phương pháp giải nhanh hóa học

Hồng Vi t Quỳnh

Toặn hổc phưí thưng
Các phương pháp gi i nhanh
ih c

WWW.MATHVN.COM

thi


Các phương pháp gi i tốn
gi i tích
L i nói

i s

và

u:

Sau 12 năm h c t p, gi
ây ch còn m t kì thi duy nh t ang ch
i các em ó là kì thi
i
h c. ây s là kì thi khó khăn nh t trong su t 12 năm các em ng i trên gh nhà trư ng. Kì thi
i h c chính là m t bư c ngo t l n trong cu c
i c a m i h c sinh vì th m i h c sinh c n
ph i chu n b ki n th c th t tồn di n vì n i dung c a
thi mang tính liên t c. Có l trong các
mơn, mơn tốn v n ln chi m v trí quan tr ng và là v t c n l n nh t trên bư c ư ng ti n t i

gi ng ư ng
i h c. Vì th tơi xin m o mu i góp chút ki n th c ã thu lư m ư c trong quá
trình h c t p
vi t lên quy n sách này. Hy v ng ây s là tài li u b ích cho các em h c t p.
Quy n sách ư c chia thành sáu ơn v bài h c và hai ph l c. M i bài
u là nh ng ph n
quan tr ng, xu t hi n thư ng xuyên trong
thi
i h c.
m i bài
u có nh ng
c i m
sau:
• Ph n tóm t t ki n th c ã h c ư c trình bày ng n g n và t ng quát nh m khơi l i ph n
ki n th c ã quên c a các em.
• H th ng các bài làm ư c ch n l c kĩ lư ng, có tính i n hình và khai thác t i a các
góc c nh c a v n
nêu ra,
ng th i phương pháp gi i ng n g n, tr c quan cùng nhi u
kinh ngh m gi i
giúp các em có th hi u ư c n i dung bài gi i và cách áp d ng cho các
d ng
thi s g p sau này.
ng th i, các ví d
u ư c trình bày t cơ b n
n nâng cao.
ây là nh ng
bài trích ra t
thi d tr c a các năm trư c và tham kh o t nh ng tài
li u c a các th y cơ có nhi u năm kinh nghi m trong quá trình luy n thi nên

m b o v
m c
và gi i h n ki n th c. L i gi i trong các ví d ch là tư ng trưng nh m m c ích nêu
lên phương pháp gi i, các em và các th y cô khi tham kh o cu n t i li u này có th tìm ra và
trình bày cách gi i và cách trình bày h p lí hơn. Các em nên t p gi i các d ng bài trên m t
cách thu n th c và
c l p. sau khi gi i xong m i xem ph n l i gi i. ó là i u mà tác gi kì
v ng nhi u nh t.
• Lí gi i các phương pháp, ưa ra thu t toán gi i chung, ưa ra b n ch t l i gi i, ó là
ph n l i bình, lưu ý cu i m i bài t p.
Ph n ph l c là 12
thi tiêu bi u theo c u trúc
thi m i nh t do B GD& T công b . Các
thi có m c
khó r t cao, ịi h i ngư i làm ph i tư duy r t nhi u. V i m c
khó ó, tơi
mong r ng khi các em gi i thu n th c các bài trong b
thi này các em s có
t tin và ki n
th c
t i m cao khi làm bài mơn tốn. Ph l c 2 là m t s m o
dùng máy tính ốn
nghi m c
nh, ph c v cho q trình gi i các bài t p v phương trình tích như lư ng giác, h
phương trình, phương trình, cách gi i nhanh bài tốn hình h c b ng máy tính…
ng th i gi i
thi u thêm phương pháp chia Horner
giúp các em làm nhanh bài tốn có chia a th c, phân
tích thành tích…
V i d

nh là s gi i thi u quy n sách cho các em trong tháng cu i cùng trư c khi thi
i
h c nên sách ã gi n lư c m t s ph n không c n thi t và các ki n th c bên l , ch gi i thi u
nh ng tr ng tâm c a
thi nên bài t p có th cịn ít. Tơi cũng có l i khuyên cho các thì sinh là
hãy tìm thêm các
thi trên m ng internet vì ây là kho ki n th c vô t n.
M c dù r t c g ng nhưng cu n sách r t có th cịn nhi u thi u sót do th i gain biên so n
ng n
ng th i kinh nghi m và s hi u bi t còn h n ch . R t mong ư c s góp ý c a b n
c.
M i góp ý xin liên h v i tác gi qua a ch sau:

Hoàng Vi t Quỳnh
Khu 6a – Th tr n L c Th ng – B o Lâm – Lâm
Email:
Blog: />Tel: 063-3960344 - 01676897717
1
WWW.MATHVN.COM

ng


Bài I: ng d ng phương trình
gi i phương trình căn th c.
VD1.

Nh c l i ki n th c v

ư ng th ng

ư ng th ng.

1) Phương trình t ng quát:
ư ng th ng i qua M(x0;y0) và có vetơ pháp tuy n n (A;B) thì ư ng th ng ó có phương trình:
(d): A(x-x0)+B(y-y0)=0
(d):

Ax+By+C=0
ư ng th ng qua M(1;2) nh n n (2;1) làm vectơ pháp tuy n.

VD1.

