Mô hình hóa toán học sóng gió trong đại dương bất đồng nhất không gian ( Đại học quốc gia Hà Nội ) - Chương 5 pps

201 202

phần 2. Biến dạng sóng gió trên các bất
đồng nhất quy mô lớn
Chơng 5
tiến triển của sóng trên nền dòng
bất đồng nhất phơng ngang
v trong điều kiện nớc sâu
5.1. Đặt bi toán trong hệ tọa độ địa phơng
Trong chơng 1 đã nêu ra sự thiết lập tổng quát nhất về bi
toán mô hình hóa toán học sóng gió trong đại dơng dới tác
động của các nhân tố khác nhau hình thnh phổ sóng gió. Vì
giải bi toán tổng quát phức tạp, nên ở đây ta sẽ xét một trờng
hợp riêng v khảo sát những hiệu ứng liên quan tới sự biến
thiên phổ sóng trên các dòng bất đồng nhất phơng ngang.
M. S. Longuet-Higgins v R. Stewart đã nhận đợc những
kết quả lý thuyết cơ sở đầu tiên trong việc giải bi toán ny vo
những năm 1961-1964 [311-314]. Từ các công trình của các tác
giả đó rút ra rằng giữa sóng v dòng chảy bất đồng nhất phơng
ngang có sự tơng tác, kết quả l sóng có thể cho hoặc nhận
năng lợng từ dòng chảy. Lý thuyết của họ có thể giải thích
nhiều vấn đề động lực học các quá trình sóng, tuy nhiên, phạm
vi sử dụng lý thuyết đó khá hạn hẹp. Thí dụ, khi truyền sóng
ngợc dòng, m tốc độ dòng tăng dần dọc theo trục của nó, thì
năng lợng sóng tăng dần, v tại điểm nơi tốc độ nhóm sóng
bằng về độ lớn v ngợc hớng so với tốc độ dòng thì biên độ
sóng nhận giá trị lớn vô hạn. Còn trên thực tế, tại lân cận điểm
đặc biệt ny (điểm tụ tia) không thể áp dụng các kết quả của M.
S. Longuet-Higgins v R. Stewart. Phép tiếp cận phổ trình by
trong công trình ny sẽ cho phép khắc phục những dị thờng
xuất hiện ở lân cận các điểm tụ tia v mô tả đúng hnh vi của

sóng trên dòng chảy.
Nh đã nhận xét trớc đây, trong phần lớn trờng hợp điển
hình, ảnh hởng của dòng v nớc nông lên sóng mang tính địa
ph
ơng.
Do đó, trong khi sử dụng trờng hợp riêng của bi toán
tổng quát (1.84)(1.90), ta nên xét bi toán trong hệ tọa độ địa
phơng v viết phơng trình cân bằng mật độ phổ tác động sóng
trong hệ tọa độ phẳng vuông góc
G
dt
dN
dt
kd
k
N
dt
rd
r
N
t
N

, (5.1)
trong đó


},{ yxr

vectơ không gian ngang;



yx
kkk ,

vectơ
sóng trên mặt phẳng },{ yx
;

G hm nguồn mô tả các cơ chế
vật lý hình thnh phổ sóng gió. Các đặc trng của phơng trình
(5.1) l các phơng trình Hamilton, trong phép xấp xỉ quang
hình chúng mô tả sự lan truyền các chùm sóng trong môi

trờng bất đồng nhất.
t
R
dt
d
r
R
dt
kd
k
R
dt
rd









;




; , (5.2)
ở đây

tần số sóng đợc đo trong hệ tọa độ không di động.
Tần số

có thể xác định theo tần số sóng

đợc đo trong
hệ tọa độ di động gắn liền với dòng chảy:


2
2
Vk


, với
203 204

),( trVV



tốc độ dòng chảy. Trong trờng hợp các sóng mặt
trọng lực có thể viết )(kHkg th
2
,


)(rHH

độ sâu thủy

vực. Những phơng trình trên đây có thể xem l đúng trong
trờng hợp tốc độ dòng chảy không biến đổi trên phơng thẳng
đứng. Nhng trong thực tế giả thiết ny ít khi hiện thực. Nh
đã chỉ ra trong chơng 1, khi hiện diện chênh lệch tốc độ dòng
trên phơng thẳng đứng, thì việc giải bi toán cũng không có gì
phức tạp về nguyên tắc, mặc dù khối lợng tính toán tăng rất
nhiều. Đại đa số các trờng hợp thực tế trắc diện thẳng đứng
vận tốc dòng thờng không đợc biết chính xác, còn các trị số
trung bình của vận tốc đợc cho trớc. Vì vậy trong mục ny ta
sẽ xem rằng giá trị tốc độ dòng chảy đợc xác định bằng trị số
trung bình theo ton độ sâu xâm nhập chuyển động sóng. Các
trờng hợp ảnh hởng của dòng chảy bất đồng nhất phơng
thẳng đứng lên sóng sẽ xét sau.
Để giải bi toán xác định mật độ phổ tác động sóng
),,( trkN



*
. Qua mỗi điểm của không gian chỉ có thể có một quỹ
đạo pha đi qua, tức các quỹ đạo pha không giao nhau. Thực chất
tính chất ny l hệ quả của định lý duy nhất nghiệm của hệ
phơng trình vi phân thờng với những điều kiện ban đầu cho
trớc. Mô tả các quỹ đạo truyền các chùm sóng trong không
gian pha có một loạt các tính chất lý thú [5, 18, 135].
Thí dụ, trờng hợp vắng mặt hm nguồn (
0

G ) từ phơng
trình (5.1) rút ra

0
,,,,

dt
tkkyxNd
yx

. Có nghĩa rằng mật độ
phổ năng lợng tác động sóng giữ không đổi dọc theo tia

*
Không gian ny còn đợc gọi l không gian tọa độ - xung. Hnh vi của các hệ
Hamilton trong không gian nh vậy đợc khảo sát trong hình học hiện đại [5].

),,,(),,,,(
00000 yxyx
kkyxNtkkyxN

. (5.3)
Khác với mô tả sóng trong không gian vật lý (xem mục 1.3),
ở đây vắng mặt Jacobien chuyển tiếp từ các trị số ban đầu sang
các trị số hiện tại. Ngời ta lý giải nh sau: trờng hợp mô tả
sóng trong không gian pha chúng ta sử dụng các biến chuẩn. Sự
bảo tồn giá trị tác động sóng trong một đơn vị thể tích pha có
thể viết bằng
y0y
k k

0000 xx
kyxNkyxN . Vì chuyển
động của hệ trong không gian pha diễn ra tơng ứng với các
phơng trình Hamilton, nên từ định lý Luiville [121] suy ra sự
bảo tồn thể tích phần tử không gian pha. Trong điều kiện đó
Jacobien chuyển tiếp từ phần tử thể tích pha ban đầu sang
phần tử hiện hnh đồng nhất bằng đơn vị:
1
),(
),(
0000



yx
yx
k,ky,x
k,k,yx


.
Vậy tơng quan (5.3) thoả mãn. Những điểm kỳ dị - tụ tia liên

quan tới việc Jacobien tiến tới 0 sẽ không xuất hiện nh trong
trờng hợp mô tả sóng trong không gian vật lý (xem mục 1.3).
Điều kiện (5.3) có nghĩa rằng khi không có tác động của
các nguồn v các dòng năng lợng sẽ bảo ton mật độ phổ tác
động sóng dọc theo quỹ đạo truyền các chùm sóng. Nhận thấy
rằng tính chất ny đối với trờng hợp biến tính phổ sóng trên
nớc nông đã đợc M. S. Longuet-Higgins [310] chứng minh
lần đầu tiên.
5.2. Tiến triển của phổ tần số góc trên dòng chảy
Biểu thức tổng quát mô tả sự tán xạ của phổ tần số

góc của sóng.
Xét trờng hợp đơn giản nhất của phơng trình
động học (5.1), khi có thể bỏ qua các hm nguồn ở vế trái
phơng trình ny v mật độ phổ N giữ nguyên không đổi dọc
205 206

theo quỹ đạo truyền chùm sóng. Bi toán tìm N theo các điều
kiện ban đầu ),,(
000
trkN


quy về việc tích phân các phơng trình
Hamilton (5.2) v xác định các mối phụ thuộc ),,(
00
trkkk

,
),,(
0
trkrr
0




. Phần lớn trờng hợp chỉ có thể giải bằng số hệ
phơng trình (5.1).
Ta sẽ chuyển từ mật độ phổ tác động sóng )(kN

sang mật
độ phổ năng lợng ),( SS phụ thuộc vo tần số

v góc
)/(
xy
kk arctg . Việc chuyển từ một mối phụ thuộc phổ ny
sang mối phụ thuộc có thể dễ thực hiện trong trờng hợp giữa
các hợp phần vectơ sóng
k

, tần số

v góc

tồn tại liên hệ:

sin,cos, kkkk
yx
;
Jacobian chuyển tiếp từ
yx
kk , sang các biến


, bằng








k
k
kk
yx

,
,
.
Trị số phổ S tuỳ thuộc vo các điều kiện ban đầu có thể viết
dới dạng

trS
k
k
trS
000
1
0
0
2
0
2
,,,,,,

. (5.4)
Biểu thức (5.4) nhận đợc với những giả thiết khá tổng quát
v nó có thể mô tả sự tán xạ sóng khi có mặt bất đồng nhất độ
sâu v khi sóng truyền trên nền dòng chảy. Khác với nớc nông,
dòng chảy không chỉ dẫn đến sự tán xạ sóng.
ở đây xuất hiện
những hiệu ứng bổ sung, liên quan tới sự bất đồng nhất tốc độ
dòng trong thời gian v không gian. Sự biến thiên thời gian dẫn
tới sự dịch chuyển Dopler về tần số, bất đồng nhất không gian -
tới sự tơng tác giữa sóng v dòng. Chúng ta sẽ xét kỹ hơn về
hiệu ứng thứ nhất.
Dịch chuyển Dopler phổ tần số - góc. Khi truyền sóng
trên dòng chảy không dừng đồng nhất vectơ sóng theo phơng
trình (5.2) giữ nguyên không đổi, tức
tVkdtd //


. Sử dụng
biểu thức của phổ (5.4), trong trờng hợp ny có thể viết

trStrS ,,,,,,

00
0
, (5.5)
ở đây

S
phổ trong hệ tọa độ bất động, còn

0
S phổ sóng trên
dòng chảy. Các tần số

v
0
liên hệ với nhau bằng mối
quan hệ tản mạn của sóng trên dòng chảy Vk


. Với các
sóng trên nớc sâu, khi
0
S không phụ thuộc vo
r

, ta viết lại
biểu thức (5.5) dới dạng

,/cos,
0
1
21 SgVS , (5.6)
trong đó


góc giữa hớng trục Ox v tốc độ V

.
Đặc điểm của quan hệ ny l ở chỗ

không phải l hm đơn
trị của

. Ta sẽ biểu diễn sự phụ thuộc của

vo

dới dạng

cos
~
cos
~
V
V
11
2
, (5.7)
ở đây gVV
/
~
4 tốc độ dòng chảy không thứ nguyên. Dấu (+)
trong (5.7) ứng với các sóng tới, còn dấu () (khi 0
)cos(
~
V )
ứng với sóng ngợc [332]. Phổ ton phần

