Chuyên đề 09 hình học giải tích khóa luyện thi đảm bảo
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.24 MB, 20 trang )
Bài 1: Các bài toán thiết lập phương trình mặt phẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Bài 1: Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho ñiểm G(1;1;1)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG
b) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C.
CMR: ABC là tam giác ñều.
Bài 2: Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho 2 ñiểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0)
Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng
0
30
.
Bài 3: Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho 2 ñường thẳng có phương trình:
1 2
2 3 5 0 2 2 3 17 0
( ) : à (d ) :
2 0 2 2 3 0
x y z x y z
d v
x y z x y z
− + − = − − − =
+ − = − − − =
Lập phương trình mặt phẳng ñi qua
1
( )
d
và song song với
2
( )
d
.
Bài 4: Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho 2 ñường thẳng có phương trình:
1 2
5 2
7 0
( ) : 1 à (d ) :
2 3 16 0
5
x t
x y z
d y t v
x y z
z t
= +
+ + − =
= −
+ + − =
= −
Viết phương trình mặt phẳng chứa
1 2
( ) à ( )
d v d
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 1: Các bài toán thiết lập phương trình mặt phẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Bài 1: Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho ñiểm G(1;1;1)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG
b) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C.
CMR: ABC là tam giác ñều.
Giải:
( )
) ( ) ê (1;1;1;)
P
a Do OG P n n n OG⊥ = =
( ) :1( 1) 1( 1) 1( 1) 0 ( ) : 3 0
P x y z hay P x y z
⇒ − + − + − = + + − =
0
) ì Ox : (3;0;0)
0
y
b V A
z
=
⇒
=
Tương tự :
(0;3;0) à (0;3;0)
B v C
Ta có:
AB=BC=CA=3 2
ABC
⇒ ∆
là tam giác ñều
Bài 2: Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho 2 ñiểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0)
Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng
0
30
.
Giải:
Giả sử mặt phẳng cần có dạng :
( ) ( )
0
( )
( ) ( )
( ) : 1( , , 0)
( ) 1 à ( ) 3 ( ) : 1
3 1
1 1 . 3 2
( ) ( ; ;1) à (0;0;1) os30
3 2
.
( ) : 1
3 1
3 2
2
xOy
xOy
xOy
x y z
a b c
a b c
x y z
Do I c v do K a
b
n n
n v n c b
b
n n
x y z
+ + = ≠
∈ ⇒ = ∈ ⇒ = ⇒ + + =
⇒ = = ⇒ = ⇒ = ±
⇒ ± + =
α
α
α
α α α
α
α
Bài 3:
Trong không gian t
ọ
a
ñộ
Oxyz cho 2
ñườ
ng th
ẳ
ng có ph
ươ
ng trình:
1 2
2 3 5 0 2 2 3 17 0
( ) : à (d ) :
2 0 2 2 3 0
x y z x y z
d v
x y z x y z
− + − = − − − =
+ − = − − − =
Bài 1: Các bài toán thiết lập phương trình mặt phẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t Page 2 of 2
L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
ñ
i qua
1
( )
d
và song song v
ớ
i
2
( )
d
.
Giải:
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
(1; 1; 1); (1; 2; 2) . ( 4; 3; 1)
(4;3;1)
d d Q d d
Q
Do u u n u u
Hay n
= − − = − ⇒ = = − − −
=
M
ặ
t khác:
1 2
(2; 1;0) ; (0; 25;11)
( ) : 4( 2) 3( 1) 0 ( ) : 4 3 5 0
I d J d
Q x y z hay Q x y z
− ∈ − ∈
⇒ − + + + = + + − =
Bài 4:
Trong không gian t
ọ
a
ñộ
Oxyz cho 2
ñườ
ng th
ẳ
ng có ph
ươ
ng trình:
1 2
5 2
7 0
( ) : 1 à (d ) :
2 3 16 0
5
x t
x y z
d y t v
x y z
z t
= +
+ + − =
= −
+ + − =
= −
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a
1 2
( ) à ( )
d v d
Giải:
Gi
ả
s
ử
m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ầ
n l
ậ
p là (Q) ta có:
1
1 2
( ) ( )
(5;1;5) ; (5;2;0) (0;1; 5)
à . (0;1; 5) ( ) : 3( 5) 5( 1) 5 0
( ) : 3 5 25 0
Q d
M d N d MN
v n u MN Q x y z
hay Q x y z
∈ ∈ ⇒ = −
= = − ⇒ − + − + − =
+ + − =
………………….Hết…………………
Nguồn:
Hocmai.vn
Bài 2: Các bài toán thiết lập phương trình ñường thẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH
ðƯỜNG THẲNG
Bài 1: Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho mặt phẳng (P) và ñường thẳng (d):
( ) : 7 0
P x y z
+ + − =
;
2 5 0
( ) :
2 3 0
x y z
d
x z
+ + + =
− + =
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (P).
