Toán rời rạc-Chương 4: Bài toán tồn tại pot

TOÁN RI RC
Lecturer: PhD. Ngo Huu Phuc
Tel: 0438 326 077
Mob: 098 5696 580
Email:

CHNG 4
BÀI TOÁN TN TI
1
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
Ni dung chng 4
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
2
4.1. Gii thiu bài toán.
4.2. Nguyên lý Dirichlet.
4.3. H đi din phân bit.
4.4. Bài tp
4.1. Gii thiu bài toán (1/6)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
3
 Trong ni dung chng 3, đm s lng các phn t
ca tp hp, s các cu hình t hp tho mãn nhng
tính cht nào đó, vi gi thit s tn ti ca cu hình là
hin nhiên.
 Trong chng 4, xét s tn ti ca các cu hình t hp,
phng án vi các tính cht cho trc.
 Các bài toán thuc dng này đc gi là bài toán tn
ti
.
4.1. Gii thiu bài toán (2/6)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

4
4.1.1. Các ví d m đu
1. Bài toán v 36 s quan (Euler đ ngh)
 Có mt ln ngi ta triu tp t 6 trung đoàn mi trung
đoàn 6 s quan thuc 6 cp bc khác nhau: thiu uý, trung
uý, thng uý, đi uý, thiu tá, trung tá v tham gia duyt
binh  s đoàn b.
 Hi rng có th xp 36 s quan này thành mt đi ng hình
vuông sao cho trong mi mt hàng ngang cng nh mi
mt hàng dc đu có đi din ca c 6 trung đoàn và ca
c 6 cp bc?
4.1. Gii thiu bài toán (3/6)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
5
4.1.1. Các ví d m đu
2. Bài toán 4 mu
 Chng minh rng mi bn đ trên mt phng đu có th tô
bng 4 mu, sao cho không có hai nc láng ging nào li
b tô bi cùng mt màu.
 Chú ý rng ta xem nh mi nc là mt vùng liên thông và
hai nc gi là láng ging nu chúng chung mt đng
biên gii là mt đng liên tc.
4.1. Gii thiu bài toán (4/6)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
6
4.1.1. Các ví d m đu
3. Hình lc giác thn bí
 Nm1910 Clifford Adams đ ra bài toán hình lc giác thn bí sau: Trên
19 ô lc giác hãy đin vào các s t 1 đn 19 sao cho tng theo c 6
hng ca lc giác là bng nhau (và đu bng 38).

15
13
8
14
10
4
5
2
7
1
16
19
6
12
9
11
18
17
3
4.1. Gii thiu bài toán (5/6)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7
4.1.2. Mt s phng pháp gii quyt bài toán tn ti đn gin
1. Phng pháp chng minh trc tip.
  gii quyt các bài toán tn ti, phng pháp đn gin nht là
ch ra mt cu hình, mt phng án tho mãn các điu kin đã
cho.

4.1. Gii thiu bài toán (6/6)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

8
4.1.2. Mt s phng pháp gii quyt bài toán tn ti đn gin
2. Phng pháp phn chng
 Mt trong nhng cách gii bài toán tn ti là dùng lp lun phn
chng gi thit điu đnh chng minh là sai t đó dn đn mu
thun.
4.2. Nguyên lý Dirichlet (1/12)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
9
4.2.1. M đu
 Nguyên lý Dirichlet đc phát biu nh sau:
 Nu xp nhiu hn n đi tng vào n cái hp thì tn ti ít
nht mt hp cha không ít hn 2 đi tng.



4.2. Nguyên lý Dirichlet (2/12)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
10
 Ví d 01:
 Mt nm có nhiu nht 366 ngày. Do vy trong s 367 ngi bt
k bao gi cng có ít nht 2 ngi có cùng ngày sinh.
 Ví d 02:
 Thang đim bài kim tra đc cho t 0 đn 10, tc là có 11
thang đim khác nhau. Do vy, trong s 12 sinh viên bt k ca
lp s có ít nht 2 ngi có kt qu bài kim tra ging nhau.
 Ví d 03:
 Cp bc quân hàm ca s quan có 8 cp t thiu uý đn đi tá.
Do vy trong mt đn v có 9 s quan thì s có ít nht hai ngi
cùng cp bc.

