Xấp xỉ tuyến tính cho 1 vài phương trình sóng phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




TRẦN NGỌC DIỄM





XẤP XỈ TUYẾN TÍNH CHO MỘT VÀI

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN





LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC





CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ : 1.01.01

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
10-1998


LUẬN VĂN ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH




Người Hướng Dẫn :

PTS Nguyễn Thành Long
Ban Toán _ Tin học
Trường Đại Học Đại Cương Thành Phố Hồ Chí Minh



Người Nhận Xét 1 :

PGS-PTS Dương Minh Đức
Khoa Toán
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh

Người Nhận Xét 2 :

PTS Nguyễn Bích Huy
Khoa Toán
Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh



Người Thực Hiện :

Trần Ngọc Diễm
Ban Toán _ Tin học
Trường Đại Học Đại Cương Thành Phố Hồ Chí Minh





LUẬN VĂN ĐƯC BẢO VỆ TẠI
HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH





Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long, lời cảm ơn
sâu sắc về sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt khóa học và nhất là

trong việc hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn Thầy Dương Minh Đức và Thầy Nguyễn Bích
Huy đã đọc và cho những ý kiến quý báu cũng như những lời phê bình bổ ích đối với
luận văn.
Tôi cũng xin cảm ơn tất cả quý Thầy trong hội đồâng chấm luận văn đã
dành cho tôi thời gian quý báu và những góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn.
Xin cảm ơn quý Thầy Cô khoa Toán, Trường Đại Học Khoa Học Tự
Nhiên, Trường Đại Học Đại Cương, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí
Minh đã tận tình hướng dẫn và cung cấp cho tôi những tư liệu cần thiết trong suốt
thời gian học tập.
Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Phòng quản lý sau Đại học Trường Đại
Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi về thủ tục hành chính trong khóa học.
C
ảm ơn các Bạn học viên lớp Cao học khóa 6 đã hổ trợ rất nhiều cho tôi
về mọi mặt trong thời gian qua.
Lời thân thương nhất xin gởi đến gia đình tôi, nơi tạo cho tôi mọi điều
kiện thuận tiện để học tập và làm tốt luận văn này.


Trần Ngọc Diễm



MỤC LỤC

Mục lục. trang 0
1. Phần mở đầu. 1
2. Chương 1. Một số không gian hàm và ký hiệu. 6
1. Các ký hiệu về không gian hàm. 6

2. Vài bổ đề quan trọng. 6
3. Chương 2. Khảo sát phương trình sóng phi tuyến với
điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất. 8
1. Mở đầu. 8
2. Sự tồn tại và duy nhất lời giải của bài toán biên
hỗn hợp thuần nhất. 9
3. Khai triển tiệm cận của lời giải. 18
4. Chú ý về bài toán với điều kiện biên hỗn hợp
không thuần nhất. 23
5. Xét một trường hợp cụ thể. 25
4. Chương 3. Phương trình sóng phi tuyến với toán tử Kirchoff-Carrier. 30
1. Mở đầu. 30
2. Sự tồn tại và duy nhất lời giải. 30
5. Kết luận. 39
6. Tài liệu tham khảo. 40












1
PHẦN MỞ ĐẦU

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát một số phương trình sóng phi tuyến
một chiều liên kết với điều kiện biên thuần nhất hoặc không thuần nhất. Chúng tôi
thu được lời giải bằng cách thiết lập một dãy qui nạp hội tụ mạnh trong các không
gian hàm thích hợp. Một số tính chất về lời giải thu được cũng được khảo sát sau đó.
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung vào việc khảo sát hai bài toán chính
nằm ở chương 2 và chương 3.
Đối với bài toán thứ nhất chúng tôi xét phương trình sóng phi tuyến sau đây
()
u
u
f
x
x
t
T
tt xx x t
−=
<
<
<
<
,
t
,
u
,
u
,
u

,,
010
, (0.1)
liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất
()
(
)
(
)
() () ()
u
t
h
u
o
t
g
t
uthutgt
x
x
0
11
00
11
,,,
,,,
−=
+=
(0.2)

và điều kiện đầu
() ()
(
)
(
)
u
x
u
x
u
x
u
x
t
,
~
,,
~
00
01
=
=
, (0.3)
trong đó
h
0
,
h
1

là các hằng số không âm cho trước với
h
0
+
h
1
> 0;
g
o
,
g
1
∈ C
3
([0,∞)) ;
[][
)
()
fC R
∈×∞×
13
01 0
,,
là các hàm cho trước.
Phương trình (0.1) với các dạng khác nhau của
f
và các điều kiện biên khác
nhau đã được khảo sát bởi nhiều tác giả.Cụ thể là một số trường hợp sau:
Trong [8]. Ficken và Fleishman đã thiết lập sự tồn tại và duy nhất lời giải toàn
cục và tính ổn đònh của lời giải này cho phương trình

uu u uub
tt xx t
−−=+> -2 ,
1
ααε ε
2
3
0 bé. (0.4)
Rabinowitz [19]đã chứng minh sự tồn tại của lời giải tuần hoàn cho phương
trình
(
)
u
u
u
f
u
u
u
x
t
tt xx t x t
−
=
+2
1
α
ε
,,,,
, (0.5)

trong đó
ε là tham số bé và f tuần hoàn theo thời gian.
Trong [2] Caughey và Ellison đã gộp lại các trường hợp trước đó để bàn về sự
tồn tại,duy nhất và ổn đònh tiệm cận của các lời giải cổ điển cho một lớp các hệ động
lực liên tục phi tuyến.
Trong [4], Alain Phạm Ngọc Đònh đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất của
một lời giải yếu của bài toán (0.1), (0.3) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần
nhất
() ()
u
t
u
t
010
,,
=
=
, (0.6)


2
với số hạng phi tuyến trong (0.1) có dạng
()
f
f
t
=ε
,
u
. (0.7)

Bằng sự tổng quát của [4], Alain Phạm Ngọc Đònh và Nguyễn Thành Long đã
xét bài toán (0.1), (0.3), (0.6) với số hạng phi tuyến có dạng
()
f
f
t
u
u
t
=
,,
. (0.8)
Trong [13], [14],Nguyễn Thành Long và Alain Phạm Ngọc Đònh đã nghiên
cứu bài toán (0.1), (0.3) với số hạng phi tuyến có dạng
()
f
f
u
u
t
=
,
. (0.9)
Trong [13], các tác giả đã xét bài toán với điều kiện biên hỗn hợp không
thuần nhất

