MỘT TRĂM BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9 ppsx

0


















MỘT TRĂM BÀI TẬP
HÌNH HỌC LỚP 9.


Phần 1: 50 bài tập cơ bản.




1

Lời nói đầu:
Trong quá trình ôn thi tốt nghiệp cho học sinh lớp 9,chúng ta
đều nhận thấy học sinh rất ngại chứng minh hình học. Cũng do
học sinh còn yếu kiến thức bộ môn.Hơn nữa giáo viên thường
rất bí bài tập nhằm rèn luyện các kỹ năng, đặc biệt là luyện thi
tốt nghiệp.Đồng thời do học sinh chúng ta là học sinh có hoàn
cảnh gia đình còn nghèo vì vậy học sinh yếu kỹ năng vận dụng
nếu chúng ta chỉ chữa một vài bài tập mà thôi.
Do để học sinh có thể chủ động trong quá trình làm bài,các bài
tập trong tài liệu này chỉ có tính cất gợi ý phương án chứng
minh chứ chưa phải là bài giải hoàn hảo nhất.
Bên cạnh đó để có bài tập riêng của từng giáo viên,người giáo
viên cần biết biến đổi bài tập trong tài liệu này sao cho phù hợp
với đối tượng học sinh.
Tài liệu được sưu tầm trong các sách và đã được thống kê trong
phần phụ lục.Cấm việc in sao,sao chép dưới bất kỳ hình thức
nào mà không có sự nhất trí của tác giả.
Dù có nhiều cố gắng song tài liệu chắc chắn kông thể không có
sai soat.Mong được sự góp ý của bạn đọc.Thư về:


2

Bài 1: Cho ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn
ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N.
1. Chứng minh:BEDC nội tiếp.

2. Chứng minh: góc DEA=ACB.
3. Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
4. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phân
giác của góc MAN.
5. Chứng tỏ: AM
2
=AE.AB.
Giợi ý:


y
A
x
N
E D
M O
B C


Ta phải c/m xy//DE.
Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ góc xAB=
2
1
sđ cung AB.
Mà sđ ACB=
2
1
sđ AB. góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt)
xAB=AED hay xy//DE.
4.C/m OA là phân giác của góc MAN.

Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN.OA là đường trung trực của
MN.(Đường kính vuông góc với một dây)AMN cân ở A AO là phân giác
của góc MAN.
5.C/m :AM
2
=AE.AB.
Do AMN cân ở A AM=AN cung AM=cung AN.góc MBA=AMN(Góc
nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);góc MAB chung
MAE  BAM
MA
AE
AB
MA
  MA
2
=AE.AB.


1.C/m BEDC nội tiếp:
C/m góc BEC=BDE=1v. Hia
điểm D và E cùng làm với hai
đầu đoạn thẳng BC một góc
vuông.
2.C/m góc DEA=ACB.
Do BECD ntDMB+DCB=2v.
Mà DEB+AED=2v
AED=ACB
3.Gọi tiếp tuyến tại A của (O)
là đường thẳng xy (Hình 1)
Hình 1

3

Bài 2:
Cho(O) đ?ờg kính AC.trên đạ OC lấ để B và vẽđ?ờg tròn tâm O’, đ?ờg kính
BC.Gọ M là trung để củ đạ AB.TừM vẽdây cung DE vuông góc vớ AB;DC cắ đ?ờg
tròn tâm O’ tạ I.
1.Tứgiác ADBE là hình gì?
2.C/m DMBI nộ tiế.
3.C/m B;I;C thẳg hàng và MI=MD.
4.C/m MC.DB=MI.DC
5.C/m MI là tiế tuyế củ (O’)
Gợ ý:


D
I

A M O B O’ C



E



3.C/m B;I;E thẳg hàng.
Do AEBD là hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nộ tiế chắ nử đ?ờg
tròn)BEDC; CMDE(gt).Do góc BIC=1v BIDC.Qua 1 để B có hai đ?ờg

thẳg BI và BE cùng vuông góc vớ DC B;I;E thẳg hàng.
C/m MI=MD: Do M là trung để DE; EID vuông ởIMI là đ?ờg trung tuyế củ
tam giác vuông DEI MI=MD.
4. C/m MC.DB=MI.DC.
hãy chứg minh MCI DCB (góc C chung;BDI=IMB cùng chắ cung MI do
DMBI nộ tiế)
5.C/m MI là tiế tuyế củ (O’)
-Ta có O’IC Cân góc O’IC=O’CI. MBID nộ tiế MIB=MDB (cùng chắ cung
MB) BDE cân ởB góc MDB=MEB .Do MECI nộ tiế góc MEB=MCI (cùng
chắ cung MI)
Từđ suy ra góc O’IC=MIB MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v
Vậ MI O’I tạ I nằ trên đ?ờg tròn (O’) MI là tiế tuyế củ (O’).


Bài 3:
Cho ABC có góc A=1v.Trên AC lấ để M sao cho AM<MC.Vẽđ?ờg tròn tâm
O đ?ờg kính CM;đ?ờg thẳg BM cắ (O) tạ D;AD kéo dài cắ (O) tạ S.
1. C/m BADC nộ tiế.
1.Do MA=MB và AB

DE tạ
M nên ta có DM=ME.
ADBE là hình bình hành.
Mà BD=BE(AB là đ?ờg
trung trự củ DE) vậ ADBE
;là hình thoi.
2.C/m DMBI nộ tiế.
BC là đ?ờg kính,I(O’) nên
Góc BID=1v.Mà góc
DMB=1v(gt)

BID+DMB=2vđcm.
Hình 2


4

2. BC cắ (O) ởE.Cmr:MR là phân giác củ góc AED.
3. C/m CA là phân giác củ góc BCS.
Gợ ý:






D S

A M

O
B E C




AEM=MED.
4.C/m CA là phân giác củ góc BCS.
-Góc ACB=ADB (Cùng chắ cung AB)
-Góc ADB=DMS+DSM (góc ngoài tam giác MDS)
-Mà góc DSM=DCM(Cùng chắ cung MD)

DMS=DCS(Cùng chắ cung DS)
Góc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA.
Vậ góc ADB=SCAđcm.




