Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tính toán động lực học lưu chất trong các bài toán kỹ thuật (2)

1


LỜI NÓI ĐẦU 3
Chương 1 : 4
4
5
5
5
6
6
6
6
– CFD 7
. 7
? 7
2.1.2. Vai 7
12
12
12
2.2.2.1. Thể tích kiểm soát hữu hạn (quan điểm Euler) 13
2.2.2.2. Phần tử chất lỏng vô cùng bé (quan điểm Lagrange) 14
15
19
21
27
32
39
2.2.8.1. Phương trình đối với dòng nhớt 39
2

2.2.8.2. Phương trình đối với dòng không nhớt 40
41
42
48
48
49
50
50
51
51
51
51
53
3.1.2.1. 53
57
72
73
73
73
75
75
78
98
Chương 4: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 99
99
99
TÀI LIỆU THAM KHẢO 101
102

3

LỜI NÓI ĐẦU
Từ xưa đến nay, con người từng bước chinh
- .
.
. đ
.
tôi được sự phân công của bộ
môn, đã thực hiện đề tài tốt nghiệp. Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tính toán
động lực học lưu chất (Computational Fluid Dynamics – CFD) trong các bài toán
kỹ thuật. Nội dung gồm 4 chương sau:
- Chương 1: Đặt vấn đề.
- Chương 2: Một số vấn đề cơ bản về tính toán động lực học lưu chất – CFD.
- Chương 3: Kết quả nghiên cứu.
- Chương 4: Thảo luận và đề xuất ý kiến.
, nên
. Rất mong được sự xây
dựng và góp ý kiến củ thầy và các bạn để nội dung đề tài hoàn thiện hơn.

4

Chƣơng 1 :
1.1.

.
.

hỗ trợ và bổ sung cả thực nghiệm thuần túy l lý thuyết thuần túy
)
.

.

5

1.2.
1.2
Sự phát triển của CFD bắt đầu nhờ xuất hiện của máy tính
vào những năm 1950. Có 2 công cụ cơ bản để giải các phương trình vi phân từng
phần nói chung và CFD nói riêng là phương pháp sai phân hữu hạn (Finite
Difference Methods-FDM) và phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element
Methods-FEM). Hai phương pháp này có xuất xứ khác nhau, bài báo đầu tiên về
phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) giải bài toán phân tích ứng suất trong mô
hình mô phỏng đê chắn sóng của Richardson trong năm 1910 trong khi công trình
đầu tiên sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) dùng để phân tích ứng suất
máy bay trong năm 1956. Kể từ đó cả hai phương pháp trên đều được phát triển
mạnh mẽ trong các lĩnh vực động lực học chất lỏng, truyền nhiệt và các lĩnh vực có
liên quan khác. Gần đây đã có thêm một số phương pháp mới dùng để giải các bài
toán CFD, trong đó nổi bật nhất là phương pháp thể tích hữu hạn (Finite Volume
Methods-FVM). Phương pháp này được sử dụng r ng rãi bởi nó lợi dụng được ưu
điểm của cả hai phương pháp FDM và FEM, đồng thời có cấu trúc dữ liệu tương
đối đơn giản.
Ngay từ những năm 1960 CFD đã được đưa vào ứng dụng
trong việc thiết kế, nghiên cứu và phát triển, chế tạo máy bay và các động cơ phản
lực trong ngành công nghiệp hàng không.
Ngày nay, , CFD đã
được ứng dụng hết sức rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực, trong đó có việc thiết kế,
tối ưu hóa kết cấu vỏ tàu trong ngành đóng tàu.
1.2
,

,
6

.
.
Hiện nay thì những trường nổi tiếng như Học Viện Kĩ Thuật
Quân Sự, đại học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh mới có giảng dạy về lĩnh vực
này. Và họ cũng đã đưa sinh viên sang một số nước như Nga, Mỹ để nghiên cứu
về lĩnh vực này.
,
.
1.3. , PHƢƠNG


.
.
1.3.2

.
1.3.3
.
, mô .