4.2. Nguyên lý Dirichlet (3/12)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
11
 Ví d 04:
 Có 20 thành ph, gia các thành ph có th có đng giao thông ni
trc tip vi nhau hoc không. Chng minh rng có ít nht 2 thành ph
có s thành ph khác ni trc tip vi chúng là nh nhau.
 Li gii:
 Ta gi a
i
là s thành ph có đng giao thông ni trc tip vi thành
ph th i và  = a
1
, a
2
, …, a
20
 là tp các giá tr đó, khi đó mi giá tr
0  a
i
 19 ,
 Không th đng thi có mt giá tr 0 và 19 vì nu trong tp  có giá tr 0
tc là có mt thành ph cô lp thì s không có thành ph nào đc ni
vi c 19 thành ph còn li, ngc li cng vy.
 Do đó tp  ch có ti đa 19 giá tr khác nhau. Theo nguyên lý Dirichlet
s tn ti ít nht mt cp i  j sao cho a
i
= a
j
.

4.2. Nguyên lý Dirichlet (4/12)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
12
 Ví d 05:
 Cho nm đim M
1
(x
1
,y
1
), M
2
(x
2
,y
2
), M
3
(x
3
,y
3
), M
4
(x
4
,y
4
), M
5

(x
5
,y
5
) có các
to đ nguyên trên mt phng to đ Decac. Chng minh rng tn ti ít
nht hai đim mà có to đ trung đim ca đon thng ni hai đim đó
là các s nguyên.
 Li gii:
 t  = M
1
, M
2
, M
3
, M
4
,M
5
.
 Xây dng ánh x f(M
i
)=(x
i
mod 2, y
i
mod 2) tc là f :  -> B
2
.
 Ta có N() =5, N(B

2
)=4, theo nguyên lý Dirichlet tn ti M
i
 M
j
sao cho
f(M
i
) = f(M
j
) tc là các to đ ca hai đim theo trc x và y đu cùng
chn hoc cùng l.
 Vy trung đim ca đon thng ni hai đim này có to đ là các s
nguyên.
4.2. Nguyên lý Dirichlet (5/12)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
13
 Ví d 06:
 Khi kim kê danh mc 80 chi tit.
 Mi chi tit có th đc đánh giá là “tt” hoc “không tt”.
 Có 50 chi tit đc đánh giá là “tt”.
 Chng minh rng có ít nht hai chi tit đc đánh giá là
“không tt” có s th t cách nhau 3 hoc 6 đn v.
4.2. Nguyên lý Dirichlet (6/12)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
14
 Li gii ví d 06:
  = a
1
, a

2
, …, a
30
, 1  a
i
 80 là tp các s th t khác nhau ca các
chi tit đc đánh giá là "không tt",
 Xây dng tp * = a
1
, a
2
, …, a
30
, a
1
+3, a
2
+3, …, a
30
+3, a
1
+6, a
2
+6,
…, a
30
+6} = ’’’ và ký hiu là * = b
1
, b
2

, …, b
90
}.
 Theo đu bài, có 1  b
i
 80.
 Tp * có 90 s nguyên nhn 80 giá tr khác nhau, theo nguyên lý
Dirichlet ti ti ít nht mt cp hai s b
i
= b
j
,
 Các s b
i
, b
j
không đng thi nm trong , b
i
, b
j
cng không đng thi
nm trong ’ và b
i
, b
j
cng không đng thi nm trong ’’.
 Vy ch có th là b
i
= a
i

  và b
j
= a
k
+3 ’, tc là a
i
= a
k
+3 hoc b
i
=
a
i
  và b
j
= a
q
+6 ’’, tc là a
i
= a
k
+6 hoc b
i
= a
k
+3 ’ và b
j
= a
q

