Tóm tắt Vật Lý 12 Nâng Cao HKI Trần Thế Vinh

[1]

CHƯƠNG I: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
1. Toạ độ góc
- Đặc điểm của vật rắn quay quanh một trục
cố định:
 Mọi điểm trên vật vạch một đường tròn
nằm trong mặt phẳng  với trục quay, có bán
kính bằng khoảng cách từ điểm đó đến trục
quay, có tâm ở trên trục quay.
 Mọi điểm của vật đều quay cùng một góc
trong cùng một khoảng thời gian.
- Vị trí của vật tại mỗi thời điểm được xác
định bằng góc : toạ độ góc. Góc  đo bằng
radian (rad).
- Tọa độ góc: Là toạ độ xác định vị trí của một
vật rắn quay quanh một trục cố định bởi góc  (rad) hợp giữa mặt phẳng
động gắn với vật và mặt phẳng cố định chọn làm mốc (hai mặt phẳng này
đều chứa trục quay)
 Lưu ý: Ta chỉ xét vật quay theo một chiều và chọn chiều dương là
chiều quay của vật   ≥ 0
2. Tốc độ góc
Là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh hay chậm của chuyển động
quay của một vật rắn quanh một trục.
- Gọi  là góc quay của vật trong khoảng thời gian t.
- Tốc độ góc trung bình:
tb
t







- Tốc độ góc tức thời ở thời điểm t (hay tốc độ góc):
0
lim






t
t
hay
'( )



d
t
dt

- Đơn vị của  là rad/s.
 Lưu ý: Liên hệ giữa tốc độ góc và tốc độ dài
vr



3. Gia tốc góc

- Là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của tốc độ góc
- Gia tốc góc trung bình:
tb
t





(rad/s
2
)
- Gia tốc góc tức thời:
2
2
'( ) ''( )
dd
tt
dt dt

  
   



P
P
0
z
B

A
O
2
O
1
N

M



r
1
r
2
[2]

 Lưu ý:
 Vật rắn quay đều thì  = const   = 0
 Nếu vật quay theo một chiều:
  tăng  quay nhanh dần ( > 0).
  giảm  quay chậm dần ( < 0).
4. Phương trình động học của chuyển động quay
- Vật rắn quay đều ( = 0):  = 
0
+ t
- Vật rắn quay biến đổi đều ( ≠ 0)
0
t
  



2
0
1
2
tt
   
  

22
00
2 ( )
    
  

5. Gia tốc của chuyển động quay
- Vectơ gia tốc
a
của

mỗi điểm có 2 thành phần:

n
av
: gia tốc hướng tâm: đặc trưng cho
sự thay đổi về hướng của vận tốc dài
v
.
2

2
n
v
ar
r




t
av
: gia tốc tiếp tuyến: đặc trưng cho
sự thay đổi về độ lớn của
v
.
'( )


   
t
dv d
a v t r r
dt dt

- Gia tốc của điểm chuyển động tròn không đều:
nt
a a a

 Về độ lớn:
22

nt
a a a

 Vectơ
a
hợp với bán kính OM góc , với:
2
tan
t
n
a
a





 Lưu ý: Vật rắn quay đều thì a
t
= 0 
a
=
n
a

6. Mối liên hệ giữa gia tốc góc và
momen lực
- Vật rắn gồm quả cầu m, gắn vào đầu
một thanh rất nhẹ, dài r
2

()M mr



- Trường hợp vật rắn gồm nhiều chất
điểm khối lượng m
i
, m
j
… ở cách trục
quay những khoảng r
i
, r
j
…

O
r
m
F

O
M
n
a

a

t
a



[3]

 Momen lực tác dụng lên mỗi chất điểm:
2
()
i i i
M mr



 Momen lực tác dụng lên toàn bộ vật rắn:
2
i i i
ii
M M m r







7. Momen quán tính
- Đại lượng
2
ii
i

mr

đặc trưng cho mức quán tính của vật quay và được
gọi là momen quán tính, kí hiệu I.
2
ii
i
I m r


- I không chỉ phụ thuộc khối lượng của vật rắn mà còn phụ thuộc vào sự
phân bố khối lượng xa hay gần trục quay.
- I có đơn vị là kg.m
2
.
- Mômen quán tính I của một số vật rắn đồng chất khối lượng m có trục
quay là trục đối xứng:
 Vật rắn là thanh có chiều dài l, tiết diện nhỏ:
2
1
12
I ml

 Vật rắn là vành tròn hoặc trụ rỗng bán kính R:
2
I mR

 Vật rắn là đĩa tròn mỏng hoặc hình trụ đặc bán kính R:
2
1

2
I mR

 Vật rắn là khối cầu đặc bán kính R:
2
2
5
I mR

8. Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định
MI


hay
M
I



- Trong đó: M = Fd (Nm) là mômen lực đối với trục quay (d là tay đòn của lực)

2
ii
i
I m r

(kgm
2
) là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay.
- So sánh chuyển động quay và chuyển động tịnh tiến

