Một số chuyên đề ôn toán thi Đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.51 MB, 40 trang )
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) Góc giữa hai véc tơ
Giả sử ta có
( )
( )
; ;
=
→ = =
=
AB u
u v AB AC BAC
AC v
, v
ớ
i
0 180 .
≤ ≤
o o
BAC
2) Tích vô hướng của hai véc tơ
Gi
ả
s
ử
ta có
( )
. . . .cos .
=
→ = =
=
AB u
u v AB AC AB AC AB AC
AC v
Nhận xét:
+) Khi
0
. 0
0
=
→ =
=
u
u v
v
+) Khi
(
)
0
; 0
↑↑ → =
u v u v
+) Khi
(
)
0
; 180
↑↓ → =
u v u v
+) Khi
. 0
⊥ ←→ =
u v u v
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a) Tính góc giữa hai véc tơ
(
)
; .
AB BC
b) Gọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB. Tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ
(
)
; .
CI AC
Hướng dẫn giải:
a) S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ
ta
đượ
c
( )
( )
2
. . .
cos ; , 1 .
.
.
= = =
AB BC AB BC AB BC
AB BC
AB BC a
AB BC
Xét
(
)
. . . .
= + = +
AB BC AB BA AC AB BA AB AC
Mà
( )
( )
0 2
2
0
. . .cos . . .cos180
. . .cos . . .cos60
2
= = = −
= = =
AB BA AB BA AB BA a a a
a
AB AC AB AC AB AC a a
2 2
2
. .
2 2
→ = − + = −
a a
AB BC a
( )
( )
( )
2
0
2
1
2
1 cos ; ; 120 .
2
−
⇔ = = − → =
a
AB BC AB BC
a
V
ậ
y
(
)
; 120 .
=
o
AB BC
b) Ta có
( )
. .
cos ;
.
.
= =
CI AC CI AC
CI AC
CI AC
CI AC
T
ứ
di
ệ
n ABCD
đề
u c
ạ
nh a, CI là trung tuy
ế
n c
ủ
a tam giác
đề
u ABC nên
( )
( )
2
3 .
cos ; , 2 .
2
3
2
= → =
a CI AC
CI CI AC
a
Ta có
(
)
. . . .= + = +
CI AC CI AI IC CI AI CI IC
Do
∆
ABC
đề
u nên
. 0.
⊥ ⇔ =
CI AI CI AI
01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P1
Th
ầy Đặng Việt H
ùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Đồng thời,
( )
2 2 2
0
3 3 3 3 3
. . .cos ; . .cos180 . 0 .
2 2 4 4 4
= = = − → = − = −
a a a a a
CI IC CI IC CI IC CI AC
Thay vào (2) ta
đượ
c
( )
( )
( )
2
0
2
3
3
4
2 cos ; ; 150 .
2
3
2
−
⇔ = = − → =
a
CI AC CI AC
a
V
ậ
y
(
)
0
; 150 .
=
CI AC
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của
AB.
a) Biểu diễn các véc tơ
SM
và
BC
theo các véc tơ
; ; .
SA SB SC
b) Tính góc
(
)
; .
SM BC
Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
được
( )
1
2
2
= +
+ =
←→
= +
= −
SM SA SB
SA SB SM
BC BS SC
BC SC SB
b)
( )
( )
. .
cos ; , 1 .
.
.
= =
SM BC SM BC
SM BC
SM BC
SM BC
Mà SA, SB, SC
đ
ôi m
ộ
t vuông góc nên
. 0
. 0
. 0
=
=
=
SA SB
SA SC
SB SC
Tam giác SAB và SBC vuông t
ạ
i S nên theo
đị
nh lý Pitago ta
đượ
c
2
2
1 2
2 2
=
= = →
= =
BC a
AB BC a
a
SM AB
Theo câu a,
( ) ( )
2
2
0
0 0
1 1 1
. . . . . .
2 2 2 2
= + − = − + − = − = −
a
SM BC SA SB SC SB SA SC SA SB SB SC SB SB SB
Thay vào (1) ta
đượ
c
( )
( )
2
0
. 1
2
cos ; ; 120 .
. 2
2
. 2
2
−
= = = − → =
a
SM BC
SM BC SM BC
SM BC
a
a
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1) Khái ni
ệ
m véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
M
ộ
t véc t
ơ
u 0
≠
mà có ph
ươ
ng song song ho
ặ
c trùng v
ớ
i d
đượ
c g
ọ
i là véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d.
2) Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
Khái ni
ệ
m:
Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a và b là góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a
′
; b
′
l
ầ
n l
ượ
t song song v
ớ
i a; b. Kí hi
ệ
u
( )
a;b .
T
ừ
đị
nh ngh
ĩ
a ta có s
ơ
đồ
( )
( )
a//a
a;b a ;b
b//b
′
′ ′
→ =
′
Nh
ậ
n xét:
+ Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là
u; v
và
(
)
u; v
φ.
=
Khi đó,
( )
( )
o o
o o o
a; b φ ; 0 φ 90
a; b 180
φ ; 90 φ 180
= ≤ ≤
= − < ≤
+ Nếu a // b hoặc a ≡ b thì
( )
o
a; b 0 .
=
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1
(sử dụng định nghĩa)
Phương án 2
Tạo ra các đường
( )
( )
a // a
a,b a ,b
b // b
′
′ ′
→ =
′
- Lấy một điểm O bất kì thuộc a
- Qua O, dựng đường ∆ // b
( )
( )
a,b a,
→ = ∆
Chú ý:
Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:
N
ế
u góc thu
ộ
c tam giác vuông thì dùng các công th
ứ
c tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.
N
ế
u góc thu
ộ
c tam giác th
ườ
ng thì s
ử
d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác
ABC
:
2 2 2
2 2 2
2 cos cos .
2
+ −
= + − → =
b c a
a b c bc A A
bc
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác
vuông tại A. Biết
= = =
3; ; 3 .
SA a AB a AD a
Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SD và BC.
b) SB và CD.
c) SC và BD.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Tính góc gi
ữ
a SD và BC
Để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD và BC ta s
ử
d
ụ
ng
ph
ươ
ng án 2, tìm
đườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i m
ộ
t trong hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD, BC và song song v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng còn l
ạ
i.
Ta d
ễ
nh
ậ
n th
ấ
y AD // BC.
Khi
đ
ó
( )
( )
o
SDA
SD;BC SD;AD
180 SDA
= =
−
Xét
∆
SAD:
o
SA 3
tanSDA SDA 30 .
AD 3
= = → =
V
ậ
y
( )
o
SD;BC 30 .
=
b) Tính góc gi
ữ
a SB và CD
T
ươ
ng t
ự
,
( )
( )
o
SBA
CD//AB SB;CD SB;AB
180 SBA
→ = =
−
Xét
∆
SAB:
o
SA
tanSBA 3 SDA 60 .