+6  ’’, tc là a
k
= a
q
+3.
4.2. Nguyên lý Dirichlet (7/12)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
15
4.2.2. Nguyên lý Dirichlet tng quát
 Nu xp n đi tng vào k hp, thì tn ti ít nht mt hp
cha không ít hn


đi tng.
 Trong đó: ký hiu  cn trên ca phép chia nguyên ca x,
là s nguyên nh nht ln hn x.
4.2. Nguyên lý Dirichlet (8/12)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
16
4.2.2. Nguyên lý Dirichlet tng quát
 Theo ngôn ng tp hp và ánh x, nguyên lý Dirichlet tng
quát có th phát biu nh sau :
 Cho X và Y là tp hu hn f : X -> Y là ánh x t X vào Y, gi
N(X) = n, N(Y) = m và k = [n/m], khi đó tn ti không ít hn k
phn t ca tp X : x
1
 x
2
 . . .  x
k

sao cho f(x
1
) = f(x
2
)=. . . =
f(x
k
).
 Chng minh. Ta dùng phng pháp phn chng, không gim
tính tng quát ta ký hiu ta ký hiu X = x
1
, x
2
, …, x
n
 và Y = y
1
,
y
2
, …, y
m
, X
i
= {x X / f(x)= y
i
}. Gi s N(X
i
)  k-1 vi 1  i  m,
n= N(X) = N(X

i
)  (k-1)m <km<n, t đó suy ra tn ti N(X
i
)  k.

4.2. Nguyên lý Dirichlet (9/12)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
17
 Ví d 07: Trong 150 ngi có ít nht


 ngi cùng tháng sinh.
 Ví d 08:
 Cn phi có ti thiu bao nhiêu sinh viên ghi tên vào lp toán hc Ri rc
đ chc chn rng s có ít nht 6 ngi đt cùng mt đim thi, nu thang
đim gm 6 bc 0,1,2,3,4,5?
 Li gii.  có ít nht 6 ngi cùng đim thi s sinh viên ti thiu là s
nguyên nh nht sao cho


. S đó là N = 6.5 + 1 = 31.
 Ví d 09:
 Chng minh rng có p s 1 và q s 0 xp thành vòng tròn theo trt t ngu
nhiên, nu p, q, k là các s nguyên dng tho mãn điu kin p  kq thì tn
ti ít nht mt dãy không ít hn k s 1 đi lin nhau.
 Li gii: Xp q s 0 to thành q khe đ đa p các s 1 vào. Khi đó theo
nguyên lý Dirichlet tn ti ít nht mt khe có không ít hn


 k s 1.

4.2. Nguyên lý Dirichlet (10/12)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
18
 Ví d 10:
 Trong mt tháng 30 ngày mt công nhân làm ít nht mi
ngày mt sn phm, nhng c tháng làm không quá 45 sn
phm.
 Chng minh rng có nhng này liên tip ngi này làm ra
đúng 14 sn phm.
4.2. Nguyên lý Dirichlet (11/12)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
19
Li gii ví d 10:
 Gi a
j
là s sn phm ngi đó đã làm k t ngày đu tháng ti ht ngày j.
 Khi đó a
1
, a
2
, …, a
30
là mt dãy s nguyên dng phân bit và tng dn vi 1
 a
j
 45.
 Hn th na a
1
+ 14, a
2

+ 14, …, a
30
+ 14 cng là mt dãy các s nguyên
dng phân bit và tng dn vi 15  a
i
+ 14  59.
 Sáu mi s nguyên dng a
1
, a
2
, …, a
30
, a
1
+ 14, a
2
+ 14, …, a
30
+ 14 luôn
nh hn hoc bng 59.
 Theo nguyên lý Dirichlet có ít nht hai trong 60 s này bng nhau. Vì các dãy
a
1
, a
2
, …, a
30
và a
1
+ 14, a

2
+ 14, …, a
30
+ 14 gm các s phân bit nên tn ti
các ch s i, j đ sao cho a
i
= a
j
+ 14 (j < i).
 iu này có ngha là t ngày j + 1 ti ht ngày i ngi đó đã làm đúng 14 sn
phm.

