Khóa luyện thi đại học 2015 môn toán

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!




Xét các hàm số
( )
=
y f x
có đồ thị là (C), tập xác định D
1
và hàm số
( )
=
y g x
có đồ thị là (C’), tập xác định
là D
2
. Khi đó số nghiệm của phương trình
( ) ( )
=
f x g x
với
(
)
1 2
∈ ∩
x D D
chính là số giao điểm của hai đồ
thị đã cho.

Phương trình
( ) ( )
=
f x g x
hay
( ) ( ) 0 ( ) 0
− = ⇔ =
f x g x h x được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của
hai đồ thị hàm số.
Ví dụ 1: [ĐVH].
Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị cho dưới đây :
a)
( )
3
3 2
2

= − −

= −

y x x
y m x
b)
2 1
2
2
+



=

+

= +

x
y
x
y x m
c)
( )
4 2
2
1
1 2

= + +


= − +


y x x
y m x m

Hướng dẫn giải:
a)

( )

3
3 2
2

= − −

= −

y x x
y m x

Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m:
( ) ( )
(
)
( ) ( )
3 2
3 2 2 2 2 1 2 , 1
− − = − ⇔ − + + = −x x m x x x x m x
( ) ( ) ( )
2
2

2
1 2 1 0, 2
=

⇔

+ = ⇔ = + + − =

x
x m h x x x m

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1).
Do (1) là phương trình bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 3.

Hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm khi (1) chỉ có một nghiệm.
Điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép x = 2.
Từ đó ta có điều kiện tương ứng
( )
0
1 1 0 0
0
0.
0
2
1 2
2
′
∆ <



− − < ⇔ <

′

∆ =


⇔ ⇔ <
=




→



= − =
− =






o
m m
m
m
vn

b
x
a


Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm khi (1) có hai nghiệm phân biệt.
Điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép khác x = 2, hoặc có hai nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là x = 2.
Ta có điều kiện
( )
0
0
2
2
0
0
9
2 0
9
′

∆ =



→ =


= − ≠





′
∆ >

>



⇔ → =
 

=
=




m
b
x
a
m
m
h
m


Hai
đồ

th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i 3
đ
i
ể
m khi (1) có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi (2) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và
đề
u khác 2
( )

0
0
2 0
9
′
∆ >

>


⇔ ⇔
 
≠
≠



m
h
m

Kết luận:
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ

i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi m < 0.
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m khi m = 0 ho
ặ
c m = 9.
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ

i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi m > 0 và m
≠
9.
b)
2 1
2
2
+


=

+

= +

x
y
x
y x m
.
Đ
i
ề

u ki
ệ
n: x
≠

−
2.
03. LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TƯƠNG GIAO
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Phương trình hoành độ giao điểm:
( ) ( ) ( )
2
2 1
2 2 2 2 1 0 0, 1 .
2
+
= + ⇔ + + + − = ⇔ =
+
x
x m x m x m h x
x

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm khác −2 của phương trình (1).
Do (1) là phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 2.

Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x =
−
2.

Ta có
( )
2
2
4 4 8 2 1 0
0
6 2 6 6 2 6
0
12 12 0
6 2 6 6 2 6.
6 2 6
2
2
6
2
2
4

+ + − − <
∆ <


− < < +



∆ =




− + =

⇔ ⇔ ⇔ − < < +



= ±




→




+

= − = −

=
− = −











o
m m m
m
m m
m
m
vn
b
m
x
m
a


Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể

m khi (1) có nghi
ệ
m kép khác
−
2 ho
ặ
c có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t, trong
đ
ó m
ộ
t nghi
ệ
m
là x =
−
2.
Ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
( )
( )
2

2
12 12 0
6 2 6
0
6 2 6
2
6
2
4
2
2
6 2 6
0
12 12 0
6 2 6
2 0
8 2 2 2 1 0
3 0


− + =

= ±
 


∆ =

⇔ → = ±
 

+



≠
− ≠ −






= − ≠ −




⇔



> +

∆ >


− + >






⇔ →

 
< −




=
− + + − =







=


o
m m
m
m
m
m
b
x

a
m
m m
vn
m
h
m m


Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và đều khác
−
2
Ta có điều kiện:
( )
( )
2
6 2 6
0
12 12 0
6 2 6
6 2 6
2 0
8 2 2 2 1 0
6 2 6
3 0


> +



∆ >


− + > > +

 
⇔ ⇔ →

  
< −


≠
− + + − ≠

< −





≠

m
m m m
m
h
m m
m

Kết luận:
+ Hai
đồ
th
ị
không c
ắ
t nhau khi
6 2 6 6 2 6.
− < < +m
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi
6 2 6.
= ±m
+ Hai
đồ
th

ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi
6 2 6
6 2 6

> +

< −


m
m

c)
( )
4 2
2
1
1 2


= + +


= − +


y x x
y m x m

Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m:
(
)
(
)
(
)
4 2 2 4 2
1 1 2 1 2 0 0, 1 .
+ + = − + ⇔ + + − = ⇔ =x x m x m x mx m h x
S
ố
giao

đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
là s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1).
Do (1) là ph
ươ
ng trình b
ậ
c b
ố
n nên có t
ố
i
đ
a b
ố

n nghi
ệ
m, khi
đ
ó s
ố
giao
đ
i
ể
m t
ố
i
đ
a c
ủ
a hai
đồ
th
ị
là 4.
Đặ
t
(
)
(
)
(
)
2 2

, 0 1 2 0, 2
= ≥ → = + + − =t x t h t t mt m

Hai
đồ
th
ị
không c
ắ
t nhau khi (1) vô nghi
ệ
m,
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi (2) vô nghi
ệ
m, ho
ặ
c có nghi
ệ
m kép âm, ho
ặ
c có hai
nghi
ệ

m âm phân bi
ệ
t.
+ (2) vô nghi
ệ
m khi
( ) ( )
2
2 2
0 4 1 2 0 8 4 0 4 20 4 2 5 4 2 5
∆ < ⇔ − − < ⇔ + − < ⇔ + < ⇔ − − < < − +m m m m m m
+ (2) có nghi
ệ
m kép âm khi
2
0
8 4 0
4 2 5
4 2 5.
0
0
0
2
2