M = I
F = ma
- Momen lực M
- Gia tốc góc 
- Momen quán tính I
- Lực F
- Gia tốc a
- Khối lượng m
9. Mômen động lượng
- Là đại lượng động học đặc trưng cho chuyển động quay của vật rắn
quanh một trục:
LI


(kg.m
2
/s)
[4]

 Lưu ý: Với chất điểm thì mômen động lượng
2
L mr mvr



(r là khoảng cách từ
v
đến trục quay)
10. Dạng khác của phương trình động lực học của vật rắn quay
quanh một trục cố định

dL
M
dt


 Lưu ý: Phương trình trên đúng cho trường hợp I của vật hoặc hệ vật
thay đổi.
So sánh chuyển động quay của vật rắn và chuyển động của chất điểm
L
M
t




p
F
t




- Momen lực M
- Tốc độ góc 
- Momen quán tính I
- Momen động lượng L = I
- Lực F
- Tốc độ dài v
- Khối lượng m
- Động lượng p = mv

11. Định luật bảo toàn mômen động lượng
- Trường hợp M = 0 thì L = const
Phát biểu: Nếu tổng các momen lực tác dụng lên một vật rắn (hay hệ vật)
đối với một trục bằng không thì tổng momen động lượng của vật (hay hệ
vật) đối với một trục đó được bảo toàn.
- Nếu I = const   = 0 vật rắn không quay hoặc quay đều quanh trục
- Nếu I thay đổi thì
1 1 2 2
II



12. Động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định


2
2
ñ
1
22
L
WI
I

- Định lí biến thiên động năng cũng áp dụng được cho một vật rắn quay
quanh một trục:

   
22
ñ 2 1

11
22
W I I A

13. Sự tương tự giữa các đại lượng góc và đại lượng dài trong chuyển
động quay và chuyển động thẳng
Chuyển động quay
(trục quay cố định, chiều quay
không đổi)
Chuyển động thẳng
(chiều chuyển động không
đổi)
- Tọa độ góc  (rad)
- Tốc độ góc  (rad/s)
- Tọa độ x (m)
- Tốc độ v (m/s)
[5]

- Tọa độ góc  (rad)
- Tốc độ góc  (rad/s)
- Gia tốc góc  (rad/s
2
)
- Mômen lực M (Nm)
- Mômen quán tính I (kgm
2
)
- Mômen động lượng
L = I (kgm
2

/s)
- Động năng quay
2
đ
1
W
2
I


(J)
- Tọa độ x (m)
- Tốc độ v (m/s)
- Gia tốc a (m/s
2
)
- Lực F (N)
- Khối lượng m (kg)
- Động lượng
P = mv (kgm/s)
- Động năng

2
đ
1
W
2
mv
(J)
- Chuyển động quay đều:

 = const;  = 0;  = 
0
+ t
- Chuyển động quay biến đổi đều:

 = const
 = 
0
+ t
2
0
1
2
tt
   
  

22
00
2 ( )
    
  

- Chuyển động thẳng đều:
v = const; a = 0; x = x
0
+ at
- Chuyển động thẳng biến đổi
đều:
a = const

v = v
0
+ at
x = x
0
+ v
0
t +
2
1
2
at

22
00
2 ( )v v a x x  

- Phương trình động lực học
M
I



- Dạng khác:
dL
M
dt


- Định luật bảo toàn mômen động

lượng

1 1 2 2

i
I I hay L const




- Định lý về động năng
22
đ 1 2
11
W
22
I I A

   

(công của ngoại lực)
- Phương trình động lực học
F
a
m


- Dạng khác:
dp
F

dt


- Định luật bảo toàn động
lượng

i i i
p mv const


- Định lý về động năng
22
đ 1 2
11
W
22
I I A

   

(công của ngoại lực)
- Công thức liên hệ giữa đại lượng góc và đại lượng dài
s = r; v = r; a
t
= r; a
n
= 
2
r
 Lưu ý: Cũng như v, a, F, P các đại lượng , , M, L cũng là

các đại lượng véctơ.
[6]

CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG CƠ
I. DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
1. Dao động
- Chuyển động qua lại quanh VTCB gọi là dao động.
- Dao động tuần hoàn: chuyển động qua lại quanh VTCB lặp lại liên tiếp
và mãi mãi.
- Chu kì (T): là thời gian thực hiện một dao động toàn phần.
Đơn vị T là (s).
- Tần số (f): là số dao động toàn phần thực hiện trong 1 giây.
t
T
n



1n
f
tT



n là số dao động toàn phần vật thực hiện trong thời gian t giây.
Đơn vị f là 1/s, gọi là Héc (Hz).
2. Phương trình động lực học của dao động điều hòa
2
'' 0xx




3. Phương trình dao động:
()x Acos t


(*)
- Dao động mà phương trình có dạng (*) tức là vế phải là hàm cosin hay sin
của thời gian nhân với một hằng số, gọi là dao động điều hoà.
4. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hoà
 A > 0: biên độ, là giá trị cực đại của li độ x.
 (t + ): pha của dao động tại thời điểm t.
 : pha ban đầu (t = 0).
 : tần số góc của dao động.
 Lưu ý: A,  và  là những hằng số, trong đó A > 0 và  > 0.
5. Đồ thị (li độ) của dao động
điều hoà
- Dao động điều hoà là chuyển
động tuần hoàn.

