Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học

www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
1

Chuyên đề
LƯỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản
2 2
2
2
sin cos 1
sin
tan
cos 2
1
tan 1
2
cos
k
k
α α
α π
α α π
α
π
α α π
α
+ =
 

= ≠ +
 
 
 
= + ≠ +
 
 

( )
( )
2
2
tan .cot 1
cos
cot
sin
1
cot 1
sin
k
k
α α
α
α α π
α
α α π
α
=
= ≠
= + ≠

2. Công thức LG thường gặp
Công thức cộng:
(
)
( )
( )
sin sinacosb sinbcosa
cos cosa cosb sinasinb
tan tan
tan b
1 tan tan
a b
a b
a b
a
a b
± = ±
± =
±
± =
m
m


Công thức nhân:
2 2 2 2
3
3
3

2
sin 2 2sin .cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
3tan tan
tan 3 =
1 3tan
a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
a
a
=
= − = − = −
= −
= −
−
−


Tích thành tổng: cosa.cosb =
1
2
[cos(a
−
b)+cos(a+b)]
sina.sinb =

1
2
[cos(a
−
b
)
−
cos(
a
+
b
)]
sin
a
.cos
b
=
1
2
[sin(
a
−
b
)+sin(
a
+
b
)]
Tổng thành tích:
sin sin 2sin cos

2 2
a b a b
a b
+ −
+ =

sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

±
± =

Công thức hạ bậc:
cos
2
a =
1
2
(1+cos2a)

sin
2
a =
1
2
(1
−
cos2a)
Biểu diễn các hàm số LG theo
tan
2
a
t =

www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
2

2
2 2 2
2 1- 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
= = =
+ + −


3. Ph
ươ
ng trìng LG c
ơ
b
ả
n
* sinu=sinv
2
2
u v k
u v k
π
π π
= +

⇔


= − +

* cosu=cosv
⇔
u=
±
v+k2
π

* tanu=tanv
⇔
u=v+k
π
* cotu=cotv
⇔
u=v+k
π

(
)
Z
k ∈
.
4. M
ộ
t s
ố
ph
ươ
ng trình LG th

ườ
ng g
ặ
p
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a
. Ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t
đố
i v
ớ
i m
ộ
t hàm s
ố
l
ượ
ng giác:
để
gi
ả
i các ph
ươ
ng trình này ta dùng các
công th

ứ
c LG
để

đư
a ph
ươ
ng trình v
ề
ph
ươ
ng trình LG c
ơ
b
ả
n.
b
. Ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
đố
i v
ớ
i m
ộ
t hàm s
ố
l

ượ
ng giác: là nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng
a.sin
2
x+b.sinx+c=0

(ho
ặ
c a.cos
2
x+b.cosx+c=0, a.tan
2
x+b.tanx+c=0, a.cot
2
x+b.cotx+c=0)
để
gi
ả
i các
ph
ươ
ng trình này ta
đặ
t t b

ằ
ng hàm s
ố
LG
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
D
ạ
ng: asinx+bcosx=c.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m là
2 2 2
a b c
+ ≥
.
Cách 1: Chia hai v
ế
ph
ươ
ng trình cho a r
ồ

i
đặ
t
tan
b
a
α
=
, ta
đượ
c: sinx+tan
α
cosx=
cos
c
a
α

⇔
sinx
cos
α
+
sin
α
cosx=
cos
c
a
α

⇔
sin(x+
α
)=
cos
c
a
α
sin
ϕ
=
ñaët
.
Cách 2: Chia hai v
ế
ph
ươ
ng trình cho
2 2
a b
+
, ta
đượ
c:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b

+ =
+ + +

Đặ
t:
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
β β
= =
+ +
. Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng:
2 2
cos sin sin cos
c
x x
a b
β β
+ =
+
hay

( )
2 2
sin sin
c
x
a b
β ϕ
+ = =
+
ñaët
.
Cách 3:
Đặ
t
tan
2
x
t
=
.
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
D
ạ
ng: asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=0 (*).
Cách 1: + Ki
ể

m tra nghi
ệ
m v
ớ
i
2
x k
π
π
= +
.
+ Gi
ả
s
ử
cosx
≠
0: chia hai v
ế
ph
ươ
ng trình cho cos
2
x ta
đượ
c: atan
2
x+btanx+c=0.
Chú ý:
2