∆ =

+ − =

= − ±

  
⇔ ⇔ → = − +
−  
−
= <
>
<


 


m m
m
m
b
m
t
m
a

+ (2) có hai nghi
ệ
m âm phân bi
ệ
t khi
2
1 2
1 2
4 2 5

4 2 5
0 8 4.0
1
0 0 0 4 2 5 .
2
1 2 0 1
0
2


> − +




< − −

∆ > + −





+ < ⇔ − < ⇔ > →− + < <
  
  
− >
>




<


m
m
m m
t t m m m
m
t t
m

H
ợ
p ba kh
ả
n
ă
ng l
ạ
i ta
đượ
c
đ
i
ề
u ki
ệ
n
để

hai
đồ
th
ị
không c
ắ
t nhau là
1
4 2 5 .
2
− − < <
m

Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi (1) có m
ộ
t nghi

ệ
m,
đ
i
ề
u
đ
ó ch
ỉ
x
ả
y ra khi nghi
ệ
m
đ
ó là x = 0.
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Từ đó ta được kiện
1
1 2 0 .
2
− = ⇔ =
m m

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi phương trình (1) có hai nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép dương,
hoặc có hai nghiệm trái dấu.
+ (2) có nghiệm kép dương khi
2
0

8 4 0
4 2 5
4 2 5.
0
0
0
2
2

∆ =

+ − =

= − ±
  
⇔ ⇔ → = − −
−  
−
= >
<
>


 


m m
m
m
b

m
t
m
a

+ (2) có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u khi
1 2
1
0 1 2 0 .
2
< ⇔ − < ⇔ >
t t m m
H
ợ
p hai kh
ả
n
ă
ng l
ạ
i ta
đượ
c
đ
i
ề

u ki
ệ
n
để
hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m là
4 2 5
1
2

= − −


>


m
m


Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm khi (1) có ba nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có một nghiệm t = 0 và một nghiệm t > 0.
Điều đó xẩy ra khi
( )
1 2
1
0 0
1 2 0
.
2
0
0
0

 =
− =
=

 
⇔ ⇔ →
  
− >
+ >




<

o

h
m
m
vn
m
t t
m

V
ậ
y không có giá tr
ị
nào c
ủ
a m
để
hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i 3
đ
i
ể
m.


Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i b
ố
n
đ
i
ể
m khi (1) có b
ố
n nghi
ệ
m,
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi (2) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ

t, và hai
nghi
ệ
m
đề
u d
ươ
ng.
Đ
i
ề
u
đ
ó x
ẩ
y ra khi
2
1 2
1 2
4 2 5
4 2 5
0 8 4 0
0 0 0 4 2 5.
1 2 0 1
0
2


> − +





> − −

∆ > + − >





+ > ⇔ − > ⇔ < → < − −
  
  
− >
>



<


m
m
m m
t t m m m
m
t t
m

Kết luận:
+) Hai
đồ
th
ị
không c
ắ
t nhau khi
1
4 2 5 .
2
− − < <
m
+) Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi
1
.

2
=
m
+) Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi
4 2 5
1
2

= − −


>


m
m

+) Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i b
ố
n
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi
4 2 5.
< − −m

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị
a)
3 2
3
3 4

= + +

= +


y x x x
y x

b)
3
1
2 3
+

=

−


= −

x
y
x
y x

Ví dụ 3: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của hai đồ thị
3 2
( 1) 2 2
3 4

= + − + +

= −


y x m x mx
y x
theo tham s
ố
m.

Ví dụ 4: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của hai đồ thị
2
1
1
+

=

−


= +

x m
y
x
y mx
theo tham số m.

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây?

a)
( )
3
3
3
3

= − +



= −

x
y x
y m x
b)
( )
3
2 1
1

= − −


= −


y x x
y m x

c)
1
1
2
+

=

−


= − +

x
y
x
y x m

Bài 2: [ĐVH]. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây?

a)
4
2
2
1
3
2 2
1

= − + +




= +

x
y x
y mx
b)
(
)
4 2
2
2 3 1
2

= − + + −


= − −


y x m x
y x
c)
2
2
1

=


+


= − +

x
y
x
y mx


Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!




I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỀM TỚI MỘT MẶT PHẲNG
Dạng 1. Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) chứa đường cao
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
3
2 ; ; 3 .
2
= = =
a
AB a BC AD a
Hình chi
ế
u vuông góc c

ủ
a S lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a BD.
Bi
ế
t góc gi
ữ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) b
ằ
ng 60
0
. Tính kho
ả

ng cách
a)
t
ừ
C
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBD)
b)
t
ừ
B
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAH)
Ví dụ 2.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thoi v
ớ
i
2 ; 2 2.
= =AC a BD a Gọi H là trọng tâm
tam giác ABD, biêt rằng các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và góc

giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
. Tính khoảng cách
a) từ C đến mặt phẳng (SHD)
b) từ G đến mặt phẳng (SHC), với G là trọng tâm tam giác SCD.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. M là trung điểm của CD, hình chiếu vuông
góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của AM. Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 60
0
. Tính khoảng cách
a) từ B đến (SAM).
b) từ C đén (SAH)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với
3; .
= =
AB a AC a
Gọi I là điểm trên BC
sao cho
1
2
=
BI IC
và H là trung điểm của AI. Biết rằng
( )
⊥
SH ABC
và góc giữa mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng 60
0
. Tính khoảng cách

a) từ B đến (SHC).
b) từ C đến (SAI)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a. Hình chiếu vuông góc của
S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AB sao cho
2
HB HA
=
. Biế
t góc gi
ữ
a SC và (ABCD) b
ằ
ng 45
0
. Tính
kho
ả
ng cách
a)
t
ừ
D
đế
n (SHC).
b)
t
ừ
trung
đ
i

ể
m M c
ủ
a SA
đế
n (SHD)
H
ướ
ng d
ẫ
n: (Các em t
ự
v
ẽ
hình nhé)
+) Ta d
ễ
dàng tính
đượ
c
( )


0
97 97
; ; 45
3 3
a a
HC SC ABCD SCH SH HC= = = ⇒ = =
06. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH – P1

Th
ầy Đặng Việt H
ùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
+) Kẻ
(
)
(
)
1 1 1
;
DD HC DD SHC DD d D SHC
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =

Sử dụng tính toán qua công cụ diện tích ta dễ dàng có
( ) ( )
1 1
2 .3 18 18
2 . . ; . ;
93 97 97
3
HDC
a a a a
S DD HC DC d H DC D D d D SHC
a
= = ⇒ = = ⇒ =
b) Do M là trung điểm của SA nên

( ) ( )
1
; ;
2
d M SHD d A SHD
=
+) K
ẻ

(
)
(
)
;
AK HD AK SHD AK d A SHD
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
, mà
2
.3
. 6
3
85 85
3
a
a
AH AD a
AK
HD
a
= = =

T
ư

đ
ó suy ra
( )
3
; .
85
a
d M SHD
=


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
Loại 1: Các bài toán về hoành độ giao điểm
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
3( 1) 3 2
= + − − +
y x m x mx
và đường thẳng
: 5 1.
= −
d y x

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
a) có hoành độ dương
b) có hoành độ lớn hơn 2
c) có hoành độ
1 2 3
; ;
x x x
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
21
+ + =
x x x
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
3 3 3 2
= − − + +
y x mx x m và đường thẳng
: 5 1.
= −
d y x
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
a) có hoành độ lớn hơn –1
b) có hoành độ
1 2 3
; ;
x x x
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3

15
+ + >
x x x
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
3 ( 1) 1
= − + − + +
y x mx m x m và đường thẳng
: 2 1.
= − −
d y x m
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
Ví dụ 4*: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)
= − + − − −
y x mx m x m
Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. (Trích đề thi ĐH khối A – 2010)
Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
+ (1 – m)x + m
Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
, x

3
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
4.
+ + <
x x x
Bài 2:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

3 2 2
( 3) 4
y x m x mx m
= − + + −
.
Tìm m
để

đồ
th
ị
hàm s
ố
c
ắ
t tr
ụ

c hoành t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao cho
2 2 2
8
A B C
x x x
+ + =
.

