GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ MATHEMATICA docx

I. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ MATHEMATICA
1.Giới thệu sơ bộ về Mathematica
Tác giả của Mathematica là Stephen Wolfram, người được xem là nhà sáng
tạo quan trọng nhất trong lĩnh vực tính toán khoa học và kỹ thuật ngày nay. Ông
sinh năm 1959 tại London và học tại các trường Eton, Oxford và Caltech. Ông
xuất bản các công trình khoa học đầu tiên của mình ở tuổi 15 và năm 20 tuổi đã
bảo vệ thành công học vị PhD về vật lý tại trường đại học Caltech. Ông bắt đầu
phát triển Mathematica vào năm 1986.
Mathematica là một hệ thống nhằm thực hiện các tính toán toán học trên
máy tính điện tử. Nó là một tổ hợp các tính toán bằng ký hiệu, tính toán bằng số,
vẽ đồ thị và là ngôn ngữ lập trình tinh vi Lần đầu tiên khi version 1 của
Mathematica được phát hành, mục đích chính của phần mềm này là đưa vào sử
dụng cho các ngành khoa học vật lý, công nghệ và toán học, nhưng cùng với thời

gian Mathematica trở thành phần mềm quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học
khác.
Phiên bản đầu tiên của Mathematica được công bố ngày 23 tháng 6 năm
1988, công trình này được xem là thành tựu chính trong lĩnh vực khoa học tính
toán. Phiên bản mới nhất hiện nay là 8.0.
2. Giao diện của mathematica
Mathematica đưa ra một giao diện rất thân thiện với người sử dụng, được
đặt tên là bản ghi (notebook- thường được gọi tắt là nb). Các bản ghi là dạng cửa
sổ biểu diễn một lượt sử dụng Mathematica bao gồm đầy đủ các ghi chép cả về
chương trình nguồn, cả về kết quả thực hiện trên cùng một bản ghi và được ghi lại
dưới dạng một file riêng của Mathematica có đuôi là *.nb.
Các bản ghi được tổ chức thành các ô (cell) một cách có trật tự và thứ bậc.

Ta có thể nhóm một nhóm ô lại sao cho chỉ thấy ô đầu của nhóm ô đó (với số
nhóm lồng tùy ý).
Mathematica còn đưa ra một giao diện phụ là các bảng lệnh (Palettes) và các nút
lệnh (Button). Người sử dụng chỉ cần nhấp chuột rất đơn giản và có thể tùy biến
theo ý mình.
II. MỘT SỐ LƯU Ý KHI SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA
- Mathematica phân biệt chữ hoa và chữ thường.
Những lệnh, hàm, các kí hiệu, các biến có sẵn trong Mathematica luôn được bắt
đầu bằng chữ in hoa. Ví dụ: Plot, Cos, Sin,…
Nếu tên chứa hai hay nhiều tên kết hợp thì kí tự đầu tiên của mỗi tên đều phải viết
hoa. Ví dụ: FindRoot, FactorIteger,
- Để thực hiện một lệnh trong Mathematica, ấn đồng thời hai phím “Shift + Enter”.

- Có 4 loại móc được sử dụng trong chương trình Mathematica:
+ Cặp ngoặc ( ) dùng để chứa các biểu thức toán học.
+ Cặp ngoặc [ ] dùng đẻ chứa các đối số, biến số của lệnh, của hàm.
+ Cặp ngoặc { } dùng để liệt kê các miền cho đối số, liệt kê các công việc, dùng
cho các mảng hoặc ma trận.
+ Cặp ngoặc [[ ]] được sử dụng khi gọi đến một phần tử của một ma trận.
- Cách đặt biến bình thường như: a, b, c, x, y, z,…, không được dùng các chữ cái I,
E, C, D, N để đặt tên biến.
- Kết thúc một câu lệnh, nếu dùng dấu chấm phẩy (;) thì kết quả sẽ không hiển thị
bên dưới. Ngược lại, nếu dùng dấu chấm phẩy (;) thì kết quả sẽ được hiển thị bên
dưới.
- Phân biệt giữa x

=:
1,x
=
1 và x
==
1
+ x
=:
1 là lệnh gán giá trị 1 cho hằng số x.
+ x
=
1 là lệnh gán giá trị 1 cho biến x (x có thể thay đổi giá trị trong khi thực hiện

chương trình).
+ x
==
1 là so sánh giữa giá trị vế trái là x có bằng giá trị vế phải là 1 hay không.
III. CÁC PHÉP TOÁN VÀ CÁC HÀM CƠ BẢN
1. Các phép toán cơ bản
Phép cộng: x+y
Phép trừ: x-y
Phép nhân: x*y, hoặc x y
Phép chia: x/y
2. Một số hàm cơ bản
Hàm số cơ bản