.
.
7

Chƣơng 2:
– CFD
.

?
CFD-Computational Fluid Dynamics: Đây là lĩnh vực khoa học sử dụng các
phương pháp số kết hợp với công nghệ mô phỏng trên máy tính để giải quyết các
bài toán liên quan đến các yếu tố chuyển động của môi trường, đặc tính lý hóa của
các quá trình trong môi trường đang xét, đặc tính sức bền của môi trường, đặc tính
nhiệt động, đặc tính động học, hay đặc tính động lực học hoặc khí động lực học, đặc
tính lực, hoặc đặc tính lực moment và tương tác của các môi trường với nhau phụ
thuộc vào từng đối tượng và phạm vi cụ thể của từng vấn đề, từng lĩnh vực khoa
học mà CFD có thể ứng dụng được.
Những khía cạnh vật lý của bất kỳ dòng chất lỏng nào đều được kiểm soát
bởi ba nguyên lý cơ bản sau:
1. Bảo toàn khối lượng.
2. F = ma (định luật 2 Newton).
3. Bảo toàn năng lượng.
Những nguyên lý cơ bản này có thể biểu thị dưới dạng các số hạng của
phương trình toán học, mà dạng tổng quát nhất của chúng là những phương trình
đạo hàm riêng. Tính toán động lực học chất lỏng là thuật thay thế những phương
trình đạo hàm riêng chủ đạo của dòng chất lỏng bằng số và đưa những số này vào
không gian và hoặc thời gian để nhận được sự mô tả số cuối cùng của trường dòng
chảy đầy đủ cần quan tâm.

Vai trò của CFD: Vai trò của CFD trong dự báo kĩ thuật công nghiệp đã trở
nên mạnh đến mức ngày nay nó có thể được nhìn nhận như “chiều thứ ba” trong
8

động lực học chất lỏng, hai chiều khác là những trường hợp cổ điển của thực
nghiệm thuần túy và lý thuyết thuần túy. Từ năm 1687, với sự công bố Principia
của Isaac Newton cho tới giữa những năm 1960, những tiến bộ về cơ chất lỏng
được thực hiện bằng cách kết hợp với các thực nghiệm tiên phong và phân tích lý
thuyết cơ bản- những phân tích mà hầu như luôn yêu cầu sử dụng những mô hình

dòng đơn giản đề nhận được lời giải dạng khép kín của các phương trình chủ đạo.
Những lời giải dạng khép kín có lợi thế nổi bật là đồng nhất ngay lập tức một vài
tham số cơ bản của bài toán đã cho, và thể hiện rõ câu trả lời cho những bài toán bị
ảnh hưởng bởi sự biến đổi các tham số như thế nào. Tuy nhiên chúng có bất lợi là
không đưa ra được mọi quá trình vật lý cần thiết của dòng. Với khả năng kiểm soát
các phương trình chủ đạo ở dạng chính xác cùng với việc xem xét các hiện tượng
vật lý chi tiết như phản ứng hóa học ở mức độ hạn chế, CFD nhanh chóng trở thành
một công cụ phổ biến trong phân tích kỹ nghệ.
Ứng dụng của CFD: CFD được phát triển, ứng dụng và mang lại hiệu quả
cao trong các lĩnh vực cơ học môi trường chất lưu (khí, lỏng, plasma, ) và môi
trường biến dạng, đàn hồi Trên thực tế, CFD được ứng dụng rộng rãi vào các
ngành khoa học tiên tiến và công nghệ cao cũng như các ngành khoa học phục vụ
dân sinh. Chẳng hạn, CFD được ứng dụng mô phỏng về chuyển động của tàu vũ trụ
với vận tốc siêu thanh và dòng chảy bao cũng như các yếu tố khí động tác dụng lên
các vật thể bay nói chung. CFD được ng dụng vào ngành đại dương học để mô
phỏng tìm các quy luật của dòng biển nóng , lạnh và tác động của chúng lên khí hậu
toàn cầu, CFD được ứng dụng trong y tế để mô phỏng quá trình hoàn lưu máu ở
hai vòng tuần hoàn, ảnh hưởng của các yếu tố bên trong, bên ngoài lên nhịp đập
cũng như sức khỏe của nội tạng nói riêng, toàn bộ cơ thể nói chung Thật khó có
thể kể hết phạm vi ứng dụng của CFD, dưới đây ta có thể liệt kê những lĩnh vực mà
CFD đóng vai trò như một công cụ hữu hiệu không thể thiếu để nghiên cứu, ứng
dụng, cũng như phát triển chung lên cấp độ công nghiệp, mang lại nhiều thành tựu
rực rỡ nhất. Đó là:
9