Đ
/s.
1
m
=
. G
ợ
i ý.
Đ
oán nghi
ệ
m
x m
=

Bài 3:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

3 2
3 3 3 2
y x mx x m
= − − + +
(C
m
)
Tìm m
để
(C
m
) c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ

t có hoành
độ
là
1 2 3
, ,
x x x
th
ỏ
a mãn
2 2 2
1 2 3
4
x x x
+ + ≤

Bài 4:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố
y = x
3
– 6x
2
+ mx.
04. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Tìm m để đường thẳng y = 2x cắt đồ thị hàm số đã cho tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ

dương.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x
3

– 3x – 2, có đồ thị là (C).
Gọi A là điểm thuộc đồ thị và có hoành độ x
A
= 0, (d) là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k.
a) Xác định k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
b) Xác định k để d và (C) cắt nhau tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
– x – m
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành một cấp số
cộng.
Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2x
3
– 3x
2

– 1, có đồ thị là (C).
Gọi (d
k
) là đường thẳng đi qua A(0; –1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng d
k
cắt (C) tại
a) 3 điểm phân biệt.
b) 3 điểm phân biệt, trong đó hai điểm có hoành độ dương.

Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = x
3
– (2m + 1)x
2
– 9x
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!



DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
Loại 2: Các bài toán về tọa độ giao điểm
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
2 6 1
= − + +
y x x và đường thẳng
: 1.
= +
d y mx
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho B là trung điểm của đoạn
thẳng AC.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số
3
3 2
= − +
y x x
.
Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho

2
=
A
x và
2 2
=BC
.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 2
= + + − +
y x mx m x
có đồ thị là (C
m
) (với m là tham số).
Cho đường thẳng
: 2
= − +
d y x và điểm K(3; 1). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt
A(0; 2), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng
2 2
.
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
(2 ) 6 9(2 ) 2
= − − + − −
y m x mx m x
có đồ thị là (C

m
)
Tìm m để đường thẳng
: 2
= −
d y cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt
(0; 2)
−
A , B và C sao cho diện tích tam giác
OBC bằng
2 7.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số
= − + +
3 2
5 3 9
y x x x
(1).
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua
−
( 1;0)
A
và có hệ số góc k. Tìm k để ∆ cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B,
C sao cho tam giác OBC có trọng tâm G(2; 2) (với O là gốc toạ độ).
Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
4 6 1
= − +
y x mx

có đồ thị là (C)
Tìm các giá trị của m để đường thẳng
= − +
d y x
: 1
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A(0; 1), B, C phân biệt sao cho
B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.
Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số
= − +
3 2
3 4
y x x có đồ thị là (C).
Gọi
k
d
là đường thẳng đi qua điểm
−
( 1;0)
A
với hệ số góc k. Tìm k để
k
d
cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân
biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ
O
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 8.
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số
= − − +
3 2
1 8

3
3 3
y x x x .
L
ập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ).
04. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA – P3
Th
ầy Đặng Việt H
ùng

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số
= − +
3 2
3 2
y x x
có đồ thị là (C).
Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 0) và cắt (C) tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho diện tích tam
giác OBC bằng
2 5.

Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
6 9
y x x x
= − +
. Tìm m để đường thẳng
=

y mx
cắt đồ thị (
C
) tại ba điểm phân
biệt
O
(0; 0),
A, B
. Chứng tỏ khi m thay đổi, trung điểm
I
của đoạn thẳng
AB
luôn nằm trên cùng một đường
thẳng song song với
Oy
.
Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 2
= + + − +
y x mx m x
có đồ thị là
C
m
.
Cho điểm
M
(3; 1) và đường thẳng
d
:

x
+
y
– 2 = 0. Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng (
d
) cắt đồ thị tại 3
điểm
A
(0; 2);
B
,
C
sao cho tam giác
MBC
có diện tích bằng
2 6.

Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số :
3 2
1 1
2 3
3 3
= − + −
y x x x
Tìm m
để

đườ

ng th
ẳ
ng
1
:
3
∆ = −
y mx c
ắ
t (C) t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A , B , C sao cho A c
ố

đị
nh và di
ệ
n tích
tam giác OBC g
ấ
p hai l
ầ
n di
ệ

n tích tam giác OAB.
Bài 9:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

3 2
3
= + +
y x mx m
.
Tìm m
để

đồ
th
ị
hàm s
ố
c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i
đ
úng hai
đ

i
ể
m phân bi
ệ
t.
Bài 10:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

3 2
2 3
= − + − +
y x x x m
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 1
=
d y
.
Tìm
m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d tại đúng 1 điểm.
Bài 11: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
2 2
= + −

y x mx m
.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.
Bài 12: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
= − + +
y x mx m
.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 13: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
(2 ) 3
= + − + −
y x m x mx
.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
; ;
x x x
thỏa mãn
a)
2 2 2
1 2 3
5
+ + ≤
x x x

b) A, B, C là các giao điểm (A cố định) và
10.
=BC

Bài 14: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
( 2) 2 3 9
= + + + − +
y x m x mx m
.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A, B, C (với A cố định) sao cho
5.
=BC
Bài 15: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
( 2) 2 3 3
= − + + + +
y x m x mx m
.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt A, B, C (với A cố định) sao cho
a) AC = 3AB, (với A nằm giữa B, C)
b)
5.
=BC

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Xét sự tương giao của hàm phân thức bậc nhất
( )
( )
:
:

+

=

+


= +

ax b
C y
cx d
d y mx n

Ta có phương trình hoành độ giao điểm
( )
2
0 ( ) 0, 1
+
= + ⇔ + + = ⇔ =
+
ax b
mx n Ax Bx C g x
cx d

Trong
đ
ó g(x) = 0 là m
ộ
t ph

ươ
ng trình b
ậ
c hai.
S
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
là s
ố
nghi
ệ
m
d
x
c
≠ −
c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1).