Khai báo trong
Mathematica
Hàm số cơ bản
Khai báo trong
Mathematica
x
Abs[x]
x
Sqrt[x] hoặc
x^(1/2)
sin x
Sin[x]

cos x
Cos[x]
tgx
Tan[x]
cotg x
Cot[x]
arcsin x
ArcSin[x]
arccos x
ArcCos[x]
arctgx
ArcTan[x]

arccotgx
ArcCot[x]
log
a
x
Log[a,x]
ln x
Log[x]
x
a
a^x
x

e
E^x hoặc Exp(x)
IV. MỘT SỐ ĐỒ THỊ TRONG MATHEMATICA
A. ĐỒ THỊ HAI CHIỀU
1. Cú pháp:
Lệnh Plot[f,{x,x
min
,x
max
}] : vẽ đồ thị hai chiều của hàm f(x) với x chạy từ x
min
đến

x
max
.
Ví dụ : Plot[Tan[x],{x,-3,3}];
-3 -2 -1 1 2 3
-40
-20
20
40
Lệnh Plot[{f
1
,f

2
,…},{ x,x
min
,x
max
}] : vẽ đồng thời đồ thị của các hàm {f
1
,f
2
,…} với
x chạy từ x
min

đến x
max
(dấu “;”được thêm vào cuối câu lệnh về đồ thị để không
hiện ra các câu thông báo về đối tượng Graphics)
Ví dụ : Plot[{Sin[x], Sin[2x], Sin[3x]}, {x, 0, 2 Pi}];
1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0.5
1
Theo cách này ứng với mỗi trị số của x tính trực tiếp được trị số của hàm f , ta có
tương ứng mỗi cặp điểm trên đồ thị.

Một cách khác là tính ra một hàm số (có thể chỉ là biểu thức gần đúng) có biểu
thức giải tích theo các biến chữ (gọi là hàm hiện) rồi mới thay giá trị x vào để tính
giá trị cho f(x). Trình tự này thường được dùng cho các hàm nội suy, là các hàm
không có biểu thức dạng giải tích. Nó được thể hiện bằng các lệnh:
Plot[Evaluate[f],{x,xmin,xmax}] và
Plot[Evaluate[Table[{f1, f2 }]],{x,xmin,xmax}].
Ví dụ : Plot[Evaluate[Table[BesselJ[n,x],{n,4}]], {x,0,10}];
2 4 6 8 10
-0.2
0.2
0.4
0.6

Một lệnh khác theo loại này thường được dùng cho vẽ đồ thị nghiệm các phương
trình vi phân giải gần đúng : Plot[y[x]/.nghiệm, {x, xmin, xmax}].
Ví dụ :
In[1]:= NDSolve[{y'[x] == Sin[y[x]],y[0] == 1}, y, {x, 0, 4}]
Out[1]= {{y→InterpolatingFunction[{{0.,4.}},<>]}}
In[2]:= Plot[Evaluate[ y[x] /. % ],{x, 0, 4}];
1 2 3 4
1.5
2
2.5
3
2. Các tùy chọn của đồ thị hai chiều

a. Các tùy chọn mặc định của đồ thị hai chiều
- Một lệnh vẽ đồ thị của Mathematica có rất nhiều các tùy chọn bổ sung và ta có
thể thay thế giá trị mặc định. Để liệt kê các tùy chọn và các giá trị mặc định gán
sẵn ta dung lệnh Options[Plot]. Dạng tổng quát của nó là: Options[đối tượng] cho
danh sách các tùy chọn và mặc định của đối tượng; hoặc Options[đối tượng, tùy
chọn] cho danh sách đặt của tùy chọn trong đối tượng.
- Ngoài ra có thể dùng các lệnh:
+ FullOptions[đối tượng, tùy chọn] cho mô tả tỷ mỹ nhất cách sắp đặt tùy chọn;
+ SetOptions[đối tượng,Options→value] đặt lại giá trị mặc định của lựa chọn
options thành giá trị value.
Ví dụ: Options[Plot]
{AspectRatio

1
GoldenRatio
,AxesAutomatic,
AxesLabelNone,AxesOriginAutomatic,AxesStyleAutomatic,BackgroundAuto
matic,ColorOutputAutomatic,CompiledTrue,DefaultColorAutomatic,DefaultFo
nt$DefaultFont,DisplayFunction$DisplayFunction,Epilog{},FormatType$For
matType,FrameFalse,FrameLabel None,FrameStyleAutomatic,FrameTicksAut
omatic,GridLinesNone,ImageSizeAutomatic,MaxBend10.,PlotDivision30.,Plot
LabelNone,PlotPoints25,PlotRangeAutomatic,PlotRegionAutomatic,PlotStyle
Automatic,Prolog{},RotateLabelTrue,TextStyle$TextStyle,TicksAutomatic}
In[2]:= g = Plot[Sin[x], {x, 0, 2Pi}];
In[3]:= Options[g, PlotRange]

Out[3]=
{PlotRange→Automatic}
In[4]:= FullOptions[g, PlotRange]
Out[4]=
{{−0.15708, 6.44026}, {−1.05, 1.05}}
b. Các tùy chọn quan trọng
Mathematica cho ta nhiều tùy chọn, dưới đây là một số tùy chọn quan trọng và
cách đặt các tùy chọn của các lệnh vẽ đồ thị hai chiều.
*Axes: là một tùy chọn của hàm vẽ đồ thị bao gồm có hay không có các trục tọa
độ. Các giá trị của tùy chọn này bao gồm:
+ Axes→True: Hiển thị các trục tọa độ.
+ Axes→False: Không hiển thị các trục tọa độ.