() ()
(
)
(

)
u
t
h
u
t
g
t
u
t
x
00 10
,, ,
=
+
=
,, (0.10)
trong đó
h>
0 là hằng số cho trước ; trong [14] với điều kiện biên được xét tổng quát
hơn
() () () ( )() ()
u t g t hu t k t s u s ds u t
x
t
00 010
0
,, ,,
=+ − − =
∫

, . (0.11)
Trong [15] chúng tôi xét bài toán (0.1), (0.2), (0.3) với trường hợp
() ()
g
t
g
t
01
0==
. (0.12)
Chúng tôi liên kết vơiù phương trình (0.1) một dãy qui nạp tuyến tính liên hệ
với một bất phương trình tích phân Volterra phi tuyến và dãy này bò chận trong một
không gian hàm thích hợp.Sự tồn tại lời giải của (0.1), (0.2), (0.3), (0.12) được chứng
minh bằng phương pháp Galerkin và compact yếu.Chú ý rằng phương pháp tuyến tính
hóa trong các bài báo[5], [15] không dùng được trong các bài báo [13], [14]. Nếu các
hàm số
[][
)
()
fC R
0
23
01 0∈×∞×
,,
và
[
]
[
)
(

)
fC R
1
13
01 0∈×∞×
,,
thì một khai triển
tiệm cận đến cấp 2 theo ε của lời giải bài toán (0.1), (0.2), (0.3), (0.12) thu được với
vế phải của (0.1) có dạng
()
(
)
(
)
f
x
t
u
u
u
f
x
t
u
u
u
f
x
t
u

u
u
xt xt xt
,, , , ,, , , ,, , ,
=
+
01
ε
, (0.13)
với
ε đủ nhỏ.Kết quả này đã tổng quát hóa tương đối của[1], [5]và đã được công bố
trong [15].
Bài toán thứ hai trong luận văn này được xét với phương trình sóng phi tuyến
sau đây chứa toán tử Kirchoff-Carrier
()
()
() ( ) ( )
ubBu ufuFxtx t
T
tt
−+∇ + = ∈= <<
0
2
01 0ΔΩ
,,
, , , (0.14)
liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất
()
(
)

u
t
u
t
010
,,
=
=
, (0.15)



3
và điều kiện đầu
()
u
x
,
0 =
() ( )
(
)
~
,
~
u
x
u
x
u

x
t
0
0 ,
1
=
, (0.16)
trong đó
b
T
0
00>>
,
là các hằng số cho trước ;
B
,
f
,
F
,
~
u
0
,
~
u
1
là các hàm cho
trước. Các giả thiết về các hàm này sẽ được chỉ rõ sau đó. Trong phương trình (0.14)
hàm

B
()
∇
u
2
phụ thuộc vào tích phân
()
∇=
∫
u
u
y
yt d
y
2
2
∂
∂
,
Ω
. (0.17)
Phương trình (0.14) liên quan đến một phương trình dao động phi tuyến sau
đây của một sợi dây đàn hồi [3] :
()
ρ
∂
∂
hu P
Eh
L

u
y
yt dyu x L t T
tt
L
xx
=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
<< <<
∫
0
2
0
2
0
,,
, 0
. (0.18)
Ở đây u là độ võng,
ρ
là mật độ khối lượng (khối lượng riêng), h là thiết
diện, L là chiều dài ban đầu,
E
là suất Young và
P

0
là lực căng ban đầu của dây.
Khi f= 0, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho (0.14) đã được nghiên cứu bởi
nhiều tác giả; chẳng hạn như Ebihara, Medeiros và Miranda [7], Pohozaev
[18],Yamada [21] và các tác giả xuất hiện trong tài liệu tham khảo ở đó.
Trong [17] Medeiros đã nghiên cứu bài toán (0.14), (0.15), (0.16) với
()
fu bu
=
2
,trong đó b là hăøng số dương cho trước,
Ω
là một tập mở bò chận của
R
3
.
Trong [9] Hosoya và Yamada đã xét bài toán (0.14), (0.15), (0.16) với
()
f
u
=δ
α
uu
, trong đó δ
α
>≥00
,
là các hằng số cho trước .
Trong [16] Nguyễn Thành Long và các đồng tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại
và duy nhất lời giải cho phương trình sau

()
(
)
(
)
uuBuuuuFxtx tT
tt t t
+−∇ + = ∈= <<
−
λΔ ε
α
2
21
01 0ΔΩ
,,
, ,
, (0.19)
trong đó
λ>0 ,ε>0 , 01
<
<
α
là các hằng số cho trước .
Trong [10] Ikehata và Okazawa đã xét bài toán (0.14), (0.15), (0.16) như một
phương trình tiến hóa cấp hai á tuyến tính theo thời gian trong một không gian Hilbert
thực
H
vơiù giả thiết sau đây trên hàm
f

, trong trường hợp của chúng tôi cụ thể ra thì
điều kiện đó là:

() ()
(
)
fu fv Lu v u v uv H
L
HH H
−≤ + −∀∈
2
0
1
0
1
0
1
0
1
,
,
, (0.20)
trong đó
[
)
()
LC
∈+∞0
,
là một hàm không giảm. Ở trường hợp của chúng tôi thì

′
f
bò
chận bởi một hàm không giảm L

(
)
(
)
fx Lx'
≤∀∈ , x R, (0.21)



4
do đó (0.20) sẽ được thỏa mãn .
Trong bài toán thứ hai này, chúng tôi liên kết bài toán (0.14), (0.15), (0.16)
một thuật giải qui nạp tuyến tính mà sự tồn tại duy nhất lời giải đòa phương được
chứng minh bằng phương pháp compact yếu liên kết với bất phương trình tích phân
Volterra. Thuật giải này cho phép chúng ta sử dụng được một số thuật giải tính số
hiệu quả để giải bài toán (0.14), (0.15), (0.16). Kết quả thu được đã tổng quát tương
đối các kết quả [7], [9], [10], [16], [17], [18] và sẽ được công bố trong [6].
Toàn bộ luận văn này sẽ chia thành các chương sau đây:
_Chương mở đầu là phần giới thiệu tổng quát về các bài toán và điểm qua các
kết quả trước đó, đồng thời giới thiệu tóm tắt các chương tiếp theo .
_Chương 1 là phần giới thiệu một số ký hiệu và các không gian hàm thông
dụng . Một số kết quảvề phép nhúng cũng được nhắc đến ở đây.
_Chương 2 đi vào việc khảo sát bài toán thứ nhất (0.1) -(0.3), kết quả chính
của chương này là chứng minh một đònh lý tồn tại và duy nhất lời giải yếu trong
trường hợp