Bài 2: Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho mặt phẳng(P): 4x-3y+11z-26=0
và 2 ñường thẳng:
1 2
3 1 4 3
( ) : à ( ) :
1 2 3 1 1 2
x y z x y z
d v d
− + − −
= = = =
−
a)
CM:
1 2
( ) à ( )
d v d
chéo nhau.
b)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng
∆
n
ằ
m trong (P) c
ắ
t c
ả
1 2
( ) à ( )
d v d
.
Bài 3:
Trong không gian t
ọ
a
ñộ
Oxyz cho 2
ñườ
ng th
ẳ
ng có ph
ươ
ng trình
1 2
3 1 0
1
( ) : à ( ) :
2 1 0
1 2 1
x z
x y z
d v d
x y
− + =
+
= =
+ − =
a)
CM:
1 2
( ) à ( )
d v d
chéo nhau.
b)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng d c
ắ
t c
ả
1 2
( ),( )
d d
và song song v
ớ
i
4 7 3
( ) :
1 4 2
x y z
− − −
∆ = =
−
Bài 4:
Trong không gian t
ọ
a
ñộ
Oxyz cho 2
ñườ
ng th
ẳ
ng
1 2
( ),( )
d d
và m
ặ
t
ph
ẳ
ng (P) có ph
ươ
ng trình:
1 2
1 1 2 2 2
( ) : à ( ) :
2 3 1 1 5 2
x y z x y z
d v d
+ − − − +
= = = =
−
( ) : 2 5 1 0
P x y z
− − + =
a)
CM:.
1 2
( ) à ( )
d v d
chéo nhau và tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a chúng.
b)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng
∆
vuông góc v
ớ
i (P), c
ắ
t c
ả
1 2
( ),( )
d d
.
………………….Hết…………………
Nguồn:
Hocmai.vn
Bài 2: Các bài toán thiết lập phương trình ñường thẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH
ðƯỜNG THẲNG
Bài 1: Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho mặt phẳng (P) và ñường thẳng (d):
( ) : 7 0
P x y z
+ + − =
;
2 5 0
( ) :
2 3 0
x y z
d
x z
+ + + =
− + =
Giải:
ðường thẳng
( )
d
′
cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) chứa (d) và có
VTCP là
( )
P
n
.
( ) ( ) ( ). ( )
ó : (1; 4;2) à M(-2;0;-1) (d) (6; 1; 5)
( ) : 6( 2) 5( 1) 0 6 5 7 0
6 5 7 0
ình hình chiê u ( ) :
7 0
d Q d P
Ta c u v n u n
Q x y z hay x y z
x y z
H d
x y z
= − ∈ ⇒ = = − −
⇒ + − − + = − − + =
− − + =
′ ′
⇒
+ + − =
Bài 2: Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho mặt phẳng(P) : 4x-3y+11z-26=0 và 2 ñường thẳng:
1 2
3 1 4 3
( ) : à ( ) :
1 2 3 1 1 2
x y z x y z
d v d
− + − −
= = = =
−
a)
CM:
1 2
( ) à ( )
d v d
chéo nhau.
b)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng
∆
n
ằ
m trong (P) c
ắ
t c
ả
1 2
( ) à ( )
d v d
.
Giải:
(
)
(
)
( ) ( )
1 2
1 2
( ) ( )
1 1 2 2
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
) ó : ( 1;2;3) (1;1; 2) à (0;3; 1) ; (4;0;3)
(4; 3;4) . . 23 0 à éo
d d
d d
a Ta c u u v M d M d
M M u u M M d v d ch nhau
= − = − ∈ ∈
⇒ = − ⇒ = − ≠ ⇒
1 2
) ( ) ( 2;7;5) à ( ) (3; 1;1)
2 7 5
: ( ) :
5 8 4
b GS d P A A v d P B B
x y z
KQ AB
∩ = ⇒ − ∩ = ⇒ −
+ − −
⇒ = =
− −
Bài 3:
Trong không gian t
ọ
a
ñộ
Oxyz cho 2
ñườ
ng th
ẳ
ng có ph
ươ
ng trình
1 2
3 1 0
1
( ) : à ( ) :
2 1 0
1 2 1
x z
x y z
d v d
x y
− + =
+
= =
+ − =
a)
CM:
1 2
( ) à ( )
d v d
chéo nhau.
