HAI GÃ ĐIÊN 11A1.doc pps

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG BẮC YÊN THÀNH
Hậu thành ngày 23 tháng 10
năm 2011
HAI GÃ ĐIÊN 11A1
NGUYỄN VIẾT HUY, NGUYỄN XUÂN THÀNH
Phần I : PYTHAGORE THẬT TUYỆT VỜI
Đã từ lâu , định lí pythagore đã có vai trò quan trọng trong toán học. Không chỉ là hình học mà đại
số còn rất cần nó. Bởi vậy, đây như một định lí cơ bản của toán học, làm mồng mống cho toán học,
và từ đó, toán học được xây dựng dần, lớn mạnh dần .

Một công thức quá quen thuộc trong mỗi chúng ta, và giúp chúng ta có được nhiều lời giải rất hay,
quyết định sự thành bại của bài toán. Giờ đây, ta đã biết rằng, pythagore là một hệ quả của lượng
giác trong tam giác. Tuy nhiên, nó có những tính chất mà không phải biểu thức nào của toán học lại
có được. Không vĩ đại như E=mc
2
, không quá cầu kì và phức tạp như những biểu thức trong những
phương trình hàm, nhưng pythagore lại có một sức mạnh đặc biệt : đó là tính số học, tính đơn giản,
tính hình tượng. Vì vậy, định lí này không bị người mẹ của nó là lượng giác đẩy ra xa. Chúng ta có
thể kể được rất nhiều những ứng dụng của pythagore như tính độ dài đoạn thẳng trong tam giác, bất
đẳng thức, ngay như đường tròn lượng giác cũng được sáng tạo dựa trên định lí pythagore… Ta
cũng cần chú ý rằng, Định lí lớn Fermat cũng lấy cảm hứng từ pythagore.
1
1
Vấn đề đặt ra ở đây là sáng tạo những điều độc đáo từ những điều cơ bản nhất. Đó cũng chính là
nội dung của sáng tạo toán học, một yêu cầu rất cần thiết cho những người học toán, dạy toán và
nhất là những người nghiên cứu toán học. Đó cũng là vấn đề mà hai gã điên đang sắp trình bày với
bạn đọc. Hiển nhiên, ta nhận ra rằng, có những bài toán tưởng chừng như chẳng có ứng dụng gì
khác. Nhưng hãy nhìn xem, trong quá trình giải những bài toán này, rất nhiều những vấn đề cần giải
đáp. Nhiều lúc, những giả thiết của cách làm không phục vụ được giải bài toán nhưng nó cũng góp

ích cho việc tìm ra cái mới, cái hay cho nhiều vấn đề toán học . Ta cùng lấy thí dụ về bài toán thiên
niên kỉ thứ hai của thiên tài toán học nguời Nga Grigory Perelman. Từ đây, một loạt những nghiên
cứu mới mẻ đã được “ khai quật” và có thêm những bước tiến mới cho mảng toán về topo.
Mục lục :
I. Định lí đẹp trong Đại số.
II. Định lí đẹp trong Hình h ình học
Ta quy ước rằng: trong đề tài này chỉ xét những số hữu tỉ
B
A
với A, B
∈
N* và (A, B) =1

Phần B. NỘI DUNG
Mục I. ĐỊNH LÍ ĐẸP TRONG ĐẠI SỐ.
Đã từ lâu, vấn đề dựng hình trong hệ trục tọa độ đã là yêu cầu của nhiều bài toán. Thường thì chúng
ta cũng chỉ dựng một số đoạn thẳng đơn giản, chưa có sự thách thức lắm. Chẳng hạn như biểu diễn
số nguyên a, rồi
a
, hay dựng trung điểm của một đoạn thẳng…Vậy thì tại sao chúng ta không thử
biểu diễn những đại lượng khác hóc hơn. Phần này sẽ giới thiệu cho bạn đọc một đại lượng. Đó là sự
biểu diễn nghiệm phương trình bậc hai dưới dạng độ dài đoạn thẳng trong hệ trục tọa độ. Thông qua
những bài toán bổ trợ.
1. BIỂU DIỄN SỐ HỮU TỈ DƯƠNG ( KHỞI ĐỘNG)
Trước hết, ta biểu diễn
X
1
với X
*N∈
.Để minh họa cho phần này, ta cùng xét

3
1
Trước hết,
trên hệ trục tọa độ Oxy, ta lấy A(3,0) vàM(0,1) (Như hình dưới).
2
2