Công nghiệp hàng không vũ trụ

• Mô phỏng dòng chảy bao các phương tiện
bay, biên dạng cánh trong dòng chảy dưới âm
thanh, lân cận âm thanh, siêu âm và siêu thanh.

• Xác định các đặc tính khí động lực học.
Ngành công nghiệp chế tạo ô tô

• Mô phỏng trên máy tính dòng chảy bao ngoài
vỏ ô tô.
• Xác định hệ số ma sát mặt sườn.
• Mô phỏng trên máy tính quá trình điều hòa
cho sa-lông.
• Mô phỏng trên máy tính quá trình làm việc
của hệ thống thải khí và làm lạnh.

Ngành chế tạo máy

• Các hệ thống thủy tốc và khí tốc áp.
• Van, khóa van, van tiết lưu.
• Dòng chảy trong các gói ống dẫn.
• Sự thoát khí từ ống xả.
• Mô phỏng quá trình ăn mòn…


10

Ngành công nghiệp dầu khí

• Mô phỏng chuyển động của dầu và khí trong
các ống dẫn.
• Mô phỏng hoạt động của các trạm bơm.
• Xác định các đặc tính thủy lực.
• Dòng chảy với tạp chất.

Xây dựng

• Tính toán phụ tải gió lên nhà cửa và các phần
tử kết cấu.
• Mô phỏng họat động của đê kè và các công
trình che chắn.
• Thông gió và điều hòa trong các công trình.
• Dòng chảy trong các ống dẫn.

Kĩ thuật tàu thủy

• Mô phỏng dòng chảy xung quanh tàu.
• Mô phỏng hoạt động của vùng rối phía sau
chân vịt.
• Tính toán sức cản và tối ưu hóa đường
hình…


11



• Mô
.


• Mô ộn phản ứng và
không phản ứng trong lò phản ửng hóa học.

•
.
12

2.2 CFD
2.2
Nền tảng của CFD là những phương trình chủ đạo cơ bản của động lực học
chất lỏng
Phương trình liên tục (The Continuity Equation)
Phương trình động lượng (The Momentum Equation)
Phương trình năng lượng (The Energy Equation)
Những phương trình trên nói đến quá trình vật lý. Chúng là những phát biểu toán
học của ba nguyên lý vật lý cơ bản mà toàn bộ động lực học chất lỏng đặt trên cơ sở
đó:
1) Bảo toàn khối lượng.
2) F = ma (định luật 2 Newton).
3) Bảo toàn năng lượng.
2.2.2. M
Để nhận được những phương trình cơ bản của chuyển động chất lỏng, quan
điểm sau luôn được tuân thủ:
1) Chọn những nguyên lý vật lý cơ bản thích hợp từ những định luật vật lý
a) Bảo toàn khối lượng
b) F = ma (định luật 2 Newton)
c) Bảo toàn năng lượng
2) Áp dụng những nguyên lý vật lý này cho một mô hình dòng thích hợp.
3) Từ áp dụng này, rút ra những phương trình toán học gồm những nguyên lý
vật lý như vậy.
Với một chất lỏng liên tục ta có thể chọn 1 trong 2 mô hình sau để mô hình hóa
dòng:
13