2
1
tan 1
2
cos
x x k
x
π
π
 
= + ≠ +
 
 

Cách 2: Áp d
ụ
ng công th
ứ
c h
ạ
b
ậ
c.
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
D
ạ
ng: a(sinx
±
cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách gi

ả
i:
Đặ
t t= sinx
±
cosx.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
|
t
|
2
≤
.

sin cos 2sin 2 cos
4 4
sin cos 2sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x
π π
π π
   
+ = + = −
   

   
   
− = − = − +
   
   
Löu y ùcaùc coâng thöùc:




www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
3


Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Phương pháp 1:

Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng tình: sin
2
x + sin
2
3x = cos

2
2x + cos
2
4x (1).
Gi
ả
i
Ph
ươ
ng trình (1) t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i:
1 cos2 1 cos6 1 cos 4 1 cos8
2 2 2 2
x x x x
− − + +
+ = +

⇔
cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
⇔
2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
⇔
2cos5x(cos3x+cosx) = 0
⇔
4cos5x.cos2x.cosx = 0

5
10 5
2
cos5 0
cos2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0
2 2

π kπ
π
x
x kπ
x
π π lπ
x x kπ x k l n
x
π π
x kπ x nπ


= +
= +


=







⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈




=





= + = +






Ví dụ 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: cos
6
x+sin
6
x = 2 ( cos

8
x+sin
8
x) (2).
Gi
ả
i
Ta có (2)
⇔
cos
6
x(2cos
2
x
−
1) = sin
6
x(1
−
2sin
2
x)
⇔
cos2x(sin
6
x–cos
6
x) = 0
⇔
cos2x(sin

2
x–cos
2
x)(1+sin
2
x.cos
2
x) = 0
⇔
cos2x = 0
⇔

2 ,( )
2 4 2
π π kπ
x kπ x k= + ⇔ = + ∈


Ví dụ 3:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
6 3 4
8 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0
x x x x
+ − − =
(3).
Gi

ả
i
Ta có:
3 3 3
2 2
2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos 2 )(cos 2 cos4 ) (1 cos 2 )(cos2 cos 4 ) 2
2(cos2 cos2 cos 4 ) 2
2
cos2 (1 cos4 )
2
2
cos2 .cos 2
4
2
cos2
2 8
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x
π
x x
⇔ − + − =
⇔ + =
⇔ + + + − − =

⇔ + =
⇔ + =
⇔ =
⇔ = ⇔ = ± ,( )kπ k+ ∈ 

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
Ví dụ 4
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác:
8 8
17
sin cos
32
x x+ =
(4).
Giải
Ta có (4)
4 4
4 2
1 cos 2 1 cos 2 17 1 17
(cos 2 6 cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x
x x
− +

   
⇔ + = ⇔ + + =
   
   

www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
4

Đặ
t cos
2
2x = t, v
ớ
i t∈[0; 1], ta có
2 2
1
17 13
2
6 1 6 0
13
4 4
2
t
t t t t
t

=


+ + = ⇔ + − = ⇔


= −



Vì t∈[0;1], nên
2
1 1 cos 4 1 1
cos 2
2 2 2 2
x
t x
+
= ⇔ = ⇔ =

⇔cos4x = 0 ⇔
4 ,( )
2 8 4
π π π
x k
π
x k k= + ⇔ = + ∈


Ví dụ 5.
Gi
ả
i ph

ươ
ng trình l
ươ
ng giác: 2sin
3
x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
Ta có (5) ⇔ 2(1
−
cos
2
x)sinx + 2 – 2 cos
2
x + cosx – 1 = 0
⇔ (1
−

cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)
−
1] = 0
⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)

x x k π k
x x x x
= ⇔ = ∈

⇔


+ + + =



Gi
ả
i (*):
Đặ
t sinx + cosx = t,
đ
i
ề
u ki
ệ
n
| | 2
t ≤
, khi đó phương trình (*) trở thành:
2t + t
2
– 1 + 1 = 0 ⇔ t
2
+ 2t = 0
0
sin -cos ,( )
2 (
4
t
π
x x x n