DẠNG 1. BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
Ví dụ:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

3
2 1
+
=
−
x
y
x
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: .
= − +
d y x m

Tìm
m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
DẠNG 2. BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Loại 1 : Các bài toán về hoành độ giao điểm
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số
2 3

1
+
=
−
x
y
x
và đường thẳng
: 2.
= − +
d y mx
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
1
− +
=
−
x
y
x
và đường thẳng
: 2 .
= +
d y x m

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số
2
1

+
=
−
x
y
x
và đường thẳng
: 3 1.
= +
d y mx
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị.
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số
3
1
−
=
+
x
y
x

Viết phươn trình đường d đi qua
( 1;1)
−
I sao cho d cắt (C) tại M, N và I là trung điểm của MN.
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số
2 5
mx
y
x m

+
=
+
và đường thẳng
1
: 2
2
d y x
= −
. Tìm m để đồ thị cắt đường thẳng
tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ thoả mãn
2
1 1 2
9 8
x x x
− =
Đ/s :
4; 5
m m
= = −


05. TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số
1
3

− +
=
+
mx
y
x
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: ( 1) 2.
= + +
d y m x
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.
Bài 2: [ĐVH]. Cho hai đồ thị hàm số
( ) ( )
2
: 2 , : .
2 1
+
= − + =
−
x
d y x m C y
x
Tìm giá trị của tham số m để
a) hai đồ thị không cắt nhau.
b) hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị.
Bài 3: [ĐVH]. Cho hai đồ thị hàm số

( ) ( )
3 1
: ; : 2 .
4
+
= = +
−
x
C y d y x m
x
Tìm giá trị của tham số m để
a) hai đồ thị không cắt nhau.
b) hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1.
Bài 4: [ĐVH]. Cho hai đồ thị hàm số
( ) ( )
4 1
: ; : .
2
−
= = − +
−
x
C y d y x m
x
Tìm giá trị của tham số m để hai đồ
thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn
2 2
1 2
37.
+ =x x

Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số
1
2
x
y
x
−
= và đường thẳng
: .
d y x m
= − +

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB
min
.
Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số
2 2
1
x
y
x
−
=
+
và đường thẳng
: 2 .
d y x m
= +

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

5.
AB =
Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số
2
2 2
x
y
x
+
=
−
và đường thẳng :
d y x m
= +

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
2 2
37
,
2
OA OB+ = với O là gốc tọa
độ.
Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=

−
và đường thẳng
: .
d y x m
= +

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, với O
là gốc tọa độ.
Bài 9: [ĐVH]. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2010)
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
và đường thẳng
: 2 .
d y x m
= − +

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
3.
OAB
S
∆
=

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Xét sự tương giao của hàm phân thức bậc nhất
( )
( )
:
:
+

=

+


= +

ax b
C y
cx d
d y mx n

Ta có phương trình hoành độ giao điểm
( )
2
0 ( ) 0, 1
+
= + ⇔ + + = ⇔ =
+

ax b
mx n Ax Bx C g x
cx d

Trong
đ
ó g(x) = 0 là m
ộ
t ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai.
S
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
là s
ố
nghi
ệ
m

d
x
c
≠ −
c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1).
DẠNG 1. BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
DẠNG 2. BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Loại 1 : Các bài toán về hoành độ giao điểm
Loại 2 : Các bài toán về tọa độ giao điểm
Ví dụ 1:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

2 1
.
1
x
y
x
+
=
+
Tìm các giá tr
ị

c
ủ
a tham s
ố
k sao cho
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2 1
d y kx k
= + +
c
ắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục
hoành là bằng nhau.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số
2 1
1
−
=
−
x
y
x
(C).
Tìm m để đường thẳng d:
= +
y x m
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
∆

OAB vuông tại O.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số
2 1
1
+
=
−
x
y
x
.
Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d):
= +
y x m
cắt (
C
) tại 2 điểm phân biệt
M, N
sao cho diện tích
tam giác
IMN
bằng 4 (
I
là tâm đối xứng của (C)).
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số
2
− +
=
+
x m

y
x
có đồ thị là (
Cm
) (
m
là tham số).
Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng
: 2 2 1 0
+ − =
d x y
cắt (
Cm
) tại hai điểm
A
và
B
sao cho tam giác
OAB

có diện tích bằng 1 (
O
là gốc tọa độ).
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
2
+
=

+
x
y
x
(
C
). Đường thẳng
=
y x
cắt (
C
) tại hai điểm
A, B
. Tìm
m
để
đường thẳng :
= +
d y x m
cắt (C) tại hai điểm
C, D
sao cho
ABCD
là hình bình hành.
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hàm số
3
2
+
=
+

x
y
x
. Tìm m
để

đườ
ng th
ẳ
ng
d y x m
: 2 3
= +
c
ắ
t (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
A, B sao cho
. 4
= −
OAOB
 
v

ớ
i O là g
ố
c to
ạ

độ
.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

2
1
x
y
x
=
−
. Tìm m
để

đườ
ng th
ẳ
ng
: 2

d y mx m
= − +
c
ắ
t (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
A, B sao cho
độ
dài AB ng
ắ
n nh
ấ
t.
05. TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số
1
x
y
x m
−

=
+
(1).Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố

m
sao cho
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
):
y x
2
= +

c
ắ
t
đồ
th
ị
hàm s
ố
(1) t

ạ
i hai
đ
i
ể
m
A
và
B
sao cho
2 2.
AB =

Bài 3:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

2 1
2
x
y
x
−
=
+
(1).Tìm các giá tr
ị
c

ủ
a tham s
ố

m
sao cho
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
):
= +
y x m

c
ắ
t
đồ
th
ị
hàm s
ố
(1) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m

A
và
B
sao cho
2 2.
AB =

Bài 4:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

2 1
1
+
=
−
x
y
x
. Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a
m
sao cho
đườ
ng th

ẳ
ng (
d
):
y x m
= +
c
ắ
t (
C
) t
ạ
i
2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
M
,
N
sao cho di
ệ
n tích tam giác
IMN
b
ằ
ng 4 (v

ớ
i
I
là tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a (
C
)).
Bài 5:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

2 1
1
x
y
x
+
=
−
có
đồ
th
ị

là (
C
). Tìm các giá tr
ị

m

để

đườ
ng th
ẳ
ng
: 3
y x m
∆ = − +
cắt
(C) tại A và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng
: 2 2 0
d x y
− − =
(với O là gốc tọa
độ).
Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+

=
−
có
đồ
th
ị
là (C) và
đ
i
ể
m
( 2;5)
A
−
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (d)
c
ắ
t (C) t
ạ
i 2
đ
i

ể
m phân bi
ệ
t B, C sao cho tam giác ABC
đề
u.
Bài 7:

[ĐVH].
G
ọ
i (d) là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua
(1;0)
A
và có h
ệ
s
ố
góc k. Tìm k
để
(d) c
ắ
t
đồ

th
ị

2
1
x
y
x
+
=
−
t
ạ
i
2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t B, C thu
ộ
c 2 nhánh khác nhau c
ủ
a
đồ
th
ị
và AB = 2AC.
Bài 8:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

( )
2
1
x m
y C
mx
−
=
+
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i
0
m
≠

đồ
th
ị

hàm s
ố
(C) c
ắ
t (d) :
2 2
y x m
= −
t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A,B .
Đườ
ng th
ẳ
ng (d) c
ắ
t các tr
ụ
c Ox, Oy l
ầ
n l
ượ
t t
ạ

i M,N . Tìm m
để

3
OAB OMN
S S
=


Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Bài 1: [ĐVH]. Cho hs
2 1
1
x
y
x
−
=
−
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ

ng
d

đ
i qua g
ố
c t
ọ
a
độ

O
và c
ắ
t (
C
) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
A, B
sao cho
O
là trung
đ

i
ể
m c
ủ
a
AB
.
Bài 2:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

1
x
y
x
=
−
. Tìm
m để

đườ
ng th
ẳ
ng
y x m
= − +
c
ắ

t
đồ
th
ị
(
C
) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
A
và
B
sao cho tam giác
OAB
có bán kính
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p b
ằ
ng
2 2

.
Bài 3:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

1
=
−
x
y
x
có
đồ thị
(
C
).
Tì
m
cá
c
giá trị củ
a
m
để đườ
ng th
ẳ
ng
= − +

y x m
c
ắ
t
đồ thị
(
C
)
tạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
A
và
B
sao cho
gó
c gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
OA
và

OB
b
ằ
ng
0
60
(v
ới
O
là gốc
tọa độ).
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (
C
). Xác định
m
để đường thẳng :
d y x m
= +
cắt đồ thị (C)
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
2 3

(với O là gốc tọa độ).
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
2
x
y
x
+
=
+
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng
: 1
d y x m
= − + +
cắt (C) tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho góc

AOB
tù.
Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số
1
2
x
y
x
+
=
−
. Gọi (d) là đường thẳng qua M(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt
(C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

2 .
MA MB
= −
 

Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số
1
,( )
2( 1)
+
=
− −
x
y C
x
và đường thẳng :
= +
d y x m
. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A đên Ox bằng khoảng cách từ B đến Oy.
Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số
2
1
=
−
x
y
x
và đường thẳng
1

:
2
= +
d y x m
. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho trung điểm của AB nằm trên Oy.
Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
2
+
=
+
x
y
x
và đường thẳng
: 2 4
= + −
d y ax b . Tìm a, b để d cắt (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
Bài 10: [ĐVH]. Cho hàm số
2
1
−
=
−
x
y
x
và đường thẳng d đi qua

2 4
;
3 3
 
 
 
A
. Vi
ế
t d sao cho d c
ắ
t (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t M, N và AN = 2AM.
Bài 11:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

1
=
−
x

y
x
và
đườ
ng th
ẳ
ng :
= − +
d y x m
. Tìm m
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân
bi
ệ
t A, B sao cho bán kính
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác IAB b
ằ

ng
73
8
v
ớ
i
3
3; .
2
 
 
 
I

05. TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Bài 12: [ĐVH]. Cho hàm số
1
=
−
x
y
x
và
đườ
ng th
ẳ
ng

:
= − +
d y x m
. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB tiếp xúc với đường thẳng
: 10
∆ = +
y x , với
3
3; .
2
 
 
 
I

Bài 13:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

,
1
=
−
x
y
x

đ
i
ể
m
3
3;
2
 
 
 
I
và
đườ
ng th
ẳ
ng :
= − +
d y x m
. Tìm m
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i
hai
đ
i
ể
m phân bi

ệ
t A, B sao cho
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác IAB ti
ế
p xúc ngoài v
ớ
i
2
2
11
( ):( 1) 4
2
 
+ + − =
 
 
T x y .
Bài 14:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

3 16
,

4
+
=
+
x
y
x

đ
i
ể
m
(
)
6;5
−A
và
đườ
ng th
ẳ
ng
: 1
= −
d y x
. L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ

ng th
ẳ
ng
∆

đ
i qua A, c
ắ
t (C) t
ạ
i B và c
ắ
t d t
ạ
i C sao cho AB.AC = 48.
Bài 15:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

1
( )
2
x
y C
x
−
=
+

và 2
đ
i
ể
m P, Q thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng d:
2
y x
= +
.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
c
ắ
t (C) t
ạ
i
đ

i
ể
m phân bi
ệ
t M, N sao cho MNPQ là hình ch
ữ
nh
ậ
t có
đườ
ng chéo b
ằ
ng
5
2

Bài 16:

[ĐVH].
Cho hàm s
ố

3
,( )
2
x
y C
x
−
=

−

và
:
y x m
∆ = +
. Tìm m
để

∆
c
ắ
t (C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B.
Đ
i
ể
m M thu
ộ
c nhánh bên trái c
ủ
a (C). Tìm m sao cho tam giác MAB cân t
ạ

i M và có

0
120
AMB =

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!





I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) Góc giữa hai véc tơ
Giả sử ta có
( )

( )


; ;

=

→ = =

=



 
   
 
AB u
u v AB AC BAC
AC v
, v
ớ
i

0 180 .
≤ ≤
o o
BAC

2) Tích vô hướng của hai véc tơ
Gi
ả
s
ử
ta có
( )

. . . .cos .

=

→ = =

=



 
       
 
AB u
u v AB AC AB AC AB AC
AC v

Nhận xét:
+) Khi
0
. 0
0

=
→ =

=


 
 
 
u
u v
v

+) Khi
(

)

0
; 0
↑↑ → =
   
u v u v

+) Khi
(
)

0
; 180
↑↓ → =
   
u v u v

+) Khi
. 0
⊥ ←→ =
   
u v u v

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a) Tính góc giữa hai véc tơ
(
)

; .

 
AB BC

b) Gọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB. Tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ

(
)

; .
 