1.C/m ABCD nộ tiế:
C/m A và D cùng làm
vớ hai đ?u đạ thẳg BC
mộ góc vuông
2.C/m ME là phân giác
củ góc AED.
Hãy c/m AMEB nộ tiế.
Góc ABM=AEM( cùng
chắ cung AM)
Góc ABM=ACD( Cùng
chắ cung MD)
Góc ACD=DME( Cùng
chắ cung MD)
Hình 3


5

Bài 4:
Cho ABC có góc A=1v.Trên cạh AC lấ để M sao cho AM>MC.Dựg đ?ờg tròn
tâm O đ?ờg kính MC;đ?ờg tròn này cắ BC tạ E.Đ?ờg thẳg BM cắ (O) tạ D và đ?ờg
thẳg AD cắ (O) tạ S.
1. C/m ADCB nộ tiế.

2. C/m ME là phân giác củ góc AED.
3. C/m: Góc ASM=ACD.
4. Chứg tỏME là phân giác củ góc AED.
5. C/m ba đ?ờg thẳg BA;EM;CD đ?ng quy.
Gợ ý:



A



S
D
M

B E C



ABD=ACD (Cùng chắ cung AD)
Do MECD nộ tiế nên MCD=MED (Cùng chắ cung MD)
Do MC là đ?ờg kính;E(O)Góc MEC=1vMEB=1v ABEM nộ tiếGóc
MEA=ABD. Góc MEA=MEDđcm
3.C/m góc ASM=ACD.
Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngoài tam giác SMD)
Mà góc SMD=SCD(Cùng chắ cung SD) và Góc SDM=SCM(Cùng chắ cung
SM)SMD+SDM=SCD+SCM=MCD.
Vậ Góc A SM=ACD.
4.C/m ME là phân giác củ góc AED (Chứg minh nhưcâu 2 bài 2)

5.Chứg minh AB;ME;CD đ?ng quy.
Gọ giao để AB;CD là K.Ta chứg minh 3 để K;M;E thẳg hàng.
Do CAAB(gt);BDDC(cmt) và AC cắ BD ởMM là trự tâm củ tam giác
KBCKM là đ?ờg cao thứ3 nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳg hàng
đcm.

1.C/m ADCB nộ tiế:
Hãy chứg minh:
Góc MDC=BDC=1v
Từđ suy ra A vad D
cùng làm vớ hai đ?u
đạ thẳg BC mộ góc
vuông… 2.C/m ME là
phân giác củ góc
AED.
Do ABCD nộ tiế nên

Hình 4


6

Bài 5:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọ và AB<AC nộ tiế trong đ?ờg tròn tâm
O.Kẻđ?ờg cao AD và đ?ờg kính AA’.Gọ E:F theo thứtựlà chân đ?ờg vuông góc
kẻtừB và C xuốg đ?ờg kính AA’.
1. C/m AEDB nộ tiế.
2. C/m DB.A’A=AD.A’C
3. C/m:DEAC.
4. Gọ M là trung để BC.Chứg minh MD=ME=MF.

Gợ ý:

A


N E
O I


B D M C
F
A’
1/C/m AEDB nộ tiế.(Sửdụg hai để D;E cùng làm vớ hai đ?u đạ AB…
2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chứg minh đ?ợ hai tam giác vuông DBA và
A’CA đ?ng dạg.
3/ C/m DEAC.
Do ABDE nộ tiế nên góc EDC=BAE(Cùng bù vớ góc BDE).Mà góc
BAE=BCA’(cùng chắ cung BA’) suy ra góc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Mà góc
ACA’=1v nên DEAC.
4/C/m MD=ME=MF.
Gọ N là trung để AB.Nên N là tâm đ?ờg tròn ngoạ tiế tứgiác ABDE. Do
M;N là trung để BC và AB MN//AC(Tính chấ đ?ờg trung bình)
Do DEAC MNDE (Đ?ờg kính đ qua trung để mộ dây…MN là đ?ờg trung trự
củ DE ME=MD.
 Gọ I là trung để AC.MI//AB(tính chấ đ?ờg trung bình)
A’BC=A’AC (Cùng chắ cung A’C).
Do ADFC nộ tiế Góc FAC=FDC(Cùng chắ cung FC) Góc A’BC=FDC hay
DF//BA’ Mà ABA’=1vMIDF.Đ?ờg kính MIdây cung DFMI là đ?ờg trung
trự củ DFMD=MF. Vậ MD=ME=MF.


Hình 5


7

Bài 6:
Cho ABC có ba góc nhọ nộ tiế trong đ?ờg tròn tâm O.Gọ M là mộ để bấ
kỳtrên cung nhỏAC.Gọ E và F lầ lư?t là chân các đ?ờg vuông góc kẻtừM đ?n BC và
AC.P là trung để AB;Q là trung để FE.
1/C/m MFEC nộ tiế.
2/C/m BM.EF=BA.EM
3/C/M AMPFMQ.
4/C/m góc PQM=90
o
.
Giả:
A M

F

P


B E C



Do MFEC nộ tiế nên góc ACM=FEM(Cùng chắ cung FM).
Góc ABM=FEM.(1)
Ta lạ có góc AMB=ACB(Cùng chắ cung AB).Do MFEC nộ tiế nên góc FME=FCM(Cùng chắ cung

FE).Góc AMB=FME.(2)
Từ(1)và(2) suy ra :EFMABM đpcm.
3/C/m AMPFMQ.
Ta có EFMABM (theo c/m trên)
MF
AM
FE
AB
 ma AM=2AP;FE=2FQ (gt)

FM
AM
FQ
AP
MF
AM
FQ
AP

2
2
và góc PAM=MFQ (suy ra từ EFMABM)
Vậy: AMPFMQ.
4/C/m góc:PQM=90
o
.
Do góc AMP=FMQ PMQ=AMF PQMAFM góc MQP=AFM Mà góc
AFM=1vMQP=1v(đcm).


