tài liệu tích phân ôn thi đại học

aotrangtb.com
Chương 7
T í c h phân
7.1 Các dạng toán cơ bản v ề nguyên hàm
V ấ n đề 1 : Chứng minh một hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x)

Cho hàm số f x á c định trên K. Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu F
′
(x) = f (x) v ớ i mọi x ∈ K
Bài 7.1 : 1. Chứng minh rằng
F(x) = 4 sin x + (4x + 5)e
x
+ 1
là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 4 cos x + (4x + 9)e
x
.
2. Chứng minh rằng hàm số F(x) = |x|− ln(1 + |x|) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
x
1 + |x|
.
3. Chứng minh rằng
F(x) =
x
2
2
ln x −
x
2
4
+ 1 khix > 0
1 khix = 0

là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
x ln x khix > 0
0 khix = 0
trên [0; +∞).
Bài 7.2 : Xác định các hệ số a, b, c để hàm số F(x) = (ax
2
+ bx + c)
√
3 − 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
x
√
3 − 2x.
Bài 7.3 : 1. T ì m m để hàm số F(x) = ln(x
2
+ 2mx + 4) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
2x −3
x
2
− 3x+ 4
.
2. Cho hàm số f (x) = −xe
x
v à F(x) = (ax + b)e
x
. V ớ i giá trị nào của a v à b thì F(x) là một nguyên hàm của f (x).
V ấ n đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

T a có bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản sau
149
aotrangtb.com

CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
1. 0 dx = C; dx = 1 dx = x + C;
2. x
α
dx =
x
α+1
α + 1
+ C; (ax + b)
α
dx =
1
a
.
(ax + b)
α+1
α + 1
+ C
(v ớ i α  −1, a  0);
3.
1
x
dx= ln |x|+C;
1
ax + b
dx=
1
a
ln |ax+b| +C (a  0);
4. V ớ i a là hằng số khác 0

(a) sin(ax + b) dx = −
cos(ax + b)
a
+ C;
(b) cos(ax + b) dx =
sin(ax + b)
a
+ C;
(c) e
(ax+b)
dx =
e
(ax+b)
a
+ C;
(d) α
x
dx =
α
x
ln α
+ C (v ớ i 0 < α  1);
5. (a)
1
cos
2
x
dx= tan x + C;
(b)
1

sin
2
x
dx= −cot x + C.
Bài 7.4 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
1.
x +
√
x + 1
3
√
x
;
2.
√
x + 1 x −
√
x+ 1 ;
3.
1
sin
2
x cos
2
x
;
4.
cos 2x
sin x + cos x
;

5.
x
3
+ 1
1 − x
2
;
6.
1
(1 + x)(1 −2x)
;
7.
2
x
− 1
e
x
;
8. e
3−2x
;
9. x(x + 1)(x + 2);
10.
1
√
x
−
1
3
√

x
;
11.
1 − x
2
x
2
;
12.
3x
2
+ 3x + 3
x
3
− 3x+ 2
;
13.
1
x(1 + x)
2
;
14.
x
4
− 2
x
3
− x
;
15. sin x −

π
4
(1 + sin 2x);
16. sin x sin 2x cos 5x;
17. sin
6
x + cos
6
x;
18.
1
√
2 + sin x − cos x
;
19. sin x cos
2
x.
V ấ n đề 3 : Tìm hằng số C
Bài 7.5 : 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
x
3
+ 3x
2
+ 3x −1
x
2
+ 2x + 1
, biết rằng F(1) =
1
3

.
2. Tìm nguyênhàm F(x) của hàm số f (x) =
1 + sin x
1 + cos x
, biết rằng F(0) = 2.
Bài 7.6 : Tìm các hàm số thỏa mãn các điềukiện sau :
1. f
′
(x) = 2x + 1, đồ thị của nó đi qua điểm (1; 5);
2. f
′
(x) = 2 − x
2
v à f (2) =
7
3
.
Bài 7.7 : Tìm hàm số y = f (x) có đồ thị đi qua điểm (−1; 2) và thỏa mãn f
′
(x) = ax +
b
x
2
, ở đây f (1) = 4 v à f
′
(1) = 0.
V ấ n đề 4 : Phương pháp nguyên hàm từng phần

Công thức
u dv = uv − v du.

V ề việc chọn u, v như thế nào chúng ta x e m phần phươngpháp tích phân từng phần.
Bài 7.8 : Tính các nguyên hàm sau :
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 150
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
1. (1 − 2x)e
3x
dx;
2. (x
2
+ 2x − 1)e
x
dx;
3. x sin(2x + 1) dx;
4. (x
2
− 1) sin x dx;
5. x ln(1 − x) dx;
6.
√
x ln
2
x dx;
7. e
x
cos x dx;
8. e
x
sin x dx;
9. e

3x
sin 5x dx;
10. e
3x
cos 7x dx;
11. xe
x
cos x dx;
12. xe
2x
sin(2x + 1) dx;
13. x sin
x
2
dx;
14. x
2
cos x dx;
15.
√
x ln x dx;
16. x
2
e
x
dx;
17. 3
x
cos x dx;
18. xe

x
sin 2x dx;
19.
1+ sin x
1 + cos x
e
x
dx;
20. sin(ln x) dx;
21. ln x +
√
1 + x
2
dx;
22. x ln
1 + x
1 − x
dx;
23. cos
(
ln(tan x)
)
dx;
24.
x cos x
sin
2
x
dx;
25. x2

x
dx;
26. xe
−x
dx;
27. 25e
3x
cos 4x dx.
V ấ n đề 5 : Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] v à hàm số f (u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên [a; b]. Khi đó nếu F là một
nguyênhàm của f , tức f (u) du = F(u) + C thì
f [u(x)] u
′
(x) dx = F [u(x)] + C.
V i ệ c chọn u = u(x) như thế nào chúng ta x e m thêm phần đổi biến tích phân.
Bài 7.9 : Tìm các nguyênhàm sau :
1. 2(4x −1)
6
dx;
2.
7
4 − 3x
dx;
3.
3
√
2x + 1
dx;
4. e

−4x
+
5
√
3x + 2 dx;
5. cos
π
2
x −
2
6x + 5
dx;
6. (2x + 1)
4
dx;
7. 2x(x
2
+ 1)
3
dx;
8.
x
2
√
x
3
− 4
dx;
9. x
√

x −1 dx;
10. 2x
√
x
2
+ 1 dx;
11. 3x
2
√
x
3
+ 1 dx;
12. 2x
3
√
4 − x
4
dx;
13.
3x
2
x
3
+ 1
dx;
14.
x
(3x
2
+ 9)

4
dx;
15. 2x
√
e
x
2
+4
dx;
16.
2x+ 4
x
2
+ 4x − 5
dx;
17. x
3
√
2 − t
2
dx;
18. cos xe
sin x
dx;
19.
e
x
e
x
+ 1

dx;
20. cos x sin
4
x dx;
21. x
√
x + 1 dx;
22.
cos x
1 + sin x
dx;
23.
x
x
2
+ 4
dx;
24. (x + 1)
√
x −1 dx;
25.
tan x
sin
2
x
dx;
26.
4x
(1 −2x
2

)
dx;
27.
4x
(1 −2x
2
)
2
dx;
28.
ln x
x
dx;
29.
e
−x
1 + e
−x
dx;
30.
1
x ln x
dx.
Bài 7.10 : Tính các nguyên hàm sau :
1. (2x + 1)
20
dx;
2.
x
x