CI AC

Hướng dẫn giải:
a) S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c tính góc gi

ữ
a hai véc t
ơ
ta
đượ
c
( )

( )
2
. . .
cos ; , 1 .
.
.
= = =
     
 
 
AB BC AB BC AB BC
AB BC
AB BC a
AB BC

Xét
(
)
. . . .
= + = +
        
AB BC AB BA AC AB BA AB AC

Mà
( )

( )

0 2
2
0
. . .cos . . .cos180
. . .cos . . .cos60
2
= = = −
= = =
   
   
AB BA AB BA AB BA a a a
a
AB AC AB AC AB AC a a

2 2
2
. .
2 2
→ = − + = −
 
a a
AB BC a
( )
( )


( )
2
0
2
1
2
1 cos ; ; 120 .
2
−
⇔ = = − → =
   
a
AB BC AB BC
a

V
ậ
y
(
)
; 120 .
=
 
o
AB BC

b) Ta có
( )


. .
cos ;
.
.
= =
   
 
 
CI AC CI AC
CI AC
CI AC
CI AC

T
ứ
di
ệ
n ABCD
đề
u c
ạ
nh a, CI là trung tuy
ế
n c
ủ
a tam giác
đề
u ABC nên
( )


( )
2
3 .
cos ; , 2 .
2
3
2
= → =
 
 
a CI AC
CI CI AC
a

Ta có
(
)
. . . .= + = +
        
CI AC CI AI IC CI AI CI IC

Do
∆
ABC
đề
u nên
. 0.
⊥ ⇔ =
   
CI AI CI AI

01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P1
Th
ầy Đặng Việt H
ùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Đồng thời,
( )

2 2 2
0
3 3 3 3 3
. . .cos ; . .cos180 . 0 .
2 2 4 4 4
= = = − → = − = −
     
a a a a a
CI IC CI IC CI IC CI AC
Thay vào (2) ta
đượ
c
( )
( )

( )

2
0
2

3
3
4
2 cos ; ; 150 .
2
3
2
−
⇔ = = − → =
   
a
CI AC CI AC
a

V
ậ
y
(
)
0
; 150 .
=
 
CI AC
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của
AB.
a) Biểu diễn các véc tơ

SM
và


BC
theo các véc tơ
; ; .
  
SA SB SC

b) Tính góc
(
)

; .
 
SM BC

Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
được
( )
1
2
2


= +
+ =
 
←→
 

= +



= −

  
  
  
  
SM SA SB
SA SB SM
BC BS SC
BC SC SB

b)
( )

( )
. .
cos ; , 1 .
.
.
= =
   
 
 
SM BC SM BC
SM BC
SM BC

SM BC

Mà SA, SB, SC
đ
ôi m
ộ
t vuông góc nên
. 0
. 0
. 0

=


=


=


 
 
 
SA SB
SA SC
SB SC

Tam giác SAB và SBC vuông t
ạ
i S nên theo

đị
nh lý Pitago ta
đượ
c
2
2
1 2
2 2

=

= = →

= =


BC a
AB BC a
a
SM AB


Theo câu a,
( ) ( )

2
2
0
0 0
1 1 1

. . . . . .
2 2 2 2
 
= + − = − + − = − = −
 
 
           
  
 
a
SM BC SA SB SC SB SA SC SA SB SB SC SB SB SB

Thay vào (1) ta
đượ
c
( )

( )

2
0
. 1
2
cos ; ; 120 .
. 2
2
. 2
2
−
= = = − → =

 
   
a
SM BC
SM BC SM BC
SM BC
a
a

II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG



1) Khái ni
ệ
m véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
M
ộ

t véc t
ơ

u 0
≠
 
mà có ph
ươ
ng song song ho
ặ
c trùng v
ớ
i d
đượ
c g
ọ
i là véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d.
2) Góc gi

ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng

Khái ni
ệ
m:
Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a và b là góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a
′
; b
′
l
ầ
n l
ượ

t song song v
ớ
i a; b. Kí hi
ệ
u
( )

a;b .

T
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a ta có s
ơ

đồ

( )

( )

a// a
a;b a ;b
b//b
′

′ ′

→ =

′



Nh
ậ
n xét:
+ Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là
u; v
 
và
(
)

u; v
φ.
=
 

Khi đó,
( )

( )

o o
o o o
a; b φ ; 0 φ 90
a; b 180

φ ; 90 φ 180
= ≤ ≤
= − < ≤

+ Nếu a // b hoặc a ≡ b thì
( )

o
a; b 0 .
=

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!

Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1
(sử dụng định nghĩa)
Phương án 2
Tạo ra các đường
( )

( )

a // a
a,b a ,b
b // b
′

′ ′
→ =


′


- Lấy một điểm O bất kì thuộc a
- Qua O, dựng đường ∆ // b
( )

( )

a,b a,
→ = ∆



Chú ý:
Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:


N
ế
u góc thu
ộ
c tam giác vuông thì dùng các công th
ứ
c tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.

N
ế
u góc thu

ộ
c tam giác th
ườ
ng thì s
ử
d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác
ABC
:
2 2 2
2 2 2
2 cos cos .
2
+ −
= + − → =
b c a
a b c bc A A
bc

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác
vuông tại A. Biết
= = =
3; ; 3 .
SA a AB a AD a
Tính góc gi

ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SD và BC.
b) SB và CD.
c) SC và BD.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Tính góc gi
ữ
a SD và BC
Để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD và BC ta s
ử

d
ụ
ng
ph
ươ
ng án 2, tìm
đườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i m
ộ
t trong hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD, BC và song song v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng còn l
ạ
i.
Ta d
ễ
nh
ậ

n th
ấ
y AD // BC.
Khi
đ
ó
( )

( )



o
SDA
SD;BC SD;AD
180 SDA

= =


−


Xét
∆
SAD:
 
o
SA 3
tanSDA SDA 30 .

AD 3
= = → =

V
ậ
y
( )

o
SD;BC 30 .
=

b) Tính góc gi
ữ
a SB và CD
T
ươ
ng t
ự
,

( )

( )



o
SBA
CD//AB SB;CD SB;AB

180 SBA

→ = =


−


Xét
∆
SAB:


o
SA
tanSBA 3 SDA 60 .
AB
= = → =
Vậy
( )

o
SB;CD 60 .
=


c) Tính góc gi
ữ
a SC và BD
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA.