[]
[
)
()
[
)
()
fC R u H u H gg C
∈×∞× ∈∈ ∈∞
13
0
2
1
1
01
3
01 0 0
,,
~
~
,,
, , ,
,các
hằng số không âm
h
h
01
, thỏa
h
h

01
0
+
> . Phương pháp sử dụng là xây dựng một
dãy qui nạp tuyến tính hội tụ mạnh.
Kết quả này đã tổng quát nhẹ nhàng kết quả [15] của chúng tôi và chứa
trường hợp
g
g
01
0=≡ như là một trường hợp riêng.
Vẫn trong chương này, chúng tôi cũng thu được các kết quả về khai triển tiệm
cận theo một tham số bé
ε đến cấp i của lời giải bài toán (0.1), (0.2), (0.3) với số
hạng phi tuyến f có dạng sau :
()
(
)
(
)
f
x
t
u
u
u
f
x
t
u

u
u
f
x
t
u
u
u
xt xt xt
,, , , ,, , , ,, , ,
=
+
01
ε
,
trong đó
[]
[
)
()
[][
)
()
fC R i
fC R
i
0
3
1
13

01 0 12
01 0
∈×∞×=
∈×∞×
., ,
.,
, .

Kết quả này cũng đã tổng quát các kết quả đã có [1], [5], [15].
Một số khai triển tiệm cận cũng được khảo sát trong một số trường hợp cụ thể
của số hạng phi tuyến.
_ Chương 3 là phần khảo sát bài toán thứ hai (0.14), (0.15), (0.16). Kết quả
chính là bằng cách tuyến tính hóa các số hạng phi tuyến
(
)
f
u
và
()
Bu
∇
2
, chúng tôi
chứng minh sự tồn tại duy nhất của một lời giải yếu của bài toán (0.14), (0.15), (0.16)
trong trường hợp
()
[
)
(
)

fCRBC B
∈∈∞≥
11
00 , ,
,





5
và một số điều kiện phụ sau đó.
Kết quả đã tổng quát hóa tương đối các kết quả trước đó và sẽ được công bố
trong [6].
_ Chương cuối cùng là phần kết luận về các kết quả thu lượm được trong luận
văn.
Sau cùng là phần tài liệu tham khảo.

6
Chương 1

MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM VÀ KÝ HIỆU

1. Các ký hiệu về không gian hàm

Chúng ta bỏ qua đònh nghóa các không gian hàm thông dụng và sử dụng các
ký hiệu gọn lại như sau:

()
(
)
() () ()

ΩΩ
ΩΩΩ
==×>
== =
01 0 0
00
,,
.
, , ,
, ,
Q
T
T
LL HH HH
T
pp mm mm

Các ký hiệu
.,.
và
.
dùng để chỉ tích vô hướng và chuẩn sinh bởi tích vô
hướng tương ứng trên
L
2
. Ký hiệu
.,.
cũng dùng để chỉ cặp tích đối ngẫu giữa
phiếm hàm tuyến tính liên tục và một phần tử trong không gian hàm nào đó nằm
trong

L
2
. Ta ký hiệu
.
X
là chuẩn trên không gian Banach
X
. Gọi
′
X
là đối ngẫu
của
X
.
Ta viết
u(t)
,
(
)
&
ut
,
(
)
&&
ut
,
u
x
=

∇
u
,
u
u
xx
=Δ thay cho
() () () () ()
uxt
u
t
xt
u
t
xt
u
x
xt
u
x
xt,, ,, ,, ,, ,
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2

2
2
2
theo thứ tự.
Ta ký hiệu
()
LTX p
p
01
,,
, ,≤≤∞
là không gian Banach các hàm đo được
()
fT
X
: 0
,
→ sao cho

()
()
fftdt
LTX
X
p
T
p
p
0
0

1
,;
=
∫
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
<∞
, 1
≤
<
∞
p

và

()
(
)
f
es
s
f
t
LTX
tT
X

∞
<<
=
0
0
,;
su
p
.
2. Vài bổ đề quan trọng

Cho ba không gian Banach
B
0
,
B
,
B
1
với
B
0 ⊂
B
⊂
B
1
;
B
0
,

B
1
phản xạ, (1.1)
B
0 ⊂
B
với phép nhúng compact. (1.2)

Ta đònh nghóa :

() ()
WvL TBv
dv
dt
LTB
pp
=∈
′
=∈
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
01
00
01
,; ,;
:

trong đó
T
p
i
<∞ < <∞
,
1
,
i
= 0,1.
Trang bò trên
W
một chuẩn như sau



7

() ()
v
v
v
WLTB LTB
pp
=
+
′
0
0

1
1
00
,; ,;

Khi đó
W
là không gian Banach. Hiển nhiên
(
)
WL TB
p
⊂
0
0
,;
.
Ta có kết quả sau :

Bổ đề 1.1
(Bổ đề về tính compact của J.L Lions, xem [11], trang 57)
Dưới giả thiết (1.1), (1.2) và nếu
1
<
<
∞
p
i
,
i

=0,1, phép nhúng
()
WL TB
p
⊂
0
0
,;
là compact.
Bổ đề 1.2
(xem[11] trang 12)
Cho
O là mở bò chận của
R
N
,
g
,
g
m
∈

()
L
q
O
, 1
<
<
∞

q
thỏa
(i)
()
g
C
m
m
L
q
O
≤∀
,
,
(ii)
g
g
m
→ hầu hết trong O.
Khi đó
g
g
m
→ trong
()
L
q
O
yếu.