AB
= = → =
Vậy
( )
o
SB;CD 60 .
=
c) Tính góc gi
ữ
a SC và BD
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA.
Trong ∆SAC có
( )
( )
o
IOB
OI//SC SC;BD OI;BD
180 IOB
→ = =
−
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI:
2
2 2 2
a 3 a 7
IB IA AB a
2 2
= + = + =
ABCD là hình chữ nhật nên
2 2 2 2
a 10
BD AB AD a 9a a 10 OB OA
2
= + = + = → = =
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO:
2 2
2 2
a 3 a 10 a 13
IO IA AO
2 2 2
= + = + =
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được:
2 2 2
2 2 2
13a 10a 7a
OI OB IB 8
4 4 4
cosIOB
2.OI.OB
a 13 a 10 130
2. .
2 2
+ −
+ −
= = =
( )
8
IOB arccos SC;BD .
130
→ = =
V
ậ
y
( )
8
SC;BD arccos .
130
=
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết
= = =
2 , 3.
AB CD a MN a Tính góc gi
ữ
a
hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
Do AB và CD là các c
ạ
nh c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n nên chúng chéo nhau,
để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD ta t
ạ
o các
đườ
ng th
ẳ
ng t
ươ
ng
ứ
ng song song v
ớ
i AB, CD và chúng c
ắ
t
nhau.
G
ọ
i P là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC, khi
đ
ó MP // AB, NP // CD
( )
( )
o
MPN
AB,CD MP,NP
180 MPN
→ = =
−
Do MP, NP là các
đườ
ng trung bình nên ta có MP = NP = a.
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆MPN ta
đượ
c
( )
2 2 2 2 2
o o
MP NP MN 2a 3a 1
cosMPN
2MP.NP 2.a.a 2
MPN 120 MP,NP 60
+ − −
= = = −
→ = ⇔ =
V
ậ
y
( )
o
AB,CD 60 .
=
Nhận xét:
Ngoài vi
ệ
c kh
ở
i t
ạ
o P nh
ư
trên ta c
ũ
ng có th
ể
l
ấ
y
đ
i
ể
m P là
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BD, cách gi
ả
i khi
đ
ó c
ũ
ng t
ươ
ng t
ự
.
Ví d
ụ
3. Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình thang vuông t
ạ
i A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc v
ớ
i
AB và AD, =
2 3
3
a
SA . Tính góc c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
a) DC và SB.
b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
a)
( )
( )
Do DC// AB DC,SB AB,SB
α
→ = =
Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó
o
2a 3
SA 3
3
tan
α α 30
AB 2a 3
= = = → =
Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30
o
.
b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là
hình thoi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a
DI a 2.
→ =
mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI.
Khi đó,
( )
( )
SD,BC SD,DI
β
= =
.
Tam giác SAI vuông tại A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SI SA AI a
3 3
= + = + =
Tam giác SAD vuông t
ạ
i A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SD SA AD a
3 3
= + = + =
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác SDI ta
đượ
c
2 2 2 2
SD DI SI 2a 3
cosSDI
2SD.DI
a 21 42
2. .a 2
3
+ −
= = =
Do
cosSDI 0
>
nên góc
SDI
là góc nh
ọ
n
3
β
SDI arccos .
42
→ = =
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u
ABCD
c
ạ
nh
a
, g
ọ
i
I
là trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh
AD
. Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
AB
và
CI
.
Đ/s:
( )
3
; arccos .
6
=
AB CI
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD. G
ọ
i M, N, P l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, AD và AC. Bi
ế
t
2 , 2 2, 5.
= = =AB a CD a MN a
Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và
2.
=BC a Tính góc giữa
(
)
,
SC AB
, từ đó suy ra góc
giữa SC và AB.
III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu
( )
; 90 .
o
a b a b
= ←→ ⊥
Chú ý:
Các ph
ươ
ng pháp ch
ứ
ng minh a
⊥
b:
Chứng minh
( )
o
a; b 90
=
Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau,
u.v 0.
=
Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD trong đó
= = = = = =
o o o
AB AC AD a, BAC 60 , BAD 60 , CAD 90 .
G
ọ
i I và J l
ầ
n l
ượ
t
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và CD.
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng IJ vuông góc v
ớ
i c
ả
hai
đườ
ng AB và CD.
b) Tính
độ
dài IJ.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều,
∆ACD vuông cân tại A.
Từ đó
BC BD a,CD a 2
= = = →∆BCD vuông cân t
ạ
i B.
Chứng minh IJ vuông góc với AB
Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân t
ạ
i A, B nên
1
AJ CD
2
AJ BJ IJ AB.
1
BJ CD
2
=
→ = ⇔ ⊥
=
Chứng minh IJ vuông góc với CD
Do các ∆ACD, ∆BCD
đề
u nên CI = DI → IJ ⊥CD.
b) Áp d
ụ
ng
đị
nh lý Pitago cho ∆AIJ vuông t
ạ
i I ta
đượ
c
2
2
2 2
a 2 a a
IJ AJ AI
2 4 2
= − = − =
V
ậ
y IJ = a/2.
Ví dụ 2.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và
= =
ASB BSC CSA.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SA ⊥
⊥⊥
⊥ BC, SB ⊥
⊥⊥
⊥ AC, SC ⊥
⊥⊥
⊥ AB.
Hướng dẫn giải:
Ch
ứ
ng minh: SA ⊥ BC.
Xét
(
)
SA.BC SA. SC SB SA.SC SA.SB
= − = −
Mà
( )
( )
SA.SC SA.SC.cos SA;SC
SA.SB SA.SB.cos SA;SB
SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB 0 SA.BC 0 SA BC
SA SB SC
ASB BSC CSA
=
=
→ = ⇔ − = ←→ = ⇔ ⊥
= =
= =
Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB
Ví d
ụ
3. Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u
ABCD
, c
ạ
nh b
ằ
ng
a
. G
ọ
i
O
là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
∆
∆∆
∆BCD
.
a) Ch
ứ
ng minh
AO
vuông góc v
ớ
i
CD
.
b) G
ọ
i
M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
CD
. Tính góc gi
ữ
a
BC
và
AM
.
AC
và
BM
.
Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng
Gọi M là trung điểm của CD. Ta có
(
)
AO.CD AM MO .CD AM.CD MO.CD
= + = +
Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay
O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó
AM CD AM.CD 0
AO.CD 0 AO CD.
MO CD
MO.CD 0
⊥ =
⇔ → = ⇔ ⊥
⊥
=
b)
Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM
Xác định góc giữa BC và AM:
Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC.
Từ đó
( )
( )
AMI
BC;AM MI;AM
180 AMI
= =
−
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆AMI ta
đượ
c
( )
2 2 2
AM MI AI
cosAMI , 1 .
2.AM.MI
+ −
=
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên
a 3
AI AM .
2
= =
MI là
đườ
ng trung bình nên MI = a/2.