Sử dụng phép tịnh tiến T
v

: M
→
B với
v

=(3, 0) Xét
OAB∆
có tan(AOB) =
AO
AB
. Gọi C(1, 0) .Từ
C hạ đường vuông góc với Ox cắt OB tại D. Lúc đó, ta có tan(AOB) = tan(DOC) = DC nên DC=
3
1
.
Nhận xét: Hoàn toàn tương tự, ta có thể biểu diễn được đoạn thẳng có độ dài của một số hữu tỉ
dương. Mở rộng hơn nữa, ta hoàn toàn có thể biểu diễn được căn bậc hai của một số hữu tỉ dương.
Thật vậy, giả sử cần biểu diễn
B
A

, ta sẽ biểu diễn lần lượt
A
và
B
trên Oy và Ox. Với việc
biểu diễn
A
, ta sẽ vẽ đồ thị y= 1. Lấy
A
1
( 0,1) rồi từ đó, kẻ đường vuông góc với Oy, cắt y= 1 tại
B
1
. Ta được một hình chữ nhật có chiều dài mỗi cạnh là 1. Dùng compa, vẽ (O,O
B
1
) Cắt Oy tại
A
2

ta được đoạn thẳng có độ dài là
2
, rồi kẻ tương tự bước 1, ta được đoạn thẳng có độ dài là
3
…
đến khi xuất hiện đoạn thẳng có độ dài bằng
A
thì dừng lại. Tương tự như trên, ta có hoàn toàn có
thể biểu diễn được
B

.Tiếp tục làm như việc biểu diễn một phân số bình thường như trên, ta được
đoạn thẳng có độ dài cần tìm. Thực chất của việc biểu diễn này là sử dụng định lí pythagore .
2. MỘT CÁCH KHÁC BIỂU DIỄN
B
A
. ( VƯỢT CHƯỚNG NGẠI VẬT 1)
3
3
Dường như cách biểu diễn trên dành cho
B
A
là rất “ tốn kém” . Vì vậy, sẽ không khả thi khi ta
biểu diễn một con số phức tạp. Hướng giải quyết hiện giờ chính là sử dụng hệ thức lượng trong tam
giác vuông. Thực chất mà nói, hướng giải quyết này cũng phải vận dụng từ pythagore nhưng không
phải là trực tiếp mà là gián tiếp. vì vậy, nó sẽ có thể kế thừa được tính khoa học nhờ dạng biến thể
của pythagore mang lại.
a
2
= bc

Một hệ thức lương trong tam giác mà hầu như ai cũng biết, đơn giản vì chính nó cũng đơn
giản.

OP
2
=OM.ON= A.B
⇒
OP =
ONOM.
=

B
A
.
Một vấn đề đặt ra là liệu có thể hay không thể biểu diễn được với căn bậc lớn hơn. Để làm điều
này, ta cùng xét
3. MỞ RỘNG VẤN ĐỀ VỚI CĂN BẬC LỚN HƠN ( VƯỢT CHƯỚNG NGẠI VẬT 2)

4
4
Từ mục 2, ta thử hỏi, tạ sao chúng ta lại không thử biểu diễn bằng hệ thức lượng
trên ? ! . Bởi nếu quan sát kĩ thì ta thấy rằng, qua hệ thức lượng trên, số mũ của cả A và B đều bị
chia đôi. Từ suy nghĩ đó, ta có thể biểu diễn như sau :
Tiếp nối mục 2, ta lại thử ‘ Căn thêm lần nữa’ (tức là căn của OP ) vậy thì ta gọi E(0, -1), F(-1, 0).
Xét OE, OP. Ta hình dung rằng, để “ hạ gục “ OP thêm một lần nữa, ta sẽ lấy OP và OE làm hai phần
của cạnh huyền hình vuông, còn O là chân của đường cao hạ từ đỉnh góc vuông. Gọi R là đỉnh hình
vuông tại góc vuông của tam giác đó. Như vậy, ta đã tính được căn bậc 4. Vậy thì sao lại không tiến
lên nữa đi !!! Bởi bản chất của phép biểu diễn này đã lọ rõ !. OP và ÒF lại tạo ra một cặp như vậy
nữa, cứ như vậy, ta đi đến một kết quả vô cùng tận . Đó là
n
B
A
2
với n
∈
N*. Có thể biểu diễn được
phép dựng hình như qua hình ảnh phác thảo( có thể vị trí không đúng)
5
5