+ Axes→{False,True}: Hiển thị một trục tọa độ, trục còn lại không hiển thị.
Giá trị mặc định của tùy chọn là Automatic
Ví dụ: Show[Graphics[Circle[{0,0},1], AspectRatio

Automatic,
Axes

Automatic]];

*AxesLabel: Tùy chọn đặt tên cho các trục tọa độ. Các giá trị của tùy chọn bao
gồm:
+ AxesLabel→None: Không đặt tên cho đồ thị.

+AxesLabel→label: Đặt nhãn label cho trục dọc đối tượng đồ thị hai chiều.
+AxesLabel→{“Truc x”,“Truc y”}: Đặt tên cho các trục tọa độ là Truc x và
trruc y.
Tên của các trục tọa độ sẽ được đánh dấu ở cuối các trục. Giá trị mặc định của tùy
chọn là None.
Ví dụ: Plot[Sin[x/2],{x,0,2 Pi},AxesLabel

{“Truc x”,“Truc y”
*AxesOrigin: Lựa chọn trong đồ thị hai chiều xác định giao điểm của hai trục tọa
độ. Các giá trị của đồ thị này bao gồm:
+ AxesOrigin→{x,y}: Xác định giao điểm của hai trục tọa độ tại điểm có tọa độ
{x,y}.

Giá trị mặc định của tùy chọn là điểm {0,0}.
Đối với đồ thị đường viền và đồ thị mật độ, đặt AxesOrigin→Automatic thì điểm
cắt của các trục tọa độ được đặt ở ngoài vùng đồ thị.
Thí dụ để khảo sát tính đối xứng của hàm Sin[x] ta có thể thay đổi điểm cắt hai
trục tọa độ để thấy rõ điều này.
Plot[Sin[x],{x,0,2 Pi},AxesOrigin

{Pi,0}];
- Frame: Là khung viền quanh đồ thị. Các giá trị của tùy chọn bao gồm:
+ Frame→True: Hiển thị khung viền.
+ Frame→None: Không hiển thị khung viền.
Giá trị mặc định của tùy chọn là None.

Thí dụ trong lệnh vẽ đồ thị hàm Sin[x
2
], để đối chiếu các giá trị cực đại ta có thể
sử dụng khung viền để thấy rõ.
Plot[Sin[x^2],{x,0,3},Frame

True];
- GridLines: Dùng để vẽ các đường lưới cho mỗi chỗ đánh dấu trên trục tọa độ
của đồ thị. Các giá trị của tùy chọn bao gồm:
+ GridLines→None: không hiển thị các đường lưới.
+ GridLines→Autonatic: Hiển thị đường lưới theo mặc định.
Giá trị mặc định của tùy chọn là None.

Ví dụ: Plot[Sin[x^2],{x,0,3},GridLines

Automatic];
- FrameLabel: Dùng để đặt tên cho khung. Các giá trị của tùy chọn gồm:
+ FrameLabel→None: Không đặt tên khung.
+ FrameLabel→{tên 1, tên 2, tên 3, tên 4}: Tên được đặt xung quanh 4 cạnh của
khung theo chiều kim đồng hồ từ dưới lên.
Giá trị mặc định của tùy chọn là None.
Ví dụ: Plot[Sin[x],{x,0,2
Pi},Frame

True,FrameLabel


{Duoi,Trai,Tren,Phai},RotateLabel

False];
0 1 2 3 4 5 6
Duoi
-1
-0.5
0
0.5
1
Trai

Tren
Phai
(Ở đây có bổ sung tùy chọn RotateLabel→False để không xoay tên theo chiều
kim đồng hồ của khung).
- PlotLabel: Đặt tên cho đồ thị. Các giá trị tùy chọn gồm:
+ PlotLabel→None: Không đặt tên cho đồ thị.
+ PlotLabel→StyleForm[ “nhãn”,dạng text,FontFamily→
“font”,FontSize→n]: Đặt tên cho đồ thị là nhãn với kiểu dạng text, font chữ là
font, cỡ chữ n.
Ví dụ: Plot[(Sin[x])^2/(2+(Cos[x])^2),{x,0,Pi},PlotLabel

StyleForm["Sin[x]^2/

(2+(Cos[x])^2)",FontSize

12]]
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sin

x


^2

2

Cos

x

^2

- Ticks: Tùy chọn đánh dấu các điểm trên các trục tọa độ. Các giá trị của tùy chọn

gồm:
+ Ticks→None: Không đánh dấu trên các trục.
+ Ticks→Automatic: Tự động đánh dấu trên các trục.
+ Ticks→{{xticks,…},{yticks,…}}: Tùy chọn đánh dấu trên các trục khác nhau.
Ví dụ: Plot[Sin[x],{x,0,2Pi},Ticks

{{0,Pi/2,Pi,(3Pi)/2,2Pi},Automatic
- PlotRange: Vẽ đồ thị cho khoảng tọa độ hiển thị. Các giá trị của tùy chọn gồm:
+ PlotRange→All: Hiển thị toàn bộ.
+ PlotRange→Automatic: Tự động hiển thị đồ thị.
+ PlotRange→{y
min

,y
max
}: Hiển thị đồ thị trong khoảng tọa độ từ y
min
đến y
max
.
+ PlotRange→{{x
min
,x
max
},{y

min
,y
max
}}: Đồ thị hiển thị với x chạy từ x
min
đến x
max,
y chạy từ y
min
đến y
max
.