),(


S phải gồm tổng
các phổ tơng ứng với các nhánh khác nhau của quan hệ (5.7).
Đối với những tốc độ dòng chảy điển hình tồn tại thực trên Đại
dơng thế giới, phần đóng góp tơng đối của các sóng ngợc
(chu kỳ của chúng gV
/



4) vo dải phổ mang năng lợng của
các sóng gió tơng đối nhỏ, vì vậy đôi khi có thể chỉ giới hạn xét
các sóng tới. Khi đó quan hệ (5.5) viết lại dới dạng
207 208




1
0
cos
~
/,, VSS . (5.8)
Nhờ các quan hệ (5.7) hay (5.8) có thể chỉ ra rằng dịch
chuyển Dopler sẽ dẫn tới xê dịch những hợp phần phổ, đặc biệt
những tần số lớn. Trong đó, dĩ nhiên, cả độ cao sóng trung bình
lẫn phổ không gian của chúng không thay đổi. Trên dòng chảy
cùng hớng cực đại phổ xê dịch về phía những tần số lớn hơn,

còn phần cao tần của mật độ phổ trở nên thoải hơn. Trên dòng
chảy ngợc hớng diễn ra sự xê dịch ngợc lại.
Biến dạng phổ tần - góc của sóng trên dòng chảy bất
đồng nhất.
Sự biến dạng phổ sóng trên dòng chảy bất đồng
nhất phơng ngang diễn ra theo cách khác. Ta sử dụng quan hệ
(5.4) để nhận biểu thức tiến triển phổ sóng khi truyền trên nớc
sâu ( gk
2
) trong điều kiện tồn tại dòng chảy dừng bất đồng
nhất phơng ngang
)(rV


. Trong trờng hợp ny, tần số

giữ
nguyên dọc theo các tia v có thể nhận đợc nghiệm cuối cùng
dới dạng tờng minh.
Xét sự truyền sóng từ vùng không có dòng chảy (
0V

) tới
vùng với tốc dòng hớng dọc theo trục Ox


0);,( yxVV

. Giả sử
rng thoạt đầu (tức khi

0V
) phổ sóng l đồng nhất v dừng
),(



00
SS . Khi truyền sóng trên dòng chảy phổ của chúng
theo quan hệ (5.4) có thể biểu diễn dới dạng














cos
~
cos
~
,
,,
VV

S
VS
111
16
00
, (5.9)
trong đó gVV
/
~
4 tốc độ dòng chảy không thứ nguyên. Dấu
( ) trong biểu thức ny chứng tỏ tính không đơn trị xác định
phổ sóng trên dòng chảy tuỳ thuộc vo tần số

, góc

v tốc độ
V

. Tính không đơn trị tơng tự cũng xảy ra khi xác định trị số
số sóng
kk

trên dòng chảy

2
2
11
4

cos
~
,,
Vg
Vk . (5.10)
Để xác định giá trị của phổ trong biểu thức (5.9) cần tìm
0

,
nó có thể đợc xác định tơng đối dễ trong các trờng hợp khi
tốc độ V phụ thuộc chỉ vo một trong hai tọa độ. Khi
)(yVV
tọa độ
x
l tọa độ trụ, v theo phơng trình (5.2) hợp phần
x
k
giữ nguyên trong khi truyền chùm sóng, khi đó

2
0
11
4

cos
~
cos
arccos
V
. (5.11)
Trờng hợp khác, khi
)(xVV

, const

k v khi đó





















2
0
11
4

cos
~
sin
arcsin
V
. (5.12)
Trờng hợp thứ nhất (5.11) ứng với tình huống truyền sóng
trên dòng bất đồng nhất ngang có tính đứt đoạn v sẽ đợc xét
sau ny.
Ta khảo sát trờng hợp thứ hai một cách tỉ mỉ hơn. Vậy góc

biến đổi nh thế no phụ thuộc vo tốc độ không thứ nguyên
V
~
khi truyền chùm sóng tới vùng dòng chảy có tốc độ )(xV tăng
dần. Xuất phát từ điều kiện bảo ton tần số

v hợp phần
vectơ sóng
y
k dọc quỹ đạo, ta viết tích phân động lợng chùm
sóng trong các biến
V
~
v

dới dạng


sinsincos

~
4 V , (5.13)
trong đó

2
/
y
gk tham số không thứ nguyên, không đổi dọc
209 210

quỹ đạo. Đối với những chùm sóng đi ra từ vùng không có dòng
chảy (
0
0

V
) giá trị của tham số

nhỏ hơn đơn vị v bằng

sin . Trong trờng hợp khi các sóng thoạt đầu đợc sinh ra trên
dòng chảy,

có thể lớn hơn đơn vị.

Hình 5.1. Biến dạng các tham số phổ trên dòng chảy tăng dần tốc độ (a)
v chi tiết hơn tại lân cận điểm phong toả (b)
I - đờng cong trên đó thoả mãn quan hệ 0 )(
g
Ck

; II - quỹ đạo truyền chùm
sóng trong các biến ,
~
V (mũi tên chỉ hớng truyền); III - đờng cong trên đó
0
gx
C
Quan hệ (5.13) có thể xem nh quỹ đạo truyền chùm sóng
trên mặt phẳng


,
~
V . Quỹ đạo ny với 1


biểu diễn trên
hình 5.1a dới dạng đờng cong II
a
(hay đờng cong II
b
với
1

). Phụ thuộc )
~
(V không phải l phụ thuộc đơn trị, tức
ứng với cùng một giá trị V

~
khi 1


có hai giá trị góc (khi
1

ứng với một V
~
có thể tồn tại ba giá trị

). Nếu chùm sóng
truyền từ vùng không có dòng chảy (
0
0

V ) tới vùng dòng chảy
tăng dần về độ lớn
V
, thì trên mặt phẳng


,
~
V sẽ tơng ứng
diễn ra sự chuyển động về bên phải dọc theo phần trên của
đờng cong bên trái II đến điểm
A (đờng cong II
a
trên hình

5.1
a hay một cách chi tiết hơn trên hình 5.1 b). Trong khi đó
hình chiếu của tốc độ nhóm trên trục Ox dơng, tức
)(cos 0 khi 0
2
1
VV
k
g
C
gx
.
Tại điểm
A đạt giá trị lớn nhất của tốc độ dòng chảy trên quỹ
đạo v quan hệ (5.13) nh một hm
)(
~
V có giá trị cực đại. Điểm
A l điểm ngoặt, sau khi đi qua nó
gx
C trở thnh âm. Trên mặt
phẳng


,
~
V bắt đầu sự chuyển động dọc theo phần dới của
đờng cong II từ điểm
A về bên trái (xem hình 5.1a, đờng cong

II ), tức về phía vùng giảm dần giá trị tốc độ dòng chảy. Tại điểm
ngoặt
A sẽ bắt đầu mất đi sự không đơn trị xác định góc , v giá
trị của nó có thể tìm từ biểu thức (5.13) bằng cách giải phơng
trình đại số bậc bốn tơng ứng, nghiệm thực của nó l biểu thức:

2
33
3
2
33
3
1
11
13
12111
2
4
1

vv
v
vv
A
arcsin

(5.14)
211 212

trong đó

2
27161 / .
Trong biểu thức ny cần lấy () nếu
1


. Đối với các sóng
với
1

tồn tại hai điểm ngoặt
A

v
A


(xem hình 5.1a). Tốc
độ dòng chảy tại đó diễn ra sự phong toả sóng, phụ thuộc vo trị
số của tham số

(với g/,V
AA
0960 40381 1 ,,,





). Khi

433 /
điểm ngoặt hon ton biến mất.
Trong công trình [10] dẫn định nghĩa về các sóng tới v
sóng ngợc trên dòng chảy. Các sóng tới l những chùm sóng
m tích vô hớng của vectơ sóng
k

với vận tốc nhóm
g
C

dơng:
0)(
g
Ck


. Tơng ứng, các sóng ngợc l những sóng m tích
ny âm. Khi truyền sóng trên dòng chảy bất đồng nhất sự
chuyển từ các sóng tới sang các sóng ngợc diễn ra khi
0)(
g
Ck



. Có thể dễ dng chỉ ra rằng điều ny xảy ra không
phải tại điểm phong toả nh trớc đây ngời ta tởng [10], m
tại một điểm của quỹ đạo nơi đó thoả mãn điều kiện
01

cos
~
V . Để minh hoạ điều vừa nói, quan hệ trên dới
dạng đờng cong I đợc dẫn trên mặt phẳng


,
~
V (xem hình
5.1a, b). Đờng cong I tiếp giáp với đờng cong II tại điểm
B
ở
đó

.//
~
2
411
B
V
Đờng cong I l đờng bao của một họ
quỹ đạo tơng ứng với những trị số khác nhau của tham số

.
Sự trùng hợp của điểm phong toả A với điểm chuyển tiếp từ các
sóng tới sang sóng ngợc
B
chỉ xảy ra trong điều kiện một
chiều, khi
0

sin . Hiệu ứng cách biệt điểm A với điểm
B
trở
nên thể hiện cng rõ nét hơn khi tham số

tăng dần.
Một thực tế lý thú l trên đoạn quỹ đạo từ điểm phong toả
A đến điểm
B
các sóng tới bị dồn ngợc trở lại xuôi theo dòng
chảy (
0

gx
C ), v chỉ sau đó tại điểm
B
nơi tốc độ dòng bằng
1
2
414

)/(gV
B
mới trở thnh các sóng ngợc. Xa dần
sau điểm
B
chúng bị cuốn xuôi theo dòng. Đối với các sóng đó
luôn thoả mãn bất đẳng thức
0

gx
C . Sóng cng truyền vo vùng
với giá trị tốc độ dòng nhỏ dần thì góc

giảm dần tới không.
Nh đã nhận xét, hợp phần vận tốc nhóm
gx
C của các sóng
tới có thể dơng, có thể âm. Điều kiện
0

gx
C có thể viết thnh
dạng 02
3
coscos
~
V . Đờng cong III tơng ứng với quan hệ
ny cũng đợc dẫn trên hình 5.1a,b. Nó chia mặt phẳng

,
~
V
thnh hai vùng ứng các trị số khác nhau
gx
C . Bên trái đờng
cong III, trong các sóng tới
0
gx
C . Những sóng m 1

có
những trị số
gx
C dơng trên đoạn quỹ đạo II giữa hai điểm
phong toả
A

v A


. Cực đại của hm V
~
đạt đợc tại
)/(arccos 32 v bằng 32 34 // . Tại những trị số của tốc độ
không thứ nguyên V
~
lớn hơn 3/23/4 các sóng với 0
gx