1/C/m MFEC nộ tiế:
(Sửdụg hai để E;F cung làm
vớ hai đ?u đạ thẳg CM…
2/C/m BM.EF=BA.EM
C/m:EFMABM:
Ta có góc ABM=ACM (Vì
cùng chắn cung AM)

Hình 6


8

Bài 7:
Cho (O) đ?ờg kính BC,để A nằ trên cung BC.Trên tia AC lấ để D sao cho
AB=AD.Dựg hình vuông ABED;AE cắ (O) tạ để thứhai F;Tiế tuyế tạ B cắ đ?ờg thẳg
DE tạ G.
1. C/m BGDC nộ tiế.Xác đ?nh tâm I củ đ?ờg tròn này.
2. C/m BFC vuông cân và F là tâm đ?ờg tròn ngoạ tiế BCD.
3. C/m GEFB nộ tiế.
4. Chứg tỏC;F;G thẳg hàng và G cũg nằ trên đ?ờg tròn ngoạ tiế BCD.Có
nhậ xét gì vềI và F




A

B O C


F I
D


G E

Xét hai tam giác FEB và FED có:E F chung;
Góc BE F=FED =45
o
;BE=ED(hai cạh củ hình vuông ABED).BFE=E FD
BF=FDBF=FC=FD.đcm.
3/C/m GE FB nộ tiế:
Do BFC vuông cân ởF Cung BF=FC=90
o
. sđóc GBF=
2
1
Sđcung
BF=
2
1
.90
o
=45
o
.(Góc giữ tiế tuyế BG và dây BF)
Mà góc FED=45

o
(tính chấ hình vuông)Góc FED=GBF=45
o
.ta lạ có góc
FED+FEG=2vGóc GBF+FEG=2v GEFB nộ tiế.
4/ C/m C;F;G thẳg hàng:Do GEFB nộ tiế Góc BFG=BEG mà
BEG=1vBFG=1v.Do BFG vuông cân ởFGóc BFC=1v.Góc
BFG+CFB=2vG;F;C thẳg hàng. C/m G cũg nằ trên…:Do
GBC=GDC=1vtâm đ?ờg tròn ngt tứgiác BGDC là FG nằ trên đ?ờg tròn ngoạ tiế
BCD. Dễdàng c/m đ?ợ I F.

Bài 8:
1/C/m BGEC nộ tiế:
-Sửdụg tổg hai góc đ?i… -I
là trung để GC.
2/C/mBFC vuông cân:
Góc BCF=FBA(Cùng chắ
cung BF) mà góc FBA=45
o

(tính chấ hình vuông)
Góc BCF=45
o
.
Góc BFC=1v(góc nộ tiế chắ
nử đ?ờg tròn)đcm.
C/m F là tâm đ?ờg tròn
ngoạ tiế BDC.ta C/m F
cách đ?u các đ?nh B;C;D
Do BFC vuông cân nên

BC=FC.
Hình 7


9

Cho ABC có 3 góc nhọ nộ tiế trong (O).Tiế tuyế tạ B và C củ đ?ờg tròn cắ nhau tạ
D.TừD kẻđ?ờg thẳg song song vớ AB,đ?ờg này cắ đ?ờg tròn ởE và F,cắ AC ởI(E nằ
trên cung nhỏBC).
1. C/m BDCO nộ tiế.
2. C/m: DC
2
=DE.DF.
3. C/m:DOIC nộ tiế.
4. Chứg tỏI là trung để FE.


A
F

O I
B C

E



D

Ta có: sđóc BAC=
2
1
sđung BC(Góc nộ tiế) (1)
Sđgóc BOC=sđung BC(Góc ởtâm);OB=OC;DB=DC(tính chấ hai tiế tuyế cắ nhau);OD
chungBOD=CODGóc BOD=COD
2sđgócDOC=sđcung BC sđóc DOC=
2
1
sđungBC (2)
Từ(1)và (2)Góc DOC=BAC.
Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đ?ng vị Góc DOC=DIC Hai để O và I cùng làm vớ hai đ?u đạ thẳg Dc
nhữg góc bằg nhau…đcm
4/Chứg tỏI là trung để EF:
Do DOIC nộ tiế  góc OID=OCD(cùng chắ cung OD)
Mà Góc OCD=1v(tính chấ tiế tuyế)Góc OID=1v hay OIID OIFE.Bán kính OI vuông góc vớ dây cung
EFI là trung đểEF.



1/C/m:BDCO nộ tiế(Dùng tổg hai
góc đ?i)
2/C/m:DC
2
=DE.DF.
Xét hai tam giác:DEC và DCF có
góc D chung.
SđócECD=
2
1

sđcung EC(Góc giữ
tiế tuyế và mộ dây)
Sđgóc E FC=
2
1
sđcung EC(Góc nộ
tiế)góc ECD=DFC.
DCE DFCđcm.
3/C/m DOIC nộ tiế:


Hình 8


10

Bài 9:
Cho (O),dây cung AB.Từđể M bấ kỳtrên cung AB(MA và MB),kẻdây cung
MN vuông góc vớ AB tạ H.Gọ MQ là đ?ờg cao củ tam giác MAN.
1. C/m 4 để A;M;H;Q cùng nằ trên mộ đ?ờg tròn.
2. C/m:NQ.NA=NH.NM
3. C/m Mn là phân giác củ góc BMQ.
4. Hạđạ thẳg MP vuông góc vớ BN;xác đ?nh vịtrí củ M trên cung AB đ?
MQ.AN+MP.BN có giác trịlớ nhấ.
Giả:Có 2 hình vẽcách c/m tư?ng tựSau đy chỉC/m trên hình 9-a.


M
P
A I H B

Q O




N

1/ C/m:A,Q,H,M cùng nằ trên mộ đ?ờg tròn.(Tuỳvào hình vẽđ? sửdụg mộ trong các
phư?ng pháp sau:-Cùng làm vớ hai đu …ộ góc vuông.
-Tổg hai góc đ?i.
2/C/m: NQ.NA=NH.NM.
Xét hai vuông NQM và NAH đ?ng dạg.
3/C/m MN là phân giác củ góc BMQ. Có hai cách:
 Cách 1:Gọ giao để MQ và AB là I.C/m tam giác MIB cân ởM
 Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụvớ góc ANH)
Góc NAH=NMB(Cùng chắ cung NB)đcm
4/ xác đ?nh vịtrí củ M trên cung AB đ? MQ.AN+MP.BN có giác trịlớ nhấ.
Ta có 2S
MAN
=MQ.AN
2S
MBN
=MP.BN.
2S
MAN
+ 2S
MBN
= MQ.AN+MP.BN
Ta lạ có: 2S

MAN
+ 2S
MBN
=2(S
MAN
+ S
MBN
)=2S
AMBN
=2.
2
MNAB

=AB.MN
Vậ: MQ.AN+MP.BN=AB.MN
Mà AB không đ?i nên tích AB.MN lớ nhấ MN lớ nhấMN là đ?ờg kính
M là để chính giữ cung AB.