(d): 2(x-1)+1(y-2)=0
(d): 2x+y-4=0
2) Phương trình tham s :
ư ng th ng i qua M(x0;y0) và có vectơ ch phương a (a1;a2)
(d):

 x = x0 + a1t

 y = y0 + a2t
ư ng th ng qua M(3;4) nh n a (2;3) làm vtcp có phương trình:

VD2.

 x = 3 + 2t

 y = 4 + 3t

(d):

VD3.
Cho (d): x+y=4. Vi t phương trình tham s c a (d).
Gi i:
Vectơ pháp tuy n : n (1,1)
Vectơ ch phương : a (1,-1)
i m i qua M(2;2)
(d) :

VD2.
VD1.

x = 2 + t

y = 2 − t

ng d ng
Gi i phương trình :

x 3 + 8 + 3 12 − x 3 = 10

Gi i:
t:
3

x 3 + 8 =1+3t
2

x +8=(1+3t) (*)

và
và

12 − x 3 =3-t
3

k( -1/3 ≤t≤1/3)
2

12-x = (3-t) (**)

2

L y (*)+(**) ta có 20=10t +10
t2=1
t=1
ho c
t=-1(lo i)
3
x =8
x=2
Tip:
Có ph i b n ang t h i: thu t tốn nào ã giúp ta nhìn th y ư c cách
t n t ???
2
WWW.MATHVN.COM


Không ph i ng u nhiên mà tôi l i trình bày l i v n

ư ng th ng, m t v n
tư ng ch ng như
ch ng liên quan gì
n
i s . Nhưng gi
ây ta m i nh n ra ư c “ ư ng th ng” chính là “tuy t chiêu”
gi i phương trình d ng căn th c. M u ch t ó là:

x 3 + 8 + 3 12 − x 3 = 10

B1:

X

Y

T
ó ta có phương trình ư ng th ng : X+3Y=10
B2: ta vi t l i phương trình: X+3Y=10 theo tham s t

 X = 1 + 3t

Y = 3 - t
Lúc này phương trình ã quy v 1 n t và vi c gi i phương trình trên là khơng khó. (Vì
“l p nhí”)
hi u rõ hơn v phương pháp này các b n hãy cùng tôi
n v i VD2.
VD2.

x + 3 + 3 x + 2 =1

Gi i phương trình :

X

Gi i:
G i (d): X=1+t
(1)

và

ây là ki n th c

Y

Y=0+t

 x + 3 = 1− t

t 
3 x + 2 = t


(t≤1)

2

 x + 3 = 1 − 2t + t

x + 2 = t 3



L y phương trình 2 tr pt1 ta có: -1=t3-t2 +2t-1
t3-t2 +2t=0
• T=0
x=-2
Lưu ý:
Trong khi gi i
thi, các b n nên trình bày t bư c(1) tr
i nh m
m b o tính ng n g n cho bài tốn.
Bư c g i phương trình ư ng th ng ch nên làm ngồi gi y nháp.
•

•

Trong bài trên ta có th

t

 x+3 =u

3
 x+2 =v


và quy v

gi i h

phương trình. Các b n có th

xem

cách này như m t bài t p. các b n hãy làm và so sánh s ưu vi t gi a 2 phương pháp.
Trong bài trên ta h n ch phương pháp lũy th a vì n u mu n kh 2 căn th c khác b c trên, ta ph i
^6 phương trình. Ta s g p khó khăn và s
i m t v i 1 phương trình “kinh kh ng” và ta ph i gi i
“x t khói” m i có th ra nghi m.

VD3.

Gi i h phương trình :

 x + y − xy = 3
(1)


 x + 1 + y + 1 = 4 (2)


(

thi

H năm 2005)

Gi i:
t:

 x +1 = 2 + t


 y +1 = 2 − t


(-2≤t≤2)

2

 x + 1 = t + 4t + 4

 y + 1 = t 2 − 4t + 4


2

 x = t + 4t + 3

 y = t 2 − 4t + 3


Phương trình(1) tr thành: 2t2+6-

(t 2 + 3 + 4t )(t 2 + 3 − 4t ) =3
3
WWW.MATHVN.COM


t 4 − 10t 2 + 9 =2t2+3

ho c
t=0
VD4.

x=y=3
nh m

phương trình sau có nghi m:

Gi i:
phương trình có nghi m:

f ( x) = m
Min f(x)≤m ≤Max f(x)

 x + 2m = 1 + 3t


 3m − x = 3 − t

2

 x + 2m = 1 + 6t + 9t

3m − x = 9 − 6t + t 2


t

V i f(t)= 2t2+2

F’(t)=4t
=>f’(t)=0
t
F’(t)

-∞

(-1/3≤t≤3)

c ng v v i v => 5m=10+10t2
mi n xác

2t2+2=m

f(t)=m

nh: D=[-1/3;3]

t=0
-1/3
-

0
0

3

+∞

+

20/9

20

F(t)
2

M có nghi m

VD3.

2≤m≤20

Bài t p t

luy n

1) Gi i h phương trình:

2) Gi i h phương trình:

3) Gi i h phương trình:

4) Gi i phương trình:

 2x + y +1 − x +1 = 1


3 x + 2 y = 4



1 − sin( x) + 1 + cos( x) = 1 (

(

thi d

4
WWW.MATHVN.COM

thi d

b 1A – 2005)

b 2A – 2004)


Bài II: Các cách gi i phương trình và b t phương trình
vơ t .
1)Lũy Th a
Phương pháp lũy th a là phương pháp t ng quát nh t
gi i phương trình có căn. Khi g p các phương
trình có d ng căn ph c t p nhưng khi chúng ta bi t “m o lũy th a” thì có th gi i bài toán m t cách d
dàng. ây là m t phương pháp cơ b n, các b n ph i th c t p nhu n nhuy n vì phương trình trong
thi
i h c có lúc r t d nhưng ta l i không
ý. các b n hãy theo dõi các ví d sau. Nhưng trư c h t hãy
lưu ý v n
sau:

•
t i u ki n
• Lũy th a ch n thì hai v khơng âm
• Các d ng cơ b n:

A=B
A
A>B

B ≥ 0

2
A = B
B ≥ 0

2
0 ≤ A ≤ B
 B < 0

 A ≥ 0
 B ≥ 0

 A > B 2


VD1.
Gi i:

x ≥ 0

5 − x ≥ 0

10 − x ≥ 0

 x + 5 − x + 2 x(5 − x) = 10


0 ≤ x ≤ 5
 2
x − 6x + 5 = 0
VD2.
Gi i:

0 ≤ x ≤ 5


2 5 x − x 2 = 5 − x


x=1 ∨ x=5

2 x − x + 3 < x −1

x ≥ 1


4 x < x + 3 + x − 1 + 2 ( x + 3)( x − 1)

x ≥ 1
x ≥ 1

x=1
 2

2
x > 1
x + 2x − 3 > x − 2x + 1

2

0 ≤ x ≤ 5

2
2
4(5 x − x ) = 25 − 10 x + x

x = x − 3 + x −1

5
WWW.MATHVN.COM

x ≥ 1

 2
 x + 2x − 3 > x − 1



VD3.
Gi i:
k: 2x+1>0

x>1/2
Bpt
(4x2-4x+1)(x2-x+2)≥36
t t = (x2-x) bpt tr thành:
(4t+1)(t+2)≥36
4t2+9t-34≥0
t≤-17/4 ho c t≥2
x2-x≤-17/4 ho c x2-x≥2
x≤1 ho c x≥2

VD4. Gi i b t phương trình :
Gi i:

− x 2 + x = 0

2
 x − x > 0

 2

 x − x − 2 ≥ 0

⇔ x = 0∨ x =1

Lưu ý:
b t phương trình trên các b n khơng nên lũy th a
tính tốn vì q trình lũy th a và nhân phân ph i
r t m t th i gian. Hơn n a, khi quy v m t phương trình h qu , chúng ta gi i r t d sai vì khi giao các
t p nghi m s khơng có giá tr nào th a mãn.
Trong bài trên tôi s d ng cách ánh giá theo ki u như sau:

A

B ≥0

B = 0

 B > 0
 A ≥ 0


ó chính là m u ch t c a bài tốn

VD5. Gi i phương trình :
Gi i:

  3x − 5 
≥0
2 − 
  4 

3 x − 5 ≥ 0

2
 x 2 − 8 =  3x − 5 



 4 


x=3

6
WWW.MATHVN.COM


Lưu ý:
Trong phương trình trên các b n ph i “
ý” và “nhanh” m t chút vì n u như ta
ngun phương trình
cho
lũy th a thì ó là m t i u “khơng cịn gì d i b ng” ta s
i m t v i chuy n lũy th a 2 l n =>
m t phương trình b c 4. Phương trình này ta khơng th b m máy tính. Nhưng n u gi i tay thì ph i gi i “x t
khói” m i ra trong khi th i gian không ch
i ai.
ng th i chúng ta không c n gi i i u ki n v i vì giám
kh o ch quan tâm
n bài làm và k t qu . Chúng ta hãy ch vi t “cái sư n” c a i u ki n. sau khi gi i ra
nghi m ch vi c th vào i u ki n là xong.

2) Phương pháp

t

n ph :

CÁCH GI I:
f u ( x); n u ( x) ≥ 0

(
f (u ( x);
f (u ( x);

n
n

)
u ( x) ) ≤ 0
u ( x) ) = 0

t= n

u ( x)

Phương trình h u t ho c h phương trình

BÀI T P ÁP D NG:
VD1.
Gi i:
t t=

=> t>0 ; t2+2= x2 + x

3t=2(t2-1)
t=-0.5 (lo i) ho c t=2
x2+x=6
x=2 ho c x=3

VD2.

Gi i:

T=

t ≥ 0
2
t + 1 = x

x −1

Phương trình tr thành:

t2+1-(t+1)=2
x=5

t2-t-2=0

t=2 ho c t=-1

VD3.
Gi i:

=>
7
WWW.MATHVN.COM


pt tr thành: t2+t+2=8
TH1:

t=2 ∨ t=-3

t=2

TH2: t=-3

LO I II: f

(

n

)

u ( x) + n v( x) { ≥0; ≤0; =0 }

Phương pháp chung:

n u ( x ) = u


m v ( x ) = v

VD1.
Gi i:

=>

ưa v h phương trình.

23 3 x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0

3 3x − 2 = u


 6 − 5 x = v (v ≥ 0)

8
5 3
2
3 u + v = 3


v = 8 − 2u

3


(

8
5 3
2
 u +v =
3
3
2u + 3v − 8 = 0

 5 3  8 − 2u  2 8
 =

 u +
3
3
 3 

v = 8 − 2u

3


u = −2
x=-2

v = 4
LO I III: H PHƯƠNG TRÌNH

tuy n sinh

i h c 2009)

(u + 2)(15u 2 − 26u + 20) = 0


8 − 2u
v =
3


A TH C

Nh ng h phương trình này ta r t thư ng hay g p trong
thi
i h c.
l p 10, ta thư ng g p nh ng
phương trình có tên là h
i x ng,
ng c p… Nh ng h này ã có cách gi i “ăn li n”. nhưng trong
thi
i h c, ta khơng h tìm th y nh ng d ng ó. Nhưng t t c các h trên
u quy v m t m i ó là “Phân
tích thành nhân t ”.

8
WWW.MATHVN.COM


1
 1
x − x = y − y
Gi i h phương trình: 
2 y = x 3 + 1


VD1.

(1)

( H A 2003)

( 2)

Gi i:
K: xy≠0
Ta có



(1) ⇔ ( x − y ) 1 +


x = y
1 
=0⇔
xy 
 xy = −1


x = y = 1


x = y
x = y
x = y
 x = y = −1 + 5
⇔
⇔
⇔
TH1: 
2
3

3
2
2 y = x + 1 2 x = x + 1 ( x − 1) ( x + x − 1) = 0


 x = y = −1 − 5


2
1

1

2
2
y = − x
 xy = −1
1 3

y = −
 2 1 
4
TH2: 
Mà x + x + 2 =  x −  +  x +  + > 0, ∀x ⇒ VN
⇔
⇔
x
3
2 
2 2


2 y = x + 1 − 2 = x 3 + 1  x 4 + x + 2 = 0

 x

 −1 + 5 −1 + 5   −1 − 5 −1 − 5 
V y nghi m c a h là ( x; y ) = (1;1) , 
 1 ; 1 ,  1 ; 1 
 


 

2
 x + 1 + y(y + x) = 4y (1)

