băng lọc số và ứng dụng nén tín hiệu audio số

Chữ trắng
BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
VIỆN ðẠI HỌC MỞ HÀ NỘI







LUẬN VĂN THẠC SỸ


ðỀ TÀI:
BĂNG LỌC SỐ VÀ ỨNG DỤNG
NÉN TÍN HIỆU AUDIO SỐ

HỌ VÀ TÊN TÁC GIẢ LUẬN VĂN:

PHẠM TUẤN DIỆU

CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT ðIỆN TỬ



Mã số: 102




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. NGUYỄN QUỐC TRUNG









Hà Nội - Năm 2011
Chữ trắng

Luận văn thạc sỹ Băng lọc số và ứng dụng nén tín hiệu audio số

CBHD.PGS.TS Nguyễn Quốc Trung Học viên: Phạm Tuấn Diệu

b


LỜI CAM ðOAN

Tôi xin cam ñoan ñây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn của PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung. Các số liệu, kết quả trong luận văn tốt
nghiệp là do chính bản thân tôi nghiên cứu, thí nghiệm và thực nghiệm .


TÁC GIẢ

Phạm Tuấn Diệu


Luận văn thạc sỹ Băng lọc số và ứng dụng nén tín hiệu audio số

CBHD.PGS.TS Nguyễn Quốc Trung Học viên: Phạm Tuấn Diệu

c

Môc lôc
Trang
LỜI CAM ðOAN b

danh môc h×nh vÏ e

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT g

Lời nói ñầu 1

CHƯƠNG I. KỸ THUẬT LỌC SỐ NHIỀU NHỊP 3

1.1. ðịnh nghĩa về hệ thống lọc số nhiều nhịp 3

1.2. Phép phân chia và bộ lọc phân chia 4

1.2.1. Phép phân chia theo hệ số M
4

1.2.2. Bộ lọc phân chia 6

1.3. Phép nội suy và bộ lọc nội suy 9

1.3.1. Phép nội suy với hệ số nguyên L
9

1.3.2. Bộ lọc nội suy
11

1.4. Thay ñổi nhịp lấy mẫu và bộ lọc biến ñổi nhịp lấy mẫu với hệ số M/L không
nguyên 13

1.4.1. Thay ñổi nhịp lấy mẫu với hệ số M/L
13

1.4.2. Bộ lọc biến ñổi nhịp lấy mẫu với hệ số M/L không nguyên
17

1.5. Phân hoạch nhiều pha (Polyphase Decomposition) 20

1.5.1. Phân hoạch nhiều pha hai thành phần
20

1.5.2. Phân hoạch nhiều pha M thành phần
21

1.5.3. Phân hoạch nhiều pha loại hai
23

1.6. Cấu trúc nhiều pha của bộ lọc biến ñổi nhịp lấy mẫu 25

1.6.1. Cấu trúc nhiều pha của bộ lọc phân chia
25

1.6.2. Cấu trúc nhiều pha của bộ lọc nội suy
28

1.6.3. Cấu trúc nhiều pha của các bộ lọc biến ñổi nhịp hệ số M/L không nguyên
31

CHƯƠNG II. BĂNG LỌC SỐ 35

2.1. Khái quát chung về băng lọc số 35

2.1.1. Băng lọc phân tích
35

2.1.2. Bămg lọc tổng hợp
37

2.1.3. Băng lọc DFT
38

2.2. Bộ lọc gương cầu phương 42

2.2.1. Băng lọc số nhiều nhịp hai kênh và băng lọc gương cầu phương QMF
42

2.2.2. Phân tích các sai số trong băng lọc số nhiều nhịp 44

2.2.3. Băng lọc QMF 2 kênh không có hư danh
47

2.2.4. Biểu diễn theo phân hoạch nhiều pha băng lọc số QMF
48


Luận văn thạc sỹ Băng lọc số và ứng dụng nén tín hiệu audio số

CBHD.PGS.TS Nguyễn Quốc Trung Học viên: Phạm Tuấn Diệu

d

2.3. Băng lọc số nhiều nhịp M kênh 49

2.3.1. Băng lọc số QMF M kênh
49

2.3.3. Biểu diễn nhiều pha băng lọc số nhiều nhịp M kênh
51

2.4. Hệ thống khôi phục hoàn hảo (Perfect Reconstruction) 53

2.4.1. Hệ thống khôi phục hoàn hảo ñơn giản
53

2.4.2. Hệ thống khôi phục hoàn hảo ñơn giản M kênh
54

2.4.3. Hệ thống khôi phục hoàn hảo tổng quát

54

2.5. Băng lọc giả QMF ñiều chế cosin 55

CHƯƠNG III. ỨNG DỤNG CỦA BĂNG LỌC SỐ 61

3.1. Kỹ thuật ghép kênh 61

3.1.1. Ghép kênh phân thời gian (Time Division Multiplex: TDM)
61

3.1.2. Tách kênh phân thời gian
61

3.1.3. Ghép kênh phân tần số (Frequency Division Multiplex: FDM)
62

3.1.4. Tách kênh phân tần số
62

3.1.5. Chuyển ñổi ghép kênh (transmultiplexer)
63

3.2. Mã hóa băng con và cấu trúc dạng cây của băng lọc số QMF 63

3.2.1. Mã hóa băng con
63

3.2.2. Cấu trúc dạng cây ñơn phân giải (uniform resolution)
64

3.2.3. Cấu trúc dạng cây ña phân giải (multi resolution)
67

3.3. Xử lý tín hiệu audio 69

3.3.1. ðặt vấn ñề
69

3.3.2. Mã hóa và nén tín hiệu audio
71

3.3.2.1. Mã hóa cảm quan tín hiệu audio
72

3.3.2.2. Nén tín hiệu audio 72

3.3.3.3. Giới thiệu chuẩn mã hóa tín hiệu âm thanh MPEG 75

3.4. Bộ xử lý tín hiệu số DSP TMS320VC5416 DSK 82

3.4.1. Giới thiệu bộ xử lý tín hiệu số.
82

3.4.2. Hình ảnh và tính năng của Kít TMS320VC5416
83

3.4.2.1. Tổng quan về kit TMS 320VC5416 DSK 83

3.4.2.2. Các lĩnh vực ứng dụng của TMS320VC5416 DSK

87

KẾT LUẬN 88

Phô lôc: Ch−¬ng tr×nh M« pháng bé läc sè B



Luận văn thạc sỹ Băng lọc số và ứng dụng nén tín hiệu audio số

CBHD.PGS.TS Nguyễn Quốc Trung Học viên: Phạm Tuấn Diệu

e

danh môc h×nh vÏ
Trang
Hình 1.1. Hệ thống phân chia M 3

Hình 1.2. Hệ thống nội suy 4

Hình 1.3. Phép phân chia trong miền n 4

Hình 1.4. Sơ ñồ tương ñương khi cho x