TÍNH CHẤT CỦA HÌNH VẼ

Tính chất của hình vẽ thể hiện rất rõ với việc dụng hình theo cách khác . Đó là ta khồng xét như trên
mà ta dựng OM =
B
A
, và ON =1. Vấn đề này thực ra không liên quan lắm đến mục đích của bài
toán nhưng lại cho ta thấy rõ nhưng điều rất thú vị và chung quy lại thì nó thể hiện bản chất của hình
vẽ . Và xet nhý vậy ðể có cách vẽ hình đúng nhất, tránh sự ước lượng làm giảm tính đúng đắn của
toán học. Và cũng phục vụ mục tiêu của bài viết này là xác định những bước dựng hình đúng đắn và
6
6
chính xác nhất về trực quan và toán học. TH1 xét
B
A
> 1 lúc đó, ta có hình vẽ sau : :
Nhận xét : các “chùm điểm bộc phát” trong quá trình dựng liên tiếp các hình có những vị trí đặc
biệt. CHÙM Ox : Nằm ngoài so với O và N . Chùm này có các hạt điểm di chuyển
dần về phía N , nhưng tốc độ chậm dần và phương trình chuyển động là một phương trình bậc hai.ẩn
B
A
, với tham số n. Các phần tử của chùm Ox áp sát N nhưng không thể với tới N. Nguyên nhân rất
đơn giản là vì OE
I
=
n
B
A
2
>1 ( Do giả thiết)
CHÙM Oy : Nằm giữa (1,1) và P . Thật vậy, hiển nhiên OF
i

>1. Mặt khác,
B
A
> 1 nên
B
A
<
n
B
A
2
hay
OP > OF
i
suy ra ĐPCM . CHÙM Oy lại không dịch chuyển về phía P mà lại dịch chuyển dần về
phía (1,1).
Ta sẽ sử dụng chỉnh thể luận để nhìn nhận cả hai CHÙM . Do cả hai chùm đều dịch chuyển về các
đỉnh của một hình vuông nên nếu với n đủ lớn thì hiển nhiên lúc đó, sẽ rất vui khi chúng cùng hội
ngộ trên 1 hình vuông.
Vấn đề bây giờ của chúng ta là viết phương trình chuyển động cho cả hai CHÙM ( Nghe như
“trùm”) , sẽ rất đơn giản , ngắn gọn khi ta biết tối ưu hóa vấn đề. Mà vòng đi vòng lại cũng chỉ là tìm
Tọa độ điểm E
i
và F
i
thôi.
7
7
Ta nhận ra rằng, O E
i

=
i
OF
Ta suy ra được điều cần tìm ( việc này là dành cho bạn đọc).
4. NHẬN ĐỊNH ( NGHỈ NGƠI VÀ SUY NGẪM)
Ta đã biểu diễn được căn bậc 2
n
của một số hữu tỉ dương ( Nhắc lại rằng (A,B) = 1). Nhưng với các
loại căn khác thì sao( với m
3≥
) ta có thể biểu diễn được không với phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng và không bằng cách vẽ đồ thị.? Theo kiến chủ quan của hai gã điên thì kiến thức hiện tại
quá khó nếu không muốn nói là không thể được. bởi, nếu số bậc căn là bao nhiêu thì lại là nghiệm
của phương trình bậc bấy nhiêu dùng phương pháp đó được. Bởi bản chất của mặt phẳng là hai
chiều, dễ hơn khi ta biểu diễn những căn bậc 2
n
thông qua bản chất của pythagore .
5. ĐỐI MĂT VỚI VẤN ĐỀ LỚN ( VỀ ĐÍCH)
Tại sao ta đã biểu diễn được căn bậc hai của một số hữu tỉ thì sao lại không biểu diễn những biểu
thức phức tạp hơn?. Trong khuôn khổ bài viết, ta gọi biểu thức gồm những số ghép với căn bậc 2
n

là biểu thức BAOLA2
n
. Để minh họa, xin đưa ra ví dụ như
8151
−+
, giả sử viết theo kí hiệu
toán học là f(x, 2
n