2.2.2.1. Thể tích kiểm soát hữu hạn (quan điểm Euler)
Xét một trường dòng tổng quát như được thể hiện bởi những đường dòng
trong hình 2.1. Ta hãy tưởng tượng một thể tích khép kín vẽ trong một khu vực hữu
hạn của dòng. Thể tích này xác định một thể tích kiểm soát V và một bề mặt kiểm
soát S, xác định bề mặt khép kín bao quanh thể tích. Thể tích kiểm soát này có thể
cố định trong không gian với chất lỏng chuyển động vòng qua nó, như hình 2.1a.
Tương tự, thể tích kiểm soát có thể chuyển động cùng với chất lỏng, sao cho những
hạt chất lỏng cùng nhau luôn ở trong nó, như hình 2.1b


a b
Hình 2.1: Thể tích kiểm soát hữu hạn
Trong mọi trường hợp, thể tích kiểm soát là một vùng đủ lớn, hữu hạn của dòng.
Những nguyên lý vật lý cơ bản được áp dụng cho chất lỏng nằm trong thể tích kiểm
soát, và với chất lỏng cắt qua bề mặt kiểm soát (nếu thể tích kiểm soát cố định trong
không gian). Bởi vậy, thay vì xem xét toàn bộ trường dòng một lúc, với mô hình thể
tích kiểm soát chúng ta giới hạn sự chú ý chỉ với chất lỏng trong vùng hữu hạn của
chính thể tích đó. Những phương trình dòng chất lỏng mà chúng ta nhận được trực
tiếp do việc áp dụng những nguyên lý vật lý cơ bản cho một thể tích kiểm soát hữu
hạn có dạng tích phân. Những dạng tích phân này của những phương trình chủ đạo
có thể thao tác gián tiếp để nhận được những phương trình đạo hàm riêng. Những
14

phương trình như vậy nhận được từ thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không
gian ở dạng tích phân hoặc dạng đạo hàm riêng, được gọi là dạng bảo toàn của
những phương trình chủ đạo. Những phương trình nhận được từ thể tích kiểm soát
hữu hạn chuyển động cùng với chất lỏng ở dạng tích phân hoặc đạo hàm riêng,
được gọi là dạng không bảo toàn của những phương trình chủ đạo.
2.2.2.2. Phần tử chất lỏng vô cùng bé (quan điểm Lagrange)

Xét một trường dòng tổng quát như được thể hiện bởi những đường dòng
trong hình 2.2. Ta hãy tưởng tượng một phần tử chất lỏng vô cùng bé trong dòng,
với một thể tích vi phân dV. Phần tử chất lỏng là vô cùng bé theo khái niệm phép
tính vi phân; tuy nhiên là đủ lớn để chứa một số khổng lồ những phần tử để có thể
nhìn nhận như một môi trường liên tục. Phần tử chất lỏng có thể cố định trong
không gian với chất lỏng chuyển động vòng qua nó, như hình 2.2a. Tương tự, nó có
thể chuyển động dọc theo dòng chảy với vận tốc vector thể tích bằng vận tốc
dòng tại mỗi điểm như hình 2.2b.

a b

Hình 2.2: Phần tử chất lỏng vô cùng bé.
Thay vì xét toàn dòng tại một lúc, những nguyên lý vật lý cơ bản chỉ ứng dụng cho
chính phần tử chất lỏng. Ứng dụng này trực tiếp dẫn tới những phương trình cơ bản
ở dạng phương trình đạo hàm riêng. Hơn nữa, những phương trình vi phân đạo hàm
riêng đặc biệt nhận được trực tiếp từ phần tử chất lỏng cố định trong không gian là
15

dạng bảo toàn của các phương trình. Những phương trình nhận được trực tiếp từ
phần tử chất lỏng chuyển động là dạng không bảo toàn của các phương trình chủ
đạo.
2.2.3. Đ
Theo mô hình hóa dòng, xét sự chuyển động của phần tử chất lỏng vô cùng
bé chuyển động cùng với dòng theo hình 2.3.