C
hon ton không tồn tại, mặc dù trong khi đó các sóng tới có thể
tồn tại với
1
~
V .
Điểm
B
có tính chất l tại đó tính không đơn trị trong các
quan hệ (5.9), (5.10) v (5.12) mất đi. Dấu (+) tơng ứng với các
sóng tới trong các biểu thức ny, còn dấu () - các sóng ngợc.
Trị số của số sóng k tại điểm
B
bằng g/
2
4 , tức l nó không
phụ thuộc vo tốc độ dòng chảy v góc

.
Trong biểu thức phổ sóng (5.9) xuất hiện điểm kỳ dị khi
01
cos
~
V . Tại lân cận điểm
B
độ lớn của phổ tần - góc tiến
tới vô cùng. Đặc điểm ny đã xuất hiện do sử dụng phép thay
thế các biến trong biểu thức (5.4). Biểu thức có mặt trong
213 214

Jacobien (5.4) trở thnh vô cùng khi 01 cos
~
V . Trong
trờng hợp ny
0)(
g
Ck


, tức hình chiếu của vận tốc nhóm của
chùm lên hớng đã chọn, xác định bởi góc

, bằng 0. Trên
hớng ny thời gian sống đo đợc của chùm với tần số

cos/ Vg 4 tăng vô hạn. Chùm sóng thể hiện bằng một
sóng đơn, đều, phổ của nó đợc xấp xỉ bằng hm-

S ~
)cos/(

Vg 4 có điểm kỳ dị tại




cos/ Vg 4.
Nh vậy đối với hợp phần đã cho độ lớn của phổ thời gian
),(

S nhận trị số vô cùng lớn. Nh sẽ chỉ ra dới đây, nếu
nh không dùng phổ thời gian, m dùng phổ không gian, thì
điểm kỳ dị ny đã không xuất hiện. Kỳ dị phổ (5.9) tại điểm
B

l khả tích.
Trị số phổ của các sóng ngợc
),(

S cũng tăng cùng với
sự giảm tốc độ dòng chảy, v về giói hạn khi
0V
xuất hiện
kỳ dị không khả tích, chứng tỏ về sự sự tăng vô hạn biên độ các
sóng trọng lực. Theo (5.9) bớc sóng của các sóng ny giảm cùng
với sự giảm vận tốc. Độ dốc các sóng bị dòng chảy mang xuôi
dòng tăng mạnh v có thể vợt quá giá trị tới hạn cho phép,
điều ny chắc chắn dẫn tới đổ nho sóng.
Ta xét trờng hợp phân bố góc của phổ ban đầu khi không
có dòng chảy l khá hẹp v nó có thể biểu diễn dới dạng tích



000



SS ,
ở đây

)(
0


hm-delta của Dirak. Trong trờng hợp ny nhờ
tơng quan (5.9) phổ tần số một chiều đợc dẫn tới dạng


2
0
0
11 1
4














VV
S
dVSS

~~
)(
)
~
,(,
. (5.15)
Biểu thức của phổ )(

S trùng với một tơng quan đã nhận
đợc trong một công trình trớc đây [281]. Đối với các sóng đều
)(

S chuyển thnh một biểu thức quen thuộc về diễn biến biên
độ sóng trên dòng chảy do M. S. Longuet-Higgins v R. Stewart
đã nhận đợc [314].
Trên dòng chảy đối mặt tăng dần, phổ ton phần của sóng
đợc quan nệm tạo thnh từ các phổ sóng tới v sóng ngợc.
Sóng ngợc, nh đã chỉ ra trớc đây, xuất hiện do phản xạ các
sóng tới từ dòng chảy bất đồng nhất phơng ngang v bị cuốn
trôi xuôi theo dòng chảy. Nếu tốc độ dòng
)(

V đơn điệu tăng
đến một giá trị no đó, sau đó trở nên không đổi, thì trên đoạn
nơi tốc độ không đổi phổ sóng đợc mô tả chỉ bằng phổ của các
sóng tới.
Ta sẽ xét sự biến dạng phổ tần - góc của sóng trong trờng
hợp ny. Giả sử rằng giá trị ban đầu của phổ sóng đợc mô tả
bởi biểu thức xấp xỉ

n
n
n
n
n
mnQS
maxmax
exp,

1
1
1
0000
, (5.16)
trong đó

0
m mômen không của phổ;


)(
0
Q phân bố góc ban
đầu, đợc xấp xỉ bằng hm côsin luỹ thừa bốn. Ta cho trị số tần
số cực đại phổ
max

bằng 0,86 rad/s, 4

n .
Trên dòng chảy đối mặt, theo những điều đã nói ở trên,
phân bố góc đợc xác định bằng quan hệ

4
2
2
4
2
11
16
1
11
16
1
3
8
cos
~
sin
cos
~
sin
)
~

,(
VV
VQ


2
3
V
~
coscos , (5.17)
215 216

ở đây


V
~
, hm Hevisside, tính tới sự vắng mặt các hợp
phần sóng trong các vùng tơng ứng của mặt phẳng


V
~
, .

Hình 5.2. Diễn biến phổ sóng ),( S trên dòng chảy ngợc m/s 1


V (a)
v trên dòng cùng hớng

m/s 3V (b) ứng với những giá trị

:
oooo
604;303;152;01
Đờng chấm - gạch nối chỉ các giá trị tơng ứng của khoảng cân bằng, đờng
gạch nối - phổ ban đầu khi
o
V 0 m/s 0 ,
Trên hình 5.2a, b dẫn giá trị phổ biến dạng trên dòng chảy
với các tốc độ dòng 01,


V v 3,0 m/s, tính theo các công thức
(5.9), (5.16). Dòng chảy ngợc dẫn tới tăng mạnh độ lớn phổ,
trên dòng xuôi thấy phổ giảm, trong khi đó tần số cực đại phổ
hầu nh không biến đổi.

Hình 5.3. Hm phân bố năng lợng theo góc trên dòng chảy ngợc m/s 1V (a)
v trên dòng cùng hớng
m/s 3

V (b) đối với các tần số

:
rad/s 51 3 rad/s; 650 2 rad/s; 850 1 ,,,

Đờng chấm - gạch nối chỉ phân bố năng lợng theo góc ban đầu
Trên hình 5.3a,b dẫn hình dải quạt định hớng phổ cho các
tần số khác nhau. Hình ny quy chuẩn về giá trị phổ cực đại tại
tốc độ dòng đã cho. Từ các hình vẽ thấy rằng dòng chảy ngợc
217 218

lm hẹp dải quạt hớng, hơn nữa tại các tần số cao mức độ hẹp
lại cng tăng. Trên dòng chảy cùng chiều diễn ra điều ngợc lại.
Nếu sóng đi vo vùng m tại đó hớng sóng ngợc hớng
dòng chảy, thì năng lợng sóng trên một đơn vị diện tích sẽ
tăng do tơng tác với dòng chảy ngợc. Tăng trởng năng lợng
có thể bị hạn chế bởi sự tiêu tán liên quan với đổ sóng. Trong
phổ xuất hiện khoảng cân bằng, tức một dải các tần số

v các
góc , tại đó dòng năng lợng nhận từ dòng chảy cân bằng với
mất năng lợng do đổ sóng.
Nói chung, không có căn cứ no để cho rằng khoảng cân
bằng phổ tần số của sóng trên dòng chảy có dạng nh biểu thức
quen biết của O. M. Phillips [190]
)(


S
~
5

. Nếu sử dụng giả
thiết về tính vạn năng của phổ không gian trong khoảng cân
bằng [301], thì điều đó cho phép tìm phổ tần số - góc của

khoảng trên dòng chảy bằng cách tính thêm tơng quan tản
mạn tơng ứng. Nh vậy, phổ tần số - góc của khoảng cân bằng
sẽ có dạng














,
~
~
cos
~
cos
~
, Vg
V
V
S
1 32
11

52
5
(5.18)
ở đây


~
hằng số Phillips; ),
~
(V phân bố góc tơng ứng.
Khoảng cân bằng (5.18) đợc biểu diễn bằng đờng chấm - gạch
nối trên hình 5.2a, b. Sự giao nhau của đờng cong khoảng cân
bằng với phụ thuộc phổ đã xây dựng trớc đây có nghĩa rằng ở
lân cận khoảng cân bằng v phía phải khoảng đó xấp xỉ phổ (5.9)
có thể l không đúng. Nếu sự biến dạng sóng trên dòng chảy
ngợc diễn ra khá chậm so với thời gian hình thnh phổ sóng
dới tác động của đổ sóng, thì phần đi xuống của phổ sẽ đi qua
không cao hơn khoảng cân bằng, còn cực đại phổ xê dịch về vùng
các tần số thấp hơn, v bản thân phổ trở nên hẹp hơn. Điều ny
đợc khẳng định bằng dữ liệu quan trắc thực địa [332].
Trong vùng với dòng chảy đồng hớng sẽ quan sát thấy bức
tranh ngợc lại.
ở đây một phần năng lợng sóng bị dòng chảy
hấp phụ, còn biên độ các hợp phần sóng trở nên thấp hơn giới
hạn ổn định. Sự đổ sóng chấm dứt, còn phụ thuộc phổ đi thấp
hơn so với khoảng cân bằng.
5.3. Mô hình phổ về sóng cồn
Mô tả hiện tợng, số liệu thực nghiêm.
Những năm gần
đây các nh nghiên cứu sóng gió chú ý nhiều tới sóng cồn. Loại

sóng biển không đều, xuất hiện ở một số nơi có dòng chảy vòng
qua những nơi nớc nông, đáy mấp mô hoặc khi sóng truyền
vo nơi gặp dòng chảy ngợc hớng thờng đợc gọi l sóng cồn.
Sóng cồn cũng có thể do những nguyên nhân tơng tự khác.
Trong các công trình [8,125] đã mô tả tỉ mỉ về hiện tợng sóng
cồn do các cộng tác viên Viện Hải dơng, Viện Hn lâm Nga
quan trắc đợc. Trong các công trình ny đã thực hiện đo sóng
v dòng chảy trong eo biển nối vịnh Onhega với Bạch Hải. Sơ đồ
xuất hiện sóng cồn biểu diễn trên hình 5.4. Các sóng cồn luôn
quan trắc đợc trong thời gian dòng triều lên (hoặc triều xuống)
ổn định, vo lúc tốc độ chảy cực đại v hay gặp nhất trong
trờng hợp gió v dòng chảy ngợc hớng nhau. Trong gió
mạnh, sóng gió lm lu mờ sóng cồn. Sóng cồn l sóng ngắn v
dốc hơn so với sóng gió v sóng lừng thông thờng, ngoi ra, nó
bất đối xứng hơn, đỉnh sóng nhọn, còn đáy sóng thoải hơn.
Những phổ sóng cồn dựng theo các băng ghi sóng đo trong hệ
quy chiếu di động gắn với dòng chảy có tính biến động lớn. Đa
219 220

phần các phổ có hai đỉnh, tức hiện diện hai cực đại gần các tần số
2502 ,/ v 5,0

Hz. Tại vùng tần cao sau đỉnh thứ hai, mật
độ phổ )(

S giảm nhanh v tại một khoảng tần no đó có thể xấp
xỉ bằng phổ cân bằng của Phillips
52
gS [8] (hình 5.5).
Về giải thích lý thuyết hiện tợng sóng cồn, ngời ta cho

rằng nó có thể liên quan tới sự biến dạng sóng gió trên dòng
chảy bất đồng nhất, hoặc liên quan tới sự hình thnh sóng trên
mặt tự do khi dòng chảy lợn quanh bãi cản ngầm [8].