Bài 2: Các bài toán thiết lập phương trình ñường thẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t Page 2 of 3
b)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng d c
ắ
t c
ả
1 2
( ) à ( )
d v d
và song song v
ớ
i
4 7 3
( ) :
1 4 2
x y z
− − −
∆ = =
−
Giải:
(
)
(
)
( ) ( )
1 2
1 2
( ) ( )
1 1 2 2
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
) ó : (1;2;1) ; (1; 2;3) à (0; 1;0) ; (0;1;1)
(0; 2;1) . . 8 0 à éo
d d
d d
a Ta c u u v M d M d
M M u u M M d v d ch nhau
= = − − ∈ ∈
⇒ = ⇒ = − ≠ ⇒
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
2 1 1 2 2 1
2 1 1 2 1 2
( )
1 2
) ( ; 1 2 ; ) à ( ;1 2 ;1 3 )
( ; 2 2 2 ;1 3 )
1 3 1
1 2 2
2; 1 2;3;2 : 1; 1;4
4 7 3
: ( ) :
1 4 2
b GS d d A A t t t v d d B B t t t
AB t t t t t t
t t t t t t
Do d song song u AB
t t A B
x y z
KQ d
∆
∩ = ⇒ − + ∩ = ⇒ − +
⇒ = − − − + −
− − − − −
∆ ⇒ ↑↑ ⇒ = =
⇒ = = ⇒ −
− − −
⇒ = =
−
Bài 4:
Trong không gian t
ọ
a
ñộ
Oxyz cho 2
ñườ
ng th
ẳ
ng
1 2
( ),( )
d d
và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có
ph
ươ
ng trình:
1 2
1 1 2 2 2
( ) : à ( ) :
2 3 1 1 5 2
x y z x y z
d v d
+ − − − +
= = = =
−
( ) : 2 5 1 0
P x y z
− − + =
a)
CM:.
1 2
( ) à ( )
d v d
chéo nhau và tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a chúng.
b)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng
∆
vuông góc v
ớ
i (P), c
ắ
t c
ả
1 2
( ), ( )
d d
.
Giải:
(
)
(
)
( ) ( )
1 2
1 2
( ) ( )
1 1 2 2
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
) ó : (2;3;1) ; (1;5; 2) à ( 1;1; 2) ; (2; 2;0)
(3; 3; 2) . . 62 0 à éo
d d
d d
a Ta c u u v M d M d
M M u u M M d v d ch nhau
= = − − ∈ − ∈
⇒ = − − ⇒ = − ≠ ⇒
1 2
1 2
1 2
. .MN
62
ó : ( )
195
.
u u
Ta c d d d
u u
→ = =
1 1 1 1 2
2 2 2 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
( )
) (2 1;3 1; 2) à
( 2;5 2; 2 ) ( 2 3;5 3 3; 2 2)
2 3 5 3 3 2 2
( ) (2; 1; 5)
2 1 5
1 4 3
: ( ) :
2 1 5
P
b GS d A A t t t v d B
B t t t AB t t t t t t
t t t t t t
Do P n AB
x y z
KQ
∩ ∆ = ⇒ − + + ∩ ∆ =
⇒ + − − ⇒ = − − − − − − −
− − − − − − −
∆ ⊥ ⇒ − − = ↑↑ ⇒ = =
− −
− − −
⇒ ∆ = =
− −
Bài 2: Các bài toán thiết lập phương trình ñường thẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t Page 3 of 3
………………….Hết…………………
Nguồn:
Hocmai.vn
Bài 3: Xác ñịnh ñiểm và các yếu tố khác trong HHGT KG – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI XÁC ðỊNH ðIỂM VÀ CÁC YẾU TỐ KHÁC TRONG
HHGT KHÔNG GIAN
Bài 1: Cho ñiểm A( 3;-2;5) và ñường thẳng
2 3 0
( ) :
3 2 7 0
x y z
d
x y z
+ − + =
+ + − =
a) Viết phương trình tham số của (d)
b) Gọi
'
A
là hình chiếu của A lên (d). Tìm tọa ñộ của
'
A
.
Bài 2: Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho 2 ñường thẳng có phương trình:
1 2
2 3 5 0 2 2 3 17 0
( ) : à (d ) :
2 0 2 2 3 0
x y z x y z
d v
x y z x y z
− + − = − − − =
+ − = − − − =
và ñiểm A( 3;2;5).
a) Tìm tạo ñộ ñiểm
'
A
ñối xứng với A qua
1
( )
d
.
b) Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng
1 2
( ) à ( )
d v d
.
