Bài toán về cực trị đại số pps
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (396.03 KB, 6 trang )
1
1
TÌM GTLN VÀ GTNN
A. Kiến thức cơ bản:
Công cụ để tìm GTLN - GTNN của một hàm số (hay một biểu thức) thường là:
1) Sử dụng các bất đẳng thức có tên gọi đã biết.
2) Sử dụng một số bđt đơn giản để đánh giá.
3) Đặt ẩn phụ, đưa về các dạng quen thuộc.
4) Qui về một biến để sử dụng phương pháp dùng đạo hàm.
5) Lượng giác hóa.
6) Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
B. Một số ví dụ
VD
1
: Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa: x + y + z = 1. Tìm GTNN của
xyz
yx
P
Giải: Ta có:
4
1
)(
2
1
)()(2)(1 zyxzyxzyxzyx
16
16)2.(4)(4)()(41
22
xyz
yx
xyzzxyzyxyxzyx
Suy ra minP = 16 đạt được
2/1
4/1
1
z
yx
zyx
yx
zyx
VD
2
: Tìm GTLN của biểu thức
xyz
zxyyzxxyz
p
321
Giải: ĐK: 3,2,1 zyx (1)
Viết lại :
z
z
y
y
x
x
P
3
2
1
Cách 1. Ta có:
32
13
)3(323)3(
22
1
2
)2(222)2(
3
11
121)1(
z
z
zzz
y
y
yyy
x
x
xxx
Suy ra
32
1
22
1
2
1
P
, với mọi x,y,z thỏa (1).
2
2
Nên MaxP =
12
32236
32
1
22
1
2
1
đạt được khi
x = 2, y = 4, z = 6.
Cách 2:
Xét hàm số:
;1,
1
)( x
x
x
xf
Tính )(
/
xf , giải phương trình )(
/
xf = 0, lập BBT suy ra Maxf(x) = 1/2. Tương tự
cho hai biểu
thức còn lại …
VD
3
: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa:
2
zyx . Tìm GTLN của biểu thức:
1tantan1tantan1tan.tan xzzyyxP
Giải:
Từ:
2
zyx , ta có:
zyx
2
tan)tan(
1tan.tantan.tantan.tan
xzzyyx (1)
Đặt a = tanx, b = tany, c = tanz. Ta có
)1)(1()1)(1()1)(1(23
111
2
abcacabcbcabcabcabP
cabcabP
12
2
8
.24
2
11
2
11
2
11
24
2
abcacabcbcab
P
3/13232 cabcabMaxPP
* Chú ý: ba số thực x, y, z cho trong bài toán có thể thay bằng ba góc A/2, B/2,
C/2 của tam giác
một tam giác ABC nào đó.
VD
4
: Tìm GTNN của hàm số:
)1(log)3(log
2
3
2
1
22
xxy
xx
Giải:
TXĐ:
0;2\3;3 D
Đặt: )3(log
2
1
2
xt
x
.
Ta có 2
11
t
t
t
ty
Suy ra miny = 2 đạt được
1
t
VD
5
: Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa: x+y+z = 4 Tìm GTLN của biểu thức:
141312 zyxP
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có:
4
183
)4/13/12/1)(432(4/1.23/1.32/1.2
2
2
zyxzyxP
3
3
Suy ra MaxP =
2
183
x
VD
6
: Cho hai số thực x, y thỏa: x
2
+ y
2
= 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2
2
221
)6(2
yxy
xyx
P
Giải:
Cách 1.
* Nếu: y = 0, ta có x =
1
2
P
. (1)
* Nếu: y
0
2
2
22
1
11
yy
x
yx
(2)
Chia cả tử và mẫu của P cho y
2
ta được:
2.2
1
.62
2
2
2
y
x
y
y
x
y
x
P
(3)
Từ (2) và (3), đặt
y
x
t
, ta có: )(
3
2
)6(2
2
2
tf
t
t
tt
P
Xét hàm số f(t), tính f’(x), lập BBT, tìm GTLN, NN của f(t), ta được
Maxf(t) = 3
, min(t) = - 6
(4).
Kết hợp với (1), suy ra GTLN, NN của P.
* Chú ý: có thể dùng phương pháp miền giá trị để tìm GTLN, NN của f(t).
Cách khác (Phương pháp lượng giác hóa):
Đặt x = cos; y = sin (0 < 2)
P =
2
2
2(cos 6sin cos )
1 2sin cos 2sin
=
1 cos2 6sin 2
2 sin 2 cos2
(P – 6)sin2 - (P + 1)cos2 = 1 – 2P (1)
(1) cú nghiệm (P – 6)
2
+ (P + 1)
2
(1 – 2P)
2
P
2
+ 3P – 18 0 6 P 3
max P = 3 và min P = 6.
VD
7
. Cho hai số x, y thỏa: x > y và x.y = 2008. Tìm GTNN của biểu thức
yx
yx
P
22
HD: Ta có
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xyyx
P
401622)(
2
Vì x – y > 0, áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có 251840162 P
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2514
4016
yx
yx
yx , kết hợp x.y = 2008 để
tìm x,y.
C. Bài tập
4
4
Bài 1.