Hình 2.3: Phần tử chất lỏng chuyển động trong trường dòng.
Ở đây phần tử chất lỏng chuyển động trong không gian Descartes. Những vector
đơn vị dọc theo trục x ,y, và z là , , tương ứng. Trường vector vận tốc trong
không gian Descartes này bằng:

trong đó những thành phần x, y và z của vận tốc đã cho tương ứng với



16

chú ý rằng về tổng quát chúng ta đang xét một dòng không ổn định, trong đó u, v, w
là những hàm của cả không gian l n thời gian t. Ngoài ra, trường mật độ vô hướng
cho bằng

Tại thời gian t
1
,

phần tử chất lỏng được định vị tại điểm 1 trong hình 2.3. Tại điểm
này và thời gian này, mật độ của phần tử chất lỏng là:

vào thời gian t
2
về sau, phần tử chất lỏng đó đã di chuyển đến điểm 2 trong hình.
2.3. Mật độ của phần tử chất lỏng này là:

Khai triển theo chuỗi Taylor hàm quanh điểm 1:

dấu 3 chấm ở đây là các phần tử bậc cao hơn
Chia cho (t
2
-t
1
) và bỏ đi các số hạng bậc cao chúng ta nhận được

Khảo sát vế trái của phương trình (2.1). Về mặt vật lý đây là suất biến đổi mật độ
trung bình thời gian của phần tử chất lỏng khi nó di chuyển từ điểm 1 tới điểm 2.
Trong giới hạn, khi t
2
tiến đến t
1
số hạng này trở thành
17


Ở đây Dρ/Dt là ký hiệu suất biến đổi mật độ của phần tử chất lỏng ở thời gian tức
thời khi nó di chuyển qua điểm 1. Theo định nghĩa, ký hiệu này được gọi là đạo
hàm thể chất D/Dt. Chú ý rằng (Dρ/Dt) là suất biến đổi mật độ theo thời gian của
phần tử chất lỏng đã cho khi nó di chuyển qua không gian. Khác với (Dρ/Dt),
( / ) là suất biến đổi theo thời gian của mật độ của chất lỏng tại điểm cố định 1.
Trong phương trình (2.1) ta thấy rằng:



Như vậy lấy giới hạn của phương trình (2.1) khi t
2
tiến đến t
1
được

Khảo sát phương trình (2.2) chúng ta có thể nhận được biểu thức cho đạo hàm thể
chất trong tọa độ Descartes:

Trong tọa độ Descartes toán tử vector được định nghĩa là

Do đó phương trình (2.3) có thể viết lại như sau
18


Trong đó:

t
D
D
: Đạo hàm thể chất là suất biến đổi theo thời gian của một phần tử
chất lỏng chuyển động.

t
: Đạo hàm riêng là suất biến đổi theo thời gian của chất lỏng tại một
thời điểm cố định.
: Đạo hàm đối lưu là suất biến đổi theo thời gian do chuyển động của
phần tử chất lỏng từ vị trí này sang vị trí khác trong trường dòng.
Đạo hàm thể chất áp dụng cho bất kỳ biến trường dòng nào, ví dụ Dp/Dt, DT/Dt,
Du/Dt, v v tróng đó p và T là áp suất thủy tĩnh và nhiệt độ tương ứng. Ví dụ:

Một lần nữa về mặt vật lý phương trình (2.6) phát biểu rằng nhiệt độ của phần tử
chất lỏng thay đổi khi phần t đi qua một điểm trong dòng vì tại điểm đó chính
nhiệt độ trường dòng có thể dao động theo thời gian (đạo hàm riêng) và vì phần tử
chất lỏng đơn giản đi trên đường của nó tới điểm khác trong trường dòng, tại đó
nhiệt độ khác (đạo hàm đối lưu).
Chúng ta có thể thỏa mãn với hầu hết các thảo luận trên bằng việc nhận thức rằng
đạo hàm thể chất thực chất cũng như phép tính đạo hàm toàn phần. Vậy nếu

Thì quy tắc dây chuyền từ phép tính vi phần cho ta.

