Chuyên đề 08 hình học giải tích phẳng khóa luyện thi đảm bảo
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.6 MB, 24 trang )
De_bai_bai_01.pdf
Dap_an_bai_01.pdf
De_bai_bai_02.pdf
Da_an_bai_02.pdf
De_bai_bai_03.pdf
Dap_an_bai_03.pdf
De_bai_bai_04.pdf
Dap_an_bai_04.pdf
De_bai_bai_05.pdf
Dap_an_bai_05.pdf
De_bai_bai_6.pdf
Dap_an_bai_6.pdf
De_bai_bai_07.pdf
Dap_an_bai_07.pdf
De_bai_bai_08.pdf
Dap_an_bai_08.pdf
Bài 1: Các bài toán thiết lập phương trình ñường thẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG THẲNG
Bài 1: Một hình thoi có một ñường chéo có phương trình: x+2y-7=0, một cạnh có phương
trình: x+3y-3=0. Một ñỉnh là (0;1). Viết phương trình 3 cạnh và ñường chéo thứ 2 của hình thoi.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 ñiểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình ñường thẳng qua
N sao cho khoảng cách từ M tới ñó bằng 2.
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm M(3;1). Viết phương trình ñường thẳng qua M và cắt 2
trục tọa ñộ Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA+OB ñạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC với A(1;2), ñường trung
tuyến BM và ñường phân giác trong CD có phương trình lần lượt là:
2x+y+1=0 và x+y-1=0. Viết phương trình ñường thẳng BC.
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho ñường thẳng d có phương trình: 2x+3y+1=0
2x+3y+1=0 và ñiểm M(1;1). Viết phương trình ñường thẳng ñi qua M tạo với d một góc 45
0
………………….Hết………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 1: Các bài toán thiết lập phương trình ñường thẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
HGD CÁC BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH
ðƯỜNG THẲNG
Bài 1: Một hình thoi có một ñường chéo có phương trình: x+2y-7=0, một cạnh có
phương trình: x+3y-3=0. Một ñỉnh là (0;1). Viết phương trình 3 cạnh và ñường chéo thứ 2 của
hình thoi.
Giải:
Giả sử A(0;1) và tọa ñộ B là nghiệm của hệ PT:
3 3 0
(15; 4)
2 7 0
x y
B
x y
+ − =
⇒ −
+ − =
Gọi C(a;b) ta có tâm
1
( ; ) à ( 15; 5)
2 2
a b
O v D a b
+
− +
( )
( )
; 1
30; 9 ( 30) ( 1)( 9) 0(1)
à : 15 2( 5) 7 0 12 2 (2)
AC a b
BD a b a a b b
AC BD
M D BD a b a b
= −
⇒ = − + ⇒ − + − + =
⊥
∈ ⇒ − + + − = ⇒ = −
Thế (2) vào (1) ta có: b=-9 hay b=5
-9 (30; 9) (15; 4) ( ) (2;5) (1;3) ( 13;10)
: ( 2) 3( 5) 0 : 3 17 0
(2; 4) (2; 1) : 2 ( 1) 0 2 1 0
( 13;9) (9;13)
: 9 13( 1) 0
: 9( 2) 1
AB CD
AC
AD BC
b C D B loai C O D
Do n n CD x y hay x y
AC n AC x y x y
AD n n
AD x y
BC x
= ⇒ − ⇒ − ≡ ⇒ ⇒ ⇒ −
= ⇒ − + − = + − =
⇒ = − ⇒ − − = ⇒ − + =
= − ⇒ = =
+ − =
⇒
− +
: 9 13 13 0
3( 5) 0 : 9 13 83 0
AD x y
y BC x y
+ − =
⇒
− = + − =
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 ñiểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình ñường thẳng qua
N sao cho khoảng cách từ M tới ñó bằng 2.
Giải:
• Xét trường hợp ñường thẳng cần tìm song song với trục tung là:
(
)
: 6 0 5 2( )
x d M loai
∆ − = ⇒ → ∆ = ≠
• Gọi phương trình ñường thẳng cần tìm có dạng:
' : ( 6) 2
y k x
∆ = − +
Bài 1: Các bài toán thiết lập phương trình ñường thẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3
( )
2
2 6
2 6 0 ' 2
1
0
2
' :
20
20 21 162 0
21
kx y k
kx y k d M
k
k
y
x y
k
− + −
⇒ − + − = ⇒ → ∆ = =
+
=
=
⇒ ⇒ ∆
+ − =
= −
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm M(3;1). Viết phương trình ñường thẳng qua M và cắt 2
trục tọa ñộ Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA+OB ñạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi phương trình ñường thẳng cần tìm là:
( ) ( )
( )
2
2
2
2
1. : ;0 à 0;
3 1
1
3 1
( 3 1)
( ) ( 3 1) 3 1 3 3 3
3
0
: 1
3 3 1 3
x y
Voi A a v B b
a b
a b
OA OB a b a b a b
a b
a
b
Min OA OB a b b a
ab
x y
PT
+ =
+ =
⇒
+ = + ≥ + = + + ≥ +
=
⇒ + = + ⇔ ⇒ = ⇒ = + ⇒ = +
≥
⇒ + =
+ +
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC với A(1;2), ñường trung
tuyến BM và ñường phân giác trong CD có phương trình lần lượt là:
2x+y+1=0 và x+y-1=0. Viết phương trình ñường thẳng BC.