Hình 5.4. Sơ đồ sóng cồn loại giáp ranh:
1 vùng nớc lặng; 2 đới chuyển tiếp; 3 dải đỏ nho; 4 sóng đỉnh
nhọn; 5 sóng nền; 6 bãi ngầm;
m
x điểm cực đại vận tốc dòng chảy
Trong mục ny xét sự phát triển một trong những giả thiết
đã nêu. Một trong các mô hình sóng cồn có thể l sự biến dạng
sóng trên nền dòng chảy bất đồng nhất phơng ngang cỡ lớn
trong phép xấp xỉ quang hình hoc. Ngoi ra cũng không loại trừ
vai trò gián tiếp của những bãi cản ngầm m khi các dòng chảy
nhanh lợn quanh chúng tạo ra sự bất đồng nhất dòng rất
mạnh có ảnh hởng đặc biệt tới các sóng mặt.

Hình 5.5. Phổ sóng mặt trong sóng cồn loại giáp ranh (số liệu thực nghiệm [8]):
1 vùng nớc lặng; 2 đới chuyển tiếp; 3 dải đỏ nho; 4 phổ cân bằng của Phillips
Thiết lập bi toán. Xét bi toán trong phép xấp xỉ quang
hình trên cơ sở phơng trình cân bằng mật độ tác động sóng
dới dạng phổ (5.1). Khó khăn chủ yếu của bi toán l ở chỗ
chúng ta cha nghiên cứu đầy đủ về hm nguồn G . Nếu nh về
221 222

cơ chế phát sinh
in
G v quá trình tái phân bố phi tuyến năng
lợng
nl

G ngời ta đã nhận đợc các quan hệ lý thuyết, nhng
về quá trình tiêu tán sóng
ds
G cho đến nay cha có một biểu
thức no đợc thừa nhận. Để hạn chế sự phát triển phổ sóng
ngời ta thờng dùng cách nhân hm nguồn trong phơng trình
cân bằng năng lợng với một thnh phần )/(


SSf1. Hm
hiệu chỉnh
)/(


SSf1
thiết lập giá trị tới hạn khả dĩ của mật
độ phổ

S v bằng cách đó nó gián tiếp tính tới sự tiêu tán năng
lợng sóng. Để tính sóng trên nớc sâu, khi không có dòng chảy,
với t cách lm phổ tới hạn

S hình thnh bởi tác dụng liên tục
của gió ngời ta sử dụng phổ Pierson-Moskovitz. Còn trờng
hợp có mặt dòng chảy bất đồng nhất phơng ngang thì ngời ta
cha biết phải xấp xỉ bằng phổ tới hạn no. Vì vậy, trong trờng
hợp ny ngời ta sử dụng những lập luận còn tuỳ tiện hơn. Thí
dụ, trong công trình [11], hm nguồn trong phơng trình cân
bằng mật độ tác động sóng đã lấy bằng )/(
0

1 NNNG
U



, ở
đây

0
N mật độ tác động khi không có dòng chảy;


U
gia số
tăng trởng sóng. Tuy nhiên, dạng hm nguồn nh thế cha đủ
hạn chế sự tăng trởng phổ sóng. Thí dụ, trong trờng hợp có
thể bỏ qua tác động gió (
0
U
) mật độ phổ năng lợng

NS


sẽ biến thiên rất nhiều v có thể lm tăng đáng kể phổ của
khoảng cân bằng [301,337] nếu nh nó đợc mô tả bằng kiểu
xấp xỉ hm nguồn nh trên.
Bây giờ ta thử xác định các thnh phần sao cho chúng có
thể hạn chế sự tăng trởng phổ mật độ tác động sóng trong
phơng trình động học (5.1) khi sóng truyền vo gặp vùng dòng

chảy bất đồng nhất phơng ngang v có gió. Muốn vậy, ta lợi
dụng giả thiết về sự tồn tại khoảng cân bằng nh một trạng
thái tới hạn của phổ năng lợng không gian [301]. Cho rằng
khoảng cân bằng l bất biến v xấp xỉ của nó có thể viết bằng
)()(


QkkS
F
4
2
1
. Nếu từ phơng trình cân bằng mật độ phổ
năng lợng sóng (trong đó tính tới tác động của gió v dòng
chảy lên sóng) chuyển sang phơng trình cho mật độ tác động
có sử dụng hm hiệu chỉnh dới dạng
q
SS )/(

11, thì nó
có dạng
dt
d
N
NN
N
N
N
dt
dN

qq
u

1 , (5.19)
ở đây



/SN
;

q tham số mức phi tuyến, đặc trng cho
hiệu quả của phép hạn chế tăng trởng phổ sóng m ta đa vo.
Khi giải phơng trình (5.19) tiện hơn cả l chuyển từ các
biến


yx
kkk ,

sang các biến



,k , ở đây )/(
xy
kk arctg


.
Các đặc trng của phơng trình (5.19) viết dới dạng:
yggyxggx

VCC
dt
dy
VCC
dt
dx
coscos ;
; (5.20)





















yxkdt

d
yxdt
dk
cossinsincos
1
; ; (5.21)
tdt
d





, (5.22)
trong đó




yx
VkVk







sincos ;
x

V v

y
V các hợp phần
vectơ tốc độ dòng chảy
V

;

g
C môđun giá trị tốc độ nhóm.
Nghiệm bi toán một chiều. Ta sử dụng các quan hệ
(5.19) (5.22) để mô tả diễn biến của phổ sóng cồn. Theo sơ đồ
đề xuất trong công trình [8], ta sẽ xem rằng (xem hình 5.4) sóng
từ vùng không có dòng chảy (
0
0

V ) truyền vo vùng có dòng
223 224

chảy tốc độ


0),( xVV

hớng đối mặt với sóng. Tốc độ dòng
chảy )(xV đơn điệu tăng đến một giá trị cực đại no đó
max
V (tại

m
xx ), sau đó nó đơn điệu giảm đến không. Trong công trình
[8] sóng không đều không có nguồn gốc từ gió đợc gọi l sóng
cồn. Không nên hon ton nhất trí với ý kiến ny.
ít ra thì ở đây
vấn đề về sự phát sinh sóng bởi gió l vấn đề còn bỏ ngỏ. Tuy
nhiên, nếu thừa nhận vai trò gió trong sự hình thnh sóng cồn
không đáng kể, thì có thể bỏ qua thnh phần thứ nhất ở vế phải
phơng trình (5.19).
Trờng hợp bi toán một chiều, khi )()(),(




kSkS ,
phơng trình (5.19) dễ dng tích phân, v nghiệm của nó có thể
biểu diễn dới dạng giải tích

q
qqq
NNNNN
1
000
9
1
1

, (5.23)
ở đây
0
N
v

0
N
tuần tự l những giá trị ban đầu của mật độ
tác động sóng v khoảng cân bằng, đợc cho tại
0
tt

. Các đối số
của các hm


000
,, trkN
o


v

000
,, trkN
o



l những hm số của
k xem xét tại thời điểm t ở điểm cụ thể
r

:


trkkk ,,
00



,

trkr r
0
,,
0



. Những biểu thức cuối cùng ny l các nghiệm của

hệ (5.20) (5.22).
Từ nghiệm nhận đợc (5.23) thấy rằng trong trờng hợp khi

NN
0
v
0
N ~

N mật độ tác động giữ nguyên không đổi
dọc theo các quỹ đạo truyền chùm sóng, tức ),,( trkN


~
),,(
0000
trkN

. Nghiệm nh vậy đã đợc xem xét trớc đây. Trong
trờng hợp N ~

N sự hiện diện của khoảng cân bằng ảnh
hởng đến đặc điểm diễn biến của nghiệm
N
v trong giới hạn

NN
0
,

NN
q
9
. Nh sau đây sẽ thấy, tình huống ny có
thể xảy ra khi truyền sóng tới gặp dòng chảy ngợc có tốc độ
tăng dần, sự tăng trởng phổ bị giới hạn bởi sự đổ nho sóng.
Trên nền dòng chảy cùng hớng sẽ xảy ra điều ngợc lại mật
độ năng lợng sóng giảm đi do sự tơng tác với dòng chảy, v sự
hiện diện của khoảng cân bằng trong (5.23) không ảnh hởng
đến đặc điểm diễn biến của nghiệm.
Ta sẽ chuyển từ phổ mật độ tác động )(kN tới phổ tần số
năng lợng )(

S đợc đo trong hệ quy chiếu gắn liền với dòng
chảy
)(
)(/)(


kk
NkkS . Lu ý rằng chính l trong hệ
tọa độ ny ngời ta đã đo phổ sóng trên nền dòng chảy trong
công trình [8]. Nh dới đây sẽ cho thấy, phổ ny khác về căn
bản với phổ đợc đo trong hệ tọa độ cố định )(

S đã mô tả trong
mục 5.2. Xuất phát từ quan hệ (5.23), ta viết nghiệm cho phổ
)(S dới dạng

q
q
q
F
g
Skk
k
k
SS
1
9
0
5
0
2
00
1
0
0
00
00
1
9
1
1

,
(5.24)
ở đây


)(
00
S phổ ban đầu của sóng khi không có dòng chảy.
Ta sử dụng biểu thức của phổ tần ban đầu, lấy trong trờng

hợp không dòng chảy (



) có dạng (5.16), trong đó
n
tham
số xác định hình dạng của phổ có thể chấp nhận bằng 5,5. Tần
số cực đại phổ (
max

) sau ny sẽ đợc biến đổi.
Để xác định các giá trị
0

nh l những hm số của
rV

,,

có mặt trong (5.24), cần giải hệ phơng trình (5.20) (5.22) đối
với một trắc diện tốc độ dòng chảy
)(xV đã chọn. Dới dạng đầy
đủ hệ ny không thể tích phân đợc ngay đối với trờng hợp
một chiều. Vì vậy ta phải có lập luận nh sau.
Từ phơng trình (5.22) suy ra rằng đối với trờng vận tốc
225 226

dòng chảy dừng V tần số

giữ nguyên không đổi dọc theo quỹ
đạo truyền chùm sóng. Trong trờng hợp một chiều điều ny có
thể viết thnh
0



Vk . Quan hệ ny xác định giá trị của số
sóng
0
k phụ thuộc vo k v tốc độ dòng chảy V . Tuy nhiên
cùng một giá trị tốc độ
V
có thể tơng ứng với hai số sóng khác
nhau. Trên dòng chảy ngợc tại cùng một điểm (khi
m
xx