π
n
t lo
=

⇔ ⇔ = ⇔ = − + ∈

= −


¹i)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
4
π
x n
π
= − +
;
2 , ( , )
x k π n k
= ∈


Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 6. Giải phương trình:
|sin |
cos
x

π
x
=
(6).
Gi
ả
i
Điều kiện: x ≥ 0
Do
| sin | 0,
x
≥
nên
|sin | 0
1
x
π π
≥ =
, mà |cosx| ≤ 1.
Do đó
2 2 2
0
| sin | 0 ,( )
(6)
0
| cos | 1 ,( )
k n
x k
π
k

π
n
x x k
π
k
x
x n
π
x n
π
x x n
π
n
+
 
= =
 
= = 
= = ∈
 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
=
= =
= = ∈
 

 
 




(Vì k, n ∈ Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình:
2
1 cos
2
x
x
− =
.
Gi
ả
i
Đặt
2
( )= cos
2
x
f x x +
. Dễ thấy f(x) = f(
−
x),
x
∀ ∈

, do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét
với x ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) =

−
cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 ⇒ f(x)
đồng biến với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng
0;
2
π
 
 
 
thoả mãn
phương trình:
2
2
sin cos 2
n
n n
x x
−
+ =
.
Gi
ả
i
Đặt f(x) = sin
n
x + cos
n
x, ta có : f’(x) = ncosx.sin

n-1
x – nsinx.cos
n-1
x.
= nsinx.cosx(sin
n-2
x – cos
n-2
x)
www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
5

Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng
0;
2
π
 
 
 
, ta có minf(x) = f
4
π
 
 
 
=
2
2

2
n
−

Vậy x =
4
π
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1. cos
3
x+cos
2
x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:
2 ; 2
2
x k x n
π
π π
= = +

2. tanx.sin
2
x−
−−
−2sin
2
x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin

2
x ĐS:
; 2
4 3
x k x n
π π
π π
= − + = ± +

3. 2sin3x−
−−
−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
ĐS:
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
π π π π
π π
= ± + = − + = +

4. |sinx−
−−
−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:
2
x k
π
=
.
5. 4(sin3x−

−−
−cos2x)=5(sinx−
−−
−1) (ĐH Luật Hà Nội)
ĐS:
2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l
π
π α π π α π
= + = + = − + với
1
sin
4
α
= −
.
6. sinx−
−−
−4sin
3
x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:
4
x k
π
π
= + .
7.
sin 3 sin 2 .sin
4 4

x x x
π π
   
− = +
   
   
; (Học Viện BCVT) ĐS:
4 2
x k
π π
= +

8. sin
3
x.cos3x+cos
3
x.sin3x=sin
3
4x
HD: sin
2
x.sinx.cos3x+cos
2
x. cosx.sin3x=sin
3
4x ĐS:
12
x k
π
=

.
9.
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 
 
 
−
 
 
ĐS:
4
8
5
8
x k
x k
x k
π

π
π
π
π
π
−

= +


−

= +



= +



10.
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin cos
x x x x x x
− = −

HD: Chia hai vế cho cos
3
x ĐS: x =
3

k
π
π
− + ,
4
x k
π
π
= ± +
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD: Đưa về cung
x
đặt thừa số ĐS:
2
2 ( )
4 3
x k x k k
π π
π π
= + ∨ = ± + ∈


12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải
(1) ⇔2sinxcosx+2cos
2
x–1=1+sinx–3cosx.
⇔2cos
2
x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.

