Bài tập toán cao cấp-Chương 1 potx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (77 KB, 10 trang )
Bài tập chương 1
Bài 1.1. Cho A =
2 1 −1
0 1 −4
, B =
−2 1 0
−3 2 2
. Tính 3A ± 2B; A
A; A A
.
Bài 1.2. Tìm x, y, z và w biết rằng
3
x y
z w
=
x 6
−1 2w
+
4 x + y
z + w 3
.
Bài 1.3. Tính các tích
a)
1 −3 2
3 −4 1
2 −5 3
2 5 6
1 2 5
1 3 2
;
b)
5 0 2 3
4 1 5 3
3 1 −1 2
6
−2
7
4
;
Bài 1.4. Tính AB − BA nếu
a) A =
1 2
4 −1
, B =
2 −3
−4 1
;
b) A =
1 1 1
0 1 1
0 0 1
, B =
7 5 3
0 7 5
0 0 7
.
Bài 1.5. Tính A
A và AA
với
(a) A =
1 2 1 3
4 −1 5 −1
;
(b)A =
−1 −2 3 1
0 −1 −1 −2
2 −1 3 −2
;
1
Bài 1.6. Cho A =
0 1 0
0 0 1
0 0 0
, tính A
2
và A
3
.
Bài 1.7. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với
A =
1 2
0 1
.
Bài 1.8. Tìm tất cả các ma trận cấp 3 giao hoán với
A =
1 0 1
0 1 −2
0 0 2
.
Bài 1.9. Hãy xác định f(A) trong các trường hợp sau:
a) A =
2 −1
3 −2
; f(x) = 2x
3
+ 3x
2
− 7x + 5.
b) A =
1 3
2 4
; f(x) = 3x
3
− 2x
2
− x + 2.
c) A =
0 1 1
1 0 1
1 1 0
; f(x) = 4x
2
− 3x + 4.
d) A =
1 −1 0
0 1 −1
−1 0 1
; f(x) = x
2
+ 4x − 5.
Bài 1.10. Tính A
k
, k ∈ N biết rằng:
a) A =
2 −1
3 −2
; b) A =
1 α
0 1
;
2
c) A =
α β
0 α
; d) A =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
;
e) A =
1 1 1
0 1 1
0 0 1
; f) A =
1 1 0
0 1 1
0 0 1
.
Bài 1.11. * Cho A ∈ M
n
(K) có tất cả các phần tử đều bằng α (α ∈ K). Hãy tính
A
k
, k ∈ N.
Bài 1.12. Xác định hạng của các ma trận sau:
a)
3 5 7
1 2 3
1 3 5
; b)
1 1 3
2 1 4
1 2 5
;
c)
1 1 −3
−1 0 2
−3 5 0
; d)
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
;
e)
4 3 2 2
0 2 1 1
0 0 3 3
; f)
1 2 3 6
2 3 1 6
3 1 2 6
;
g)
1 −1 5 −1
1 1 −2 3
3 −1 8 1
1 3 −9 7
; h)
1 3 −2 −1
2 5 −2 1
1 1 6 13
−2 −6 8 10
.
Bài 1.13. Tìm và biện luận hạng của các ma trận sau theo tham số m, n ∈ K:
a)
1 1 −3
2 1 m
1 m 3
; b)
m 5m −m
2m m 10m
−m −2m −3m
;
c)
3 1 1 4
m 4 10 1
1 7 17 3
2 2 4 1
; d*)
m 0 0 n
n m 0 0
0 n m 0
0 0 n m
.
Bài 1.14. Dùng Thuật toán Gauss hoặc Gauss-Jordan, giải các hệ phương trình
sau:
3
a)
2x
1
+ x
2
− 2x
3
= 10;
3x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
= 1;
5x
1
+ 4x
2
+ 3x
3
= 4.
b)
x
1
− 2x
2
+ x
3
= 7;
2x
1
− x
2
+ 4x
3
= 17;
3x
1
− 2x
2
+ 2x
3
= 14.
c)
x
1
+ 2x
2
− x
3
= 3;
2x
1
+ 5x
2
− 4x
3
= 5;
3x
1
+ 4x
2
+ 2x
3
= 12.
d)
2x
1
+ x
2
− 3x
3
= 1;
5x
1
+ 2x
2
− 6x
3
= 5;
3x
1
− x
2
− 4x
3
= 7.
e)
2x
1
+ x
2
− 2x
3
= 8;
3x
1
+ 2x
2
− 4x
3
= 15;
5x
1
+ 4x
2
− x
3
= 1.
f)
x
1
+ 2x
2
− 3x
3
= 1;
2x
1
+ 5x
2
− 8x
3
= 4;
3x
1
+ 8x
2
− 13x
3
= 7.
g)
x
1
+ 2x
2
− 2x
3
= −1;
3x
1
− x
2
+ 2x
3
= 7;
5x
1
+ 3x
2
− 4x
3
= 2.
h)
2x
1
− 5x
2
+ 3x
3
+ 2x
4
= 4;
3x
1
− 7x
2
+ 2x
3
+ 4x
4
= 9;
5x
1
− 10x
2
− 5x
3
+ 7x
4
= 22.
i)
x
1
+ 2x
2
− 3x
3
+ 4x
4
= 2;
2x
1
+ 5x
2
− 2x
3
+ x
4
= 1;
5x
1
+ 12x
2
− 7x
3
+ 6x
4
= 7.
j)
x
1
+ x
2
= 7;
x
2
− x
3
+ x
4
= 5;
x
1
− x
2
+ x
3
+ x
4
= 6;
x
2
− x
4
= 10.