Giải:
Gọi A’ là ñiểm ñối xứng với A qua CD và AA’ cắt CD ở I ta có: A’ thuộc BC
Ta có:
AA'
(1; 1) AA': 1 ( 2) 0 1 0
CD
u n x y hay x y
= = − ⇒ − − − = − + =
Tọa ñộ ñiểm I là nghiệm của hệ:
1 0
(0;1) '( 1; 0). ( ; ). 1 0
1 0
x y
I A Goi C a b Do C CD a b
x y
− + =
⇒ ⇒ − ∈ ⇒ + − =
+ − =
Mà trung ñiểm M của AC có tọa ñộ là:
1 1 1 1
( ; ) 2. 1 0 2 6 0
2 2 2 2
a b a b
M BM a b
+ + + +
∈ ⇒ + + = ⇒ + + =
Tọa ñộ C là nghiệm của hệ PT:
Bài 1: Các bài toán thiết lập phương trình ñường thẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 3
1 0
( 7;8) ' ( 6;8) (4;3)
2 6 0
: 4( 1) 3 0 4 3 4 0
BC
a b
C A C n
a b
BC x y hay x y
+ − =
⇒ − ⇒ = − ⇒ =
+ + =
⇒ + + = + + =
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho ñường thẳng d có phương trình: 2x+3y+1=0
2x+3y+1=0 và ñiểm M(1;1). Viết phương trình ñường thẳng ñi qua M tạo với d một góc 45
0
Giải:
Xét ñường thẳng cần tìm song song với trục tung là:
2 1
: 1 0 (1;0) ( ; )
13 2
x n d d
∆
∆ − = ⇒ = ⇒ ∆ = ≠
Gọi phương trình ñường thẳng cần tìm là:
(
)
'
2
' : 1 1 1 0 ( ; 1)
1
5 4 0
2 3
1
os( '; )
5
5 6 0
2
14. 1
5
y k x kx y k n k
x y
k
k
c d
x y
k
k
∆
∆ = − + ⇒ − + − = ⇒ = −
− + =
−
=
⇒ ∆ = = ⇔ ⇒
+ − =
+
= −
………………….Hết………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 2: Các bài toán xác ñịnh ñiểm nhờ phương trình ñường thẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN XÁC ðỊNH ðIỂM NHỜ PHƯƠNG TRÌNH
ðƯỜNG THẲNG
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC có ñỉnh A(1;0) và 2 ñường thẳng lần lượt
chứa ñường cao kẽ từ B và C có phương trình: x-2y+1=0; 3x+y+1=0. Tính diện tích tam giác
ABC .
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, góc BAC = 90
0
.
Biết M(1;-1) là trung ñiểm của BC và G(2/3;0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa ñộ các ñỉnh
ABC.
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC ñỉnh A. Có
trọng tâm là G(4/3;1/3), Phương trình ñường thẳng BC là: x-2y-4=0, phương trình
ñường thẳng BG là: 7x-4y-8=0. Tìm tọa ñộ các ñỉnh A,B,C.
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật có tâm I(1/2;0). Phương trình
ñường thẳng AB là: x-2y+2=0 và AB=2AD. Tìm tọa ñộ các ñỉnh A,B,C,D. Biết
rằng A có hoành ñộ âm.
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm A(0;2) và ñường thẳng d: x-2y+2=0. Tìm
trên d hai ñiểm B và C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB=2BC.
………………….Hết………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 2: Các bài toán xác ñịnh ñiểm nhờ phương trình ñường thẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN XÁC ðỊNH ðIỂM NHỜ PHƯƠNG TRÌNH
ðƯỜNG THẲNG
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC có ñỉnh A(1;0) và 2 ñường thẳng lần lượt
chứa ñường cao kẽ từ B và C có phương trình: x-2y+1=0; 3x+y+1=0. Tính diện tích tam giác
ABC .
Giải:
Ta có:
(1; 3) : 3 1 0
CK AB
u n AB x y
= = − ⇒ − − =
Tọa ñộ B là nghiệm của hệ:
( )
3 1 0
( 5; 2)
2 1 0
à : 2;1 2( 1) 0 2 2 0
BH AC
x y
B
x y
V u n x y x y
− − =
⇒ − −
− + =
= = ⇒ − + = ⇒ + − =
Và tọa ñộ C là nghiệm của hệ phương trình:
( )
2 2
2 2 0
( 3;8) 4 8 4 5
3 1 0
14 1 1 14
. .4 5. 28
2 2
5 5
ABC
x y
C AC
y
d B AC BH S AC BH
∆
+ − =
⇒ − ⇒ = + =
+ + =
→ = = ⇒ = = =
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, góc BAC = 90
0
.