8

Chương 2

KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN
LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HP

1. Mở đầu

Trong chương 2, chúng tôi xét bài toán giá trò biên và giá trò ban đầu sau đây

()
u
u
f
x
t
u
u
u
x
t
T
tt xx x t
−=
∈
<
<
,, , ,
,,
Ω

0 , (2.1)

() ()
(
)
(
)
(
)
(
)
u
t
h
u
t
g
t
u
t
h
u
t
g
t
xx
00 11
00 11
,, ,,
−

=
+
=
, , 0
<
<
t
T
, (2.2)

() ()
(
)
(
)
u
x
u
x
u
x
u
x
t
,
~
,
~
00
01

=
=
, ,
x
∈
Ω
, (2.3)
với
h
0
,
h
1
là các hằng số không âm cho trước, số hạng phi tuyến
f
cũng là hàm cho
trước thuộc lớp
[][
)
()
CR
13
01 0
,,
×∞× .
Trong chương này, ta sẽ thiết lập một đònh lý tồn tại và duy nhất lời giải yếu
của bài toán (2.1)-(2.3) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp
Galerkin và phương pháp compact yếu. Sau đó chúng tôi khảo sát vấn đề khai triển
tiệm cận của lời giải bài toán (2.1)-(2.3) theo tham số bé
ε

khi số hạng phi tuyến
f

trong (2.1) được thay bởi

()
(
)
f
x
t
u
u
u
g
x
t
u
u
u
xt xt
,, , , ,,, ,
+
ε
.
Ta thành lập các giả thiết sau

()
()
()

[][
)
()
()
[
)()
H , ,
H , ,
H ,

1
2
3
h
h
uHuH
fC R
Hgg C
01
0
2
1
1
13
401
3
00
01 0
0
>≥

∈∈
∈×∞×
∈∞
~~
,,
,,.

Xét hàm số phụ

() ()
()
()
[]
ϕ
xt
hh
gte gte
hx
hx
,
=
+
−
−
−
1
01
1
1
0

0
1
. (2.4)
Đặt

()
(
)
() ()
B
v
v
t
h
v
t
Bv v t hv t
x
x
00
11
00
11
=−
=+
⎧
⎨
⎩
,,
,,

, 0
<
<
t
T
. (2.5)
Khi đó, với phép đổi biến

() ()
(
)
w
x
t
u
x
t
x
t
x
t
T
,,,
=
−
∈
<
<
ϕ
,,

Ω
0 , (2.6)
thì
w
thỏa mãn phương trình


9

()
ww fxtwwwx tT
tt xx x t
−= ∈ <<
~
,, , ,
, , Ω 0
, (2.7)
với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

B
w
Bw
0
1
0
0
=
=
⎧
⎨

⎩
,
0
<
<
t
T
, (2.8)
và điều kiện đầu

() ()
(
)
(
)
() () () ()
w
x
u
x
x
w
x
wx ux x wx
x
tt
,
~
,
~

,
,
~
,
~
,
00
00
00
11
=
−
=
=− =
⎧
⎨
⎩
∈
ϕ
ϕ
Ω
(2.9)
trong đó

()
(
)
(
)()
() () ( ) () () ( )

~
,, , , ,, , , , ,
~~
,
~~
,
f xtww w f xtw w w xt xt
wx ux x wx ux x
xt x xt t tt xx
t
=+++−+
=− =−
⎧
⎨
⎩
ϕϕ ϕϕ ϕ
ϕϕ
,
, ,
00 11
00
(2.10)
thỏa

[
)
()
~
,
~

~
fC R w Hw H
∈×∞× ∈ ∈
13
0
2
1
1
0Ω , ,
. (2.11)
Như vậy từ bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất (2.1)-(2.3) với phép biến
đổi (2.6) sẽ tương đương với bài toán biên hỗn hợp thuần nhất (2.7)-(2.9). Do đó,
không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng

g
i
i
=
001,=
,
. (2.12)
2. Sự tồn tại và duy nhất lời giải của bài toán biên hỗn hợp thuần nhất

Trên
H
1
ta sử dụng một chuẩn tương đương sau :

() ()
vv vxdx

H
1
2
2
0
1
1
2
0=+
′
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∫
. (2.13)
Trong chương này, ta đònh nghóa dạng song tuyến tính trên
H
1
như sau :

( ) () () ()() ()()
auv u xv xdx hu v hu v uv H,'' ,
=++∀∈
∫
0
1
01

1
00 11 ,
(2.14)
Khi đó ta có các bổ đề sau

Bổ đề 2.1

Phép nhúng
(
)
HC
10
⊂Ω là compact và

()
vvvH
CH
01
1
2
Ω
≤∀∈,
.

Bổ đề 2.1 là một kết quả quen thuộc mà chứng minh của nó có thể tìm thấy
trong nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian Sobolev, chẳng hạn [20].
Bổ đề 2.2
Với giả thiết
()
H

1
, dạng song tuyến tính đối xứng đònh nghóa bởi (2.14)
liên tục, cưỡng bức trên
H
H
11
×
, nghóa là:


10

() ( )
() ( )
iauv Cu v uvH
ii a u u C u u H
HH
H
, ,
,
,,
,.
≤∀∈
≥∀∈
1
1
0
2
1
11

1

với
{
}
{
}
C
h
C
h
h
001 01
112==
mi
n
,, ma
x
,,
.
Chứng minh
: Sử dụng bất đẳng thức Schwartz và bổ đề 2.1 ta có (
i
) đúng .
Chứng minh (
ii
) thì dễ dàng nên ta bỏ qua .
Bổ đề 2.3

Tồn tại một cơ sở Hilbert trực chuẩn

{
}
w
j
của
L
2
gồm các vector riêng
w
j

ứng với trò riêng
λ
j
sao cho

0
12
<≤≤ ≤
≤
=
∞
→∞
λλ
λ
λ
, ,LL
j
j
j

lim
(2.15)

()
aw v w v
jjj
,,
=λ
, với mọi
vHj
∈=
1
12,
,,
L . (2.16)
Hơn nữa dãy
{}
w
jj
λ cũng là cơ sở trực chuẩn Hilbert của
H
1
tương ứng
với tích vô hướng
()
a
.,.
.
Mặt khác, chúng ta cũng có hàm
w

j
thỏa mãn bài toán giá trò biên sau:

−=Δ
ww
jjj
λ ,
trong
Ω
, (2.17)

()
(
)
(
)
(
)
(
)
′
−=
′
+=∈
∞
whwwhw wC
jjjj j
00110
01
, Ω

. (2.18)
Chứng minh bổ đề 2.3 có thể tìm trong [20] (đònh lý 6.2.1, p.137, với
VHHL
==
12
, và
()
a
.,. đònh nghóa như (2.14)).
Với
M
T
>>00, ta đặt