Bài 3: Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho ñiểm M( 5;2;-3) và mặt phẳng
( ) : 2 2 1 0
P x y z
+ − + =
Xác ñịnh hình chiếu của
1
M
của
M
lên (P).
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 3: Xác ñịnh ñiểm và các yếu tố khác trong HHGT KG – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI XÁC ðỊNH ðIỂM VÀ CÁC YẾU TỐ KHÁC TRONG
HHGT KHÔNG GIAN
Bài 1: Cho ñiểm A( 3;-2;5) và ñường thẳng
2 3 0
( ) :
3 2 7 0
x y z
d
x y z
+ − + =
+ + − =
a) Viết phương trình tham số của (d)
b) Gọi
'
A
là hình chiếu của A lên (d). Tìm tọa ñộ của
'
A
.
Giải:
( )
1 2
( )
) ó: . (8; 4;2) à ( 8;5;0) ( )
8 4
( ) 5 2
) ( ) ( 8 4 ;5 2 ; ) (4 11;7 2 ; 5)
à . 0 3 (4; 1;3)
d
d
a Ta c u v v m M d
x t
d y t
z t
b Do A d A t t t AA t t t
M AA d u AA t A
= = − − ∈
= − +
⇒ = −
=
′ ′ ′
∈ ⇒ − + − ⇒ = − − −
′ ′ ′
⊥ ⇒ = ⇔ = ⇔ −
Bài 2:
Trong không gian t
ọ
a
ñộ
Oxyz cho 2
ñườ
ng th
ẳ
ng có ph
ươ
ng trình:
1 2
2 3 5 0 2 2 3 17 0
( ) : à (d ):
2 0 2 2 3 0
x y z x y z
d v
x y z x y z
− + − = − − − =
+ − = − − − =
và
ñ
i
ể
m A( 3;2;5).
a)
Tìm t
ạ
o
ñộ
ñ
i
ể
m
'
A
ñố
i x
ứ
ng v
ớ
i A qua
1
( )
d
.
b)
Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
ñườ
ng th
ẳ
ng
1 2
( ) à ( )
d v d
.
Giải:
a)
G
ọ
i I là hình chi
ế
u c
ủ
a A lên (d)
(2 ; 1 ; ) ( 2; 1; 5)
I t t t AI t t t
⇒ − − + ⇒ − − − −
1
( )
4
. 0
3
d
Do AI u t
= ⇒ =
Áp d
ụ
ng công th
ứ
c trung
ñ
i
ể
m ta có k
ế
t qu
ả
:
( 15; 12;11)
A
′
− −
1 1
1 1
( ) ( )
1 2
( ) ( )
. .IJ
69
) ó : ( ) IJ ( 2; 24;11)
26
.
d d
d d
u u
b Ta c d d d
u u
→ = = = − −
Bài 3
: Trong không gian t
ọ
a
ñộ
Oxyz cho
ñ
i
ể
m M( 5;2;-3) và m
ặ
t ph
ẳ
ng:
( ): 2 2 1 0
P x y z
+ − + =
Xác
ñị
nh hình chi
ế
u c
ủ
a
1
M
c
ủ
a
M
lên (P).
Bài 3: Xác ñịnh ñiểm và các yếu tố khác trong HHGT KG – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t Page 2 of 2
Giải:
1
( )
1 1 1
5 2
ó : (2;2;1) à MM : 2 2 à MM ( )
3
P MM
x t
Ta c n u v y t m M P
z t
= +
= = ⇒ = + = ∩
= − −
1
2(5 2 ) 2(2 2 ) ( 3 ) 1 0 2 à (1; 2; 1)
t t t t v M
⇒
+ + + − − − + =
⇒
= − − −
………………….Hết…………………
Nguồn:
Hocmai.vn
Bài 4: Khoảng cách và góc trong hình học giải tích – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG HÌNH HỌC
GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Giải các bài toán sau bằng phương pháp tọa ñộ, vectơ.
Bài 1: ( ðề thi TS ðH Hùng Vương) .
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a và SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng SC và BD=?
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi E là trung diểm của CD. Tính theo a khoảng cách từ ñiểm S ñến
ñường thẳng BE=?
Bài3: Trong không gian cho tứ diện OABC với
(0;0; 3), ( ;0;0)
A a B a
và
(0; 3; 0); 0
>
C a a
.