VD2.
Gi i h phương trình: 
( x, y ∈ R ) . (D b A2006)
2
(x + 1)(y + x − 2) = y ( 2 )

Gi i:

(1) ⇔ x 2 + 1 + y ( x + y − 4 ) = 0 (*)
t:

u = x 2 + 1 > 0; v = x + y − 4

u − yv = 0 ( 3)


⇔
Thay (4) vào (3) ta có: ( 3) ⇔ u + u ( v + 2 ) .v = 0 ⇔ u 1 + v ( v + 2 )  = 0


u ( v + 2 ) = y ( 4 )

⇔ v 2 + 2v + 1 = 0 ⇔ (v + 1) 2 = 0 ⇔ v = −1 ⇔ x + y = 3

H

 x2 + 1 − y = 0
 x = 1 ⇒ y = −2
V y (*) ⇔ 
⇔ x2 + 1 − (3 − x ) = 0 ⇔ 
x = 2 ⇒ y = 5
x = 3 − y
 x 3 − 8x = y3 + 2y

VD3.
Gi i h phương trình 
( x, y ∈ R ) . (D b 2A 2006)
2
2
 x − 3 = 3(y + 1) (*)

Gi i:
3
 3
 x3 − y 3 = 2 ( 4 x + y )


3 ( x − y ) = 6 ( 4 x + 2 y ) (1)
⇔
L y (2) thay vào (1) ta có
H ⇔
2
2
2
2
x − 3y = 6
x − 3 y = 6 ( 2)



⇔ 3 ( x3 − y 3 ) = ( x 2 − 3 y 2 ) ( 4 x + y ) ⇔ x3 − 12 y 2 x + x 2 y = 0 ⇔ x ( x 2 + xy − 12 y 2 ) = 0
D th y x=0 thì y=0. Th vào (*) ta th y không th a mãn. V y ây không ph i là nghi m c a phương
trình:
9
WWW.MATHVN.COM



 x 2 + xy − 12 y 2 = 0

( x − 3 y )( x + 4 y ) = 0
⇒ 2
⇔ 2
2
2
x − 3y = 6

x − 3y = 6


x − 3y = 0
x = 3y
 y = 1⇒ x = 3
⇔ 2
⇔
TH1:  2
2
 y = −1 ⇒ x = −3
x − 3y = 6
6 y = 6


78
−4 78
⇒x=
y =
 x = −4 y
 x = −4 y
13
13
TH2:  2
⇔
⇔
2
2

78

4 78
x − 3y = 6
13 y = 6
⇒x=
y = −
13
13

V y nghi m c a phương trình là:

 78 −4 78   − 78 4 78 

 13 ; 13  ,  13 ; 13 
 


 

2
2
( x − y ) ( x + y ) = 13 (1)

(D b 2005)
Gi i h phương trình 
( x + y ) ( x 2 − y 2 ) = 25 ( 2 )



( x; y ) = (1;3) , ( −1; −3) ,
VD4.

Gi i:
Nhân c 2 v c a (1) cho 25. Nhân c 2 v c a (2) cho 13. Sau ó l y (1)-(2).
2
⇔ 13( x + y ) 2 ( x − y ) − 25 ( x − y ) ( x 2 + y 2 ) = 0 ⇔ ( x − y ) 13 ( x + y ) − 25 ( x 2 + y 2 )  = 0


2
2
2
2
⇔ ( x − y ) ( −12 x + 26 xy − 12 y ) = 0 ⇔ −2 ( x − y ) ( −12 x + 26 xy − 12 y ) = 0

(1)-(2)

D th y x=y không th a mãn h .

 3x = 2 y
 y = −3

⇔
 25 2  − y 

 3 x = 2 y
y .
 = 25  x = −2
 9
( 3x − 2 y )( 2 x − 3 y ) = 0
 3 




⇒
⇔ 2 x = 3 y
⇔
( x + y ) ( x 2 − y 2 ) = 25
 2 x = 3 y
2



( x + y ) ( x − y ) = 25  

x=3

  25 y 2 .  1 y  = 25 ⇔ 


4

2 
y = 2

L i bình:
Làm sao ta có th phân tích nhanh

( −12 x

2

+ 26 xy − 12 y 2 ) thành nhân t

( 3x − 2 y )( 2 x − 3 y ) ??

Lúc này, công c c a chúng ta chính là máy tính b túi! Các b n hãy làm như sau:
Coi như ta không th y
h n các b n

n y. v y nên ta có phương trình b c 2 theo x:

( −12 x

2

+ 26 x − 12 ) = 0 Ch c

u bi t gi i phương trình b c 2 này b ng máy CASIO. Ta b m

ư c nghi m:

3
2
x = ∨ x = . Lúc này ta g i l i n y b ng cách thêm y vào sau các nghi m tìm ư c.
2
3
3
2
x = y ∨ x = y . Quy ng b m u vì m u là h ng s . ta có nhân t c n phân tích. Lưu ý là
2
3

2
( −12 x + 26 xy − 12 y 2 ) = 0 ⇔ ( 3x − 2 y )( 2 x − 3 y ) = 0 . N u gi i b t phương trình, b n nên chú ý n
d u khi phân tích (Trư ng h p này là d u - :

( −12 x

2

+ 26 xy − 12 y 2 ) = −2 ( 3 x − 2 y )( 2 x − 3 y ) = 0 )

Khi g p d ng phương trình a th c có h ng s
phía v ph i (ho c có th
ưa c 2 phương trình
v d ng có h ng s
v ph i), Ta nhân c 2 v c a phương trình trên cho s
v ph i c a phương
trình dư i và nhân c 2 v c a phương trình dư i cho s
phương trình trên. Sau ó tr v theo
10
WWW.MATHVN.COM


v . M c ích c a phương pháp này là quy h v phương trình tích sau
h t các lo i phương trình a th c
u gi i ư c theo cách này!

Bài t p t
Bài 1.

Bài 2.

Bài 3.

Bài 4.

Bài 5.

Bài 6.