19


Từ phương trình (2.7) chúng ta có

Vì dx/dt = u, dy/dt= v và dz/dt= w, phương trình (2.8) trở thành

So sánh phương trình (2.8) và (2.9) chúng ta thấy rằng Dρ/Dt và dρ/dt là như nhau.
Bởi vậy, đạo hàm thể chất không khác gì đạo hàm toàn phần theo thời gian. Tuy
nhiên, việc dẫn xuất phương trình (2.2) làm sáng tỏ nhiều ý nghĩa vật lý của đạo
hàm thể chất, trong khi xuất xứ của phương trình (2.9) thiên về hình thức toán học
hơn.
2.2.4.
Xét một thể tích kiểm soát chuyển động với chất lỏng như hình 2.1b. Thể
tích kiểm soát này luôn luôn được tạo ra do cùng các hạt chất lỏng đều di chuyển
cùng với dòng, do đó khối lượng của nó cố định, bất biến với thời gian. Tuy nhiên
thể tích kiểm soát V và bề mặt kiểm soát S của nó đang thay đổi với thời gian trong
khi nó di chuyển những vùng khác nhau của dòng, trong đó những giá trị khác nhau
của ρ tồn tại. Như vậy, thể tích kiểm soát đang chuyển động có khối lượng không
đổi này thường xuyên tăng hoặc giảm thể tích của nó và thay đổi hình dạng của nó,
phụ thuộc vào những đặc trưng của dòng. Xét thể tích kiểm soát này tại một thời
điểm nào đó. Xét một phần tử vô cùng bé có bề mặt dS chuyển động với vận tốc
như hình 2.4.
20


Hình 2.4: Thể tích kiểm soát chuyển động với dòng chảy.
Sự thay đổi thể tích ΔV của thể tích kiểm soát chỉ do chuyển động của dS qua một
diện tích đáy dS và độ cao ( Δt). , trong đó là vector đơn vị thẳng góc với bề
mặt tại dS

trong đó vector được định nghĩa đơn giản là . Sau bước thời gian Δt,
thay đổi tổng cộng về thể tích của toàn bộ thể tích kiểm soát là tổng của phương
trình (2.10) trên toàn bộ diện tích kiểm soát. Trong giới hạn, khi dS dần đến 0

Chia tích phân này cho Δt

Kết quả nhận được là suất biến đổi theo thời gian của thể tích kiểm soát V. Áp dụng
định lý phân kỳ từ phép tính vector cho vế phải phương trình (2.11) ta nhận được
phương trình

21

Xét thể tích kiểm soát chuyển động trong hình 2.4 đang co lại tới một thể tích rất
nhỏ δV, tương đương với phần tử chất lỏng vô cùng bé chuyển động như hình 2.2b.
Vậy phương trình (2.12) có thể viết lại như sau

Giả thiết rằng δV đủ nhỏ sao cho về thực chất có cùng giá trị đó khắp δV. Như
vậy, tích phân trong phương trình (2.13) có thể xấp xỉ như . Thay vào
phương trình (2.13) ta được

Hoặc

Kết luận: có ý nghĩa vật lý là suất biến đổi theo thời gian của thể tích của một
phần tử chất lỏng chuyển động trên một thể tích đơn vị.
2.2.5. P
Để làm sáng tỏ sự khác nhau giữa 2 dạng bảo toàn và không bảo toàn của các
phương trình chủ đạo ta xét cả hai mô hình đó là thể tích kiểm soát hữu hạn cố định
trong không gian như hình 2.1a và phần tử chất lỏng vô cùng bé chuyển động với
dòng như hình 2.2b.

