ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009 Môn: TOÁN potx

TRƯỜNG THPT PHÚ LỘC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài 90 phút không kể thời gian giao đề


I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
Cho hàm số
4 2
2 3
y x x
   

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
2 2 0
x x m
   
.
Câu II ( 3,0 điểm )
1. Giải phương trình
2 1
3.13 68.13 5 0
x x
  
.
2. Tính tích phân
3
0
I= sin3

xdx


.
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số


2
.
x
f x x e

trên đoạn [-3;-1]
Câu III ( 1,0 điểm )
Cho hình chóp SABC có SA

mp(ABC). Đáy ABC là tam vuông tại A, AB = a,
AC = a
3
và SC = a
5
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh học theo chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương
trình đó.
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu IV.a ( 2,0 điểm )
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A( 6;-1 ;0) và mặt phẳng (P) có
phương trình:
4 3 1 0

x y z
   

1. Viết phương trình tham số đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mp(P).
2. Viết phương trình mặt cầu có tâm là hình chiếu H vuông góc của điểm A lên
mp(P) và đi qua điểm A.
Câu V.a ( 1,0 điểm )
Giải phương trình
2
3 46 0
z z
  
trên tập số phức.
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu IV.b ( 2,0 điểm )
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A( 3; 0 ;1), hai đường thẳng d
1
và d
2

có phưong trình là: d
1 2
6 3
x t
y t
z t



 



 

, d’
1 2 3
1 1 1
x y z
  
 

.
1. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên d
1
.
2. Xét vị trí tương đối của d

và d’.
Câu V.b ( 1,0 điểm )
Tìm căn bậc hai của số phức
- 24 10
z
i
 
.
====== Hết ======

TRƯỜNG THPT PHÚ LỘC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm

Câu I
3 điểm

1. (2 điểm)
Tập xác định: D = R.
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
Ta có:


3 2
' 4 4 4 1 ; ' 0 0, 1
y x x x x y x x
          

Trên các khoảng


; 1
 
và ( 0; 1), y’>0 nên hàm số đồng biến.
Trên các khoảng (-1;0) và


1;

, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

0,5 đ
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại
1
x
 
, y
CĐ
= 4.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= 3.
Giới hạn:

4
2 4
2 3
lim lim 4
x x
y x
x x
 
 
     
 
 

4

2 4
2 3
lim lim 4
x x
y x
x x
 
 
     
 
 




0,5 đ
Bảng biến thiên:




0,5 đ
Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 3).
Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm


3;0

và



3;0
.
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.















0,5 đ
2. (1 điểm)

Phương trình:


4 2 4 2
2 2 0 2 3 1 *
x x m x x m         
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

4 2
2 3
y x x
   
và đường thẳng y = m+1.

0,5 đ
Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình (*):

m+1 m số nghiệm của phương trình (*)
m+1>4 m>4 0
m+1=4 m=4 2
3<m+1<4 2<m<3 4
m+1=3 m=2 3
m+1<3 m<2 2



0,5 đ
Câu II

3 điểm

1. (1 điểm)

Phương trình
2
39.13 68.13 5 0
x x
   

, Đặt
13
x
t

điều kiện t > 0
Ta có phương trình
2
1 5
39 68 6 0
13 3
t t t t
      
( thoả điều kiện)

0,5 đ
Nếu
1
13
t

thì
1
1
13 13 13 1
13
x x
x

     

Nếu
5
3
t

thì
13
5 5
13 log
3 3
x
x  
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
13
5
1, log
3
x x  



0,5 đ
2. (1 điểm)


3
3
0
0

1
I= sin3 cos3
3
xdx x


 



0,5 đ
 
1 2
I cos - cos0
3 3

  


0,5 đ
3. (1 điểm)


Xét trên đoạn [-3;-1] hàm số đã cho có đạo hàm:




2 2
' 2 2

x x x
f x xe x e e x x
   




2
' 0 2 0 0, 2
x
f x e x x x x
       

Ta có




2 3; 1 ,0 3; 1
      



0,5 đ
     
3 2
9 4 1
3 , 2 , 1f f f
e e e
     

Vậy
 
 
 
 
2
3; 1 3; 1
1 4
min , af x M x f x
e e
   
 



0,5 đ
Câu
III
1 điểm

Ta có SA

mp(ABC) nên chiều cao của khối
chóp S.ABC là SA.
Tam giác SAC vuông tại A nên
SA
2
= SD
2

- AD
2

Hay SA
2
= 5a
2
- 3a
2
= 2a
2

SA 2
a
  .