) có
thể tồn tại cả các sóng tới ( 0
gx
C ) v sóng ngợc ( 0

gx
C ) sinh
ra do sự phản xạ các sóng tới từ dòng chảy bất đồng nhất
phơng ngang. Sau khi các sóng đi qua vị trí cực đại tốc độ dòng
chảy (trên đoạn
m
xx ) có thể chỉ tồn tại các sóng tới. Vì

nguyên nhân đó tích phân chuyển động đã nêu không đủ để giải
đơn trị bi toán.
ở đây còn phải chú ý tới những lập luận động
học.
Vậy nếu chùm sóng trong khi truyền tới gặp dòng chảy
ngợc có tốc độ tăng dần m đạt tới điểm
*VV

, tại đó thoả
mãn điều kiện phong toả
0*


VCC
ggx
, thì nó bị phản xạ từ
dòng chảy v bị mang xuôi dòng. Muốn nh vậy cần phải lm
sao để
max
* VV

. Nếu không thì chùm sóng sẽ đi qua "ro cản"
vùng giá trị cực đại tốc độ dòng chảy. Khi
max
* VV

tại vùng
(
m
xx ) sẽ tồn tại cả các sóng tới lẫn các sóng ngợc. Nếu

max
* VV sẽ không có các sóng ngợc. Tại vùng khác (
m
xx ) có
thể chỉ tồn tại những sóng tới đã đi qua "ro cản". Nhờ những
lập luận ny, v cùng với mối tơng quan (5.24), ta biểu diễn
phổ tần số
)(

S tại vùng (
m
xx
) dới dạng

q
q
q
F
g
S
SS
1
7
5
52
0
01
11
1

1
9
1
11
~
~
~
~

~~
~
~
~
2
1
2
1
14
1
1
2
, (5.25)
ở đây
max
/VV

;

gVy /
~
tần số không thứ nguyên; )
~
( y
hm Hevisaide.
Một biểu thức tơng tự đợc viết cho các sóng đã vợt qua
điểm có tốc độ dòng chảy cực đại (
m
xx )

q
q
q
F
g
S
SS
1
7
5
52
0
02
11
1

1
9
1
11
~
~
~
~

~
2
1
2
1
~
~
14
~
~
1
1
2
. (5.26)

Dễ nhận thấy rằng tại điểm
m
xx

biểu thức (5.25) chuyển
thnh (5.26).
Ta sẽ khảo sát đặc điểm diễn biến của phổ sóng đợc mô tả
bằng nghiệm vừa nhận đợc. Muốn vậy, cần cho các trị số của
những tham số có mặt trong (5.25), (5.26). Ta sẽ xem rằng trị số
q bằng 2, đó l giá trị thờng đợc nhiều tác giả chấp nhận khi
tính sóng theo trờng gió [331].
Ta biến đổi các biểu thức phổ (5.25), (5.26) thnh dạng tổng
quát hơn. Muốn vậy, ta tiến hnh chuẩn hóa các phổ
1
S
v
2
S

theo giá trị cực đại của phổ ban đầu

maxmax
/exp

n
n
mnS
1
1
00
.
Biểu diễn các giá trị phổ chuẩn hóa
1
~
S v
2
~
S nh l hm của
tần số không thứ nguyên y
~
. Khi đó trong các biểu thức phổ
xuất hiện một số tham số không thứ nguyên, cần phải cho giá
trị. Những tham số đó l:




gV /
max
tốc độ dòng chảy không
227 228

thứ nguyên v gVv

m
/
maxmax
"mức hiệu quả" của trắc diện
dòng chảy đã chọn ảnh hởng tới các hợp phần mang năng
lợng của phổ. Có thể chỉ ra rằng khi
1,0

m

ảnh hởng của
dòng chảy lên phổ sóng không đáng kể. Mặt khác, khi
5,0
m


dòng chảy hon ton phong toả sóng (
0
2

S ), vì vậy việc xem
xét trờng hợp
m

lớn hơn trị số đã nêu sẽ không có nghĩa, vì
đạc điểm diễn biến phổ sẽ không khác gì.
Trớc hết xét trờng hợp phong toả sóng khi 50
,

m
. Để
xác định đại lợng phổ ban đầu phải cho phơng sai
0
m . Nó có
mặt trong (5.25) v (5.26) dới dạng một tích không thứ nguyên
0
24
0
1 gnm
F
/)(
max
, ta có thể liên hệ nó với độ dốc ban đầu
trung bình của sóng
0
2
00
107222

,/h (ở đây
0
h v
0


tuần tự l độ cao v bớc sóng trung bình ban đầu).
Ta khảo sát ảnh hởng của tham số
0

lên đặc điểm diễn
biến của nghiệm. Trên hình 5.6 trong ảy lệ loga thể hiện phổ
)
~
(
~
1
yS với những trị số khác nhau
0

tại điểm nơi tốc độ dòng
chảy
1750,


. Đờng cong 1 biểu diễn phổ
1
~
S khi 0
0


, tức
ứng với các sóng biên độ vô cùng nhỏ. Nét chính của phổ lm nó
khác với phổ ban đầu (5.16) l sự hiện diện hai cực đại trên các
tần số
240,0
~
1

y
v
787,0
~
2
y
. Mặc dù cực đại phổ thứ hai lớn
hơn cực đại thứ nhất rất nhiều, nhng nhìn chung phổ trông
giống một cấu trúc đối xứng. Sự phân đôi phổ nh thế ny liên
quan với việc các đối số phổ chuyển một cách hình thức từ


sang
)
~
1(
~
yy

; về ý nghĩa vật lý của điều ny sẽ đợc tìm hiểu
sau. Khi tốc độ

giảm dần, các cực đại phổ cng tách ra xa
nhau, giá trị của đỉnh phổ thứ nhất tiến dần tới đơn vị, còn đỉnh
thứ hai tăng mạnh hơn v về giới hạn sẽ tiến tới vô cùng.

Hình 5.6. Đặc điểm diễn biến nghiệm )
~
(
~

1
yS trong tỷ lệ loga
với 1750 50 ,,,

m
v một số trị số
0
:
1 - 0,0; 2 - 0,001; 3 - 0,01; 4 - 0,1; 5 - 10,0
Các đờng cong 26 trên cùng hình vẽ thể hiện các phổ đối
với một số trị số của tham số
0

. Khi tăng tham số ny, cực đại
phổ thứ hai giảm v khi
050
0
,

thì mất hẳn. Nh vậy
0


đóng vai một tham số điều chỉnh trạng thái phần phổ cao tần.
Giá trị đỉnh thứ hai còn phụ thuộc vo tham số
n trong biểu
thức xấp xỉ phổ (5.16).
ở đây n chấp nhận bằng 5,5, với n tăng
lên, sự tách đôi hai cực đại trên phổ cng rõ nét hơn.
Ta sẽ xem nghiệm (5.25) v (5.26) mô tả sự tiến triển phổ

sóng nh thế no khi chúng truyền tới nơi gặp dòng chảy ngợc
bất đồng nhất phơng ngang. Trong tính toán ta chấp nhận
229 230

010
0
, , điều ny tơng ứng với việc cho sóng ban đầu dới
dạng sóng lừng thoải. Trên hình 5.7a thể hiện các phổ
1
~
S v
2
~
S
của sóng trên dòng chảy (xem hình 5.4), tốc độ cực đại
250,
m
. Với tốc độ ny, sự phong toả tất cả các hợp phần phổ
mang năng lợng không xảy ra v phổ
2
~
S so sánh đợc về độ
lớn với
1
~
S .
Tại giai đoạn đầu truyền sóng (khi 10
,

), quan sát thấy
tăng cực đại ban đầu của phổ
1
~
S nằm ở tần số 12,0
~
1

y v xuất
hiện cực đại thứ hai ở tần số
64,0
~

y . Cự đại thứ hai đã xuất
hiện tại những tần số lớn hơn 0,5. Các giá trị tần số ny chứng
tỏ về các sóng ngợc, xuất hiện do phản xạ các sóng ban đầu từ
dòng chảy bất đồng nhất phơng ngang.
Trên hình 5.7a cũng dẫn ra những giai đoạn tiến triển của
phổ
1
~
S diễn ra tại các điểm nơi tốc độ dòng

tuần tự bằng bằng
0,15, 0,175 v 0,2.
ở đây nhận thấy sự tăng trởng tiếp theo
của phổ
1
~
S , đặc biệt ở lân cận đỉnh thứ hai v sự xích lại gần

nhau của các cực đại phổ. Giá trị cực đại thứ hai trở nên lớn hơn
đáng kể so với cực đại thứ nhất. Sự tiến triển tiếp theo của phổ
với những trị số

đã nêu khá phù hợp với dữ liệu quan trắc
(xem hình 5.5). Đặc điểm diễn biến chứng tỏ sự ổn định tơng
đối của tần số thứ nguyên của cực đại đỉnh phổ thứ nhất
m


),,( 451201
1
v sự bất ổn định của giá trị mật độ phổ.
Các tác giả công trình [8] cũng đã đi đến kết luận tơng tự trên
cơ sở phân tích dữ liệu thực nghiệm. Tuy nhiên, nhận thấy rằng
trong thực nghiệm tốc độ cực đại
m

không vợt quá 0,2.
Khi tăng dần tốc độ dòng chảy

(xem hình 5.7 a, đờng
cong 5) đến giá trị cực đại của nó cả hai đỉnh phổ tiếp tục xích
lại gần nhau v chập thnh một. Đỉnh thứ hai trở nên lớn hơn
nhiều so với đỉnh thứ nhất v hình nh nó "nuốt mất" cực đại
thứ nhất. Khi
m

cực đại phổ
1
~
S có độ lớn

3,9 tại tần số
không thứ nguyên
5,0
~
1

y , tức tơng ứng với tần số
m
2
1
.
Nhận thấy rằng tần số của cực đại thứ hai
2

của phổ
1
~
S
trong thời gian tiến triển đã biến đổi trong phạm vi lớn từ
6,5 đến
m

2 .