Giá trị mặc định của tùy chọn là All.
Ví dụ: Plot[Sin[x^2],{x,0,4},PlotRange

{{0,2},{0,1.2}}];
- PlotStyle: Kiểu vẽ của đồ thị bao gồm các hàm:
+ GrayLevel[i] cho độ xám i của đồ thị, 0 ≤ i ≤ 1, Plotstyle→GrayLevel[0] hiển
thị màu đen, còn Plotstyle→GrayLevel[1] hiển thị màu trắng.
+ Thickness[r] cho độ dày r của đường đồ thị.
+ Dashing[r
1
, r
2

…] độ dài của các đường vạch chấm kế tiếp nhau.
+ RGBColor[r,g,b] cho màu của đồ thị bằng hàm màu, trong đó r,g,b là 0 hoặc
Chẳng hạn RGBColor[1,0,0] cho màu đỏ, RGBColor[0,1,0] cho màu xanh lá cây,
RGBColor[1,0,0] cho màu xanh nước biển.
+ Hue[h] hoặc Hue[h,s,b] cho độ hoe (sắc sáng).
Thí dụ khi ta vẽ đồng thời hai hay nhiều đồ thị trên một hệ tọa độ, khi đó thật khó
để nhận biết các đồ thị khác nhau. Ta có thể chọn màu hoặc độ dày của các đường
đồ thị khác nhau là khác nhau để so sánh và nhận xét.
Plot[{Sin[x],Sin[2x]},{x,0,2Pi},PlotStyle

{Thickness[0.004],Thickness[0.007]}];
1 2 3 4 5 6

-1
-0.5
0.5
1
- Background: Tùy chọn cho màu của nền đồ thị.
Ta đặt giá trị tùy chọn bằng các hàm như RGBColor[r,g,b], GrayLevel[i],
Hue[h]. Giá trị mặc định của tùy chọn là Automatic.
Ví dụ: Plot[Sin[x],{x,0,2Pi},Background

GrayLevel[0.5]];
-PlotPoints: Tùy chọn cho số điểm tối
thiểu để lấy mẫu cho đồ thị. Giá trị mặc

định của tùy chọn là 25.
Ví dụ: Plot[Cos[20t]+Cos[24t],{t,Pi,3Pi}];
Trên đồ thị ta thấy, đoạn đầu tiên của đồ thị không được chính xác do số điểm lấy
mẫu để vẽ đồ thị không đủ. Ta có thể khắc phục điều này với tùy chọn PlotPoints
là 70.
Ví dụ: Plot[Cos[20t]+Cos[24t],{t,Pi,3 Pi},PlotPoints

70];
Trên đây là những tùy chọn quan trọng cho vẽ đồ thị hai chiều, ngoài ra còn có các
tùy chọn khác như:
+ AspecRatio: Tùy chọn cho tỷ lệ chiều cao/chiều rộng. Giá trị mặc định của nó
là 1/GoldenRatio.

+ TextStyle: Kiểu mẫu cho text trong đồ thị gồm các dạng như: title, subtile,
section,text…, mặc định là text. Đặt kiểu text bằng lệnh: TextStyle→dạng text.
+ DisplayFuntion: Tùy chọn về cách thể hiện đồ thị, Indentity là không hiển thị
đồ thị.
+ Prolog hoặc Epilog: Vẽ thêm vào đồ thị một đối tượng đồ thị đơn giản trước
hoặc sau đồ thị chính với mục đích đánh dấu hoặc so sánh. Đó có thể là Box[],
Rectange[], Circle[]…giá trị mặc định của nó là None…
Các tùy chọn của các lệnh vẽ đồ thị có rất nhiều nhưng giá trị của các tùy chọn chỉ
giới hạn trong một số ít: Automatic có sử dụng các thuật toán đã tích hợp sẵn,
None không bao gồm tùy chọn này, All bao gồm hiển thị toàn bộ , True thực hiện
mặc định đã đặt, False không thực hiện tùy chọn.
3. Đồ thị hai chiều nâng cao