6. Tần số và chu kì của dao
động điều hoà

- Chu kì (T):
2
T




- Tần số (f):
1
2
f
T




7. Vận tốc tức thời:
' sin( ) ( )
2
v x A t Acos t

     
      


x
A
-A
O
t
T/2
T
T
T
[7]

 Lưu ý:

 v biến thiên điều hòa cùng tần số và sớm pha
2

so với li độ x.

v
luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo
chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0)
 Ở vị trí biên (x = A): v = 0.
 Ở VTCB (x = 0): |v
max
| = A
8. Gia tốc tức thời:
22
" ' ( )a x v Acos t x
   
      

 Lưu ý:
 Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số
nhưng ngược pha với li độ (sớm pha hơn
2

so với vận tốc).

a
luôn hướng về vị trí cân bằng và tỉ lệ với độ lớn của li độ.
 Ở vị trí biên (x = A): |a
max
| = 

2
A
 Ở VTCB (x = 0): a = 0
9. Giá trị của các đại lượng ở một số vị trí đặc biệt

Biên âm (-A)
VTCB
Biên dương (A)
Li độ x
-A
0
A
Vận tốc v
0
 A
0
Gia tốc a
+ 
2
A
0
- 
2
A
10. Các hệ thức độc lập:

22
2 2 2
1
xv

AA



2 2 2
()
v
Ax



2 2 2 2
()v A x



đồ thị của (v, x) là đường elip.

2
ax


: đồ thị của (a, x) là đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ.

22
2
av
+ =1
Aω Aω
   

   
   


22
2
42
av
A = +
ωω


đồ thị của (a, v) là đường elip.

F kx
: đồ thị của (F, x) là đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ

22
Fv
+ =1
kA Aω
   
   
   

22
2
2 4 2
Fv
A = +

m ωω

đồ thị của (F, v) là đường elip.
 Chú ý:
 Với hai thời điểm t
1
, t
2
vật có các cặp giá trị x
1
, v
1
và x
2
, v
2
thì ta có hệ
thức tính A và T như sau:
[8]

2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 2 1
2 2 2
x v x v x -x v -v
+ = + =
AAω A Aω A A ω
       

       

       

22
21
22
12
v -v
ω=
x -x

22
12
22
21
x -x
T = 2π
v - v

2 2 2 2 2
2
1 1 2 2 1
1
2 2 2
21
x .v - x .v
A = x + =
v - v
v


11. Sự đổi chiều các đại lượng:
- Các vectơ
a
,
F
đổi chiều khi qua VTCB.
- Vectơ
v
đổi chiều khi qua vị trí biên.
 Khi đi từ vị trí cân bằng O ra vị trí biên:
 Nếu
av
 chuyển động chậm dần.
 Vận tốc giảm, ly độ tăng  động năng giảm, thế năng tăng
 độ lớn gia tốc, lực kéo về tăng.
 Khi đi từ vị trí biên về vị trí cân bằng O:
 Nếu
av
 chuyển động nhanh dần.
 Vận tốc tăng, ly độ giảm  động năng tăng, thế năng giảm
 độ lớn gia tốc, lực kéo về giảm.
Ở đây không thể nói là vật dao động nhanh dần “đều” hay chậm dần
“đều” vì dao động là loại chuyển động có gia tốc a biến thiên điều hòa
chứ không phải gia tốc a là hằng số.
12. Cơ năng:
2 2 2
đ
11
W W W
22

t
m A kA

   

- Với:
2 2 2 2 2
đ
11
W sin ( ) Wsin ( )
22
mv m A t t
    
    

2 2 2 2 2 2
11
W ( ) W s ( )
22
t
m x m A cos t co t
     
    

- Cơ năng của vật nặng dao động, tức cũng là cơ năng của con lắc lò xo
được bảo toàn.
 Lưu ý: W ~ A
2

13. Dao động điều hoà có tần số góc là , tần số f, chu kỳ T. Thì động

năng và thế năng biến thiên với: tần số góc ’ = 2
tần số f’ = 2f
chu kỳ T’ = T/2
14. Động năng và thế năng trung bình trong thời gian nT/2 (n  N
*
, T là
chu kỳ dao động) là:
22
W1
24
mA



[9]

15. Khoảng thời gian ngắn nhất
để vật đi từ vị trí có li độ x
1
đến x
2

21
t





  

với
1
1
2
2
s
s
x
co
A
x
co
A












và (0  
1
, 
2

 )

16. Chiều dài quỹ đạo: 2A
17. Quãng đường đi trong: 1 chu kỳ luôn là 4A
1/2 chu kỳ luôn là 2A
- Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên
hoặc ngược lại
18. Bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong
khoảng thời gian 0 < t < T/2.

- Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên
trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở
càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên.
- Có thể sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường
tròn đều.
- Góc quét  = t.
- S
max
khi vật đi từ M
1
đến M
2
đối xứng qua trục sin (hình 1)
ax
2Asin 2Asin
22
m
t
S






-A
A
x
M
1

M
2

O
P
1

P
2

P
2



-A
A
x
M
2

M
1

O
P
2



-A
A
x
M
1

M
2

M’
2

M’
1

x
1

x
2

O


[10]

- S
min
khi vật đi từ M
1
đến M
2
đối xứng qua trục cos (hình 2)
2 (1 os ) 2 (1 os )
22
min
t
S A c A c



   

 Lưu ý:
 Trong trường hợp t > T/2
 Tách
'
2
T
t n t   

trong đó
*
;0 '
2
T
n N t   

 Trong thời gian
2
T
n
quãng đường luôn là 2nA
 Trong thời gian t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.
 Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian t:
ax
ax
M
tbM
S
v
t


và
Min
tbMin
S
v
t



với S
Max
; S
Min
tính như trên.
19. Dao động có phương trình đặc biệt:
 x = a  Acos(t + ) với a = const
- Biên độ là A, tần số góc là , pha ban đầu 
- x là toạ độ, x
0
= Acos(t + ) là li độ.
- Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a  A
- Vận tốc v = x’ = x
0
’, gia tốc a = v’ = x” = x
0
”
- Hệ thức độc lập: a = -
2
x
0



2 2 2
0
()
v
Ax




 x = a  Acos
2
(t + ) (ta hạ bậc).
Biên độ A/2; tần số góc 2, pha ban đầu 2.

II. CON LẮC LÒ XO
1. Tần số góc:
k
m



2
2
m
T
k





1
22
k
f
m





- Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và vật dao động
trong giới hạn đàn hồi.
2. Cơ năng:
2 2 2
11
W
22
tđ
W W m A kA

   

3. Độ biến dạng của lò xo thẳng đứng khi vật ở VTCB:
mg
l
k


2
l
T
g





g
l




[11]

 Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB với con lắc lò xo nằm trên mặt
phẳng nghiêng có góc nghiêng α:
sinmg
l
k



2
sin
l
T
g





sing
l








 Chiều dài lò xo tại VTCB:
0CB
l l l  

(l
0
là chiều dài tự nhiên)
 Chiều dài cực tiểu (khi vật ở
vị trí cao nhất):
min 0
l l l A  

 Chiều dài cực đại (khi vật ở
vị trí thấp nhất):
0max
l l l A   


Chiều dài của lò xo ở VTCB:
min
2
max
CB
ll
l





 Khi A > l (Với Ox hướng xuống):
- Thời gian lò xo nén 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x
1
= -

l đến x
2
= -A.
- Thời gian lò xo giãn 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x
1
= -

l đến x
2
= A.
 Lưu ý: Trong một chu kỳ lò xo nén 2 lần và giãn 2 lần
4. Lực kéo về hay lực hồi phục F = -kx = -m
2
x
- Đặc điểm:  Là lực gây dao động cho vật.
 Luôn hướng về VTCB
-A
A
x
M
1

M
2

O
-l
nén
giãn


l
Hình c
l

giãn
O

x

A

-A

nén
l

giãn
O

x

A

-A

Hình a (A < l)
Hình b (A > l)
[12]

 Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ
5. Lực đàn hồi là lực đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng.
- Có độ lớn F
đh
= kx
*
(x
*
là độ biến dạng của lò xo)
 Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về và lực đàn hồi là một (vì
tại VTCB lò xo không biến dạng)
 Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng
 Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức:
 F
đh
= kl + x với chiều dương hướng xuống
 F
đh
= kl - x với chiều dương hướng lên
 Lực đàn hồi cực đại (lực kéo): (lúc vật ở vị trí thấp nhất)
F

Max
= k(l + A) = F
Kmax

 Lực đàn hồi cực tiểu:
 Nếu A < l  F
Min
= k(l - A) = F
KMin
 Nếu A ≥ l  F
Min
= 0
(lúc vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng)
- Lực đẩy (lực nén) đàn hồi cực đại: F
Nmax
= k(A - l) (lúc vật ở vị trí cao
nhất)
6. Một lò xo có độ cứng k, chiều dài l được cắt thành các lò xo có độ
cứng k
1
, k
2
, … và chiều dài tương ứng là l
1
, l
2
, … thì có:
kl = k
1
l

1
= k
2
l
2
= …
7. Ghép lò xo:
 Nối tiếp
12
1 1 1

k k k
  

 cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:
2 2 2
12
T T T

 Song song:
12
k k k  

 cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:
2 2 2
12
1 1 1

T T T
  

8. Gắn lò xo k vào vật khối lượng m
1
được chu kỳ T
1
, vào vật khối lượng
m
2
được T
2
, vào vật khối lượng m
1
+ m
2
được chu kỳ T
3
, vào vật khối
lượng m
1
– m
2
(m
1
> m
2
) được chu kỳ T
4
.
Thì ta có:
2 2 2