T
ừ
đ
ó
( )
( )
2 2 2
a 3a 3a
1 1 1
4 4 4
1 cosAMI AMI arccos BC;AM arccos .
a a 3 2 3 2 3 2 3
2. .
2 2
+ −
⇔ = = → = ⇔ =
Xác định góc giữa BC và AM:
G
ọ
i J là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AD → MJ // AC.
Khi
đ
ó
( )
( )
BMJ
AC;BM MJ;BM
180 BMJ
= =
−
Các tam giác ABD, BCD là các tam giác
đề
u c
ạ
nh a, nên các trung tuy
ế
n t
ươ
ng
ứ
ng
a 3
BJ BM
2
= =
Do
đ
ó,
1
AIM BJM AMI BMJ arccos .
2 3
∆ = ∆ → = =
V
ậ
y
( )
1
AC;BM arccos .
2 3
=
Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A
′
′′
′
B
′
′′
′
C
′
′′
′
D
′
′′
′
cạnh a. Đặt
′
= = =
AB a,AD b,AA c.
a) Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:
( )
( )
( )
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .
b) G
ọ
i O là tâm c
ủ
a hình vuông ABCD và I là m
ộ
t
đ
i
ể
m sao cho
′ ′
= + + + +
OI OA OA OB OB
′ ′
+ + + +
OC OC OD OD .
Tính khoảng cách từ O đến I theo a.
c) Phân tích hai véc tơ
′
AC , BD
theo ba véc tơ
a, b, c.
Từ đó, chứng tỏ rằng AC′
′′
′ và BD vuông góc với nhau.
d) Trên cạnh DC và BB′
′′
′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a).
Chứng minh rằng AC′
′′
′ vuông góc với MN.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Để
làm t
ố
t các bài toán liên quan
đế
n hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta c
ầ
n nh
ớ
m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t c
ơ
b
ả
n c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng:
T
ấ
t c
ả
các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ
t c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng
đề
u b
ằ
ng nhau và b
ằ
ng
a 2
(n
ế
u hình l
ậ
p ph
ươ
ng c
ạ
nh a).
Các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng t
ạ
o b
ở
i các kích th
ướ
c c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng luôn vuông góc v
ớ
i nhau (dài, r
ộ
ng, cao).
a) Tính góc giữa:
( )
( )
( )
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .
Tính
( )
AB,B C
′ ′
:
( )
( )
o
Do B C //BC AB,B C AB,BC 90 .
′ ′ ′ ′
→ = =
Tính
( )
AC,B C
′ ′
:
( )
( )
o
ACB
Do B C //BC AC,B C AC,BC
180 ACB
′ ′ ′ ′
→ = =
−
ABCD là hình vuông nên
∆
ABC là tam giác vuông cân t
ạ
i B
( )
o o
ACB 45 AC,B C 45 .
′ ′
→ = ⇔ =
Tính
( )
A C ,B C
′ ′ ′
:
( )
( )
o
ACB
Do A C //AC A C ,B C AC,B C
180 ACB
′
′ ′ ′ ′ ′ ′
→ = =
′
−
Xét trong tam giác ACB
′
có AC = B
′
C = AB
′
(do
đề
u là các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ
t hình vuông c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng).
Do
đ
ó
∆
ACB
′
đề
u
( )
o o
ACB 60 A C ,B C 60 .
′ ′ ′ ′
→ = ⇔ =
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
b) Tính độ dài OI theo a.
Với O là tâm của hình vuông ABCD thì
OA OC 0
OA OC OB OD 0
OB OD 0
+ =
→ + + + =
+ =
Khi
đ
ó
OI OA OB OC OD
′ ′ ′ ′
= + + +
G
ọ
i O
′
là tâm c
ủ
a
đ
áy A
′
B
′
C
′
D
′
, theo quy t
ắ
c trung tuy
ế
n ta có
OA OC 2OO
OI 4OO
OB OD 2OO
′ ′ ′
+ =
′
→ =
′ ′ ′
+ =
Kho
ả
ng cách t
ừ
O
đế
n I chính là
độ
dài véc t
ơ
OI, t
ừ
đ
ó ta
đượ
c OI = 4OO
′
= 4a.
c) Phân tích hai véc tơ
′
AC , BD
theo ba véc t
ơ
a, b, c.
Theo tính ch
ấ
t c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta d
ễ
dàng có
a.b 0
a.c 0
b.c 0
=
=
=
Phân tích:
AC AB BC CC a b c
BD BA AD b a
′ ′
= + + = + +
= + = −
Ch
ứ
ng minh AC
′
vuông góc v
ớ
i BD.
Xét
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
AC .BD a b c . b a a.b b c.b a a.b c.a b a AD AB 0 AC.BD AC B
D.
′ ′ ′
= + + − = + + − − − = − = − = ⇔ ⇔ ⊥
d) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AC
′
′′
′
vuông góc v
ớ
i MN.
Ta có phân tích:
MN MC CB BN
AC AB BC CC
= + +
′ ′
= + +
( ) ( )
0 0 0 0
MN.AC MC CB BN . AB BC CC MC.AB MC.BC MC.CC CB.AB CB.BC CB.CC
BN.AB
′ ′ ′ ′
→ = + + + + = + + + + + +
+
0 0
BN.BC BN.CC MC.AB CB.BC BN.CC
′ ′
+ + = + +
Mà
( )
( )
o
o 2 2
o
MC.AB MC.AB.cos0 a x a
CB.BC CB.BC.cos180 a MN.AC a x a a ax 0 MN AC.
BN.CC BN.CC .cos0 ax
= = −
′ ′
= = − → = − − + = ⇔ ⊥
′ ′
= =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp
S.ABCD
có
ABCD
là hình ch
ữ
nh
ậ
t v
ớ
i
; 3
AB a AD a
= = , SA = 2a và vuông góc v
ớ
i
đ
áy. Tính
góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SB và CD b) SD và BC
c) SB và AC d) SC và BD
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh 2a, hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng m
ặ
t
đ
áy là
trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a AB, bi
ế
t
3.
SH a= G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SD. Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:
a) SC và AB b) SD và BC
c) CI và AB d) BD và CI
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thang vuông t
ạ
i A, B v
ớ
i AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình chi
ế
u
vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là H thu
ộ
c AB v
ớ
i AH = 2HB, bi
ế
t SH = 2a. Tính góc gi
ữ
a
a) SB và CD
b) SB và AC
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống (ABCD) là điểm
H thuộc cạnh AB với
1
.
2
AH HB
= Biết
2 ; 3; 2.
AB a AD a SH a= = = Tính góc gi
ữ
a
a)
(SD; BC)
b)
(SB; CD)
c)
(SA; HC)
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Ví dụ 1.1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết SA vuông góc với (ABCD), AB =
BC = a; AD = 2a,
3.