Mathematica không chỉ hộ trợ vẽ từng đồ thị của mỗi hàm số với những tùy chọn
như trên, mà nó còn hỗ trợ them nhiều chức năng khác trong hiệu ứng hình ảnh.
Ta có thể vẽ nhiều đồ thị cùng một lúc, bố trí lại để phục vụ cho các mục đích
khác, hoặc có thể tìm nghiệm của một phương trình từ đồ thị mà nếu giải trực tiếp
bằng thuật toán thì sẽ gặp nhiều khó khăn.
a.Vẽ lại các đồ thị, vẽ chèn các đồ thị
Ta có thể vẽ lại một hay nhiều đồ thị đã thực hiện trước đó mà chưa được hiển thị
ra hoặc bổ sung các tùy chọn.
Để vẽ lại các đồ thị ta dung lệnh: Show[{g
1
,g
2

,…},tùy chọn].
Ví dụ: In[1]:= Plot[Cos[20t]+Cos[24t],{t,Pi,3 Pi},PlotPoints

70];
In[2]:= Plot[Cos[20t]+Cos[24t],
{t,Pi,3Pi},PlotPoints

70,DisplayFunction

Identity];
Show[%,Background


GrayLevel[0.8]];
Tùy chọn DisplayFunction→Identity sẽ không hiển thị đồ thị ra màn hình.
Ví dụ:
P1= Plot[x*Sin[x],{x,-
10,10},PlotStyle

{Thickness[0.003]},DisplayFunction

Identity];
P2 = Plot[x*Cos[x],{x,-10, 10}, PlotStyle

{Thickness[0.007]},

DisplayFunction

Identity];Show[P1, P2,
Frame

True,DisplayFunction

$DisplayFunction];
-10 -5 0 5 10
-7.5
-5
-2.5

0
2.5
5
7.5
Ta cũng có thể vẽ các đồ thị thành một dãy bằng các lệnh:
Show[GraphicsArray[{g
1
,g
2
,…}]]: Hiển thị dãy đồ thị {g
1
,g

2
,…}thành một hàng
liên tục.
Show[GraphicsArray[{{g
1
},{g
2
},…}…]]: Hiển thị dãy đồ thị {g
1
,g
2
,…} thành

một cột.
Show[GraphicsArray[{{g
1
,g
2
},…},…}]]: Hiển thị đồ thị {{g
1
,g
2
,…}…} thành
một bảng chữ nhật các đồ thị với các tùy chọn GraphicsSpacing→{h,v} cho
khoảng cách giữa các đồ thị, h: khoảng dọc, v: khoảng ngang.

Ví dụ:
p1= Plot[Sin[x],{x,0,2 Pi},DisplayFunctionIdentity];
p2= Plot[Sin[2x],{x,0,2 Pi},DisplayFunctionIdentity];
Show[GraphicsArray[{p1,p2}]];
1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0.5
1
1 2 3 4 5 6
-1
-0.5

0.5
1
b. Đồ thị theo tham số
Khi xét phương trình chuyển động của một chất điểm chuyển động trong không
gian r = r(t). Đây chính là phương trình quỹ đạo của chất điểm theo tham số t. Đồ
thị của quỹ đạo là một đồ thị theo tham số. Lệnh vẽ đồ thị theo tham số là:
ParametricPlot[{f
x
,f
y
},{t,t
min

,t
max
}]: vẽ đồ thị cho bởi các tọa độ{f
x
(t),f
y
(t)}.
ParametricPlot[{{fx, fy}, {gx, gy} }, {t, tmin, tmax}]: vẽ đồng thời các đồ thị
trên hệ trục tọa độ.
Thí dụ tia điện tử trong máy dao động ký gồm hai cuộn láy tia theo hai phương
vuông góc với nhau có điện trường thay đổi theo quy luật: x = A
x

Cos(ω
x
t + φ
x
) và
y = A
y
Cos(ω
y
+ φ
y
). Tổng hợp của hai dao động vuông góc này cho ta một đường

công theo tham số t gọi là đường Lissajous. Dưới đây là đồ thị tổng hợp khi xét
trong một trường hợp cụ thể.
Ví dụ: ParametricPlot[{Cos[5t],Sin[3t]},{t,0,2 Pi},AspectRatio

Automatic];
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
4. Đồ thị dữ liệu hai chiều
Đồ thị dữ liệu biểu diễn các dữ liệu dạng bảng cho bởi Table[] hoặc Array[]…,

hoặc các cặp tọa độ được dưa vào trực tiếp tư thực nghiệm. Đồ thị dữ liệu bao
gồm các lệnh:
+ ListPlot[{y
1
,y
2
,…}: vẽ một dãy các giá trị y với x lần lượt là 0,1,2,…,n.
+ ListPlot[{x
1
,y
1
},{x

2
,y
2
},…}]: vẽ dãy các điểm có tọa độ {x
i
,y
i
}.
Ngoài ra các tùy chọn cho các lệnh đồ thị, đồ thị dữ liệu còn được bổ sung các tùy
chọn:
+ PlotJoined: Có nối các điểm lại hay không, giá trị mặc định của tùy chọn là
False.