Biết M(1;-1) là trung ñiểm của BC và G(2/3;0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa ñộ các ñỉnh
ABC.
Giải:
Gọi
( )
0 0
0 0
2
;
3
1
( ; ) ; 1 0; 2
3
2
AG x y
A x y GM M
AG GM
= − −
⇒ = − ⇒
=
Bài 2: Các bài toán xác ñịnh ñiểm nhờ phương trình ñường thẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3
(
)
( )
( )
( ) ( )
; 2
2 ; 4
( ; ) (2 ; 2 )
2 2 ; 2 2
(1; 3)
(2 ) 2 4 0
0 (4;0); ( 2; 2)
ì :
2 ( 2; 2); (4; 0)
2 2 3(2 2 ) 0
AB a b
AC a b
Goi B a b C a b
BC a b
AM
a a b b
AB AC b B C
V
AM BC b B C
a b
= −
= − − −
⇒ − − − ⇒
= − − −
= −
− + − − − =
⊥ = ⇒ − −
⇒ ⇒
⊥ = − ⇒ − −
− + + =
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC cân ñỉnh A. Có
trọng tâm là G(4/3;1/3), Phương trình ñường thẳng BC là: x-2y-4=0, phương trình
ñường thẳng BG là: 7x-4y-8=0. Tìm tọa ñộ các ñỉnh A,B,C.
Giải:
Hoàng ñộ giao ñiểm B là nghiệm của hệ PT:
7 4 8 0
(0; 2)
2 4 0
x y
B
x y
− − =
⇒ −
− − =
Do C thuộc BC nên:
4 2(3 ) 4 0 2 6
a b a b
− − − − = ⇔ − = −
Nhưng do tam giác ABC cân nên:
( )
4 1
;
3 3
. 0. à : 2 3 0
2;1
BC
BC
AG a b
AG BC AG u M a b
u
= − −
⊥ ⇒ = ⇒ + − =
=
Tọa ñộ A là nghiệm của hệ PT:
2 6 0
(0;3) (4;0)
2 3 0
a b
A C
a b
− + =
⇒ ⇒
+ − =
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật có tâm I(1/2;0). Phương trình
ñường thẳng AB là: x-2y+2=0 và AB=2AD. Tìm tọa ñộ các ñỉnh A,B,C,D. Biết
rằng A có hoành ñộ âm.
Giải:
• Phương trình ñường thẳng qua I vuông góc với AB là d:2x+y-1=0
• Tọa ñộ giao ñiểm M của d và B là nghiệm của hệ:
2 1 0
5
(0;1) 2 5
2 2 0
2
x y
M MI AD MI AM
x y
+ − =
⇒ ⇒ = ⇒ = = =
− + =
Gọi A(a;b) với a<0 ta có:
2 2
( 1) 5
AM a b= + − =
Do A thuộc AB nên a-2b+2=0 => a=2(b-1)
Bài 2: Các bài toán xác ñịnh ñiểm nhờ phương trình ñường thẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 3
( )
2
(2; 2)
0 2
5 1 5 ( 2;2) (3;0)
2 2( )
( 1; 2)
B
b a
b A C
b a loai
D
= ⇒ = −
− = ⇒ ⇒ − ⇒
= ⇒ =
− −
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm A(0;2) và ñường thẳng d: x-2y+2=0. Tìm
trên d hai ñiểm B và C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB=2BC.
Giải:
Phương trình ñường thẳng ñi qua A vuông góc với d là: 2x+y-2=0
Tọa ñộ ñiểm B là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 0
2 6
( ; )
2 2 0
5 5
x y
B
x y
+ − =
⇒
− + =
Ta có:
2
( )
5
d A d→ =
Gọi C(a;b) là ñiểm trên d, ta có: a-2b+2=0 (1) và:
2 2
2 2
2 6 4
( ) (2)
5 5 5
d A d BC a b
→ = = − + − =
Từ (1) và (2) ta có: C(0;1) hoặc C(4/5;7/5)
………………….Hết………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 3: Các bài toán thiết lập phương trình ñường tròn – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG TRÒN
Bài 1: (ðề TSðH khối D-2003)
Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) và ñường thẳng d có phương trình:
( ) ( )
2 2
( ) : 1 1 4; : 1 0
C x y d x y
− + − = − − =
Viết phương trình ñường tròn (C’) ñối xứng với (C) qua d.
Bài 2: Cho tam giác ABC với A(8;0), B(0;6) và C(9;3).
Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa ñộ cho ñường thẳng d: 2x-y-5=0 và 2 ñiểm A(1;2), B(4;1)
Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc d và ñi qua A,B.
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường thẳng d: 4x+3y-43=0 và ñiểm A(7;5) trên d. Viết phương trình
ñường tròn tiếp xúc với d tại A và có tâm nằm trên ñường thẳng:
: 2 5 4 0
x y
∆ − + =
Bài 5: Trên mặt phẳng Oxyz cho 2 ñường thẳng: d
1
:3x+4y-47=0 và d
2
:4x+3y-45=0
Lập phương trình ñường tròn có tâm nằm trên ñường thẳng d: 5x+3y-22=0
và tiếp xúc với cả d
1
và d
2
.
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 3: Các bài toán thiết lập phương trình ñường tròn – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG TRÒN
Bài 1: (ðề TSðH khối D-2003)
Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) và ñường thẳng d có phương trình:
( ) ( )
2 2
( ) : 1 1 4; : 1 0
C x y d x y
− + − = − − =
Viết phương trình ñường tròn (C’) ñối xứng với (C) qua d.
Giải:
(C) có tâm I(1;1) và R=2
(C’) ñối xứng với (C) qua d thì tâm I’ của (C’) cũng ñối xứng với I qua d và R=R’=2
Phương trình ñường thẳng qua I vuông góc với d là:
: 2 0
x y
∆ + − =
( )
0
2
2
2 0
3 1
à : ( ; ) '(2;0)
1 0
2 2
( ') : 2 4
x y
d K l ng cua HPT K I
x y
C x y
+ − =
∆ ∩ = ⇒ ⇒
− − =
⇒ − + =
Bài 2: Cho tam giác ABC với A(8;0), B(0;6) và C(9;3).
Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
Trung ñiểm của AB là:
(
)
(
)
(4;3) à 8;6 4; 3
M v AB
= − ↑↑ −
Ta có phương trình ñường trung trực của AB là:
4( 4) 3( 3) 0 4 3 7 0
x y x y
− − − = ⇔ − − =
Trung ñiểm của BC là:
( ) ( )
9 9
( ; ) à 9; 3 3; 1
2 2
N v BC
= − ↑↑ −
Ta có phương trình ñường trung trực của BC là:
9 9
( ) 3( ) 0 3 9 0
2 2
x y x y
− − − = ⇔ − − =
Vậy tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp là nghiệm của hệ:
( ) ( )
2 2
2 2
4 3 7 0
(4;3) 4 3 5
3 9 0
( ) : 4 3 25
x y
O R
x y
C x y
− − =
⇒ ⇒ = + =
− − =
⇒ − + − =
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa ñộ cho ñường thẳng d: 2x-y-5=0 và 2 ñiểm A(1;2), B(4;1)
Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc d và ñi qua A,B.
Giải:
Tâm O sẽ là giao ñiểm của ñường trung trực của AB và d.
Bài 3: Các bài toán thiết lập phương trình ñường tròn – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 2
Trung ñiểm của AB là:
5 3
( ; ), (3; 1)
2 2
M AB
= −
Ta có phương trình ñường trung trực của AB là:
5 3
3( ) ( ) 0 3 6 0
2 2
x y x y
− − − = ⇔ − − =
Vậy tọa ñộ tâm O là nghiệm của hệ:
3 6 0
(1; 3)
2 5 0
x y
O
x y
− − =
⇒ −
− − =
Bán kính: R=5 nên ta có:
( ) ( )
2 2
( ) : 1 3 25
C x y
− + + =
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường thẳng d: 4x+3y-43=0 và ñiểm A(7;5) trên d. Viết
phương trình ñường tròn tiếp xúc với d tại A và có tâm nằm trên ñường thẳng:
: 2 5 4 0
x y
∆ − + =
Giải:
Ta có:
( ) ( )
0
2 2
(3; 4) :3 4 1 0
3 4 1 0
à a : (3; 2) 5
2 5 4 0
( ) : 3 2 25
d OA
u n OA x y
x y
O OA l ng cu HPT O R OA
x y
C x y
= = − ⇒ − − =
− − =
⇒ = ∩∆ ⇒ ⇒ = =
− + =
⇒ − + − =
Bài 5: Trên mặt phẳng Oxyz cho 2 ñường thẳng:
d
1
:3x+4y-47=0 và d
2
:4x+3y-45=0
Lập phương trình ñường tròn có tâm nằm trên ñường thẳng d: 5x+3y-22=0
Và tiếp xúc với cả d
1
và d
2
.