ó ti n hành phân tích. H u

luy n

 x 4 − x3 y + x 2 y 2 = 1

 3
2
 x y − x + xy = 1

 x2 + y 2 + x + y = 4


 x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2


 x 2 − xy + y 2 = 3 ( x − y )

 2
2
2

 x + xy + y = 7 ( x − y )

log x ( x3 + 2 x 2 − 3x − 5 y ) = 3


3
2
log y ( y + 2 y − 3 y − 5 x ) = 3

 x ( x + y + 1) − 3 = 0


5
2
( x + y ) − 2 + 1 = 0
x

9
9
x + y = 1

 25
25
16
16
x + y = x + y


Bài 7.

Bài 8.

Bài 9.

Bài 10.

Bài 11.

11
WWW.MATHVN.COM

3
2 2
 4
x + 2x y + x y = 2x + 9
 2
 x + 2 xy = 6 x + 6

 xy + x + 1 = 7 y
 2 2
2
 x y + xy + 1 = 13 y
3

 x +1 − y = 8 − x

4
( x − 1) = y



y2 + 2
3y =

x2


2
3x = x + 2

y2


1
 1
x − x = y − y

2 y = x3 + 1



Bài III: Phương trình lư ng giác.
M ts
1.

2.

cơng th c lư ng giác c n nh :
1
1
sin 2 x + cos 2 x = 1;1 + tan 2 x =

;1 + cot 2 x =
.
2
cos x
sin 2 x
sin x
cos x
1
tanx =
;cot x =
; tan x =
.
cos x
sin x
cot x
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos asinb

3. Công th c c ng:

4. Công th c nhân

cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b
ôi:

sin2x = 2sinxcosx

5. cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 - 2 sin2x

6. Công th c h

b c:

cos 2 x =

1 + cos 2 x
1 − cos 2 x
;sin 2 x =
2
2

7. Công th c nhân ba: Sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx.
8. Công th c bi u di n theo tanx:

sin 2 x =

2 tan x
1 − tan 2 x
2 tan x
;cos 2 x =
; tan 2 x =
2
2
1 + tan x
1 + tan x
1 − tan 2 x
1
( cos(a − b) + cos(a + b) )
2
1
sin a sin b = ( cos(a − b) − cos(a + b) )

2
1
sin a cos b = ( sin(a − b) + sin(a + b) )
2
cos a cos b =

9. Công th c bi n

i tích thành t ng

x+ y
x− y
cos
2
2
x+ y
x− y
sin x − sin y = 2cos
sin
2
2
x+ y
x− y
cos x + cos y = 2cos
cos
2
2
x+ y
x− y
cos x − cos y = −2sin

sin
2
2
sin x + sin y = 2sin

10.Công th c bi n

i t ng thành tích

2
WWW.MATHVN.COM


Cách gi i các phương trình lư ng giác trong

thi

i h c:

Lưu ý trư c khi gi i
:
Các phương trình lư ng giác trong
thi
i h c nhìn qua m t h c sinh thư ng r t khó khăn ph c t p
nhưng chúng
u quy v nh ng phương trình ơn gi n.
thi
i h c các năm
u xoay quanh bi n
i v d ng phương trình tích,

t n ph . Năm 2009,
thi có bi n
i hơn ó là phương trình cu i
bi n
i v d ng công th c c ng. Nhìn chung phương pháp gi i d ng tốn này là các em h c thu c các
công th c trên ây và rèn luy n kĩ năng phân tích a th c thành nhân t …
GI I M T S

THI TIÊU BI U:




1. Gi i phương trình: 2 sin  2 x −

π

 + 4 sin x + 1 = 0 (1)
6

Gi i:

3 sin 2 x − cos 2 x + 4sin x + 1 = 0

(1)

2sin x

(

)

3 cos x − sin x + 2 = 0

2sin x

(

)

3 cos 2 x + 2 − 2sin 2 x = 0

sinx = 0 ⇔ x = kπ


 3 cos x − 1 sin x = −1 ⇔ cos  x + π  = cos x


2
6




 x = kπ

 x = 5π + 2kπ

6


−7π
x =
+ 2 kπ
6

2. Tìm nghi m trên kho ng (0;

π)c

a phương trình :

x
3π
4 sin 2 − 3 cos 2 x = 1 + 2 cos 2 ( x − )
2
4
Gi i:
Tìm nghi m
Ta có

4 sin 2

∈ ( 0, π )
x
3π 

− 3 cos 2x = 1 + 2 cos2  x −  (1)
2
4 


(1)

3π 

⇔ 2 (1 − cos x ) − 3 cos 2x = 1 + 1 + cos  2x − 
2 


(1)

⇔ 2 − 2 cos x − 3 cos 2x = 2 − sin 2x

(1)

⇔ −2 cos x = 3 cos 2x − sin 2x . Chia hai v cho 2:

(1)

⇔ − cos x =

3
1
cos 2x − sin 2x
2
2

5π
2π
7π

π

+k
⇔ cos  2x +  = cos ( π − x ) ⇔ x =
( a ) hay x = − + h2π ( b )
18
3
6
6


3
WWW.MATHVN.COM


Do

x ∈ ( 0, π ) nên h nghi m (a) ch ch n k=0, k=1, h nghi m (b) ch ch n h = 1. Do ó ta có ba

nghi m x thu c

.

3.

( 0, π )

là

x1 =

5π
17π
5π
, x2 =
, x3 =
18
18
6

Gi i phương trình

Gi i:

π

: 2 2 cos3 ( x − ) − 3cos x − sin x = 0 (2)
4

3


π 

(2) ⇔  2 cos  x −   − 3cos x − sin x = 0
4 


3

⇔ ( cos x + sin x ) − 3cos x − sin x = 0
⇔ cos3 x + sin3 x + 3cos2 xsin x + 3cos xsin2 x − 3cos x − sin x = 0
 cos x = 0
 cos x ≠ 0


⇔ 3
hay 
2
3
2
3
sin x − sin x = 0
1 + 3tgx + 3tg x + tg x − 3 − 3tg x − tgx − tg x = 0


⇔ sin2 x = 1 hay tgx = 1 ⇔ x =

.