+ PlotStyle: Cho cấu trúc của điểm dữ liệu hoặc đường nối các điểm được vẽ ra.
Chẳng hạn như PointSize[i] cho điểm tròn có bán kính i.
Ví dụ: data = Table[Sin[x]+ Random[Real,{-0.1, 0.1}], {x, 0, 2 Pi, 0.1}];
ListPlot[data, PlotStyle

PointSize[0.012]];
ListPlot[data, PlotJoined→True];
Ta có thể tùy chọn cách hiển thị điểm dữ liệu trên đồ thị bằng lệnh Graphics[đồ
họa,tùy chọn]. Lệnh này hiển thị đối tượng đơn giản với tùy chọn. Đối tượng này
hiển thị trên đồ thị bằng lệnh Show[].
Một số đối tượng đồ họa đơn giản như:
+ Circle[{x,y},r]: đường tròn tâm {x,y}, bán kính là r.

+ Disk[{x,y},r]: đường tròn có tô đen, tâm {x,y}, bán kính là r.
+ Line[{{x,y}…}]: đường thẳng với các thăng giáng .
+ Offset[dx,dy].
+ Point[{x,y}]: điểm.
+ Rectange[{x
min
,x
max
},{y
min
,y
max

}]: hình chữ nhật.
+ Polygon[{{x
1
y
1
},…}]: hình đa giác.
+ Text[expr,{x,y}]: đoạn văn bản expr.
Ví dụ:
Show[Graphics[Table[Line[{{x, x^2},Offset[{0, 6}, {x, x^2}]}], {x, 10}],
Frame

True]];

Show[Graphics[Table[Circle[{x, x^2},Offset[{4, 4}]], {x, 10}], Frame

True]];
Để biểu diễn các dữ liệu thực nghiệm với các tùy chọn phong phú, có một chương
trình dành riêng, một chương trình con: Graphics’MultipleListPlot’. Cấu trúc
lệnh của nó như sau (sau khi đã gọi package này ra sử dụng):
MultipleListPlot[list
1
,list
2
,…,tùy chọn]: vẽ đồng thời đồ thị dữ liệu cho bởi các
dãy tọa độ list

1
,list
2
,…
Với cấu trúc lệnh này có các tùy chọn:
+ PlotJoined: đường liên kết các điểm dữ liệu. Mặc định là False.
+ PlotStyle: định dạng Style cho đường liên kết bao gồm các hàm.
5. Đồ thị hai chiều động
Mathematica cho phép thực hiện các hiệu ứng hoạt họa trên màn hình bằng cách
cho chạy một dãy các đối tượng đồ thị kế tiếp nhau.
Để có hiệu ứng hoạt họa động ta phải thực hiện các thao tác sau:
- Trước hết ta phải có dữ liệu cho việc trình diễn “đoạn phim hoạt họa” bằng các

vẽ một dãy liên tiếp các đối tượng đồ thị này trên màn hình.
- Khi đã có một dãy liên tiếp các đối tượng đồ thị ta chỉ cần click đúp chuột vào
một đối tượng là có thể thấy được hiệu ứng hoạt họa.
Có thể tùy chọn cách trình diễn hoạt họa bằng các sử dụng các tùy chọn thể hiện ở
thanh công cụ bên dưới bao gồm:
+ Backward: Trình diễn ngược trình tự thời gian.
+ Cyclic: Trình diễn theo vòng lặp.
+ Forward: Trình diễn theo trình tự thời gian.
+ Pause: Dừng trình diễn.
+ Slower: Làm chậm quá trình diễn hoạt.
+ Faster: Làm nhanh quá trình diễn hoạt.
Ví dụ: Table[Plot[{E^(-16(x-1)^2) + 1.5*E^(-(x+t)^2),1.5*E^(-x+t)^2+3,E^(-

16*(x-t)^2)+ 5}, {x,-3, 3},
PlotStyle

{{Thickness[0.008]},{Thickness[0.005]}, {Thickness[0.005]}},
PlotRange

{0,6.25},AxesFalse,FrameTrue, FrameTicksNone,
PlotPoints40],{t,-2,3.5,1}];
B. ĐỒ THỊ BA CHIỀU
1. Đồ thị mặt ba chiều
a. Cú pháp:

Đồ thị mặt 3 chiều được vẽ bằng lệnh Plot3D[f(x,y),{x, xmin, xmax}, {y, ymin,
ymax}]
Ví dụ:
Plot3D[Cos[x*y],{x,0,4},{y,0,4},AxesLabel->{"x","y","z"},
PlotLabel->StyleForm["f=Cos[x*y]",Section,FontFamily->VnTime,FontSize-
>14]]
f

Co s

x


y

0
1
2
3
4
x
0
1
2
3

4
y
-1
-0.5
0
0.5
1
z
0
1
2
3

4
x
b. Các tuỳ chọn cho đồ thị mặt ba chiều:
Đồ thị mặt ba chiều cũng có các tuỳ chọn như trong đồ thị hai chiều như:
AxesLabel, PlotPoints, Ticks,…
Ta có thể liệt kê các tuỳ chọn và các giá trị mặc định gán sẵn cho các tuỳ chon đó
bằng lệnh Options[Plot3D] hoặc có thể tìm hiểu chi tiết giá trị của tuỳ chọn của
đối tượng đồ hoạ bằng lệnh Option[đối tượng, tuỳ chọn] hay tỉ mỉ hơn bằng lệnh
FullOption[đối tượng, tuỳ chọn]
Options[Plot3D]
{AmbientLightGrayLevel[0],AspectRatioAutomatic,AxesTrue,AxesEdgeAuto
matic,AxesLabelNone,AxesStyleAutomatic,BackgroundAutomatic,BoxedTrue