Gọi M là trung ñiểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và OM=?
Bài 4:Hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bằng a và ñường chéo
BD=a. Cạnh
6
2
a
SC =
vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
CMR: Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc với nhau.
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’=?
Bài 6: ( ðề thi TSðH 2003 – Khối A)
Cho hình lập phương
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
. Tính số ño của góc phẳng nhị diện :
[
]
1
, ,
B A C D
=?
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 4: Khoảng cách và góc trong hình học giải tích – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC TRONG HÌNH HỌC
GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Trước hết tôi xin có một lưu ý nhỏ khi giải các bài toán loại này như sau:
Với loại bài tập này xin khẳng ñịnh việc tính toán hoàn toàn không khó, song các bạn cần chọn
góc tam diện cho phù hợp. ðể thuận lợi cho việc này chúng tôi ñưa ra cho các bạn 2 nguyên
tắc như sau:
Có 3 tia chung gốc, không ñồng phẳng, ñôi một vuông góc với nhau.
Nếu ta ñứng thẳng theo chiều dương của trục Oz, mắt hướng theo chiều
dương của trục Oy thì khi giơ tay phải vuông góc với thân người ngón tay sẽ chỉ
chều dương của trục Ox
Bài 1: Chọn góc tam diện là: (A,AB,AD,AS) ta có:
3
2 2 2
4 4 4
.
6
( , ) ; . ( ; ; 2 ) ( , )
6
2
.
= = ⇒ = =
+ +
SC BD BC
a a
d SC BD SC BD a a a d SC BD
a a a
SC BD
Bài 2:
Ch
ọ
n góc tam di
ệ
n là: (O;OB;OC;OA)
4
4 4
2
2 2
2
2
.
3 5
4
( ) ; . ( ; ; ) ( )
2 5
4
+ +
→ = = − − − ⇒ → = =
+
a
a a
SB BE
a a
d S BE SB BE a a d S BE
BE
a
a
Bài 3:
Ch
ọ
n góc tam di
ệ
n là: (O,OB,OC,OA).
2 2 2
.
3 3 3
( , ) ; . ( ; ; )
2 2 2
.
= = −
AB OM OA
a a a
d AB OM AB OM
AB OM
3
2 2
3
15
2
( , )
5
9 3
4 2
⇒ = =
+
a
a
d AB OM
a a
Bài 4:
G
ọ
i K là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a SA. Ch
ọ
n góc tam di
ệ
n là: (I;ID;IA;IK)
Bài 4: Khoảng cách và góc trong hình học giải tích – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 2
2 2 2
2 2 2
3 2 6 3
. ( ; ; )
( )
4 4 2
3 2 6 3
. ( ; ; )
( )
4 4 2
( ) ( )
2 2 2
18 6 3
0
16 16 4
.
= −
− −
= −
⇒
= − − =
=
=
a a a
SA SB
SAB
a a a
SA SD
SAD
SAB SAD
a a a
n
n
n n
V
ậ
y :
( ) ( )
⊥
SAB SAD
Bài 5:
Ch
ọ
n góc tam di
ệ
n (A,AB,AD, AA’)
2 2 2
3
4 4 4
'. '
( ', ') ; '. ' ( ; 2 ; )
'. '
6
( ', ')
6
4
AB BC AB
d AB BC AB BC a a a
AB BC
a a
d AB BC
a a a
= = − −
⇒ = =
+ +
Bài 6:
Ch
ọ
n tam di
ệ
n (A,AB,AD, AA1)
( ) ( )
2 2
1 1
2 2
1 1
0
0 0 0
1 1 1
. ( ;0; )
( )
1
. (0; ; )
( )
1
1
( ) ( )
os 60
( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) ( )
; ; ( ), ( ) 180 60 120
.
. .
.
=
=
⇒ = ⇒ ∠ =
⇒ ∠ = − =
=
=
=
A B A C a a
A BC
A D A C a a
A DC
SAB SAD
c
SAB SAD SAB SAD
SAB SAD
B A C D A BC A DC
n
n
n n
n n n n
n n
………………….Hết…………………
Nguồn:
Hocmai.vn
Bài 5: Các bài toán xác ñịnh thể tính bằng phép tính tọa ñộ - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN XÁC ðỊNH THỂ TÍCH
BẰNG PHÉP TÍNH TỌA ðỘ
Giải các bài toán sau bằng phương pháp tọa ñộ, vecto.
