Vecteur biến ngẫu nhiên.

3.1 Định nghĩa 1:
Một cặp ĐLNN được xét đồng thời
(X,Y) gọi là vectơ ngẫu nhiên. VTNN
chia làm hai loại:
+ rời rạc nếu X và Y rời rạc
+ liên tục nếu X và Y liên tục
3.2. Luật pp của vectơ ngẫu nhiên
3.2.1 Loại rời rạc
* Bảng ppxs đồng thời của X và Y
Bài 3. VÉCTƠ NGẪU NHIÊN

1
2
m
x
x
x
M
1 2 n
y y y
X
Y
11 12 1n
p p p
21 22 2n
p p p
m1 m2 mn
p p p
X
P

1
2
m
p
p
p
M
1
1 2 n
q q q
Y
P
ij i j
p P[X x ,Y y ], 1 i m, 1 j n= = = ≤ ≤ ≤ ≤
m n
ij
i 1 j 1
p 1
= =
=
∑∑

* Phân phối lề
+ của X: (cộng theo dòng i)
+ của Y: (cộng theo cột j)
n
i i ij
j 1
p P[X x ] p , 1 i m
=

= = = ≤ ≤
∑

X
1 2 m
x x x
1 2 m
p p p
X
P
m
j j ij
i 1
q P[Y y ] p , 1 j n
=
= = = ≤ ≤
∑

Y
Y
P
1 2 n
y y y
1 2 n
q q q

Đặt








1,nếu lần 1 lấy được sp tốt
X =
0, nếu lần 1 lấy được sp xấu









1,nếu lần 2 lấy được sp tốt
Y =
0, nếu lần 2 lấy được sp xấu
.

Y
X
0 1 P
X
0
1
0,1 0,3
0,3 0,3
0,4

0,6
P
Y
0,4 0,6 1

b) Phân phối lề của X
X 0 1
P
X
0.4 0.6
Phân phối lề của Y
Y 0 1
P
Y
0.4 0.6

* Sự độc lập:
X và Y độc lập
i j i j
ij i j
P[X x ,Y y ] P[X x ].P[Y y ]
p p q , i, j
⇔ = = = = =
⇔ = ∀

Ví dụ : Thống kê dân số của một vùng theo 2
chỉ tiêu: giới tính X, học vấn Y được kết quả:
a) Lập luật ppxs của học vấn, giới tính.
b) Học vấn có độc lập với giới tính không?
0,120,220,15

Nữ: 1
0,160,250,10
Nam: 0
đại học
2
phổ thông
1
Cấp I
0
Y
X

a) Luật phân phối giới tính X
X 0 1
P
X
0.51 0.49
Luật phân phối học vấn Y
Y 0 1 2
P
Y
0.25 0.47 0.28
b) X, Y không độc lập vì
p[X=0;Y=0]=0.1#p[x=0].p[Y=0]

3.3. Loại liên tục:
* Mật độ pp đồng thời của (X,Y) là f(x,y) với
và
* Mật độ pp lề
+ của X:

+ của Y:
Nếu X và Y độc lập
f (x,y) 0, x,y≥ ∀
f (x,y)dxdy 1.
+∞ +∞
−∞ −∞
=
∫ ∫
X
f (x) f (x,y)dy
+∞
−∞
=
∫
Y
f (y) f (x,y)dx
+∞
−∞
=
∫
X Y
f (x,y) f (x).f (y)⇔ =

Ví dụ : Giả sử hàm mật độ pp đồng thời
của X và Y là
với x>0, y>0
trường hợp khác
a) Tìm A.
b) Tìm hàm mật độ của X và Y.
c) X và Y có độc lập?

(x y)
Ae
f (x,y)
0
− +

=



0 0
1
x y x y
Ae dxdy A e dx dy A
+∞ +∞ +∞ +∞
− − − −
−∞ −∞
 
 
= = =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
a) Theo tính chất của hàm mật độ ta có:
b) Hàm mật độ của X, Y
( ) ( , )
x y x

X
f x f x y dy e dy e
+∞ +∞
− − −
−∞ −∞
= = =
∫ ∫
( ) ( , )
x y y
Y
f y f x y dx e dx e
+∞ +∞
− − −
−∞ −∞
= = =
∫ ∫
c) X, Y độc lập.