a
(t) qua bộ lấy mẫu với F
S
=F
Ny
6

Hình 1 5. Sơ ñồ tổng quát bộ lọc phân chia 7

Hình 1.6. Hai sơ ñồ tương ñương thực hiện phép lọc phân chia 8

Hình 1.7. Bộ nội suy 9

Hình 1.8. Biểu diễn bộ nội suy dạng không chuẩn hóa 10

Hình 1.9. Biểu diễn bộ nội suy trong miền z 10

Hình 1.10. Sơ ñồ tổng quát bộ lọc nội suy 11

Hình 1.11. Hai sơ ñồ tương ñương thực hiện phép lọc nội suy 12

Hình 1.12. Bộ biến ñổi nhịp hệ số M/L không nguyên 14

Hình 1.13. Bộ biến ñổi nhịp [↑↓M/L] (hình a) và [↓↑M/L] (hình b) 14

Hình 1.14. Bộ lọc biến ñổi nhịp lấy mẫu hệ số M/L không nguyên 17

Hình 1.15. Sơ ñồ minh họa cách chọn tần số cắt ω
C
của H(e
jω
) 18

Hình 1.16. Sơ ñồ khối bộ lọc biến ñổi nhịp hệ số M/L với 1 bộ lọc thông thấp 18

Hình 1.17. Sơ ñồ cấu trúc nhiều pha hai thành phần dạng tổng quát của H(z) 21

Hình 1.18. Sơ ñồ cấu trúc nhiều pha M thành phần dạng tổng quát của H(z) 23

Hình 1.19. Cấu trúc nhiều pha loại 2 M thành phần 24

Hình 1.20. Bộ lọc phân chia có cấu trúc nhiều pha 25

Hình 1.21. Bộ lọc phân chia có cấu trúc nhiều pha (dạng 2) 26

Hình 1.22. Bộ lọc phân chia có cấu trúc nhiều pha (dạng 3) 26

Hình 1.23. Bộ lọc phân chia FIRH↓M trực tiếp 27

Hình 1.24. Bộ lọc nội suy có cấu trúc nhiều pha 28

Hình 1.25. Bộ lọc nội suy có cấu trúc nhiều pha (dạng 2) 29

Hình 1.26. Bộ lọc nội suy có cấu trúc nhiều pha (dạng 3) 29

Hình 1.27. Bộ lọc nội suy trực tiếp FIR↑LH 30

Hình 1.28. FIR↑H↓M/L trực tiếp 31

Hình 1.29. Cấu trúc nhiều pha loại 1 của bộ lọc biến ñổi nhịp hệ số M/L 32

Hình 1.30. ↑H↓M/L nhiều pha M thành phần (dạng tối ưu) 32

Hình 1.31. Cấu trúc nhiều pha loại 2 của bộ lọc biến ñổi nhịp hệ số M/L 33

Hình 1.32. ↑H↓M/L nhiều pha L thành phần (dạng tối ưu) 33

Hình 2.1. Băng lọc số phân tích 35

Hình 2.2. Cấu trúc nhiều pha loại 1 M thành phần của bank lọc số phân tích 37

Hình 2.3. Băng lọc số tổng hợp 37

Hình 2.4. Cấu trúc nhiều pha loại 2 M thành phần của băng lọc số tổng hợp 38

Hình 2.5. Cấu trúc băng lọc DFT 40

Hình 2.6. Minh họa quan hệ giữa H
0
(e
jω
) và H
1
(e
jω
) 41

Hình 2.7. Băng lọc số nhiều nhịp hai kênh 42

Hình 2.8 43

(a): ðáp ứng biên ñộ của bộ lọc số lý tưởng 43

(b); (c); (d): Các trường hợp ñáp ứng biên ñộ của bộ lọc số không lý tưởng 43


Luận văn thạc sỹ Băng lọc số và ứng dụng nén tín hiệu audio số

CBHD.PGS.TS Nguyễn Quốc Trung Học viên: Phạm Tuấn Diệu

f

Hình 2.9. Cấu trúc nhiều pha của băng lọc phân tích và băng lọc tổng hợp 49

Hình 2.10. Băng lọc số QMF hai kênh dưới dạng cấu trúc nhiều pha. 49

Hình 2.11. Sơ ñồ tổng quát băng lọc số QMF M kênh 50

Hình 2.12. Sơ ñồ biểu diễn nhiều pha băng lọc số nhiều nhịp QMF M kênh. 51

Hình 2.13. Biểu diễn nhiều pha băng lọc số nhiều nhịp QMF M kênh (dạng 2).52

Hình 2.14. Cấu trúc nhiều pha băng lọc số nhiều nhịp 52

Hình 2.15. Sơ ñồ băng lọc số khôi phục hoàn hảo 2 kênh chỉ dùng các bộ trễ. .53

Hình 2.16. Sơ ñồ tổng quát hệ thống khôi phục hoàn hảo ñơn giản M kênh. 54

Hình 2.17. Dàn lọc phân tích giả QMF ñược tạo thành từ mạch lọc prototype
P
0
(z). 55

Hình 2.18. a) ðáp ứng biên ñộ của mạch lọc prototype P
0
(z); 56

b) ðáp ứng biên ñộ của các phiên bản của P
0
(z) bị dịch chuyển sang phải 56

Hình 3.1. Sơ ñồ tổng quát bộ ghép kênh phân thời gian. 61

Hình 3.2. Sơ ñồ tổng quát bộ tách kênh phân thời gian. 61

Hình 3.3. Cấu trúc tổng quát bộ ghép kênh theo tần số 62

Hình 3.4. Sơ ñồ tổng quát bộ tách kênh phân tần số 62

Hình 3.5. Sơ ñồ mô tả bộ chuyển ñổi ghép kênh TDM  FDM  TDM. 63

Hình 3.6. Băng lọc số 2 kênh 63

Hình 3.7. Cấu trúc dạng cây ñơn phân giải (hình a) 65

và ñồ thị tần số tương ứng của băng lọc phân tích 4 kênh (hình b). 65

Hình 3.8. Cấu trúc dạng cây ñơn phân giải của băng lọc tổng hợp 4 kênh. 66

Hình 3.9. Sơ ñồ tương ñương của băng lọc số 4 kênh phân tích và tổng hợp. 66

Hình 3.10. Cấu trúc dạng cây ña phân giải (hình a) và ñồ thị tần số tương ứng của
băng lọc phân tích 2 tầng (hình b) 67

Hình 3.11. Cấu trúc dạng cây ña phân giải của băng lọc số tổng hợp 2 tầng 68

Hình 3.12. Sơ ñồ tương ñương của băng lọc số 2 tầng phân tích và tổng hợp 68

Hình 3.13 69

H
a
(ω
a
): Bộ lọc tương tự thông thấp không lý tưởng với tần số cắt f
ac
= 22 kHz.69

Hình 3.14 70

Hình 3.15. Bộ biến ñổi tương tự - số kiểu mới dùng lọc số nhiều nhịp 70

Hình 3.16. ðồ thị tần số của bộ biến ñổi tương tự - số kiểu mới 71

Hình 3.17. Phân chia dải tần tai người nghe ñược thành các băng con và lượng tử hóa
72

