Toán rời rạc-Chương 7: Đồ thị và cây pps

TOÁN RI RC
CHNG 7
 TH VÀ CÂY
Lecturer: PhD. Ngo Huu Phuc
Tel: 0438 326 077
Mob: 098 5696 580
Email:

@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
1
NI DUNG

2
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.1. GII THIU CHUNG
Ni dung chính ca chng này đ cp đn nhng khái nim
c bn nht ca đ th, phng pháp biu din đ th trên
máy tính và mt s khái nim liên quan.
 Các loi đ th vô hng, đ th có hng, đa đ th…
 Khái nim v bc ca đnh, đng đi, chu trình và tính liên thông
ca đ th.
 Biu din đ th bng ma trn k.
 Biu din đ th bng danh sách k.
 Biu din đ th bng danh sách cnh

3
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (1/17)
7.2.1. M đu (1/2)
 Lý thuyt đ th đc đ xut t th k 18, bt đu t bài báo
ca Euler công b nm 1736 liên quan đn li gii bài toán ni

ting v các cây cu  Konigsberg.
 Cho ti nay, mi quan tâm đn lý thuyt đ th vn không h suy
gim.
 Lý do: phm vi ng dng ht sc rng rãi ca đ th trong rt
nhiu lnh vc khác nhau, bao gm:
 Trong tin hc,
 Hoá hc,
 Vn trù hc,
 K thut đin,
 Ngôn ng
 Kinh t…
4
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (2/17)
7.2.1. M đu (2/2)
Vy đ th là gì?
Có th đnh ngha:
  th (Graph) là mt cu trúc d liu ri rc bao gm các đnh
và các cnh ni các cp đnh này. Chúng ta phân bit đ th
thông qua kiu và s lng cnh ni gia các cp đnh ca đ
th.
5
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (3/17)
 nh ngha 7.2.1.
  th vô hng hoc đ th G là mt cp có th tG:=(V, E),
trong đó:
 V: tp các đnh hoc nút,
 E: tp các cp không th t cha các đnh phân bit, đc gi
là cnh. Hai đnh thuc mt cnh đc gi là các đnh đu cui

ca cnh đó.

6
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
Chú ý:
- V (và E) thng là các tp hu hn.
-Phn ln các kt qu nghiên cu đã bit
không đúng (hoc khác) khi áp dng cho đ
th vô hn (infinite graph) vì nhiu lun c
không dùng đc trong trng hp vô hn.
Mt đ th vô hng vi 6 đnh
(nút) và 7 cnh
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (4/17)
 nh ngha 7.2.2.
  th có hng G là mt cp có th t G:=(V, A), trong đó
 V: tp các đnh hoc nút,
 A: tp các cp có th t cha các đnh, đc gi là các cnh có
hng hoc cung. Mt cnh e = (x, y) đc coi là có
hng t x ti y; x đc gi là đim đu/gc và y đc gi
là đim cui/ngn ca cnh.

7
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
Mt đ th có hng vi 3 đnh (nút) và 3 cung
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (5/17)
 nh ngha 7.2.3:
 n đ th vô hng G =(V,E) là đ th vô hng mà gia hai
đnh ch có ti đa mt cnh.

8

@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
Ví d v đn đ th vô hng - Mng máy tính đn kênh thoi
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (6/17)
 nh ngha 7.2.4:
 a đ th vô hng G=(V,E) là đ th vô hng mà gia hai
đnh có th có nhiu hn mt cnh.

9
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
Ví d v đa đ th vô hng - Mng máy tính đa kênh thoi
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (7/17)
 nh ngha 7.2.5:
 Gi đ th vô hng G=(V, E) là đ th vô hng mà cnh là
cp không có th t gm hai phn t (hai phn t không nht
thit phi khác nhau) trong V.
 Cnh e đc gi là khuyên nu có dng e =(u, u), trong đó u là
đnh nào đó thuc V.

10
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
Ví d v gi đ th vô hng - Mng máy tính đa kênh thoi có khuyên
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (8/17)
 nh ngha 7.2.6:
 n đ th có hng G = <V, A> là đ th có hng, trong đó,
nu v
1
và v
2
là hai đnh thì đ th ch đc phép có ti đa mt
cung (v

1
, v
2
).

11
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
Ví d v đn đ th có hng - Mng máy tính có hng
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (9/17)
 nh ngha 7.2.7:
 a đ th có hng G = <V, A> là đ th có hng, trong đó nu
v
1
và v
2
là 2 đnh ca đ th thì có th có nhiu cung (v
1
,v
2
). Hai
cung e
1
, e
2

tng ng vi cùng mt cp đnh đc gi là cung
lp.

12
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

Ví d v đa đ th có hng - Mng máy tính đa kênh có hng
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (10/17)

Bng phân bit các loi đ th

13
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (11/17)
 nh ngha 7.2.8:
 Hai đnh u và v ca đ th vô hng G =<V, E> đc gi
là k nhau nu (u,v) là cnh thuc đ th G.
 Nu e =(u, v) là cnh ca đ th G thì ta nói cnh này liên
thuc vi hai đnh u và v, hoc ta nói cnh e ni đnh u
vi đnh v, đng thi các đnh u và v s đc gi là đnh
đu ca cnh (u,v).
 nh ngha 7.2.9:
 Ta gi bc ca đnh v trong đ th vô hng là s cnh
liên thuc vi nó và ký hiu là
deg(v).
14
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (12/17)
 Ví d:
 Cho đ th vô hng:



Ta có:
 deg(a) = 2, deg(b) =deg(c) = deg(f) = 4, deg(e) = 3, deg(d) = 1,
deg(g)=0.