Hình 5.7a. Tiến triển các phổ sóng trên dòng chảy ngợc khi

2250

q
m
,, v 01,0
0


với một số giá trị tốc độ

:
1 - 0,1; 2 - 0,15; 3 - 0,175; 4 - 0,20; 5 - 0,225
Đờng liền chỉ phổ
1
~
S
, đờng chấm - gạch nối chỉ
2
~
S
,
đờng gạch nối - khoảng cân bằng
231 232


Hình 5.7b. Tiến triển các phổ sóng trên dòng chảy ngợc khi
10250

q
m

,, v 010
0
, với một số giá trị tốc độ

:
1 - 0,1; 2 - 0,15; 3 - 0,175; 4 - 0,20; 5 - 0,225
Đờng liền chỉ phổ
1
S
~
, đờng chấm - gạch nối chỉ
2
S
~
, đờng gạch nối -
khoảng cân bằng
Trên cùng hình vẽ ny đờng chấm - gạch nối (các đờng 1'
5') chỉ phổ
2
~
S của các sóng đã đi quan vùng cực đại tốc độ
dòng chảy ("ro cản") v đang nằm trong vùng nơi tốc độ dòng
chảy có cùng trị số nh đối với các sóng của phổ
1
~
S . Khác với
1
~
S ,
phổ

2
~
S có một đỉnh. Tại vùng các tần số nhỏ nó hon ton trùng
với phổ
1
~
S , sau đó cắt giảm nhanh tới không. Sự cắt giảm ny l
do những điều kiện động học đối với các sóng bị phong toả bởi
tốc độ dòng chảy v không thể vợt qua "ro cản". Trên thực tế
sự đứt đoạn đột ngột nh vậy chắc gì đã có thật. Nó đã xuất
hiện trong nghiệm vì chúng ta đã bỏ qua hiệu ứng tái phân bố
phi tuyến năng lợng trong phổ sóng v sự tác động của gió. Sự
hiện diện của gió nhất thiết phải dẫn tới sự phát sinh bổ sung
những hợp phần cao tần trên dòng chảy v tơng ứng với điều
đó l sự giảm đều đều hơn của phổ trong vùng tần đã nêu. Tuy
nhiên trong thực nghiệm mô tả trong công trình [8] thực sự
quan sát thấy sự giảm khá nhanh của phổ ở dải tần đã nêu
(xem hình 5.5, đờng cong 1), điều ny khẳng định về chất đặc
điểm của nghiệm m chúng ta đã nhận đợc.
Nhận thấy rằng nếu nh đối với các phổ
1
~
S các đờng cong
1 5 tơng ứng với những giai đoạn liên tiếp tiến triển phổ
sóng khi truyền theo hớng tăng tốc độ dòng chảy ngợc, thì đối
với các phổ
2
~
S các đờng cong 1' 5' phản ánh tình huống
ngợc lại, tức phổ đợc ký hiệu 5' xảy ra trớc phổ ký hiệu 1'.

ở
đây các sóng chuyển động trong vùng nơi tốc độ dòng chảy
ngợc giảm. Kết quả l năng lợng sóng bị hấp thụ bới ứng suất
tia, v phổ
2
~
S giảm đi. Cờng độ sóng sau ro cản (khi
m
xx )
đột ngột giảm, v sóng có đặc điểm đều đặn hơn. Sóng trở nên
di v thoải.
Điểm A trên phổ
1
~
S ký hiệu vị trí đứt đoạn phổ liên quan
tới sự phong toả các hợp phần cao tần, điều ny suy ra từ
nghiệm (5.25). Diễn biến nh vậy của phổ liên quan tới những
giả thiết xuất phát v đã đợc mô tả ở trên đối với phổ
2
~
S . Tuy
nhiên, khác với
2
~
S , sự phát sinh các hợp phần cao tần
1
~
S phải
mang đặc điểm mạnh mẽ hơn, vì đây l sự phát sính sóng trên
233 234

dòng chảy ngợc tăng tốc độ, v mật độ phổ ở đây thực tế phải
lớn hơn đáng kể. Với sự tăng dần tốc độ cực đại của dòng chảy
m

điểm A dịch về vùng các tần số cao, tức diễn ra sự "lấp đầy"
phổ bằng những hợp phần cha bị phong toả tại các giá trị
m


nhỏ hơn.
Khoảng cân bằng Phillips chuẩn hóa theo giá trị cực đại của
phổ ban đầu

0
5
1











/exp
~

/
n
n
yvS
R
đợc đánh dấu bằng
đờng gạch nối trên hình 5.7a (các đờng cong 1'' 5''). Nh đã
thấy, cực đại phổ thứ hai v phổ các tần số cao hơn vợt quá 2
3 lần giá trị khoảng cân bằng. Sự vợt trội của phổ các tần số
cao có thể liên quan tới tình huống sau. Khái niệm khoảng cân
bằng đã đợc O. M. Phillips [190] đa ra với t cách l một
trạng thái phổ tới hạn no đó, hình thnh dới tác động của gió
lên mặt nớc v sự tiêu tán sóng. Vì vậy không có đủ căn cứ để
cho rằng nếu cơ chế phát sinh sóng liên quan không phải với tác
động của gió, m với sự tơng tác của sóng v dòng chảy bất
đồng nhất phơng ngang, thì trạng thái tới hạn của phổ sẽ
trùng khớp với khoảng cân bằng Phillips. Trong khuôn khổ mô
hình đã chấp nhận, có thể lm hạ thấp đáng kể mức của các hợp
phần phổ tần số cao. Để lam điều ny cần thay vì chấp nhận q
bằng không liên quan tới luật tiêu tán năng lợng bình phơng
vẫn thờng dùng trong các bi toán tính sóng theo trờng gió
[331], hãy lấy giá trị q lớn hơn một cách đáng kể. Thí dụ, với
10q dạng phổ dẫn trên hình 5.7 b. Thấy rằng, trong trờng
hợp ny ảnh hởng của tiêu tán trong mô hình trở nên mạnh
hơn. Độ vợt trội của phổ trên khoảng cân bằng không quá 25%,
trong đó cực đại thứ hai giảm so với trờng hợp trớc, còn tần số
của nó dịch chuyển một ít về vùng tần thấp. Tuy hình dạng phổ
nhìn chung không bị biến đổi nhiều, phần tần cao của nó trở
nên giống hơn so với quan trắc thực.
Lý giải vật lý về sóng cồn. Sau những điều trình by

trên đây, ta có thể đi tới giải thích sự xuất hiện của sóng cồn
nh sau. Các sóng khi truyền tới gặp dòng chảy bất đồng nhất
phơng ngang sẽ tăng độ cao v giảm bớc sóng. Những sóng
ngắn nhất, sau đó cả những sóng di hơn bắt đầu bị phong toả.
Trong lúc đó xuất hiện các sóng ngợc, chúng bị mang ngợc trở
lại theo dòng chảy. Mặt tự do l tổng hợp của hai hệ thống: các
sóng tới v các sóng ngợc. Độ cao các sóng ngợc tăng mạnh,
còn bớc sóng giảm. Trớc khi sự tiêu tán bắt đầu có vai trò,
mật độ tác động giữ nguyên không đổi, còn năng lợng v tần số

tăng, tức diễn ra "sự dịch chuyển" hi đang xét trong phổ.
Sau khi độ dốc sóng đạt tới một giá trị tới hạn no đó sóng sẽ đổ
nho. Trong đó phần phía trên của đỉnh bị "cắt đứt", tức biên độ
sóng giảm đột ngột, còn bản thân sóng tiếp tục bị dòng chảy
mang đi, độ cao của nó tăng, bớc sóng giảm cho đến lần đổ
nho sau.
Do ảnh hởng hữu hiệu của dòng chảy lên sóng, sự cân
bằng trong phổ có thể xảy ra tại những giá trị mật độ phổ lớn
hơn so với trong sóng gió bình thờng. Chúng tôi nhắc lại rằng
độ dốc trung bình của sóng gió bằng 1/36, trong khi độ dốc tới
hạn của sóng có thể vợt quá 1/7. Trong phổ sóng cồn, các sóng
với độ dốc gần với độ dốc tới hạn nhiều hơn rất nhiều, điều ny
dẫn đến sự bất ổn định rất lớn của mặt dậy sóng.
ở đây mặt tự
do trở thnh vùng sóng đỉnh nhọn có rất nhiều sóng tơng đối
ngắn, dốc, sự đổ nho sóng diễn ra mạnh mẽ.
Tổng kết những gì đã nói ở trên, ta thấy rằng rằng đặc điểm
tiến triển chủ yếu của phổ
1
~

S xảy ra khi truyền sóng tới gặp
dòng chảy tăng tốc độ l sự xuất hiện cực đại phổ thứ hai, sự
tăng trởng nhanh của nó v sự xê dịchtần số cực đại vo vùng
235 236

tần thấp. Cực đại thứ hai ny gây nên bởi sự hiện diện của các
sóng ngợc xuất hiện do kết quả phong toả các sóng tới trên
dòng chảy. Sự gia tăng cờng độ tác động gió chắc sẽ dẫn tới
lm lu mờ những hiệu ứng đã mô tả, điều ny gây bởi hai
nguyên nhân: do giảm tần số cực đại phổ
max

, tức giảm tốc độ
không thứ nguyên của dòng chảy
m

, v do mức cao hơn của
phổ ban đầu trong vùng cực đại phổ v ở bên phải nó, tức tăng
tham số
0

(xem hình 5.6).

Hình 5.8. Tiến triển các phổ sóng (trong tỷ lệ loga) tại 5,0
m

v một số giá
trị tốc độ
: 1 - 0,225; 2 - 0,25; 3 - 0,30; 4 - 0,35
So sánh nghiệm nhận đợc trong khuôn khổ mô hình lý

thuyết đề xuất ở đây với dữ liệu quan trắc thực địa về phổ sóng
cồn [8,125] cho thấy sự phù hợp không chỉ về mặt định tính, m
trong nhiều trờng hợp cả mặt định lợng. Hơn nữa, mô hình
cho phép ít ra mô tả định tính một số tình huống diễn biến sóng
trên các dòng chảy cha đợc thấy trong công trình [8] vì lý do
giá trị tốc độ cực đại của dòng chảy tơng đối bé. Trớc hết đó l
hiện tợng hợp nhất hai cực đại phổ, theo tính toán của mô
hình diễn ra tại
2,0
m

v đã đợc minh hoạ ở trên với
2250,
.
Khi tăng nữa tốc độ cực đại dòng chảy
m

v truyền sóng
vo vùng các tốc độ lớn hơn, sự hợp nhất ny tiếp tục diễn ra.
Tình huống nh vậy đợc thể hiện trên hình 5.8 cho tốc độ cực
đại
5,0

m

. Thấy rằng bây giờ phổ sóng có dạng đối xứng qua
5,0
~
y , giảm về độ rộng v đặc biệt về độ lớn (khoảng hai bậc).
Các hợp phần phổ thấp tần xâm nhập vo vùng với giá trị tốc độ

dòng lớn hơn so với những hợp phần phổ ở lân cận cực đại phổ
có thể. Điều ny tơng tự nh hiện tợng "thấm dới cản" quen
thuộc trong cơ lợng tử [120].
5.4. ớc lợng tơng tác phi tuyến yếu trong phổ
sóng cồn
Tổng quan vấn đề.
Mặc dù trong mục trớc đã chỉ ra ảnh
hởng áp đảo của dòng chảy bất đồng nhất phơng ngang lên sự
hình thnh phổ sóng, nhng vấn đề về vai trò của các hiệu ứng
phi tuyến trong quá trình ny còn bỏ ngỏ. Hm nguồn bán thực
nghiệm sử dụng trong mô hình cha tính đến hiệu ứng tơng
tác phi tuyến yếu của sóng trong phổ sóng cồn. Đồng thời cũng
tồn tại giả thiết [125] rằng hệ thống "ho khí", tức hệ thống gồm
các ho âm với hớng chuyển động v biên độ khác nhau không
tơng tác, m đơn thuần cộng với nhau, có thể l mô hình phù
hợp cho trờng sóng nh vậy. Mặt khác, các tác giả công trình
[125] cho rằng dữ liệu thực nghiệm chứa đựng bằng chứng ửng
hộ xấp xỉ phổ bằng phổ Kolmagorov
31134 //
gS . Điều ny đã
237 238