Đầu tiên, xét mô hình của một phần tử chất lỏng vô cùng bé chuyển động với
dòng. Khối lượng phần tử này cố định và bằng δm. Biểu thị thể tích của phần tử này
bởi δS như trong mục 2.1.4

22

Theo nguyên lý bảo toàn khối lượng, chúng ta có thể phát biểu rằng suất biến đổi
của khối lượng của phần tử chất lỏng theo thời gian bằng 0 khi phần tử này chuyển
động cùng với dòng. Như vậy, chúng ta có

Kết hợp phương trình (2.15) và phương trình (2.16), chúng ta được

Hay

Số hạng trong dấu [ ] có ý nghĩa vật lý như của . Vậy kết hợp hai phương trình
(2.14) và (2.17) chúng ta được

Phương trình (2.18) là dạng phương trình liên tục trong dạng không bảo toàn
Kết luận:
Bằng việc áp dụng mô hình phần tử chất lỏng vô cùng bé, chúng ta
nhận được phương trình (2.18) trực tiếp trong dạng đạo hàm riêng.
Bằng việc chọn mô hình chuyển động cùng với dòng, chúng ta nhận
được dạng không bảo toàn của phương trình liên tục.
Tiếp theo, xét mô hình thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian so với
dòng. Tại một điểm trên bề mặt kiểm soát, vận tốc dòng là và diện tích bề mặt
của phần tử vector là . Gọi dV là thể tích phần tử trong thể tích kiểm soát hữu
hạn. Áp dụng nguyên lý bảo toàn khối lượng.
23

Xét vế trái của phương trình (2.19)
Dòng khối lượng của chất lỏng chuyển động qua bất kỳ bề mặt cố định nào bằng
tích của mật độ thành phần vận tốc thẳng góc với bề mặt. Do đó dòng khối lượng
phần tử qua vùng dS là

Khảo sát hình 2.5, theo quy ước luôn hướng ra khỏi thể tích kiểm soát.
Do đó, khi cũng hướng ra khỏi thể tích kiểm soát, như vậy là số dương.
Khi hướng ra khỏi thể tích kiểm soát, dòng khối lượng về mặt vật lý là rời khỏi
thể tích kiểm soát, tức là một sự chảy ra, do đó dương biểu thị sự chảy ra,
ngược lại khi hướng vào thể tích kiểm soát thì âm, tức là biểu thị sự chảy
vào.

Hình 2.5: Thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian.
Suất giảm khối lượng
trong thể tích kiểm
soát theo thời gian
Khối lượng dòng chảy ra
khỏi thể tích kiểm soát
qua bề mặt S
=
(2.19)
24

Dòng khối lượng vòng ra khỏi toàn bộ thể tích kiểm soát qua bề mặt kiểm soát S là
tổng trên S của những dòng khối lượng phần tử trong phương trình (2.20). trong
giới hạn, nó trở thành một tích phân mặt.

Xét vế phải của phương trình (2.19). Khối lượng chứa trong thể tích phần tử dV là
dV. Toàn bộ khối lượng trong thể tích kiểm soát là một tích phân thể tích

Suất tăng khối lượng theo thời gian trong V là

Lần lượt, suất giảm khối lượng theo thời gian trong V là âm của nó là


Thay phương trình (2.22) và (2.23) vào phương trình (2.19) chúng ta có

Hoặc

Phương trình (2.24) là dạng tích phân của phương trình liên tục trong dạng bảo
toàn.
25

Đưa phương trình (2.24) về dạng phương trình vi phân. Vì thể tích kiểm soát cố
định trong không gian, những giới hạn tích phân trong phương trình (2.24) không
thay đổi và do đó đạo hàm thời gian
t
có thể đặt trong tích phân.



Áp dụng định lý phân kỳ từ phép tính vector, tích phân mặt trong phương trình
(2.25) có thể biểu thị như một tích phân thể tích

Thay phương trình (2.26) vào phương trình (2.25) chúng ta được

Hoặc

Để tích phân trong phương trình (2.28) bằng 0 là cho biểu thức dưới dấu tích phân
bằng 0, do đó

Phương trình (2.29) là phương trình liên tục dạng bảo toàn.
Kết luận:
Bằng việc áp dụng mô hình thể tích kiểm soát hữu hạn, chúng ta
nhận được phương trình (2.29) trực tiếp ở dạng tích phân.