4.

π
+ kπ
2

Gi i phương trình

hay

x=

π
+ kπ
4

π
cos 2 x − 1
: tg ( + x ) − 3tg 2 x =
2
cos 2 x

(

d

b kh i B 2005)

Gi i:

−2sin2 x
(2) ⇔ − cot gx − 3tg x =
cos2 x
1
π
⇔−
− tg2 x = 0 ⇔ tg3x = −1 ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z
tgx
4
2

PHƯƠNG PHÁP

T

A.
t t=sinx
Cos2x= 1 – sin2x = 1-t2
2

N PH

TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC:
t ∈ [-1;1]

2

sin x
t
=
2
cos x 1 − t 2
2
Cos2x = 1 − 2sin x = 1-2t2
3
3
Sin3x = 3sin x − 4sin x = 3t − 4t
Tan2x =

B.

t t = cosx

2

sin x = 1 − cos 2 x = 1 − t 2
sin 2 x 1 − t 2
tan 2 x =
= 2
cos 2 x
t
C.

cos 2 x = 2t 2 + 1
cos 3 x = 4 cos3 x − 3cos x = 4t 3 − 3t

t t= tanx
4
WWW.MATHVN.COM


cot x =

1
t

1
1+ t2
1− t2
cos 2 x =

1+ t2
2t
t an2x =
1+ t2
cos 2 x =

t2
sin x =
1+ t2
 1 
s in2x=2t 
2 
 1+ t 
a sin x + b cos x a tan x + b at + b
=
=
c sin x + d cos x c tan x + d ct + d
2

D.

t∈

t t=sinx ± cosx

sinxcosx =

t 2 −1
±2

 − 2; 2 



(

2

)

sin2x= ± t + 1

 t 2 −1  3 − t3
sin x + cos x = ( sin x + cos x ) sin x + cos x − sin x cos x = t 1 −
=
2 
2

3

(

3

NGUYÊN T C CHUNG
Bi n

2

)

2

GI I PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC

i:

tt
Phân tích thành tích
Nguyên t c :
Lũy th a
H b c
Tích
T ng
T ng
Tích
Bi n
i khơng ư c thì
i bi n.
GI I M T S

Bài 1.

THI TIÊU BI U:

cot x − 1 =

cos 2 x
1
+ sin 2 x − sin 2 x

1 + tan x
2

Gi i:
t t=tanx, pt tr thành:

 1− t2 

2 
2
1
 1 + t  + t − 1 2t t ≠ 0; t ≠ −1
−1 =
(
)
t
1+ t
1+ t2 2 1+ t 2
⇔ 2t 3 − 3t 2 + 2t − 1 = 0
Bài 2.

⇔ t =1

⇔ tan x = 1 ⇔ x =

cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0

Gi i:
t t=cosx, pt tr thành:

⇔ 4t 3 − 3t + 2t 2 − 1 − t − 1 = 0

5
WWW.MATHVN.COM

π
4

+ kπ


cos x = ±1
 x = kπ
 t = ±1
 −1 ⇔ 
⇔
⇔
cos x = cos 2π
 x = ± 2π + 2kπ
t =
3
3
2



Bài 3.

Gi i phương trình:

1 − sin x + 1 − cos x = 1 (

thi d

b 2 A – 2004) (1)

Gi i:

1 − sin x − cos x + 2 (1 − sin x)(1 − cos x) = 0

(1)

t t=sinx +cosx

⇔ sin xcosx =

t 2 −1
2

t 2 −1
− t = 0 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 4 + 2t 2 − 2 − 4t ⇔ (t − 1)2 = 0 ⇔ t = 1
2
π
π


π 
Sinx+cosx =1
x = kπ
2 sin  x +  = 1

sin  x +  = sin  
4
4


4
cos 2 x
Bài 4.
sin x +
+ 6 tan 2 x (1 − sin x ) = 2
1 + sin x
Pt tr thành:

1− t + 2 1+

Gi i:
t t=sinx

t ∈ [ −1;1]

pt tr thành:

1− t2
t2
t+
+6
1 − t ) = 2 ⇔ 6t 2 − t − 1 = 0
2 (
1+ t
1− t


π
  x = 6 + 2 kπ
 1

1

t = 2
5π
sin x = 2
⇔
⇔
⇔  x =
+ 2 kπ



6
t = −1

sin x = sin α

3

 x = arccos −1 + 2kπ

3

1
Bài 5.

sin 6 x + cos 6 x = cos 8 x (1)
4
Gi i:

3
1
3  1 − cos 4 x  1
1 − sin 2 2 x = cos 8 x ⇔ 1 − 
 = cos8 x
4
4
4
2
 4
t t=cos4x
t ∈ [ −1;1] pt tr thành:

(1)


t =
3 1− t  1 2
1− 
 = 2t − 1 ⇔ 
4 2  4

t =


(

)

π kπ
2
π


 x = 16 + 4
 4 x = 4 + kπ
2
⇔
⇔
− 2
 x = 3π + kπ
 4 x = 3π + kπ


4
16 4


2

6
WWW.MATHVN.COM


Bài t p t

luy n

sin 2x + sin x −

1
1
−
= 2 cot g2x
2 sin x sin 2x

3x
 5x π 
x π
sin −  − cos −  = 2 cos
2
 2 4
2 4

2 cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x)
sin 2x cos 2x
+
= tgx − cot gx
sin x
cos x

( 2 cos x − 1)( sin x + s in2x ) − cos 2 x =

1
2

( 2sin x + 1)( 2 cos x − 1) = 1
sin 3 x + cos3 x = 2 (1 − sin x cos x )
x
2 sin x cos − cos x = 1
2
π
π 3


sin 4 x + cos 4 x + cos  x −  .sin  3 x −  − = 0
4
4 2


2sin x + cos x + 1
Cho phương trình:
=a
(2) (
sin x − 2 cos x + 3
1
1. gi i phương trình khi a=
3
2. tìm a

phương trình (2) có nghi m.

