Chương 4: KHÔNG GIAN VECTƠ pptx

Chương 4: KHÔNG GIAN VECTƠ
4.2 Không gian con
4.2.1. Định nghĩa:
Cho V là một K – không gian vectơ và W là một tập con khác trống của V. Khi
đó W được gọi là một không gian con của V nếu W là một K – không gian
vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng lên W.
4.2.2. Định lý:
Tập con W của không gian vectơ V là một không gian con của V khi và chỉ
khi các điều kiện sau đây được thoả:
(i) (x,y) W2 , x + y W;
(ii) K, x W, x W.
4.2.3. Định lý:
Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V là một không con của V.
4.3 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính
4.3.1. Định nghĩa:
Cho V là một không gian vectơ trên trường K và v, v1, v2, v3, … , vn là
các phần tử của V. Ta nói vectơ v là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ v1,
v2, v3, , vn nếu tồn tại các vô hướng 1, 2, , n K sao cho
v = 1v1 + 2v2 + + nvn
Ví dụ:
Cho V = R3, v = (5, 1, 3), v1 = (1, 1, 1), v2 = (4, 2, 5), v3 = (2, 4, 5)
thì v = 3v1 + v2 – v3
4.3.2. Định nghĩa:
Họ các vectơ v1, v2, , vn của không gian vectơ V trên trường K được gọi là
phụ thuộc tuyến tính , nếu tồn tại các vô hướng 1, 2, , n không phải
tất cả đều bằng không, sao cho
1v1 + 2v2 + + nvn= 0
Họ vectơ không phụ tuyến tính được gọi là họ độc lập tuyến tính. Nghĩa là
( 1, , n) Kn,
Chú ý:
(i) Mọi họ hữu hạn các vectơ, trong đó có vectơ không đều phụ thuộc

tuyến tính
(ii) v V, {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi v 0
4.1 Khái niệm về không gian vectơ
4.1.1. Định nghĩa
Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K hay một K _ không
gian vectơ, nếu V được trang bị một phép toán đại số (gọi là phép cộng), ký
hiệu (+) và một phép nhân vô hướng, ký hiệu (.) thoả mãn các điều kiện sau:
i) Tính giao hoán của phép cộng:
(x,y) V2, x + y = y + x;
ii) Tính kết hợp của phép cộng
(x,y,z) V3, (x + y) + z = x + (y + z);
iii) Tồn tại trong V một phần tử không, ký hiệu là 0, thỏa mãn
x V , x + 0 = x;
iv) x V, tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là – x, thoả mãn x + ( - x) = 0;
v) (x,y) V2, K, (x + y) = x + y;
vi) x V, ( ) K2 , ( ) x = x + x;
vii) x V, ( ) K2 , ( x) = ( )x ;
viii) x V, 1.x = x.
Chú ý: Các phần tử của V được gọi là các vectơ và được ký hiệu bởi chữ la
tinh nhỏ x,y,z, Các phần tử của trường K được gọi là các vô hướng và được
ký hiệu bởi các chữ Hy Lạp nhỏ ,
4.1.2. Tính chất:
(i) x V, 0.x = 0, trong đó 0 ở vế phải là vectơ không, còn 0 ở về trái là
phần tử không của trường K.
(ii) x V, - x = (- 1)x
(iii) x V, K, -( x) = (- )x = (-x)
(iv) .0 = 0
(v) Nếu x = 0 thì hoặc = 0 hoặc x = 0
(vi)