⇔2cos
2
x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đặt t=cosx, ĐK
1
t
≤

, ta được: 2t
2
+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. ∆=(2sinx+3)
2
+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)
2
.
www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
6

⇒
( )
1
1
2
cos
2
sin - 2
t
x

t x

=

⇒ =

=


loaïi
…(biết giải)
13. 2sinx+cotx=2sin2x+1.
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin
2
x–sinx+cosx=0.
Đặt t=sinx, ĐK
1
t
≤

.
2(1–2cosx)t
2
–t+cosx=0 … ∆=(4cosx–1)
2
.
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.
(sinx+cosx)
2

+(sinx+cosx)+2(cos
2
x–sin
2
x)=0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
15. Giải phương trình lượng giác:
(
)
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −

Giải
Điều kiện:
(
)
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+ ≠




≠



Từ (1) ta có:
(
)
2 cos sin
1 cos .sin 2
2 sin
sin cos 2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x
x
x x x
x
x x x
−
= ⇔ =
+ −

2sin .cos 2 sin
x x x
⇔ =

( )
2
2
4
cos
2
2
4
x k
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔ = ⇔ ∈


= − +




So v
ớ
i
đ

i
ề
u ki
ệ
n, ta
đượ
c h
ọ
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là
( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈


16. Giải phương trình:
( )
4 4
sin cos 1

tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +

Gi
ả
i
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
(1)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
sin 2 0
x

≠

2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
(1)
sin 2 2 cos sin
x
x x
x x x
−
 
⇔ = +
 
 
2
2
1
1 sin 2
1 1
2
1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x
x x
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ =

V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho vô nghi
ệ
m.
17. Giải phương trình:
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
π
 
− = −
 
 
.
Gi
ả
i
Pt⇔
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
π

 
− = −
 
 
(cosx
)0
≠
2
1 cos 2 cos 2sin .cos sin
2
x x x x x
π
 
 
⇔ − − = −
 
 
 
 

⇔
(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0
⇔
sin2x = 1 ho
ặ
c tanx = 1.
18. Giải phương trình:
( )
(
)

3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3cos sinx 3 3 0
x x c x c x x
+ − − + − − =
.
Gi
ả
i
www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
7

3
2 3 2
sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos2 8( 3.cos sin ) 3 3 0
2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin )
3 3 0
x x x x x x
x x x x x x x x
+ − − + − − =
⇔ + − − + + − − =
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2
2
=−+−−−−⇔ xxxxxxxx

2
2
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3

3 cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0
cos 4 ( ai)
x x x x
x
x x
x
x x
x
⇔ − − − + =

=

− =

⇔ ⇔ =


+ − =


=

lo

,
3
2
x k

k
x k
π
π
π

= +

⇔ ∈

=

Z

19.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: cos
x
=8sin
3
6
x
π
 
+
 

 

Gi
ả
i
cosx=8sin
3
6
x
π
 
+
 
 
⇔
cosx =
(
)
3
3 sin cos
x x
+

⇔
3 2 2 3
3 3 sin 9sin cos 3 3sin cos cos cos 0
x x x x x x x
+ + + − =
(3)
Ta th

ấ
y cosx = 0 không là nghiêm
(3) ⇔
3 2
3 3 tan 8tan 3 3 tan 0
x x x
+ + =

tan 0
x x k
π
⇔ = ⇔ =

20.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác:
(
)
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−

=
+ −

Gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
(
)
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+ ≠



≠



T
ừ
(1) ta có:
(

)
2 cos sin
1 cos .sin 2
2 sin
sin cos 2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x
x
x x x
x
x x x
−
= ⇔ =
+ −

2sin .cos 2 sin
x x x
⇔ =
( )
2
2
4
cos
2
2
4
x k

x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔ = ⇔ ∈


= − +




So v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n, ta
đượ
c h
ọ
nghi

ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là
( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈

Z

21.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )
x x x x
+ = − −

Gi

ả
i
Ph
ươ
ng trình ⇔ (cosx–sinx)
2

– 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos sin 1
cos sin 5 ( cos sin 2)
x x
x x loai vi x x
− = −

⇔

− = − ≤


(
)
(
)
2
2
2 sin 1 sin sin ( )
4 4 4
2
x k
x x k Z

x k
π
π
π π π
π π

= +

⇔ − = ⇔ − = ⇔ ∈

= +


www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
8

22.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 2cos3
x
+
3
sin
x

+ cos
x
= 0
Gi
ả
i
3sin cos 2cos3 0
x x x
+ + =
⇔ sin
3
π
sinx + cos
3
π
cosx = – cos3x.
⇔ cos
cos3
3
x x
π
 
− = −
 
 
⇔ cos
cos( 3 )
3
x x
π

π
 
− = −
 
 