()
(
)
wvutxffTMKK ,,,,sup,,
00
== , (2.19)

()
(
)
(
)
.,,,,sup,,
11
wvutxffffffTMKK

wvutx
′
+
′
+
′
+
′
+
′
==
(2.20)
sup
trong (2.19), (2.20) được lấy trên miền 010
≤
≤
≤
≤
x
t
T
,, ,,
uvw
M
≤ 2 .
()
()
(
)
(

)
{
() () ()
}
WMT vLTHvLTHvLTL
MMM
LTH LTH LTL
,,;
&
,;
&&
,;
&&&
.
,; ,; ,;
=∈ ∈ ∈
≤≤≤
∞∞∞
∞∞∞
: , ;
v , v , v
000
212
0
2
0
1
0
2
(2.21)

Tiếp theo, ta xây dựng dãy
{
}
u
m
trong
(
)
W
M
T
,
bằng qui nạp. Dãy
{}
u
m
sẽ
được chứng minh hội tụ về lời giải của bài toán (2.1)-(2.3) trong
()
W
M
T
,
(với sự
chọn lựa
M
và
T
thích hợp).
Chọn số hạng ban đầu

u
0

∈
(
)
W
M
T
,
. Giả sử rằng
u
m-1

∈
(
)
W
M
T
,
. (2.22)


11
Ta liên kết bài toán (2.1)-(2.3) với bài toán biến phân tuyến tính sau:
Tìm
u
m

∈
()
W
M
T
,
thỏa

()
<>+
=
<>
&&
,,,
u
v
a
u
v
F
v
mmm
, với mọi
v
∈
H
1
,

(2.23)

()
(
)
u
u
u
u
mm
00
01
=
=
~
,
&
~
, (2.24)
trong đó

()
(
)
(
)
(
)()
F
x
t

f
x
t
u
x
t
u
x
t
u
x
t
mmmm
,,,,,,,
&
,
=
∇
−−−111
. (2.25)
Sự tồn tại của
u
m
cho bởi đònh lý dưới đây.
Đònh lý 2.1
([15])


Giả sử
()()

H
H
13
−
đúng. Khi đó tồn tại các hằng số
M
> 0 và
T
> 0 sao cho:
với mọi
u
0
∈
()
W
M
T
,
cho trước, tồn tại một dãy qui nạp tuyến tính {
u
m
}⊂
()
W
M
T
,

xác đònh bởi (2.23)-(2.25).
Chứng minh

:Chứng minh bao gồm ba bước.
Bước 1
: Dùng phương pháp xấp xỉ Galerkin để xây dựng lời giải xấp xỉ
(
)
(
)
ut
m
k

của(2.23)
-(2.25).
Gọi
{}
w
j
là cơ sở trực chuẩn của
H
1
như trong bổ đề 2.3
(
)
ww
jj j
=λ.
Đặt

()
()

()
()
ut ctw
m
k
mj
k
j
j
k
=
=
∑
1
, (2.26)
trong đó
(
)
()
ct
mj
k
thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính sau:


(
)
()
(
)

(
)
(
)
(
)
&&
,,,utw autw Ftw jk
m
k
jm
k
jmj
+= ≤≤, 1 , (2.27)

(
)
()
(
)
(
)
uuuu
m
k
km
k
k
00
01

==
~
&
~
,
, (2.28)
với

()
~~
uwuH
kj
k
j
j
k
0
1
0
2
=→
=
∑
α trong
, (2.29)

()
~~
uwuH
kj

k
j
j
k
1
1
1
1
=→
=
∑
β trong . (2.30)
Từ giả thiết (2.22), tồn tại
(
)
T
m
k
> 0 sao cho bài toán (2.27), (2.28) có duy nhất
lời giải
()
()
ut
m
k
trên
(
)
[]
0

,T
m
k
.
Các đánh giá sau đây trong bước 2 cho phép ta lấy
(
)
TT
m
k
=
, với mọi
k
và với
mọi
m
.


12
Bước 2
: Đánh giá tiên nghiệm.
* Trong (2.27) thay
w
j
bởi
(
)
(
)

&
ut
m
k
ta có

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
1
2
1
2
2
d
dt
ut
d
dt
au t u t F t u t
m
k
m

k
m
k
mm
k
&
,,
&
+=,
sau đó tích phân theo
t
ta được

()
()
()
() ()
()
()
pt p F u d
m
k
m
k
mm
k
t
=+
∫
02

0
τττ
,
&
, (2.31)
trong đó

()
()
()
()
()
()
()
()
(
)
pt ut autut
m
k
m
k
m
k
m
k
=+
2
,
.

* Trong (2.27) thay
w
j
bởi
−
1
λ
j
j
w
Δ
, khi đó

(
)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
&&
,,,utw autw Ftw
m
k
jm
k

jm j
ΔΔΔ+=,
hay

(
)
()
()
(
)
(
)
(
)
(
)
au t w u t w aF t w
m
k
jm
k
jmj
&&
,, ,
+=ΔΔ .
Thay
w
j
bởi
()

()
&
ut
m
k
trong đẳng thức trên,kết hợp với (2.18) sau đó lấy tích
phân theo
t
, ta được

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
q t au t u t u t q aF u d
m
k
m
k
m

k
m
k
m
k
mm
k
t
=+=+
∫
&
,
&
,
&
Δ
2
0
0 τττ
. (2.32)
* Đạo hàm (2.27) theo t, sau đó thay
w
j
bởi
(
)
(
)
&&
ut

m
k
ta có

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
1
2
1
2
2
d
dt
ut
d
dt
au t u t F t u t
m
k
m
k
m

k
mm
k
&& &
,
&
,
&&
+=
′
.
Tích phân hai vế theo t

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
() ()
()
()
rt ut autut r F u d
m
k
m

k
m
k
m
k
m
k
mm
k
t
=+ =+
′
∫
&& &
,
&
,
&&
2
0
02 τττ. (2.33)
Từ (2.31)-(2.33) dẫn đến