Giải:
Các phương trình ñường phân giác tạo bởi d
1
và d
2
là:
( )
( ) ( )
1
2 2 2 2
2
1 1 0 1
2 2
1 1
2 2 0 2
2
: 2 0
3 4 47 4 3 45
: 7 7 92 0
3 4 4 3
2 0
* 1: à : 2; 4
5x 3y 22 0
à 5 ( ) : 2 4 5
7 7 92 0
61 153
* 2 : à : ;
5x 3y 22 0
7 7
20
à
7
x y
x y x y
x y
x y
TH O d l ng cua HPT O
v R C x y
x y
TH O d l ng cua HPT O
v R
∆ − + =
+ − + −
= ⇔
∆ + − =
+ +
− + =
= ∆ ∩ ⇒
+ − =
= ⇒ − + − =
+ − =
= ∆ ∩ ⇒ −
+ − =
=
2 2
2
61 153 400
( ) :
7 7 21
C x y
⇒ + + − =
………………….Hết…………………
Nguồn:
Hocmai.vn
Bài 4: Bài toán về phương trình tiếp tuyến và và cát tuyến với ñường tròn.– Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VÀ CÁT TUYẾN
VỚI ðƯỜNG TRÒN
Bài 1: Lập phương trình ñường thẳng
(
)
∆
ñi qua gốc tọa ñộ O và cắt ñường tròn:
( ) ( )
2 2
1 3 25
x y
− + + =
theo một dây cung có ñộ dài là 8
Bài 2: Trong hệ tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C) co phương trình:
2 2
2 4 20 0
x y x y
+ + − − =
và ñiểm
A(3;0). Viết phương trình ñường thẳng
(
)
∆
ñi qua A và cắt ñường tròn (C) theo một dây cung
MN sao cho:
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa ñộ cho Oxy cho ñường tròn (C) có phương trình:
2 2
2 4 4 0
x y x y
+ − + + =
Viết PT ñường thẳng
(
)
(
)
3 4 7 0
∆ / / d : x y
+ − =
và chia ñường tròn (C) thành 2 cung có tỉ số
ñộ dài là 2.
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 4: Bài toán về phương trình tiếp tuyến và và cát tuyến với ñường tròn.– Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VÀ CÁT TUYẾN
VỚI ðƯỜNG TRÒN
Bài 1: Lập phương trình ñường thẳng
(
)
∆
ñi qua gốc tọa ñộ O và cắt ñường tròn:
( ) ( )
2 2
1 3 25
x y
− + + =
theo một dây cung có ñộ dài là 8
Giải:
ðường tròn (C) có tâm I(1;3) và bán kính R=5.
Phương trình ñường thẳng qua O là:
(
)
2 2
0
ax+by=0 a b
+ >
Giả sử
(
)
∆
cắt cung (C) theo dây cung AB có ñộ dài là 8.
Kẽ
(
)
IH
∆
⊥
tại H thì H là trung ñiểm của ñoạn AB
4
2
AB
HA
⇒ = =
Tam giác IHA vuông t
ạ
i H, ta có:
2 2
25 16 3
IH IA HA
= − = − =
. M
ặ
t khác:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 2
1 2
3
3 3 9 4 3 0
0 1
0 3 4 0
4
3 4
3
a b
d I , ∆ IH a b a b a ab
a b
a : chon b
∆ : y ; ∆ : x y
b a : Chon a ;b
−
= ⇔ = ⇔ − = + ⇔ + =
+
= =
⇔ ⇒ = − =
= − = = −
Bài 2:
Trong h
ệ
t
ọ
a
ñộ
Oxy, cho
ñườ
ng tròn (C) co ph
ươ
ng trình:
2 2
2 4 20 0
x y x y
+ + − − =
và
ñ
i
ể
m
A(3;0). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng
(
)
∆
ñ
i qua A và c
ắ
t
ñườ
ng tròn (C) theo m
ộ
t dây cung
MN sao cho:
a)
MN có
ñộ
dài l
ớ
n nh
ấ
t.
b)
MN có
ñộ
dài nh
ỏ
nh
ấ
t.
Giải:
a)
ðườ
ng tròn (C) có tâm I(-1;2), bán kính R=5.
Dây MN l
ớ
n nh
ấ
t khi MN là
ñườ
ng kính c
ủ
a (C).
Do
ñ
ó
(
)
∆
là
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua 2
ñ
i
ể
m A,I.
Ph
ươ
ng trình c
ủ
a
(
)
∆
là:
3
2 3 0
1 3 2
x y
x y
−
= ⇔ + − =
− −
b)
Ta có:
4 2 2 5
IA ( ; ) IA= − ⇒ =
Kẽ
IH MN
⊥
tại H. Dây MN nhỏ nhất khi IH lớn nhất.
Ta có:
2 5 2 5
Max
IH IA IH≤ = ⇒ =
khi
(
)
H A
∆ IA
≡ ⇒ ⊥
tại A
(
)
∆
qua A và nhận
IA
làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
Bài 3: Các bài toán thiết lập phương trình ñường tròn – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 2
(
)
(
)
4 3 2 0 0 2 6 0
x y x y
− − − = ⇔ − − =
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa ñộ cho Oxy cho ñường tròn (C) có phương trình:
2 2
2 4 4 0
x y x y
+ − + + =
Viết PT ñường thẳng
(
)
(
)
3 4 7 0
∆ / / d : x y
+ − =
và chia ñường tròn (C) thành 2 cung có tỉ số
ñộ dài là 2.