Bài 10:
Hình
9b

Hình
9a


11

Cho (O;R) và (I;r) tiế xúc ngoài tạ A (R> r) .Dựg tiế tuyế chung ngoài BC (B
nằ trên đ?ờg tròn tâm O và C nằ trên đ? ờg tròn tâm (I).Tiế tuyế BC cắ tiế tuyế tạ A

củ hai đ?ờg tròn ởE.
1/ Chứg minh tam giác ABC vuông ởA.
2/ O E cắ AB ởN ; IE cắ AC tạ F .Chứg minh N;E;F;A cùng nằ trên mộ đ?ờg
tròn .
3/ Chứg tỏ: BC
2
= 4 Rr
4/ Tính diệ tích tứgiác BCIO theo R;r
Giả:





B E
C
N F

O A I






AEBEO là đ?ờg trung trự củ AB hay OEAB hay góc ENA=1v
Tư?ng tựgóc EFA=2vtổg hai góc đ?i…?4 để… 3/C/m BC
2
=4Rr.
Ta có tứgiác FANE có 3 góc vuông(Cmt)FANE là hình vuôngOEI vuông ởE

và EAOI(Tính chấ tiế tuyế).Ap dụg hệthứ lư?ng trong tam giác vuông có:
AH
2
=OA.AI(Bình phư?ng đ?ờg cao bằg tích hai hình chiế)
Mà AH=
2
BC
và OA=R;AI=r 
4
2
BC
RrBC
2
=Rr
4/S
BCIO
=? Ta có BCIO là hình thang vuông S
BCIO
=
BC
ICOB


2

S=
2
)( rRRr 



Bài 11:
Trên hai cạh góc vuông xOy lấ hai để A và B sao cho OA=OB. Mộ đ?ờg thẳg
qua A cắ OB tạ M(M nằ trên đạ OB).TừB hạđ?ờg vuông góc vớ AM tạ H,cắ AO kéo
dài tạ I.
1. C/m OMHI nộ tiế.
2. Tính góc OMI.
1/C/m

ABC vuông:
Do BE và AE là hai tiế
tuyế cắ nhau
nênAE=BE; Tư?ng
tựAE=ECAE=EB=E
C=
2
1
BC.ABC
vuông ởA.
2/C/m A;E;N;F cùng
nằ trên… -Theo tính
chấ hai tiế tuyế cắ
nhau thì EO là phân
giác củ tam giác cân
Hình
10


12

3. TừO vẽđ?ờg vuông góc vớ BI tạ K.C/m OK=KH

4. Tìm tậ hợ các để K khi M thay đ?i trên OB.
Giả:



A







O M B

H

K
I



Cùng chắ cung OH)OHK=HAB+HAO=OAB=45
o
.
OKH vuông cân ởKOH=KH
4/Tậ hợ các để K… Do OKKB OKB=1v;OB không đ?i khi M di đ?ng K nằ
trên đ?ờg tròn đ?ờg kính OB.
Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K là điểm chính giữa cung AB.Vậy quỹ tích điểm K
là

4
1
đ?ờng tròn đ?ờng kính OB.

1/C/m OMHI nộ tiế:
Sửdụg tổg hai góc đ?i.
2/Tính góc OMI
Do OBAI;AHAB(gt) và OBAH=M
Nên M là trự tâm củ tam giác ABI
IM là đ?ờg cao thứ3 IMAB
góc OIM=ABO(Góc có cạh tư?ng ứg
vuông góc)
Mà

vuông OAB có OA=OB
OAB vuông cân ởO góc
OBA=45
o
góc OMI=45
o

3/C/m OK=KH
Ta có OHK=HOB+HBO
(Góc ngoài OHB)
Do AOHB nộ tiế(Vì góc
AOB=AHB=1v) Góc
HOB=HAB (Cùng chắ cung
HB) và OBH=OAH(Cùng chắ
Hình
11

13

Bài 12:
Cho (O) đ?ờg kính AB và dây CD vuông góc vớ AB tạ F.Trên cung BC lấ để
M.Nố A vớ M cắ CD tạ E.
1. C/m AM là phân giác củ góc CMD.
2. C/m EFBM nộ tiế.
3. Chứg tỏAC2=AE.AM
4. Gọ giao để CB vớ AM là N;MD vớ AB là I.C/m NI//CD
5. Chứg minh N là tâm đ?ờg trèon nộ tiế CIM
Giả:



C
N M

A F O B
I
D





AMB+EFB=2vđcm.
3/C/m AC
2

=AE.AM
C/m hai ACEAMC (A chung;góc ACD=AMD cùng chắ cung AD và
AMD=CMA cmt ACE=AMC)… 4/C/m NI//CD. Do cung AC=AD
CBA=AMD(Góc nộ tiế chắ các cung bằg nhau) hay NMI=NBIM và B cùng làm
vớ hai đ?u đạ thẳg NI nhữg góc bằg nhauMNIB nộ tiếNMB+NIM=2v. mà
NMB=1v(cmt)NIB=1v hay NIAB.Mà CDAB(gt) NI//CD.
5/Chứg tỏN là tâm đ?ờg tròn nộ tiế ICM.
Ta phả C/m N là giao để 3 đ?ờg phân giác củ CIM.
 Theo c/m ta có MN là phân giác củ CMI
 Do MNIB nộ tiế(cmt) NIM=NBM(cùng chắ cung MN)
Góc MBC=MAC(cùng chắ cung CM)
Ta lạ có CAN=1v(góc nộ tiếACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)ACNI nộ
tiếCAN=CIN(cùng chắ cung CN)CIN=NIMIN là phân giác CIM
Vậ N là tâm đ?ờg tròn…?