3 1 2
T T T
và
2 2 2
412
T T T


III. CON LẮC ĐƠN
1. Tần số góc:
g
l



2
2
l
T
g





1
22
g
f
l





[13]

- Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và 
0
<< 1 rad hay
S
0
<< l
2. Lực hồi phục
2
sin
s
F mg mg mg m s
l
  
       

Lưu ý:
 Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối lượng.
 Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng.
3. Phương trình dao động:
s = S
0
cos(t + ) hoặc α = α
0
cos(t + ) với s = αl, S

0
= α
0
l
 v = s’ = -S
0
sin(t + ) = -lα
0
sin(t + )
 a = v’ = -
2
S
0
cos(t + ) = -
2
lα
0
cos(t + ) = -
2
s = -
2
αl
- Gia tốc gồm 2 thành phần: gia tốc tiếp tuyến
t
a
và gia tốc pháp tuyến
n
a
(gia tốc hướng tâm)
2

22
2
22
0
:
:
()
t
n
tn
t
n
a s g
VTCB a a
a a a
v
VTB a a
ag
l


   


   


  


 Lưu ý: S
0
đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x
4. Hệ thức độc lập:
 a = -
2
s = -
2
αl

22
00
1
sv
SS

   

   
   



2
22
0
2
v
Ss





2
22
0
v
gl



5. Năng lượng của con lắc đơn
- Tính toán năng lượng dao động khi góc lệch lớn (Dao động của con lắc khi
này là dao động tuần hoàn chứ không phải dao động điều hòa):
 Động năng:
2
1
2
đ
W mv

 Thế năng:
(1 cos )
t
W mgl



 Cơ năng:
2

1
(1 cos )
2
W mv mgl

  

- Tính toán năng lượng dao động khi góc lệch nhỏ (lúc này dao động của
con lắc là dao động điều hòa, thường thì trong kỳ thi Đại học sẽ là trường
hợp này):
[14]

 Động năng:
2
1
2
đ
W mv

 Thế năng:
2
22
1
22
t
W mgl m s




 Cơ năng:
2
22
0
1
22
W mgl m A




- Khi đề bài cho mối quan hệ giữa động năng và thế năng (chẳng hạn cho
W
đ
= k.W
t
, với k là một hệ số tỉ lệ nào đó) thì:
 Tính li độ dài (s) hay li độ góc (α) chúng ta quy hết về theo thế năng
(W
t
). Cụ thể như sau:
2
2
00
( 1) ( 1)
22
1
đt
t
đt

W kW
k W W k mgl mgl
W W W
k





       





 Tương tự để tính tốc độ v thì chúng ta quy hết theo động năng (W
đ
):
2
2
0
0
11
( 1) ( 1)
1
22
1
đt
đ
đt

W kW
mv gl
W W mgl v
W W W
kk
k




       





 Khi W
đ
= nW
t
:
0
S
s
n1

0
n1

max

v
v
1
1
n

 Khi
0
n

2
đ
t
W
n1
W

6. Vận tốc và lực căng dây
a. Vận tốc:
0
2 (cos cos )v gl



 Qua VTCB:
ax 0
2 (1 cos )
m
v gl




 Khi tới vị trí bờ (biên): v = 0
 Khi α nhỏ:
22
0
()v gl

  

max 0
v gl



b. Lực căng dây:
0
(3cos 2cos )T mg



 Qua VTCB:
max 0
(3 2cos )T mg



 Khi tới vị trí bờ (biên):
min 0
cosT mg




 Khi α nhỏ:
[15]

22
0
3
(1 )
2
T mg

  


2
0
min
(1 )
2
T mg


,
2
max 0
(1 )T mg



 Chú ý:
 v
max
và T
max
khi  = 0  v
min
và T
min
khi  = 
0
.

 Độ cao cực đại của vật đạt được so với VTCB:
2
max
max
v
h=
2g

7. Quan hệ giữa T, f và chiều dài con lắc đơn
- Chu kì con lắc:
2
2
1 2 4
2
ll
Tg

f g T



    

- Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l
1
có chu kỳ T
1
, con lắc đơn
chiều dài l
2
có chu kỳ T
2

 Con lắc đơn có chiều dài l = l
1
+ l
2
có chu kì dao động T được xác
định theo biểu thức:
22
12
T T T

 Con lắc đơn có chiều dài l’ = l
1
- l
2

có chu kì dao động T’ được xác
định theo biểu thức:
22
12
'T T T

- Trong cùng một khoảng thời gian, con lắc có chu kì T
1
thực hiện N
1
dao
động, con lắc có chu kì T
2
thực hiện N
2
dao động thì ta có:
N
1
T
1
= N
2
T
2

1 2 1 2
2 1 2 1
N T f l
N T f l
  

8. Sự thay đổi nhỏ của chu kì dao động dẫn đến sự nhanh chậm của
đồng hồ quả lắc liên kết
Phương pháp tổng quát
 Chu kì dao động của con lắc đơn khi đồng hồ chạy đúng và sai là
2
'
'2
'
l
T
g
l
T
g












1
'
.