2
+ 1
dx;
3. x
2
√
x
3
+ 5 dx;
4. e
3cos x
sin x dx;
5.
ln
4
x
x
dx;
6.
e
2x
√
e
x
+ 1
dx;
7. 3x
√
7 − 3x
2

dx;
8.
9x
2
√
1 − x
3
dx;
9.
1
√
x(1 +
√
x)
3
dx;
10.
x
√
2x + 3
dx;
11.
x
(1 + x
2
)
2
dx;
12.
dx

e
x
− e
−x
;
13.
ln
2
x
x
dx;
Downloadtàili󰗈uh󰗎ct󰖮pt󰖢i:
T r a n g 151
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
14.
3
√
1 + ln x
x
dx;
15. cos x sin
3
x dx;
16.
cos x + sin x
√
sin x − cos x
dx;
17.

sin x cos x
√
a
2
sin
2
x + b
2
cos
2
x
, (a
2
 b
2
);
18.
dx
cos x sin
2
x
;
19. x
√
1 + x
2
dx;
20. sin
2
x cos

3
x dx;
21. e
3sin x
cos x dx;
22. (3x + 2)
10
dx.
Bài 7.11 : Tính các nguyênhàmsau :
1. x
3
e
−x
2
dx;
2. sin
√
x dx;
3.
ln(ln x)
x
dx;
4. cos
2
(ln x) dx;
5. e
√
x
dx;
6. sin(ln x) dx;

7. cos
2
√
x dx;
8.
1
ln
2
x
−
1
ln x
dx;
9.
x cos x
sin
2
x
dx;
10. sin
√
x + 1 dx;
11.
ln
(
tan x
)
cos
2
x

dx;
12. sin
5
x
3
cos
x
3
dx;
13.
1
x
2
sin
1
x
cos
1
x
dx;
14.
dx
3 + 5 cos x
;
15.
dx
sin x + cos x
;
16.
dx

8 − 4 sin x + 7 cos x
;
17.
4 sin x + 6 cos x + 5
sin x + 2 cos x + 2
dx.
7.2 Các dạng toán tích phân
V ấ n đề 1 : Sử dụng tích phân cơ bản

Nếu F là một nguyên hàm là một nguyên hàm của f trên [a; b] thì
b
a
f (x) dx= F(x)
b
a
= F(b) − F(a).
Bài 7.12 : Tính các tích phân sau :
1.
2
0
x(x+ 1)
2
dx;
2.
π
2
0
(
2 cos x −sin 2x
)

dx;
3.
2
1
2
1
x(x + 1)
dx;
4.
ln 2
0
e
2x+1
+ 1
e
x
dx;
5.
π
2
0
2x
2
+ cos x dx;
6.
π
6
0
(sin 6x sin 2x − 6) dx;
7.

8
1
4x −
1
3
3
√
x
2
dx;
8.
1
0
3x −e
x
4
dx;
9.
4
1
dx
x
2
(x + 1)
;
10.
π
3
π
6

sin
3
x
1 − cos x
dx;
11.
2
0
√
x
3
− 2x
2
+ x dx;
12.
π
3
π
6
dx
sin
2
x cos
2
x
;
13.
π
4
0

dx
(1 + tan
2
x) cos
4
x
;
14.
π
2
−
π
2
cos
2
2x dx;
15.
π
2
−
π
2
sin 2x sin 6x dx;
16.
π
6
0
tan x dx.
V ấ n đề 2 : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối


1. Công thức tách cận tích phân
b
a
f (x) dx=
c
a
f (x) dx+
b
c
f (x) dx.
2. Tích phân chứa dấu trị tuyệt đối
b
a
|f (x)| dx (giả sử a > b).
(a) Giải phương t rình f (x) = 0, được các nghiệm x
i
∈ [a; b], giả sử a ≤ x
1
< x
2
< ··· < x
n
≤ b.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 152
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
(b) Dùng công thức tách cận
b
a
|f (x)| dx=

x
1
a
|f (x)| dx+
x
2
x
1
|f (x)| dx+ ···+
b
x
n
|f (x)| dx
=
x
1
a
f (x) dx +
x
2
x
1
f (x) dx + ···+
b
x
n
f (x) dx .
Chú ý : Sau khi tách cận chúng ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối chứ không nhấtthiết phải đưa giá trị tuyệt đốira ngoài tích phân.
Bài 7.13 : 1. Cho
5

0
f (t) dt = −3 v à
7
0
f (u) du = 4, tính
7
5
f (x) dx.
2. Xác định hàm số f (x) = A sin πx + B, biết rằng f
′
(1) = 2 v à
2
0
f (x) dx= 4.
Bài 7.14 : 1. Cho hàm số f (x) = a.3
x
+ b, biết rằng f
′
(0) = 2 v à
2
1
f (x) dx= 12. Tìm các giá trị của a v à b.
2. Cho hàm số f (x) = a sin 2x + b, biết rằng f
′
(0) = 4 v à
2π
0
f (x) dx= 3. Tìm các giá trị của a v à b.
Bài 7.15 : 1. Cho
4

0
f (x) dx= 1 và
6
0
f (t) dt = 5. Tính tích phân I =
6
4
f (x) dx.
2. Cho a ∈
π
2
;
3π
2
v à thoả mãn
1
0
cos(x+ a
2
) dx = sin a. Tính giá trị của a.
Bài 7.16 : Tính các tích phân sau :
1.
2
0
|1 − x| dx;
2.
2
0
|x
2

− x| dx;
3.
2π
0
√
1 − cos 2x dx;
4.
√
3
0
|1 − x
2
|
1 + x
2
dx;
5.
2
0
|x −2| dx;
6.
3
−3
|x
2
− 1| dx;
7.
4
1
√

x
2
− 6x+ 9 dx;
8.
5
−2
(
|x+ 2| − |x −2|
)
dx;
9.
3
0
√
x
3
− 4x
2
+ 4x dx;
10.
2
0
|x
2
+ 2x − 3| dx;
11.
3
0
|2
x

− 4| dx;
12.
1
−1
√
4 − |x| dx;
13.
π
−π
√
1 − sin x dx;
14.
π
3
π
6
√
tan
2
x + cot
2
x −2 dx;
15.
π
0
√
1 − sin 2x dx;
16.
2π
0

√
1 + cos x dx;
17.
π
2
−
π
2
cos x
√
cos x − cos
3
x dx;
18.
π
2
−
π
2
|sin x| dx;
19.
π
0
√
1 + cos 2x dx;
20.
2π
0
√
1 + cos x dx.