Bài 13:
Cho (O) và để A nằ ngoài đ?ờg tròn.Vẽcác tiế tuyế AB;AC và cát tuyế
ADE.Gọ H là trung để DE.
1. C/m A;B;H;O;C cùng nằ trên 1 đ?ờg tròn.
2. C/m HA là phân giác củ góc BHC.
1/C/m AM là phân giác củ góc CMD
Do ABCD AB là phân giác củ
tam giác cân COD. COA=AOD.
Các góc ởtâm AOC và AOD bằg
nhau nên các cung bịchắ bằg nhau
cung AC=ADcác góc nộ tiế chắ
các cung này bằg nhau.Vậ
CMA=AMD.
2/C/m EFBM nộ tiế.
Ta có AMB=1v(Góc nộ tiế chắ nử

đ?ờg tròn)
EFB=1v(Do ABEF)


14

3. Gọ I là giao để củ BC và DE.C/m AB
2
=AI.AH.
4. BH cắ (O) ởK.C/m AE//CK.




B
E H
I D
O A



K C
1/C/m:A;B;O;C;H cùng nằ trên mộ đ?ờg tròn: H là trung để EBOHED(đ?ờg
kính đ qua trung để củ dây …AHO=1v. Mà OBA=OCA=1v (Tính chấ tiế tuyế)
A;B;O;H;C cùng nằ trên đ?ờg tròn đ?ờg kính OA.
2/C/m HA là phân giác củ góc BHC.
Do AB;AC là 2 tiế tuyế cắ nhau BAO=OAC và AB=AC
cung AB=AC(hai dây băg nhau củ đ?ờg tròn đOA) mà BHA=BOA(Cùng chắ
cung AB) và COA=CHA(cùng chắ cung AC) mà cung AB=AC COA=BOH
CHA=AHBđcm.

3/Xét hai tam giác ABH và AIB (có A chung và CBA=BHA hai góc nộ tiế chắ hai
cung bằg nhau) ABHAIBđcm.
4/C/m AE//CK.
Do góc BHA=BCA(cùng chắ cung AB) và sđBKC=
2
1
SđcungBC(góc nộ tiế)
SđBCA=
2
1
sđcung BC(góc giữ tt và 1 dây)
BHA=BKCCK//AB




Bài 14:
Cho (O) đ?ờg kính AB=2R;xy là tiế tuyế vớ (O) tạ B. CD là 1 đ?ờg kính bấ
kỳGọ giao để củ AC;AD vớ xy theo thứtựlà M;N.
1. Cmr:MCDN nộ tiế.
2. Chứg tỏAC.AM=AD.AN
3. Gọ I là tâm đ?ờg tròn ngoạ tiế tứgiác MCDN và H là trung để
MN.Cmr:AOIH là hình bình hành.
4. Khi đ?ờg kính CD quay xung quanh để O thì I di đ?ng trên đ?ờg nào?


Hình
13

1/ C/m MCDN nộ tiế:

AOC cân ởOOCA=CAO; góc
CAO=ANB(cùng phụvớ góc
AMB)góc ACD=ANM.
Mà góc ACD+DCM=2v
DCM+DNM=2v DCMB nộ tiế.
2/C
/m: AC.AM=AD.AN


15


M
C

A O B
K
D
H I




N



MNIHMN là IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH. Vậ cách dựg I:TừO dựg đ?ờg vuông góc vớ
CD.Từtrung để H củ MN dựg đ?ờg vuông góc vớ MN.Hai đ?ờg này cách nhau ởI.
Do H là trung để MNAhlà trung tuyế củ vuông AMNANM=NAH.Mà

ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD.
Gọ K là giao để AH và DO do ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v hay AKD vuông ởKAHCD mà
OICDOI//AH vậ AHIO là hình bình hành.
4/Quỹtích để I:
Do AOIH là hình bình hành IH=AO=R không đ?iCD quay xung quanh O thì I nằ trên đ?ờg thẳg // vớ xy
và cách xy mộ khoảg bằg R

Hình
14


16

Q
Bài 15:
Cho tam giác ABC nộ tiế trong đ?ờg tròn tâm O.Gọ D là 1 để trên cung
nhỏBC.KẻDE;DF;DG lầ lư?t vuông góc vớ các cạh AB;BC;AC.Gọ H là hình chiế củ D lên
tiế tuyế Ax củ (O).
1. C/m AHED nộ tiế
2. Gọ giao để củ AH vớ HB và vớ (O) là P và Q;ED cắ (O) tạ M.C/m
HA.DP=PA.DE
3. C/m:QM=AB
4. C/m DE.DG=DF.DH
5. C/m:E;F;G thẳg hàng.(đ?ờg thẳg Sim sơ)


A
H

P O
G
B F C

E
M D




4/C/m: DE.DG=DF.DH .
Xét hai tam giác DEH và DFG có:
Do EHAD nộ tiế HAE=HDE(cùng chắ cung HE)(1)
Và EHD=EAD(cùng chắ cung ED)(2)
Vì F=G=90oDFGC nộ tiếFDG=FCG(cùng chắ cung FG)(3)
FGD=FCD(cùng chắ cung FD)(4)
Nhưg FCG=BCA=HAB(5).Từ(1)(3)(5)EDH=FDG(6).
Từ(2);(4) và BCD=BAD(cùng chắ cungBD)EHD=FGD(7)
Từ(6)và (7)EDHFDG
DG
DH
DF
ED
 đcm.
5/C/m: E;F;G thẳg hàng:
Ta có BFE=BDE(cmt)và GFC=CDG(cmt)
Do ABCD nộ tiếBAC+BMC=2v;do GDEA nộ tiếEDG+EAG=2v. EDG=BDC mà
EDG=EDB+BDG và BCD=BDG+CDGEDB=CDG GFC=BEFE;F;G thẳg hàng.

1/C/m AHED nộ tiế(Sửdụg hai để

H;E cùng làm hành vớ hai đ?u đạ
thẳg AD…
2/C/m HA.DP=PA.DE
Xét hai tam giác vuông đ?ng dạg:
HAP và EPD (Có HPA=EPD đ?)
3/C/m QM=AB:
Do HPAEDPHAB=HDM
Mà sđAB=
2
1
sđcung AB;
SđDM=
2
1
sđcung QM cung
AM=QMAB=QM
Hình
15


17

Bài 16:
Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọ I là trung để BC;qua I
kẻIKBC(K nằ trên BC).Trên tia đ?i củ tia AC lấ để M sao cho MA=AK.
1. Chứg minh:ABIK nộ tiế đ?ợ trong đ?ờg tròn tâm O.
2. C/m góc BMC=2ACB
3. Chứg tỏBC
2
=2AC.KC