⇔
3 2
( )
3
k
x
k
x k
π π
π
π

= +

∈


= +

Z
⇔ x =
3 2
k
π π

+ (k∈Z)
23.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình cos3
x
cos
3
x
– sin3
x
sin
3
x
=
2 3 2
8
+

Gi
ả
i
Ta có: cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =

2 3 2
8
+
⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
2 3 2
8
+

⇔
( )
2 2
2 3 2
cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin3 sin
2
x x x x x x
+
+ + − =
⇔
2
cos4 ,
2 16 2
x x k k Z
π π
= ⇔ = ± + ∈
.
24.
Đị
nh
m

để
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
2
4sin 3 sin 4cos 3 cos cos 2 0
4 4 4
x x x x x m
π π π
     
+ − + − + + =
     
     

Gi
ả
i
Ta có:
*
(
)
4sin 3 sin 2 cos2 cos 4
x x x x
= −
;
*
( )
4cos 3 cos 2 cos 2 cos4 2 sin 2 cos4

4 4 2
x x x x x x
π π π
 
     
− + = − + = +
     
 
     
 

*
( )
2
1 1
cos 2 1 cos 4 1 sin 4
4 2 2 2
x x x
π π
 
   
+ = + + = −
   
 
   
 

Do
đ
ó ph

ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng:
( )
1 1
2 cos2 sin 2 sin 4 0 (1)
2 2
x x x m+ + + − =

Đặ
t
cos 2 sin 2 2 cos 2
4
t x x x
π
 
= + = −
 
 
(
đ
i
ề
u ki
ệ

n:
2 2
t
− ≤ ≤
).
Khi
đ
ó
2
sin 4 2sin 2 cos 2 1
x x x t
= = −
. Ph
ươ
ng trình (1) tr
ở
thành:
2
4 2 2 0
t t m
+ + − =
(2) v
ớ
i
2 2
t
− ≤ ≤

2
(2) 4 2 2

t t m
⇔ + = −

Đ
ây là phu
ơ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a 2
đườ
ng
( ) : 2 2
D y m
= −
(là
đườ
ng song song v
ớ
i Ox và c
ắ
t
tr
ụ
c tung t

ạ
i
đ
i
ể
m có tung
độ
b
ằ
ng 2 – 2m và (P):
2
4
y t t
= +
v
ớ
i
2 2
t− ≤ ≤
.
x
2
−


2

y’ +
y
2 4 2

+


2 4 2
−


Trong
đ
o
ạ
n
2; 2
 
−
 
, hàm s
ố

2
4
y t t
= +

đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh

ấ
t là
2 4 2
−
t
ạ
i
2
t
= −
và
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n
nh
ấ
t là
2 4 2
+
t
ạ
i
2
t =
.
www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
9

Do
đ
ó yêu c
ầ
u c
ủ
a bài toán th
ỏ
a mãn khi và ch
ỉ
khi
2 4 2 2 2 2 4 2
m− ≤ − ≤ +

2 2 2 2
m
⇔ − ≤ ≤
.

−−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−−
www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
10

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009

KHỐI A
1.
Tìm nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng (0;2
π
) c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
cos3 sin 3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 
+
 
(Kh
ố
i A_2002).

Giải


ĐS:
5
;
3 3
x x
π π
= =
.
2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+
(Kh
ố
i A_2003)
Giải

ĐS:
( )
4
x k k
π
π
= + ∈
Z

3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2 2
cos 3 cos 2 cos 0
x x x
− =
(Khối A_2005)
Giải
www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
11


ĐS:
( )

2
k
x k
π
= ∈
Z

4. Giải phương trình:
(
)
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
(Kh
ố
i A_2006)
Gi
ải

ĐS:
( )
5
2
4

x k k
π
π
= + ∈
Z

5.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2
x x x x x
+ + + = +
(Kh
ố
i A_2007)
Gi
ải

ĐS:
( )
, 2 , 2

4 2
x k x k x k k
π π
π π π
= − + = + = ∈
Z

6.