Hình 3.18 Kết hợp hiệu ứng mặt lạ tần số với mặt lạ thời gian 72

Hình 3.19. ðáp ứng biên ñộ của 5 băng lọc phân tích 73

Hình 3.20. a) Cấu trúc 3 tầng của dàn lọc QMF phân tích 5 kênh 74

b) Sơ ñồ tương ñương 74

Hình 3.21.(a) Tín hiệu âm thanh lối vào và mật ñộ phổ công suất 75

(b) Tín hiệu âm thanh lối ra và mật ñộ phổ công suất 75

Hình 3.22. Sơ ñồ khối bộ mã hóa MPEG-1 layer 1 (kênh ñơn) 76

Hình 3.23. Sơ ñồ khối bộ giải mã hóa MPEG-1 layer 1 và layer 2 (2 kênh) 77

Hình 3.24. Sơ ñồ khối bộ mã hóa MPEG-1 layer 2 (kênh ñơn) 77

Hình 3.25. Sơ ñồ khối bộ mã hóa âm thanh MPEG-1 layer 3 (kênh ñơn) 78

Hình 3.26. Sơ ñồ khối bộ giải mã hóa âm thanh MPEG-1 layer 3 (hai kênh) 78


Luận văn thạc sỹ Băng lọc số và ứng dụng nén tín hiệu audio số

CBHD.PGS.TS Nguyễn Quốc Trung Học viên: Phạm Tuấn Diệu

g


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt Nghĩa tiếng Anh Nghĩa tiếng Việt
DSP Digital Signal Processing Xử lý số tín hiệu
DCT Discrete Cosine Transform Biến ñổi Cosin rời rạc
IDCT Inverser Discrete Cosine Transform Biến ñổi Cosin rời rạc ngược
FFT Fast Fourier Transform Biến ñổi Fourier nhanh
DFT Discrete Fourier Transform Biến ñổi Fourier rời rạc
IDFT Inverse Discrete Fourier Transform Biến ñổi Fourier rời rạc ngược
STFT Short-Time Fourier Tranform

Phép biến ñổi Fourier thời gian ngắn
CWT Continuous Wavelet Transform Biến ñổi Wavelet liên tục

DWT Discrete Wavelet Transform Biến ñổi Wavelet rời rạc
IDWT
Inverse Discrete Wavelet Transform
Biến ñổi Wavelet rời rạc ngược
FIR Finite Impulse Response Bộ lọc không ñệ quy
IIR Infinite Impulse Response Bộ lọc ñệ quy
QMF Quadrature Mirror Filter bank Bộ lọc số gương cầu phương
PR Perfecr Reconstruction Khôi phục hoàn hảo
TDM Time Division Multiplex Ghép kênh phân thời gian
FDM Frequency Division Multiplex Ghép kênh phân tần số
SBC Subband Coding Mã hóa băng con
MRA Multi Resolution analysis Phân tích ña phân giải
MPEG Motion Picture Experts Group Chuẩn nén âm thanh số của ủy
ban MPEG quốc tế
JPEG Joint Photographic Experts group Chuẩn nén ảnh số của ủy ban
JPEG quốc tế
PSNR Peak Signal to Noise Ratio Tỷ số tín hiệu ñỉnh trên nhiễu
SPIHT Set partitioning in hierarchical trees Phương pháp mã hóa phân cấp
theo phân vùng
EZW Embedded Zerotree Wavelet Phương pháp mã hóa wavelet

Luận văn thạc sỹ Băng lọc số và ứng dụng nén tín hiệu audio số

CBHD.PGS.TS Nguyễn Quốc Trung Học viên: Phạm Tuấn Diệu

h

cây zero
Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 1

Lời nói ñầu

Trong những năm gần ñây kỹ thuật ðiện tử - Viễn thông ñã và ñang phát
triển như vũ bão, không ngừng phát triển, ñổi mới công nghệ. ðã tạo ra cuộc cách
mạng về công nghệ cùng với các nền khoa học của nhân loại.
Bản thân tác giả hiện nay là người ñang giảng dạy và làm việc trong ngành
kỹ thuật ðiện tử và truyền thông, liên quan ñến các lĩnh vực xử lý tín hiệu số. Nên
ñược tiếp xúc và ñược nghiên cứu các thiết bị về xử lý tín hiệu số.
ðược sự ñộng viên, hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung -
Trường ðại học Bách khoa Hà Nội, tác giả ñã chọn luận văn tốt nghiệp cho mình
với ñề tài: Băng lọc số và ứng dụng nén tín hiệu audio số.
Mục ñích nghiên cứu của luận văn về mã hóa băng con, cơ sở của mã hóa
băng con, ứng dụng của mã hóa băng con trong lĩnh vực nén tín hiệu số, ñặc biệt
trong các kỹ thuật nén âm thanh.
Luận văn ñược trình bày theo kết cấu gồm:
Chương 1. Kỹ thuật lọc số nhiều nhịp.
Chương 2. Băng lọc số: Giới triệu về các các băng lọc phân tích, băng lọc
tổng hợp. ðây là nền tảng ñể hình thành mô hình mã hóa băng con.
Chương 3. Trình bày ứng dụng của băng lọc số về ghép kênh và mã hoá
băng con, giới thiệu về các chuẩn nén MPEG, JPEG và kít TMS320VC5416DSK
Phụ lục gồm các chương trình mô phỏng bằng phần mềm MATLAB: chương
trình minh họa quá trình tăng, giảm tốc ñộ mẫu trong miền thời gian; thiết kế băng
lọc DFT ñồng nhất, băng lọc QMF 2 kênh không chồng phổ pha tuyến tính; chương
trình minh họa tín hiệu audio truyền qua băng lọc ña phân giải QMF 5 kênh.
Phương pháp nghiên cứu:

+ Thu thập tài liệu liên quan ñến băng
lọc số
và

ứng dụng của băng
lọc số
.
+ ðọc, dịch tài liệu ñể hiểu các vấn ñề về phân ñường trong viễn thông, nén
tín hiệu số sử dụng mã hóa băng con.
+ Xin ý kiến người hướng dẫn khoa học về các vấn ñề trên.
+ Xin ý kiến của những người khác quan tâm ñến lĩnh vực này.
Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 2

Qua thời gian viết luận văn với ñề tài Băng lọc số và ứng dụng mà cụ thể là
mã hóa âm thanh ñược ứng dụng vào nén tín hiệu âm thanh số, tác giả ñã có những
gặt hái nhất ñịnh về lĩnh vực này, là tiền ñề cho những nghiên cứu tiếp theo về sau.
ðể hoàn thành bản luận văn này:
Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung ñã
hướng dẫn, chỉ bảo tận tình, giúp ñỡ em trong quá trình thực hiện luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa ðiện tử - Thông tin
Viện ðại học Mở Hà Nội, khoa Sau ðại Học và các thầy, cô giáo ñã giảng dạy và
quản lý lớp cao học ðiện tử Viễn thông khóa 2009 - 2011.
Tôi xin chân thành cảm ơn lãnh ñạo trường Cao ñẳng Công nghiệp Nam
ðịnh, khoa ðiện và ðiện tử ñã tạo ñiều kiện cho tôi trong suốt thời gian học tập và
thực hiện luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn các ñồng nghiệp và gia ñình ñã ñộng viên, giúp
ñỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn .

Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học khoá 2009 - 2011
ñã giúp tôi hoàn thành khóa học.
Trong quá trình làm luận văn bản thân tôi ñã cố gắng tìm tòi thu thập và dịch
tài liệu, nghiên cứu những vẫn ñề mình ñược học. Với khả năng, kiến thức của
mình, bản luận văn còn những thiếu sót, rất mong ñược sự ñóng góp ý kiến của các
thầy giáo, cô giáo. Tôi cũng mong nhận ñược sự góp ý của các ñồng nghiệp và mọi
người quan tâm ñến lĩnh vực này.
Hà Nội, tháng 10 năm 2011
Học viên
Phạm Tuấn Diệu
Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 3

CHƯƠNG I. KỸ THUẬT LỌC SỐ NHIỀU NHỊP
Giới thiệu khái quát: Kỹ thuật lọc số nhiều nhịp ngày càng ñược ứng dụng
nhiều trong lĩnh vực xử lý tín hiệu vì nó có thể tăng tốc ñộ tính toán trong các bộ
lọc số bằng cách giảm số phép nhân phải thực hiện trong một giây.
Do tính chất ưu việt của kỹ thuật lọc số nhiều nhịp, nó ñã ñược nghiên cứu
rất nhiều trong những năm gần ñây và ñã thu ñược những kết quả khả quan, ñược
ứng dụng trong xử lý tiếng nói, âm thanh số, hình ảnh, kỹ thuật antenna. ðặc biệt
hai ứng dụng chính của nó là mã hóa băng con (subband coding) dùng trong xử lý
âm thanh, hình ảnh và ứng dụng phân ñường trong viễn thông.
Việc nghiên cứu lọc số nhiều nhịp thực chất là nghiên cứu và tổng hợp các
bộ lọc phân chia (decimation filter), bộ lọc nội suy (interpolation filter), các băng
lọc phân tích và tổng hợp, biểu diễn pha và cấu trúc nhiều pha.
Nguyên lý cơ bản của bộ lọc phân chia và nội suy là nguyên lý thay ñổi nhịp
lấy mẫu.
1.1. ðịnh nghĩa về hệ thống lọc số nhiều nhịp
* Hệ thống nhiều nhịp: Một hệ thống xử lý số tín hiệu có tần số (hoặc nhịp) lấy

mẫu ñược thay ñổi trong quá trình xử lý ñược gọi là hệ thống nhiều nhịp.
* Phép phân chia: Việc giảm tần số (hoặc nhịp) lấy mẫu từ giá trị F
S
về một giá trị
'
S
F
mà
'
S
F
< F
S
thì ñược gọi là phép phân chia.
Nếu
'
S
F
= F
S
/M (với M > 1 và nguyên dương) thì ta gọi là phép phân chia
theo hệ số M và M ñược gọi là hệ số phân chia.
* Bộ phân chia: Một hệ thống chỉ làm nhiệm vụ giảm tần số lấy mẫu ñược gọi là
bộ phân chia.
Ký hiệu bộ phân chia có dạng như hình 1.1:



Hình 1.1. Hệ thống phân chia M
* Phép nội suy: Việc tăng tần số (hoặc nhịp) lấy mẫu từ giá trị F

S
ñến một giá trị
'
S
F

mà
'
S
F
> F
S
thì ñược gọi là phép nội suy.
↓
M
x(n)
[F
S
]

y
↓
M
(n) [
'
S
F
]

Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 4

Nếu
'
S
F
= F
S
.L (với L > 1 và nguyên dương) thì ta gọi là phép nội suy theo
hệ số L và L ñược gọi là hệ số nội suy.
* Bộ nội suy: Một hệ thống chỉ làm nhiệm vụ tăng tần số lấy mẫu ñược gọi là bộ
nội suy.
Ký hiệu bộ nội suy có dạng như hình 1.2:



Hình 1.2. Hệ thống nội suy
1.2. Phép phân chia và bộ lọc phân chia
1.2.1. Phép phân chia theo hệ số M
* Biểu diễn phép phân chia trong miền biến số n: Giả sử ta có bộ phân chia trong
hình 1.1, ta thấy rằng tần số lấy mẫu F
S
của tín hiệu rời rạc x(n) sau khi qua bộ phân
chia này sẽ bị giảm ñi M lần, tức là: F
S
= M.
'
S
F

hoặc là chu kỳ lấy mẫu T
S
=
S
F
1
sẽ tăng lên M lần:
'
S
T
=M.T
S

ðể hiểu rõ bản chất quá trình phân chia này, ta sẽ biểu diễn dãy vào và dãy
ra của bộ phân chia ở dạng không chuẩn hóa như hình 1.3 (với nM là số nguyên).



Hình 1.3. Phép phân chia trong miền n
Như vậy tín hiệu rời rạc trước khi vào bộ phân chia là x(nT
S
) và sau khi ra
khỏi bộ phân chia là x(n
'
S
T
)
* Biểu diễn phép phân chia trong miền z: Ta biết rằng trong miền biến số ñộc lập
thì: y

↓M
(n) = x(nM), vậy:

∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
↓↓
==
n
n
n
n
MM
znMxznyzY )()()(

ðổi biến số với m = n.M với m, n là các số nguyên, ta có:

∑
∞
−∞=
−
↓
=
m
M
m

M
zmxzY )()(

↑
L
x(n)
[F
S
]

y
↑
L
(n) [
'
S
F
]

↓
M
x(n
T
S
)

y
↓
M
(n) = x(n

'
S
T
) = x(nMT
S
)
Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 5

Mặt khác ñã biết dãy p(m) ñược ñịnh nghĩa như sau:
l¹i cßn m víi
n nguyªsèlµ n n.M;m víi =



===
∑∑
−
=
−
=
−
0
1
11
)(
1
0
2

1
0
M
l
lm
M
j
M
l
lm
M
e
M
W
M
mp
π

Từ ñây ta có:

∑
∞
−∞=
−
↓
=
m
M
m
M

zmpmxzY )().()(

=
∑ ∑
∞
−∞=
−
=
−
m
M
l
M
m
lm
M
j
zmxe
M
1
0
2
).(.
1
π

=
m
M
l m

M
l
M
j
zemx
M
−
−
=
∞
−∞=
∑ ∑
1
0
12
].)[(
1
π


)(zY
M
↓
=
)(
1
1
0
1
∑

−
=
M
l
l
M
M
WzX
M

hoặc có thể viết dưới dạng sau ñây:

)(
M
M
zMY
↓
=
)(
1
0
∑
−
=
M
l
l
M
zWX

* Biểu diễn phép phân chia trong miền tần số:
Biểu diễn phép phân chia trong miền tần số chính là việc tìm quan hệ giữa:
)]([)( nyFTeY
M
j
M
↓↓
=
ω
và
)]([)(
nxFTeX
j
=
ω
.
Nếu ñánh giá Y
↓M
(z) và X(z) trên vòng tròn ñơn vị của mặt phẳng z, ta sẽ tìm ñược
quan hệ giữa
)(
ω
j
M
eY
↓
và
)(
ω
j

eX
, tức là:

ω
ω
j
ez
M
j
M
zYeY
=
↓↓
= )()(


ω
ω
j
ez
j
zXeX
=
= )()(

Từ ñó thu ñược quan hệ sau:

∑
−
=

−
↓
=
1
0
2
)(
1
)(
M
l
M
l
j
j
M
eX
M
eY
πω
ω

hay
∑
−
=
−
↓
=
1

0
2
)()(
M
l
M
l
j
j
M
eXeMY
πω
ω

Nhận xét:
- Thành phần với l = 0,
)(
M
j
eX
ω
chính là bản ảnh version giãn rộng M lần của
)(
ω
j
eX
.
Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 6

- (M-1) thành phần với 1 ≤ l ≤ M-1,
)(
2
M
l
j
eX
πω
−
là bản ảnh trễ ñồng dạng của bản
ảnh trải rộng
)(
M
j
eX
ω
.
-
)(
M
j
M
eY
ω
↓
cũng có chu kỳ 2∏ theo ω, là kết quả tổ hợp của M thành phần, vì thực
chất nó là tổ hợp biến ñổi Fourier của các dãy hợp lại.
- Những thành phần với 1 ≤ l ≤ M-1,
)(