4. AI kéo dài cắ đ?ờg thẳg BM tạ N.Chứg minh AC=BN
5. C/m: NMIC nộ tiế.




N


M
A
K

B I C



KBC=KCB Vậ BMC=2ACB
3/C/m BC
2
=2AC.KC
Xét 2  vuông ACB và ICK có C chungACBICK

CK
CB
IC
AC
 IC=
2
BC


CK
BC
BC
AC

2
đcm
4/C/m AC=BN
Do AIB=IAC+ICA(góc ngoài IAC) và IAC Cân ởIIAC=ICA AIB=2IAC(1).
Ta lạ có BKM=BMK và BKM=AIB(cùng chắ cung AB-tứgiác AKIB nộ tiế)
AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN(góc ngoài tam giác MNA) Do MNA cân
ởM(gt)MAN=MNABMK=2MNA(3)
Từ(1);(2);(3)IAC=MNA và MAN=IAC(đđ… 5/C/m NMIC nộ tiế:
do MNA=ACI hay MNI=MCI hai để N;C cùng làm thành vớ hai đ?u…


Bài 17:
Cho (O) đ?ờg kính AB cốđ?nh,để C di đ?ng trên nử đ?ờg tròn.Tia phân giác
củ ACB cắ (O) tai M.Gọ H;K là hình chiế củ M lên AC và AB.
1. C/m:MOBK nộ tiế.
2. Tứgiác CKMH là hình vuông.
1/C/m ABIK nộ tiế
(tựC/m)
2/C/m BMC=2ACB
do ABMK và
MA=AK(gt)BMK
cân ởBBMA=AKB
Mà AKB=KBC+KCB
(Góc ngoài tam giac

KBC).
Do I là trung để BC
và KIBC(gt)
KBC cân ởK
Hình
16


18

3. C/m H;O;K thẳg hàng.
4. Gọ giao để HKvà CM là I.Khi C di đ?ng trên nử đ?ờg tròn thì I chạ trên đ?ờg
nào?


C

H
A O B
I
P Q K


M


2/C/m CHMK là hình vuông:
Do  vuông HCM có 1 góc bằg 45
o
nên CHM vuông cân ởH HC=HM, tư?ng

tựCK=MK Do C=H=K=1v CHMK là hình chữnhậ có hai cạh kềbằg nhau
CHMK là hình vuông.
3/C/m H,O,K thẳg hàng:
Gọ I là giao để HK và MC;do MHCK là hình vuôngHKMC tạ trung để I củ
MC.Do I là trung để MCOIMC(đ?ờg kính đ qua trung để mộ dây…
Vậ HIMC;OIMC và KIMCH;O;I thẳg hàng.
4/Do góc OIM=1v;OM cốđ?nhI nằ trên đ?ờg tròn đ?ờg kính OM.
-Giớ hạ:Khi CB thì IQ;Khi CA thì IP.Vậ khi C di đ?ng trên nử đ?ờg tròn (O)
thì I chạ trên cung tròn PHQ củ đ?ờg tròn đ?ờg kính OM.






Bài 18:
Cho hình chữnhậ ABCD có chiề dài AB=2a,chiề rộg BC=a.Kẻtia phân giác củ góc
ACD,từA hạAH vuông góc vớ đ?ờg phân giác nói trên.
1/Chứg minhAHDC nt trong đ?ờg tròn tâm O mà ta phả đ?nh rõ tâm và bán kính
theo a.
2/HB cắ AD tạ I và cắ AC tạ M;HC cắ DB tạ N.Chứg tỏHB=HC. Và
AB.AC=BH.BI
3/Chứg tỏMN song song vớ tiế tuyế tạ H củ (O)
4/TừD kẻđ?ờg thẳg song song vớ BH;đ?ờg này cắ HC ởK và cắ (O) ởJ.Chứg minh
HOKD nt.

1/C/m:BOMK nộ tiế:
Ta có BCA=1v(góc nộ tiế
chắ nử đ?ờg tròn)
CM là tia phân giác củ góc

BCAACM=MCB=45
o
.
cungAM=MB=90
o
.
dây AM=MB có O là
trung để AB OMAB hay
gócBOM=BKM=1v
BOMK nộ tiế.


Hình
17



x A B
M
H I O J




N K


19

Xét hai HCAABI có A=H=1v và ABH=ACH(cùng chắ cung AH)
 HCAABI 
BI
AC
AB
HC
 mà HB=HCđcm
3/Gọ tiế tuyế tạ H củ (O) là Hx.
DoAH=HD;AO=HO=DOAHO=HODAOH=HOD màAOD cân ởOOHAD
và OHHx(tính chấ tiế tuyế) nên AD//Hx(1)
Do cung AH=HD ABH=ACH=HBDHBD=ACH hay MBN=MCN hay 2 để B;C
cùng làm vớ hai đ?u đạ MN nhữg góc bằg nhau MNCB nộ tiếNMC=NBC(cùng chắ
cung NC) mà DBC=DAC (cùng chắ cung DC) NMC=DAC MN//DA(2).Từ(1)và
(2)MN//Hx.
4/C/m HOKD nộ tiế:
Do DJ//BHHBD=BDJ (so le)cung BJ=HD=AH=
2
AD
mà cung AD=BCcung
BJ=JCH;O;J thẳg hàng tứ HJ là đ?ờg kính HDJ= 1v .Góc HJD=ACH(cùng chắ 2 cung

bằg nhau)OJK=OCKCJ cùng làm vớ hai đ?u đạ OK nhữg góc bằg nhauOKCJ nộ tiế
KOC=KJC (cùng chắ cung KC);KJC=DAC(cùng chắ cung DC)KOC=DACOK//AD
mà ADHJOKHOHDKC nộ tiế.



20

M
I

H

B
O
A


Bài 19:
Cho nử đ?ờg tròn (O) đ?ờg kính AB,bán kính OCAB.Gọ M là 1 để trên cung
BC.Kẻđ?ờg cao CH củ tam giác ACM.
1. Chứg minh AOHC nộ tiế.
2. Chứg tỏCHM vuông cân và OH là phân giác củ góc COM.
3. Gọ giao để củ OH vớ BC là I.MI cắ (O) tạ D.Cmr:CDBM là hình thang cân.
4. BM cắ OH tạ N.Chứg minh BNI và AMC đ?ng dạg,từđ suy ra: BN.MC=IN.MA.