).
Ta sẽ lấy chính ví dụ trên làm nền tảng để lập luận: ta sẽ dùng phương pháp phân tích trong ngoài.
Thật vậy,
B1. Xét trong cùng
815 −
hoàn toàn như trên, ta biểu diễn được
8
( BAOLA2) trên Oy. Và ta
biểu diễn tiếp 15 trên Ox. Dùng phép quay, ta biểu diễn được 15-
8
. Để căn được biểu thức
này( BAOLA4) , ta lại lặp lại phương pháp biểu diễn số hữu tỉ trên bởi bản chất của hai bài toán là
như nhau.
B2. Biểu diễn 1+
815 −
ta cũng dùng phép quay, phép vị tự để biểu diễn. như vậy, BAOLA8 cũng
đă được biểu diễn.
Vậy thì
∀
n, ta đều biểu diễn được f(x, 2
n
). Các ví dụ khác như
)123632(
816
−+
;
567
+
128
789

;
… đều có thể biểu diễn được( theo lí thuyết, còn thực hành lại là chuyện khác).
Như vậy, pythagore kết hợp với các phép vị tự, quay, …và phép phân tích trong ngoài đã giải quyết
được một vấn đề thú vị, đầy sắc màu.
Vậy, dấu hiệu để để nghiệm thực phương trình bậc hai có thể biểu diễn được là gì ?.
8
8
Từ điều kiện để biểu diễn được các f(x, 2
n
)., ta đi đến kết luận thú vị sau:
Một cách tổng quát, nếu các hệ số của phương trình bậc hai có thể biểu diễn được dưới dạng của
các căn bậc 2
n
thì nghiệm thực ( nếu có) của phương trình đó sẽ biểu diễn được dưới dạng độ dài
các đoạn thẳng trên trục số.
Giải thích : lúc này, dựa vào công thức nghiệm phương trình bậc hai, ta có các nghiệm đều là các
BAOLA
2
n
. Hiển nhiên biểu diễn được .
Từ đây, ta đi đến hệ quả sau :
Nếu các hệ số của phương trình đề nguyên thì nghiệm thực ( nêú có) của nó đều biểu diễn
được.
Cũng xin nói rằng, có một cách khác cũng có thể biểu diễn như trên song hơi lằng nhằng và đòi hỏi
kĩ năng biến đổi phải thật cao: Sử dụng nhận xét của mục 1 . Ta sẽ tìm cách biến đổi đứ những biểu
thức trong các bao la từ nhỏ đến lớn .
Để dễ hình dung, cùng xét ví dụ sau : biểu diễn
326 −
. Ta sẽ biểu diễn như sau:
Ta có

326 −
=2+(1+
3
)
2
Ta đã đưa về dạng tổng bình phương hai cạnh góc vuông . Ta hoàn
toàn có thể biểu diễn được 2 số hạng của cạnh góc vuông đó từ đó suy ra đoạn thẳng cần tìm. Tuy
nhiên, đối với cách biểu diễn trên thì chúng ta phải chật vật lắm mới có thể biểu diễn được vài biểu
thức. Còn các biểu thức phức tạp có thể sẽ làm được nhưng hãy tưởng tượng xem, nó kinh khủng
biết bao !!!. Tuy nhiên, bạn đọc cũng có thể đưa ra phương án hay hơn đối vói cách này !!. Hãy chịu
khó suy nghĩ vì nếu bạn đọc được đến đây thì tôi chắc, bạn có thể tìm ra được nhiều điêu mới, nhiều
điều hay. Thực ra, bài toán này không ứng dụng gì nhiều vào chương trình toán phổ thông, nhưng lại
9
9
cho ta thấy nét đẹp của toán học, nhiều khía cạnh và giúp rèn luyện khả năng tư duy. Nếu chúng ta
biết khám phá, thì bạn sẽ thấy môn toán tuyệt vời biết bao !!!.
VỊNH HẠ LONG ĐÃ TRỞ THÀNH KÌ QUAN THIÊN NHIÊN MỚI CỦA THẾ GIỚI


6. TỔNG HỢP LẠI, TA CÓ SƠ ĐỒ VỀ SỰ TƯƠNG QUAN CỦA CÁC PHẦN TRONG CHỦ
ĐỀ NÀY
10
10
11
11
MỤC II. ĐỊNH LÍ ĐẸP TRONG HÌNH HỌC .
Ta biết định lí pythagore trên mặt phẳng . Vậy thì tại sao không thử suy nghĩ vấn đề trên của vật thể
ba chiều ? Hãy liên tưởng và tưởng tượng . Vì chưa được học hệ Oxyz nên tác giả sẽ không trình bày
vấn đề trên theo các trục tọa độ.
Từ điểm O trong không gian, lấy các tia Ox, Oy, Oz như hình vẽ sao cho các tia đôi một vuông góc.

