi nhất
3 giờ.
Vì vậy, một sơ đồ tối u nhất l
sơ đồ số giải phơng trình
cân bằng năng lợng sóng trong đó với số lần lặp nhỏ nhất nhận
đợc nghiệm số trị chính xác nhất của bi toán cho thời điểm
trùng với hạn synop, tức vo thời điểm kết xuất kết quả tính các
yếu tố trờng sóng. Ta hình dung rằng một sơ đồ số "lý tởng"
phải đa ra giá trị tính toán chính xác nhất vo hạn synop
tơng ứng sau một lần lặp số trị. Tuy nhiên điều ny chắc gì đã
đạt đợc, hoặc do nguyên nhân bất ổn định số, hoặc do độ chính
xác tính toán cha đủ. Có lẽ l ở đây cần sự thoả hiệp giữa bớc
thời gian nhập thông tin ban đầu, số luợng bớc lặp số trị v trị
số sai số tính toán.
Những sơ đồ số tích phân hm
nguồn của phơng trình cân
bằng năng lợng sóng. Nhằm mục đích khảo sát độ chính xác v
tính tối u của các sơ đồ số khác nhau, chúng tôi sẽ dẫn ra
những sơ đồ số thờng dùng để tích phân hm nguồn của
phơng trình cân bằng năng lợng trong các mô hình toán sóng

gió.
ở đây có thể phân thnh các sơ đồ: hiện, nửa ẩn v ẩn.
Các sơ đồ hiện. Với t cách các sơ đồ hiện, xét hai sơ đồ số
đơn giản nhất sau đây.
Sơ đồ hiện Euler bậc nhất viết dới dạng
),(
1 nnnn
UStGSS



, (3.40)
trong đó

1
,
nn
SS giá trị mật độ phổ năng lợng tuần tự tại
bớc thời gian
n v 1

n ;


t bớc thời gian;

G hm nguồn,
tính theo giá trị mật độ phổ
n
S v tốc độ gió

n
U

.
Sơ đồ hiện hai bớc của Adams (phơng pháp dự báo
sửa
sai) đợc tiến hnh thnh hai bớc tuần tự:
),(
)1(
1
nnn
n
UStGSS



; (3.41a)


),(),(
2
1
1
)1(
1
)2(
1

n
n
nnn
n
USGUSGtSS


, (3.41b)
trong đó


)1(
1
n
S giá trị đầu tiên của mật độ phổ (dự báo), còn


)2(
1
n
S giá trị chính xác hóa của nó (sửa sai) tại bớc thời gian
1n . ở đây trù tính rằng hm nguồn
n
G
có thể phụ thuộc vo tốc
độ gió
U

, có những trị số khác nhau vo các thời điểm n v 1n .
Sơ đồ nửa ẩn của mô hình WAM. Với t cách các sơ đồ

nửa ẩn chúng tôi dẫn sơ đồ số đợc đề xuất trong mô hình
WAM
[303, 365]. Sơ đồ ny dựa trên sử dụng công thức hình thang ẩn

tUSGUSGSS
nnnnnn


),(),(
2
1
111
. (3.42)
Để có đại lợng
1n
S dới dạng hiện phải giải phơng trình




tUSGtStUSGS
nnnnnn



2
1
2
1
111

),(),(


, (3.43)
điều ny có thể thực hiện chỉ trong một số
trờng hợp đơn giản
nhất, vì hm nguồn


),(
11 nn
USG

có thể phụ thuộc vo mật độ
phổ
1n
S một cách khá phức tạp.
Trong sơ đồ nửa ẩn do các tác giả mô hình
WAM đề xuất để
giải phơng trình (3.43) theo
1n
S hm nguồn
1n
G đợc khai
109 110

triển thnh chuỗi Taylor

1

S
S
G
GG
n
nn
(3.44)
Đạo hm phiếm hm trong (3.44) đợc biểu diễn dới dạng
ma trận đờng chéo
n

v không đờng chéo
n
N

nn
n
N
S
G



. (3.45)
Thế (3.45) vo (3.43) sẽ đa đến biểu thức sau đây:

tUSGUSGStUNU
nnnnnnnn









),(),(
2
1
)()(
2
1
1
111

(3.46)
trong đó
nn
SSS


1
.
Nh các tác giả mô hình
WAM [303, 365] khẳng định, phần

đóng góp của các số hạng không đờng chéo trong (3.46) tỏ ra
khá nhỏ để có thể bỏ qua chúng.
Nh vậy biến thiên của mật độ phổ trên bớc thời gian
sẽ
bằng