=SA a
Tính góc giữa
a) (SB; CD)
b) (SC; AB)
c) (SD; BC)
d) (SB; CK), với K là điểm thuộc đoạn AB sao cho BK = 2KA.
Ví dụ 2.1
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC tại B, AB = a; BC = 2a. I là trung điểm của BC, hình
chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AI. Biết
2
2.
SAI
S a=
Tính góc giữa
a) (SA; BC)
b) (AI; SB)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA = a; AB =
a;
2.
BC a=
Gọi I là trung điểm của BC.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (AI; SC)
b) Gọi J là trung điểm của SB, N là điểm trên đoạn AB sao cho AN = 2NB. Tính góc giữa hai đường AC và
JN.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
; 3.
AB a AD a= = Hình chiếu vuông góc
của đỉnh S xuống (ABCD) là trung điểm H của OD, biết SH = 2a. Tính góc giữa
a) (SB; CD)
b) (AC; SD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
3
a
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S
xuống (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với
1
; 2.
4
AH AB SH a= = Tính góc gi
ữ
a
a)
(SD; BC)
b)
(SB; AC)
c)
(SA; BD)
d)
(SC; BD)
01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P2
Th
ầy Đặng Việt H
ùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của BC. Hình chiếu
vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AI với
2 0
HI HA
+ =
và
3.
SH a=
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (SA; BC)
b) Tính góc giữa hai đường thẳng (AB; SI)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC với
1
; 2 .
4
AH AC SH a
= = Tính góc gi
ữ
a
a)
(SA; CD)
b)
(SC; BD)
c)
(SB; AD)
d)
(SA; BD)
Bài 6.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh 2a, hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đỉ
nh S xu
ố
ng
(ABCD) là trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a AB. Bi
ế
t
3.
SH a= Tính góc gi
ữ
a
a)
(SA; BC)
b)
(SB; CD)
c)
(SA; CD)
d)
(SB; MN), v
ớ
i M và N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC; CD.
e)
(SC; MN), v
ớ
i M, N nh
ư
trên.
Bài 7.
Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác
đề
u c
ạ
nh a. Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng (ABC)
là
đ
i
ể
m H thu
ộ
c AB sao cho
1
.
3
AH AB
= Bi
ế
t di
ệ
n tích tam giác SAB b
ằ
ng
2
3
.
2
a
Tính góc gi
ữ
a
a)
(SA; BC)
b)
(SB; AC)
Bài 8.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thang vuông t
ạ
i A và B. Bi
ế
t AB = BC = a; AD = 2a.
Hình chi
ế
u c
ủ
a S xu
ố
ng (ABCD) là
đ
i
ể
m H thu
ộ
c AC sao cho CH = 3AH;
3.
SH a
=
Tính góc gi
ữ
a
a)
(SC; AB)
b)
(SA; BD)
Đ
/s:
( ) ( )
66 10
) cos ; ) cos ;
22 50
a SC AB b SA BD= =
Bài 9.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình ch
ữ
nh
ậ
t, AB = a; AD = 2a. Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng
m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là
đ
i
ể
m H thu
ộ
c AB sao cho AB = 3AH. Bi
ế
t
2
.
SAB
S a
= Tính góc giữa
a) (SA; BD)
b) (SC; BM), với M là trung điểm của AD.
Đ/s:
( )
( )
0
38
) ; 86 ) cos ;
19
a SA BD b SC BM≈ =
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỀM TỚI MỘT MẶT PHẲNG
Dạng 1. Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) chứa đường cao
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
3
2 ; ; 3 .
2
= = =
a
AB a BC AD a
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là trung
đ
i
ể
m H c
ủ
a BD.
Bi
ế
t góc gi
ữ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) b
ằ
ng 60
0
. Tính kho
ả
ng cách
a)
t
ừ
C
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBD)
b)
t
ừ
B
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAH)
Ví dụ 2.
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thoi v
ớ
i
2 ; 2 2.
= =AC a BD a Gọi H là trọng tâm
tam giác ABD, biêt rằng các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và góc
giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
. Tính khoảng cách
a) từ C đến mặt phẳng (SHD)
b) từ G đến mặt phẳng (SHC), với G là trọng tâm tam giác SCD.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. M là trung điểm của CD, hình chiếu vuông
góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của AM. Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 60
0
. Tính khoảng cách
a) từ B đến (SAM).
b) từ C đén (SAH)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với
3; .
= =
AB a AC a
Gọi I là điểm trên BC
sao cho
1
2
=
BI IC
và H là trung điểm của AI. Biết rằng
( )
⊥
SH ABC
và góc giữa mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng 60
0
. Tính khoảng cách
a) từ B đến (SHC).
b) từ C đến (SAI)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a. Hình chiếu vuông góc của
S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AB sao cho
2
HB HA
=
. Biế
t góc gi
ữ
a SC và (ABCD) b
ằ
ng 45
0
. Tính
kho
ả
ng cách
a)
t
ừ
D
đế
n (SHC).
b)
t
ừ
trung
đ
i
ể
m M c
ủ
a SA
đế
n (SHD)
H
ướ
ng d
ẫ
n: (Các em t
ự
v
ẽ
hình nhé)
+) Ta d
ễ
dàng tính
đượ
c
( )
0
97 97
; ; 45
3 3
a a
HC SC ABCD SCH SH HC= = = ⇒ = =
06. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH – P1
Th
ầy Đặng Việt H
ùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
+) Kẻ
(
)
(
)
1 1 1
;
DD HC DD SHC DD d D SHC
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
Sử dụng tính toán qua công cụ diện tích ta dễ dàng có
( ) ( )
1 1
2 .3 18 18
2 . . ; . ;
93 97 97
3
HDC
a a a a
S DD HC DC d H DC D D d D SHC
a
= = ⇒ = = ⇒ =
b) Do M là trung điểm của SA nên
( ) ( )
1
; ;
2
d M SHD d A SHD
=
+) K
ẻ
(
)
(
)
;
AK HD AK SHD AK d A SHD
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
, mà
2
.3
. 6
3
85 85
3
a
a
AH AD a
AK
HD
a
= = =
T
ư
đ
ó suy ra
( )
3
; .
85
a
d M SHD
=
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỀM TỚI MỘT MẶT PHẲNG
Dạng 2. Khoảng cách từ H tới mặt phẳng (P), với H là chân đường cao
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tâm O, cạnh
2.
a
Biết SA = 2a và SA ⊥
(ABCD). Tính khoảng cách
a) từ A đến (SBC).
b) từ A đến (SCD).
c) từ A đến (SBD).
d) Gọi M là trung điểm của BC, tính khoảng cách từ A đến (SCM); từ A đến (SDM).
e) Gọi I là trung điểm của SB, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DMI).
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
2 ; 3 .
