BÀI TOÁN 2 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM pot

BÀI TOÁN 2
TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM
I. PHƯƠNG PHÁP
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x
1
và x
2
của phương trình ax
2
+ bx + c
= 0
là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị x
1
và x
2
Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x
1
và x
2
theo
S và P, ví dụ:

 
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
x x x x x x S P
     

1 2

1 2 1 2
1 1 x x
S
x x x x P

  


   
3
3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
3 3
x x x x x x x x S SP
      

2 2
2
1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 2
x x
S P
x x x x P
 
  


II. VÍ DỤ MINH HỌA

VD1: Giả sử phương trình ax
2
+ bx + c = 0
Có hai nghiệm x
1
, x
2
.Hãy lập phương trình có nghiệm như sau:
a) –x
1
và -x
2
b) 2 x
1
và 2 x
2
c)
2
1
x
và
2
2
x

d) x
1
+ x
2
và x

1
x
2
e)
1
1
x
và
2
1
x

Giải: Giả sử phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
, ta có:
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a

   





 



a) Ta có:




  
1 2
1 2
x x S
x x P

    


  



nên –x
1
và -x
2
là các nghiệm của phương trình: X

2
– SX + P = 0
b) Ta có:
1 2
1 2
2 2 2
2 .2 4
x x S
x x P
 





nên 2 x
1
và 2 x
2
là các nghiệm của phương trình: X
2
– 2SX + 4P = 0
c) Ta có:
2 2 2
1 2
2 2 2
1 2
2
.
x x S P

x x P

  






nên
2
1
x
và
2
2
x
là các nghiệm của phương trình: X
2
– (S
2
– 2P)X + P
2
= 0
d) Ta có:


 
1 2 1 2
1 2 1 2

. .
x x x x S P
x x x x S P

   


 



nên x
1
+ x
2
và x
1
x
2
là các nghiệm của phương trình: X
2
– (S+P)X + S.P = 0
e) Ta có:
1 2
1 2
1 1
1 1 1
.
S
x x P

x x P

 








nên
1
1
x
và
2
1
x
là các nghiệm của phương trình:
2
1
0
S
X
P P
  

VD2: Giả sử phương trình
2

1 0
x ax
  
có hai nghiệm x
1
, x
2

a) Hãy tính
7 7
7 1 2
S x x
 

b) Tìm đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận
77
3 4

  làm nghiệm.
Giải:
Phương trình
2
1 0
x ax
  
có hai nghiệm x
1
, x
2
, ta có:

1 2
1 2
. 1
S x x a
P x x
  


 


a) Ký hiệu
1 2
k k
k
S x x
 
. Ta lần lượt có:
 
   
   
  
 
2
2 2 2
2 1 2 1 2 1 2
3
3 3 3
3 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2

4 4 2 2 2 2 2 4 2
4 1 2 1 2 1 2
7 7 4 4 3 3 3 3 7 5 3
7 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
7 5 3
2 2
3 3
2 2 2 4 2
7 14 7
7 14 7 0
S x x x x x x a
S x x x x x x x x a a
S x x x x x x a a a
S x x x x x x x x x x a a a a
a a a a
      
       
          
          
    

b) Đặt
77
1 2
3, 4
x x 
Theo câu a) thì với
1 2
,
x x

là nghiệm của phương trình
2
1 0
x ax
  
, ta có:
7 7 7 5 3
1 2
7 5 3
7 14 7
7 14 7 7 0
x x a a a a
a a a a
    
     

Vậy đa thức cần tìm có dạng
7 5 3
7 14 7 7 0
a a a a
    


III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1. Tìm m để phương trình


2
2 1 2 3 0
x m x m

    

Có hai nghịêm
1 2
,
x x
. Khi đó hãy lập phương trình có nghiệm như sau:
a) -2 x
1
và -2 x
2
b) 3 x
1
và 3 x
2
c) -
2
1
x
và -
2
2
x

d)
1
1
x
và
2

1
x

Bài 2. Tìm m để phương trình


2
2 3 1 0
mx m x m
    

Có hai nghịêm
1 2
,
x x
. Khi đó hãy lập phương trình có nghiệm như sau:
a) - x
1
và - x
2
b) 2 x
1
và 2 x
2
c)
3
1
x
và
3

2
x

d)
4
1
x
và
4
2
1
x

Bài 3. Tìm m để phương trình


2
2 1 2 0
mx m x
   

Có hai nghịêm
1 2
,
x x
. Khi đó hãy lập phương trình có nghiệm như sau:
a) -3 x
1
và -3 x
2

b) 2 x
1
và 2 x
2
c)
2
1
x
và
2
2
x

d)
2
1
x
+
2
2
x
và
2
1
x
2
2
x