4
k)
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 14;
3x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 10;
x
1
+ x
2
+ x
3
= 6;
2x
1
+ 3x
2
− x
3
= 5;
x
1
+ x
2
= 3.
Bài 1.15. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:
a)
x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 0;
2x
1
+ 5x
2
− x
3
= 0;
3x
1
− 2x
2
− x
3
= 0.
b)
x
1
+ x
2
− 2x
3
+ 3x
4
= 0;
2x
1
+ 3x
2
+ 3x
3
− x
4
= 0;
5x
1
+ 7x
2
+ 4x
3
+ x
4
= 0.
c)
2x
1
− 2x
2
+ x
3
= 0;
3x
1
+ x
2
− x
3
= 0;
x
1
− 3x
2
+ 2x
3
= 0.
d)
3x
1
− 2x
2
− 5x
3
+ x
4
= 0;
2x
1
− 3x
2
+ x
3
+ 5x
4
= 0;
x
1
+ 2x
2
− 4x
4
= 0;
x
1
− x
2
− 4x
3
+ 9x
4
= 0.
e)
x
1
+ x
2
− 3x
3
+ 2x
4
= 0;
x
1
− 2x
2
− x
4
= 0;
x
2
+ x
3
+ 3x
4
= 0;
2x
1
− 3x
2
− 2x
3
= 0.
f)
x
1
+ 3x
2
− 2x
3
+ x
4
= 0;
x
1
− x
2
+ x
3
+ x
4
= 0;
4x
1
− x
2
− x
3
− x
4
= 0;
4x
1
+ 3x
2
− 4x
3
− x
4
= 0.
g)
6x
1
− 5x
2
+ 7x
3
+ 8x
4
= 0;
6x
1
+ 11x
2
+ 2x
3
+ 4x
4
= 0;
6x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 4x
4
= 0;
x
1
+ x
2
+ x
3
= 0.
5
h)
x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 0;
x
2
+ 3x
3
+ x
4
= 0;
4x
1
+ x
3
+ x
4
= 0;
x
1
+ x
2
+ 5x
4
= 0.
Bài 1.16. Giải các phương trình sau:
a)
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
− 2x
4
= 1;
2x
1
− x
2
− 2x
3
− 3x
4
= 2;
3x
1
+ 2x
2
− x
3
+ 2x
4
= −5;
2x
1
− 3x
2
+ 2x
3
+ x
4
= 11,
b)
x
1
− x
2
+ 2x
3
− 3x
4
= 1;
x
1
+ 4x
2
− x
3
− 2x
4
= −2;
x
1
− 4x
2
+ 3x
3
− 2x
4
= −2;
x
1
− 8x
2
+ 5x
3
− 2x
4
= −2,
c)
2x
1
− 5x
2
+ 3x
3
+ x
4
= 5;
3x
1
− 7x
2
+ 3x
3
− x
4
= −1;
5x
1
− 9x
2
+ 6x
3
+ 2x
4
= 7;
4x
1
− 6x
2
+ 3x
3
− x
4
= 8,
d)
2x
1
− 2x
2
+ x
3
− x
4
+ x
5
= 1;
x
1
+ 2x
2
− x
3
+ x
4
− 2x
5
= 1;
4x
1
− 10x
2
+ 5x
3
− 5x
4
+ 7x
5
= 1;
2x
1
− 14x
2
+ 7x
3
− 7x
4
+ 11x
5
= −1.
Bài 1.17. Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo các tham số m ∈ R:
a)
x
1
− 2x
2
+ x
3
+ 2x
4
= m;
x
1
+ x
2
− x
3
+ x
4
= 2m + 1;
x
1
+ 7x
2
− 5x
3
− x
4
= −m,
b)
3x
1
+ 4x
2
+ 4x
3
− 17x
4
= 11m + 7;
2x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
− 12x
4
= 8m + 5;
5x
1
+ 6x
2
+ 8x
3
− 27x
4
= 18m + 10;
3x
1
+ 5x
2
+ 2x
3
+ (m − 20)x
4
= 13m + 8,
c)
x
1
+ 2x
2
− 3x
3
+ 4x
4
= 1;
2x
1
+ 4x
2
− 7x
3
+ 9x
4
= 2;
5x
1
+ 10x
2
− 17x
3
+ 23x
4
= 1;
3x
1
+ 6x
2
− 10x
3
+ mx
4
= 13 − m,
6
d)
x
1
− 2x
2
+ x
3
− x
4
+ x
5
= m;
2x
1
+ x
2
− x
3
+ 2x
4
− 2x
5
= 3m;
3x
1
− 2x
2
− x
3
+ x
4
− x
5
= m + 1;
2x
1
− 5x
2
+ x
3
− 2x
4
+ 2x
5
= m − 1.