= = =
AB BC a AD a
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AC. Biết góc giữa mặt phẳng (SBC)
và mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
. Tính khoảng cách
a) từ H đến mặt phẳng (SAB)
b) từ H đến mặt phẳng (SCD)
c) từ H đến mặt phẳng (SBD)
Ví dụ 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC với
0
; 2 ; 60
= = =AB a AC a BAC
. Gọi I là trung điểm
của BC, H là trung điểm của AI, tam giác SAI cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Biết
góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng α với
3
cos
α .
19
=
Tính khoảng cách
a) từ H đến (SBC).
b) từ H đến (ABJ), với J là trung điểm của SC.
Hướng dẫn:
Tính được
2
;
5
=
H K
d d
v
ớ
i K là trung
đ
i
ể
m HC.
Ta c
ũ
ng tính
đượ
c
4
; ,
3
= =
a
CH a CL v
ớ
i L là giao
đ
i
ể
m kéo dài c
ủ
a HK và AB.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Cho hình chóp tam giác
đề
u S.ABC có
đ
áy là tam giác
đề
u c
ạ
nh 2a, c
ạ
nh bên b
ằ
ng 3a. G
ọ
i O là tâm
đ
áy. Tính kho
ả
ng cách
a)
t
ừ
O
đế
n (SAB).
b)
G
ọ
i M, N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB, BC. Tính kho
ả
ng cách t
ừ
O
đế
n (SMN).
06. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH – P2
Th
ầy Đặng Việt H
ùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
2 ; 3.
= =AB a AD a Biết tam giác SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
a) từ A đến (SBC).
b) từ A đến (SCD).
c) từ A đến (SBD).
d) Gọi M là trung điểm của AB, tính khoảng cách từ A đến (SCM); từ A đến (SDM).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB =
b. Tính khoảng cách
a) từ S đến (ABCD).
b) từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB.
c) từ D đến (SHC).
d) từ AD đến (SBC).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a;
2
=
AD a .
Gọi M là trung điểm của AB.
Hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với đáy. Biết
6
=
SH a ,
với H là giao điểm của AC và
DM. Tính khoảng cách từ H đến (SAD).
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Xét các hàm số
( )
=
y f x
có đồ thị là (C), tập xác định D
1
và hàm số
( )
=
y g x
có đồ thị là (C’), tập xác định
là D
2
. Khi đó số nghiệm của phương trình
( ) ( )
=
f x g x
với
(
)
1 2
∈ ∩
x D D
chính là số giao điểm của hai đồ
thị đã cho.
Phương trình
( ) ( )
=
f x g x
hay
( ) ( ) 0 ( ) 0
− = ⇔ =
f x g x h x được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của
hai đồ thị hàm số.
Ví dụ 1: [ĐVH].
Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị cho dưới đây :
a)
( )
3
3 2
2
= − −
= −
y x x
y m x
b)
2 1
2
2
+
=
+
= +
x
y
x
y x m
c)
( )
4 2
2
1
1 2
= + +
= − +
y x x
y m x m
Hướng dẫn giải:
a)
( )
3
3 2
2
= − −
= −
y x x
y m x
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m:
( ) ( )
(
)
( ) ( )
3 2
3 2 2 2 2 1 2 , 1
− − = − ⇔ − + + = −x x m x x x x m x
( ) ( ) ( )
2
2
2
1 2 1 0, 2
=
⇔
+ = ⇔ = + + − =
x
x m h x x x m
Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1).
Do (1) là phương trình bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 3.
Hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm khi (1) chỉ có một nghiệm.
Điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép x = 2.
Từ đó ta có điều kiện tương ứng
( )
0
1 1 0 0
0
0.
0
2
1 2
2
′
∆ <
− − < ⇔ <
′
∆ =
⇔ ⇔ <
=
→
= − =
− =
o
m m
m
m
vn
b
x
a
Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm khi (1) có hai nghiệm phân biệt.
Điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép khác x = 2, hoặc có hai nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là x = 2.
Ta có điều kiện
( )
0
0
2
2
0
0
9
2 0
9
′
∆ =
→ =
= − ≠
′
∆ >
>
⇔ → =
=
=
m
b
x
a
m
m
h
m
Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i 3
đ
i
ể
m khi (1) có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi (2) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và
đề
u khác 2
( )
0
0
2 0
9
′
∆ >
>
⇔ ⇔
≠
≠
m
h
m
Kết luận:
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi m < 0.
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m khi m = 0 ho
ặ
c m = 9.
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi m > 0 và m
≠
9.
b)
2 1
2
2
+
=
+
= +
x
y
x
y x m
.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x
≠
−
2.
03. LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TƯƠNG GIAO
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Phương trình hoành độ giao điểm:
( ) ( ) ( )
2
2 1
2 2 2 2 1 0 0, 1 .
2
+
= + ⇔ + + + − = ⇔ =
+
x
x m x m x m h x
x
Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm khác −2 của phương trình (1).
Do (1) là phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 2.
Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x =
−
2.
Ta có
( )
2
2
4 4 8 2 1 0
0
6 2 6 6 2 6
0
12 12 0
6 2 6 6 2 6.
6 2 6
2
2
6
2
2
4
+ + − − <
∆ <
− < < +
∆ =
− + =
⇔ ⇔ ⇔ − < < +
= ±
→
+
= − = −
=
− = −
o
m m m
m
m m
m
m
vn
b
m
x
m
a
Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi (1) có nghi
ệ
m kép khác
−
2 ho
ặ
c có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t, trong
đ
ó m
ộ
t nghi
ệ
m
là x =
−
2.
Ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
( )
( )
2
2
12 12 0
6 2 6
0
6 2 6
2
6
2
4
2
2
6 2 6
0
12 12 0
6 2 6
2 0
8 2 2 2 1 0
3 0
− + =
= ±
∆ =
⇔ → = ±
+
≠
− ≠ −
= − ≠ −
⇔
> +
∆ >
− + >
⇔ →
< −
=
− + + − =
=
o
m m
m
m
m
m
b
x
a
m
m m
vn
m
h
m m
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và đều khác
−
2
Ta có điều kiện:
( )
( )
2
6 2 6
0
12 12 0
6 2 6
6 2 6
2 0
8 2 2 2 1 0
6 2 6
3 0
> +
∆ >
− + > > +
⇔ ⇔ →
< −
≠
− + + − ≠
< −
≠
m
m m m
m
h
m m
m
Kết luận:
+ Hai
đồ
th
ị
không c
ắ
t nhau khi
6 2 6 6 2 6.
− < < +m
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi
6 2 6.
= ±m
+ Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi
6 2 6
6 2 6
> +
< −
m
m
c)
( )
4 2
2
1
1 2
= + +
= − +
y x x
y m x m
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m:
(
)
(
)
(
)
4 2 2 4 2
1 1 2 1 2 0 0, 1 .
+ + = − + ⇔ + + − = ⇔ =x x m x m x mx m h x
S
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
là s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1).