Bài 1: ( ðề thi ðHCð khối A-2007)
Cho hình chóp S.ABCD, ñáy là hình vuông ABCD cạnh a. Mặt bên (SAD) là tam giác ñều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy ABCD. Gọi M,N,P lần lượt là các trung ñiểm của
SB,BC,CD. Tính thể tích tứ diện CMNP=?
Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA’=h. Tính thể
tích tứ diện BDD’C’=?
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, cạnh SA
vuông góc với ñáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng ñáy một góc 60 ñộ. Trên cạnh SA lấy ñiểm M
sao cho
3
3
a
AM =
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại ñiểm N. Tìm thể tích khối chóp
S.BCNM=?
Bài 4: ( ðề thi TS CðSP Tây Ninh-2006)
Cho trong mặt phẳng (P) hình vuông ABCD cạnh a. Qua trung ñiểm I của cạnh AB dựng ñường
thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên d lấy ñiểm S sao cho:
3
2
a
SI =
.
a) Tính thể tích hình chóp S.ACD=?
b) Tìm khoảng cách từ C ñến (SAD)=?
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 5: Các bài toán xác ñịnh thể tính bằng phép tính tọa ñộ - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN XÁC ðỊNH THỂ TÍCH
BẰNG PHÉP TÍNH TỌA ðỘ
Giải các bài toán sau bằng phương pháp tọa ñộ, vecto.
Bài 1: Gọi O là trung ñiểm của AD . Chọn hệ trục Oxyz sao cho:
(O, Ox, Oy, Oz) trùng với (O,OD,ON,OS). Ta có:
3
; ; ), (0; ;0), ( ; ;0)
4 2 4 2 2
3
( ;0;0), ( ; ;0), ( ; ;0), ( ;0;0), (0;0; )
2 2 2 2 2
(
− −
−
a a a a a
N a P
a a a a
A B a C a D S a
M
Vì:
1
. .
6
CMNP CM CN CP
V
=
v
ớ
i
2 2
3
. (0; ; )
8 4
a a
CM CN
=
và
( ; ;0)
4 2
a a
CP = −
V
ậ
y:
3
3
96
=
a
CMNP
V
Bài 2:
Ch
ọ
n góc tam di
ệ
n là (A, AB, AD, AA’) ta có:
( ; ;0); ' ( ; ; ); ' (0; ; )
BD a a BD a a h BC a h
= − = − =
Mà :
1
DD ' ' . ' '
6
B C BD BD BC
V
=
v
ớ
i
. ' ( ; ;0)
BD BD ah ah
=
V
ậ
y :
2
DD ' '
6
=
ha
B C
V
Bài 3:
G
ọ
i S(a;0;x)
( ;0; )
SB a x
⇒ = −
( )
0 0 0
60 ,( ) 90 , , 30
( ) ( )
SB ABCD SB SB
ABCD ABCD
n n
= ∠ = − ∠ ⇒ ∠ =
0
2 2
.
os30 3
.
SB n x
c x a
SB n
x a
= = ⇒ =
+
Vì:
1 1
. . .
6 6
= +
S BCMN SM SC SB SM SC SN
V
Ch
ọ
n góc tam di
ệ
n là (A,AB,AD,AS)
Bài 5: Các bài toán xác ñịnh thể tính bằng phép tính tọa ñộ - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t Page 2 of 2
Ta có:
( )
. (1;0; 3) : 3 3 0
( )
BC MN BCM x z a
BCM
n
= ⇒ − − =
=
Tìm giao c
ủ
a (BCM) v
ớ
i (SD) trong
ñ
ó :
0
2 3
( ) : (0; ; )
3 3
3
=
= + ⇒ −
= −
x
a a
SD y a at N
z a t
Ta có:
2 2
2 2 3
2 3 2 3
. ; ;0
3 3
1 2 3 4 3 10 3
.
6 3 9 27
= −
⇒ = + =
a a
SM SC
a a a
S BCMN
V
Bài 4:
a)
G
ọ
i O là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AB; M là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a CD
Ch
ọ
n góc tam di
ệ
n là: (O;OB;OM;OS)
2
2
3 3
1 3
. ; . (0; ; )
6 2
1 3 3
6 2 12
a
SACD SC SD SA SC SD a
a a
SACD
V
V
= =
−
⇒ = =
b)
3
. ( 3;0; 1) ( ) : 3 0
2
= − ⇒ − + =
a
SA SD SAD x z
( )
3
( )
2
a
d C SAD⇒ → =
………………….Hết…………………
Nguồn:
Hocmai.vn
Bài 6: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI HÌNH CẦU TRONG HÌNH HỌC
GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Bài 1: Trong hệ trục tọa ñộ Oxyz cho mp
( ) :2 2 15 0
x y z
α
+ − + =
và ñiểm J(-1;-2;1). Gọi I là
ñiểm ñối xứng của J qua
( )
α
. Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt
( )
α
theo một ñường
tròn có chu vi là 8π.