Trong ∆SAC có
( )

( )



o
IOB
OI//SC SC;BD OI;BD
180 IOB

→ = =


−


 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI:
2
2 2 2
a 3 a 7
IB IA AB a
2 2
 
= + = + =
 
 
 

 ABCD là hình chữ nhật nên
2 2 2 2
a 10
BD AB AD a 9a a 10 OB OA
2
= + = + = → = =
 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO:
2 2
2 2
a 3 a 10 a 13
IO IA AO
2 2 2
   
= + = + =
   
   
   

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được:

2 2 2
2 2 2
13a 10a 7a
OI OB IB 8
4 4 4
cosIOB
2.OI.OB
a 13 a 10 130

2. .
2 2
+ −
+ −
= = =

( )

8
IOB arccos SC;BD .
130
 
→ = =
 
 

V
ậ
y
( )

8
SC;BD arccos .
130
 
=
 
 

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết

= = =
2 , 3.
AB CD a MN a Tính góc gi
ữ
a
hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Hướng dẫn giải:

Do AB và CD là các c
ạ
nh c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n nên chúng chéo nhau,
để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ

ng AB và CD ta t
ạ
o các
đườ
ng th
ẳ
ng t
ươ
ng
ứ
ng song song v
ớ
i AB, CD và chúng c
ắ
t
nhau.
G
ọ
i P là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC, khi
đ
ó MP // AB, NP // CD
( )

( )




o
MPN
AB,CD MP,NP
180 MPN

→ = =


−


Do MP, NP là các
đườ
ng trung bình nên ta có MP = NP = a.
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆MPN ta
đượ
c



( )


2 2 2 2 2
o o
MP NP MN 2a 3a 1
cosMPN
2MP.NP 2.a.a 2
MPN 120 MP,NP 60
+ − −
= = = −
→ = ⇔ =

V
ậ
y
( )

o
AB,CD 60 .
=
Nhận xét:

Ngoài vi
ệ
c kh
ở
i t
ạ
o P nh
ư
trên ta c

ũ
ng có th
ể
l
ấ
y
đ
i
ể
m P là
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BD, cách gi
ả
i khi
đ
ó c
ũ
ng t
ươ
ng t
ự
.

Ví d
ụ

3. Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình thang vuông t
ạ
i A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc v
ớ
i
AB và AD, =
2 3
3
a
SA . Tính góc c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
a) DC và SB.
b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
a)
( )

( )

Do DC// AB DC,SB AB,SB

α
→ = =

Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó
o
2a 3
SA 3
3
tan
α α 30
AB 2a 3
= = = → =
Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30
o
.
b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là
hình thoi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a
DI a 2.
→ =

mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI.
Khi đó,
( )

( )

SD,BC SD,DI
β
= =
.

Tam giác SAI vuông tại A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SI SA AI a
3 3
 
= + = + =
 
 
 

Tam giác SAD vuông t
ạ
i A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SD SA AD a
3 3
 
= + = + =
 
 
 

Áp d
ụ

ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác SDI ta
đượ
c

2 2 2 2
SD DI SI 2a 3
cosSDI
2SD.DI
a 21 42
2. .a 2
3
+ −
= = =
Do

cosSDI 0
>
nên góc
SDI
là góc nh
ọ
n

3
β
SDI arccos .

42
 
→ = =
 
 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u
ABCD
c
ạ
nh
a
, g
ọ
i
I
là trung
đ
i
ể
m c
ạ

nh
AD
. Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
AB
và
CI
.
Đ/s:

( )

3
; arccos .
6
 
=
 
 
 
AB CI

Cho t
ứ
di

ệ
n ABCD. G
ọ
i M, N, P l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, AD và AC. Bi
ế
t
2 , 2 2, 5.
= = =AB a CD a MN a

Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và
2.
=BC a Tính góc giữa

(
)

,
 
SC AB
, từ đó suy ra góc
giữa SC và AB.
III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC



Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu
( )

; 90 .
o
a b a b
= ←→ ⊥



Chú ý:
Các ph
ươ
ng pháp ch
ứ
ng minh a
⊥
b:

 Chứng minh
( )

o
a; b 90
=

 Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau,
u.v 0.
=
 

 Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD trong đó



= = = = = =
o o o
AB AC AD a, BAC 60 , BAD 60 , CAD 90 .
G
ọ
i I và J l
ầ
n l
ượ
t
là trung
đ

i
ể
m c
ủ
a AB và CD.
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng IJ vuông góc v
ớ
i c
ả
hai
đườ
ng AB và CD.
b) Tính
độ
dài IJ.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều,
∆ACD vuông cân tại A.

Từ đó
BC BD a,CD a 2
= = = →∆BCD vuông cân t
ạ
i B.

Chứng minh IJ vuông góc với AB
Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân t
ạ
i A, B nên
1
AJ CD
2
AJ BJ IJ AB.
1
BJ CD
2

=


→ = ⇔ ⊥


=




Chứng minh IJ vuông góc với CD

Do các ∆ACD, ∆BCD
đề
u nên CI = DI → IJ ⊥CD.
b) Áp d
ụ
ng
đị
nh lý Pitago cho ∆AIJ vuông t
ạ
i I ta
đượ
c
2
2
2 2
a 2 a a
IJ AJ AI
2 4 2
 
= − = − =
 
 
 

V
ậ
y IJ = a/2.

Ví dụ 2.

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và



= =
ASB BSC CSA.

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SA ⊥
⊥⊥
⊥ BC, SB ⊥
⊥⊥
⊥ AC, SC ⊥
⊥⊥
⊥ AB.
Hướng dẫn giải:

Ch
ứ
ng minh: SA ⊥ BC.
Xét
(
)
SA.BC SA. SC SB SA.SC SA.SB
= − = −
        

Mà
( )

( )




SA.SC SA.SC.cos SA;SC
SA.SB SA.SB.cos SA;SB
SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB 0 SA.BC 0 SA BC
SA SB SC
ASB BSC CSA
=
=
→ = ⇔ − = ←→ = ⇔ ⊥
= =
= =
   
   
         

Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB
Ví d
ụ
3. Cho t
ứ
di
ệ
n

đề
u
ABCD
, c
ạ
nh b
ằ
ng
a
. G
ọ
i
O
là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
∆
∆∆
∆BCD
.
a) Ch
ứ
ng minh
AO
vuông góc v
ớ

i
CD
.
b) G
ọ
i
M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
CD
. Tính góc gi
ữ
a




BC
và
AM
.




AC
và
BM
.

Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng
Gọi M là trung điểm của CD. Ta có
(
)
AO.CD AM MO .CD AM.CD MO.CD
= + = +
        

Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay
O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó
AM CD AM.CD 0
AO.CD 0 AO CD.
MO CD
MO.CD 0

⊥ =


⇔ → = ⇔ ⊥
 
⊥
=




 
 
 

b)
Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM

Xác định góc giữa BC và AM:
Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC.
Từ đó
( )

( )



AMI
BC;AM MI;AM
180 AMI

= =


−


Áp d
ụ

ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆AMI ta
đượ
c


( )
2 2 2
AM MI AI
cosAMI , 1 .
2.AM.MI
+ −
=

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên
a 3
AI AM .
2
= =
MI là
đườ
ng trung bình nên MI = a/2.
T
ừ

đ
ó
( )
 
( )

2 2 2
a 3a 3a
1 1 1
4 4 4
1 cosAMI AMI arccos BC;AM arccos .
a a 3 2 3 2 3 2 3
2. .
2 2
+ −
   
⇔ = = → = ⇔ =
   
   


Xác định góc giữa BC và AM:
G
ọ
i J là trung
đ
i
ể
m c
ủ

a AD → MJ // AC.
Khi
đ
ó
( )

( )



BMJ
AC;BM MJ;BM
180 BMJ

= =


−


Các tam giác ABD, BCD là các tam giác
đề
u c
ạ
nh a, nên các trung tuy
ế
n t
ươ
ng
ứ

ng
a 3
BJ BM
2
= =
Do
đ
ó,


1
AIM BJM AMI BMJ arccos .
2 3
 
∆ = ∆ → = =
 
 

V
ậ
y
( )

1
AC;BM arccos .
2 3
 
=
 
 

Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A
′
′′
′
B
′
′′
′
C
′
′′
′
D
′
′′
′
cạnh a. Đặt
′
= = =
AB a,AD b,AA c.
     

a) Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:

( )

( )

( )

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .

b) G
ọ
i O là tâm c
ủ
a hình vuông ABCD và I là m
ộ
t
đ
i
ể
m sao cho
′ ′
= + + + +
OI OA OA OB OB
    

′ ′
+ + + +
OC OC OD OD .
   