'
1
''




g
g
l
l
T
T
T
TT
T
T

 Căn cứ vào dấu và độ lớn của tỉ số trên ta sẽ biết đồng hồ chạy nhanh
hay chậm bao nhiêu tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể.
 Chú ý sử dụng công thức gần đúng: (1 + u)


 1 + u khi |u| rất nhỏ so
với 1.
- Trong thời gian t đồng hồ chạy đúng thực hiện số dao động:
1
t
n
T


.
[16]

- Vậy thời gian nhanh hay chậm của đồng hồ là:
1

t
n T T
T

   
.
9. Tìm sự biến thiên của chu kì của con lắc đơn khi thay đổi nhiệt độ,
độ cao, vị trí trên Trái đất, do điều chỉnh nhỏ
- Căn cứ vào dấu và độ lớn của tỉ số
T
T

ở trên ta sẽ biết đồng chạy nhanh
hay chậm bao nhiêu tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể.

0 ' 1
T
T T m
T

     
Chu kì tăng.


0 ' 1
T
T T m
T

     
Chu kì giảm.
- Tổng kết :
 Thay đổi chu kì theo nhiệt độ:









.
2
1
NhiÖt
T
T

 Thay đổi chu kì theo độ cao:
R
h
T
T









cao é§

 Thay đổi chu kì theo độ sâu:
1
.
2
Tz
TR





§é s©u

 Thay đổi chu kì theo vị trí địa lý:
1
.
2
Ñia lí
Tg
Tg







 Thay đổi chu kì theo điều chỉnh:
1
2
Ñieàu chænh
T
T






10. Tìm sự biến thiên của chu kì khi thay đổi trường trọng lực
- Chu kì của con lắc khi gia tốc trường trọng lực là g
1
và g
2
là:
1
1
2
2
2
2

l
T
g
l
T
g












2 1 1
21
1 2 2
T g g
TT
T g g
  
. Trong đó g = G
2
M
R
.

- Trong cùng một khoảng thời gian, đồng hồ có chu kì con lắc là T
1
có số
chỉ t
1
thì đồng hồ có chu kì con lắc là T
2
có số chỉ t
2
, ta có: t
2
T
2
= t
1
T
1

21
12
.
tT
tT


[17]

11. Sự biến thiên của chu kì con lắc đơn khi chịu tác dụng của ngoại
lực không đổi
- Ngoài trọng lực

P mg
, nếu con lắc đơn chịu thêm tác dụng của một
ngoại lực
F
không đổi thì ta có thể coi như con lắc chịu tác dụng của
trọng lực hiệu dụng (biểu kiến)
'P
với:
''P P F mg mg F    

'
F
gg
m

(1)
'g
gọi là gia tốc trọng trường hiệu dụng (biểu kiến).
- Sử dụng hình học để suy ra độ lớn của g’, chu kì mới:
'2
'
l
T
g



 Lập tỉ số
'
'

Tg
Tg


- Các lực không đổi có thể là:
 Lực đẩy Ác-si-mét:
A
F V g


, có độ lớn F
A
= gV.
 Lực quán tính:

.
qt
F m a
, có độ lớn F
qt
= ma.
 Lực điện trường:

.
d
F q E


d
FE

nếu q > 0

d
FE
nếu q < 0.
 Lực từ: F
t
= BIl.sin hoặc F
t
= |q|vB.sin.
a.
F
là lực hút của nam châm
- Nam châm đặt phía dưới:
F
hướng xuống 
'
x
F
gg
m


- Nam châm đặt phía trên:
F
hướng lên 
'
x
F
gg

m


b.
F
là lực tương tác Coulomb
- Lực tương tác Coulomb:
12
2
||qq
Fk
r


- Tìm g’ và T’ như trên.
 Hai điện tích cùng dấu:
F
là lực đẩy.
 Hai điện tích trái dấu:
F
là lực hút.
c.
F
là lực điện trường
F qE

[18]

- Trọng lực biểu kiến:
'P P qE

'
qE
gg
m
  
(2)
 Chú ý: Độ lớn: F = |q|.E và
U
E
d

.



 Lực điện trường có phương thẳng đứng

- Chiếu (2) lên trục xx’:
'
qE
gg
m


- Ta lấy dấu (+) hay () tùy thuộc vào chiều của
E
và dấu của q.
1
2
' 1 1

11
2
1
qE qE
T
qE
T mg mg
mg


   



hay
1
2
qE
T
T mg



 Lực điện trường có phương nằm ngang
- Ở VTCB, dây treo lệch cùng chiều với
E
nếu q > 0
P

F

q
2

q
1

P

F


q
2

q
1

P

F


P

F


+

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E

'P

P


T


q > 0















F




+ + + + + + + + +
        
E

T

T

P


P


F


F

q > 0
q < 0
[19]

và ngược lại nếu q < 0.
- Tương tự:
tan
qE qE
P mg



2
2
||
'
cos
g q E
gg
m


  