1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 
 
 
−
 
 
(Khối A_2008)
Giải

www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
12


ĐS:
( )
5
, , ,
4 8 8
x k x k x k k
π π π
π π π
− −
= + = + = + ∈
Z

7.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
( ) ( )
1 2sin cos
3

1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
. (Kh
ố
i A_2009)
Gi
ải

ĐS:
( )
2
,
18 3
x k k
π π
= − + ∈
Z


KH
ỐI B
8.
Gi
ả
i ph
ươ

ng trình
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
− = −
(Kh
ố
i B_2002)
Gi
ải

ĐS:
( )
; ,
9 2
x k x k k
π π
= = ∈
Z

9.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
cot tan 4sin 2
sin 2

x x x
x
− + =
(Kh
ố
i B_2003)
Gi
ải
www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
13


ĐS:
( )
,
3
x k k
π
π
= ± + ∈
Z

10.

Gi
ả
i ph
ươ

ng trình
(
)
2
5sin 2 3 1 sin tan
x x x
− = − (Kh
ố
i B_2004)
Gi
ải

ĐS:
( )
5
2 ; 2 ,
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈
Z

11.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

1 sin cos sin 2 cos 2 0
x x x x
+ + + + =
(Kh
ố
i B_2005)
Giải

ĐS:
( )
2
2
3
x k k
π
π
= ± + ∈
Z

12.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 

+ + =
 
 
(Kh
ố
i B_2006)
Giải
www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
14


ĐS:
( )
5
; ,
12 12
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈
Z

13.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:

2
2sin 2 sin 7 1 sin
x x x
+ − =
(Kh
ố
i B_2007)
Giải

ĐS:
( )
2 5 2
; ,
18 3 18 3
x k x k k
π π π π
= + = + ∈
Z

14.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin cos
x x x x x x
− = − (Kh
ố

i B_2008)
Giải


ĐS:
( )
; ,
4 2 3
x k x k k
π π π
π
= + = − + ∈
Z

15.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sin
x x x x x x
+ + = +
. (Kh
ố
i B_2009)
Giải

ĐS:
( )
2
, 2 ,
42 7 6
k
x x k k
π π π
π
= + = − − ∈
Z


www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
15

KHỐI D
16.
Tìm x∈[0;14] cos3x−4cos2x+3cosx−4=0 (Kh
ố
i D_2002)
Giải

ĐS:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2

x x x x
π π π π
= = = =

17.
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 
 
(Kh
ố
i D_2003)
Giải

ĐS:
( )
2 , ,
4
x k x k k
π
π π π
= + = − + ∈
Z

18.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
2cos 1 2sin cos sin 2 sin
x x x x x
− + = −
(Khối D_2004)
Giải

ĐS:
( )
2 , ,
3 4
x k x k k
π π
π π
= ± + = − + ∈
Z

19.
Giải phương trình:
4 4
3

cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =
   
   
(Khối D_2005)
Giải
www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
16


ĐS:
( )
,
4
x k k
π
π
= + ∈
Z

20.
Giải phương trình: cos3x+cos2x−cosx−1=0 (Khối D_2006)
Giải

ĐS:
( )
2
2 ,
3
x k k
π
π
= ± + ∈
Z

21.
Giải phương trình
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 
 
(Kh
ố
i D_2007)
Gi
ải

ĐS:
( )

2 , 2 ,
2 6
x k x k k
π π
π π
= + = − + ∈
Z

22. Giải phương trình
sin 3 3 cos3 2sin 2
x x x
− = (CĐ_A_B_D_2008)
Giải


www.VNMATH.com

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
17

ĐS:
( )
4 2
2 , ,
3 15 5
x k x k k
π π π
π
= + = + ∈
Z

23.
Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008)
Giải

ĐS:
( )
2
2 , ,
3 4
x k x k k
π π
π π
= ± + = + ∈
Z

24.
Giải phương trình (1+2sinx)
2
cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009)
Giải

ĐS:
( )
5
, ,
12 12
x k x k k
π π
π π

= + = + ∈
Z

25.
Giải phương trình
3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0
x x x x
− − =
(Khối D_2009)
Giải


ĐS:
( )
, ,
18 3 6 2
x k x k k
π π π π
= + = − + ∈
Z


−
−−
−
Hết
−
−−
−