,BoxRatios{1,1,0.4},BoxStyleAutomatic,ClipFillAutomatic,ColorFunctionAut
omatic,ColorFunctionScaling True,ColorOutputAutomatic,CompiledTrue,Defau
ltColorAutomatic,DefaultFont$DefaultFont,DisplayFunction$DisplayFunction,
Epilog{},FaceGridsNone,FormatType$FormatType,HiddenSurfaceTrue,Image
SizeAutomatic,LightingTrue,LightSources{{{1.,0.,1.},RGBColor[1,0,0]},
{{1.,1.,1.},RGBColor[0,1,0]},
{{0.,1.,1.},RGBColor[0,0,1]}},MeshTrue,MeshStyleAutomatic,Plot3MatrixAut
omatic,PlotLabelNone,PlotPoints25,PlotRangeAutomatic,PlotRegionAutomati
c,Prolog{},ShadingTrue,SphericalRegionFalse,TextStyle$TextStyle,TicksAut
omatic,ViewCenterAutomatic,ViewPoint{1.3,-2.4,2.},ViewVertical{0.,0.,1.}}
Ví dụ:
f=Plot3D[Sin[y]+Cos[x],{x,0,10},{y,0,10},AxesLabel->{"dai","rong","cao"},

Mesh->True]
0
2
4
6
8
10
dai
0
2
4
6

8
10
rong
-2
-1
0
1
2
cao
0
2
4

6
8
10
dai
Options[f,PlotRange]
{PlotRange->Automatic}
Options[f,Ticks]
{Ticks->Automatic}
Options[f,AxesLabel]
{AxesLabel {dai,rong,cao}}
Các tuỳ chọn so với đồ thị hai chiều có bổ sung:
- Boxed: Tuỳ chọn cho đồ thị ba chiều, dùng để ve hộp ba chiều.Các giá trị của tuỳ

chọn này bao gồm: True – có vẽ hộp ba chiều, False – không vẽ hộp ba chiều.Giá
trị mặc định của tuỳ chọn này là True.
Ví dụ: Show[f,Boxed->False]
- FaceGrids: Tuỳ chọn của đồ thị ba chiều, dùng để vẽ các đường lưới trên bề
mặt. Các giá trị của tuỳ chon bao gồm:
+ All: Vẽ đường lưới trên tất cả các hướng
+ none: Không vẽ đường lưới
+{{dirx, diry, dirz}, }: Tuỳ chọn vẽ đường lưới trên từng mặt.Trong đó dir
i
nhận một trong ba giá trị 0, -1 hoặc 1.
Ví dụ: Show[f,FaceGrids->{{0,0,1},{1,0,0},{0,-1,0}}]
-

-
- Lighting: Là tuỳ chọn của đồ thị ba chiều cho màu đồ thị. Các giá trị của tuỳ
chọn bao gồm:
0
2
4
6
8
10
dai
0
2

4
6
8
10
rong
-2
-1
0
1
2
cao
0

2
4
6
8
10
dai
0
2
4
6
8
10

dai
0
2
4
6
8
10
rong
-2
-1
0
1

2
cao
0
2
4
6
8
10
dai
+ Lighting → True: Có tô màu cho đồ thị
+ Lighting → False: Bỏ tô màu cho đồ thị, chỉ có độ xám
Giá trị tuỳ chọn của mặc định là True

Ví dụ: Show[f,Lighting->False]
0
2
4
6
8
10
dai
0
2
4
6

8
10
rong
-2
-1
0
1
2
cao
0
2
4

6
8
10
dai
ViewPoint: Tuỳ chọn của đồ thị ba chiều cho ta tuỳ chọn về điểm mà từ đó ta thấy
đồ thị.Giá trị mặc định của tuỳ chọn này là {1.3,-2.4,2}. Ta có thể đặt lại giá trị
của tuỳ chọn bằng cách: ViewPoit->{x,y,z}
Ví dụ:
Nhìn từ phía trước từ điểm có toạ độ x=0,y=-2,z=0 là {0,-2,0}, nhìn từ trên xuống
{0,0,2}, nhìn từ phía trước và trên xuống {0,-2,2}
Show[f,Lighting->True,ViewPoint->{0,-8,8}]
2. Đồ thị tham số ba chiều

0 2 4 6 8 10
dai
0
2
4
6
8
10
rong
-2
-1
0

1
2
cao
0 2 4 6 8 10
dai
0
2
4
6
8
10
rong

Cú pháp
- ParametricPlot3D[{f
x
,f
y
,f
z
}, {t, t
min
,t
max
}]: Vẽ đồ thị tham số một đường ba chiều