 Chu kì mới:
' 2 cos
'

l
TT
g




'
cos
T
T



cos 1 0
T
T


  

d.
F
là lực đẩy Ác-si-mét
A
F V g



- Xét con lắc dao động trong chất khí. Lực đẩy Ác-si-mét

hướng thẳng đứng lên trên.
- Trọng lực biểu kiến là:
''
A
A
F
P P F g g
m
    

Trong đó: F
A
= Vg và m = DV (, D là khối lượng
riêng của chất khí và quả cầu)


' (1 )
Vg
g g g
DV D

   

- Chu kì dao động:
1
2
' 2 2 1
'
(1 )
ll

TT
gD
g
D





   




- Nếu  << D 
1
D


thì:
1
2
T
TD





1

'1
2
TT
D






 Lưu ý
Acsimet
1
.
2
T
TD






(nếu coi chu kì trong chân không làm chuẩn T, còn
chu kì trong chất lưu là sai T’).
Acsimet
1
.
2
T

TD






(nếu coi chu kì trong chất lưu làm chuẩn T, còn chu
kì trong chân không là sai T’).
- Nếu ngoại lực bất kì F gây ra một gia tốc nhỏ a = F/m thì cũng được coi
là một nguyên nhân dẫn đến sự thay đổi nhỏ của chu kì, và gọi chung là
sự thay đổi chu kì nhỏ theo gia tốc và có:
P

A
F


T

[20]








T

T
gia tốc
=
g
g
.


2
1
(Với g =  a dấu cộng khi ngoại lực cùng hướng
với trọng lực và ngược lại thì dấu trừ).
e.
F
là lực quán tính
q
F ma

 Lực quán tính
- Xét ô tô chuyển động với gia
tốc
a
.
- Đối với hệ quy chiếu quán
tính Oxy gắn với mặt đất,
người có khối lượng m
chuyển động cùng với xe với
gia tốc
a
. Lực tác dụng lên

người:
F ma


- Đối với hệ quy chiếu không quán tính O’x’y’, gắn liền với xe, người
đứng yên. Như vậy, đối với hệ quy chiếu không quán tính, ngoài lực
F
ta
phải thêm một lực giả
q
F
sao cho:
0
qq
F F F F    

q
F
gọi là lực quán tính.
 Phương thẳng đứng

- Xét con lắc đang chuyển động trong thang máy với gia tốc
a
. Trong hệ
quy chiếu O’x’y’ gắn vào thang máy, khi con lắc đứng yên ở vận tốc cân
bằng:
''
q
P P F g g a    

(Vì
P
và
F
có phương thẳng đứng nên ở vị trí cân bằng, dây treo có
phương thẳng đứng)
 Nếu
a
 
q
F
  g’ = g + a
y
y'
x'
x
O'
O
a

F

q
F

m
P

T

y’
x’
O’
a

P

T

y’
x’
O’
a

q
F

q
F

[21]


'2
l
T
ga





'Tg
T g a



Đó là trường hợp thang máy chuyển động lên nhanh dần đều (
v
,
a
cùng
chiều) hay thang máy chuyển động xuống chậm dần đều (
v
,
a
ngược chiều).
 Nếu
a
 
q
F
  g’ = g  a

'2
l
T
ga





'Tg
T g a



Đó là trường hợp thang máy chuyển động lên chậm dần đều (
v
,
a
ngược
chiều) hay thang máy chuyển động xuống nhanh dần đều (
v
,
a
cùng chiều).
 Phương nằm ngang

- Tương tự, ta có:
tan
qE qE
P mg



'
cos
g
g




Hoặc
22
'g g a
với a = g.sin

' 2 cos
'
l
TT
g




'
cos
T
T


hay
cos 1 0
T
T


  

- Lực căng dây:
ma
sin

a

'P

P


T




q
F




v

Nhanh dần đều
a

'P

P

T




q
F




v

Chậm dần đều
[22]

 Con lắc đơn treo vào trần của
xe ôtô đang chuyển động trên mặt
phẳng nghiêng một góc


- Ta có điều kiện cân bằng:
0
q
P F T  
(*)
- Chiếu (*) lên trục Ox:
Tsin = ma.cos (1)

- Chiếu (*) lên trục Oy:
T cos  = mg  ma.sin (2)

- Từ (1) và (2):
cos
tan
sin
a
ga






- Từ (1), lực căng dây:
cos
sin
ma
T




- Từ (*) ta có: P’ = T  mg’ = T hay
cos
'
sin
a
g





- Chu kì mới:
'2
'
l
T
g


hay
sin
'2
cos
l
T
a





 Tổng quát: Con lắc treo trên xe chuyển động lên – xuống dốc nghiêng
góc  không ma sát
22
T' 2
a g 2agsin

 Xe lên dốc nhanh dần hoặc xuống dốc chậm dần lấy dấu (-)
 Xe lên dốc chậm dần hoặc xuống dốc nhanh dần lấy dấu (+)
- Lực căng dây:
22
m a g 2agsin