Do (1) là ph
ươ
ng trình b
ậ
c b
ố
n nên có t
ố
i
đ
a b
ố
n nghi
ệ
m, khi
đ
ó s
ố
giao
đ
i
ể
m t
ố
i
đ
a c
ủ
a hai
đồ
th
ị
là 4.
Đặ
t
(
)
(
)
(
)
2 2
, 0 1 2 0, 2
= ≥ → = + + − =t x t h t t mt m
Hai
đồ
th
ị
không c
ắ
t nhau khi (1) vô nghi
ệ
m,
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi (2) vô nghi
ệ
m, ho
ặ
c có nghi
ệ
m kép âm, ho
ặ
c có hai
nghi
ệ
m âm phân bi
ệ
t.
+ (2) vô nghi
ệ
m khi
( ) ( )
2
2 2
0 4 1 2 0 8 4 0 4 20 4 2 5 4 2 5
∆ < ⇔ − − < ⇔ + − < ⇔ + < ⇔ − − < < − +m m m m m m
+ (2) có nghi
ệ
m kép âm khi
2
0
8 4 0
4 2 5
4 2 5.
0
0
0
2
2
∆ =
+ − =
= − ±
⇔ ⇔ → = − +
−
−
= <
>
<
m m
m
m
b
m
t
m
a
+ (2) có hai nghi
ệ
m âm phân bi
ệ
t khi
2
1 2
1 2
4 2 5
4 2 5
0 8 4.0
1
0 0 0 4 2 5 .
2
1 2 0 1
0
2
> − +
< − −
∆ > + −
+ < ⇔ − < ⇔ > →− + < <
− >
>
<
m
m
m m
t t m m m
m
t t
m
H
ợ
p ba kh
ả
n
ă
ng l
ạ
i ta
đượ
c
đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
hai
đồ
th
ị
không c
ắ
t nhau là
1
4 2 5 .
2
− − < <
m
Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi (1) có m
ộ
t nghi
ệ
m,
đ
i
ề
u
đ
ó ch
ỉ
x
ả
y ra khi nghi
ệ
m
đ
ó là x = 0.
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Từ đó ta được kiện
1
1 2 0 .
2
− = ⇔ =
m m
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi phương trình (1) có hai nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép dương,
hoặc có hai nghiệm trái dấu.
+ (2) có nghiệm kép dương khi
2
0
8 4 0
4 2 5
4 2 5.
0
0
0
2
2
∆ =
+ − =
= − ±
⇔ ⇔ → = − −
−
−
= >
<
>
m m
m
m
b
m
t
m
a
+ (2) có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u khi
1 2
1
0 1 2 0 .
2
< ⇔ − < ⇔ >
t t m m
H
ợ
p hai kh
ả
n
ă
ng l
ạ
i ta
đượ
c
đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m là
4 2 5
1
2
= − −
>
m
m
Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm khi (1) có ba nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có một nghiệm t = 0 và một nghiệm t > 0.
Điều đó xẩy ra khi
( )
1 2
1
0 0
1 2 0
.
2
0
0
0
=
− =
=
⇔ ⇔ →
− >
+ >
<
o
h
m
m
vn
m
t t
m
V
ậ
y không có giá tr
ị
nào c
ủ
a m
để
hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i 3
đ
i
ể
m.
Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i b
ố
n
đ
i
ể
m khi (1) có b
ố
n nghi
ệ
m,
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi (2) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t, và hai
nghi
ệ
m
đề
u d
ươ
ng.
Đ
i
ề
u
đ
ó x
ẩ
y ra khi
2
1 2
1 2
4 2 5
4 2 5
0 8 4 0
0 0 0 4 2 5.
1 2 0 1
0
2
> − +
> − −
∆ > + − >
+ > ⇔ − > ⇔ < → < − −
− >
>
<
m
m
m m
t t m m m
m
t t
m
Kết luận:
+) Hai
đồ
th
ị
không c
ắ
t nhau khi
1
4 2 5 .
2
− − < <
m
+) Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m khi
1
.
2
=
m
+) Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi
4 2 5
1
2
= − −
>
m
m
+) Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i b
ố
n
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi
4 2 5.
< − −m
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị
a)
3 2
3
3 4
= + +
= +
y x x x
y x
b)
3
1
2 3
+
=
−
= −
x
y
x
y x
Ví dụ 3: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của hai đồ thị
3 2
( 1) 2 2
3 4
= + − + +
= −
y x m x mx
y x
theo tham s
ố
m.
Ví dụ 4: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của hai đồ thị
2
1
1
+
=
−
= +
x m
y
x
y mx
theo tham số m.
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây?
a)
( )
3
3
3
3
= − +
= −
x
y x
y m x
b)
( )
3
2 1
1
= − −
= −
y x x
y m x
c)
1
1
2
+
=
−
= − +
x
y
x
y x m
Bài 2: [ĐVH]. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số cho dưới đây?
a)
4
2
2
1
3
2 2
1
= − + +
= +
x
y x
y mx
b)
(
)
4 2
2
2 3 1
2
= − + + −
= − −
y x m x
y x
c)
2
2
1
=
+
= − +
x
y
x
y mx
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Xét các hàm số
3 2
( )
= = + + +
y f x ax bx cx d
có đồ thị là (C) và đường thẳng d : y = mx + n
Ta có phương trình hoành độ giao điểm :
3 2 3 2
0 ( ) 0
+ + + = + ⇔ + + + = ⇔ =
ax bx cx d mx n Ax Bx Cx D h x
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị đã cho.
DẠNG 1. BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
TH1 : Phương trình hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm x = x
0
Số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) chính là số nghiệm của phương trình h(x) = 0.
Thông thường trong bài thi Đại học thì thường sẽ nhẩm được nghiệm của phương trình. Các nghiệm thường gặp là ±1;
±2; ±3; ±m; ±2m… Kĩ thuật nhẩm nghiệm ở đây là cô lập tham số m, cho hệ số chứa m bằng 0. Nếu ta nhẩm được một
nghiệm x = x
o
thì ta có
( )
( )
2
( )
( ) 0 Ax 0
( ) 0
=
= ⇔ − + + = ⇔
=
o
o
g x
x x
h x x x Bx C
g x
Thí dụ:
V
ớ
i ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
3 3
( ) 2 1 0 2 1 1 0.
= + − + − = ⇔ − − + + =
h x x m x m x x m x
Cho x = –1 ta th
ấ
y th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình, chia theo l
ượ
c
đồ
Hoorne ta
đượ
c
( )
(
)
2
( ) 1 1 0.
= + − + − =
h x x x x m
Ta xét một số trường hợp thường gặp:
TH
1
: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ h(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình h(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi
0
( ) 0
∆ >
≠
g
o
g x
TH
2
: (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ h(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Phương trình h(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khi phương trình g(x) = 0 có nghiệm kép khác x
o
hoặc phương trình
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng x
o
Ta có điều kiện:
0
( ) 0
0
( ) 0
∆ =
≠
∆ >
=
g
o
g
o
g x
g x
TH
3
: (d) cắt (C) tại 1 điểm phân biệt ⇔ h(x) = 0 có 1 nghiệm phân biệt.