Bài 2: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu ñi qua gốc tọa ñộ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có phương
trình lần lượt là: (P): x+2y-4=0 và (Q): x+2y+6=0
Bài 3:Trong KG cho mặt cầu (S) ñi qua 4 ñiểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0)
Và mặt cầu (S’) ñi qua 4 ñiểm:
1 1 1
'( ;0;0), '(0; ; ), '(1;1;0), '(0;1;1)
2 2 2
A B C D
.
Tìm ñộ dài bán kính ñường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu ñó.
Bài 4: Trong hệ trục Tð Oxyz cho 2 ñường thẳng có PT:
1 2
5 2
( ) : à ( ) : 2
0
= = −
= − = −
= =
x t x s
d y t v d y
z z s
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm I thu
ộ
c d
1
và I cách d
2
m
ộ
t kho
ả
ng b
ằ
ng 3. Bi
ế
t
r
ằ
ng m
ặ
t c
ầ
u (S) có bán kính b
ằ
ng 5.
Bài 5
: Trong h
ệ
tr
ụ
c T
ð
Oxyz cho 2
ñ
i
ể
m: A(0;-1;1) và B( 1;2;1) .
Vi
ế
t PT m
ặ
t c
ầ
u (S) có
ñườ
ng kính là
ñ
o
ạ
n vuông góc chung c
ủ
a
ñườ
ng th
ẳ
ng AD và
ñườ
ng
th
ẳ
ng ch
ứ
tr
ụ
c Ox.
………………….Hết…………………
Nguồn:
Hocmai.vn
Bài 6: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI HÌNH CẦU TRONG HÌNH HỌC
GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Bài 1: Trong hệ trục tọa ñộ Oxyz cho mp
( ) :2 2 15 0
x y z
α
+ − + =
và ñiểm J(-1;-2;1). Gọi I là
ñiểm ñối xứng của J qua
( )
α
. Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt
( )
α
theo một ñường
tròn có chu vi là 8π.
Giải:
Gọi I(a;b;c) ta có:
( )
2 3
1 2 1
IJ ( 1; 2; 1). IJ n
2 3
2 1 2
α
= +
+ + −
= + + − ↑↑ ⇒ = = ⇒
= − −
−
a b
a b c
a b c Do
c b
Nhưng trung ñiểm M của IJ lại nằm trên
( )
α
nên ta có : b= -4 và I (-5;-4;5)
Ta tính ñược khoảng cách từ I ñến
( )
α
là IO’=3.
Vì C=2πR
0
=8π nên R
0
=4 . =>
2 2 2 2
' ' 4 3 5
= + = + =
R IA IO AO
Vậy:
2 2 2
( ) :( 5) ( 4) ( 5) 25
+ + + + − =
C x y z
Bài 2: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu ñi qua gốc tọa ñộ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có phương
trình lần lượt là: (P): x+2y-4=0 và (Q): x+2y+6=0
Giải:
Ta nhận thấy (P) song song với (Q) nên 2R= d( (P), (Q)).
Lấy M(0;2;0) thuộc (P) ta có: d( (P), (Q))= d( M, (Q)) =
2 5 5
⇒ =R
.
Lúc này PT mặt cầu có dạng: (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=5
Vì C ñi qua O(0;0;0) nên:
2 2 2 2 2 2
5 ( ) : 5
+ + = ⇒ ∈ + + =
a b c I S x y z
Mặt khác: Mặt phẳng song song và cách ñều (P) và (Q) có PT:
(α):
( 2 4) ( 2 6)
2 1 0
2
x y x y
x y
+ − + + +
= + + =
Do
2 2 2
2 1 0
( )
( ) ( ) :
( )
5
α
α
+ + =
∈
⇒
∈ ∩
∈
+ + =
x y
I
I S
I S
x y z
( C
ố
ñị
nh )
Bài 3
:Trong KG cho m
ặ
t c
ầ
u (S)
ñ
i qua 4
ñ
i
ể
m: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0)
Và m
ặ
t c
ầ
u (S’)
ñ
i qua 4
ñ
i
ể
m:
1 1 1
'( ;0;0), '(0; ; ), '(1;1;0), '(0;1;1)
2 2 2
A B C D
.