x

tan x + cos x − cos 2 x = sin x 1 + tan x tan 
2


tan

4

( 2 − sin
x +1 =

2

)

2 x sin 3 x
4

cos x

7
WWW.MATHVN.COM

d

b kh i a 2002)


Bài IV: Tích Phân
Lưu ý trư c khi gi i

thi:

Tích phân là bài toán r t thư ng xu t hi n trong
thi
i h c. K t năm 2002, khi b t
u ti n hành thi
“Ba chung” các d ng tốn tích phân và ng d ng ln xu t hi n và là câu 1 i m. Bài t p ph n này
khơng q khó nhưng v n ph i ịi h i kĩ năng phán ốn, phân tích
, và n m rõ ư c các cách làm bài
toán tích phân cơ b n như
i bi n s và tính theo tích phân t ng ph n… các em cùng theo dõi các ví d
dư i ây.
NGUYÊN T C CHUNG
GI I BÀI TỐN TÍCH PHÂN:
G m có 2 phương pháp chính:
A.

I BI N:
i bi n lo i 1:

•

f ( u ( x ) ) .u ' ( x ) dx

t t=u(x)

Chú ý: Các bi u th c có quan h

o hàm

GI I CÁC VÍ D :
π

2

Tính tích phân: I =

VD 1.

sin 2 x

∫ 3 + cos
0

2

x

Gi i:
2

t t = 3 + cos x
X

⇒ dt = 2 cos x ( − sin x ) dx ⇒ dt = −2sin 2 xdx

π

0

t

2

4

3

4

4
− dt
4
= ln t ⇒ I = ln
3
3
t
3

I =∫

6

VD2. Tính tích phân: I =

dx

∫ 2x + 1 +

(

DB 1A – 2006)

4x + 1

2

Gi i:
t t=
X
t

1
tdt = dx
2

4x +1 ⇒ t 2 = 4x + 1 ⇒
2
3

6
5

( t + 1 − 1) dt = 5 dt − 5 dt
∫ ( t + 1)2 ∫ t + 1 ∫ ( t + 1)2
3
3
3
5

1 5
3 1


= ln t + 1 +
 3 = ln 2 − 12
t + 1


π
4

VD3. Tính tích phân: I =

∫ cos
0

dx
2

x 1 + tan x

Gi i:

8
WWW.MATHVN.COM


⇒ t 2 = 1 + tan x ⇒ 2tdt =

t t= 1 + tan x
X

dx

cos 2 x

π

0

t

4
2

1
2

∫

I=

1

2

2tdt
2
= 2 ∫ dt = 2t
= 2 2 −2
t
1
1
e

VD 4.

Tính tích phân:

∫

I=

1

3 − 2 ln x
dx.
x 1 + 2 ln x

Gi i:
t t= 1 + 2 ln x

⇒ t 2 = 1 + 2 ln x ⇒ tdt =

X

e

t
2

I=

∫

1

2

(

)tdt =

2

3 − t −1
t

1

1.

dx
x
1

2

∫ ( 4 − t ) dt =
2

1

10 2 − 11

3

i bi n lo i 2:
B c t l n hơn b c m u:
chia a th c
B c t nh hơn b c m u:
i bi n
Xét quan h
o hàm ⇒
M u có nghi m ⇒ Tách phân th c
Hàm h u t (m u vô nghi m):

du

∫ u ( x)
( )

2

+ a2

t u(x)=atant

Hàm căn th c:
2

a2 + (u ( x )) ⇒
2

a2 − ( u ( x )) ⇒

t u(x)=atant
t u(x)=asint (ho c u(x)=asint)
3

VD 5.

Tính tích phân: I=

∫x
0

dx
+9

2

Gi i:
t x=3tan(t)

(

)

⇒ dx = 3 tan 2 t + 1 dt
X
t

0

3

π

0

4

9
WWW.MATHVN.COM


π
4

I=∫

(

)

3 tan 2 t + 1 dt

0

(

)

9 tan 2 t + 1

π

1
π
= t 4=
3
12
0
5
2

Tính tích phân: I

VD 6.

dx

=∫

9 − ( x − 1)

1

2

Gi i:
t x-1= 3sint

⇒ dx = 3cos tdt

X
t

I=∫
0

π

0

π
6

5
2

1

6

π

π

6

3cos tdt
9 − 9sin 2 t

π

6

cos tdt
π
=∫
=t 6 =
2
6
1 − sin t 0 cos t
0
cos tdt

=∫
0

3

VD 7.

Tính tích phân:

I =∫
1

dx
x

2

x2 + 3

Gi i:

3 tan t ⇒ dx = 3 ( tan 2 x + 1) dx

t x=
X
t

1

3

π

π

6

3

π
1
dt
3
3 tan 2 t + 1
2
1
−1 3 cos tdt

cos t
I =∫
dx = ∫
=
∫
3 π sin 2 t
3 π sin 2 t
1
3 tan 2 t 3 tan 2 + 3
6
6
cos 2 t cos 2 t

(

π

π

)

π

1 3 d ( sin t )
1 3 6−2 3
I =− ∫
=−
=
2
3 π sin t

3sin t π
9
6
6

10
WWW.MATHVN.COM


B. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN T NG PH N:
Cơng th c:
b

∫ udv = uv
a

b b
− vdu
a ∫
a

(1)

Cách l y ph n các tích phân:
Kí hi u P(x) là a th c. Khi g p hai d ng nguyên hàm sau
t ng ph n:
D ng 1:

∫ P ( x ) ln xdx

ây, ta thư ng dùng phương pháp tích phân

t u= ln x (Do lnx khơng có ngun hàm)

ta

eax +b



D ng 2: ∫ P ( x ) . sin( ax + b) dx
cos(ax + b) 


V i cách y khi l y công th c 1 ta s
th p hơn…

ta

t u=P(x)

ư c bài toán d n t i nguyên hàm

ng d ng v i b c c a P(x)

GI I CÁC VÍ D :
π
2

VD 1.