 nh bc 0 đc gi là đnh cô lp.
 nh bc 1 đc gi là đnh treo.
 Trong ví d trên, đnh g là đnh cô lp, đnh d là đnh treo
15
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (13/17)
 nh lý 7.2.1:
 Gi s G = <V, E> là đ th vô hng vi m cnh. Khi đó:



 Chng minh:
 Rõ ràng mi cnh e=(u,v) bt k, đc tính mt ln trong deg(u)
và mt ln trong deg(v).
 T đó suy ra s tng tt c các bc bng hai ln s cnh.
16
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (14/17)
 H qu ca đnh lý 7.2.1:
 Trong đ th vô hng G=<V, E>, s các đnh bc l là mt s
chn.
 Chng minh:
 Gi O là tp các đnh bc chn và U là tp các đnh bc l. T
đnh lý 7.2.1 ta suy ra:


 




Rõ ràng,



là chn, tng trên là chn, do đó



là chn
17
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (15/17)
 nh ngha 7.2.10:
 Nu e=(u,v) là cung ca đ th có hng G thì ta nói hai đnh u
và v là k nhau, và nói cung (u, v) ni đnh u vi đnh v hoc
cng nói cung này đi ra khi đnh u và đi vào đnh v. nh u (v) s
đc gi là đnh đu (cui) ca cung (u,v).

 nh ngha 7.2.11:
 Ta gi bán bc ra (bán bc vào) ca đnh v trong đ th có hng
G là s cung ca đ th đi ra khi nó (đi vào nó) và ký hiu là
deg
+
(v) và deg
-
(v).
18
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (16/17)
 Ví d:
 Cho đ th có hng:




Ta có:
 deg
-
(a) = 1, deg
-
(b) = 2, deg
-
(c) = 2, deg
-
(d) = 2, deg
-
(e) = 2.
 deg
+
(a) = 3, deg
+
(b) = 1, deg
+
(c) = 1, deg
+
(d) = 2, deg
+
(e) = 2.

19
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.2. NH NGHA VÀ KHÁI NIM (17/17)
 nh lý 7.2.2:
 Gi s G = <V, A> là đ th có hng. Khi đó










 Chú ý:
 Nhiu tính cht ca đ th có hng không ph thuc vào hng
trên các cnh ca nó.
 Do vy, trong nhiu trng hp s thun tin hn nu ta b qua
các hng ca đ th.
  th vô hng nhn đc t đ th có hng bng cách b
qua hng ca các cnh đc gi là đ th vô hng tng ng
(đ th vô hng nn) ca đ th có hng đã cho.

20
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.3. NG I. CHU TRÌNH.  TH LIÊN THÔNG (1/6)
 nh ngha 7.3.1:

 ng đi đ dài n t đnh u đn đnh v trên đ th vô hng
G=<V,E> là dãy:
x
0
, x
1
, , x
n-1
, x
n


trong đó n là s nguyên dng, x
0
=u, x
n
=v, (x
i
, x
i+1
)E, i =0, 1,
2, , n-1.
 ng đi nh trên còn có th biu din thành dãy các cnh:
(x
0
, x
1
), (x
1
,x

2
), , (x
n-1
, x
n
).
 nh u là đnh đu, đnh v là đnh cui ca đng đi.
 ng đi có đnh đu trùng vi đnh cui (u=v) đc gi là chu trình.
 ng đi hay chu trình đc gi là đn nu nh không có cnh nào
lp li
.
21
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.3. NG I. CHU TRÌNH.  TH LIÊN THÔNG (2/6)
 Ví d:
 Tìm các đng đi, chu trình trong đ
th vô hng nh trong hình bên.

 Ta có:
 a, d, c, f, e là đng đi đn đ dài 4.
 d, e, c, a không là đng đi vì (e,c)
không phi là cnh ca đ th.
 Dãy b, c, f, e, b là chu trình đ dài 4.
 ng đi a, b, e, d, a, b có đ dài 5
không phi là đng đi đn vì cnh
(a,b) có mt hai ln.
22
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.3. NG I. CHU TRÌNH.  TH LIÊN THÔNG (3/6)
 nh ngha 7.3.2:

 ng đi đ dài n t đnh u đn đnh v trong đ th có hng
G=<V,A> là dãy:
x
0
, x
1
, , x
n


trong đó, n là s nguyên dng, u = x
0
, v = x
n
, (x
i
, x
i+1
) A.
 ng đi nh trên có th biu din thành dãy các cung:
(x
0
, x
1
), (x
1
, x
2
), , (x
n-1

, x
n
).
 nh u đc gi là đnh đu, đnh v đc gi là đnh cui ca đng đi.
 ng đi có đnh đu trùng vi đnh cui (u=v) đc gi là mt chu
trình.
 ng đi hay chu trình đc gi là đn nu nh không có hai cnh
nào lp li.
23
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.3. NG I. CHU TRÌNH.  TH LIÊN THÔNG (4/6)
 nh ngha 7.3.3:
  th vô hng đc gi là liên thông nu luôn tìm đc
đng đi gia hai đnh bt k ca nó.

 nh ngha 7.3.4:
  th H = (W, F) đc gi là đ th con ca đ th G = (V, E) nu
W  V, F  E.
24
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7.3. NG I. CHU TRÌNH.  TH LIÊN THÔNG (5/6)
Ví d:
 Cho đ th G nh hình
bên.
 S thành phn liên thông
ca G là 3 (có th tách
thành 3 đ th con liên
thông)
 Thành phn liên thông th
nht gm các đnh 1, 2, 3,

4, 6, 7.
 Thành phn liên thông th
hai gm các đnh 5, 8, 9,
10.
 Thành phn liên thông th
ba gm các đnh 11, 12,
13
25
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University