Giải:
ðường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R=1.
(
)
(
)
3 4 0 7
∆ / /( d ) ( ∆ ) : x y c c
⇒ + + = ≠ −
Giả sử
(
)
∆
chia ñường tròn (C) thành 2 cung:
AmB và AnB
sao cho sñ
AmB
=2sñ
AnB
⇒
sñ
0
120
AnB =
Kẽ
IH AB
⊥
tại H, ta có:
0 0
1 1
60
2 2
AIH AIB IH IA.cos60
= =
⇒
= =
∡ ∡
Mặt khác:
( )
5
1 15 5
5 2 2 2
c
d I ,∆ IH c và c
−
= ⇔ = ⇔ = =
Vậy có 2 ñường thẳng cần tìm là:
( ) ( )
1 2
15 5
3 4 0 3 4 0
2 2
∆
: x y ;
∆
: x y ;
+ + = + + =
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 5: Bài toán xác ñịnh ñiểm nhờ phương trình ñường tròn.– Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN XÁC ðỊNH ðIỂM NHỜ PHƯƠNG TRÌNH
ðƯỜNG TRÒN
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) có phương trình:
( ) ( )
2 2
1 2 4
x y
− + − =
và ñường
thẳng
1 0
d : x y
− − =
. Viết phương trình ñường tròn (C’) ñối xứng với (C) qua ñường thẳng d.
Tìm tọa ñộ giao ñiểm của (C) và (C’).
Bài 2: Trên mặt phẳng Oxy cho ñường thẳng
1 0
d : x y
− + =
và ñường tròn (C):
2 2
2 4 0
x y x y
+ + − =
.
Tìm ñiểm M trên d sao cho qua M kẽ ñược 2 ñường thẳng tiếp xúc với (C) tại A,B sao cho:
0
60
AMB =
.
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 5: Bài toán xác ñịnh ñiểm nhờ phương trình ñường tròn.– Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN XÁC ðỊNH ðIỂM NHỜ PHƯƠNG TRÌNH
ðƯỜNG TRÒN
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) có phương trình:
( ) ( )
2 2
1 2 4
x y
− + − =
và ñường
thẳng
1 0
d : x y
− − =
. Viết phương trình ñường tròn (C’) ñối xứng với (C) qua ñường thẳng d.
Tìm tọa ñộ giao ñiểm của (C) và (C’).
Giải:
(
)
1
C
có tâm I(1,2) và R=2
Gọi I’ là ñiểm ñối xứng của I qua d.
Gọi
∆
là ñường thẳng qua I và
∆ d
⊥
.
3 0 2 1
∆ : x y .∆ d H( ; )
+ − = ∩ =
H là trung ñiểm của II’. Giả sử I’(x;y) thì:
1
2
3
2
2 0
1
2
x
x
y y
+
=
=
⇒
+ =
=
( )
2
2
3 0 2 3 4
I '( ; ); R R' (C') : x y
⇒
= =
⇒
− + =
Giải hệ:
( ) ( )
( )
2 2
2
2
1 2 4
1 0
3 2
3 4
x y
x ; y
x ; y
x y
− + − =
= =
⇔
= =
− + =
Vậy 2 giao ñiểm cần tìm là: A(1;0) và B(3;2)
Bài 2: Trên mặt phẳng Oxy cho ñường thẳng
1 0
d : x y
− + =
và ñường tròn (C):
2 2
2 4 0
x y x y
+ + − =
.
Tìm ñiểm M trên d sao cho qua M kẽ ñược 2 ñường thẳng tiếp xúc với (C) tại A,B sao cho:
0
60
AMB =
.
Giải:
Phương trình ñường tròn là:
( ) ( )
2 2
1 2 5 1 2 5
x y I( ; ); R+ + − = ⇒ − =
.
Ta có:
0
2 2
60
2 5 1 2
2
R sin MI d( M ,d ) ( a ) ( b ) ;M ( a;b )
= = = = + + −
Do M thuộc d nên: b=a+1
Thay vào giải ra a và b ta ñược 2 vị trí của M trên d là:
1 2
3 4 3 2
M ( ; ); M ( ; )
−
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 7: Lập phương trình các ñường conic – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI LẬP PHƯƠNG TRÌNH CÁC ðƯỜNG CONIC
Bài 1: Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho elip:
2 2
( ) : 1
8 4
x y
E
+ =
F
1
; F
2
lần lượt là tiêu ñiểm
phải và trái của (E). Tìm ñiểm M trên (E) sao cho MF
1
- MF
2
=2
Bài 2: Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy hãy lập phương trình chính tắc cuả Elip (E) có ñộ dài
trục lớn là
4 2
, các ñỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu ñiểm cùng nằm trên một ñường tròn.