Bài 1.18. Cho hệ phương trình
x
1
+ x
2
− x
3
= 1;
2x
1
+ 3x
2
+ kx
3
= 3;
x
1
+ kx
2
+ 3x
3
= 2.
Xác định trị số k ∈ K sao cho:
a) hệ có một nghiệm duy nhất;
b) hệ không có nghiệm;
c) hệ có vô số nghiệm.
Bài 1.19. Cho hệ phương trình
kx
1
+ x
2
+ x
3
= 1;
x
1
+ kx
2
+ x
3
= 1;
x
1
+ x
2
+ kx
3
= 1.
Xác định trị số k ∈ K sao cho:
a) hệ có một nghiệm duy nhất;
b) hệ không có nghiệm;
c) hệ có vô số nghiệm.
Bài 1.20. Cho hệ phương trình
5x
1
− 3x
2
+ 2x
3
+ 4x
4
= 3;
4x
1
− 2x
2
+ 3x
3
+ 7x
4
= 1;
8x
1
− 6x
2
− x
3
− 5x
4
= 9;
7x
1
− 3x
2
+ 7x
3
+ 17x
4
= λ.
Xác định tham số λ ∈ K sao cho:
a) hệ vô nghiệm;
b) hệ tương thích và giải tìm nghiệm.
7
Bài 1.21. Cho hệ phương trình
3x
1
+ 2x
2
+ 5x
3
+ 4x
4
= 3;
2x
1
+ 3x
2
+ 6x
3
+ 8x
4
= 5;
x
1
− 6x
2
− 9x
3
− 20x
4
= −11;
4x
1
+ x
2
+ 4x
3
+ λx
4
= 2.
Xác định tham số λ ∈ K sao cho:
a) hệ vô nghiệm;
b) hệ tương thích và giải tìm nghiệm.
Bài 1.22. Bằng phương pháp Gauss-Jordan, hãy tìm ma trận nghịch đảo của các
ma trận sau (nếu có):
a) A =
3 5
2 3
; b) A =
1 0 2
2 −1 3
4 1 8
;
c) B =
1 −2 2
2 −3 6
1 1 7
; d) A =
1 2 −4
−1 −1 5
2 7 −3
;
e) B =
1 3 −4
1 5 −1
3 13 −6
; f) A =
2 5 7
6 3 4
5 −2 −3
;
g) A =
3 2 2
1 3 1
5 3 4
; h) A =
5 3 −2
−1 2 4
7 3 6
;
i) A =
13 −8 −12
12 −7 −12
6 −4 −5
; j) A =
3 1 0
−1 −1 2
1 1 1
;
k) A =
0 0 1 −1
0 3 1 4
2 7 6 −1
1 2 2 −1
; l) A =
1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 0 0
0 0 1 −1
;
m) A =
0 0 1 −1
0 3 1 4
1 −1 0 0
0 0 1 1
; n) A =
1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1
;
8
o) A =
1 1 1 −3
0 1 0 0
1 1 2 −3
2 2 4 −5
; p) A =
sin α cos α
− cos α sin α
.
Bài 1.23. Cho A =
1 1
0 1
, B =
2 1
3 2
. Hãy tính
(B
−1
AB)
k
, k ∈ N.
Bài 1.24. Cho A =
5 4
−4 −3
∈ M
2
(R).
a) Chứng minh A
2
− 2A + I
2
= 0. Suy ra A khả nghịch và tìm A
−1
.
b) Với mỗi n ∈ N, đặt B = I
2
+ A + A
2
+ · · · + A
n
. Tính A
n
và B theo A; I
2
và
n.
Bài 1.25. Giải các phương trình ma trận
a)
1 2
3 4
X =
3 5
5 9
;
b) X
3 −2
5 −4
=
−1 2
−5 6
;
c)
3 −1
5 −2
X
5 6
7 8
=
14 16
9 10
;
d)
1 2 −3
3 2 −4
2 −1 0
X =
1 −3 0
10 2 7
10 7 8
;
e)
1 2 −2
3 2 −4
2 −1 0
X =
7 3 0
6 8 4
1 0 5
;
f) X
13 −8 −12
12 −7 −12
6 −4 −5
=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
;
9
g)
3 1 0
−1 −1 2
1 1 1
X
1 1 1
1 1 −1
1 −1 −1
=
0 0 1
1 1 0
0 1 −1
.
Bài 1.26. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo:
a)
x
1
+ x
2
− 3x
3
= −2;
x
1
+ 2x
2
− 3x
3
= 6;
2x
1
+ 4x
2
− 5x
3
= −6.
b)
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 1;
x
1
+ x
2
− x
3
− x
4
= 1;
x
1
− x
2
= −1;
x
3
− x
4
= −1.
c)
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= −1;
x
1
+ x
2
− x
3
− x
4
= 1;
x
1
− x
2
+ x
3
− x
4
= −1;
x
1
− x
2
− x
3
+ x
4
= 1.
10