- Vị trí cân bằng:
a.cos
tan
g asin

lên dốc lấy dấu (+), xuống dốc lấy dấu (-)
 Xe xuống dốc nghiêng góc  với  là hệ số ma sát
2
T' 2
gcos 1

y
x
O


P

q
F

'P

T

a

[23]

- Vị trí cân bằng:
sin cos
tan
cos sin

- Lực căng dây:
2
mgcos 1

Với
a g(sin cos )

12. Thay đổi chu kì do nhiều nguyên nhân
- Bước 1: Xác định có những nguyên nhân nào làm cho chu kì thay đổi.
- Bước 2: Tìm tổng:
1 2 3

T T T T
T T T T
   
       
   
       
       

- Bước 3: Kiểm tra: Nếu tổng trên > 0: kết luận đồng hồ chạy chậm.
Nếu tổng trên = 0 : kết luận đồng hồ chạy đúng.
Nếu tổng trên < 0 : kết luận đồng hồ chạy nhanh.
- Bước 4: Tính thời gian chạy nhanh hay chậm trong 1 ngày, tháng, :
.3600
T
T




s
13. Xác định biên độ góc mới khi gia tốc trọng trường thay đổi từ g
sang g’
- Từ: W = mgl(1 – cos)
2
1
2
mgl



- Khi con lắc ở nơi có gia tốc trọng trường g:
2
1
2
W mgl



- Khi con lắc ở nơi có gia tốc trọng trường g’:
/2
1
'
2
W mgl



- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng: W = W’

2 /2
11
22
mgl mgl


hay
'
'
g
g



14. Chu kì và biên độ của con lắc vướng đinh
a. Tìm chu kì
- Chu kì của con lắc vướng đinh T =
1
2

chu kì của con lắc đơn có chiều
dài l +
1
2
chu kì của con lắc đơn có chiều dài l’.
- Tức là:
12
1
()
2
T T T

[24]

- Trong đó:
1
2
l
T
g


và
2
'
22
l l QI
T
gg






/
T ( )
g

b. Tìm biên độ mới sau khi vướng
đinh

- ĐLBTCN: W
B
= W
B’
 mgh = mgh’  h = h’
- Ta có:
22
11
'
22
mgl mgl


hay
'
'
l
l




- Hoặc
' cos '
cos '
' ' '
O I l QO
O B l QO






c. Tỉ số biên độ dao động 2 bên VTCB
- Góc lớn (
0
> 10
0
) :
 Vì h = h’
//
(1-cosα)= (1-cosα )

//
1 cos
1 cos

- Góc nhỏ (
0

 10
0

2
cos 1
2



) 
2
/
/

d. Tỉ số lực căng dây treo ở vị trí biên:
- Góc lớn:
/
B
/
B
T
cos
T cos
- Góc nhỏ:
/
/2 2
B
B
T
1

T2

e. Tỉ số lực căng dây treo trước và sau khi vướng chốt O’ (ở VTCB)
- Góc lớn:
T
/
S
T
3 cos
T 3 cos
- Góc nhỏ:
/2 2
T
S
T
1
T

15. Xác định thời gian hai con lắc đơn trở lại vị trí trùng phùng
- Để đo chu kì của con lắc đơn có chiều dài l có chu kì T gần bằng 2s, người
ta cho nó dao động song song với con lắc đơn l
0
có chu kì T
0
= 2s.
- Mỗi lần hai con lắc đi qua cùng một vị trí theo cùng một chiều, ta nói có
sự trùng phùng của hai con lắc.
- Gọi  là khoảng thời gian giữa hai lần trùng phùng liên tiếp.
Q
B

B’
O
I
mtn
l
l'



’
O’
h’
h
[25]

a. Nếu T > T
0

- Trong thời gian , con lắc l làm
được n dao động thì con lắc l
0
làm
được n + 1 dao động. Ta có:
 = nT = (n + 1)T
0

0
1
TT




hay
0
1 1 1
TT



0
0
T
n
TT




 Thời gian để trở lại trùng phùng:
0
0
.TT
TT




b. Nếu T < T
0

- Trong thời gian , con lắc l làm được n dao động thì con lắc l
0
làm được
n - 1 dao động. Ta có:
 = nT = (n - 1)T
0

0
1
TT


hay
0
1 1 1
TT



0
0
T
n
TT



 Thời gian để trở lại trùng phùng:
0
0

.TT
TT




- Đo  ta tính được T.
- Tổng quát :
0
0
.TT
TT




 Lưu ý:
- Nếu hai con lắc cùng đi qua VTCB theo hai chiều ngược nhau thì công
thức trên vẫn đúng với T và T
0
được thay bằng T/2 và T
0
/2.
- Có thể thay con lắc l
0
bằng các chớp sáng tuần hoàn có chu kì T
0
. Sau
mỗi chớp sáng con lắc lệch khỏi vị trí cũ. Khi đó ta thấy con lắc hình
như dao động rất chậm với chu kì chính là thời gian  của sự trùng

phùng ở trên.
- Nếu chuyển động biểu kiến của con lắc cùng chiều chuyển động thật
thì T < T
0
ngược lại T > T
0
.

l
0
, T
0

l, T