Cho hai số thực x, y thỏa: x+y = 1. Tìm GTLN của.
)(3)(3
2233
yxyxyxP
Bài 2.
Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y = 5/4. Tìm GTNN của biểu thức;
yx
A
4
14
Bài 3.
Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC.
a) Tìm GTLN của
2
sin
2
sin
2
sin
CBA
P
b) Tìm GTLN của:
2
sin
1
2
sin
1
2
sin
1
CBA
Q
Bài 4.
Cho ba số thực a, b, c thỏa 0 < a, b, c < 1 và ab + bc + ca = 1. Tìm GTNN của
biểu thức
222
1
1
1
c
c
b
b
a
a
P
Bài 5.
Cho hai số thực không âm x, y. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
22
)1()1(
)1)((
yx
xyyx
P
Bài 6.
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa abc = 1. Tìm GTNN của
)1)(1()1)(1()1)(1(
333
ba
c
ac
b
cb
a
P
Bài 7.
Cho ba số x, y, z thỏa: 7)1()3()1(
222
zyx . Tìm GTLN của biểu thức:
zyxP
Hướng dẫn giải (GTLN,GTNN)
Bài 1. Từ x+y=1 suy ra y = 1-x. Thay vào P, dùng đạohàm.
Bài 2.
Cách 1. Đưa A về 1 biến, Dùng đạo hàm.
Cách 2.
4
5
4
14
4
5
4
14
y
y
x
x
yx
yx
A
Bài 3.
5
5
a) Chứng minh
8
1
2
sin
2
sin
2
sin
CBA
P
b) Áp dung bđt Cauchy và câu a.
Bài 4. Đặt
2
tan,
2
tan,
2
tan
z
c
y
b
x
a
,
2
,,0
zyx
Ta có:
2
tan
2
tan1
2
tan
2
tan
2
tan1
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
zxzxyxzzyyx
222222
tan
22
tan
2
cot
2
tan
1
2
tan
2
tan1
2
tan
2
tan
zyxyzxy
yzx
zx
Suy ra x, y, z là ba góc của một tam giác nhọn.
Nên:
2
tan1
2
tan2
2
2
x
x
P
2
tan1
2
tan2
2
y
y
2
tan1
2
tan2
2
z
z
z
y
x
tan
tan
tan
áp dụng đẳng thức:
z
y
x
tan
tan
tan
z
y
x
tan
tan
tan
và bđt Cauchy, ta có
2
33
2 p
Bài 5. Đặt x = tgu, y = tgv với u, v
[0; )
2
.
2 2
(tgu tgv)(1 tgutgv)
P
(1 tgu) (1 tgv)
=
2 2
sin(u v)cos(u v)
(sinu cosu) (sinv cosv)
=
1 sin2u sin2v
2 (1 sin2u)(1 sin2v)
=
1 1 1
2 1 sin2v 1 sin2u
P
max
=
1 1 1 1
khi
2 1 0 1 1 4
u
4
và v = 0 x = 1 và y = 0,
P
min
=
1 1 1 1
khi
2 1 1 1 0 4
u = 0 và
v
4
x = 0 và y = 1
Cỏch khỏc :
P =
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x x y y xy x(1 y ) y(1 x ) x(1 2y y ) y(1 2x x )
(1 x) (1 y) (1 x) (1 y) (1 x) (1 y)
=
2 2
x y
(1 x) (1 y)
, mà
2
a 1
0 ( a 0)
(1 a) 4
nờn : P
max
1
4
khi x = 1 ; y = 0 và P
min
=
1
4
khi x = 0 ; y = 1.
Bài 6.
Ta có:
4
3
3
8
1
8
1
)1)(1(
3
3
acb
cb
a
Tương tự:
4
3
3
8
1
8
1
)1)(1(
3
3
bac
ac
b
4
3
3
8
1
8
1
)1)(1(
3
3
cba
ba
c
Cộng ba bđt ta được:
4
3
4
3
.3
2
1
4
3
)(
2
1
3
abccbaP
…………………………………………………………………
6
6
Một số bài toán về cực trị đại số
trong các đề thi TSĐH gần đây.
Bài 1(A-2006) . Cho hai số thực x, y khác 0, thay đổi thỏa điều kiện (x+y)xy =
x
2
+ y
2
– xy
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
33
11
yx
P
Bài 2(B-2006) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức
2)1()1(
2222
yyxyxP
Bài 3 (B-2008) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa x
2
+ y
2
= 1. Tìm GTLN-
GTNN của biểu thức:
2
2
221
)6(2
yxy
xyx
P
Bài 4 (D-2008) cho các số thực không âm thay đổi, tìm GTLN-GTNN của biểu
thức:
)1)(1(
)1)((
22
yx
xyyx
P
Bài 5 (B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa (x + y)
3
+ 4xy
2. Tìm GTNN
của biểu thức: 1)(2)(3
222244
yxyxyxA
Bài 6(D-2009) cho các số thực không âm thay đổi thỏa x + y = 1. Tìm GTLN-
GTNN của biểu thức: xyxyyxS 25)34)(34(
22
……………………………………………………………………………………………
……………