4.2. Nguyên lý Dirichlet (12/12)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
20
Ví d 11:
 Chng t rng trong n + 1 s nguyên dng không vt quá 2n tn ti ít nht
mt s chia ht cho mt s khác.
Li gii:
 Ta vit mi s nguyên a
1
, a
2
, …, a
n+1
di dng tích ca mt lu tha c s 2
vi mt s l.
 Nói cách khác ta có a
j
= trong đó k

j
là mt s nguyên không âm còn q
j

là mt s dng l nh hn 2n.
 Vì ch có n s nguyên dng l nh hn 2n nên theo nguyên lý Dirichlet tn
ti hai trong s l q
1
, q
2
, …, q
n+1
bng nhau, tc là có hai ch s i và j sao cho
q
i
= q
j
= q (q là giá tr chung ca chúng).
 Khi đó a
i
= và a
j
= . Suy ra nu k
i
 k
j
thì a
j
chia ht cho a
i

còn trong
trng hp ngc li a
i
chia ht cho a
j
.
j
j
k
q.2
q
i
k
.2
q
j
k
.2
4.3. H đi din phân bit (1/15)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
21
4.3.1. Khái nim v h đi din phân bit
nh ngha:
 Gi s S
1
,S
2
S
m
là mt h các tp con ca tp hp S (các

S
i
không nht thit khác nhau).
 Ta gi mt b có th t a
1
, a
2
, ,a
m
các phn ca S là mt
h đi din phân bit ca h này nu a
i
S
i
và a
i
 a
j
(i  j).
 H đi din phân bit đc vit tt là TRAN (transversal) và
thành phn a
i
ca h đc gi là đi din ca tp con S
i

(i=1, ,m).

4.3. H đi din phân bit (2/15)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
22

4.3.1. Khái nim v h đi din phân bit (tip)
Ví d:
S={1,2,3,4,5},
S
1
= {2,5},
S
2
={2,5},
S
3
={1,2,3,4},
S
4
={1,2,5}
Vy, ta có mt TRAN là (2,5,3,1).

4.3. H đi din phân bit (3/15)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
23
4.3.1. Khái nim v h đi din phân bit (tip)
Chú ý:
 Nu mt h các tp con tn ti mt TRAN thì mi hp ca
k tp bt k trong hp phi có ít nht k phn t (vì luôn tìm
đc k đi din khác nhau ca k tp đó).
 Hay nu tìm đc k tp nào đó ca h mà hp ca chúng
có ít hn k phn t thì chn chn h đang xét s không có
TRAN.
 Ví d:
 S={1,2,3,4,5}, S

1
= {2,5},S
2
={2,5},S
3
={1,2,3,4}, S
4
={2,5}
 H này không tn ti TRAN vì S
1
S
2
S
4
={2,5} có ít hn 3 phn t.
4.3. H đi din phân bit (4/15)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
24
4.3.2. nh lý Hall
 Gi s các tp con S
1
,S
2
, S
m
tho mãn điu kin :
(1)
vi mi 1  k  m, 1  i
1
< i

2
< <i
k
 m và mi tp con này
cha ít nht
t phn t khi đó:
 Nu t  m thì h đang xét có ít nht t! TRAN.
 Nu t > m thì h đang xét có ít nht t!/(t-m)! TRAN.


kSSSN
k
iii

21
4.3. H đi din phân bit (5/15)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
25
4.3.2. nh lý Hall (tip)
nh ngha.
 iu kin (1) (N(S
i1
S
i2
 S
ik
)  k) đc gi là điu kin
Hall.
 Gi mt h con ca h S
1

, S
2
, ,S
m
gi là h con ti hn
nu đi vi nó bt đng thc (1) tr thành đng thc.