Phương trình h(x) = 0 có 1 nghiệm phân biệt khi phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép chính là x
o
. Điều
đó tương đương với
0
0
2
∆ <
∆ =
−
=
g
g
o
B
x
A
Chú ý:
Trong trường hợp mà ta không thể nhẩm được nghiệm của h(x) = 0 thì ta phải cô lập tham số để đưa về bài toán biện
luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị hoặc dựa vào bảng biến thiên. Để cô lập được m thì hàm số y = h(x) phải
là hàm bậc nhất của m, còn trong trường hợp h(x) chứa lũy thừa của m bậc cao hơn (ví dụ m
2
, m
3
) thì dùng y
C
Đ
.y
CT
cực trị.
Thí dụ:
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 2
2
3
3 3
1
2 1 0 1 1 0
1 0
1
2 1 0 2 1 1
2 1
= −
= + − + − = ⇔ + − + − = ⇔
= − + − =
− −
= + + + + = ⇔ + = − − ⇔ = =
+
x
h( x) x m x m x x x m
g( x) x x m
x
h( x) x m x m m x x m g( x )
x
Trên đây là hai ví dụ cho thể loại nhẩm được nghiệm và không nhẩm được nghiệm phải sử dụng cô lập tham số.
Ví dụ 1: [ĐVH].
Cho hàm số
= − + −
3 2
6 9 6
y x x x
, có đồ thị là (C)
04. TUƠNG GIAO HÀM BẬC BA – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Tìm m để đường thẳng
= − −
: 2 4
d y mx m c
ắ
t (C) t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm của (C) và (d):
3 2 2
6 9 6 2 4 ( 2)( 4 1 ) 0
− + − = − − ⇔ − − + − =
x x x mx m x x x m
2
2
( ) 4 1 0
=
⇔
= − + − =
x
g x x x m
(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2
( )
0
3.
2 0
∆ >
⇔ ⇔ > −
≠
m
g
Ví dụ 2: [ĐVH].
Cho hàm s
ố
y = x
3
– (m + 1)x
2
+ (m – 1)x + 1, (1).
CMR khi m
≠
≠≠
≠
0
đồ
th
ị
hàm s
ố
(1) c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
(1) và tr
ụ
c Ox là x
3
– (m +1)x
2
+ (m – 1)x + 1 = 0, (*)
// Gi
ờ
chúng ta th
ử
đ
i nh
ẩ
m xem (*) có nghi
ệ
m nào nhé
Để
x =
α
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a (*) thì các bi
ể
u th
ứ
c có nhân th
ử
chung là tham s
ố
m ph
ả
i tri
ệ
t triêu nhau,
ở
đ
ây ta tách ra
đượ
c m
ộ
t nhân t
ử
có ch
ứ
a m là m(–x
2
+ x). Cho –x
2
+ x = 0 ta
đượ
c x = 0 ho
ặ
c x = 1
Thay vào ph
ươ
ng trình ch
ỉ
có x = 1 là nghi
ệ
m. V
ậ
y (*) có 1 nghi
ệ
m là x = 1 //
2
2
1 0
(*) ( 1)( 1) 0
( ) 1 0
x
x x mx
g x x mx
− =
⇔ − − − = ⇔
= − − =
Do g(x) = x
2
– mx – 1 = 0 có
∆
= m
2
+ 4 > 0
∀
m và g(1) = m
≠
0 (theo gi
ả
thiêt), khi
đ
ó g(x) = 0 luôn có hai nghi
ệ
m
phân bi
ệ
t và khác 1.
Ví dụ 3: [ĐVH].
Cho hàm s
ố
y = x
3
– 3x + 2, có
đồ
th
ị
là (C)
G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua A(3; 20) và có h
ệ
góc là k. Tìm k
để
đườ
ng th
ẳ
ng d c
ắ
t (C) t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
d là
đườ
ng th
ẳ
ng qua A(3 ; 20) và có h
ệ
s
ố
góc là k nên d có ph
ươ
ng trình d : y = k(x – 3) + 20
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m: x
3
– 3x + 2 = k(x – 3) + 20
⇔
x
3
– (k + 3)x + 3k – 18 = 0, (*)
//
Để
nh
ẩ
m nghi
ệ
m c
ủ
a (*) ta cho tri
ệ
t tiêu
đ
i h
ệ
s
ố
ch
ứ
a k : k(x – 3) = 0
⇒
x = 3, thay x = 3 vào th
ấ
y th
ỏ
a mãn (*).
V
ậ
y (*) có 1 nghi
ệ
m là x = 3 //
( ) ( )
( )
2
2
3 0
* 3 3 6 0
( ) 3 6 0
x
x x x k
g x x x k
− =
⇔ − + − + = ⇔
= − − + =
Để
(*) có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t thì ph
ươ
ng trình g(x) = 0 ph
ả
i có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và khác 3
Đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi
( )
15
0
9 4 6 0
4
(3) 0
6 0
6
∆ >
− − >
>
⇔ ⇔
≠
− ≠
≠
g
k
k
g
k
k
V
ậ
y v
ớ
i
15
4
6
>
≠
k
k
thì
đườ
ng th
ẳ
ng d c
ắ
t
đồ
th
ị
đ
ã cho t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Ví dụ 4: [ĐVH].
Cho hàm s
ố
y = x
3
– 3x
2
+ 1, có
đồ
th
ị
là (C)
Tìm m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
= − − −
: 2 1 4 1
d y m x m
c
ắ
t (C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
:
3 2 2
– 3 – (2 –1) 4 2 0 ( 2)( – – 2 –1) 0
+ + = ⇔ − =
x x m x m x x x m
2
2
( ) 2 1 0, (1)
=
⇔
= − − − =
x
g x x x m
Đề
(d) c
ắ
t (C) t
ạ
i
đ
úng 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m kép khác x = 2 ho
ặ
c có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
trong
đ
ó có m
ộ
t nghi
ệ
m là x = 2.
Ta có các
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ươ
ng
ứ
ng
{ {
0 8 5 0
5
1
2 2
8
2 2
1
8 5 0
0
2
2 1 0
(2) 0
∆ = + =
= −
− ≠ ≠
⇔ ⇔
=
+ >
∆ >
− + =
=
m
b
m
a
m
m
m
g
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Vậy
5 1
;
8 2
= − =
m m là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
( 1) 2 1
= + − + +
y x m x mx
và đường thẳng
: 5 1.
= −
d y x
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C)
a) tại ba điểm phân biệt
b) tại hai điểm phân biệt
c) tại một điểm
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
3 2
= − + + −
y x x x
. Gọi d là đường thẳng đi qua A(2 ; 0) và có hệ số góc k.
Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
TH2: Phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm được nghiệm
Nếu h(x) = 0 không nhẩm được nghiệm thì ta sử dụng phương pháp cô lập tham số, phân tích h(x) = 0 thành dạng
(
)
(
)
(
)
, 0
h x m g x k m
= ⇔ = , trong
đ
ó
đ
ó g(x) là hàm s
ố
ch
ỉ
ch
ứ
a x, còn k(m) là hàm ch
ỉ
ch
ứ
a m (hay còn g
ọ
i là hàm
h
ằ
ng v
ớ
i x).
Khi
đ
ó, s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a (1) chính là s
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
( )
( ) // Ox
=
=
y g x
y k m
Ta lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x).
Khi đó, (1) có 3 nghiệm phân biệt khi g
CT
< k(m) < g
CĐ
Khi đó, (1) có 1 nghiệm khi k(m) < g
CT
hoặc k(m) > g
CĐ
Ví dụ 1: [ĐVH].
Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
– 9x + m. Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục Ox : x
3
– 3x
2
– 9x + m = 0,
(1)
Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị. Để đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì (1) phải có 3 nghiệm
phân biệt. (1) ⇔ x
3
– 3x
2
– 9x = –m,
(2).
Số nghiệm của (2) lại chính là số giao điểm của hai đồ thị
3 2
( ) 3 9
y g x x x x
y m
= = − −
= −
Ta có
2
1
( ) 3 6 9 0
3
x
g x x x
x
= −
′
= − − = ⇔
=
B
ả
ng bi
ế
n thiên:
x
−∞ −1 3 +∞
g’
+ 0 − 0 +
g
5 +∞
−∞ −27
T
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên ta th
ấ
y,
(2)
có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi –27 < –m < 5 ⇔ –5 < m < 27.
Ví dụ 2: [ĐVH].
Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ 2m, (C
m
) Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại đúng 2 điểm phân biệt.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Để
đồ
th
ị
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i
đ
úng hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t thì (C
m
) ph
ả
i có 2
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
.
⇒
y′ = 0 có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
2 2 2 2
3 3 0 0
⇔ − = ⇔ = ⇒ ≠
x m x m m
V
ậ
y hàm s
ố
có hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
khi m ≠ 0.
Khi
đ
ó ' 0
= ⇔ = ±
y x m
.
(C
m
) c
ắ
t Ox t
ạ
i
đ
úng 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
⇔
y
CĐ
= 0 ho
ặ
c y
CT
= 0
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Ta có
3
3
( ) 0 2 2 0 0
( ) 0 2 2 0 0; 1
− = ⇔ + = ⇔ =
= ⇔ − + = ⇔ = = ±
y m m m m
y m m m m m
Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c
m
=
±
1 là giá tr
ị
c
ầ
n tim.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
3 9 3 1
= + − + −
y x x x m
Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
2
= − +
y x mx m
Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại duy nhất một điểm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x
3
– 6x
2
+ 9mx. Tìm m để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số đã cho tại
a) 1 điểm.
b) 3 điểm phân biệt.
Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x
3
– 3x + 2, có đồ thị là (C).
Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(3; 20) và có hệ góc là k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm
phân biệt.
Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x
3
– 3x – 2, có đồ thị là (C).
Gọi A là điểm thuộc đồ thị và có hoành độ x
A
= 0, (d) là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k. Xác định k
để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = –x
3
+ 3x
2
+ 1, có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = m(x – 1) + 3. Tìm m để
(C) và (d) cắt nhau tại
a) 3 điểm phân biệt.
b) 1 điểm.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
– x – m
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2x
3
– 3x
2
– 1, có đồ thị là (C).
Gọi (d
k
) là đường thẳng đi qua M(0; –1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng d
k
cắt (C) tại
a) 3 điểm phân biệt.
b) 3 điểm phân biệt, trong đó hai điểm có hoành độ dương.
Bài 7: [ĐVH]. (Trích đề thi ĐH khối A – 2010)
Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
+ (1 – m)x + m
Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
4.
+ + <
x x x
Bài 8:
[ĐVH].
Tìm m
để
các
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t?
a)
y = x
3
– 3x
2
– m
2
+ 5m
b)
3
1
3
= − +
y x x m
c)
y
=
x
3
+ 3x
2
– 9x + m
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số
3
2
= + +
y x mx
có đồ thị (C
m
)
Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Đ/s:
3
> −
m
Bài 10:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
3 2
2 3( 1) 6 2
= − + + −
y x m x mx có
đồ
th
ị
(C
m
)
Tìm m
để
đồ
th
ị
(C
m
) c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m duy nh
ấ
t.
Đ
/s:
1 3 1 3
− < < +
m
Bài 11:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
3 2
3 2
= − +
y x m x m
có
đồ
th
ị
(C
m
).
Tìm m
để
đồ
th
ị
(C
m
) c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i
đ
úng hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Đ
/s:
1
= ±
m
Bài 12:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
3 2
3 1
= − +
y x x .
Tìm m
để
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
):
(2 1) 4 1
= − − −
y m x m cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt.
Đ/s:
1 5
;
2 8
= = −
m m
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
Loại 1: Các bài toán về hoành độ giao điểm
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
3( 1) 3 2
= + − − +
y x m x mx
và đường thẳng
: 5 1.
= −
d y x
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
a) có hoành độ dương
b) có hoành độ lớn hơn 2
c) có hoành độ
1 2 3
; ;
x x x
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
21
+ + =
x x x
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
3 3 3 2
= − − + +
y x mx x m và đường thẳng
: 5 1.
= −
d y x
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
a) có hoành độ lớn hơn –1
b) có hoành độ
1 2 3
; ;
x x x
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
15
+ + >
x x x
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2
3 ( 1) 1
= − + − + +
y x mx m x m và đường thẳng
: 2 1.
= − −
d y x m
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
Ví dụ 4*: [ĐVH]. Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)
= − + − − −
y x mx m x m
Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. (Trích đề thi ĐH khối A – 2010)
Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
+ (1 – m)x + m
Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
4.
+ + <
x x x
Bài 2:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
3 2 2
( 3) 4
y x m x mx m
= − + + −
.
Tìm m
để
đồ
th
ị
hàm s
ố
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao cho
2 2 2
8
A B C
x x x
+ + =
.
Đ
/s.
1
m
=
. G
ợ
i ý.
Đ
oán nghi
ệ
m
x m
=
Bài 3:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
3 2
3 3 3 2
y x mx x m
= − − + +
(C
m
)
Tìm m
để
(C
m
) c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành
độ
là
1 2 3
, ,
x x x
th
ỏ
a mãn
2 2 2
1 2 3
4
x x x
+ + ≤
Bài 4:
[ĐVH].
Cho hàm s
ố
y = x
3
– 6x
2
+ mx.
04. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