3.4. Hàm của các biến ngẫu nhiên:
3.4.1.Định nghĩa2: Cho X là một biến ngẫu
nhiên, và là một hàm số tùy ý. Khi đó

là một biến ngẫu nhiên và được
gọi là hàm của biến ngẫu nhiên.
ϕ
( )X
ϕ
Ví dụ: Gọi X là biến ngẫu nhiên khi gieo
con xúc sắc, và . Tìm
2

( ) 1x x
ϕ
= −
( )X
ϕ
( )X
ϕ
Giải: có các giá trị được cho trong
bảng sau
0 3 8 15 24 35
( )X
ϕ

3.4.2.Luật phân phối của
( )Y X
ϕ
=
( )
[ ] [ ( ) ] [ ]
i
i
x y
p Y y p X y p X x
ϕ
ϕ
=
= = = = =
∑
3.4.3. Định nghĩa 3: Cho X, Y là các biến
ngẫu nhiên, và là một hàm số hai biến

tùy ý. Khi đó là một biến ngẫu
nhiên và được gọi là hàm của biến ngẫu
nhiên.
ϕ
( , )X Y
ϕ
3.4.4.Luật phân phối của
( , )Z X Y
ϕ
=

( , ) ( , )
[ ] [ , ]
i j i j
i j ij
x y z x y z
p Z z p X x Y y p
ϕ ϕ
= =
= = = = =
∑ ∑
Ví dụ 1: Gieo hai con xúc sắc cân đối đồng
chất. Gọi X, Y lần lượt là số chấm xuất
hiện trên các mặt. Lập bảng phân phối xác
suất của biến cố .
Z X Y= +
Giải:
Z 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
Z

1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

3.5. Các số đặc trưng:
) ( ) ( )i Y aX b E Y aE X b= + ⇒ = +
) ( ) ( ) ( )ii E X Y E X E Y+ = +
1
1 1
) ( ( )) ( )
) ( ( , )) ( , )
n
i i
i
m n
i j ij
j i
iii E X x p
iv E X Y x y p
ϕ ϕ
ϕ ϕ
=
= =
=
=
∑
∑∑
3.6. Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Một người chơi một trò chơi như
sau. Người ấy gieo một con xúc sắc, nếu
con xúc sắc xuất hiện mặt i chấm thì nhận

được số tiền thưởng là đ
a) Gọi Y là số tiền thưởng. Lập bảng ppxs
củ Y.
b) Nếu mỗi lần chơi, họ bỏ ra 8đ thì có nên
tham gia trò chơi này nhiều lần không ?
2 1i −

a) Ta có
2 1Y X= −
Y 1 3 5 7 9 11
P
Y
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
b) Số tiền thưởng trung bình cho mỗi lần
chơi là:
( ) (2 1) 2 ( ) 1 2 3.5 1 6E Y E X E X= − = − = × − =
Vậy trung bình mỗi lần chơi người ấy mất 2
đồng, không nên tham gia trò chơi này
nhiều lần.

Ví dụ 2: Một bình chứa 10 bi, trong đó có 4
bi đỏ. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên 1 bi,
sau đó lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 2 bi
nữa.
a)Tính xác suất để tổng hai lần lấy ra được
2 bi đỏ.
b)Nếu tổng hai lần lấy ra từ 1 đến 2 bi đỏ
thì người tham gia trò chơi được 4đ, còn
lại mất 7 đồng. Hỏi có nên tham gia trò
chơi này nhiều lần không?

Giải:
Gọi X, Y lần lượt là số bi đỏ lấy ra
được ở lần một và lần hai.
X, Y là các biến ngẫu nhiên có phân
phối
X 0 1
p
X
6/10=0.6 4/10=0.4
Y 0 1 2
P
Y
1/3 8/15 2/15

Đặt Z=X+Y thì Z là biến ngẫu nhiên có
phân phối
Z 0 1 2 3
P
Z
1/6 1/2 3/10 1/30
Chẳng hạn:
2 1 1
4 3 6
2 2
9 9
p[Z 2] p[X 0,Y 2] p[X 1,Y 1]
p[X 0].p[Y 2 / X 0] p[X 1].p[Y 1/ X 1]
6 C 4 C .C 3
. .

10 C 10 C 10
= = = = + = =
= = = = + = = =
= + =

b) Gọi T là số tiền nhận được cho mỗi lần
tham gia trò chơi. T là một biến ngẫu nhiên.
T -7 4
P
T
1/5 4/5
1 4 9
E(T) 7. 4. 1.8 0
5 5 5
= − + = = >
Vậy trung bình mỗi lần chơi người này
nhận được 1.8 đồng, do đó nên tham gia trò
chơi.