Tính tích phân:

I = ∫ (x + 1)sin2xdx.

(

d

b kh i D 2005)

0

Gi i:
π

π
u = x + 1 ⇒ du = dx
− ( x + 1)
12
π

t: 
⇒I=
cos 2 x 2 + ∫ cos 2 xdx = + 1
−1
2
20
4
dv = s in2xdx ⇒ v = 2 cos 2 x

0

2

VD 2.

Tính tích phân:

I = ∫ (x − 2)lnx dx.

(

d

b kh i D 2006)

1

Gi i:

1

du = x dx
u = ln x
2 2 x
 x2

5




t: 
⇒
⇒ I =  − 2 x  ln x − ∫  − 2  dx = − ln 4 +
2
1 12
4
x

dv = ( x − 2 ) dx 
 2


v = − 2x

2

π2
4

VD 3.

Tính tích phân:

∫ sin

xdx

0

Gi i:
t t=

x ⇒ t 2 = x ⇒ 2tdt = dx

X

π2

0
t

4

π

0

2

11
WWW.MATHVN.COM


π
2

B = 2 ∫ t sin tdt
0

π
2

I = ∫ t sin tdt

Tính

0

u = t
du = dt
⇒

dv = sin tdt v = − cos t

t:

π

π

2

π

π

π

I = −t cos t 2 + ∫ cos tdt = − cos + 0 cos 0 + sin t 2 = 1

2
2
0 0
0
B=2I=2
π
2

VD 4.

Tính tích phân: A=

∫e

x

cos xdx

0

Gi i:

u = e x
du = e x dx
⇒

dv = − sin xdx v = − cos x

t:

π

π

π
π

2

π

π

2

2

A = −e x cos x 2 + ∫ e x cos xdx = −e 2 cos + e0 cos 0 + ∫ e x cos xdx = 1 + ∫ e x cos xdx
2
0
0
0 0
π
2

K = ∫ e x cos xdx

Tính

0

u = e x
du = e x dx
⇒
dv = cos xdx v = sin x

t: 

π

π
π

2

K = e sin x 2 − ∫ e sin xdx = e 2 − A
0 0
x

x

π
π

Thay vào (1):

π

A = 1+ e 2 − A ⇒ 2A = 1+ e 2 ⇒ A =

1+ e 2
2

π

VD 5.

Tính tích phân: A=

∫ x sin x cos

2

xdx

0

Gi i:
t:
Tính:
t:


u = x
du = dx
⇒

2
2
dv = sin x cos xdx v = ∫ sin x cos xdx


v = ∫ sin x cos 2 xdx
t = cos x ⇒ dt = − sin xdx
12
WWW.MATHVN.COM

(1)


−t 3
cos3 x
+C = −
+C
3
3
cos3 x
Ch n C=0 ⇒ v = −
3
π
3
π 1
cos x π 1
+ ∫ cos 3 xdx = + K
V y A = −x
3 0 30
3 3
V= −

2
∫ t dt =

π

π

0

Tính

(1)

0

K = ∫ cos3 xdx = ∫ 1 − sin 2 x cos xdx

(

t t=sin(x)
X
t

)

⇒ dt = cos xdx

π

0
0

0

0

K = ∫ 1 − t 2 dt = 0

(

)

0

Thay vào (1):

π

1
π
+ K=
3 3
3

A=

π
2

VD 6.

Tính tích phân:

x + sin x
dx
π 1 + cos x

D=∫
3

Gi i:
π
2

D=∫
π
3

x + sin x
x
2 cos 2
2

u = x + sin x
du = (1 + cos x ) dx



1
t:  dv =
dx ⇒ 
x

2 x

v = tan
2 cos
2


2


π

π

x 2 2
x
3 3
π
 π
V y: D = ( x + sin x ) tan
− ∫ (1 + cos x ) tan dx =  + 1 −  +
− K (3)

2π π
2
2  3 2  3


3 3
π

π

π

2

2
2
x
x
2 x
V i: K = ∫ (1 + cos x ) tan dx = ∫ 2 cos
tan dx = ∫ sin xdx
2
2
2
π
π
π
3

3

3

π
= − cos x

2

π

=

1
2

3
Thay vào (3) ta có: D=

(9 + 2 3 )π
18

L i bình:
tích phân t ng ph n ta có cách nh
t u như sau: nh t “log” – nhì “ a” ( a th c) – tam
“Lư ng” (Lư ng giác) – T “mũ”. Trong phép tính tích phân t ng ph n, g p phép nào
ng trư c trong 4
phép trên, hãy
t u b ng phép ó!
13
WWW.MATHVN.COM


Bài t p t

luy n
π
3

Tính tích phân:

I = ∫ sin 2 x.tgxdx
0
7

Tính tích phân:

x+2
dx
x +1

I =∫

3

0
e

Tính tích phân:

I = ∫ x 2 ln xdx
0

π
4

Tính tích phân:

I = ∫ (tgx + esin x cos x)dx
0

π

Tính tích phân:

I = ∫ cos x sin xdx
0

π
3

Tính tích phân:

I = ∫ tan 2 x + cot 2 x − 2dx
π
6

π
2

Tính tích phân:

I=

∫

2 (1 + cos 2 x ) dx

−π
2

π
3

Tính tích phân:

I=∫
π

sin 4 x sin 3x
dx
tan x + cot 2 x

6

10

Tính tích phân:

I=

dx
x −1

∫ x−2
5

e

Tính tích phân:

I=

∫
1

3 − 2 ln x
dx.
x 1 + 2 ln x

π

Tính tích phân:

x sin x
1 + sin 2 x
0

I =∫
π

sin x + sin 3 x
cos 2 x
0
6

Tính tích phân:

I=∫

Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i parabol

(P) : y = x2 − x + 3

và

ư ng th ng

d : y = 2x + 1.

x2
27
Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ư ng: ( C1) y = x ; ( C 2 ) y =
; ( C 3) y =
27
x
2

14
WWW.MATHVN.COM