2
M
l
j
eX
πω
−
sẽ xếp chồng với thành phần l = 0,
)(
M
j
eX
ω
gây hiện tượng chồng phổ  làm mất thông tin chứa trong x(n) khi qua bộ
phân chia. Vì lý do ñó nên thành phần với 1 ≤ l ≤ M-1 ñược gọi là thành phần hư
danh (aliasing).
- Nhưng thành phần hư danh này cũng có thể không gây hiện tượng chồng phổ nếu
tín hiệu vào bộ phân chia x(n) có dải tần hữu hạn là
M
M
π
ω
π
<<−
. Tức là x(n) ñược
lấy mẫu với tần số lấy mẫu F
S
lớn gấp M lần tần số Nyquist (F
S
=M.F

Ny
) từ một tín
hiệu tương tự x
a
(t) có bề rộng phổ hữu hạn F
a
(F
Ny
=2F
a
), tức là F
S
=2MF
a
.
- Vậy một logic ñơn giản là nếu tăng tần số lấy mẫu lên M lần, tức là ta cho x
a
(t)
qua bộ lấy mẫu với F
S
= MF
Ny
rồi cho qua bộ phân chia hệ số M tức là giảm ñi M
lần thì ta sẽ thu ñược kết quả như cho x
a
(t) ñi qua bộ lấy mẫu với F
S
= F
Ny
như ñã

minh họa trên hình 1.4.



Hình 1.4. Sơ ñồ tương ñương khi cho x
a
(t) qua bộ lấy mẫu với F
S
=F
Ny
- Phép phân chia làm x(n) co hẹp trong miền thời gian (nếu n là thời gian) thì sẽ dẫn
ñến hiện tượng giãn rộng trong miền tần số.
1.2.2. Bộ lọc phân chia
Phần trên ta ñã nghiên cứu phép phân chia và bộ phân chia, kết quả cho thấy
tín hiệu x(n) khi ñi qua bộ phân chia ↓M, trong miền tần số sẽ tạo ra M-1 thành
phần hư danh (aliasing), các thành phần hư danh này sẽ gây hiện tượng chồng phổ.
B
ộ lấy mẫu

F
S
= F
Ny

x
a
(t)

x(n)

x
a
(t)

x(n)

↓M
B
ộ lấy mẫu

F
S
= MF
Ny

≡
Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 7

Nhưng nếu x(n) có băng tần nằm trong khoảng
M
M
π
ω
π
<<−
, tức là tần số
giới hạn dải chắn (stopband edge) ω
C

=
M
π
thì sẽ không gây hiện tượng chồng phổ.
ðể làm ñược ñiều này, có thể ñặt trước bộ phân chia ↓M một bộ lọc thông thấp (low
pass filter) có ω
C
=
M
π
. Bộ lọc thông thấp này làm nhiệm vụ loại bỏ các thành phần
tần số
M
π
ω
>
và chỉ giữ lại thành phần
M
π
ω
<
, như vậy sẽ tránh ñược hiện tượng
chồng phổ.
Sơ ñồ tổng quát của bộ lọc phân chia cho trên hình 1 5





Hình 1 5. Sơ ñồ tổng quát bộ lọc phân chia

ðể ngắn gọn có thể dùng cách biểu diễn toán tử như sau:
x(n)
H↓M
y
H↓M
(n)
x(n)
H
y
H
(n)
↓M
y
H↓M
(n)
* Biểu diễn phép lọc phân chia trong miền biến số n:
Các phép toán trong phép lọc phân chia xảy ra như sau trong miền biến số n
x(n)
h(n)
y
H
(n)
↓M
y
H↓M
(n)
ở ñây: y
H
(n) = x(n)*h(n) =
∑

∞
−∞=
−
k
knhkx
)()(

= h(n)*x(n) =
∑
∞
−∞=
−
k
knxkh
)()(

y
H↓M
(n) = ↓M[x(n)*h(n)] = ↓M [y
H
(n)]
Lưu ý là phép phân chia không có tính chất phân phối vào phép chập, tức là:
↓M [x(n)*h(n)] ≠ ↓M [x(n)]*↓M [h(n)]
Bởi vì: ↓M[x(n)*h(n)] = y
H↓M
(n) =
∑
∞
−∞=
−

k
knhkx
)()(
=
∑
∞
−∞=
−
k
knxkh
)()(

h(n) ↓M
x(n) y
H
(n) y
H↓M
(n)
Bộ lọc thông thấp
h(n): ñáp
ứng xung của bộ lọc

F
S
F
S
F
S
/M
Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 8

trong khi: ↓M [x(n)]*↓M [h(n)] = x(Mn)*h(Mn) =
∑
∞
−∞=
−
k
MkMnhMkx
)()(

* Biểu diễn phép lọc phân chia trong miền z:
Trong miền z phép lọc phân chia ñược mô tả như sau
X(z)
H(z)
Y
H
(z)
↓M
Y
H↓M
(z) = ↓M[Y
H
(z)]
ở ñây: X(z) = ZT[x(n)]; Y
H
(z) = ZT[y
H
(n)]

H(z) = ZT[h(n)]; Y
H↓M
(z) = ZT[y
H↓M
(n)]
và: Y
H
(z) = X(z).H(z) = H(z).X(z)
Y
H↓M
(z) =
∑
−
=
=↓
1
0
1
)]([)(
1
M
l
H
l
M
M
H
zYMWzY
M
=

∑
−
=
1
0
11
)().(
1
M
l
l
M
M
l
M
M
WzHWzX
M

Lưu ý:
- Cũng như trong miền biến số n, phép phân chia không có tính chất phân
phối vào phép nhân trong miền z, tức là:
↓M [X(z)*H(z)] ≠ ↓M [X(z)].↓M [H(z)]
- Ta có Y
H↓M
(z) = Y
↓MH
(z), vậy hai phép lọc phân chia này tương ñương
nhau. Do ñó sơ ñồ thực hiện hai phép này là ñồng nhất.

a) b)
Hình 1.6. Hai sơ ñồ tương ñương thực hiện phép lọc phân chia
Ký hiệu phép lọc trên hình 1.6.a là [H(z
M
)↓M] và 1.6.b là [↓MH(z)], vậy có
thể viết: H(z
M
)↓M ≡ ↓MH(z). Sự ñồng nhất của hai sơ ñồ rất có giá trị trong
các ứng dụng thực tế ñể thực hiện các bộ lọc và các băng lọc.
* Biểu diễn phép lọc phân chia trong miền tần số:
ðánh giá X(z), H(z), Y
H
(z) và Y
H↓M
(z) trên vòng tròn ñơn vị trong mặt
phẳng z ta sẽ có cách biểu diễn phép lọc phân chia trong miền tần số như sau:
X(e
jω
) Y
H
(e
jω
)
↓M
Y
H↓M
(e
jω
)

ở ñây: Y
H
(e
jω
) = X(e
jω
).H(e
jω
)
Y
H↓M
(e
∑
−
=
−
1
0
2
)(
1
M
l
M
l
j
H
eY
M
πω

jω
) = =
∑
−
=
−−
1
0
22
)().(
1
M
l
M
l
j
M
l
j
eHeX
M
πωπω

≡
H(z
M
) ↓M
↓M
H(z)
H(

e
j
ω
)
Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 9

Nếu Y
H
(e
jω
) là bộ lọc thông thấp lý tưởng tức là ở dải thông
1)(
=
ω
j
eH
, dải chắn
0)(
=
ω
j
eH
thì ta có thành phần ñầu tiên (l = 0) như sau:

πω
ω
ω
≤=

=
↓
)(
1
)(
0
M
j
l
j
MH
eX
M
eY

* Tính chất của phép lọc phân chia:
Nếu H(z) = H
1
(z) + H
2
(z)
thì Y
H
(z) = X(z)[H
1
(z) + H
2
(z)] = X(z).H
1
(z) + X(z).H

2
(z)
Y
H↓M
(z) =
∑
−
=
=↓
1
0
1
)]([)(
1
M
l
H
l
M
M
H
zYMWzY
M

=
∑
−
=







+
1
0
1
2
11
1
1
)()()()(
1
M
l
l
M
M
l
M
M
l
M
M
l
M
M
WzHWzXWzHWzX
M

= ↓M[X(z)H
1
(z)] + ↓M[X(z)H
2
(z)]
Vậy phép phân chia có tính phân phối vào phép cộng.
Ký hiệu toán tử ñể biểu diễn phép phân chia như sau:
↓M[x(n)] = y
↓
(n) ≡ y
↓M
(n)
Hay: x(n)
↓M
y
↓
(n) ≡ y
↓M
(n)
1.3. Phép nội suy và bộ lọc nội suy
1.3.1. Phép nội suy với hệ số nguyên L
* Biểu diễn phép nội suy trong miền biến số n:
Giả sử có bộ nội suy như hình sau:





Hình 1.7. Bộ nội suy

Tần số lấy mẫu F
S
của tín hiệu rời rạc x(n) sau khi qua bộ nội suy hệ số L sẽ
tăng lên L lần, tức là:

S
''
SS
'
L22 ;2 ;
Ω==Ω=Ω=
πππ
SSSS
FFLFF

↑L
x(n) y
↑L
(n) = x(n/L)
F
S

'
S
F

Ω
S

'

S
Ω

T
S

'
S
T

Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 10

Hoặc chu kỳ lấy mẫu
S
S
F
T
1
=
sẽ giảm ñi L lần:
L
T
T
S
S
=
'

ðể hiểu rõ phép nội suy về mặt bản chất, ta sẽ biểu diễn tín hiệu vào và ra
của bộ nội suy ở dạng không chuẩn hóa như hình 1.8 (chuẩn hóa ñược hiểu là chuẩn
hóa theo chu kỳ lấy mẫu)



Hình 1.8. Biểu diễn bộ nội suy dạng không chuẩn hóa
Như vậy, tín hiệu rời rạc vào bộ nội suy là x(nT
S
) thì tín hiệu ra sẽ trở thành
x(n
'
S
T
) = x(
S
T
L
n
)
* Biểu diễn phép nội suy trong miền z: Quá trình nội suy bằng bộ nội suy trong
miền z ñược biểu diễn như trên hình 1.9


Hình 1.9. Biểu diễn bộ nội suy trong miền z
Trong miền biến số ñộc lập n ta có:







±±=






=
↑
l¹i cßn n víi
2L; L; 0;n
0
)(
L
n
x
ny
L

Vậy Y
↑L
(z) =
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=

−
↑
=
n
n
n
n
L
z
L
n
xzny )()(

Tiến hành ñổi biến: m = n/L ta có:
Y
↑L
(z) =
∑∑
∞
−∞=
−+
∞
−∞=
−
=
n
mL
n
mL
zmxzmx ))(()(

hoặc: Y
↑L
(z
1/L
) = X(z)
* Biểu diễn phép nội suy trong miền tần số:
ðánh giá Y
↑L
(z) và X(z) trên vòng tròn ñơn vị trong mặt phẳng z ta thu ñược
quan hệ giữa Y
↑L
(e
jω
) và X(e
jω
):

ω
ω
j
ez
L
j
L
zYeY
=
↑↑
= )()(

ω
ω
j
ez
j
zXeX
=
= )()(

↑L
x(nT
S
)
y
↑L
(n) = x(n
'
S
T
) = x(
S
T
L
n
)
↑L
X(z) Y
↑L
(z)

Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 11

Vậy:
)()(
Ljj
L
eXeY
ωω
=
↑
hay là:
)()(
ω
ω
j
L
j
L
eXeY
=
↑

Nhận xét:
- Y
↑L
(e
jω
) là bản ảnh (version) co hẹp L lần của X(e

jω
) nhưng lại xuất hiện (L-1) bản
sao chụp phổ cơ bản, (L-1) bản sao chụp phụ này là các ảnh ñược tạo ra bởi bộ nội
suy hệ số L. Hiện tượng xuất hiện các bản sao chụp phụ này gọi là hiệu ứng tạo ảnh
(imaging), tuy vậy hiệu ứng này không gây hiện tượng chồng phổ và như vậy nó
không làm mất thông tin.
- Phép nội suy làm tín hiệu x(n) giãn rộng trong miền thời gian (nếu n là thời gian)
thì sẽ dẫn ñến hiện tượng co hẹp trong miền tần số, ñây chính là tính chất của phép
biến ñổi Fourier.
- Phép nội suy làm chèn thêm L-1 mẫu có biên ñộ 0 vào giữa hai mẫu của x(n) thì
trong miền tần số sẽ tạo ra (L-1) bản sao chụp phổ cơ bản, tức là L-1 bản sao chụp
này sẽ chèn vào giữa hai phổ cơ bản.
- Nội suy ở ñây có nghĩa là nếu tín hiệu x(n) có tần số lấy mẫu F
S
sau khi qua bộ nội
suy sẽ có tần số lấy mẫu
SS
LFF
=
'
và với các mẫu có biên ñộ 0. Sau ñó ta cho qua
bộ lọc có tần số cắt là
L
π
thì ở ñầu ra của bộ lọc sẽ thu ñược tín hiệu với tần số lấy
mẫu LF
S
nhưng các mẫu biên ñộ 0 ñã ñược nội suy từ các mẫu biên ñộ khác 0 của
x(n), tức là ta có tín hiệu x(n) có tần số lấy mẫu LF
S

, với các mẫu biên ñộ khác 0.
1.3.2. Bộ lọc nội suy
Phần trên khi nghiên cứu phép nội suy và bộ lọc nội suy ta có thể thấy rằng
phép nội suy ↑L không làm hư thông tin, nhưng ñể nội suy ra các mẫu có biên ñộ 0
thì phải ñặt sau bộ nội suy một bộ lọc có tần số cắt ω
C
= π/L. Trong miền biến số n
bộ lọc này làm nhiệm vụ nội suy ra các mẫu có biên ñộ 0, còn trong miền tần số nó
làm nhiệm vụ loại bỏ các ảnh phụ của phổ cơ bản.