V ấ n đề 3 : Phương pháp tích phân từng phần

b
a
u dv = uv
b
a
−
b
a
v du.
Dùng phươngpháp tích phân từng phần khi tích phân của chúng ta vừa chứa lẫn lộn các hàm : hàm đa thức, hàm mũ, hàm lôga (hoặc
chỉ chứa hàm lôga), hàm lượng giác, hoặcchứa hàm v ô tỉ.
N ế u c h ứ a lôga c h ú n g ta th ườn g đặt u là lôga v à dv là phần còn lại hoặc đặt u là đa th ức v à dv là phần còn lại.
Chú ý :
• Tích phân I = e
x
sin x dx đặtu = e
x
v à dv = sin x dx . . .;
• T r ư ớ c khi dùng tích phân từng phầnchúng ta phải kiểm tra x e m có làm được bằng phươngpháp đổi biến số không đã;
Downloadtàili󰗈uh󰗎ct󰖮pt󰖢i:
T r a n g 153
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
• Một cách tổng quát, chúng ta đặt u là biểu thức dễ xác định đạo hàm, dv là phần còn lại dễ xác định nguyênhàm.
Bài 7.17 : Tính các tích phân sau :
1.
ln 2
0

xe
2x
dx;
2.
1
0
(2x
2
+ x + 1)e
x
dx;
3.
π
2
0
(1 − x) sin x cos x dx;
4.
π
4
0
x sin x dx;
5.
3
1
2x ln x dx;
6.
e
1
x
3

ln
2
x dx;
7.
π
2
0
e
2x
sin 3x dx;
8.
π
0
e
x
cos 2x dx;
9.
1
0
(x
2
+ 1)e
2x
dx;
10.
1
0
(2x −1)e
−2x
dx;

11.
3
0
√
x + 1e
√
x+1
dx;
12.
1
0
2
√
x
dx;
13.
π
0
(x
2
+ 2x + 3) cos x dx;
14.
π
2
0
(x −1) sin x dx;
15.
π
2
0

x cos x sin
2
x dx;
16.
π
2
π
3
x − sin x
1 + cos x
dx;
17.
5
2
2x ln(x − 1) dx;
18.
e
1
x ln
2
x dx;
19.
1
0
x ln x+
√
1 + x
2
dx;
20.

3
2
(
ln(x −1) −ln(x+ 1)
)
dx;
21.
π
0
e
x
cos
2
x dx;
22.
1
0
e
x
sin
2
(πx) dx;
23.
π
2
0
x
2
cos x dx;
24.

π
3
0
(2 − x) sin x dx.
V ấ n đề 4 : Phương pháp đổi biến số

1. Phương pháp đổi biến số đơn giản
(a) f (ax + b) dx =
1
a
f (ax+ b) d(ax + b);
VD : (2x −3)
2
dx=
1
2
(2x −3)
2
d(2x − 3) =
1
2
(2x −3)
3
3
+ C.
Chú ý : d(ax + b) = a dx ⇒ dx=
1
a
d(ax+ b).
(b) f (x

n+1
)x
n
dx =
1
n + 1
f (x
n+1
) d(x
n+1
), đặt t = x
n+1
;
VD : I = (4x
3
+ 1)
2
x
5
dx = (4x
3
+ 1)
2
x
3
.x
2
dx.
Đặt t = 4x
3

+ 1 ⇒ dt = 12x
2
dx v à x
3
=
1 − t
4
.
V ậ y I = t
2
1 − t
4
3
dt
12
= ···
(c) V ề cơ bản khi có căn chúng ta thường đặt t là toàn bộ căn, rồi lũy thừa hai v ế cho mất căn; nếu biểu thức trong các hàm
sin, cos, tan, cot, ln hoặc lũy thừa là phức t ạp thì ta thường đặt t là biểu thức phức tạp đó.
VD :
i. I = x
2
√
2x
3
+ 1 dx, đặt t =
√
2x
3
+ 1 ⇒ t
2

= 2x
3
+ 1 ⇒ 2t dt = 6x
2
dx ⇒ x
2
dx=
t dt
3
, nên I = t.
t dt
3
= ···
ii. I = x
3
.e
x
2
+1
dx, đặtt = x
2
+ 1 ⇒ dt = 2x dx v à x
2
= t −1, nên I = x
2
.e
x
2
+1
x dx = (t −1)e

t
dt
2
rồi dùng phương
pháp nguyênhàm từng phần.
iii. I =
1
x
2
sin
1
x
cos
1
x
dx, đặt t =
1
x
⇒ dt = −
dx
x
2
, nên I = − sin t cos t dt = −
1
2
sin 2t dt.
2. Phương pháp đổi biến số tích phân lượng giác
Tích phân chỉ chứa các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot chúng ta biến đổi v ề một trong các dạng sau :
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 H t t p : / / a o t r a n g t b . c o m
154

aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
(a) f (sin x) cos x dx, hàm f (sin x) là tính theo sin x (chú ý rằng cos
2
x = 1 −sin
2
x v à nóichung lũy thừa bậcchẵn của cos x
đều đưa được v ề sin x), đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx (tức là tích phânchứa sin x mũ lẻ).
(b) f (cos x) sin x dx, hàm f (cos x) là tính theo cos x (chú ý rằng sin
2
x = 1 −cos
2
x và nói chung lũy thừa bậcchẵn của sin x
đều đưa được v ề cos x), đặt t = cos x ⇒ dt = −sin x dx (tức là tích phân chứa cos x mũ lẻ).
(c) f (tan x)
dx
cos
2
x
, đặt t = tan x ⇒ dt =
dx
cos
2
x
(tức là tích phân có lũy thừa của sin x v à cos x cùng tính chẵn lẻ). T r ư ờ n g
hợp đặc biệt, tích phân chứa tan x, sin 2x, cos 2x cũng đặt t = tan x, khi đó sin 2x =
2t
1 + t
2
, cos 2x=

1 − t
2
1 + t
2
.
(d) f (cot x)
dx
sin
2
x
, đặt t = cot x ⇒ dt = −
dx
sin
2
x
.
(e) Tích phân chứa (sin x + cos x) dx hoặcsin x +
π
4
dx đặt t = sin x − cos x.
(f) Tích phânchứa (sin x − cos x) dx hoặcsin x −
π
4
dx đặt t = sin x + cos x.
VD : I =
dx
cos x
=
cos x dx
cos

2
x
=
1
cos
2
x
cos x dx=
1
1 − sin
2
x
cos x dx, đặt t = sin x.
3. Phương pháp đổi biến v ớ i tích phân chứa
√
ax
2
+ bx + c
(a) Nếu chứa
√
a
2
− x
2
đặt x = a sin t, −
π
2
≤ t ≤
π
2

.
(b) Nếu chứa
√
x
2
− a
2
đặt x =
a
sin t
, −
π
2
≤ t ≤
π
2
v à t  0.
(c) Nếu chứa
√
x
2
+ a
2
đặt x = a tan t, −
π
2
< t <
π
2
.

VD :
(a) I =
dx
√
2 − x
2
, đặt x =
√
2 sin t (−
π
2
≤ t ≤
π
2
) ⇒ dx=
√
2 cos t dt. T a được :
√
2 − x
2
=
√
2 − 2 sin
2
t =
√
2 cos
2
t =
√

2 cos t, v à I =
√
2 cos t dt
√
2 cos t
= dt = t + C.
(b) I =
√
x
2
+ 1 dx, đặt x = tan t, −
π
2
< t <
π
2
, nên dx=
dt
cos
2
t
v à
√
x
2
+ 1 =
1
cos t
. T a được :
I =

dt
cos
3
t
=
d(sin t)
(1 −sin
2
t)
2
=
1
2
(sin t + 1) −(sin t − 1)
(sin t + 1)(sin t − 1)
2
d(sin t) = . . .
(c) I =
dx
√
x
2
+ a
2
, đặt x = tan t v à ta được I = ln |x+
√
x
2
+ a
2

|+ C.
(d) Một cách tổng quát tích phân chứa sin x, cos x, tan x, cot x chúng ta đặt t = tan
x
2
.
4. Phương pháp đổi biến v ớ i tích phân chỉ chứa hàm mũ
T a đặt t là cả hàmmũ đó, chẳng hạn :
(a) I =
e
x
e
x
+ 1
dx, đặt t = e
x
⇒ dt = e
x
dx = t dx ⇒ dx=
dt
t
, v ậ y thì I =
t
t + 1
dt
t
= . .
(b) J =
dx
2
x

+ 1
, đặt t = 2
x
⇒ dt = 2
x
ln 2 dx = t ln 2 dx ⇒ dx=
dt
t ln 2
, v ậ y thì J =
dt
t ln 2
t + 1
= . . .
5. Phương pháp đổi biến tích phân chứa lôga v à phânthức
I = f (ln x).
dx
x
, đặt t = ln x, ta được dt =
dx
x
.
VD : Tính I =
ln x + 1
x
dx, đặt t = ln x + 1 ⇒ dt =
dx
x
, v ậ y I = t dt.
Bài 7.18 : Tính các tích phân sau :
Downloadtàili󰗈uh󰗎ct󰖮pt󰖢i:

T r a n g 155
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
1.
22
3
0
3
√
3x + 5 dx;
2.
1
0
x
3
(1 + x
4
)
3
dx;
3.
1
0
x
2
e
3x
3
dx;
4.

π
2
0
sin x
1 + cos x
dx;
5.
a
2
0
dx
√
a
2
− x
2
, (a > 0);
6.
a
0
dx
a
2
+ x
2
, (a > 0);
7.
1
0
dx

x
2
+ x + 1
;
8.
2
1
x(1 − x)
5
dx;
9.
1
0
x
3
+ 2x
2
+ 10x + 1
x
2
+ 2x + 9
dx;
10.
π
3
0
x + 1
3
√
3x + 1

dx;
11.
√
3
0
x
5
√
1 + x
2
dx;
12.
π
2
0
sin 2x dx
4 − cos
2
x
;
13.
2
1
2x
√
1 + x
2
dx;
14.
e

1
ln
2
x
x
dx;
15.
ln 2
0
√
e
x
− 1 dx;
16.
e
1
√
1 + ln x
x
dx;
17.
8
3
√
1 + x
x
dx;
18.
1
0

x
2
√
2 − x
2
dx;
19.
1
0
√
1 + 4 sin x cos x dx;
20.
π
2
0
sin 2x
√
cos
2
x + 2 sin
2
x
dx;
21.
π
4
0
dx
(sin x + 2 cos x)
2

;
22.
π
2
0
e
sin x
+ cos x cos x dx;
23.
π
2
4
0
cos x dx;
24.
e
5
e
2
ln(ln x)
x
dx;
25.
1
0
x
3
e
x
2

dx;
26.
e
1
cos(ln x) dx;
27.
e
1
1 + x ln x
x
dx;
28.
π
2
π
4
cos x ln(sin x) dx ;
29.
π
4
0
x dx
1 + sin 2x
;
30.
ln 3
0
xe
x
√

e
x
+ 1
dx;
31.
1
0
e
x
ln(e
x
+ 1) dx;
32.
π
4
0
x sin x dx
cos
3
x
;
33.
π
3
0
x dx
cos
2
x
;

34.
π
2
0
ln
(1 + sin x)
1+cos x
1 + cos x
dx;
35.
π
2
0
(x+ sin
2
x) cos x dx;
36.
π
2
0
e
sin x
+ cos x cos x dx;
37.
π
3
π
4
sin x ln(tan x) dx;
38.

1
0
x dx
x
4
+ x
2
+ 1
;
39.
ln
π
2
0
e
2x
sin
2
(e
x
) dx;
40.
π
0
xe
x
cos x dx;
41.
e
2

e
ln(ln x)
x
dx.
Bài 7.19 : Tích phâncác hàmsố lượng giác
1.
π
0
sin
4
x cos
4
x dx;
2.
π
3
0
cos 3x tan x dx;
3.
π
0
sin x sin 2x cos 5x dx;
4.
π
3
0
cos
10
x + sin
10

x −sin
4
x cos
4
x dx;
5.
π
0
cos
4
x dx;
6.
π
2
0
sin
6
x + cos
6
x dx;
7.
π
3
π
6
√
tan
2
x + cot
2

x −2 dx;
8.
π
2
0
4 sin
3
x
1 + cos x
dx;
9.
π
2
−
π
2
sin 2x sin 5x dx;
10.
5π
12
π
12
dx
sin 2x + 2
√
3 cos
2
x + 2 −
√
3

;
11.
π
3
0
√
2 sin x −
π
4
cos x
dx;
12.
π
3
−
π
2
cos 3x cos 5x dx;
13.
π
4
0
dx
1 + cos 2x
;
14.
π
2
0
4 sin

3
x
1 + cos x
dx;
15.
π
2
0
cos x
√
1 + cos
2
x
dx;
16.
π
4
0
tan
2
x + tan
4
x dx;
17.
π
4
0
dx
(sin x + 2 cos x)
2

;
18.
π
2
0
sin x + 7 cos x + 5
4 sin x + 3 cos x + 5
dx;
19.
π
2
0
9 sin x − 2 cos x
cos x + 2 sin x + 1
dx;
20.
π
2
0
sin x
3 + cos
2
x
dx;
21.
π
4
0
sin
2

x cos
4
x dx;
22.
π
2
−
π
2
cos x
√
cos x − cos
3
x dx;
23.
π
2
0
dx
1 + sin x + cos x
;
24.
π
4
0
3 sin 2x + 4 cos 2x + 5
3 cos 2x − 4 sin 2x+ 5
dx;
25.
π

2
0
3 cos x + sin x + 2
2 sin x + cos x + 1
dx;
26.
π
6
0
tan
4
x
cos 2x
dx;
27.
π
4
0
dx
cos
4
x
;
28.
π
2
0
sin
3
x cos

2
x dx;
29.
π
4
0
sin
5
x
cos
7
x
dx;
30.
π
6
0
dx
cos x cos x +
π
4
;
31.
π
4
0
dx
√
2 + sin x − cos x
;

32.
π
4
0
sin x dx
1 + sin 2x
;
33.
π
2
π
3
dx
sin 2x −2 sin x
.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 156
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
Bài 7.20 : Tích phân hàm v ô tỉ
1.
3
0
dx
√
x + 1 + (x + 1)
2
;
2.
2
1

x + 3
x
√
2x + 3
dx;
3.
7
0
x dx
3
√
x + 1
;
4.
7
0
x dx
1 +
√
2 + x
;
5.
64
1
dx
√
x +
3
√
x

;
6.
1
0
dx
1 +
3
√
x
;
7.
1
0
1 − x
1 + x
dx;
8.
2
1
dx
√
x + 1 +
√
x − 1
;
9.
1
0
(x
2

+ x)
√
x + 1 dx;
10.
3
4
0
x dx
√
1 − x
;
11.
2
1
x dx
1 +
√
x −1
;
12.
16
1
dx
√
x + 9 −
√
x
;
13.
1

0
x dx
√
1 + x
;
14.
3
0
√
x
3
− 2x
2
+ x dx;
15.
1
0
2x
2
√
1 + x
dx;
16.
9
1
x
3
√
1 − x dx;
17.

1
0
dx
1 +
4
√
x
;
18.
a
0
x
2
√
a
2
− x
2
dx, v ớ i a > 0;
19.
1
0
x
√
3 + x
2
dx;
20.
2
√

2
dx
√
x
2
− 1
;
21.
1
0
(1 − x)
x
2 − x
dx;
22.
1
0
x −
√
x
2
− 2x+ 2
x +
√
x
2
− 2x+ 2
.
dx
x

2
− 2x+ 2
;
23.
4
2+
√
2
dx
(x − 1)
√
x
2
− 4x+ 3
;
24.
0
−1
x
2
√
4 − x
2
;
25.
0
−1
√
−x(x+ 2) dx;
26.

1
0
√
2x − x
2
dx;
27.
2
1
x
2
√
4 − x
2
dx;
28.
1
0
dx
1 + x +
√
x
2
+ 1
;
29.
2
1
x + 1
√

x
2
− 2x+ 2
dx;
30.
1
0
x
2
− 2x+ 5
√
3 + 2x − x
2
dx;
31.
1
0
dx
(x
2
+ 8)
3
dx;
32.
1
−1
dx
√
4 − x
2

;
33.
1
2
−
1
2
x
3
− x
5
√
1 − x
2
dx;
34.
1
2
0
1 + x
1 − x
dx;
35.
1
0
x
1 − x
1 + x
dx;
36.

1
0
2x −3
√
x
2
+ x + 1
dx;
37.
5
4
x
2
+ 1
√
x
2
− 4x+ 3
dx;
38.
1
0
x
1 +
3
√
x
dx;
39.
2

√
3
√
5
dx
x
√
x
2
+ 4
;
40.
1
1
3
1 + x
x
3
dx;
41.
√
3
0
x
3
√
x
2
+ 1 dx;
42.

3
1
x
3
√
1 − x
2
dx;
43.
3
√
2
5
1
3
√
5
x
5
3
(2 −5x
3
)
2
dx;
44.
1
0
dx
(1 + x

n
)
n
√
1 + x
n
, n ∈ N;
45.
1
0
x
7
7
√
8x
4
+ 1 dx;
46.
1
0
x
15
√
1 + 3x
8
dx.
V ấ n đề 5 : Tích phân các hàm hữu tỉ

X é t tích phân dạng
P(x)

ax
2
+ bx + c
dx, v ớ i P(x) là một đa thức nào đó.
VD : Tính I =
2x
3
+ 3x
2
− x
x
2
+ 2x + 2
dx.
• Chia tử cho mẫu (bậc tử lớn hơn bậc mẫu), được
I = (2x −1) dx+
−3x+ 2
x
2
+ 2x + 2
dx
v ấ n đề là cần tính I
1
=
−3x+ 2
x
2
+ 2x + 2
dx.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 157

aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
• T á c h tử theo đạo hàm của mẫu : đạo hàm của mẫu là 2x + 2, v à t ử là −3x+ 2 =
−3
2
(2x+ 2) + 5, v ậ y :
I
1
= −
3
2
(2x + 2) dx
x
2
+ 2x + 2
+ 5
dx
x
2
+ 2x + 2
.
– V ớ i
(2x+ 2) dx
x
2
+ 2x + 2
=
d(x
2
+ 2x + 2)

x
2
+ 2x + 2
= ln |x
2
+ 2x + 2|+ C.
– V ớ i
dx
x
2
+ 2x + 2
, ta nhận thấy mẫu x
2
+ 2x + 2 v ô nghiệm, nên x
2
+ 2x + 2 = (x + 1)
2
+ 1 (tổng quát : ax
2
+ bx + c =
a x +
b
2a
2
+
∆
4a
) v à ta được
dx
x

2
+ 2x + 2
=
dx
(x + 1)
2
+ 1
đặt x + 1 = tan t ⇒ dx=
dt
cos
2
t
v à (x+ 1)
2
+ 1 = tan
2
t + 1 =
1
cos
2
t
, thay v à o ta được
dx
x
2
+ 2x + 2
=
dt
cos
2

t
1
cos
2
t
= dt = t + C.
Dạng tổng quát :
dx
x
2
+ a
2
, đặt x = a tan t.
Một ví dụ khác v ớ i mẫu là đa thức hai nghiệm phân biệt.
VD : Tính I =
2x
3
− x
2
+ x − 4
2x
2
− 3x+ 1
dx v à biến đổi như trên ta được :
I = (x + 1) dx +
3x − 5
2x
2
− 3x+ 1
dx= (x + 1) dx +

3
4
4x −3
2x
2
− 3x+ 1
dx −
11
4
dx
2x
2
− 3x+ 1
• V ớ i
4x − 3
2x
2
− 3x+ 1
dx=
d(2x
2
− 3x+ 1)
2x
2
− 3x+ 1
= ln |2x
2
− 3x+ 1|+ C.
• V ớ i
dx

2x
2
− 3x+ 1
, nhận thấy mẫu 2x
2
− 3x+ 1 có hainghiệm phân biệt 1 v à
1
2
, nên 2x
2
− 3x+ 1 = 2(x − 1) x −
1
2
.
T a biến đổi
1
2x
2
− 3x+ 1
=
1
2
.
1
(x −1) x −
1
2
=
1
2

.(−2).
(x − 1) − x −
1
2
(x −1) x −
1
2
= −
1
x −
1
2
−
1
x −1
.
T a được :
dx
2x
2
− 3x+ 1
= −
dx
x −
1
2
−
dx
x −1
= −

d x −
1
2
x −
1
2
−
d(x −1)
x −1
= − ln x −
1
2
− ln |x −1| + C.
V à cuối cùng ta x é t ví dụ v ớ i mẫu là đa thức có nghiệm ké p .
VD : Tính
dx
2x
2
− 4x+ 2
=
1
2
dx
(x + 1)
2
=
1
2
d(x + 1)
(x + 1)

2
= −
1
2
.
1
x + 1
+ C.
Chú ý rằng :
• Nếu ax
2
+ bx + c có hai nghiệm x
1
, x
2
thì ax
2
+ bx + c = a(x − x
1
)(x − x
2
).
• Nếu ax
2
+ bx + c có nghiệm ké p x = x
0
thì ax
2
+ bx + c = a(x − x
0

)
2
.
• d(x + a) = dx v ớ i mọi số thực a.
Bài 7.21 : Tính các nguyênhàmsau :
1.
dx
3x + 1
;
2.
x
2
+ 3x −1
−2x+ 3
dx;
3.
dx
−2x
2
− x + 1
;
4.
dx
x
2
− 4x+ 4
;
5.
x
3

+ 5x
2
+ 3x −7
x
2
+ 6x + 9
dx;
6.
x
2
− 6x+ 10
x
2
− 6x+ 8
dx;
7.
dx
x
2
(x + 1)
;
8.
2x − 7
x
2
− 3x+ 2
dx;
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 158
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC

9.
x −1
(x
2
+ 3x + 2)
2
dx;
10.
2x + 5
9x
2
− 6x+ 1
dx;
11.
2x+ 1
(x
2
− 4x+ 4)
3
dx;
12.
3x + 1
(x + 1)
3
dx;
13.
x
3
(x
2

+ 1)
2
dx;
14.
x dx
(x
2
+ 1)
2
;
15.
x
2
+ 2x + 1
x
2
+ 1
dx;
16.
x
4
− 1
x
3
− x
dx;
17.
(x
2
+ 1) dx

(x − 1)
3
(x+ 3)
;
Bài 7.22 : Tính các tích phân sau :
1.
1
2
0
x
3
dx
x
2
− 3x+ 2
;
2.
2
0
3x
3
dx
x
2
+ 2x + 1
;
3.
1
0
x dx

x
4
+ x
2
+ 1
;
4.
2
1
1 − x
2
1 + x
4
dx;
5.
1
0
dx
x
4
+ 4x
2
+ 3
;
6.
1
2
0
dx
3x

2
− 2x −1
;
7.
1
0
dx
x
2
− 4x+ 5
;
8.
2
1
dx
x
2
− 2x+ 2
;
9.
1
0
x dx
x
4
− 5x
2
+ 4
;
10.

1
0
x
2
dx
x
2
+ 1
;
11.
1
−1
x dx
x
2
+ x + 1
;
12.
1
0
(x
2
− 4) dx
2x
3
− 4x
2
+ 6x −12
;
13.

1
0
3x + 8
x
2
− 9x+ 14
dx;
14.
4
0
x dx
x
4
+ 4x
2
+ 3
;
15.
1
0
x
2
(1 + x)
2
dx;
16.
4
2
2x + 1
x

2
+ x
dx;
17.
2
−1
x −1
x + 2
2
dx;
18.
1
0
(1 −3x)
4
(2x + 1)
3
dx;
19.
1
0
x
3
dx
(x
2
+ 1)
2
;
20.

1
0
x
5
dx
4x
6
+ 4x
3
+ 1
;
21.
2
1
(x
2
+ 1) dx
(x
2
+ 3x − 1)(x
2
+ 5x − 1)
;
22.
2
1
(x
2
− 4) dx
(x

2
− 3x+ 4)(x
2
− 2x+ 4)
;
23.
1
0
6x
2
+ x + 2
(4x + 1)(x
2
+ 1)
dx;
24.
1
1
2
x
4
+ 5x
2
+ 4
x(x
2
+ 2)
2
dx;
25.

1
0
4x −2
(x + 2)(x
2
+ 1)
dx;
26.
√
2+
√
6
2
1
x
2
+ 1
x
4
+ 1
dx;
27.
1
0
x dx
(x + 1)
3
;
28.
1

1
2
x
2
− 1
x
4
+ 1
dx;
29.
1
0
2x + 1
x + 1
2
dx;
30.
1
0
x
2
(x
2
+ 1)
2
dx;
31.
−1
2
dx

(11 + 5x)
2
;
32.
2
1
(x
2
+ 1) dx
(x
2
+ 5x + 1)(x
2
− 3x+ 1)
33.
2
1
(4x + 2) dx
(x
2
+ x)(x
2
+ x + 2)
;
34.
2
1
(x
2
− 6) dx

(x
2
+ 3x + 2)(x
2
+ 9x + 18)
35.
0
−1
x
x
2
− 3x+ 2
2
dx;
36.
1
0
x dx
(x
2
+ 1)
2
;
37.
2
1
5x + 3
x
3
− 2x

2
− 3x
dx;
38.
3
2
1
dx
x
3
− 4x
;
39.
1
2
0
3x
2
− 8x+ 13
(x + 3)(x −1)
2
dx.
V ấ n đề 6 : Tích phân một số hàm đặc biệt

1. Đối v ớ i hàm chẵn, lẻ
(a) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a] thì
a
−a
f (x) dx = 2
a

0
f (x) dx.
(b) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số lẻ, liên tục trên [−a; a] thì
a
−a
f (x) dx = 0.
Nhận xé t : Như v ậ y , trước khi tính tích phân ta cần c h ú ý đến hai cận, nếu th ấy hai cận đối nhau ta cần để ý đến tính c h ẵ n lẻ
của hàm số dưới dấu tích phân r ồ i áp dụng kết quả khẳng định trên.
2. Tích phân k ế t hợpgiữa hàm chẵn và hàm mũ
Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a]. Khi đó :
a
−a
f (x)
m
x
+ 1
dx=
a
0
f (x) dx.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 159
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
3. Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau
T a có hệ thức :
b
a
f (a + b − x) dx=
b
a

f (x) dx.
4. Tích phân hàm tuần hoàn
Nếu hàm số y = f (x) liên tục, tuần hoàn v ớ i chu kì T thì
a+T
a
f (x) dx =
T
0
f (x) dx.
5. Hàm số dưới dấu tích phân có trục đối xứng thẳng đứng
Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] v à f (a + b − x) = f (x) thì
b
a
x f (x) dx =
a + b
2
b
a
f (x) dx.
Đặc biệt :
π
0
x f (sin x) dx=
π
2
π
0
f (sin x) dx.
6. Tích phân của các hàm số đối xứng nhau - tích phânliên k ế t lượng giác
Nếu f (x) liên tục trên [0; 1] thì

π
2
0
f (sin x) dx=
π
2
0
f (cos x) dx.
Đặc biệt
π
2
0
sin
k
x
(sin x + cos x)
n
=
π
2
0
cos
k
x
(sin x + cos x)
n
;
π
2
0

sin
k
x
sin
n
x + cos
n
x
=
π
2
0
cos
k
x
sin
n
x + cos
n
x
.
7. Biến đổi tách đôi hàm số và co cận tích phân
Nếu f (x) là hàm liên tục trên [0; 2a], thì
2a
0
f (x) dx=
a
0
(
f (x) + f (2a − x)

)
dx.
Bài 7.23 : 1. Chứng minh rằng
1
−1
e
cos x
dx = 2
1
0
e
cos x
dx.
2. Tính các tích phân sau:
I
1
=
2
−2
ln(x +
√
x
2
+ 1) dx; I
2
=
1
2
−
1

2
cos x ln
1+ x
1 − x
dx.
Bài 7.24 : Tính các tích phân sau :
1.
π
3
−
π
3
cos
7
x dx;
2.
1
−1
x
6
+ tan x
x
2
+ 1
dx;
3.
a
−a
x
2

sin x +
√
a
2
− x
2
dx (a > 0);
4.
1
−1
ln x +
√
1 + x
2
2007
dx;
5.
1
−1
x
2
+ cos 6x + sin
3x
2
sin
x
2
ln
2 + x
2 − x

dx;
6.
1
−1
x
4
sin
4
x + cos
4
x
3
x
5
− x
3
+ x − sin x
x
4
+ x
2
+ 1 + cos x
dx;
7.
1
−1
dx
(2
x
+ 1)(x

2
+ 1)
;
8.
1
2
−
1
2
dx
(e
x
+ 1)
√
1 − x
2
;
9.
π
2
−
π
2
x
2
|sin x|
2009
x
+ 1
;

10.
π
2
−
π
2
sin x sin 2x cos 5x
e
x
+ 1
dx;
11.
1
−1
x ln 1 +
√
1 + x
2
(3
x
+ 1)
√
1 + x
2
dx;
12.
1
−1
x
2

ln(1 + x
2
)
2
x
+ 1
dx;
13.
1
2
−
1
2
x ln
1+x
1−x
e
x
+ 1
dx;
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 160
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
14.
π
2
−
π
2
x

2
cos x
e
x
+ 1
dx;
15.
π
4
0
ln(1 + tan x) dx;
16.
1
0
ln(1 + x)
1 + x
2
dx;
17.
4π
0
sin
7
3x cos
8
5x
1 + cos
10
x
dx;

18.
π
2
0
tan
2007
2x+ sin
2009
6x dx;
19.
2007π
0
√
1 − cos 2x dx;
20.
5π
4
π
sin 2x
cos
4
x + sin
4
x
dx;
21.
π
0
x sin x dx
9 + 4 cos

2
x
;
22.
π
0
x sin x dx;
23.
π
0
x sin
3
x dx;
24. I =
π
0
x sin x d x
1 + sin
2
x
;
25.
π
2
0
cos
4
x
sin
4

x + cos
4
x
;
26.
π
2
0
sin x
(sin x + cos x)
3
;
27.
π
2
0
1
cos
2
(sin x)
− tan
2
(cos x) dx;
28.
π
2
0
sin
n
x

sin
n−1
x + cos
n−1
x
;
29.
π
2
0
ln(tan x) dx;
30.
π
2
0
ln(sin x) dx;
31.
π
2
0
dx
1 + tan
2009
x
dx;
32.
4
2
√
ln(9 − x)

√
ln(9 − x) +
√
ln(x + 3)
dx;
33.
3π
0
sin x sin 2x sin 3x dx;
34.
π
0
3
sin 5x
sin 3x
cos 7x dx;
35.
2π
0
√
1 + sin x dx;
36.
π
0
x sin x cos
2
x dx;
37.
π
2

0
cos
3
x
sin x + cos x
dx;
38.
1
−1
x
4
1 + 2
x
dx;
Bài 7.25 : Chứng minh các hệ thức sau :
1.
1
0
x
m
(1 − x)
n
d x =
1
0
x
n
(1 − x)
m
dx;

2.
a
0
x
3
f (x
2
) d x =
1
2
a
2
0
x f (x) dx (a > 0; x > 0);
3. Chứng minh rằng nếu y = f (x) là hàm chẵn, tuần hoàn v ớ i chu kì T thì
T
0
f (x) dx= 2
T
2
0
f (x) dx.
7.3 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Bài 7.26 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
1. elíp :
x
2
a
2
+

y
2
b
2
= 1, (a, b > 0).
2. đồ thị hàm số y = x
3
− 1, đường thẳng x = 2, trục tung v à trục hoành.
3. đồ thị hàm số y = 4 − x
2
, đường thẳng x = 3, trục tung v à trục hoành.
4. parabol y = 2 − x
2
v à đườngthẳng y = −x.
5. đườngthẳng y = x + 2 v à parabol y = x
2
+ x − 2.
6. đồ thị hàm số y =
√
x, trục hoành v à đường thẳng y = x − 2.
Bài 7.27 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 161
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
1. đồ thị các hàm số y =
27
x
, y =
x
2

27
v à y = x
2
.
2. parabol y = 2x
2
− 4x −6, trục hoành, v à hai đường thẳng x = −2, x = 4.
3. parabol (P) : y = x
2
− 4x+ 5 v à hai tiếp tuyến của (P) tại A(1; 2) và B(4; 5).
4. đồ thị các hàm số y = |x
2
− 1| v à y = |x|+ 5.
5. đồ thị các hàm số y = −
√
4 − x
2
v à x
2
+ 3y = 0.
6. đồ thị các hàm số y = sin |x| v à y = |x| − π.
7. đồ thị các hàm số x
2
= 4y v à y =
8
x
2
+ 4
Bài 7.28 : Cho parabol(P) : y = x
2

+ 1 v à cho đườngthẳng d
m
: y = mx + 2.
1. Chứng minh rằng v ớ i mọi m thì (P) và d
m
luôn cắt nhau tại hai điểm phân biêt.
2. Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (P) và d
m
có diện tích nhỏ nhất.
Bài 7.29 : Tính diện tích hình phẳnggiới hạn bởi :
1. đồ thị các hàm số y = x
2
, y =
x
2
4
, y =
2
x
v à y =
8
x
.
2. đồ thị các hàm số y
2
= 2x, x − 2y+ 2 = 0 v à trục hoành.
3. đồ thị hàm số y
2
+ x − 5 = 0 v à đườngthẳng x + y − 3 = 0.
4. đồ thị các hàm số x

2
= 3y v à y
2
= 3x.
5. parabol y = x
2
− 2x+ 2 v à các tiếp tuyến của nó đi qua điểm A(2; −2).
7.4 Ứng dụng tích phân tính thể tích v ậ t thể tròn x o a y
Bài 7.30 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi parabol y = 2x − x
2
v à trục hoành.
1. Tính thể tích V
x
của hình tròn x o a y tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.
2. Tính thể tích V
y
của hình tròn x o a y tạo bởi khi quay S quanh trục Oy.
Bài 7.31 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x
2
, y =
27
x
v à y =
x
2
27
. Tính thể tích V
x
, V
y

của hình tròn x o a y tạo bởi
khi quay S quanh trục Ox, Oy (tương ứng).
Bài 7.32 : Cho hìnhphẳng S giớihạnbởicác parabol y = 4 − x
2
v à y = x
2
+ 2. Tìm thể tích V
x
, V
y
của hìnhtròn x o a y tạo bởi khi quay
S quanh trục Ox, Oy.
Bài 7.33 : Cho S là hình tròn tâm I(2; 0) v à bán kính R = 1. Tìm thể tích V
x
, V
y
của hình tròn x o a y tạo bởi khi quay S quanh trục
Ox, Oy.
Bài 7.34 : Cho hìnhphẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xe
x
, trục hoànhvà đườngthẳng x = 1 . Tìm thể tích V
x
của hìnhtròn x o a y
tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.
Bài 7.35 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x, trục hoành, các đường thẳng x = 0 v à x = π. Tính thể tích V
x
của
hình tròn x o a y tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.
Bài 7.36 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ln x, trục hoành, các đường thẳng x = 1 v à x = e. Tính thể tích V
x

của
hình tròn x o a y tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 162
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
7.5 T í c h phân trong các kì thi ĐH
Bài 7.37 (CĐ09) : Tính tích phân : I =
1
0
e
−2x
+ x e
x
dx.
Bài 7.38 (CĐ10) : Tính tích phân I =
1
0
2x − 1
x + 1
dx.
Bài 7.39 (A02) : Tính diệntích hình phẳnggiới hạn bởi các đường : y = |x
2
− 4x+ 3|, y = x + 3.
Bài 7.40 (A03) : Tính tích phân : I =
2
√
3
√
5
dx

x
√
x
2
+ 4
.
Bài 7.41 (A04) : Tính tích phân : I =
2
1
x
1 +
√
x −1
dx.
Bài 7.42 (A05) : Tính tích phân : I =
π
2
0
sin 2x + sin x
√
1 + 3 cos x
dx.
Bài 7.43 (A06) : Tính tích phân : I =
π
2
0
sin 2x
√
cos
2

x + 4 sin
2
x
dx.
Bài 7.44 (A07) : Tính diệntích hình phẳnggiới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + e
x
)x.
Bài 7.45 (A08) : Tính tích phân : I =
π
6
0
tan
4
x
cos 2x
dx.
Bài 7.46 (A09) : Tính tích phân : I =
π
2
0
cos
3
x −1 cos
2
dx.
Bài 7.47 (A10) : Tính tích phân I =
2
0
x
2

+ e
x
+ 2x
2
e
x
1 + 2e
x
dx.
Bài 7.48 (B02) : Tính diện tích hình phẳng giớihạnbởi các đường : y = 4 −
x
2
4
v à y =
x
2
4
√
2
.
Bài 7.49 (B04) : Tính tích phân I =
e
1
√
1 + 3 ln x ln x
x
dx.
Bài 7.50 (B05) : Tính tích phân I =
π
2

0
sin 2x cos x
1 + cos x
dx.
Bài 7.51 (B06) : Tính tích phân I =
ln 5
ln 3
dx
e
x
+ 2.e
−x
− 3
.
Bài 7.52 (B07) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = x ln x, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn x o a y tạo thành khi
quay hình H quanh trục Ox.
Bài 7.53 (B08) : Tính tích phân : I =
π
4
0
sin x −
π
4
dx
sin 2x + 2(1 + sin x + cos x)
.
Bài 7.54 (B09) : Tính tích phân : I =
3
1
3 + ln x

(x + 1)
2
dx.
Bài 7.55 (B10) : Tính tích phân I =
e
1
ln x
x(2 + ln x)
2
dx.
Bài 7.56 (D03) : Tính tích phân : I =
2
0
|x
2
− x| dx.
Bài 7.57 (D04) : Tính tích phân : I =
3
2
ln(x
2
− x) dx.
Bài 7.58 (D05) : Tính tích phân : I =
π
2
0
e
sin x
+ cos x cos x dx.
Bài 7.59 (D06) : Tính tích phân : I =

1
0
(x −2)e
2x
dx.
Bài 7.60 (D07) : Tính tích phân : I =
e
1
x
3
ln
2
x dx.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - T r a n g 163
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
Bài 7.61 (D08) : Tính tích phân : I =
2
1
ln x
x
3
dx.
Bài 7.62 (D09) : Tính tích phân : I =
3
1
dx
e
x
− 1

.
Bài 7.63 (D10) : Tính tích phân I =
e
1
2x −
3
x
dx.
7.6 Bài tậptổng hợp
Bài 7.64 : Tính tích phân : I =
2
0
x
3
dx
x
2
+ 1
.
Bài 7.65 : Tính tích phân : I =
ln 3
0
e
x
dx
(e
x
+ 1)
3
.

Bài 7.66 : Tính tích phân : I =
0
−1
x 2
2x
+
3
√
x + 1 dx.
Bài 7.67 : Tính tích phân : I =
π
4
0
x
1 + cos 2x
dx.
Bài 7.68 : Tính tích phân : I =
1
0
x
3
√
1 − x
2
dx.
Bài 7.69 : Tính tích phân : I =
ln 5
ln 2
e
2x

dx
√
e
x
− 1
.
Bài 7.70 : Tính tích phân : I =
1
0
x
3
e
x
2
dx.
Bài 7.71 : Tính tích phân : I =
e
1
x
2
+ 1
x
ln x dx.
Bài 7.72 : Tính tích phân : I =
π
3
0
sin
2
x tan x dx.

Bài 7.73 : Tính tích phân : I =
7
0
x + 2
3
√
x + 1
dx.
Bài 7.74 : Tính tích phân : I =
e
1
x
2
ln x dx.
Bài 7.75 : Tính tích phân :
π
4
0
(tan x + e
sin x
. cos x) dx.
Bài 7.76 : Tính tích phân : I =
e
3
1
ln
2
x
x
√

ln x + 1
dx.
Bài 7.77 : Tính tích phân : I =
π
2
0
(2x −1) cos
2
x dx.
Bài 7.78 : Tính tích phân : I =
6
2
dx
2x + 1 +
√
4x + 1
.
Bài 7.79 : Tính diện tích hình phẳnggiới hạn bởi parabol: y = x
2
− x + 3 v à đườngthẳng d : y = 2x − 1.
Bài 7.80 : Tính tích phân : I =
√
e
2
3 − 2 ln x
x
√
1 + 2 ln x
dx.
Bài 7.81 : Tính tích phân : I =

10
5
dx
x −2
√
x − 1
.
Bài 7.82 : Tính tích phân : I =
π
2
0
(x+ 1) sin 2x dx.
Bài 7.83 : Tính tích phân : I =
2
1
(x − 2) ln x dx.
Downloadtàili󰗈uh󰗎ct󰖮pt󰖢i:
T r a n g 164
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
Bài 7.84 : Tính tích phân : I =
4
0
√
2x + 1
1 +
√
2x + 1
dx.
Bài 7.85 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0 và y =

x(1 − x)
x
2
+ 1
.
Bài 7.86 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
2
v à y =
√
2 − x
2
.
Bài 7.87 : Tính tích phân : I =
1
0
x(x − 1)
x
2
− 4
dx.
Bài 7.88 : Tính tích phân : I =
2
0
x
2
cos x dx.
Bài 7.89 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
3x
4
v à y =

x
2
x + 1
.
Bài 7.90 : Tính thể tích của khối t ròn x o a y tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3
−x
√
2x + 1; y = 0; x = 1 xung
quanh trục Ox.
Bài 7.91 : Tính thể tích khốitròn x o a y nhậnđược do quay quanh trục Oy hìnhphẳngđượcgiới hạnbởicác đườngy
2
= x và 3y−x = 2.
Bài 7.92 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = |x
2
− 4x| v à y = 2x.
Bài 7.93 : Cho D là hình hình giới hạn bởi (x − 1)
2
+ (y −1)
2
= 1. Tính thể tích vậ t thể khi quay D quanh trục Ox.
Bài 7.94 : Tính các tích phân sau :
1.
e
1
e
ln x
(1 + x)
2
dx;
2.

1
0
(2x −1)
2
e
3x
dx;
3.
e+1
2
x
2
ln(x −1) dx;
4.
1
0
dx
x +
√
1 − x
2
;
5.
π
0
x sin x cos x dx;
6.
5
1
x

2
+ 1
x
√
3x + 1
dx;
7.
3
1
ln(x
2
+ 3)
x
2
dx;
8.
π
2
0
x + sin x
1 + cos x
dx;
9.
π
2
cos
3
x
cos x − sin x
dx;

10.
π
4
0
cos x −
π
4
4 − 3 cos x
dx;
11.
2
0
x dx
√
2 + x +
√
2 − x
;
12.
π
4
0
x sin x
cos
3
x
dx;
13.
1
0

x
3
− x
2
x
3
√
3x − 4
− 1 dx;
14.
π
0
sin 2x
1 + cos
4
x
dx;
15.
π
4
π
6
x sin
2
x dx
sin 2x cos
2
x
;
16.

e
1
ln
3
x
x(ln
2
x + 1)
dx;
17.
π
2
0
3x(x − 1) + e
1+cos x
sin 2x dx;
18.
π
4
−
π
4
dx
cos
2
x 1 + e
−3x
.
Bài 7.95 : Tính các tích phân sau :
1.

ln
√
3
0
dx
e
2x
+ 1
;
2.
1
0
dx
1 +
√
1 − x
2
;
3.
π
2
0
cos 2x sin
4
x + cos
4
x dx;
4.
1
0

dx
x
4
+ 4x
2
+ 3
;
5.
2
0
√
x(2 − x) + ln(4 + x
2
) dx;
6.
π
3
0
x + sin
2
x
1 + cos 2x
dx;
7.
3 ln 2
0
e
2x
dx
1 +

√
3e
x
+ 1
;
8.
2
1
x
√
x −1
x − 5
dx;
9.
1
−1
dx
1 + x +
√
1 + x
2
;
10.
2
0
x ln(x
2
+ 1) + x
3
x

2
+ 1
11.
1
0
1 + x
1 +
√
x
dx;
12.
π
3
0
sin x
cos x
√
3 + sin
2
x
dx;
13.
π
2
π
4
x cos x
sin
3
x

dx;
14.
ln 5
ln 2
dx
(
10.e
−x
− 1
)
√
e
x
− 1
;
15.
π
4
0
x sin x
cos
3
x
dx;
16.
π
2
0
sin 2x − 3 cos x
2 sin x + 1

dx;
17.
2
1
√
4 − x
2
x
2
dx;
Downloadtàili󰗈uh󰗎ct󰖮pt󰖢i:
T r a n g 165