Ví dụ: ParametricPlot3D[{Cos[5t],Sin[3t],Sin[t]},{t,0,2*Pi}]
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1

-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0

0.5
1
- ParametricPlot3D[{f
x
,f
y
,f
z
}, {t, t
min
,t
max

},{u,u
min
,u
max
}]: Vẽ đồ thị tham số một
mặt ba chiều.
Ví dụ: ParametricPlot3D[{t, u^2, Sin[t u]}, {t, 0, 3}, {u, 0, 3}]
0
1
2
3
0

2
4
6
8
-1
-0.5
0
0.5
1
0
1
2

3
0
2
4
6
8
- ParametricPlot3D[{{f
x
,f
y
,f
z

},{g
x
,g
y
,g
z
},…}]: Vẽ đồng thời nhiều đồ thị trên cùng
một hình.
Ví dụ:
ParametricPlot3D[{{Sin[t],Cos[t],t/3},{Cos[2t],Sin[4t],Sin[t]}},{t,0,10}]
-1
-0.5

0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
0
1
2

3
-1
-0.5
0
0.5
1
3. Đồ thị dữ liệu ba chiều
Để vẽ đồ thị dữ liệu ba chiều ta dùng các lệnh:
- ListPlot3D[array]: Cho đồ thị dữ liệu của mảng array.
- ListPlot3D[array,s]: Cho đồ thị dữ liệu của mảng array có độ bóng s.
Ví dụ: ListPlot3D[Table[Mod[x,y],{y,20},{x,30}]]
10

20
30
5
10
15
20
0
5
10
15
10
20

30
4. Đồ thị ba chiều động
Cú pháp:
Animate[plot,{t, t
min
, t
max
, dt}: Vẽ đồ thị và thực hiện luôn các khuôn hình hoạt
họa.
Ví dụ:
Animate[ParametricPlot3D[{x,Cos[n*t] Sin[x],Sin[t] Sin[x]},{x,-Pi,Pi},
{t,0,2Pi},Axes


False,Boxed

False],{n,0,3,1}]
Ngoài ra còn có một số lệnh khác như:
ShowAnimation[{g
1
, g
2
, }]: Trình chiếu các khuôn hình trong dãy {g
i

}.
SpinShow[graphics] gồm các tùy chọn như: Frames số khuôn hình được vẽ;
mặc định là 24, SpinOrigin xác định điểm nhìn, mặc định là {0,0,1.5}; SpinRange
góc quay đồ thị, giá trị mặc định là {0,360}.
C. ĐỒ THỊ ĐƯỜNG VIỀN
1. Công thức
* ContourPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]
Tạo ra đồ thị đường viền của f là một hàm của x và y.
Ví dụ: ContourPlot[Sin[x] Sin[y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]
-2 -1 0 1 2
-2
-1

0
1
2
* ListContourPlot[array]
Tạo ra đồ thị đường viền từ một bảng các giá trị.
Ví dụ: ListContourPlot[Table[x^2+y^2,{x, -2.2,0.1},{y,-2.2,0.1}]]

10 20 30 40
10
20
30
40

2. Các tùy chọn mặc định
*Để liệt kê các tùy chọn và các giá trị mặc định gán sẵn trong Contour Plots ta
dùng lệnh Options[ContourPlot], ta được một danh sách như sau:
{AspectRatio1,AxesFalse,AxesLabelNone,AxesOriginAutomatic,AxesStyleA
utomatic,BackgroundAutomatic,ColorFunctionAutomatic,ColorFunctionScaling
True,ColorOutputAutomatic,CompiledTrue,ContourLinesTrue,Contours10,C
ontourShadingTrue,ContourSmoothingTrue,ContourStyleAutomatic,DefaultCol
orAutomatic,DefaultFont$DefaultFont,DisplayFunction$DisplayFunction,Epilo
g{},FormatType$FormatType,FrameTrue,FrameLabelNone,FrameStyleAuto
matic,FrameTicksAutomatic,ImageSizeAutomatic,PlotLabelNone,PlotPoints2
5,PlotRangeAutomatic,PlotRegionAutomatic,Prolog{},RotateLabelTrue,TextS

tyle$TextStyle,TicksAutomatic}
*Ví dụ: ContourPlot[Sin[x y],{x,-1,1},{y,-1,1}]
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
3. Các tùy chọn quan trọng
*Contours: là tùy chọn về việc quy định cụ thể cho các đường viền.
Contours->n: chọn n đường nét cách đều nhau giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất. Giá trị mặc định n = 10.

Contours->{z
1
,z
2
,…}: quy định cụ thể giá trị của đường viền.
Ví dụ: ContourPlot[Sin[x y],{x,-1,1},{y,-1,1},Contours

30]
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0

0.5
1
*ContourShading: là tùy chọn cho việc quy định bóng mờ giữa các đường viền.
ContourShading->False: khoảng giữa các đường viền được để trống.
Giá trị mặc định: