Toán rời rạc - Bài mở đầu - Tổng quan pdf

08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
1
University of Florida
Dept. of Computer & Information Science & Engineering
COT 3100
Applications of Discrete Structures
Dr. Michael P. Frank
Slides for a Course Based on the Text
Slides for a Course Based on the Text
Discrete Mathematics & Its Applications
Discrete Mathematics & Its Applications


(5
(5
th
th
Edition)
Edition)
by Kenneth H. Rosen
by Kenneth H. Rosen
Slides are online at />08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
2
Module #0:
Tổng quan
Course Overview
A few general slides about the subject
A few general slides about the subject
matter of this course.

matter of this course.
14 slides, ½ lecture
14 slides, ½ lecture
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
3
Toán học trên thực tế là gì?
•
Đây không phải chỉ về các số
Đây không phải chỉ về các số
!
!
•
To
To
án học thực tế nhiều hơn thế
án học thực tế nhiều hơn thế
:
:
•
Nh
Nh
ưng
ưng
, nh
, nh
ững khái niệm này có thể là về các con
ững khái niệm này có thể là về các con
số
số

, k
, k
ý hiệu
ý hiệu
,
,
đối tượng
đối tượng
, h
, h
ình ảnh
ình ảnh
,
,
âm thanh hay bất
âm thanh hay bất
cứ cái gì khác
cứ cái gì khác
!
!
Toán học, nói tổng quát, là nghiên cứu về mọi
chân lý đúng tuyệt đối về mọi khái niệm được
định nghĩa một cách đúng đắn.
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
4
Physics from Mathematics
•
Starting from simple structures of logic &
Starting from simple structures of logic &

set theory,
set theory,
–
Mathematics builds up structures that include
Mathematics builds up structures that include
all the complexity of our physical universe…
all the complexity of our physical universe…
•
Except for a few “loose ends.”
Except for a few “loose ends.”
•
One theory of philosophy:
One theory of philosophy:
–
Perhaps our universe
Perhaps our universe
is
is
nothing other than just a
nothing other than just a
complex mathematical structure!
complex mathematical structure!
•
It’s just one that happens to include us!
It’s just one that happens to include us!
From Max Tegmark, ‘98
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
5
Vậy môn học này dạy về cái gì?

C
C
ấu trúc “rời rạc” là cái gì?
ấu trúc “rời rạc” là cái gì?
•
“
“
Discrete
Discrete
”
”
- r
- r
ời rạc g
ời rạc g
ồm các phần riêng biệt
ồm các phần riêng biệt
. (
. (
Đối
Đối
nghịch với liên tục
nghịch với liên tục
)
)
rời rạc
rời rạc
:liên tục :: kỹ thuật số:tương tự
:liên tục :: kỹ thuật số:tương tự
•

“
“
Cấu trúc”
Cấu trúc”
– C
– C
ác đối tượng được xây dựng từ các
ác đối tượng được xây dựng từ các
đối tượng đơn giản hơn nhờ các mẫu xác định
đối tượng đơn giản hơn nhờ các mẫu xác định
.
.
•
“
“
Toán rời rạc”
Toán rời rạc”
– nghi
– nghi
ên cứu về các cấu trúc và đối
ên cứu về các cấu trúc và đối
tượng toán học rời rạc
tượng toán học rời rạc
.
.
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
6
Chúng ta sẽ học
•

M
M
ệnh đề -
ệnh đề -
Propositions
Propositions
•
V
V
ị t
ị t
ừ -
ừ -
Predicates
Predicates
•
Ch
Ch
ứng minh -
ứng minh -
Proofs
Proofs
•
T
T
ập hợp -
ập hợp -
Sets
Sets
•

H
H
àm số -
àm số -
Functions
Functions
•
T
T
ốc độ tăng -
ốc độ tăng -
Orders of
Orders of
Growth
Growth
•
Thu
Thu
ật toán -
ật toán -
Algorithms
Algorithms
•
S
S
ố nguyên -
ố nguyên -
Integers
Integers
•

L
L
ấy tổng -
ấy tổng -
Summations
Summations
•
D
D
ãy -
ãy -
Sequences
Sequences
•
X
X
âu -
âu -
Strings
Strings
•
Ho
Ho
án vị -
án vị -
Permutations
Permutations


•

T
T
ổ hợp -
ổ hợp -
Combinations
Combinations
•
Quan h
Quan h
ệ -
ệ -
Relations
Relations
•
Đồ thị -
Đồ thị -
Graphs
Graphs
•
C
C
ây -
ây -
Trees
Trees
•
M
M
ạch logic -
ạch logic -

Logic
Logic
Circuits
Circuits
•
Ôtômat -
Ôtômat -
Automata
Automata
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
7
Mối quan hệ giữa các cấu trúc
•
“
“
→
→
”
”
:
:
≝
≝
“Can be defined in terms of”
“Can be defined in terms of”
Sets
Sequences
n-tuples
Matrices

Natural
numbers
Integers
Relations
Functions
Graphs
Real numbers
Complex
numbers
Strings
Propositions
Proofs
Trees
Operators
Programs
Infinite
ordinals
Vectors
Groups
Bits
Not all possibilities
are shown here.
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
8
Một số ký hiệu mà ta sẽ học


 
)(deg][)|(),,;(

][)(
) (mod modlcmgcd,/|max min,,,
)(:
||
)}(|{,,},,{)(
)(
1
][T
0
1
1
1
1
vaRFEpnnnC
r
n
aaa
mbabaO
aaxgfxfBAf
AABASTS
SxxPxaaxPx
xPxqpqpqpqpp
Rm
n
ijbk
n
i
i
S
n

i
i
n
+∗
=
∈
−
=
∆








⋅
≡ΘΩ
→
∪⊆∅
∉∴∃
∀⇔→⊕∧¬
∏
∑






ABAA
RNZ
Ο
α
α
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
9
Tại sao phải học Toán rời rạc?
•
Cơ sở của mọi quá trình xử lý thông tin kỹ thuật
Cơ sở của mọi quá trình xử lý thông tin kỹ thuật
số là:
số là:
Thao tác rời rạc của các cấu trúc rời rạc
Thao tác rời rạc của các cấu trúc rời rạc
trong bộ nhớ
trong bộ nhớ
.
.
•
L
L
à ngôn ngữ cơ bản và khái niệm cơ sở cho mọi
à ngôn ngữ cơ bản và khái niệm cơ sở cho mọi
thức khác của Khoa học máy tính
thức khác của Khoa học máy tính
.
.
•

C
C
ác khái niệm toán rời rạc được dùng rộng rãi
ác khái niệm toán rời rạc được dùng rộng rãi
trong Toán học, Khoa học, Công nghệ, Kinh tế,
trong Toán học, Khoa học, Công nghệ, Kinh tế,
Sinh học,
Sinh học,
…
…
•
L
L
à công cụ có ích nói chung cho mọi suy nghĩ hợp
à công cụ có ích nói chung cho mọi suy nghĩ hợp
lý
lý
!
!
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
10
Ứng dụng của Toán rời rạc trong
Khoa học máy tính
•
C
C
ấu trúc dữ liệu và
ấu trúc dữ liệu và
giải thuật

giải thuật
•
Ch
Ch
ương trình dịch
ương trình dịch
.
.
•
M
M
ạng máy tính
ạng máy tính
Computer networks
Computer networks
•
H
H
ệ điều hành
ệ điều hành
Operating systems
Operating systems
•
Ki
Ki
ến trúc máy tính
ến trúc máy tính
Computer architecture
Computer architecture
•

H
H
ệ quản trị cơ sở dữ
ệ quản trị cơ sở dữ
liệu
liệu
•
M
M
ã hoá-
ã hoá-
Cryptography
Cryptography
•
L
L
ập trình chỉnh lỗi
ập trình chỉnh lỗi
Error correction codes
Error correction codes
•
C
C
ơ chế trò chơi, thuật
ơ chế trò chơi, thuật
toán mô phỏng và đồ
toán mô phỏng và đồ
họa
họa
…

…
•
Mọi lĩnh vực
Mọi lĩnh vực
!
!
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
11
Course Outline (as per Rosen)
1.
1.
Logic (
Logic (
§1.1-4
§1.1-4
)
)
2.
2.
Proof methods (
Proof methods (
§1.5)
§1.5)
3.
3.
Set theory (
Set theory (
§1.6-7)
§1.6-7)

4.
4.
Functions (
Functions (
§1.8)
§1.8)
5.
5.
Algorithms (§2.1)
Algorithms (§2.1)
6.
6.
Orders of Growth (§2.2)
Orders of Growth (§2.2)
7.
7.
Complexity (§2.3)
Complexity (§2.3)
8.
8.
Number theory (§2.4-5)
Number theory (§2.4-5)
9.
9.
Number theory apps. (§2.6)
Number theory apps. (§2.6)
10.
10.
Matrices (
Matrices (

§2.7)
§2.7)
11.
11.
Proof strategy (§3.1)
Proof strategy (§3.1)
12.
12.
Sequences (§3.2)
Sequences (§3.2)
13.
13.
Summations (§3.2)
Summations (§3.2)
14.
14.
Countability (§3.2)
Countability (§3.2)
15.
15.
Inductive Proofs (§3.3)
Inductive Proofs (§3.3)
16.
16.
Recursion (§3.4-5)
Recursion (§3.4-5)
17.
17.
Program verification (§3.6)
Program verification (§3.6)

18.
18.
Combinatorics (ch. 4)
Combinatorics (ch. 4)
19.
19.
Probability (ch. 5)
Probability (ch. 5)
20.
20.
Recurrences (§6.1-3)
Recurrences (§6.1-3)
21.
21.
Relations (ch. 7)
Relations (ch. 7)
22.
22.
Graph Theory (chs. 8+9)
Graph Theory (chs. 8+9)
23.
23.
Boolean Algebra (ch. 10)
Boolean Algebra (ch. 10)
24.
24.
Computing Theory (ch.11)
Computing Theory (ch.11)
Instructors: customize topic content & order for your own course
08/14/14 (c)2001-2004, Michae

l P. Frank
12
Một số chủ đề bỏ qua
Do có thể học ở các môn khác:
Do có thể học ở các môn khác:
8. Lý thuyết số
8. Lý thuyết số


(ch. 8)
(ch. 8)
-
-
học trong môn an toàn thông tin
học trong môn an toàn thông tin
.
.
9. Ứng dụng lý thuyết số (ch. 9)
9. Ứng dụng lý thuyết số (ch. 9)
10. Ma tr
10. Ma tr
ận: Đại số tuyến tính
ận: Đại số tuyến tính
13. T
13. T
ính tổng: Giải tích
ính tổng: Giải tích
19 Xác suất: Môn Xác suất & thống kê
19 Xác suất: Môn Xác suất & thống kê

24. Đại số trừu tượng: An toàn thông tin
24. Đại số trừu tượng: An toàn thông tin


- Groups, rings, fields, vector spaces, algebras,
- Groups, rings, fields, vector spaces, algebras,
etc.
etc.
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
13
Mục đích môn học
•
Học xong môn này sinh viên có thể:
Học xong môn này sinh viên có thể:
–
Lập luận các suy luận logic đơn giản (chứng minh).
Lập luận các suy luận logic đơn giản (chứng minh).
–
Kiểm tra tính đúng đắn của các thuật toán đơn giản.
Kiểm tra tính đúng đắn của các thuật toán đơn giản.
–
Tự xây dựng các suy luận và các thuật toán đúng đắn.
Tự xây dựng các suy luận và các thuật toán đúng đắn.
–
Mô tả các định nghĩa và các tính chất của nhiều kiểu
Mô tả các định nghĩa và các tính chất của nhiều kiểu
cấu trúc dữ liệu rời rạc.
cấu trúc dữ liệu rời rạc.

–
Hiểu, biểu diễn và phân tích đúng đắn nhiều kiểu cấu
Hiểu, biểu diễn và phân tích đúng đắn nhiều kiểu cấu
trúc dữ liệu rời rạc sử dụng các khái niệm chuẩn
trúc dữ liệu rời rạc sử dụng các khái niệm chuẩn
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
14
Kế hoạch học tập
•
Tuần 1: Logic
Tuần 1: Logic
•
Tuần 2: Logic (tiếp)
Tuần 2: Logic (tiếp)
•
Tuần 3: Chứng minh
Tuần 3: Chứng minh
•
Tuần 4: Tập hợp
Tuần 4: Tập hợp
•
Tuần 5: Hàm số
Tuần 5: Hàm số
•
Tuần 6: Quan hệ
Tuần 6: Quan hệ
•
Tuần 7: Thuật toán
Tuần 7: Thuật toán

•
Tuần 8: Cấp độ tăng và độ phức tạp thuật toán
Tuần 8: Cấp độ tăng và độ phức tạp thuật toán
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
15
Kế hoạch học (tiếp)
•
Tuần 9: Qui nạp & Đệ qui
Tuần 9: Qui nạp & Đệ qui
•
Tuần 10: Kiểm chứng & Truy hồi
Tuần 10: Kiểm chứng & Truy hồi
•
Tuần 11: Tổ hợp
Tuần 11: Tổ hợp
•
Tuần 12: Đồ thị
Tuần 12: Đồ thị
•
Tuần 13: Đồ thị (tiếp)
Tuần 13: Đồ thị (tiếp)
•
Tuần 14: Đại số Bool
Tuần 14: Đại số Bool
•
Tuần 15: Mô hình & Tổng ôn
Tuần 15: Mô hình & Tổng ôn
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank

16
Kế hoạch bài tập, thực hành, kiểm tra
•
Mỗi tuần có 1 tiết chữa bài tập
Mỗi tuần có 1 tiết chữa bài tập
•
Trong tuần 4 nộp bài cài đặt 1, 2
Trong tuần 4 nộp bài cài đặt 1, 2
•
Trong tuần 7: nộp vở bài tập đợt 1
Trong tuần 7: nộp vở bài tập đợt 1
•
Trong tuần 8: bài kiểm tra giữa kỳ 20%
Trong tuần 8: bài kiểm tra giữa kỳ 20%
•
Trong tuần 9: nộp bài cài đặt 3, 4
Trong tuần 9: nộp bài cài đặt 3, 4
•
Trong tuần 13: nộp vở bài tập đợt 2
Trong tuần 13: nộp vở bài tập đợt 2
•
Trong tuần 14: nghiệm thu bài cài đặt 1-6. 20%
Trong tuần 14: nghiệm thu bài cài đặt 1-6. 20%
•
Thi viết: phần đầu trắc nghiệm, phần sau tự luận
Thi viết: phần đầu trắc nghiệm, phần sau tự luận
60% = 20% + 40%
60% = 20% + 40%
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank

17
A Proof Example
•
Theorem:
Theorem:


(Pythagorean Theorem
(Pythagorean Theorem
of Euclidean geometry)
of Euclidean geometry)


For
For
any
any


real numbers
real numbers
a
a
,
,
b
b
, and
, and
c

c
, if
, if
a
a
and
and
b
b
are the
are the
base-length and height of a right triangle,
base-length and height of a right triangle,
and
and
c
c
is the length of its hypo-
is the length of its hypo-
tenuse, then
tenuse, then
a
a
2
2
+
+
b
b
2

2
=
=
c
c
2
2
.
.
•
Proof:
Proof:
See next slide.
See next slide.
a
b
Pythagoras of Samos
(ca. 569-475 B.C.)
22
bac
+=
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
18
Proof of Pythagorean Theorem
•
Proof.
Proof.
Consider the below diagram:
Consider the below diagram:

–
Exterior square area =
Exterior square area =
c
c
2
2
, the sum of the following regions:
, the sum of the following regions:
•
The area of the 4 triangles = 4(
The area of the 4 triangles = 4(
½
½
ab
ab
) = 2
) = 2
ab
ab
•
The area of the small interior square = (
The area of the small interior square = (
b
b
−
−
a
a
)

)
2
2
=
=
b
b
2
2
−
−
2
2
ab
ab
+
+
a
a
2
2
.
.
–
Thus,
Thus,
c
c
2
2

= 2
= 2
ab +
ab +
(
(
b
b
2
2
−
−
2
2
ab
ab
+
+
a
a
2
2
) =
) =
a
a
2
2
+
+

b
b
2
2
.
.
■
■
c
c
c
c
a
a
a
a
b
b
b
b
(b−a)
2
Note: It is easy to show that the exterior and
interior quadrilaterals in this construction are
indeed squares, and that the side length of
the internal square is indeed b−a (where b is
defined as the length of the longer of the two
perpendicular sides of the triangle). These
steps would also need to be included in a
more complete proof.

½ab
½ab
½ab
½ab
Areas in this diagram are in
boldface; lengths are in a
normal font weight.
08/14/14 (c)2001-2004, Michae
l P. Frank
19
Finally: Have Fun!