Bài 3: Trên mặt phẳng tọa ñộ cho Parabol (P) có phương trình: y
2
= x và ñiểm I(0;2). Tìm tọa ñộ 2 ñiểm
M,N trên (P) sao cho:
4
IM IN
=
………………….Hết………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 7: Lập phương trình các ñường conic – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI LẬP PHƯƠNG TRÌNH CÁC ðƯỜNG CONIC
Bài 1: Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho elip:
2 2
( ) : 1
8 4
x y
E
+ =
F
1
; F
2
lần lượt là tiêu ñiểm
phải và trái của (E). Tìm ñiểm M trên (E) sao cho MF
1
- MF
2
=2
HDG:
Gọi M(x
0
;y
0
) Vì MF
1
- MF
2
=2 nên:
0 0
0
2
2
0
0 0
1 2
2 2
2 2
2
1
4(1 ) 4(1 ) 3 3
8 4
( 2; 3); ( 2; 3)
cx cx
a
a a x
a a c
x
y y
M M
+ − − = ⇔ = = =
⇒ = − = − = ⇒ = ±
⇒ −
Bài 2:
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
ñộ
Oxy hãy l
ậ
p ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c cu
ả
Elip (E) có
ñộ
dài
tr
ụ
c l
ớ
n là
4 2
, các
ñỉ
nh trên tr
ụ
c nh
ỏ
và hai tiêu
ñ
i
ể
m cùng n
ằ
m trên m
ộ
t
ñườ
ng tròn.
HDG:
Do
2
2 4 2 2 2 8
a a a
= ⇒ = ⇒ =
Ví các
ñỉ
nh c
ủ
a tr
ụ
c nh
ỏ
và 2 tiêu
ñ
i
ể
m cùng n
ằ
m trên m
ộ
t
ñườ
ng tròn nên :
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 8 4 ( ) : 1
8 4
b c
x y
b b E
a b c
=
⇒ = ⇒ = ⇒ + =
= +
Bài 3:
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
ñộ
cho Parabol (P) có ph
ươ
ng trình: y
2
= x và
ñ
i
ể
m I(0;2). Tìm t
ọ
a
ñộ
2
ñ
i
ể
m
M,N trên (P) sao cho:
4
IM IN
=
HDG:
G
ọ
i:
2
2
2 2
2
2
( ; 2)
( ; )
4
( ) ( ; 2)
2 4 8
( ; )
4
IM m m
M m m
m n
P IN m m
m n
N n n
IM IN
−
=
∈ ⇒ − ⇒
− = −
=
2 6 (36;6)
4 6 3 (9;3)
2 2 (4; 2)
4 6 1 (1;1)
m n m M
m n n N
m n m M
m n n N
= = −
⇔ ⇔
= − =
⇔
= − = − −
⇔ ⇔
= − =
………………….Hết………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 7: Bài toán về sự tương giao của conic – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN VỀ TƯƠNG GIAO GIỮA CONIC
VỚI CÁC ðƯỜNG KHÁC
Bài 1: Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho Hypebol:
2 2
( ) : 1
2 3
x y
H
− =
và ñiểm M(2;1). Viết phương
trình ñường thẳng qua M cắt (H) tại A và B sao cho M là trung ñiểm của AB.
Bài 2: Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho:
2 2 2 2
( ) : 1 à ( ) : 1
9 1 1 4
x y x y
Elip E v Hypebol H
+ = − =
Lập phương trình ñường tròn ñi qua các giao ñiểm của (E) và (H).
Bài 3: Trên mặt phẳng tọa ñộ cho Parabol (P) và ñường thẳng d có phương trình:
2
( ) : 2 ; : 2 2 1 0
P y x d my x
= − + =
a) CMR: Với mọi m, d luôn ñi qua tiêu ñiểm F của (P) và cắt (P) tại 2 ñiểm M, N
phân biệt.
b) Tìm quỹ tích trung ñiểm I của ñoạn MN khi m thay ñổi.
……………….Hết………………
Nguồn: hocmai.vn
Bài 7: Bài toán về sự tương giao của conic – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN VỀ TƯƠNG GIAO GIỮA CONIC
VỚI CÁC ðƯỜNG KHÁC
Bài 1: Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho Hypebol:
2 2
( ) : 1
2 3
x y
H
− =
và ñiểm M(2;1). Viết phương
trình ñường thẳng qua M cắt (H) tại A và B sao cho M là trung ñiểm của AB.