1
11
)(
2
1
1),(),(
2
1









nnnnnn
UttUSGUSGS . (3.47)
Khi sử dụng sơ đồ nửa ẩn (3.47), ngoi hm nguồn, còn phải
tính đạo hm của nó (3.43).
Lu ý rằng các sơ đồ hiện (3.40)
(3.41) v nửa ẩn (3.47) có
thể đợc dùng với những dạng khá tổng quát của hm nguồn

G .
Các sơ đồ ẩn. Phơng pháp hiệu quả nhất để giải số
phơng trình cân bằng năng lợng sóng l sử dụng các sơ đồ số
ẩn. Tuy nhiên không hề tồn tại những chỉ dẫn về xây dựng
những sơ đồ ẩn dới dạng tổng quát. Trong từng trờng hợp cụ
thể phải tiến hnh khảo sát chuyên biệt có tính tới vế phải
phơng trình cân bằng năng lợng sóng đợc cho dới dạng
hiện. Sử dụng các sơ đồ ẩn đòi hỏi cho trớc dạng giải tích của
hm nguồn. Vì hm nguồn dới dạng chung l cha biết, có thể
thử biểu diễn nó dới dạng một đa thức hay một khai triển theo
các luỹ thừa của mật độ phổ


i
i
i
USAUSG ),,(),,,(


, (3.48)
trong đó

i
A
những hệ số khai triển, nói chung, có thể phụ
thuộc vo tần số

, hớng truyền thnh phần phổ

v tốc độ

gió
U

.
Trong tình huống đơn giản nhất, khi có thể giả thiết rằng
phần đóng góp chủ yếu vo hm nguồn l số hạng tuyến
tính
thep phổ
SAG
i

, (trong đó

i
A hệ số tổng quát ), sử dụng
phơng pháp hình thang (3.42) sẽ đa tới biểu thức sau đây để
xấp xỉ đại lợng phổ
1
1
2
1
1
2
1
1

n
n
nn
tA
tA
SS
. (3.49)
Lu ý rằng phơng
pháp số dựa trên sử dụng công thức
(3.49) có tên l phơng pháp bậc tối u [6].
Vây ta hình dung rằng việc xây dựng một sơ đồ tối u phải
căn cứ vo dạng hiện của công
thức hm nguồn có tính tới
những thnh phần khai triển phi tuyến của nó. Thí dụ nh sử
dụng hm năng lợng sóng tiêu tán phi tuyến có thể l hiệu
quả. Trong trờng hợp ny nếu biết dạng hiện của hm nguồn,
thì không cần sử dụng khai triển hm nguồn thnh chuỗi
Taylor nh đã lm trong sơ đồ nửa ẩn (3.47).
Giả sử hm nguồn có dạng
111 112

)1()(

cSBSSG , (3.50)
trong đó cB
, v


một số hệ số tổng quát, ngoi ra
B

có thể
cũng phụ thuộc vo thời gian t . Thí dụ, với sóng gió có thể chấp
nhận rằng
B
l gia số tăng trởng năng lợng sóng nhờ nạp
năng lợng từ gió cho sóng (theo lý thuyết Miles). Tham số
c
hạn chế sự gia tăng năng lợng do quá trình tiêu tán sóng bằng
một giá trị tới hạn no đó. Nếu ta chấp nhận khoảng cân bằng
),(

S
lm giá trị tới hạn, thì



Sc . Chẳng hạn, ta thấy
trong cơ chế tiêu tán sóng do O. Phillips [336] đề xuất v liên
quan tới quá trình đổ nho đỉnh sóng, thì hm tiêu tán phụ
thuộc vo phổ dới dạng hm lập phơng.
Trong trờng hợp ny
việc xác định công thức của sơ đồ số
ẩn giải phơng trình cân bằng năng lợng sóng quy về việc giải
phơng trình đại số

tUSGStcSBS
nnnnnn

),(
2
1
)1(
2
1
1
111

, (3.51)
phơng trình ny có thể giải tơng đối dễ, thí dụ với
1


hay
2 . Nghiệm của phơng trình (3.51) với 1


có ý nghĩa vật
lý, có thể biểu diễn dới dạng sau đây thuận lợi cho tính toán
số:
22
2
2