C N
D

SđCMA=
2
1
sđung AC=45
o
.CHM vuông cân ởM.
C/m OH là phân giác củ góc COM:Do CHM vuông cân ởHCH=HM; CO=OB(bán
kính);OH chungCHO=HOMCOH=HOMđcm.
3/C/m:CDBM là thang cân:
Do OCM cân ởO có OH là phân giácOH là đ?ờg trung trự củ CM mà IOHICM
cân ởIICM=IMC mà ICM=MDB(cùng chắ cung BM)
IMC=IDB hay CM//DB.Do IDB cân ởIIDB=IBD và MBC=MDC(cùng chắ cungCM)
nên CDB=MBDCDBM là thang cân.
4/C/m BNI và AMC đ?ng dạg:
Do OH là đ?ờg trung trự củ CM và NOH CN=NM.
Do AMB=1vHMB=1v hay NMAM mà CHAMCH//NM,có góc
CMH=45
o
NHM=45
o
MNH vuông cân ởM vậ CHMN là hình vuông
INB=CMA=45
o

.
Do CMBD là thang cânCD=BM cungCD=BM mà cung
AC=CBcungAD=CM… và CAM=CBM(cùng chắ cung CM)
INB=CMA đcm

Bài 20:
Cho  đ?u ABC nộ tiế trong (O;R).Trên cnạ AB và AC lấ hai để M;N sao cho
BM=AN.
1. Chứg tỏOMN cân.
2. C/m :OMAN nộ tiế.
3. BO kéo dài cắ AC tạ D và cắ (O) ởE.C/m BC
2
+DC
2
=3R
2
.
4. Đ?ờg thẳg CE và AB cắ nhau ởF.Tiế tuyế tạ A củ (O) cắ FC tạ I;AO kéo dài cắ BC
tạ J.C/m BI đ qua trung để củ AJ.

F
1/C/m AOHC nộ tiế:
(họ sinh tựchứg
minh)
2/C/mCHM vuông
cân:
Do OCAB trạ trung
để OCung
AC=CB=90
o

.
Ta lạ có:
Hình
19

1/C/m OMN cân:

Do ABC là tam giác đ?u nộ tiế trong
(O)AO và BO là phân giác củ ABC
OAN=OBM=30
o
; OA=OB=R và
BM=AN(gt)OMB=ONA
OM=ON OMN cân ởO.
2/C/m OMAN nộ tiế:
do

OBM=

ONA
(cmt)

BMO=ANO


21

N

D

K
O







A I

E
M

B J C



AOC=120
o
AOE=60
o
AOE là tam giác đ?u có ADOEOD=ED=
2
R

Ap dụg Pitago ta có:OD
2
=OC

2
-CD
2
=R
2
-CD
2
.(2)
Từ(1)và (2)BC
2
=R
2
+2.R.
2
R
+CD
2
-CD
2
=3R
2
.
4/Gọ K là giao để củ BI vớ AJ.
Ta có BCE=1v(góc nộ tiế chắ nử đ?ờg tròn)có B=60
o
BFC=30
o
.
BC=
2

1
BF mà AB=BC=AB=AF.Do AOAI(t/c tt) và AJBCAI//BC có A là trung để
BFI là trung để CF. Hay FI=IC.
Do AK//FI.Ap dụg hệquảTalét trong BFI có:
BI
BK
EI
AK


Do KJ//CI.Ap dụg hệquảTalét trong BIC có:
BI
BK
CJ
KJ

Mà FI=CIAK=KJ (đcm)


Bài 21:
Cho ABC (A=1v)nộ tiế trong đ?ờg tròn tâm (O).Gọ M là trung để cạh
AC.Đ?ờg tròn tâm I đ?ờg kính MC cắ cạh BC ởN và cắ (O) tạ D.
1. C/m ABNM nộ tiế và CN.AB=AC.MN.
2. Chứg tỏB,M,D thẳg hàng và OM là tiế tuyế củ (I).
3. Tia IO cắ đ?ờg thẳg AB tạ E.C/m BMOE là hình bình hành.
4. C/m NM là phân giác củ góc AND.



A

M D
Hình
20

CI
KJ
FI
AK

1/
C/m ABNM nộ tiế:
(dùng tổg hai góc đ?i)
C/m CN.AB=AC.MN
Chứg minh hai tam giác vuông
ABC và NMC đ?ng dạg.
2/C/m B;M;D thẳg hàng. Ta có
MDC=1v(góc nộ tiế chắ nử
đ?ờg tròn tâm I) hay MD  DC.
BDC=1v(góc nộ tiế chắ nử đ?ờg
tròn tâm O)


22

I



B O N C

E



Hay BDDC. Qua để D có hai đ?ờg thẳg BD và DM cùng vuông góc vớ
DCB;M;D thẳg hàng.
C/m OM là tiế tuyế củ (I):Ta có MO là đ?ờg trung bình củ ABC (vì M;O là
trung để củ AC;BC-gt)MO//AB mà ABAC(gt)MOAC hay
MOIC;M(I)MO là tiế tuyế củ đ?ờg tròn tâm I.
3/C/m BMOE là hình bình hành: MO//AB hay MO//EB.Mà I là trung để MC;O là
trung để BCOI là đ?ờg trung bình củ MBCOI//BM hay OE//BMBMOE là
hình bình hành.
4/C/m MN là phân giác củ góc AND:
Do ABNM nộ tiế MBA=MNA(cùng chắ cung AM)
MBA=ACD(cùng chắ cung AD)
Do MNCD nộ tiế ACD=MND(cùng chắ cung MD)
ANM=MNDđcm.






Bài 22:
Cho hình vuông ABCD có cạh bằg a.Gọ I là để bấ kỳtrên đ?ờg chéo AC.Qua I
kẻcác đ?ờg thẳg song song vớ AB;BC,các đ?ờg này cắ AB;BC;CD;DA lầ lư?t
ởP;Q;N;M.
1. C/m INCQ là hình vuông.
2. Chứg tỏNQ//DB.
3. BI kéo dài cắ MN tạ E;MP cắ AC tạ F.C/m MFIN nộ tiế đ?ợ trong đ?ờg

tròn.Xác đ?nh tâm.
4. Chứg tỏMPQN nộ tiế.Tính diệ tích củ nó theo a.
5. C/m MFIE nộ tiế.