Hình 1.10. Sơ ñồ tổng quát bộ lọc nội suy
↑L h(n)
x(n) y
↑L
(n) y
↑LH
(n)
Bộ lọc thông thấp có
L
C
π
ω
=

h(n): ñáp ứng xung của bộ lọc
Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 12

ðể ngắn gọn có thể dùng cách biểu diễn toán tử như sau:
x(n)
↑LH
y
↑LH
(n)
x(n)
↑L
y
↑L
(n)
H
y
↑LH
(n)
* Biểu diễn phép lọc nội suy trong miền biến số n:
Quá trình lọc nội suy ñược biểu diễn trong miền biến số n như sau:
x(n)
↑L
y
↑L
(n)
h(n)
y
↑LH
(n)
ở ñây: y
↑L

(n) = ↑L[x(n)] =





±±=
l¹i cßn nvíi

0
;2;;0)( LLn
L
n
x

y
↑LH
(n) = y
↑L
(n)*h(n) = h(n)*y
↑L
(n)
=
)()( knhky
k
L
−
∑
∞
−∞=

↑

=
)()( knh
L
k
x
k
−
∑
∞
−∞=
k = 0; ±L; ±2L;
ðổi biến số: r = k/L ta có:
y
↑LH
(n) =
)()( rLnhrx
r
−
∑
∞
−∞=

* Biểu diễn phép lọc nội suy trong miền z:
Phép lọc nội suy trong miền z ñược mô tả như sau:
X(z)
↑L
Y
↑L

(z)
H(z)
Y
↑LH
(z)
ở ñây: X(z) = ZT[x(n)]; Y
↑L
(z) = ZT[y
↑L
(n)]
H(z) = ZT[h(n)]; Y
↑LH
(z) = ZT[y
↑LH
(n)]
Mặt khác ta có: Y
↑L
(z) = X(z
L
) và: Y
↑LH
(z) = Y
↑L
(z).H(z)
 Y
↑LH
(z) = X(z
L
).H(z)
Lưu ý:

- Ta có Y
↑LH
(z) = Y
H↑L
(z), vậy hai phép lọc nội suy này tương ñương nhau.
Do ñó sơ ñồ thực hiện hai phép này là ñồng nhất.


a) b)
Hình 1.11. Hai sơ ñồ tương ñương thực hiện phép lọc nội suy
≡
H(z) ↑L

↑L

H(z
L
)
Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 13

Ký hiệu phép lọc nội suy trên hình 1.11.a là [H(z)↑L] và 1.11.b là [↑LH(z
L
)],
vậy có thể viết: H(z)↑L ≡ ↑LH(z
L
). Sự ñồng nhất của hai sơ ñồ rất quan trọng trong
các ứng dụng thực tế ñể xây dựng các bộ lọc và các băng lọc.
* Biểu diễn phép nội suy trong miền tần số:

ðánh giá X(z), H(z), Y
↑L
(z) và Y
↑LH
(z) trên vòng tròn ñơn vị trong mặt
phẳng z (tức là thay z = e
jω
) ta có biểu diễn phép lọc nội suy trong miền tần số như
sau:
X(e
jω
)
↑L
Y
↑L
(e
jω
)
H(
ω
j
e
)
Y
↑LH
(e
jω
)
Y
↑L

(e
jω
) = X(e
jωL
)
Y
↑LH
(e
jω
) = Y
↑L
(e
jω
).H(e
jω
) = X(e
jωL
).H(e
jωL
)
1.4. Thay ñổi nhịp lấy mẫu và bộ lọc biến ñổi nhịp lấy mẫu với hệ số M/L
không nguyên
1.4.1. Thay ñổi nhịp lấy mẫu với hệ số M/L
* Biểu diễn trong miền biến số n:
Trong kỹ thuật, nhiều khi ñể thực hiện một nhiệm vụ nào ñó chúng ta phải
thay ñổi nhịp lấy mẫu với hệ số là phân số M/L. ðể làm ñiều ñó, ta sẽ ghép nối tiếp
bộ nội suy với bộ phân chia hoặc theo thứ tự ngược lại, bộ này gọi là bộ biến ñổi
nhịp với hệ số M/L.
a) Bộ biến ñổi nhịp ghép nối tiếp bộ nội suy và phân chia

b) Bộ biến ñổi nhịp ghép nối tiếp bộ phân chia và nội suy








↑L ↓M
x(n) y
↑L
(n) y
↑↓M/L
(n)
F
S
SS
LFF =
'
SS
F
M
L
F =
"

x(nT
S
)
y
↑L
(n) = x(n
L
T
S
)
y
↑↓M/L
(n) = x(n
S
T
L
M
)
↓M ↑L
x(n) y
↓M
(n)

y
↓↑M/L
(n)
F
S
SS
F

M
F
1
'
=

SS
F
M
L
F =
"
x(nT
S
)
y
↓M
(n) = x(n
S
MT
)
y
↓↑M/L
(n) = x(n
S
T
L
M
)
Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 14

Hình 1.12. Bộ biến ñổi nhịp hệ số M/L không nguyên
Như vậy tần số lấy mẫu F
S
của tín hiệu vào x(n) sau khi qua khỏi bộ biến ñổi
nhịp với hệ số M/L thì tần số sẽ bị thay ñổi L/M lần tức là:
SS
F
M
L
F
=
"
hoặc chu kỳ
lấy mẫu sẽ bị thay ñổi M/L lần:
SS
F
L
M
T =
"

Ký hiệu toán tử ñể biểu diễn phép biến ñổi nhịp lấy mẫu hệ số M/L như sau:

)()]([
/
nynx
L

M
LM↑↓
=↑↓
hay x(n)
↑↓M/L
y
↑↓M/L
(n)
và:
)()]([
/
nynx
L
M
LM↓↑
=↓↑
hay x(n)
↓↑M/L
y
↓↑M/L
(n)
Với 2 ký hiệu trên, nếu mũi tên lên ↑ ñặt trước mũi tên xuống ↓ nghĩa là bộ
nội suy ñặt trước bộ phân chia. Còn nếu mũi tên lên ↑ ñặt sau mũi tên xuống ↓ thì
tức là bộ phân chia ñặt trước bộ nội suy.
Sở dĩ phải phân biệt thứ tự trước sau giữa bộ phân chia và bộ nội suy bởi vì
phép phân chia và nội suy không có tính chất giao hoán. Bộ phân chia, bộ nội suy
và bộ biến ñổi nhịp lấy mẫu là những hệ thống không phải bất biến theo biến số n,
tức là, chúng là các hệ thống thay ñổi theo biến số n.
Như vậy nói chung thì y
↑↓M/L

(n) ≠ y
↓↑M/L
(n) mặc dù tỉ lệ thay ñổi nhịp lấy
mẫu ñều là M/L. Tuy nhiên cũng có trường hợp y
↑↓M/L
(n) = y
↓↑M/L
(n) nếu quan hệ
giữa M và L thỏa mãn một số ñiều kiện sau:
n
0
L = n
1
M + 1
hoặc n
1
M = n
0
L + 1 (n
0
; n
1
là các số nguyên)
Ta có thể ký hiệu sự tương ñương này như sau: ↑↓M/L ≡ ↓↑M/L
ðây cũng chính là nội dung của ñịnh lý Euclid.
ðể thuận tiện, ta ký hiệu lại bộ biến ñổi nhịp hệ số M/L ở hình 1.12 như sau:

Hình 1.13. Bộ biến ñổi nhịp [↑↓M/L] (hình a) và [↓↑M/L] (hình b)
Nếu M > L thì bộ thay ñổi nhịp làm nhiệm vụ nén tín hiệu theo tỉ lệ M/L.
↑↓M/L
a)
x(n) y
↑↓
(n) ≡ y
↑↓M/L
(n)
↓↑M/L
b)
x(n) y
↓↑
(n) ≡ y
↓↑M/L
(n)
Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 15

Nếu M < L thì bộ thay ñổi nhịp làm nhiệm vụ giãn tín hiệu theo tỉ lệ L/M.
* Biểu diễn trong miền z:
 Xét quan hệ vào ra của bộ biến ñổi nhịp ↑↓M/L, ta có phép biến ñổi nhịp
sau:
x(n)
↑↓M/L
y
↑↓M/L
(n)
Vậy trong miền z ta cũng có:

X(z)
↑↓M/L
Y
↑↓M/L
(z)
Với phép nội suy ↑L ta có:
X(z)
↑L
Y
↑L
(z) = ZT[y
↑L
(n)]
Y
↑L
(z) = X(z
L
)
Sau ñó y
↑L
(n) ñi qua bộ phân chia ↓M ta có:
Y
↑L
(z)
↓M
Y
↑↓M/L
(z) = ZT[y
↑↓M/L
(n)]

Y
↑↓M/L
(z) =
)(
1
21
1
0
l
M
j
M
M
l
L
ezY
M
π
−
−
=
↑
∑


])[()(
2121
L
l
M

j
M
l
M
j
M
L
ezXezY
ππ
−−
↑
=

Vậy: Y
↑↓M/L
(z) =
∑
−
=
−
1
0
2
)(
1
M
l
Ll
M
j

M
L
ezX
M
π

=
∑
−
=
1
0
)(
1
M
l
Ll
M
M
L
WzX
M

 Xét quan hệ vào ra của bộ biến ñổi nhịp ↓↑M/L, ta có phép biến ñổi nhịp
sau:
x(n)
↓↑M/L
y
↓↑M/L
(n)

Vậy trong miền z ta cũng có:
X(z)
↓↑M/L
Y
↓↑M/L
(z)
Với phép phân chia ↓M ta có:
X(z)
↓M
Y
↓M
(z) = ZT[y
↓M
(n)]
Y
↓M
(z) =
)(
1
1
0
21
∑
−
=
−
M
l
l
M

j
M
ezX
M
π

Sau ñó y
↓M
(n) ñi qua bộ nội suy ↑L ta có:
Y
↓M
(z)
↑L
Y
↓↑M/L
(z) = ZT[y
↓↑M/L
(n)]
Y
↓↑M/L
(z) = Y
↓M
(z
L
)
Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 16

=

)(
1
1
0
2
∑
−
=
−
M
l
l
M
j
M
L
ezX
M
π

Vậy: Y
↓↑M/L
(z) =
∑
−
=
1
0
)(
1

M
l
l
M
M
L
WzX
M

Nhận xét:
- Dựa vào biểu thức của Y
↑↓M/L
(z) và Y
↓↑M/L
(z) ta thấy Y
↑↓M/L
(z) ≠ Y
↓↑M/L
(z), tức là
nói chung y
↑↓M/L
(n) ≠ y
↓↑M/L
(n), như mục trên ta ñã nhận xét.
- Nhưng cũng có những khả năng Y
↑↓M/L
(z) = Y
↓↑M/L
(z) nếu:

)()(
1
0
1
0
∑∑
−
=
−
=
=
M
l
Ll
M
M
L
M
l
l
M
M
L
WzXWzX

ñiều này có thể xảy ra nếu và chỉ nếu
Ll
M
l
M

WW
=
hoặc tập hợp M số hạng
Ll
M
W
trùng
với tập hợp M số hạng
l
M
W
với 0 ≤ l ≤ M-1.
- Trong trường hợp l = M ta có : X(z)
↓↑M/M
Y
↓↑M/M
(z)
như vậy :
∑
−
=
↓↑
=
1
0
/
)(
1
)(
M

l
l
M
MM
zWX
M
zY

và : X(z)
↑↓M/M
Y
↑↓M/M
(z)
vậy : Y
∑
−
=
↑↓
=
1
0
/
)(
1
)(
M
l
Ml
M
MM

zWX
M
zY

bởi vì :
1
2
===
− ljlMl
M
eWW
π

do ñó :
)()(
1
)(
1
0
/
zXzX
M
zY
M
l
MM
==
∑
−
=

↑↓

* Biểu diễn phép biến ñổi nhịp trong miền tần số:
ðánh giá X(z), Y
↑↓M/L
(z) và Y
↓↑M/L
(z) trên vòng tròn ñơn vị trong mặt phẳng
z ta có:
X(e
jω
) =
ω
j
ez
zX
=
)(

Y
↓↑M/L
(e
jω
)=
)(
1
)(
1
0
2

/
∑
−
=
−
=
↓↑
=
M
l
M
lL
j
ez
LM
eX
M
zY
j
πω
ω

Y
↑↓M/L
(e
jω
) =
)(
1
)(

1
0
2
/
∑
−
=
−
=
↑↓
=
M
l
M
LlL
j
ez
LM
eX
M
zY
j
πω
ω



Luận văn thạc sỹ CBHD: PGS.TS. Nguyễn Quốc Trung

Học viên: Phạm Tuấn Diệu 17

1.4.2. Bộ lọc biến ñổi nhịp lấy mẫu với hệ số M/L không nguyên
Phần trên ñã nghiên cứu bộ lọc phân chia và bộ lọc nội suy, ñồng thời cũng
ñã nghiên cứu bộ biến ñổi nhịp lấy mẫu với hệ số M/L. Từ ñó chúng ta có thể xây
dựng bộ lọc biến ñổi nhịp lấy mẫu với hệ số không nguyên M/L. Bộ lọc này có thể
ñảm bảo biến ñổi nhịp theo hệ số không nguyên M/L nhưng không gây hiện tượng
chồng phổ, tức là không làm hư thông tin của chúng ta.
Bộ lọc biến ñổi nhịp lấy mẫu hệ số M/L không nguyên ñược xây dựng bằng
cách ghép nối tiếp hai bộ nội suy và phân chia như hình sau:




Hình 1.14. Bộ lọc biến ñổi nhịp lấy mẫu hệ số M/L không nguyên

Do cách ghép nối tiếp bộ lọc nội suy trước bộ lọc phân chia như hình trên
cho ta thấy rằng bộ lọc h
L
(n) ñược ghép nối tiếp với bộ lọc h
M
(n), vậy ta có thể kết
hợp hai bộ lọc này làm một bộ lọc chung có ñáp ứng xung h(n). Bộ lọc h(n) này
phải làm cả hai nhiệm vụ ñối với phép nội suy và phép phân chia, do ñó ta phải
chọn bộ lọc h(n) sao cho cùng một lúc nó thực hiện ñược cả hai nhiệm vụ này.
Hai bộ lọc này ghép nối tiếp vì vậy ñáp ứng tần số H(e
jω
) = FT[h(n)] sẽ là:
H(e
jω
) = H

L
(e
jω
).H
M
(e
jω
)
ở ñây: H
L
(e
jω
) = FT[h
L
(n)] và H
M
(e
jω
) = FT[h
M
(n)]
Vậy ta cũng có:
|H(e
jω
)| = |H
L
(e
jω
)|.|H
M

(e
jω
)|
Ta biết rằng H
L
(e
jω
) là bộ lọc thông thấp (giả sử là lý tưởng) có ω
C
= π/L,
còn H
M
(e
jω
) cũng là bộ lọc thông thấp (giả sử là lý tưởng) có ự
C
= π/M, vậy H(e
jω
)
cần ñược chọn như sau:

)(- l¹i cßn
0
πωπω
π
π
ω
ω
≤≤
≤≤




=
),min(
0
1
)(
ML
eH
j

ở ñây C là hằng số.
↑L h
L
(n) ↓M h
M
(n)
F
S
LF
S
LF
S
LF
S
x(n)
M
L
F

S
y(n)
Bộ lọc nội suy Bộ lọc phân chia