1
4
2
Aabb
A
S
n



, (3.52)
trong đó
1
2
1
12


tBb
n
;
2
12
)(
2
1
tcBa
n

;

tUSGSA
nnn
),(
2
1
2
.
Nhận xét rằng, cũng có thể xây dựng thuật giải tơng tự
cho trờng hợp đa vo hm nguồn sự tơng tác phi tuyến yếu
(xem mục 4.1). Tuy nhiên, ở đây sẽ nảy sinh những khó khăn
bổ
sung, vì ta phải tính tới không chỉ mật độ phổ cho hợp phần
sóng đợc xét
},{
ji


, m còn cả những giá trị tơng tự cho các
hợp phần khác


njki


, , vì vậy phải giải không phải một
phơng trình (3.51), m một hệ phơng trình đại số phi tuyến
tơng ứng.
Những kết quả thử nghiệm các đồ số. Ta tiến hanh thử

nghiệm các sơ đồ số đã dẫn trên đây, so sánh nghiệm số trị với
giá trị giải tích chính xác cho trờng hợp giá trị ny có thể nhận
đợc dới dạng hiện. Chẳng hạn, có thể nghiệm chính xác cho
trờng hợp gió không đổi v hm nguồn viết dới dạng (3.50).
Vậy ta giả thiết rằng gió tốc độ không đổi 15 m/s thổi trên mặt
biển rộng vô hạn. Theo phơng trình cân bằng năng lợng sóng
(3.1) sẽ không có sự bình lu năng lợng sóng v sự phát triển
sóng diễn ra chỉ với thời gian. Để nhận nghiệm có thể sử dụng
những công thức đã dẫn ở trên.
Nghiệm giải tích chính xác của phơng trình động học với
hm nguồn (3.50) đợc viết dới dạng





/
)(
1
000
1
Bt
ecScSStS , (3.53)
trong đó lấy dấu (+) khi

cS1 lớn hơn không, lấy dấu () trong
trờng hợp ngợc lai.
Trên hình 3.4 dẫn những giá trị mật độ phổ năng lợng
tính
theo một số thuật giải số cho thời điểm 18 phút sau khi bắt

đầu tiến triển sóng. Khi lấy tích phân số đã dùng bớc thời gian
bằng 3 phút.
Từ hình vẽ thấy rằng giữa các kết quả tính có những khác
biệt đáng kể, mặc dù bớc tích phân khá nhỏ.
Những khác biệt
113 114

ny xảy ra ở vùng cực đại phổ v ở vùng tần cao bên phải. Nếu
so sánh các kết quả số với nghiệm giải tích, có thể nói rằng giá
trị tính theo phớng hiện Euler có độ chính xác nhỏ nhất. Nhận
thấy rằng, mặc dù kết quả của phơng pháp hiện Adams khá
phù hợp với nghiệm giải tích, nhng tại tần số 4 rađ/s do bất ổn
định số đã xuất hiện giá trị số âm rất dị thờng. Gần đúng nhất
với nghiệm giải tích l những giá trị tính theo phơng pháp
nửa ẩn (3.47) v sơ đồ ẩn (3.52).
Tiếp tục thực hiện tính với bớc
tích phân tăng hơn. Nhận
thấy rằng các kết quả sử dụng các sơ đồ hiện Euler v Adams tỏ
ra không ổn định, đặc biệt ở vùng tần số cao. Vì lý do ny các sơ
đồ ny không đợc tiếp tục sử dụng nữa.
Trên hình 3.5 dẫn các kết quả tính giải tích v theo ba sơ đồ
số với bớc tích phân 20 ph cho thời điểm 3 giờ.
Đặc trng với
giai đoạn tính toán đầu l giá trị mật độ phổ tính theo sơ đồ ẩn
(3.52) bị cao hơn, theo sơ đồ nửa ẩn (3.47) v (3.49) bị thấp hơn,
ngoi ra sơ đồ (3.49) thậm chí cho những trị số âm. Khi kéo di
tính toán tiếp nữa tất cả ba nghiệm số trị xấp xỉ tiến tới nghiệm
giải tích với mức độ khác nhau. Trong đó chính xác nhất l
phơng pháp ẩn (3.52), nó trở nên khá gần với nghiệm giải tích
trên ton dải tần sau 46 bớc lặp.