cho phép họ nêu ra giả thiết về sự kích động sóng cồn quy mô
nhỏ v nó tăng trởng tiếp nhờ kết quả vận chuyển phi tuyến
tác động sóng về phía các tần số thấp tới các giới hạn đổ nho
của Phillips. Tuy nhiên, giải thích hình thnh sóng cồn nh vậy
gây nghi ngờ, vì phổ Kolmagorov v tất cả những hệ quả rút ra
từ đó đã nhận đợc trong các công trình [6668] đối với khoảng
trong suốt trong phổ sóng gió. Những giả thiết về tồn tại
khoảng trong suốt trong phổ sóng cồn chắc gì đợc thoả mãn

trong thực tế, bởi vì ít ra thì sự tơng tác các sóng với dòng chảy
bất đồng nhất phơng ngang diễn ra trong ton dải tần.
Ngoi ra, hình dạng bất đối xứng của sóng ("đỉnh nhọn v
chân thoải", nh những nh nghiên cứu mô tả) v sự đổ nho
mạnh mẽ của sóng ("nớc sôi") chứng tỏ về sự tiêu tán v vai trò
của các hiệu ứng phi tuyến mạnh trong một khoảng tần rộng
của phổ. Từ nghiệm nhận đợc (5.25) cũng có một phần no đó
khẳng định điều vừa nói; đặc điểm diễn biến của nghiệm trong
vùng phổ tần cao đợc quy định bởi tham số q . Ta nhớ lại rằng
q mô tả mức độ phi tuyến của phơng trình xuất phát (5.19), l
cơ sở của mô hình đang xét. Thực tế rằng khi tăng tham số q
đặc điểm diễn biến của nghiệm ở vùng phổ tần cao
1
~
S trở nên
giống với phổ thực quan trắc, chứng tỏ về ý nghĩa của các hiệu
ứng phi tuyến mạnh trong sự hình thnh vùng phổ cao tần. Còn
về vấn đề vai trò của tơng tác phi tuyến yếu trong sự hình
thnh phổ sóng cồn thì còn bỏ ngỏ.
Xây dựng phổ hai chiều sóng cồn. Có thể nghĩ rằng ở
đây để tính sự tơng tác phi tuyến yếu có thể sử dụng xấp xỉ
phổ tần đã nhận đợc trong mục trớc. Tuy nhiên, muốn vậy
cần biết không phải l phổ một chiều - phổ tần, m l phổ
không gian hay phổ tần số - góc
),(


S , phổ ny cha nhận
đợc trong thí nghiệm [8]. Nghiệm giải tích của nó có thể nhận
đợc từ (5.19)(5.22) nếu tham số q tiến tới vô cùng. Điều ny

về thực tế có nghĩa rằng trong vùng tần cao giá trị mật độ phổ
đợc chấp nhận bằng giá trị mật độ phổ trong khoảng cân bằng
Phillips.
Nh vậy, nhờ phơng trình mật độ phổ tác động sóng
)(kN


(5.19) trong trờng hợp


NN dọc theo đờng đặc trng có
thể dễ dng tìm mật độ phổ năng lợng
S
phụ thuộc vo tần số

v góc )/(
xy
kk arctg




1
0
0
00
000

kk
k
k
SS
,,
, (5.27)
ở đây








cos
~

1
0





















sinarcsin
2
0
0
;

00
0
,S
mật
độ phổ năng lợng ban đầu trong vùng nơi dòng chảy vắng mặt.
Giả sử rằng hm phân bố góc của năng lợng của phổ tỷ lệ với
bình phơng côsin.
Khi truyền sóng trên nớc sâu từ vùng không có dòng
chảy tới gặp dòng chảy dừng bất đồng nhất có tốc độ biến đổi
dọc hớng của nó, tần số

v hợp phần vectơ sóng
y
k giữ
nguyên dọc tia. Trong trờng hợp ny nghiệm (5.27) có thể viết
dới dạng








2
0
11

cos

~
cos
~
, SS . (5.28)
Trên dòng chảy ngợc, do sự biến dạng các tham số động
học của sóng sẽ diễn ra sự thu hẹp phân bố góc, trong đó thoả
mãn bất đẳng thức

0
1
1
4
2
0
2




cos
~
sin
cos
. (5.29)
239 240


Hình 5.9. Những quỹ đạo chùm sóng trên dòng chảy ngợc:
a trắc diện tốc độ dòng chảy; B điểm tới hạn, tại đó
max

VV
;
b những quỹ đạo truyền chùm sóng đi tới điểm
A; C điểm ngoặt
Để xây dựng phổ ton phần phải "thu thập" tất cả các tia đi
tới điểm tính. Nhng không phải tất cả các chùm sóng xuất
phát có khả năng đi tới đó. Trên hình 5.9 b thể hiện các quỹ đạo
của các chùm sóng trên nền tốc độ dòng chảy ngợc (xem hình
5.9 a).
ở đây có thể tách ra hai loại tia. Loại thứ nhất đi ra từ
biên giói xuất phát, đi tới điểm tính với trị số dơng của hợp
phần tốc độ nhóm
050 V
k
g
C
gx
cos, ,
tức đó l các sóng tới, truyền lên trên theo dòng chảy. Ngoi ra,
đi tới điểm ny còn có các chùm sóng ngợc (
0

gx
C ). Vùng hai
chiều biến thiên của các biến



,
~

y đối với trờng hợp dòng
chảy ngợc lại (
0V ) thể hiện trên hình 5.10. Đờng cong II
ứng với điều kiện
0
gx
C chia miền tích phân thnh hai phần,
trong các phần đó
0
gx
C hay 0

gx
C . Vì tốc độ cực đại của trắc
diện dòng chảy đã chọn (xem hình 5.9a) có giới hạn

max
V ,
nên không phải tất cả các sóng tới đi qua điểm tính sẽ phản xạ
từ dòng chảy đối mặt. Vì vậy, những sóng tới no có thể phản xạ
tại các tốc độ lớn hơn

max
V thì trên dòng chảy đã cho không
phản xạ, v từ chúng không sinh ra các sóng ngợc. Điều kiện
vắng mặt các sóng ngợc đó tại điểm, theo kết quả mục 5.2, có
thể viết dới dạng:
050

~
cos,
; (5.30)


01 50
2

~
sin/sinsin,
AA
, (5.31)
trong đó


10





max
/VV ; góc
A

đợc xác định theo quan
hệ (5.14).
Các điều kiện (5.30) v (5.31) tách ra một phần miền biến

thiên cho phép của các đối số của các hm (xem hình 5.10) tuỳ
thuộc vo tơng quan tốc độ

. Ta biểu diễn phổ sóng trên dòng
chảy có tính tới các điều kiện động học dới dạng

n
n
v
n
n
nmv
g
V
VS
cos
~
~
exp,,
1
1
11
2
2
01

~
cos
~
cos
~
2
1
11
21
5
n
n

1

2
1

2
1

2
A
A
sin/sin
sin
~~
cos
, (5.32)
trong đó

2
1

cos
~
sin .
Biểu thức ny chứng tỏ về sự thu hẹp phân bố góc của phổ
trên dòng chảy ngợc v về sự hiện diện cấu trúc hai đỉnh của
phổ liên quan với sự tòn tại các sóng tới v sóng ngợc phản xạ
241 242

ở điểm phong toả.
Nhờ khoảng cân bằng Phillips, ta tính tới sự đổ nho sóng
có thể xảy ra trên dòng chảy ngợc. Chấp nhận rằng nếu mật độ
phổ vợt quá giá trị của khoảng cân bằng với t cách l giá trị
tới hạn, giá trị phổ sẽ đợc san bằng giá trị khoảng cân bằng.
Tuy nhiên, khoảng cân bằng đợc xác định với độ chính xác tới
phân bố góc. Cách tự nhiên nhất l chấp nhận nó nh l trong
trờng hợp sóng gió bình thờng. Giả sử rằng trong vùng cân
bằng diễn ra sự giãn rộng phân bố góc do xu thế đẳng hớng
hóa phổ liên quan với đổ nho sóng. Vậy theo công trình [45] ta
sẽ xem rằng khoảng cân bằng đợc xấp xỉ bằng công thức côsin
bình phơng (
2
cos ). Nh vậy, ta chấp nhận rằng phổ hai
chiều của sóng trên dòng chảy đợc mô tả bằng tơng quan

,;,,min,,
R
SVSVS , (5.33)
trong đó











2 khi 0
2 khi 2

252
/
/cos/
,
g
S

F
R
(5.34)
Trên hình 5.11 thể hiện sự tiến triển của phổ tần số - góc
đợc tích phân theo các hớng
),(


S v đợc chuẩn hóa theo
cực đại giá trị xuất phát của nó khi không có dòng chảy





dVSSS
1
0
,,/
~
maxmax
. (5.35)
Các trị số của những tham số quyết định trong công thức
(5.35) đợc lấy giống nh trong mục trớc. Những đồ thị phổ
trên hình 5.11 đợc dẫn dọc theo dòng tại các điểm tốc độ dòng
chảy

khác nhau (trong miền
m
xx

, xem hình 5.4).

Hình 5.10. Miền tích phân giới hạn bởi đờng cong I tơng ứng với sự biến
dạng hm phân bố góc (5.29); II - đờng cong trên đó tốc độ nhóm bằng không
0
gx
C . Các đờng gạch nối chỉ các biên phía phải của miền tích phân ứng
với
9950,

(1);
950,


(2);
670,


(3)
Trên trục ngang không đặt tần số không thứ nguyên y
~
, m
l trị số tơng đối




~
/

max
rất hay đợc dùng khi thể hiện
phổ. Trong các biến ny phổ không còn có dạng đối xứng qua
một tần số trung tâm no đó
5,0
~

y (xem hình 5.7 a), vì điểm
1
~
y rời xa về vô cùng, còn bản thân phổ )
~
(
~
S có thể so sánh
với giá trị thực nghiệm trên hình 5.5. Từ hình 5.11 thấy rằng
phổ
)
~
(
~
S có cấu trúc hai đỉnh. Theo mức độ truyền sóng tới
vùng có tốc độ dòng chảy ngợc lớn hơn sẽ diễn ra sự tăng mật
độ phổ năng lợng sóng, ngoi ra mật độ phổ ở lân cận cực đại
tần cao sẽ tăng mạnh hơn. Cực đại ny xe dịch về phía vùng tần
thấp, trong khi đó cực đại tần thấp xe dịch về phía tần cao, tuy
với mức độ nhỏ hơn. Khi 20
,

hai cực đại hợp nhất lm một.