0,5 đ
a 5
a 3
a
A
C
B
S
Đáy ABC là tam giác vuông tại A nên

2
ABC
1 1 3
S AC.AB . 3
2 2 2
a a a
  

Thể tích khối chóp S.ABC là:
2 3
S.ABC ABC
1 1 3 6
V .SA.S . 2.
3 3 2 6
a a a
  
(đvtt).


0,5 đ
Câu
IV.a
( 2,0
điểm )





1. (1 điểm)

(P) có vectơ pháp tuyến


4; 1;3
n  

.
Do d vuông góc với (P) nên d nhận


4; 1;3
n  

làm vectơ chỉ phương.

0,5 đ
Đường thẳng d đi qua điểm A(6;-1;0) và có vectơ chỉ phương


4; 1;3
n  


Vậy phương trình tham số của d là
6 4
1
3
x t

y t
z t
 


  







0,5 đ
2. (1 điểm)


H là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
Toạ độ H là nghiệm của hệ:
   
6 4
1 4 6 4 1
3 24 24 1
4 3 1 0
x t
y t t t
z t t t
x y z
 



       


      


   


Vậy H( 2; 0;-3)



0,5 đ
Do mặt cầu đi qua A nên có bán kính:
R=AH =
     
2 2 2
2 6 2 1 3 0 26
      
Vậy phương trình mặt cầu (S):




2 2
2
2 3 26
x y z

    



0,5 đ
Câu
V.a
( 1,0
điểm )
Ta có


2
3 4.1.46 175
     
Vậy phương trình có hai nghiệm phức là:
1
3 175 3 5 7
2 2
i i
z
 
  ,
2
3 175 3 5 7
2 2
i i
z
 
 

1 đ
Câu
IV.b
( 2,0
điểm )
1. (1 điểm)


Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với d.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:


1;2;3
u 


Do (P) vuông góc với d nên (P) có vectơ pháp tuyến là


1;2;3
u 


Phương trình của (P) là:





1 3 2 3 1 0 2 3 6 0
x y z x y z
         



0,5 đ
Gọi H là hình chiếu của A lên d. Suy ra H là giao điểm của (P) và d.
Nên toạ độ của H là nghiệm của hệ:



0,5 đ
   
1 2
6 3
2 3 6 0
2 1 2 3 6 3 6 0 14 14 1
x t
y t
z t
x y z
t t t t t



 


 



   

            

Vậy H(-1;-1;3)
2. (1 điểm)


Ta có :
Đường thẳng d đi qua điểm M(0;1;6) và có vectơ chỉ phương


1;2;3
u 


Đường thẳngd’đi qua điểm M’(1;-2;3) và có vectơ chỉ phương


' 1;1; 1
u
 




MM' 1; 3; 3
  





0,5 đ
Ta có:


, ' 5;4; 1 , , ' .MM' 14 0
u u u u
   
     
   
    

Vậy d và d’ chéo nhau.

0,5 đ
Câu
V.b
( 1,0
điểm )
Số phức


, , R
x yi x y  sao cho


2

24 10
x yi i
   


 
2 2
24 1
2 10 2
x y
xy

  







Từ (2) suy ra
5
y
x

thay vào (1) ta có
2 4 2
2
25
24 24 25 0

x x x
x
      

2 2
1, 25
x x
   
(loại)



0,5 đ
Hệ có hai nghiệm;
1 1
5 5
x x
y y
  
 

 
  
 

Vậy có hai căn bậc hai của -24+10i là 1+5i và -1-5i


0,5 đ

Chú ý : Ở mỗi phần, mỗi câu, nếu học sinh có cách giải khác đáp án nhưng đúng và chặt
chẽ thì vẫn cho điểm tối đa của phần hoặc câu đó.
==== Hết ====