Những tính toán tơng tự đợc lặp lại với các bớc tích
phân số bằng 1, 3, 6 v thậm chí 12 giờ. Những kết quả tính
theo
tất cả ácc sơ đồ tỏ ra ổn định. Tuy nhiên với những bớc
tích phân số lớn thì những kết quả của sơ đồ ẩn (3.52) tỏ ra
đáng chấp nhận hơn cả.
Nghiệm giải tích (3.53) cho phép ớc lợng định lợng sai
số tơng đối của nghiệm số trị. Nó có
thể đợc xác định trê từng
bớc thời gian nh l hiệu số tổng cộng giữa nghiệm số trị v
nghiệm giải tích đợc quy chuẩn với trị số cực đại của nghiệm
giải tích:














MN
kj
kj
kjkji

i
MN
tS
tStS
tRMS
,
,
max
))((
),,(
),,(),,(
)(
11
2
anal
anal
11 ,
(3.54)
trong đó lấy tổng theo tất cả các hợp phần phổ: theo tất cả các
tần số ( Nj 1
,

) v các hớng ( Mk 1,

). Chỉ số i chỉ các sơ đồ
số khác nhau.

Hình 3.4. Các giá trị mật độ phổ năng lợng tính theo những thuật toán
khác nhau cho thời điểm
ph 18

t , bớc tích phân ph 3


t
115 116


Hình 3.5. Các giá trị mật độ phổ tính theo các thuật toán số trị
với bớc tích phân ph 20t cho thời điểm 3 giờ
1 nghiệm giải tích; 2 phơng pháp nửa ẩn (3.47); 3 phơng pháp bậc tối u
(3.49); 4
sơ đồ ẩn (3.52). Đờng gạch nối chỉ các giá trị khoảng cân bằng
Lu ý rằng quy chuẩn theo trị số cực đại mật độ phổ của
nghiệm giải tích sẽ cho "ớc lợng từ dới". Nếu nh quy chuẩn
không theo trị số cực đại, m theo trị số hiện tại của mật độ
phổ, thì sai số sẽ lớn hơn rất nhiều.
Trên hình 3.6. biểu diễn biến thiên theo thời gian của sai số
tính toán với các phơng pháp khác nhau v bớc tích phân
theo thời gian 1 giờ.
Xu thế chung giảm sai số tính toán liên quan tới sự tiến
dần
các giá trị số trị tới nghiệm giải tích v tăng trị số cực đại
của mật độ phổ dùng để quy chuẩn sai số tính toán trong (3.54).

Hình 3.6. Những giá trị sai số RMS của các phơng pháp,
bớc tích phân theo thời gian 1


t giờ

1 phơng pháp nửa ẩn (3.47)
2
phơng pháp ẩn (3.52)
3
phơng pháp bậc tối u (3.49)
Biến thiên tơng đối của sai số tính toán cũng giống nh
các kết quả của các phơng án trớc. Độ chính xác cao nhất
117 118

thuộc về sơ đồ ẩn (3.52): thực tế trên ton dải tính toán, ngoại
trừ mấy bớc tích phân đầu tiên, nó đêu có việt rõ nét so với
các sơ đồ khác.
Các thí nghiệm số cho thấy rằng , trong số các sơ đồ hiện
(3.40), (3.41) phơng pháp dự báo
sửa sai (3.41) có độ chính
xác cao nhất. Tuy nhiên khi tăng bớc tích phân theo thời gian
những sơ đồ ny mất độ ổn định v tại các bớc thời gian

ph 5
t (với tốc độ gió
m/s 15U
) trở nên thực tế không dùng
đợc thậm chí ngay cả với những điều kiện tạo sóng đơn giản nhất.
Trên nền chung, sơ đồ số dựa trên công thức (3.49) (phơng
pháp bậc tối u) cho những kết quả khá đạt. Sơ đồ ny ổn định
hơn v có thể đợc dùng với những bớc thời gian lớn tới
tận
ph 15
t .
Sơ đồ số nửa ẩn, đề xuất trong mô hình

WAM (3.47), tỏ ra
ổn định đối với những bớc thời gian khá lớn. Tuy nhiên lu ý
rằng khi tăng bớc tích phân theo thời gian độ chính xác giảm.
Sơ đồ ẩn (3.51) tỏ ra ổn định nhất. Nó biểu hiện kết quả ổn
định không những với bớc thời gian
60


t
ph, m cả với
3t
giờ, thậm chí
12t
giờ. Về độ chính xác: Mặc dù trên
những bớc tích phân đầu tiên sai số tính toán có thể khá lớn,
nhng sau đó, sau khi qua một "ngỡng" no đó, sai số giảm
dần v chấp nhận giá trị hon ton thoả mãn. Để có kết quả với
độ chính xác thoả mãn chỉ cần thực hiện 4
6 bớc lặp số.
Phơng pháp phân rã. Từ trớc đến bây giờ đã xét những
nghiệm số trị của phơng trình cân bằng năng lợng sóng trong
ddó không tính tới hm tơng tác phi tuyến yếu
nl
G . Về hm
ny sẽ bn luận ở chơng sau.
ở đây chỉ lu ý rằng tính toán
hm tơng tác phi tuyến yếu
nl
G
l một công việc rất phức tạp

trong tính toán số v đẫn tới bất ổn định ghiệm ở vùng tần cao
của phổ sóng. Do biểu thức tơng tác phi tuyến yếu phức tạp,
nên việc sử dụng các sơ đồ ẩn để tích phân số phơng trình cân
bằng năng lợng sóng trở thnh khó khăn.
ở đây hoặc l sử
dụng các sơ đồ hiện (3.40)
(3.41), hoặc l sơ đồ nửa ẩn (3.47).
Thực hiện sơ đồ số ny sẽ gây nên những hạn chế bổ sung đối
với nghiệm [303, 365]. Nh đã nhận xét, những hạn chế nh vậy
mang nhiều tính chất đáng ngờ.
Trong mục ny ta thử đề xuất một sơ đồ thay thế,
hữu hiệu
hơn so với những sơ đồ đã nêu ở trên
phơng pháp phân rã.
Thực chất phơng pháp ny nh sau.
Hm nguồn tổng cộng
G , gồm phần cung cấp năng lợng từ
gió cho sóng, phần tiêu tán năng lợng sóng phi tuyến theo phổ
v phần tơng tác phi tuyến yêu
nl
G , có thể viết dới dạng
nl
GcSBSSG )1()(

. (3.55)
Để giải bi toán tiến triển phổ sóng theo thời
gian, ta biểu
diễn phơng trình xuất phát dới dạng

SGtS



/ , (3.56)
v viết dạng triển khai số trị của nó nh sau
nl
nn
nn
GSBcBS
t
SS





)(
1
1
. (3.57)
Sơ đồ ny có thể đợc sử dụng với mọi 10



. Nhớ lại
rằng khi 0


ta có sơ đồ hiện Euler, khi

1 sơ đồ ẩn, trong
phơng pháp hình chữ nhật chấp nhận 21/


.
Xét sơ đồ (3.57) với các bớc phân số. Tại bớc thứ nhất có
thể tính biến thiên của nghiệm do tơng tác phi tuyến yếu
nl
nn
G
t
SS





. (3.58)
Tại bớc thứ hai ta sẽ xác định biến thiên
nghiệm do phần
119 120

còn lại của hm nguồn

nn
nn
SBcBS
t
SS
)(
1
1
. (3.59)
Sơ đồ với các bớ
c phân số sẽ trở về sơ đồ (3.57) nếu nh từ
phơng trình thứ nhất (3.58) rút ra

n
S
v thế vo vế trái của
phơng trình thứ hai (3.59) hay lấy tổng từng số hạng hai
phơng trình ny. Sơ đồ sai phân (3.59) thực tế l một sơ đồ
Euler đòi hỏi bớc thời gian nhỏ so với những sơ đồ khác đã biết.
Mặt khác, ta có thể chuyển đổi ngợc lại từ phơng trình
sai
phân sang phơng trình vi phân nếu giải nó cho bớc
t )(1 . Ta viết lại phơng trình (3.59) dới dạng

nn
nn
SBcBS
t
SS
)(
)(
1
1
1
1
1
. (3.60)
Tơng ứng với phơng trình ny l phơng trình vi phân
)(
1
1
1






BcSBS
t
S
(3.61)

với điều kiện đầu
n
S tìm theo (3.58). Phơng trình (3.61) có
nghiệm giải tích (3.53) trong đó đại lợng
B
đợc thay thế bằng
)/( 1B .
Sơ đồ với bớc phân số (3.58)
v (3.59), trong đó phơng
trình thứ hai đợc thay thế bởi phơng trình vi phân (3.61) với
0
, từ nay ta sẽ gọi l phơng pháp phân rã hay phơng
pháp bán giải tích, vì nghiệm của phơng trình (3.61) tồn tại
dới dạng giải tích (3.53). Có thể sử dụng nghiệm ny trên từng
bớc thời gian, khi phải giải phơng trình chung (3.57).
Những kết quả thử nghiệm các sơ đồ số giải phơng
trình cân bằng năng lợng sóng có tính tới hm vận
chuyển năng lợng phi tuyến yếu
. Ta sẽ thử nghiệm
phơng pháp phân rã, so sánh các nghiệm số trị với những kết
quả nhận đợc theo một sơ đồ chính xác nhất trong số những sơ
đồ hiện đơn giản
phơng pháp dự báo sửa sai (3.41). Khác
với những thử nghiệm trớc (xem mục 4.1), bây giờ ta không thể
có đợc nghiệm giải tích chính xác của phơng trình cân bằng
năng lợng sóng chứa hm vận chuyển năng lợng phi tuyến
yếu. Vì vậy, thay vì nghiệm giải tích ta sẽ sử dụng một nghiệm
số trị chính xác nhất.
Trong tính toán, hm cung ứng năng lợng từ gió cho
sóng

đã đợc chấp nhận giống nh trong mô hình
WAM [365]. Độ lớn
tốc độ gió cho bằng 18,45 m/s. Sự tiêu tán đợc xác định theo
(3.50), trong đó tham số

cho biến thiên. Lúc đầu giá trị của
nó đợc cho bằng 2, tức tơng ứng với tiêu tán lập phơng, sau
đó đã tính toán với các giá trị của tham số ny nh một hm
của tần số:

)/(
max
, trong đó 21




, .
Các thí nghiệm số đã cho thấy rằng khi tích phân phơng
trình (3.56) bằng phơng
pháp dự báo
sửa sai (3.41) ta sẽ nhận
đợc những kết quả ổn định nếu bớc tích phân lấy không lớn
hơn 3 ph. Tuy nhiên trong đó phải quy định một giới hạn cho sự
gia tăng mật độ phổ năng lợng sóng ở vùng tần cao (tại các tần
số lớn hơn hoặc bằng hai lần tần số cực đại phổ) lm sao để các trị
số của nó không vợt quá giá trị của khoảng cân bằng.
Nh các kết quả tính toán số
trị đã cho thấy, nghiệm của
phơng pháp phân rã tỏ ra ổn định đối với những bớc thời gian

bằng 1, 3 v thậm chí 6 giờ. Vì vậy không cần thiết phải đa ra
những hạn chế no đó đối với nghiệm hay đối với hm nguồn
nói chung.
Trên hình 3.7 biểu diễn những kết quả tính toán số trị với
phổ tần số cho thời
điểm
30

t giờ. Tính toán đợc thực hiện
theo phơng pháp dự báo
sửa sai v phơng pháp phân rã với
121 122

những bớc tích phân thời gian khác nhau. Nh đã thấy từ
phép so sánh, các kết quả của phơng pháp dự báo
sửa sai
(với bớc tích phân 3 ph) thực tế chính xác trùng với các kết quả
tính của phơng pháp phân rã với bớc tích phân bằng 1 giờ.

Hình 3.7. Những nghiệm số trị của mật độ phổ tại thời điểm 30

t giờ
tình theo các phơng pháp khác nhau
1 nghiệm không tính tới
nl
G ; 2 phơng pháp dự báo sửa sai, bớc tích phân 3 ph;
3
nghiệm với bớc tích phân 1 giờ; 4 nghiệm với bớc tích phân 3 giờ; 5 nghiệm với
bớc tích phân 6 giờ
Ngoi ra, khi tăng bớc tích phân đến 3 v 6 giờ thì độ lớn

mật độ phổ vẫn giữ gần bằng các kết quả của phơng pháp dự
báo
sửa sai, chỉ nhỏ hơn khoảng 10% với bớc tích phân 3 giờ
v 20% với bớc 6 giờ. Trong trờng hợp ny độ lớn mật độ phổ
trở nên gần với giá trị mật độ phổ nếu không tính đến tơng tác
phi tuyến yếu. Điều ny chứng tỏ về sự giảm thấp đóng góp của
cơ chế ny tại những bớc thời gian lớn khi tích phân số.

Hình 3.8. Biến thiên năng lợng với thời gian tính theo các phơng pháp
tích phân khác nhau. Các ký hiệu nh trên hình 3.7
Trên hình 3.8 biểu diễn các kết quả tính biến thiên năng
lợng tổng cộng với thời gian thực hiện theo cùng những
phơng pháp đã nêu. Kết quả so sánh chứng tỏ về mức chính
xác khá cao của các kết quả tính bằng phơng pháp phân rã
trong ton khoảng thời gian (tới
655s 1002
5
,, giờ) với bớc
tích phân bằng 1 giờ. Khi tăng bớc tích phân đến 3 v 6 giờ
quan sát thấy sự giảm tăng trởng năng lợng sóng.
123 124

Có lẽ sự sai khác ny liên quan tới việc sử dụng phơng
pháp tích phân Euler khá thô (3.40) tại bớc phân số thứ nhất
(3.58). Sai khác đó có thể giảm đi đáng kể nếu sử dụng phơng
pháp tích phân chính xác hơn, thí dụ phơng pháp hiện (3.41)
hay nửa ẩn (3.47).
Để kết luận ta nhận xét rằng những thử nghiệm đã cho
thấy tính hiệu quả cao của việc sử dụng phơng pháp phân
rã

để tích phân phơng trình cân bằng năng lợng sóng trong
trờng hợp vế phải có mặt hm tái phân bố phi tuyến yếu trong
phổ sóng gió. Đơng nhiên ở đây nảy sinh những vấn đề bổ sung
về tính căn cứ của hm nguồn khi nó chứa phần nạp năng lợng
v phần tiêu tán, vì dạng giải tích của các phần ấy sẽ cho phép
ta có nghiệm giải tích (3.53). Về vấn đề luận cứ lựa chọn hm
nguồn chúng ta sẽ trở lại trong chơng sau, ở đây chỉ lu ý rằng
hm tiêu tán m ta đã chấp nhận có chứa một loạt tham số tự
do, lựa chọn chúng đúng đắn sẽ lm cho mô hình thích hợp với
nhiều dạng hm mô tả cơ chế phi tuyến tiêu tán năng lợng
sóng gió.

Hòa hợp tích phân hm nguồn với sơ đồ tính truyền

năng lợng sóng
. Những tính toán tiến triển sóng nêu ra ở
trên đã đợc thực hiện cho một điểm không gian v một trờng
gió đồng nhất. Khi đó nảy sinh một câu hỏi tự nhiên liệu có
đúng không nếu sử dụng cách tiếp cận ny vo trờng hợp phức
tạp hơn: tính sóng tại thủy vực cụ thể, khi trờng gió không
đồng nhất v không dừng. Vấn đề còn ở chỗ: khi dùng bớc tích
phân lớn theo thời gian, sóng có thể đi qua những khoảng cách
m trên đó trờng gió không thể đợc xem l đồng nhất v dừng
đợc nữa.
Sử dụng phơng pháp nội suy
tia kết hợp với một phơng
pháp số trị hữu hiệu để tích phân hm nguồn cho phép giảm
nhẹ việc giải bi toán v tăng đáng kể bớc tích phân số. Dĩ
nhiên trong khi đó bớc thời gian có thể bị giới hạn bởi điều
kiện độ chính xác của nghiệm, cũng nh quy mô biến đổi trờng

gió trong thời gian.
Nh trớc đây, tại bớc giải thứ nhất: căn cứ vo nút lới
đều
),(
ji

, dùng các phơng trình (3.2)(3.4), có thể xác định
tọa độ của điểm đầu
),(
00
ji
, m tại đó chùm sóng đợc xét với
tần số
k

v hớng truyền
l

nằm ở thời điểm trớc. Điểm ny
có thể không trùng với nút lới đều. Vì phải xác định giá trị đầu
của phổ
0
ij
S ở điểm ),(
00
ji
, nên có thể sử dụng nội suy đa thức
(3.27). Trong trờng hợp nếu hm nguồn
G
không bằng không,

thì mật độ phổ không giữ nguyên không đổi dọc theo quỹ đạo
truyền chùm sóng. Để lấy tích phân số hm nguồn dọc đờng
đặc trng, có thể dùng một trong những phơng pháp đã mô tả
ở trên (phơng pháp dự báo
sửa sai (3.41), phơng pháp nửa
ẩn (3.47) hay phơng pháp phân rã (3.58), (3.59).
ở đây điều quan trọng phải thấy rằng: tại thời điểm đầu
của mỗi bớc thời gian, ở điểm
),(
00
ji
mật độ phổ năng lợng
0
ij
S , hm nguồn
0
ij
G v tốc độ gió U