Ta nhận thấy rằng diễn biến phổ sóng đợc mô tả bằng nghiệm
của phổ hai chiều thực tế trùng với diễn biến của nghiệm cho
phổ một chiều đã dẫn trong mục trớc.
243 244


Hình 5.11. Tiến triển các phổ sóng trên dòng chảy ngợc tại 250,
m
ở các
điểm giá trị tốc độ khác nhau

:
1 0,10; 2 0,15; 3 0,175; 4 0,20; 5 0,225
Kết quả tính số trị sự tơng tác sóng phi tuyến yếu
trong phổ sóng cồn.
Ta sẽ thực hiện tính toán bằng số hiệu
ứng tơng tác sóng phi tuyến yếu trong phổ đợc cho dới dạng
(5.33).
ở đây sẽ sử dụng thuật toán mô tả trong mục 4. Bỏ qua
những chi tiết tính toán, trên hình 5.12 dẫn các kết quả cuối
cùng tính số trị đối với tích phân tơng tác phi tuyến (4.1) đợc
tích phân theo các hớng, tuần tự cho các giai đoạn phát triển
phổ trên dòng chảy: 100
,


; 150,


; 1750,

; 200, ;
2250, .
Giá trị của hm
nl
G
trên hình vẽ đợc chuẩn hóa nh sau:



1
113

gSGG
nlnl
/
~
~
maxmax
, (5.36)
trong đó
max
/
~




.

Hm
nl
G
~
có dạng điển hình đối với các hm vận chuyển phi
tuyến trong phổ sóng gió. Tại các tần số nhỏ hơn tần số cực đại
phổ thứ hai chủ yếu thấy vận chuyển dơng. Tại các tần số lớn
hơn tần số cực đại có dòng năng lợng âm, dòng ny tại các tần
số lớn của dòng năng lợng lại trở thnh dơng. Đặc điểm diễn
biến nh vậy của hm chứng tỏ rằng tính phi tuyến tạo nên xu
thế xê dịch cực đại thứ hai về vùng tần thấp do hệ quả dòng
năng lợng mất đi từ phổ ở các tần cao. Cùng với quá trình phát
triển sóng, giá trị
nl
G
~
tăng lên. Các giá trị cực đại v cực tiểu
của nó xe dịch về vùng tần thấp đồng thời với cực đại thứ hai.
Điều lý thú l nếu ta tiến hnh chuẩn hóa lại
nl
G theo đại lợng
gS
/)(
maxmax
113




, trong đó

max
tần số của cực đại phổ tần cao
thứ hai, thì giá trị ny tỏ ra khá ổn định, tức phụ thuộc rất yếu
vo giai đoạn phát triển sóng.

245 246


Hình 5.12. Hm một chiều vận chuyển phi tuyến trong phổ sóng tại các điểm
với tốc độ khác nhau:
1 - 0,10; 2 - 0,15; 3 - 0,175; 4 - 0,20; 5 - 0,225
Phải nhận thấy rằng đối với giai đoạn ban đầu
1750,


giá
trị tại lân cận cực đại tần thấp thứ nhất nhỏ hơn 34 bậc so với
giá trị tại lân cận cực đại thứ hai. Điều ny chứng tỏ rằng cơ chế
phi tuyến yếu thực tế không có ảnh hởng lên sự hình thnh
phổ tại lân cận cực đại thứ nhất.
Cùng với sự phát triển tiếp của sóng
2250200 ,,



các cực
đại phổ tiếp tục xích lại gần nhau. Trên các tần số nhỏ hơn tần

số cực đại thứ hai, tại
200,
xuất hiện một vùng (
751,
~


) nơi
đây vận chuyển phi tuyến trở nên âm. Hnh vi bất thờng ny
của hm
nl
G
~
chứng tỏ rằng từ vùng ny năng lợng bị dồn sang
phía cực đại phổ thứ hai, tức "về phía ngợc lại", điều ny liên
quan tới ảnh hởng của cực đại tần thứ nhất lên cơ chế vận
chuyển năng lợng phi tuyến.
ở đây sự phi tuyến "hớng tới"
lm cho phổ có dạng phẳng phiu hơn. Khi các cực đại phổ tiếp
tục xích lại gần nhau (
2250,


) v hợp nhất lm một, thì vùng
âm nói trên biến mất. Để phân tích tỉ mỉ hơn về vùng âm tần
thấp
nl
G
~
, trên hình 5.13 dẫn hm hai chiều ),

~
(
~

nl
G đối với một
số hớng (


0; 15; 30; 45; 60. Từ hình vẽ thấy rằng vùng âm
vận chuyển phi tuyến trên các tần số thấp chỉ đặc trng cho các
hớng gần với hớng tổng quát

0 . Còn trên các hớng khác,
trong vùng vừa nêu chỉ thấy các giá trị dơng của hm
),
~
(
~

nl
G . Hơn nữa, trớc vùng âm, trên hớng tổng quát, thoạt
đầu (khi 51
,
~


) hm ),
~
(

~
0
nl
G đổi dấu, v tại tần số 31,
~


có
cực đại dơng nằm về bên trái một ít so với cực đại tần của phổ.
Những tính toán tơng
tự thực hiện với phân bố góc hẹp
hơn



4
cos của mật độ phổ trong vùng cân bằng đã cho thấy
rằng dòng năng lợng âm mất đi tại các tần số thấp trở nên
mạnh mẽ v tồn tại không chỉ trên hớng tổng quát

0 , m
trên cả hớng

15 , mặc dù mức độ yếu hơn. Nh vậy, luận
điểm [125] rằng: phổ sóng cồn đợc hình thnh do kết quả
nhiễu động sóng quy mô nhỏ v sau đó tăng trởng dần nhờ vận
chuyển phi tuyến yếu tác động sóng về phía các tần số thấp,
không đợc khẳng định thậm chí ngay với vùng cực đại tần số
thứ hai. Nh ta thấy, vận chuyển phi tuyến yếu có đặc điểm
phức tạp hơn v trên một khoảng tần no đó có thể "vận hnh

theo hớng ngợc lại".
247 248


Hình 5.13. Giá trị của hm hai chiều vận chuyển phi tuyến tại điểm
200,



với một số giá trị góc

:
1 0
o
; 2 15
o
; 3 30
o
; 4 45
o
; 5 60
o
Để kết luận, chúng tôi nhận xét rằng nếu tính tới đặc điểm
vận chuyển phi tuyến yếu, phổ sóng cồn có thể quy ớc chia
thnh hai vùng
lân cận các cực đại thứ nhất v thứ hai. Cờng
độ vận chuyển phi tuyến yếu ở vùng các tần số mang năng
lợng lân cận cực đại thứ hai lớn hơn so với ở lân cận cực đại
tần thấp. Vì nguyên nhân ny, vận chuyển phi tuyến yếu có thể
l một trong những cơ chế hiệu quả nhất hình thnh phổ ở lân

cận cực đại thứ hai. Nó thực tế không có ảnh hởng gì tới phổ
của vùng tần thấp.
ở đây s tiến triển của phổ có thể xem nh
thuần tuý tổng hợp các hi độc lập chịu ảnh hởng của dòng
chảy bất đồng nhất phơng ngang. Để mô tả sóng cồn trong
vùng tần số ny có thể tiếp cận, sử dụng quan niệm "ho khí".
Tuỳ mức độ xích lại gần nhau của hai đỉnh phổ m đặc điểm
vận chuyển phi tuyến sẽ biến đổi. Mặc dù vẫn nh trớc, nó
không đáng kể ở vùng tần số thấp, nhng ở vùng tần số giữa các
đỉnh phổ có thể quan sát thấy dòng năng lợng âm, chứng tỏ
rằng năng lợng đợc bơm dồn theo hớng ngợc lại, từ những
tần số thấp hơn đến những tần số cao hơn.
5.5. Sự biến dạng các tham số trung bình của sóng
trọng lực trên dòng chảy biến đổi dọc theo
hớng chảy
Hiện nay thực tế cha có những chỉ dẫn thực tế đủ căn cứ
về tính các tham số sóng trên dòng chảy, còn để ớc lợng ảnh
hởng của dòng chảy lên sóng cho đến nay vẫn dùng những kết
quả của M. S. Longuet-Higgins v R. Stewart nhận đợc từ đầu
những năm sáu mơi [311314]. Chúng tôi nhắc lại rằng trong
các công trình của các tác giả ny đã đa ra phơng trình cân
bằng năng lợng sóng tính tới ảnh hởng cửa ứng suất tia gây
bởi ảnh hởng của bất đồng nhất dòng chảy. Trong cách phát
249 250

biểu một chiều bi toán truyền sóng đều trên nớc sâu từ vùng
không dòng chảy (
0
0
V ) sang vùng có dòng chảy ngợc ( 0

V )
hay dòng chảy thuận chiều (
0V ) biến đổi độ cao sóng đợc mô
tả bằng tơng quan [313]

Vcc
c
h
h
2
0
0

, (5.37)
trong đó

0
h
độ cao sóng ban đầu;

h độ cao sóng trên dòng
chảy
V
;
c
v

0
c các tốc độ pha tơng ứng. Dùng các điều kiện

bảo ton không đổi tần số thoả mãn đối với tốc độ dòng chảy
dừng, giá trị tốc độ pha c có thể nhận dới dạng

0
0
411
2
1
cV
c
c
/ . (5.38)
Dấu ( ) trong quan hệ ny chứng tỏ về tính không đơn trị xác
định các tham số sóng trên dòng chảy V . Đặc điểm biến đổi độ
cao tơng đối
0
/ hh
v bớc sóng tơng đối
0
/


chỉ ra trên hình
5.14. Biến đổi các tham số sóng tơng ứng với dấu + đợc ký
hiệu bằng
1
J , còn dấu
2
J . Đờng cong
1

J mô tả tiến triển
sóng tới, độ cao của nó
)(
h đơn điệu tăng theo sự tăng của tốc
độ dòng chảy ngợc v tại một điểm đặc biệt (tại
4/1/
0


cV )
nhận trị số lớn vô cùng. Bớc của sóng tới trên dòng chảy ngợc
giảm dần. Tại điểm đặc biệt nó 4 lần nhỏ hơn trị số ban đầu
0

.
Biến đổi các tham số sóng tơng ứng với dấu trong biểu thức
(5.38), tức của sóng ngợc, mô tả bằng đờng cong
2
J cũng có
đặc thù tại điểm
4/1/
0
cV .
Khi giảm tốc độ dòng chảy ngợc, ở sóng ngợc xuất hiện
điểm
đặc thù thứ hai trong tơng quan
0
/ hh
, còn bớc sóng
tiến tới không (nhng trong thực tế sự hiện diện của tính mao

dẫn không cho phép tăng số sóng đến vô cùng khi
0V ).
Trên dòng chảy thuận chiều, độ cao sóng
0
/ hh giảm, bớc sóng
0
/


tăng.

Hình 5.14. Biến đổi độ cao
0
/ hh v bớc sóng
0
/ tơng đối của sóng đơn tuỳ
thuộc vo tốc độ dòng ngợc:
1
J
- biến dạng các yếu tố sóng tới;
2
J
- biến dạng
các yếu tố sóng ngợc;
0
cV / - tốc độ dòng chảy chuẩn hóa theo tốc độ pha ban
đầu
ở đây cần lu ý rằng đã một thời gian di nhiều nh nghiên