Tính khoảng cách từ O đến I theo a.
c) Phân tích hai véc tơ
′
AC , BD
 
theo ba véc tơ
a, b, c.
  
Từ đó, chứng tỏ rằng AC′
′′
′ và BD vuông góc với nhau.
d) Trên cạnh DC và BB′
′′
′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a).
Chứng minh rằng AC′
′′
′ vuông góc với MN.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Để
làm t
ố
t các bài toán liên quan
đế
n hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta c
ầ

n nh
ớ
m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t c
ơ
b
ả
n c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng:

T
ấ
t c
ả
các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ

t c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng
đề
u b
ằ
ng nhau và b
ằ
ng
a 2
(n
ế
u hình l
ậ
p ph
ươ
ng c
ạ
nh a).

Các
đ
o
ạ
n th
ẳ

ng t
ạ
o b
ở
i các kích th
ướ
c c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng luôn vuông góc v
ớ
i nhau (dài, r
ộ
ng, cao).
a) Tính góc giữa:
( )

( )

( )

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .


Tính
( )


AB,B C
′ ′
:
( )

( )

o
Do B C //BC AB,B C AB,BC 90 .
′ ′ ′ ′
→ = =


Tính
( )

AC,B C
′ ′
:
( )

( )



o
ACB
Do B C //BC AC,B C AC,BC
180 ACB


′ ′ ′ ′
→ = =


−



ABCD là hình vuông nên
∆
ABC là tam giác vuông cân t
ạ
i B

( )

o o
ACB 45 AC,B C 45 .
′ ′
→ = ⇔ =


Tính
( )

A C ,B C
′ ′ ′
:
( )


( )



o
ACB
Do A C //AC A C ,B C AC,B C
180 ACB

′
′ ′ ′ ′ ′ ′
→ = =

′

−


Xét trong tam giác ACB
′
có AC = B
′
C = AB
′
(do
đề
u là các
đườ
ng chéo

ở
các m
ặ
t hình vuông c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng).
Do
đ
ó
∆
ACB
′

đề
u

( )

o o
ACB 60 A C ,B C 60 .
′ ′ ′ ′
→ = ⇔ =

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
b) Tính độ dài OI theo a.

Với O là tâm của hình vuông ABCD thì
OA OC 0
OA OC OB OD 0
OB OD 0

+ =

→ + + + =

+ =


  
    
  

Khi
đ
ó
OI OA OB OC OD
′ ′ ′ ′
= + + +
    

G
ọ
i O
′
là tâm c
ủ

a
đ
áy A
′
B
′
C
′
D
′
, theo quy t
ắ
c trung tuy
ế
n ta có
OA OC 2OO
OI 4OO
OB OD 2OO

′ ′ ′
+ =

′
→ =

′ ′ ′
+ =


  

 
  

Kho
ả
ng cách t
ừ
O
đế
n I chính là
độ
dài véc t
ơ
OI, t
ừ

đ
ó ta
đượ
c OI = 4OO
′
= 4a.
c) Phân tích hai véc tơ
′
AC , BD
 
theo ba véc t
ơ

a, b, c.

  

Theo tính ch
ấ
t c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta d
ễ
dàng có
a.b 0
a.c 0
b.c 0

=


=


=


 
 
 


Phân tích:
AC AB BC CC a b c
BD BA AD b a
′ ′
= + + = + +
= + = −
      
    


Ch
ứ
ng minh AC
′
vuông góc v
ớ
i BD.
Xét
(
)
(
)




2 2 2 2
2 2
0 0 0 0

AC .BD a b c . b a a.b b c.b a a.b c.a b a AD AB 0 AC .BD AC B
D.
′ ′ ′
= + + − = + + − − − = − = − = ⇔ ⇔ ⊥
                    

d) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AC
′
′′
′
vuông góc v
ớ
i MN.
Ta có phân tích:
MN MC CB BN
AC AB BC CC
= + +
′ ′
= + +
   
   

( ) ( )
0 0 0 0
MN.AC MC CB BN . AB BC CC MC.AB MC.BC MC.CC CB.AB CB.BC CB.CC
BN.AB

   
′ ′ ′ ′
→ = + + + + = + + + + + +
   
   
+
        
         
 
   

0 0
BN.BC BN.CC MC.AB CB.BC BN.CC
 
′ ′
+ + = + +
 
 
          
 

Mà
( )
( )
o
o 2 2
o
MC.AB MC.AB.cos0 a x a
CB.BC CB.BC.cos180 a MN.AC a x a a ax 0 MN AC .
BN.CC BN.CC .cos0 ax

= = −
′ ′
= = − → = − − + = ⇔ ⊥
′ ′
= =
 
   
 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp
S.ABCD
có
ABCD
là hình ch
ữ
nh
ậ
t v
ớ
i
; 3
AB a AD a
= = , SA = 2a và vuông góc v
ớ
i
đ
áy. Tính
góc gi
ữ

a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SB và CD b) SD và BC
c) SB và AC d) SC và BD
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh 2a, hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng m
ặ
t
đ
áy là
trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a AB, bi
ế

t
3.
SH a= G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SD. Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:
a) SC và AB b) SD và BC
c) CI và AB d) BD và CI
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thang vuông t
ạ
i A, B v
ớ
i AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình chi
ế
u
vuông góc c
ủ

a S xu
ố
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là H thu
ộ
c AB v
ớ
i AH = 2HB, bi
ế
t SH = 2a. Tính góc gi
ữ
a
a) SB và CD
b) SB và AC
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống (ABCD) là điểm
H thuộc cạnh AB với
1
.
2
AH HB
= Biết
2 ; 3; 2.
AB a AD a SH a= = = Tính góc gi
ữ
a

a)
(SD; BC)
b)
(SB; CD)
c)
(SA; HC)