đợc xác định bằng phép nội
suy kiểu (3.27) với
n
tt

v tại thời điểm cuối của bớc những
đại lợng ny đợc lấy ở nút
),(
ji

với
1

n
tt .
Nhận thấy rằng phơng pháp giải ny có thể dễ dng khái
quát hóa cho trờng hợp giải
bi toán (1.84), (1.86)
(1.90) ở
dạng phát biểu tổng quát, tức trên mặt cầu, có tính tới sự hiện
diện dòng chảy bất đồng nhất v độ sâu thủy vực. Để sử dụng
nó vo tính toán thực tế, trớc hết nên tính ra các mảng những
tọa độ v những góc lan truyền của các hi điều ho cho từng
nút miền lới đều có tính đến sự khúc xạ sóng trên dòng chảy
125 126

v nớc nông; quy mô biến thiên đặc trng của dòng chảy v địa
hình lớn hơn nhiều so với khoảng cách giữa các nút lới. Tại
bớc tiếp theo, việc tính toán số với phơng trình cân bằng năng
lợng sóng có thể thực hiện khá nhanh, vì việc giải bi toán quy
về phép nội suy m những hệ số nội suy đã đợc tính trớc.
3.7. Nhận xét kết quả v những kết luận chính
Trong chơng ny đã xét vấn đề sơ đồ số tối u giải phơng
trình cân bằng năng lợng sóng. Lợi dụng một thực tế l: tại
mỗi bớc thời gian, việc giải bi toán có thể tách ra thnh 2
việc: tính sự lan truyền năng lợng sóng v tính biến thiên mật
độ phổ do tác động của hm nguồn tổng cộng, chúng ta đã xây
dựng đợc một thuật giải bi toán khá hiệu quả.
ở đây đã cố
gắng sử dụng tối đa những nghiệm giải tích chính xác kết hợp

với những phơng pháp nội suy v những sơ đồ sai phân hữu
hạn đơn giản nhất.
Những thí dụ tính toán số về lan truyền sóng lừng thực
hiện trong công trình ny
đã cho thấy rằng sơ đồ số giải phơng
trình cân bằng năng lợng sóng m trong
WAM đã dùng có thể
mắc những sai số đáng kể khi tính lan truyền năng lợng sóng.
Phơng pháp nội suy
tia đợc đề xuất ở đây l một phơng
pháp số thay thế.
Sự khác biệt căn bản giữa sơ đồ số của mô hình
WAM v
phơng pháp nội suy
tia l ở chỗ: phơng pháp thứ nhất dựa
trên việc sử dụng phép xấp xỉ sai phân hữu hạn phơng trình
cân bằng năng lợng sóng v độ ổn định của phơng pháp ny
bị hạn chế bởi điều kiện Courant
Levi. Nó hạn chế bớc tích
phân trong mô hình bởi điều kiện


)/();/cos(
gg
CRCRt




,

trong đó


v



các bớc không gian theo vĩ độ v kinh độ.
Trong mô hình
WAM hạn chế ny (đặc biệt đối với những vĩ độ
cao) đẫn tới phải sử dụng bớc thời gian
2015



t ph. Mặt
khác phơng pháp nội suy
tia sử dụng nghiệm giải tích chính
xác mô tả sự lan truyền năng lợng sóng. Vì vậy nó tuyệt đối ổn
định đối với bớc thời gian tuỳ ý v không cần phải thoả mãn
điều kiện Courant
Levi. Bớc thời gian dùng trong phơng pháp
nội suy
tia về nguyên tắc chỉ bị hạn chế bởi các biên vật lý của
bi toán. Độ chính xác của phơng pháp nội suy
tia phụ thuộc
vo sai số của phép nội suy khi xác định giá trị đầu của phổ trên
mỗi bớc thời gian. Hiển nhiên, sai số ny sẽ nhỏ đối với lới
không gian mịn hơn v đối với những bớc thời gian lớn hơn, bởi
vì với tổng thời gian phát triển sóng đã cho thì theo phơng pháp

ny, ton bộ số bớc trên đó sai số đợc tích luỹ, sẽ nhỏ hơn.
Phơng pháp nội suy
tia u việt không chỉ so với sơ đồ số
bậc một ngợc dòng đợc dùng trong mô hình
WAM. Nó có thể
đợc xem nh một phơng pháp song đề tổng quát để tính sóng
gió cả khi có mặt hm nguồn. Kết hợp nó với phơng pháp tích
phân số ẩn hay nửa ẩn đối với vế phải phơng trình cân bằng
năng lợng sóng cho phép lập ra một sơ đồ tối u nhất để giải
bi toán trong trờng hợp chung nhất. Sơ đồ ny l sơ đồ khá ổn
định đối với những bớc thời gian lớn, cho phép tính đến hm
nguồn dới dạng đầy đủ, bao gồm tơng tác phi tuyến yếu trong
phổ sóng gió, v tạo ra khả năng: bằng một số bớc lặp tối thiểu
nhận đợc nghiệm chính xác nhất cho thời điểm trùng với hạn
synop, tức thời điểm kết xuất kết quả tính các yếu tố sóng.