Trên Õ, OY, Oz lần lượt lấy A ,B, C. Trên (AOC) lấy D sao cho OADC là hình chữ nhật . Trên
(OBC) lấy E sao cho OBEC là hình chữ nhật. Lúc đó, ta có ABED là hình chữ nhật
Ta sẽ xét diện tích của các hình chữ nhật đó. Gọi OA = a, OB= b, OC=c. Lúc đó : CD=OA;
OB=CE, AD=BE=C
Ta có : S(OADC) = ac = S
1
; S(OBEC) = bc = S
2
; S(ABED) = AB. AD = c.
22
OBOA +
= c.
22
ba +
= S .
Hãy nhìn kĩ xem, nếu ta bình phương mỗi diện tích lên thì được một kết quả thật đẹp :
S
2
2
2
1
2
SS +=
12
12
Ta xem đây một trong những định lí diện tích pythagore trong không gian. Vậy vấn đề đặt ra là , có
hình nào có tính chất tương tự ? . và đây, ta hãy xét một trường hợp sau:
Gọi M, N, P lần lượt nằm trên tia Ox, Oy, Oz. Gỉa sử, ta chỉ xét đén với ¼ không gian chứa
Ox, Oy, Oz
Gọi Pm, Pn, lần lượt là các tia song song với tia Ox, Oy. Lấy các điểm K, Q lần lượt thuộc tia

Pm, Pn sao cho K, Q , M, N đồng phẳng.
Ta có hình vẽ dưới đây

Ta xem (MNQK) có bản chất là sản phẳm của một mặt phẳng cắt cả 4 tia Ox, Oy, Om, On.
Lúc đó Gọi OM = a, ON = b, PK = c, PQ = d. , OP = h
S(OMKP) = ½ ( a+c).h = S
1
; S(ONQP) = ½ ( b+d).h = S
2
;
S(MNKQ) = ½( KQ+MN).H = ½ (
++
22
ba
22
dc +
).H . Dễ dàng ta chứng minh được H
≥
h.
Mặt khác ta chứng minh được rằng (
++
22
ba
22
dc +
)
2

≥
( a+c)

2
+ ( b+d)
2
( I )
13
13
Thật vậy, BĐT 
bdacdcba +≥++ ))((
2222
 (a
2)2222
)()( bdacdcb +≥++
BĐT đúng vě đây là
BĐT AM-GM. Ta suy ra ĐPCM . Từ BĐT ( I ), kết hợp với H
≥
h
⇒
(
++
22
ba
22
dc +
)
2
. H
2

≥
( ( a+c)

2
+ ( b+d)
2
). h
2

⇒
S
≥
2

ss
2
2
2
1
+
Đến lúc này, ta đã được một kết quả thật đẹp : bất đẳng thức diện tích trong không gian pythagore
. Đẳng thức xảy ra  H = h  PO = KM. Hay giao tuyến của ba mặt phẳng song song hoặc trùng
nhau.
Những ứng dụng của pythagore thật tuyệt vời, nó giúp ta mở mang bao điều hay, khám phá những
vẻ đẹp quyến rũ của toán học .
Để kết thúc đề tài, xin đưa ra bài toán sau :
Chóp n giác (n
3≥
) . Một mặt phẳng (P) cắt hình chóp đó. Hỏi thiết diện tạo ra có bao nhiêu cạnh ?.
Với bài toán này, hãy tạo ra thật nhiều những điều mới mẻ, thú vị và trải nghiệm !!!
Và một bài đố : PYTHAGORE có nhì bạn không ?
Một số hình ảnh về những nhà toán học tài ba

ISAAC NEWTON (1643-1727) Descartes ( 1596-1650) Grigory Perelman
Nhà toán h c tài ba ( ọ 13/6/1966 )

14
14

Evariste Galois TERENCE TAO (1975) Carl Friedrich Gauss
1811 – 1832 (1777-
1855)
Mong rằng, với khám phá này, bạn đọc sẽ có cái nhìn thấu đáo hơn về việc học toán .
CHỊU TRÁCH NHIỆM NỘI DUNG : NGUYỄN XUÂN THÀNH , NGUYỄN
XUÂN THÀNH
BIÊN TẬP : NGUYỄN VIẾT HUY ( ngày
23/10/2011


⇒
15
15