A M D

F
E
P I N
Hình
21

1/C/m INCQ là hình vuông:
MI//AP//BN(gt)MI=AP=BN
NC=IQ=PD NIC vuông ởN có
ICN=45
o
(Tính chấ đ?ờg chéo hình
vuông)NIC vuông cân ởN
INCQ là hình vuông.
2/C/m:NQ//DB:
Do ABCD là hình vuông DBAC
Do IQCN là hình vuông NQIC

23

E

H

I

B Q C


Hay NQACNQ//DB.
3/C/m MFIN nộ tiế: Do MPAI(tính chấ hình vuông)MFI=1v;MIN=1v(gt)
hai để F;I cùng làm vớ hai đ?u đạ MN…MFIN nộ tiế.
Tâm củ đ?ờg tròn này là giao để hai đ?ờg chéo hình chữnhậ MFIN.
4/C/m MPQN nộ tiế:
Do NQ//PMMNQP là hình thang có PN=MQMNQP là thang cân.Dễdàng C/m
thang cân nộ tiế.
TÍnh S
MNQP
=S
MIP
+S
MNI
+S
NIQ
+S
PIQ
=
2
1
S
AMIP
+
2

1
S
MDNI
+
2
1
S
NIQC
+
2
1
S
PIQB

=
2
1
S
ABCD
=
2
1
a
2
.
5/C/m MFIE nộ tiế:
Ta có các tam giác vuông BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v.
PIB=IMN mà PBI=EIN(đđIMN=EIN
Ta lạ có IMN+ENI=1vEIN+ENI=1vIEN=1v mà MFI=1vIEM+MFI=2v
FMEI nộ tiế



Bài 23:
Cho hình vuông ABCD,N là trung để DC;BN cắ AC tạ F,Vẽđ?ờg tròn tâm O đ?ờg
kính BN.(O) cắ AC tạ E.BE kéo dài cắ AD ởM;MN cắ (O) tạ I.
1. C/m MDNE nộ tiế.
2. Chứg tỏBEN vuông cân.
3. C/m MF đ qua trự tâm H củ BMN.
4. C/m BI=BC và IE F vuông.
5. C/m FIE là tam giác vuông.



Q B
A

M



D N C

Hình
22

1/C/m MDNE n
ộ tiế.

Ta có NEB=1v(góc nt chắ nử

đ?ờg tròn)
MEN=1v;MDN=1v(t/c hình
vuông)
MEN+MDN=2vđcm
2/C/m BEN vuông cân:
NEB vuông(cmt)
Do CBNE nộ tiế
ENB=BCE(cùng chắ cung
BE) mà BCE=45
o
(t/c
hv)ENB=45
o
đcm.
3/C/m MF đ qua trự tâm H củ
BMN.
Hình
23


24



Ta có BIN=1v(góc nt chắ nử đròn)
BIMN. Mà ENBM(cmt)BI và EN là hai đ?ờg cao củ BMNGiao để củ EN và BI là trự
tâm H.Ta phả C/m M;H;F thẳg hàng.
Do H là trự tâm BMNMHBN(1)
MAF=45
o

(t/c hv);MBF=45
o
(cmt)MAF=MBF=45
o
MABF nộ tiế.MAB+MFB=2v mà
MAB=1v(gt)MFB=1v hay MFBM(2)
Từ(1)và (2)M;H;F thẳg hàng.
4/C/m BI=BC: Xét 2vuông BCN và BIN có cạh huyề BN chung;NBC=NEC (cùng chắ cung
NC).Do MEN=MFN=1vMEFN nộ tiếNEC=FMN(cùng chắ cung FN);FMN=IBN(cùng phụvớ
góc INB)IBN=NBCBCN=BIN.BC=BI
*C/m IEF vuông:Ta có EIB=ECB(cùng chắ cung EB) và ECB=45
o
EIB=45
o

Do HIN+HFN=2vIHFN nộ tiếHIF=HNF (cùng chắ cung HF);mà HNF=45
o
(do EBN vuông
cân)HIF=45
o
. Từvà EIF=1v đcm
5/ * C/mBM là đ?ờg trung trự củ QH:Do AI=BC=AB(gt và cmt)ABI cân ởB.Hai vuông ABM
và BIM có cạh huyề BM chung;AB=BIABM=BIMABM=MBI;ABI cân ởB có BM là phân
giác BM là đ?ờg trung trự củ QH.
*C/mMQBN là thang cân: Tứgiác AMEQ có A+QEN=2v(do ENBM theo cmt) AMEQ nộ
tiếMAE=MQE(cùng chắ cung ME) mà MAE=45
o
và ENB=45
o
(cmt) MQN=BNQ=45

o
MQ//BN.ta lạ có MBI=ENI(cùng chắ cungEN) và MBI=ABM vàIBN=NBC(cmt)
 QBN=ABM+MBN=ABM+45
o
(vì MBN=45
o
)MNB=MNE+ENB=MBI+45
o

MNB=QBNMQBN là thang cân.

Bài 24:
Cho ABC có 3 góc nhọ(AB<AC).Vẽđ?ờg cao AH.TừH kẻHK;HM lầ lư?t vuông góc vớ
AB;AC.Gọ J là giao để củ AH và MK.
1. C/m AMHK nộ tiế.
2. C/m JA.JH=JK.JM
3. TừC kẻtia Cxvớ AC và Cx cắ AH kéo dài ởD.VẽHI;HN lầ lư?t vuông góc vớ DB và DC.
Cmr : HKM=HCN
4. C/m M;N;I;K cùng nằ trên mộ đ?ờg tròn.


A


J M
K

B H C

I

N


D


Mà HAM=MHC (cùng phụvớ góc ACH).
Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)MCNH là hình chữnhậ MH//CN hay MHC=HCNHKM=HCN.
4/C/m: M;N;I;K cùng nằ trên mộ đ?ờg tròn.
1/C/m AMHK nộ tiế:
Dùng tổg hai góc đ?i)
2/C/m: JA.JH=JK.JM
Xét hai tam giác:JAM
và JHK có: AJM=KJH
(đ?).Do AKHM nt
HAM=HKM( cùng
chắ cung HM)
JAMJKH
đcm
3/C/m HKM=HCN
vì AKHM nộ tiế
HKM=HAM(cùng
chắ cung HM)

Hình
24