bài tập bất đẳng thức luyện thi đại học và cao đẳng

aotrangtb.com
Chương 2
Bất đẳng thức
2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauch y
2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy - So sánh giữa tổng v à tích
Cho ba số không âm a, b, c, ta có :
1.
a + b
2
≥
√
ab, dấu bằng x ảy ra khi a = b ;
2.
a + b + c
3
≥
3
√
abc, dấu bằng x ả y ra khi a = b = c.
2.1.2 Một số hệ quả trực tiếp
Hệ quả 1 : So sánh giữa tổng nghịch đảo v à tổng.
Cho ba số dương a, b, c có :
1.
1
a
+
1
b
≥
4
a + b

; 2.
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
9
a + b + c
.
Hệ quả 2 : So sánh giữa tổng bình phương v à tồng.
Cho ba số thực a, b, c có :
1. 2(a
2
+ b
2
) ≥ (a + b)
2
; 2. 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) ≥ (a + b + c).
Hệ quả 3 : So sánh giữa tổng, tổng bình phương v à tích.
Cho ba số thực a, b, c có :

1. (a + b + c)
2
≥ 3(ab + bc + ca) ; 2. a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca.
2.1.3 Bài tậpđề nghị
Bài 2.1 : Cho a, b, > 0. Chứng minh rằng :
ab(a + b)
2
≤
a + b
2
3
≤
(a + b)(a
2
+ ab + b
2
)
6
≤
a
3
+ b
3
2

≤
(a
2
+ b
2
)
3
(a + b)
3
.
Bài 2.2 : Cho a, b > 0 v à a + b ≤ 1. Chứng minh rằng :
37
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
1.
1
a
+
1
b
≥ 4 ; 2.
1
a
+
1
b
+ a + b ≥ 5.
Bài 2.3 : Cho các số không âm a, b, c có a + b + c ≤ 3. Chứng minh rằng :
1. a + b + c ≥ ab + bc + ca ; 2.
√

a +
√
b +
√
c ≥ ab + bc + ca.
Bài 2.4 : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : (1 + x)(1 + y) ≥ (1 +
√
xy)
2
.
Bài 2.5 : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : x
2
+ y
2
+
1
x
+
1
y
≥ 2(
√
x+
√
y).
Bài 2.6 : Cho x, y > 0 v à x + y = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của P =
1
x
2
+ y

2
+
1
xy
.
Bài 2.7 : Cho x, y, z > 0 v à x + y + z = 1. T ì m giá trị lớn nhất của P =
x
x + 1
+
y
y + 1
+
z
z + 1
.
Bài 2.8 : Cho a, b > 0 v à a + b = 1. Chứng minh rằng :
a
2
a + 1
+
b
2
b + 1
≥
1
3
.
Bài 2.9 : Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng :
1
a + 3b

+
1
b + 3c
+
1
c + 3a
≥
1
2a + b + c
+
1
2b + c + a
+
1
2c + a + b
.
Bài 2.10 : Chứng minh rằng v ớ i mọi a, b, c > 0 đều có :
1.
1
a(b + c)
+
1
b(c + a)
+
1
c(a + b)
≥
27
2(a + b + c)
2

; 2.
1
a(a + b)
+
1
b(b + c)
+
1
c(c + a)
≥
27
2(a + b + c)
2
.
Bài 2.11 : Cho a, b > 0 v à a + b ≤ 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của S = ab +
1
ab
.
Bài 2.12 : Cho a, b > 0. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =
a+ b
√
ab
+
√
ab
a + b
.
Bài 2.13 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c ≤
3
2

. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b + c +
1
a
+
1
b
+
1
c
.
Bài 2.14 : Chứng minh rằng v ớ i mọi số dương x, y, z đều có : x
2
+ y
2
+ z
2
≥
√
2(xy + yz).
Bài 2.15 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 4. Chứng minh rằng :
ab
a + b + 2c
+
bc
b + c + 2a
+
ca
c + a + 2b
≤ 1.
Bài 2.16 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

ab
a + 3b + 2c
+
bc
b + 3c + 2a
+
ca
c + 3a + 2b
≤
a + b + c
6
.
Bài 2.17 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
1.
a + b
c
+
b + c
a
+
c + a
b
≥ 6 ;
2.
a
b + c
+
b
c + a
+

c
a + b
≥
3
2
;
3.
a
2
b + c
+
b
2
c + a
+
c
2
a + b
≥
a + b + c
2
;
4.
a
3
b + c
+
b
3
c + a

+
c
3
a + b
≥
a
2
+ b
2
+ c
2
2
.
Bài 2.18 : Cho a, b, c > 0 v à abc = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
1. P =
a
2
b + c
+
b
2
c + a
+
c
2
a + b
;
2. Q =
a
3

b + c
+
b
3
c + a
+
c
3
a + b
;
3. R =
a
2
√
a
b + c
+
b
2
√
b
c + a
+
c
2
√
c
a + b
;
4. S =

bc
a
2
b + a
2
c
+
ca
b
2
c + b
2
a
+
ab
c
2
a + c
2
b
;
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 38
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
Bài 2.19 : Cho x, y, z, t > 0 v à xyzt = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
1
x
3
(yz + zt + ty)

+
1
y
3
(zt + tx + xz)
+
1
z
3
(tx + xy + yt)
+
1
t
3
(xy + yz + zx)
.
Bài 2.20 : Cho a, b, c > 0. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
1. P =
a
b + 2c
+
b
c + 2a
+
c
a + 2b
. 2. Q =
a
b + mc
+

b
c + ma
+
c
a + mb
, m ∈ N, m > 2.
1
Bài 2.21 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
1. (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ;
2.
bc
a
+
ca
b
+
ba
c
≥ a + b + c.
Bài 2.22 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
1.
a
b + c − a
+
b
c + a − b
+
c
a + b − c
≥3 ;

2.
a
2
b + c − a
+
b
2
c + a − b
+
c
2
a + b − c
≥a + b + c.
Bài 2.23 : 1. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa c h u vi của tam giác. Chứng minh rằng :
(p − a)(p − b)(p − c) ≤
abc
8
.
2. Cho tam giác ABC có c h u vi bằng 3 v à độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c. Chứng minh rằng :
4(a
3
+ b
3
+ c
3
) + 15abc ≥ 27.
Bài 2.24 : Cho a, b, c, d > 0 v à a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :
1
a
− 1

1
b
− 1
1
c
− 1
1
d
− 1 ≥ 81.
Bài 2.25 : Cho a, b ≥ 1. Chứng minh rằng : a
√
b − 1 + b
√
a − 1 ≤ ab.
Bài 2.26 : Cho a, b, c ≥ 0 v à a + b + c = 1. Chứng minh rằng : ab + bc + ca + abc ≤
10
27
.
Bài 2.27 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
2
a
2
+ bc
≤
1
2
1
ab
+
1

ac
.
Bài 2.28 : Cho a, b > 0 v à a + b = 1. Chứng minh rằng :
3
ab
+
2
a
2
+ b
2
≥ 16.
Bài 2.29 : Cho a, b, c > 0 v à
1
1 + a
+
1
1 + b
+
1
1 + c
≥ 2. Chứng minh rằng : abc ≤
1
8
.
Bài 2.30 : Cho a > b > 0 v à ab = 1. Chứng minh rằng :
a
2
+ b
2

a − b
≥2
√
2.
Bài 2.31 : T ì m giá trị nhỏ nhất của A = (1 + x) 1 +
1
y
+ (1 + y) 1 +
1
x
v ớ i x, y > 0 thỏa mãn x
2
+ y
2
= 1.
Bài 2.32 : Cho x, y, z > 1 thỏa mãn x + y + z = xyz. T ì m giá trị nhỏ nhất của :
P =
y − 2
x
2
+
z − 2
y
2
+
x − 2
z
2
.
Bài 2.33 : Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng :

a
log
b
c
+ b
log
c
a
+ c
log
a
b
≥ 3
3
√
abc.
1
Một cách tổng q uá t, tìm giá trị nhỏ nhất của R =
a
xb + yc
+
b
xc + ya
+
c
xa + yb
v ớ i a, b, c, x, y là những số dương
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 39
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC

Bài 2.34 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
1 +
1
a
1 +
1
b
1 +
1
c
≥ 64.
Bài 2.35 : Cho a, b > 0. Chứng minh rằng : (a + b)
2
+
1
a
+
1
b
2
≥ 8.
Bài 2.36 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
bc
a
2
b + a
2
c
+
ca

b
2
c + b
2
a
+
ab
c
2
a + c
2
b
≥
1
2
1
a
+
1
b
+
1
c
.
Bài 2.37 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
ab
a + b
+
bc
b + c

+
ca
c + a
≤
a + b + c
2
.
Bài 2.38 : Cho a ≥ 3. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a +
1
a
.
Bài 2.39 : Cho a ≥ 2. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a +
1
a
2
.
Bài 2.40 : Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S = a + b + c +
1
abc
.
Bài 2.41 : Cho x, y > 0 v à x + y = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =
x
√

1 − x
+
y
√
1 − y
.
Bài 2.42 : Cho a, b, c ≥ 0 v à a + b + c = 1. T ì m giá trị lớn nhất của biểu thức
S =
3
√
a + b +
3
√
b + c +
3
√
c + a.
Bài 2.43 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 3. T ì m giá trị lớn nhất của biểu thức
S =
3
a(b + 2c) +
3
b(c + 2a) +
3
c(a + 2b).
Bài 2.44 : Cho a ≥ 2; b ≥ 6; c ≥ 12. Tì m giá trị lớn nhất của biểu thức
S =
bc
√
a − 2 + ca

3
√
b − 6 + ab
4
√
c − 12
abc
.
Bài 2.45 : Chứng minh rằng :
a
b
+
b
c
+
c
a
2
≥
3
2
a + b
c
+
b + c
a
+
c + a
b
v ớ i mọi a, b, c > 0.

Bài 2.46 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
a
3
(a + b)(a + c)
+
b
3
(b + c)(b + a)
+
c
3
(c + a)(c + b)
≥
3
4
.
Bài 2.47 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
a
3
b(2c + a)
+
b
3
c(2a + b)
+
c
3
c(2b + c)
≥ 1.
Bài 2.48 : Cho a, b, c > 0 v à a

2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chứng minh rằng :
a
3
b + 2c
+
b
3
c + 2a
+
c
3
a + 2b
≥
1
3
.
Bài 2.49 : Cho a, b, c > 0 v à a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chứng minh rằng :
a
3

a + b
+
b
3
b + c
+
c
3
c + a
≥
1
2
.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 40
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
Bài 2.50 : Cho a, b, c > 0 v à ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :
a
√
1 + a
2
+
b
√
1 + b
2
+
c
√
1 + c

2
≤
3
2
.
Bài 2.51 : Cho a, b, c > 0 v à ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :
1
a(a + b)
+
1
b(b + c)
+
1
c(c + a)
≥
9
2
.
Bài 2.52 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
a
(b + c)
2
+
b
(c + a)
2
+
c
(a + b)
2

≥
9
4
.
Bài 2.53 : Cho a, b, c > 0 v à a
2
+ b
2
+ c
2
= 3. Chứng minh rằng :
ab
c
+
bc
a
+
ca
b
≥ 3.
Bài 2.54 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
bc
√
a + bc
+
ca
√
b + ca
+
ab

√
c + ab
≤
1
2
.
Bài 2.55 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 2. Chứng minh rằng :
bc
√
2a + bc
+
ca
√
2b + ca
+
ab
√
2c + ab
≤ 1.
Bài 2.56 : Cho a, b, c > 0 v à abc = 1. Chứng minh rằng :
a
3
(1 + b)(1 + c)
+
b
3
(1 + c)(1 + a)
+
c
3

(1 + a)(1 + b)
≥
3
4
.
Bài 2.57 : Cho a, b, c > 0 v à abc = 1. Chứng minh rằng :
1
a
3
(b + c)
+
1
b
3
(c + a)
+
1
c
3
(a + b)
≥
3
2
.
Bài 2.58 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
1
a
+
1
b

+
1
c
≥ 2
1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a
.
Bài 2.59 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng :
1
a
2
+ 2bc
+
1
b
2
+ 2ca
+
1
c
2
+ 2ab
≥ 9.
Bài 2.60 : Cho a, b > 0 v à a + b ≤ 1. Chứng minh rằng :

1
a
2
+ b
2
+
1
ab
≥ 6.
Bài 2.61 : Cho a, b > 0 v à a + b ≤ 1. Chứng minh rằng :
1
a
2
+ b
2
+
1
ab
+ 4ab ≥ 7.
Bài 2.62 : Cho a, b, c > 0 v à ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :
1
a + 2b + 3c
+
1
b + 2c + 3a
+
1
c + 2a + 3b
<
3

16
.
Bài 2.63 : T ì m giá trị nhỏ nhất của : A =
a
1 + b − a
+
b
1 + c − b
+
c
1 + a − c
v ớ i a, b, c > 0 v à a + b + c = 1.
Bài 2.64 : Cho x, y, z > 0 v à x
2
+ y
2
+ z
2
= 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
x
y
2
+ z
2
+
y
z
2
+ x

2
+
z
x
2
+ y
2
.
Bài 2.65 : Cho x, y là hai số thực thay đổi. T ì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
(x + y)(1 − xy)
(1 + x
2
)
2
(1 + y
2
)
2
.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 41
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
Bài 2.66 : Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn x + y + z = 0. T ì m giá trị nhỏ nhất của
P =
√
2
x
+ 3 +
√

2
y
+ 3 +
√
2
z
+ 3.
Bài 2.67 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6. Chứng minh rằng : 8
x
+ 8
y
+ 8
z
≥ 4
x+1
+ 4
y+1
+ 4
z+1
.
Bài 2.68 : Cho 0 < a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e v à a + b + c + d + e = 1. Chứng minh rằng :
a(bc + be + cd + de) + cd(b + e − a) ≤
1
25
.
Bài 2.69 : Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :
a
2
a + bc
+

b
2
b + ca
+
c
2
c + ab
≥
a + b + c
4
.
Bài 2.70 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng :
b + c
a +
3
4(b
3
+ c
3
)
+
c + a
b +
3
4(c
3
+ a
3
)
+

a + b
c +
3
4(a
3
+ b
3
)
≤2.
Bài 2.71 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng :
1
a
3
+ b
3
+ abc
+
1
b
3
+ c
3
+ abc
+
1
c
3
+ a
3
+ abc

≤
1
abc
.
Bài 2.72 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng :
a
3
+ b
3
a
2
+ ab + b
2
+
b
3
+ c
3
b
2
+ bc + c
2
+
c
3
+ a
3
c
2
+ ca + a

2
≥ 2.
Bài 2.73 : Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng :
2
√
a
a
3
+ b
2
+
2
√
b
b
3
+ c
2
+
2
√
c
c
3
+ a
2
≤
1
a
2

+
1
b
2
+
1
c
2
.
Bài 2.74 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
1
a
2
+ bc
+
1
b
2
+ ca
+
1
c
2
+ ab
≤
a + b + c
2abc
.
Bài 2.75 : Cho a, b, c là ba số dương sao c h o ab + bc + ca ≥ 1. Chứng minh rằng :
a

3
b
2
+ 1
+
b
3
c
2
+ 1
+
c
3
a
2
+ 1
≥
√
3
4
.
2.2 Bất đẳng thức hình học
Bài 2.76 : Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh rằng :
√
a
2
+ b
2
+ 4c
2

+ 4ac +
√
a
2
+ b
2
+ 4c
2
− 4ac ≥ 2
√
a
2
+ b
2
.
Bài 2.77 : V ớ i mọi a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng :
√
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ 2ac + 2bd ≤
√
a
2
+ b

2
+
√
c
2
+ d
2
.
Bài 2.78 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng :
√
x + 2
√
y + 3
√
z ≤ 14(x+ y + z).
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 42
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
Bài 2.79 : Cho bốn số a, b, c, d ∈ R thỏa mãn a
2
+ b
2
= 1 v à c + d = 3. Chứng minh rằng :
ac + bd + cd ≤
9 + 6
√
2
4
.
Bài 2.80 : V ớ i mọi a, b, c ∈ R. Chứng minh rằng :

√
a
2
+ ab + b
2
+
√
a
2
+ ac + c
2
≥
√
b
2
+ bc + c
2
.
Bài 2.81 : V ớ i mọi x, y ∈ R. Chứng minh rằng :
4 cos
2
x cos
2
y + sin
2
(x − y) + 4 sin
2
x sin
2
y + sin

2
(x − y) ≥ 2.
Bài 2.82 : V ớ i mọi x, y ∈ R. Chứng minh rằng :
4x
2
+ y
2
+ 12x + 9 + 4x
2
+ y
2
− 4x −6y + 10 ≥ 5.
Bài 2.83 : Cho a + b + c = 1, ax + by + cz = 4 v ớ i a, b, c  0. Chứng minh rằng :
√
9a
2
+ a
2
x
2
+ 9b
2
+ b
2
y
2
+ 9c
2
+ c
2

z
2
≥ 5.
Bài 2.84 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
a
2
− ab
√
2+ b
2
+ b
2
− bc
√
3+ c
2
≥ a
2
− ac 2 −
√
3 + c
2
.
Bài 2.85 : Cho a, b, c > 0 v à abc + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :
√
b
2
+ 2a
2
ab

+
√
c
2
+ 2b
2
bc
+
√
a
2
+ 2c
2
ac
≥
√
3.
Bài 2.86 : Cho x
2
+ y
2
= 1. Chứng minh rằng : x
2
√
5 + 2xy − y
2
√
5 ≤
√
6.

Bài 2.87 : Cho
x
2
+ xy + y
2
= 3
y
2
+ yz + z
2
= 16
v à x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng : xy + yz + zx ≤ 8.
Bài 2.88 : Cho x, y, z là những số dương. Chứng minh rằng :
x
2
+ xy + y
2
+ y
2
+ yz + z
2
+ z
2
+ zx + x
2
≥
√
3(x+ y + z).
Bài 2.89 : Cho a + b + c = 12. Chứng minh rằng :
3a + 2

√
a + 1 + 3b + 2
√
b + 1 + 3c + 2
√
c + 1 ≥ 3
√
17.
Bài 2.90 : Cho các số dương x, y, z v à x + y + z ≤ 2. Chứng minh rằng :
4x
2
+
1
x
2
+ 4y
2
+
1
y
2
+ 4z
2
+
1
z
2
≥
√
145

2
.
Bài 2.91 : Giả sử x, y, u, v ∈ R thỏa mãn : x
2
+ y
2
= 1; u
2
+ v
2
+ 16 = 8u + 4v. Tì m giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 8u + 4v − 2(ux+ vy).
Bài 2.92 : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xy + yz + zx = 5. Tì m giá trị nhỏ nhất của P = 3x
2
+ 3y
2
+ z
2
.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 43
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
2.3 Phương pháp sửdụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình
- phương pháp miền giá trị
Bài 2.93 : T ì m giá trị lớn nhất v à nhỏ nhất của hàm số : f (x) =
2x
2
+ 7x + 23
x
2

+ 2x + 10
.
Bài 2.94 : T ì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
x
2
− (x − 4y)
2
x
2
+ 4y
2
, v ớ i x
2
+ y
2
> 0.
Bài 2.95 : Cho x là số dương, y là số thực tùy ý . Tì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức :
P =
xy
2
(x
2
+ 3y
2
) x + x
2
+ 12y
2
.
Bài 2.96 : T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x

2
+ y
2
, v ớ i 2x
2
+ y
2
+ xy ≥ 1.
Bài 2.97 : Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện :
3
√
x(
3
√
x − 1) +
3
√
y(
3
√
y − 1) =
3
√
xy. T ì m giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
biểu thức : P =
3
√
x +
3
√

y +
3
√
xy.
Bài 2.98 : Cho x, y thỏa mãn điều kiện : x
2
−xy + y
2
= 3. T ì m giá trị lớn nhất v à nhỏ nhất của biểu thức : P = x
2
+ xy −2y
2
.
Bài 2.99 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện : x − 3
√
x+ 1 = 3
√
y + 2 − y. Tì m giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức P = x + y.
Bài 2.100 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn : x
2
+ y
2
= 2(x + y) + 7. T ì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
3
√
x(x − 2) +
3
√

y(y − 2).
Bài 2.101 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : 4x
2
− 3xy + 3y
2
= 6. T ì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x
2
+ xy − 2y
2
.
Bài 2.102 : Cho các số thực x, y thỏa mãn :
√
x +
√
y = 4. T ì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
√
x + 1 +
√
y + 9.
Bài 2.103 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : xy + x + y = 3. T ì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
3x
y + 1
+
3y
x + 1
− x
2
− y
2

.
Bài 2.104 : Cho a, b ≥ 0 v à a
2
+ b
2
+ ab = 3. T ì m giá trị nhỏ nhất v à giá trị lớn nhất của biểu thức
P = a
4
+ b
4
+ 2ab − a
5
b
5
.
Bài 2.105 : Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2. T ì m giá trị lớn nhất của P = (x
3
+ 2)(y
3
+ 2).
2.4 Bất đẳng thức trong các kì thi tuyển sinh ĐH
Bài 2.106 (CĐ08) : Cho hai số thực x, y thay đổi v à thoả mãn x
2
+ y
2
= 2. Tì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P = 2(x
3
+ y
3

) −3xy.
Bài 2.107 (CĐ10) : Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y ≤ 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =
1
x
+
1
√
xy
.
Bài 2.108 (A03) : Cho x, y, z là ba số dương v à x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng :
x
2
+
1
x
2
+ y
2
+
1
y
2
+ z
2
+
1
z
2
≥

√
82.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 44
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
Bài 2.109 (A05) : Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :
1
x
+
1
y
+
1
z
= 4. Chứng minh rằng :
1
2x + y + z
+
1
x + 2y + z
+
1
x + y + 2z
≤ 1.
Bài 2.110 (A06) : Cho hai số thực x  0, y  0 thay đổi v à thoả mãn điều kiện : (x + y)xy = x
2
+ y
2
− xy. Ti m giá trị lớn
nhất của biểu thức A =

1
x
3
+
1
y
3
.
Bài 2.111 (A07) : Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi v à thoả mãn điều kiện xyz = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu
thức :
P =
x
2
(y + z)
y
√
y + 2z
√
z
+
y
2
(z + x)
z
√
z + 2x
√
x
+
z

2
(x + y)
x
√
x + 2y
√
y
.
Bài 2.112 (A09) : Chứng minh rằng v ớ i mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz ta có :
(x + y)
3
+ (x + z)
3
+ 3(x + y)(y + z)(z + x) ≤ 5(y + z)
3
.
Bài 2.113 (B05) : Chứng minh rằng v ớ i mọi x ∈ R, ta có :
12
5
x
+
15
4
x
+
20
3
x
≥ 3
3

+ 4
x
+ 5
x
.
Khi nào đẳng thức x ảy ra.
Bài 2.114 (B06) : Cho x, y là các số thực thay đổi. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = (x − 1)
2
+ y
2
+ (x + 1)
2
+ y
2
+ |y − 2|.
Bài 2.115 (B07) : Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = x
x
2
+
1
yz
+ y
y
2
+
1
xz
+ z

z
2
+
1
xy
.
Bài 2.116 (B08) : Cho hai số thực x, y thay đổi v à thoả mãn hệ thức x
2
+ y
2
= 1. T ì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P =
2(x
2
+ 6xy)
1 + 2xy + 2y
2
.
Bài 2.117 (B09) : Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = 3(x
4
+ y
4
+ x
2
+ y
2
) − 2(x

2
+ y
2
) + 1.
Bài 2.118 (B10) : Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
3(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) + 3(ab + bc + ca) + 2
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
Bài 2.119 (D05) : Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
1 + x
3
+ y

3
xy
+
1 + y
3
+ z
3
yz
+
√
1 + z
3
+ x
3
zx
≥ 3
√
3.
Bài 2.120 (D07) : Cho a ≥ b > 0. Chứng minh rằng : 2
a
+
1
2
a
b
≤ 2
b
+
1
2

b
a
.
Bài 2.121 (D08) : Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. T ì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
(x − y)(1 − xy)
(1 + x)
2
(1 + y)
2
.
Bài 2.122 (D09) : Cho các số thực không âm x, y thay đổi v à thỏa mãn x + y = 1. T ì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :
S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
Bài 2.123 (D10) : Tì m giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
√
−x
2
+ 4x + 21 −
√
−x
2
+ 3x + 10.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 45
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC

2.5 Bài tậptổng hợp
Bài 2.124 : Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y =
5
4
. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
S =
4
x
+
1
4y
.
Bài 2.125 : Giả sử a, b, c, d là bốn số nguyên tha y đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. Chứng minh
a
b
+
c
d
≥
b
2
+ b + 50
50b
v à tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S =
a
b
+
c
d
.

Bài 2.126 : Cho x, y, z là ba số thoả mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
√
3 + 4
x
+
√
3 + 4
y
+
√
3 + 4
z
≥ 6.
Bài 2.127 : Chứng minh rằng v ớ i mọi x, y > 0 ta có :
(1 + x) 1 +
y
x
1 +
9
√
y
2
≥ 256.
Đẳng thức xảy ra khi nào.
Bài 2.128 : Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a + b + c =
3
4
. Chứng minh rằng :
3
√

a + 3b +
3
√
b + 3c +
3
√
c + 3a ≤ 3.
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 2.129 : Chứng minh rằng 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x
√
y − y
√
x ≤
1
4
. Đẳng thức x ả y ra khi nào ?
Bài 2.130 : Cho x, y, z là ba số dương v à xyz = 1. Chứng minh rằng :
x
2
1 + y
+
y
2
1 + z
+
z
2
1 + x
≥
3

2
.
Bài 2.131 : Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x
2
+ xy + y
2
≤ 3. Chứng minh rằng :
−4
√
3 − 3 ≤ x
2
− xy − 3y
2
≤ 4
√
3 − 3.
Bài 2.132 : Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện 3
−x
+ 3
−y
+ 3
−z
= 1. Chứng minh rằng :
9
x
3
x
+ 3
y+z
+

9
y
3
y
+ 3
z+x
+
9
z
3
z
+ 3
x+y
≥
3
x
+ 3
y
+ 3
z
4
.
Bài 2.133 : Cho hai số dương x, y thay đổi v à thoả mãn điều kiện x + y ≥ 4. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=
3x
2
+ 4
4x
+
2 + y
3

y
2
.
Bài 2.134 : Tì m giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x +
11
2x
+ 4 1 +
7
x
2
, x > 0.
Bài 2.135 : Cho x, y, z là các số thực dương. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
3
4(x
3
+ y
3
) +
3
4(y
3
+ z
3
) +
3
4(z
3
+ x
3

) + 2
x
y
2
+
y
z
2
+
z
x
2
.
Bài 2.136 : Cho a, b là các số dương thoả mãn ab + a + b = 3. Chứng minh rằng :
3a
b + 1
+
3b
a + 1
+
ab
a + b
≤ a
2
+ b
2
+
3
2
.

Bài 2.137 : Cho x, y > 0 v à xy = 100. Hãy x á c định giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
x
2
+ y
2
x − y
.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 46
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
Bài 2.138 : Giả sử phương trình ax
2
+ bx + c có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 1]. Xác định a, b, c để biểu thức P có giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất, trong đó P =
(a −b)(2a − c)
a(a −b + c)
.
Bài 2.139 : Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+
1
y
2
y
2
+
1
x
2
.

Bài 2.140 : Chứng minh các bất đẳng thức sau v ớ i a, b, c là các số nguyên không âm :
3 ≤
1 +
√
a
1 +
√
b
+
1 +
√
b
1 +
√
c
+
1 +
√
c
1 +
√
a
≤ 3 + a + b + c.
Bài 2.141 (*) : Cho 6 số thực x
1
, x
2
, . . . , x
6
∈ [0; 1]. Chứng minh rằng :

(x
1
− x
2
)(x
2
− x
3
)(x
3
− x
4
)(x
4
− x
5
)(x
5
− x
6
)(x
6
− x
1
) ≤
1
16
.
Bài 2.142 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng :
2x

x
6
+ y
4
+
2y
y
6
+ z
4
+
2z
z
6
+ x
4
≤
1
x
4
+
1
y
4
+
1
z
4
.
Bài 2.143 : Cho x

1
, x
2
, x
3
, x
4
> 0 thỏa mãn
4
i=1
x
1
= 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T =
4
i=1
x
4
i
4
i=1
x
3
i
.
Bài 2.144 : Cho x, y là hai số dương tha y đổi thỏa mãn xy = 1. T ì m giá trị lớn nhất của biểu thức A =
x
x
4
+ y
2

+
y
x
2
+ y
4
.
Bài 2.145 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn x
2
+ y
2
= x + y. Tí n h giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = x
3
+ y
3
+ x
2
y + xy
2
.
Bài 2.146 : Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 3. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
1

xy + z
2
+
1
yz + x
2
+
1
zx + y
2
.
Bài 2.147 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng
1
a(2a − 1)
2
+
1
b(2b − 1)
2
+
1
c(2c − 1)
2
≥
1
2
.
Bài 2.148 : Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
x

2
y
2
+ 9
y
3
x
3
.
Bài 2.149 : Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x
2
+ y
2
+ z
2
= 3. T ì m giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz +
zx +
5
x + y + z
.
Bài 2.150 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
x
3
x
2
+ yz
+
y
3
y

2
+ zx
+
z
3
z
2
+ xy
.
Bài 2.151 : Cho x, y, z > 0 thỏa mãn 13x + 5y + 12z = 9. T ì m giá trị lớn nhất của biểu thức A =
xy
2x + y
+
3yz
2y + z
+
6xz
2z + x
.
Bài 2.152 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 3. Tì m giá trị lớn nhất của A = x
3
(y + z) + y
3
(z + x) +

z
3
(x + y).
Bài 2.153 : Giả sử x, y, u, v ∈ R thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
= 1, u
2
+ v
2
+ 16 = 8u + 4v. T ì m giá trị lớn nhất của biểu thức
M = 8u + 4v −2(ux+ vy).
Download tài li󰗈u h󰗎c t󰖮p t󰖢i :
T r a n g 47
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
Bài 2.154 : Cho a, b, c là các số thực dương tha y đổi v à thỏa mãn điều kiện a + b + c =
√
3. T í n h giá trị nhỏ nhất của
P =
√
a
2
+ ab + b
2
+
√
b
2

+ bc + c
2
+
√
c
2
+ ca + a
2
.
Bài 2.155 : Cho x, y ∈ R thỏa mãn x
2
+ y
2
− 2x −4y + 4 = 0. Chứng minh rằng
x
2
− y
2
+ 2
√
3xy − 2(1 + 2
√
3)x + (4 − 2
√
3)y ≤ 5 − 4
√
3.
Bài 2.156 : Giả sử x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 6. Chứng minh rằng
8
x

+ 8
y
+ 8
z
≥ 4
x+1
+ 4
y+1
+ 4
z+1
.
Dấu đẳng thức x ả y ra khi nào ?
Bài 2.157 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
x
2
(y + z)
yz
+
y
2
(z + x)
zx
+
z
2
(x + y)
xy
.
Bài 2.158 : Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 8. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P =
1
2a + b + 6
+
1
2b + c + 6
+
1
2c + a + 6
.
Bài 2.159 : Cho x, y > 0 v à thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằng
x
√
1 − x
2
+
y
1 − y
2
≥
2
√
3
.
Bài 2.160 : Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn x
2
+ y
2
+ xy = 3. Tì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x

3
+ y
3
− (x
2
+ y
2
).
Bài 2.161 : Cho a, b, c là các số thực không âm, khác nhau từng đôi một v à thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 4. Chứng
minh rằng
1
(a −b)
2
+
1
(b −c)
2
+
1
(c −a)
2
≥1.
Bài 2.162 : Cho x, y, z là ba số thực thuộc (0; 1]. Chứng minh rằng
1
xy + 1
+
1
yz + 1
+
1

zx + 1
≤
5
x + y + z
.
Bài 2.163 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
a
1
3a + b
+
1
3a + c
+
2
2a + b + c
+
b
3a + c
+
c
3a + b
< 2.
Bài 2.164 : Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 3. Chứng minh rằng
1

a + b
+
1
b + c
+
1
c + a
≥
4
a
2
+ 7
+
4
b
2
+ 7
+
4
c
2
+ 7
.
Bài 2.165 : Cho x, y ∈ R, chứ n g minh rằng
|x − y|
1 + |x − y|
≤
|x|
1 + |x|
+

|y|
1 + |y|
.
Bài 2.166 : Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 5. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
4x+ y
xy
+
2x − y
4
.
Bài 2.167 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của P =
(1 + a)(1 + b)(1 + c)
(1 − a)(1 − b)(1 − c)
.
Bài 2.168 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng :
1. c
√
ab ≥ 1 +
√
1 + c
2
;
Download tài li󰗈u h󰗎c t󰖮p t󰖢i :
T r a n g 48
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
2. ab + bc + ca ≥ 3 +
√
a
2

+ 1 +
√
b
2
+ 1 +
√
c
2
+ 1.
Bài 2.169 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng :
1
1 + a
2
(b + c)
+
1
1 + b
2
(c + a)
+
1
1 + c
2
(a + b)
≤
1
abc
.
Bài 2.170 : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
1

x + y + 1
+
1
y + z + 1
+
1
z + x + 1
≤ 1.
Bài 2.171 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng
2
√
x
x
3
+ y
2
+
2
√
y
y
3
+ z
2
+
2
√
z
z
3

+ x
2
≤
1
x
2
+
1
y
2
+
1
z
2
.
Bài 2.172 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
4a
b + c − a
+
9b
c + a − b
+
16c
a + b − c
≥26.
Bài 2.173 : Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng :
a
2
+ b +
3

4
b
2
+ a +
3
4
≥ 2a +
1
2
2b +
1
2
.
Bài 2.174 : Cho các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b + c = a. Chứng minh rằng :
a
2
+ b
b + c
+
b
2
+ c
c + a
+
c
2
+ a
a + b
≥ 2.
Bài 2.175 : Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng :

x
2
− xy
x + y
+
y
2
− yz
y + z
+
z
2
− zx
z + x
≥ 0.
Bài 2.176 : Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
+ 3 ≥ 2(a + b + c).
Bài 2.177 : Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =
yz

3x
. Chứng minh rằng x ≤
2
√
3 − 3
6
(y + z).
Bài 2.178 : Cho các số thực x, y thỏa mãn 0 ≤ x ≤
π
3
v à 0 ≤ y ≤
π
3
. Chứng minh rằng cos x + cos y ≤ 1 + cos(xy).
Bài 2.179 : Cho số nguyên n (n > 2) v à hai số thực không âm x, y. Chứng minh rằng
n
√
x
n
+ y
n
≥
n+1
x
n+1
+ y
n+1
. Đẳng
thức x ả y ra khi nào?
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 49

Download tài li󰗈u h󰗎c t󰖮p t󰖢i :