HDG:
Xét ñường thẳng ñi qua M song song với Oy là d: x=2 thì:
1,2
( ) (2; 3)
d H M∩ = ±
nên trung ñiểm I (2;0) khác M (loại )
Gọi phương trình ñường thẳng cần tìm có dạng: y=k(x-2)+1 hay y= kx+1-2k
Hoành ñộ giao ñiểm của ñường thẳng này với (H) là nghiệm của phương trình:
2 2 2 2 2
1 2
2
3 2( 1 2 ) 6 (3 2 ) 4 (2 1) 2(2 1) 6 0( 0)
4 (2 1)
à 4 3
2 3
3 5 3 5 0
x kx k x k k k x k
k k
M l trung diem x x k
k
y x hay x y
− + − = ⇔ − + − − − − = ∆ >
−
⇒ + = = ⇔ =
−
⇒ = − − − =
Bài 2:
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
ñộ
Oxy cho:
2 2 2 2
( ) : 1 à ( ) : 1
9 1 1 4
x y x y
Elip E v Hypebol H
+ = − =
L
ậ
p ph
ươ
ng trình
ñườ
ng tròn
ñ
i qua các giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (E) và (H).
HDG:
ðặ
t:
2
2
x a
y b
=
=
2 2
45
1
77 77
37
9
( )
32
37 37
1
374
a
a
b
a b x y C
b
b
a
=
+ =
⇒
⇔
⇒
+ =
⇒
+ =
=
− =
V
ậ
y qu
ỹ
tích giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (E) và (H) chính là
ñườ
ng tròn (C).
Bài 3:
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
ñộ
cho Parabol (P) và
ñườ
ng th
ẳ
ng d có ph
ươ
ng trình:
2
( ) : 2 ; : 2 2 1 0
P y x d my x
= − + =
a)
CMR: V
ớ
i m
ọ
i m, d luôn
ñ
i qua tiêu
ñ
i
ể
m F c
ủ
a (P) và c
ắ
t (P) t
ạ
i 2
ñ
i
ể
m M, N
phân bi
ệ
t.
Bài 7: Bài toán v
ề
s
ự
t
ươ
ng giao c
ủ
a conic – Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Phan Huy Kh
ả
i.
Page 2 of 2
b)
Tìm qu
ỹ
tích trung
ñ
i
ể
m I c
ủ
a
ñ
o
ạ
n MN khi m thay
ñổ
i.
HDG:
a)
Vì:
2
1 1
4 ( ; 0)
2 2
y px p F= ⇒ = ⇒
. Thay vào ta có:
1
2 .0 2. 1 0
2
m F d
− + = ⇒ ∈
Tung
ñộ
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (P) và d là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
2 2
2
2 1 2 1 0
' 1 1 0 ( ) , ( )
y my y my
m P d M N M N
= + ⇔ − − =
∆ = + ≥ > ⇒ ∩ = ≠
b)
Vì M,N thu
ộ
c d nên trung
ñ
i
ể
m I c
ủ
a chúng c
ũ
ng thu
ộ
c d nên:
2 2 1 0
I I
my x
− + =
Nh
ư
ng:
2
1 2
1
1
2
2 2
I I
I I I
I
x my
y y
y m x y
m y
= +
+
= = ⇒ ⇒ = +
=
V
ậ
y qu
ỹ
tích trung
ñ
i
ể
m I là parabol có ph
ươ
ng trình:
2
1
2
x y
= +
……………….Hết………………
Nguồn:
hocmai.vn
Bài 8:
Các bài toán ñịnh tính nhờ ba ñường cônic – Khóa LTðH ñảm bảo – Khóa thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
CÁC BÀI TOÁN ðỊNH TÍNH NHỜ BA ðƯỜNG CONIC
Bài 1: Cho ñường tròn:
2 2
( ) : ( 2) 36
C x y
+ + =
và ñiểm F
2
(2;0). Xét các ñường tròn tâm M ñi qua F
2
và tiếp xúc với (C). Tìm quỹ tích tâm M.
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 8:
Các bài toán ñịnh tính nhờ ba ñường cônic – Khóa LTðH ñảm bảo – Khóa thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
CÁC BÀI TOÁN ðỊNH TÍNH NHỜ BA ðƯỜNG CONIC
Bài 1: Cho ñường tròn:
2 2
( ) : ( 2) 36
C x y
+ + =
và ñiểm F
2
(2;0). Xét các ñường tròn tâm M ñi qua F
2
và tiếp xúc với (C). Tìm quỹ tích tâm M.
Giải:
Trước hết ta xét vị trí tương ñối giữa F
2
và (C), ta có:
2
IF 4 6
R
= < =
nên F
2
nằm bên trong ñường tròn và sự tiếp xúc nói ñến ở
ñây chính là tiếp xúc trong.Ta có:
2
6
MF MI MI MK IK R
+ = + = = =
Vậy quỹ tích ñiểm M chính là Elip có 2 tiêu ñiểm là I và K ( K là ñiểm tiếp xúc của 2
ñường tròn). Trục thực có ñộ dài: 2a=6 nên a=3.
Nhưng: F
2
(2;0) nên c=2. Và ta có: b
2
=5 hay Elip có PT là:
2 2
1
9 5
x y
+ =
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