Tìm
ñộ
dài bán kính
ñườ
ng tròn giao tuy
ế
n c
ủ
a 2 m
ặ
t c
ầ
u
ñ
ó.
Bài 6: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 3
Giải:
L
ầ
n l
ượ
t ta l
ậ
p các PT m
ặ
t c
ầ
u v
ớ
i d
ạ
ng t
ổ
ng quát chung là:
2 2 2
2 2 2 0
+ + + + + + =
x y z ax by cz d
•
V
ớ
i (S) ta có:
2 2 2
1 2 0
1 2 0
1
; 0 0(1)
1 2 0
2
3 2 2 2 0
+ + =
+ + =
⇒ = = = − = ⇒ + + − − − =
+ + =
+ + + + =
c d
a d
a b c d x y z x y z
b d
a b c d
•
V
ớ
i (S’)
2 2 2
1
0
4
1
7 1 7 1 7
0
; ; 2 2 0(2)
2
4 4 2 2 2
2 2 2 0
2 2 2 0
a d
b c d
a c b d x y z x y z
a b d
b c d
+ + =
+ + + =
⇒ = = = = − ⇒ + + + − + − =
+ + + =
+ + + =
T
ừ
(1) và (2) ta th
ấ
y m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a
ñườ
ng tròn giao tuy
ế
n có PT:
( ) : 9 9 4 0
α
+ + − =
x y z
V
ậ
y PT
ñườ
ng tròn giao tuy
ế
n c
ầ
n tìm là:
2 2 2
9 9 4 0
( ) :
1 1 1 3
( ) ( ) ( )
2 2 2 4
x y z
C
x y z
+ + − =
− + − + − =
Bài 4
: Trong h
ệ
tr
ụ
c T
ð
Oxyz cho 2
ñườ
ng th
ẳ
ng có PT:
1 2
5 2
( ) : à ( ) : 2
0
= = −
= − = −
= =
x t x s
d y t v d y
z z s
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm I thu
ộ
c d
1
và I cách d
2
m
ộ
t kho
ả
ng b
ằ
ng 3. Bi
ế
t
r
ằ
ng m
ặ
t c
ầ
u (S) có bán kính b
ằ
ng 5.
Giải:
Vì I thu
ộ
c d
1
nên I( t;-t;0)
2
2 2
2
2
.
( 2;0;1)
( ) ó (5 ; 2;0) ( )
(5; 2;0)
6 30 45
. ( 2;5 ; 2 4) ( ) 3
5
0 (0;0;0)
5 (5; 5;0)
= −
⇒
= − −
⇒
→ =
−
− +
= − + − − +
⇒
→ = =
=
⇒
⇒
=
⇒
−
d
u IM
u
d c IM t t d I d
Qua M
u
t t
u IM t t t d I d
t I
t I
V
ậ
y có 2 PT m
ặ
t c
ầ
u thõa mãn
ñ
k bài toán là:
2 2 2
1
2 2 2
2
( ) : 25
( ) : ( 5) ( 5) 25
+ + =
− + + + =
S x y z
S x y z
Bài 6: Hình cầu trong hình học không gian – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Page 3 of 3
Bài 5
: Trong h
ệ
tr
ụ
c T
ð
Oxyz cho 2
ñ
i
ể
m: A(0;-1;1) và B( 1;2;1) .
Vi
ế
t PT m
ặ
t c
ầ
u (S) có
ñườ
ng kính là
ñ
o
ạ
n vuông góc chung c
ủ
a
ñườ
ng th
ẳ
ng AD và
ñườ
ng
th
ẳ
ng ch
ứ
tr
ụ
c Ox.
Giải:
L
ậ
p PT
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua AB ta có:
( ) : 1 3
1
=
= − +
=
x t
AB y t
z
G
ọ
i
( ;3 1;1) ( )
− ∈
M t t AB
Và N(s;0s0) thu
ộ
c Ox
( ;3 1;1)
MN t s t⇒ = − −
.
S
ử
d
ụ
ng :
Ox
MN AB
MN
⊥
⊥
Ta tìm
ñượ
c
1
3
t s
= =
.
Ta tìm
ñượ
c :
1 1 1 1
( ;0;1) , ( ; 0;0) ( ; 0; )
3 3 3 2
M N O⇒
là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a MN và
1
2 2
MN
R
= =
.
V
ậ
y:
2 2 2
1 1
( 3) ( )
2 4
− + + − =
x y z
………………….Hết…………………
Nguồn:
Hocmai.vn