()
()
()
(
)
()
(

)
()
(
)
()
(
)
()
()
() ()
()
()
()
()
()
()
st ptqtrt s
Fu d aFu d Fu d
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
mm
k

t
mm
k
t
mm
k
t
=++=
++ +
′
∫∫ ∫
0
22 2
00 0
τττ τττ τττ
,
&
,
&
,
&&
(2.34)
Các tích phân ở vế phải (2.34) lần lượt được đánh giá dưới đây.
+
Tích phân

thứ nhất
Từ (2.19) và (2.22) ta có

13

()
()
()
() ()
()
222
00
0
0
Fu d FudKpd
mm
k
t
mm
k
t
m
k
t
τττ τ ττ
,
&&
∫∫∫
≤≤
. (2.35)
+
Tích phân

thứ hai

Do bồ đề 2.2 ta có

()
()
()
()
()
22
0
1
0
1
1
aF u d C F u d
mm
k
t
m
H
m
k
H
t
τττ τ
,
&&
∫∫
≤

. (2.36)
Từ (2.19), (2.20) và (2.22) ta tìm được

(
)
()
()
()()
()
()
,
,




0
1
FFFt
FtK
Fffufufudx
fff f u u udx
Ku u
KM
m
H
mm
m
m x um um um
xu uu m m m

m
H
m
H
1
21
22
2
2
0
2
2
111
2
0
1
22 22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1

22
0
0
1
41
412
=∇ +
≤
∇=
′
+
′
∇+
′
+
′
∇
≤
′
+
′
+
′
+
′
+∇ + +∇
≤+ +
≤+
−∇ − −
∇−−−

−−
∫
∫
,
,
&
&
&
.
&
&
Δ
Δ

Vậy

(
)
∇≤ +
FKM
m
2
1
22
412 .
Và do đó

(
)
FKMK

m
H
1
2
1
22
0
2
412≤++. (2.37)
Từ (2.32), (2.36), (2.37) ta có

()
()
(
)
()
()
2
2
212
0
1
0
1
2
0
0
aF u d
C
C

KMKqd
mm
k
t
m
k
t
,
&
τττ
∫∫
≤++ . (2.38)
+
Tích phân

thứ ba

Ta có

() ()
22
00
′
≤
′
∫∫
Fu d F u d
mm
k
t

m
t
m
k
,
&& &&
ττ . (2.39)
Từ (2.20) và (2.22) ta thu được

()
()
()
′
=
′
+
′
+
′
∇+
′
≤+ +∇+
≤+
−∇ − −
−−−
∫
F f fu f u fu dx
Ku u u
KM
m t um u m um

mmm
2
111
2
0
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
41
413
&&&&
&&&&
&

.

Do đó từ (2.39) ta suy ra


14

() ()

()
2413
0
1
2
0
′
≤+
∫∫
Fu d K M r d
mm
k
t
m
k
t
,
&&
τττ
. (2.40)
Từ (2.34), (2.35), (2.38), (2.40) ta thu được

()
()
()
()
()
()
st s Ks d
m

k
m
k
m
k
t
≤+
∫
0
0
ττ, (2.41)
trong đó

()
()
KK
C
C
KMKKMKMTf
=+ + ++ + =2
2
212 414
0
1
0
1
2
01
2
,,

. (2.42)
Tiếp theo ta đánh giá số hạng
(
)
(
)
s
m
k
0
. Ta có

()
()
()
() () ()
su auuuuauu
m
k
m
k
kk k k k k
002
2
11 1
2
0
2
00
=+ +++

&&
~
,
~
~
~
~
,
~
Δ . (2.43)
Trong (2.27), thay w
j
bởi
(
)
(
)
&&
ut
m
k
, sau đó lấy
t =
0 ta được

()
()
()
() ()
()

()
&&
~
,
&&
,,
~
,
~
,
~
,
&&
uuufxuuuu
m
k
km
k
m
k
000 0
2
0001
−=∇Δ .

Từ đây suy ra


(
)

()
(
)
&&
~
,,
~
,
~
,
~
uufxuuu
m
k
k
00
0001
≤+ ∇Δ . (2.44)
Ta suy từ (2.29), (2.30), (2.43), (2.44) rằng tồn tại một số
M >
0 độc lập với
k

và
m
sao cho

(
)
()

sM
m
k
04
2
≤ , với mọi
k
và
m
. (2.45)
Ta lưu ý, với giả thiết
(
)
H
3
, suy ra từ (2.19), (2.20) rằng

()
li
m
,, ,
T
i
T
K
M
T
f
i
→

+
=
=
0
001, . (2.46)
Kết hợp (2.42) và (2.46),tìm được
T
> 0sao cho

()
T
K
M
T
f
M
,,
≤ . (2.47)
và

()
()
k
C
TK M T f
T
=+ +
⎛
⎝
⎜

⎞
⎠
⎟
<21 2 1
1
1
0
1
,,
. (2.48)
Cuối cùng ta suy ra từ (2.41), (2.45) rằng

()
()
()
()
()
st
M
Ks d tT
m
k
m
k
t
m
k
≤+ ≤≤
∫
2

0
4
0ττ,
. (2.49)
Mặt khác, hàm

() ()
st M Kt
=+22
2
(2.50)

15

là lời giải cực đại của phương trình tích phân Volterra phi tuyến sau đây trên [0,
T
]
với nhân không giảm
s
(xem [12]).

() ()
st
M
Ksd tT
t
=+ ≤≤
∫
2
0

4
0ττ,
, (2.51)
và do đó từ (2.49)-(2.51) ta nhận được

(
)
() ()
(
)
[
]
st st M t T
m
k
m
k
≤≤ ∀∈
2
0,
,
. (2.52)
Từ đây ta có
(
)
TT
m
k
= , với mọi
m

và
k
và ta suy ra từ đây rằng

(
)
()
uWMT
m
k
∈
,
. (2.53)
Bước 3
: Qua giới hạn
Từ (2.53), tồn tại một dãy con
(
)
{
}
u
m
k
j
của
(
)
{
}
u

m
k
và tồn tại
u
m
sao cho

()
(
)
uu LTH
m
k
m
j
→
∞
trong 0
2
,;
yếu
*
,

()
(
)
&&
,;uu LTH
m

k
m
j
→
∞
trong 0
1
yếu
*
, (2.54)

()
(
)
&& &&
,;uu LTL
m
k
m
j
→
∞
trong 0
2
yếu
*
,

thỏa

()
u
W
M
T
m
∈
,
. (2.55)
Từ (2.55) qua giới hạn trong (2.27), (2.28) ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng
u
m

thỏa mãn (2.23), (2.24) trong
(
)
LT
∞
0
,
yếu
*
.
Đònh lý 2.1 chứng minh hoàn tất.
Đònh lý 2.2
([15])
Giả sử (
H
1
)-(

H
3
) đúng. Khi đó tồn tại
M
> 0,
T
> 0 sao cho bài toán (2.1)-(2.3)
có duy nhất một lời giải yếu
u

∈
(
)
W
M
T
,
.
Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính
{
u
m
} xác đònh bởi (2.2ø2)-(2.24) hội tụ mạnh
về lời giải yếu
u
trong không gian

()
(
)

(
)
{}
WT uL TH uL TL
1
12
00=∈ ∈
∞∞
,;
&
,;
: . (2.56)
Hơn nữa ta cũng có đánh giá sai số

() ()
uu uu Ck
m
LTH
m
LTL
T
m
−+−≤
∞∞
00
12
,; ,;
&&
, với mọi
m

,

(2.57)
trong đó
01<<
k
T
xác đònh bởi(2.48) và
C
là hằng số chỉ phụ thuộc
T
,
u
0
,
u
ù1
, và
k
T
.
Chứng minh
:
a/ Sự tồn tại lời giải
u
:


16
Trước hết ta lưu ý rằng

W
1
(
T
) là không gian Banach đối với chuẩn (xem [11])

()
() ()
u
u
u
WT L TH L TL
1
12
00
=
+
∞∞
,; ,;
&
.
Ta sẽ chứng minh rằng
{
}
u
m
là dãy Cauchy trong
(
)
W

T
1
.
Đặt
v
u
u
mm m
=−
+1
. Khi đó
v
m
thỏa mãn bài toán biến phân sau :

(
)
() ()
<>+ =<−>∀∈
==
⎧
⎨
⎩
+
&&
,, ,
&
vv avv F Fv vH
vv
mm mm

mm
, ,
.
1
1
000
(2.58)
Lấy
v
u
m
=
&
trong (2.58) và sử dụng giả thiết (
H
3
), ta suy từ đònh lý 2.1, sau khi
tích phân theo
t
ta có

()
()
()
&
,,
&
&&
vavv FFvd
Kv v vd

mmm mmm
t
mm
H
t
m
2
1
0
11 1
0
2
21 2
1
+=−
≤+ +
+
−−
∫
∫
τ
τ
(2.59)
Sử dụng bổ đề 2.2 (
ii
) và (2.59) ta thu được

(
)
() ()

[]
&
,vCv KTv v tT
mm
H
m
WT
m
WT
2
0
2
11
1
11
21 2 0+≤+ ∀∈
−
, . (2.60)
Từ (2.60) dẫn đến

() ()
v
k
v
m
WT
Tm
WT
11
1

≤
−
, với mọi
m
.

(2.61)
Vì vậy

()
()
uu uu
k
k
mp m
WT
WT
T
m
T
+
−≤−
−
1
1
10
1
, với mọi
m
,

p
.

(2.62)
Kết hợp (2.48) và (2.62) ta có
{
}
u
m
là dãy Cauchy trong
W
1
(
T
), do đó tồn tại
()
u
W
T
∈
1
sao cho

(
)
u
u
W
T
m

→ trong
1
mạnh . (2.63)
Bằng cách áp dụngmột lý luận tương tự mà chúng ta đã sử dụng trong đònh lý
(2.1), ta có thể lấy ra một dãy con
{
}
u
m
j
của
{
}
u
m
sao cho

(
)
uu LTH
m
j
→
∞
trong 0
2
,;
yếu
*
, (2.64)

(
)
&&
,;uu LTH
m
j
→
∞
trong 0
1
yếu
*
, (2.65)

(
)
&& &&
,;uu LTL
m
j
→
∞
trong 0
2
yếu
*
, (2.66)

(

)
u
W
M
T
∈
,
. (2.67)
p dụng đònh lý Riesz-Fischer, từ (2.63), tồn tại dãy con của
{}
u
m
j
−1
vẫn ký
hiệu là
{}
u
m
j
−1
sao cho:


17


(
)
u

u
x
t
Q
mT
j
−
→
∈
1
h.h
,
, (2.68)

(
)
∇→
∇
∈
−
u
u
x
t
Q
mT
j
1
h.h
,

, (2.69)

(
)
&&
,
u
u
x
t
Q
mT
j
−
→
∈
1
h.h . (2.70)
Do
f
liên tục, áp dụng đònh lý hội tụ bò chận Lebesgue, từ (2.68)-(2.70) ta có

()
(
)
Ffxtuuu LQ
mxtT
j
→
,, , ,

trong
2
mạnh . (2.71)
Mặt khác vì

()
FK
m
LTL
j
∞
≤
0
0
2
,;
,
với mọi
j
, (2.72)
nên ta có thể trích được từ
{}
F
m
j
một dãy con vẫn gọi là
{
}
F
m

j
sao cho

(
)
FF LTL
m
j
→
∞
trong 0
2
,;
yếu
*
. (2.73)
So sánh (2.71) và (2.73) suy ra

()
(
)
(
)
F
x
t
f
x
t
u

u
u
x
t
Q
xt T
,,,,, ,
=
∈
, h.h
. (2.74)
Vậy

()
(
)
Ffxtuuu LTL
mxt
j
→
∞
,, , , , ;
trong 0
2
yếu
*
. (2.75)
Qua giới hạn (2.23), (2.24), bằng sự kết hợp với (2.64), (2.66), (2.75), ta thu
được
u

thỏa bài toán biến phân sau :

()
(
)
&&
,, ,,,,,
u
v
a
u
v
f
x
t
u
u
u
v
xt
+
=
, với mọi
v
H
∈
1
,

() ()

u
u
u
u
00
01
=
=
~
&
~
, ,
trong
()
LT
∞
0
,
yếu
*
.
b/ Sự duy nhất lời giải

Giả sử
u
ù1
và
u
ø2
là hai lời giải yếu của bài toán (2.1)-(2.3),thỏa

u
i
()
∈
W
M
T
,
,

i
=1,2.
Đặt
u =
u
u
12
−
, khi đó
u
là lời giải của bài toán biến phân sau :

(
)
() ()
&&
,, ,
&
,
uv auv F F v v H

uu
+=−∀∈
==
⎧
⎨
⎩
12
1
000
, ,
(2.76)
trong đó

() ( )
F
x
t
f
x
t
u
u
u
i
iiii
,,,,,
&
,
=
∇

=
, 12.
Lấy
v
u
=
&
trong (2.76), sau khi tích phân theo
t
ta có



18



() () ()()
() () ()()()
&
,,
&
&&
.
ut autut F Fud
Ku u u ud
m
t
t
2

12
0
1
0
2
2
+=−
≤+∇+
∫
∫
τ
τττττ
(2.77)
Đặt

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
zt ut aut ut
=+
&
,
2

. (2.78)
Khi đó, ta suy từ (2.77) rằng

() ()
zt K
C
zd
t
≤+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∫
22
2
1
0
0
ττ. (2.79)
Sử dụng bổ đề Gronwall ta suy ra

(
)
z
t
u
u

=
=
0
12
, hay .
Đánh giá sai số (2.57) được suy từ (2.62), (2.63) bằng cách cho
p
→∞
.
Vậy ta đã chứng minh xong đònh lý 2.2.
3.
Khai triển tiệm cận của lời giải

Trong phần này, ta giả sử rằng
(
)
h
h
01
, và
(
)
~
~
u
u
01
, lần lượt thỏa mãn các giả
thiết
()

H
1
,
()
H
2
. Ta đưa vào giả thiết sau :

()
[
)
()
HfgC R
5
13
0
,,
∈×∞×Ω .
Chúng ta xét bài toán nhiễu sau đây, trong đó

ε
là tham số bé:
(P
ε
)
(
)
() () () ()
()()()
u

u
F
x
t
u
u
u
x
t
T
uthututhut
ux u x u x u x
Fxtuuu fxtuuu gxtuuu
tt xx x t
xx
t
xt xt xt
−=
∈
<
<
−=+=
==
=+
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪

⎪
ε
ε
ε
,, , , ,
(,) (,) (,) (,) ,
,
~
,
~
,
,, , , ,, , , ,, , ,
,,
,
.
Ω
0
00110
00
01
01

Trước hết ta chú ý rằng nếu
f
,
g
thỏa
(
)
H

5
, khi đó các đánh giá tiên nghiệm
của dãy xấp xỉ Galerkin
(
)
{}
u
m
k
trong chứng minh đònh lý 2.1 tương ứng với
f
=
F
ε
, với
ε<1, thỏa mãn

(
)
(
)
uWMT
m
k
∈
,
, (2.80)
trong đó các hằng số
M
,

T
độc lập với
ε
. Thật vậy, trong quá trình chứng minh,
chúng ta chọn các hằng số dương
M
và
T
trong (2.43)-(2.45), (2.47), (2.48) mà trong
đó các đại lượng
()
f
x
u
u
u
,,
~
,
~
,
~
0
001
∇
và
(
)
K
M

T
f
i
i
,, ,
,
=
01 sẽ được thay bởi

()
f
x
u
u
u
,,
~
,
~
,
~
0
001
∇ +
(
)
g
x
u
u

u
,,
~
,
~
,
~
0
001
∇
và
(
)( )
K
M
T
f
K
M
T
g
ii
,, ,,
+
theo thứ tự.

19

Vì vậy, giới hạn
u

ε
trong các không gian hàm thích hợp của dãy
(
)
{}
u
m
k
khi
k
→+∞, sau đó
m
→+∞, là lời giải yếu của bài toán
(
)
P
ε
thỏa mãn

(
)
u
W
M
T
ε
∈
,
. (2.81)
Khi đó, theo cách tương tự với chứng minh đònh lý 2.2, ta có thể chứng minh

được rằng giới hạn của họ
{
}
u
ε
trong các không gian hàm thích hợp khi ε→0 là lời
giải yếu duy nhất
u
0
của bài toán (
P
0
)(ứng với
ε
=
0
) thỏa mãn

(
)
u
W
M
T
0
∈
,
. (2.82)
Hơn nữa ta có đònh lý sau :
Đònh lý 2.3

[15]
Giả sử
()()
H
H
12
, và
(
)
H
5
đúng. Khi đó tồn tại các hằng số
M
> 0 và
T
> 0
sao cho, với mọi
ε
,
ε<1
, bài toán (P
ε
) có duy nhất một lời giải yếu
u
ε
∈
W
(
M
,

T
) thỏa
mãn một ước lượng tiệm cận

()
u
u
C
WT
ε
ε
−
≤
0
1
,
(2.83)
trong đó
C
là một hằng số chỉ phụ thuộc vào
h
h
T
01
,,,
(
)
K
M
T

g
0
,,

,
()
K
M
T
f
1
,,
, và
()
u
W
M
T
0
∈
,

là lời giải yếu duy nhất của bài toán
(
)
P
0
ứng với
ε
= 0.

Chứng minh
:
Đặt
u
u
u
=
−
ε 0
. Khi đó
u
thỏa mãn bài toán biến phân sau :

()
() ()
() ( ) ( )
()
&&
,,
~
,, ,
&
,
~
,,,,,
&
,, , ,
&
,
,, , ,

&
.
uv auv fv v v H
uu
f xt f xtu u u f xtu u u
ggxtu uu
+= ∀∈
==
=∇−∇
=∇
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
+g, ε
εεε
εεε
1
000
000
(2.84)
Trong (2.84), lấy
v
u
=
&
, sau khi tích phân theo

t
ta được

() () ()()() ()
()
()
&
,,,
&
,
&
,, .
ut aut ut K MT f
C
uauud
ud KMTgT
t
t
2
1
0
2
0
2
0
2
0
2
22
2

+≤ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++
++
∫
∫
τ
τε
(2.85)
Do đó

() () ()()() ()
()
()
&
,,,
&
,
,, .
ut aut ut K MT f
C
uauud
KMTgT
t
2

1
0
2
0
2
0
2
22
2
1+≤ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++
+
∫


τ
ε

(2.86)
Bằng cách áp dụng bổ đề Gronwall, từ (2.86) ta thu được


20

() () ()()
() ()
[]
&
,
,, exp ,, ,
ut aut ut
KMTgT KMTf
C
tt T
2
2
0
2
1
0
22
2
10
+
≤+
⎛
⎝
⎜

⎞
⎠
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∀∈ε , .
(2.87)
Kết hợp với bổ đề 2.2 ta có

() ()
u
u
u
C
WT WT
ε
ε
ε
−

=
≤
<
0
11
1,
.
. (2.88)
Vậy đònh lý 2.3 được chứng minh .
¦
Một kết quả mà chúng tôi tìm được tiếp theo sau là về khai triển tiệm cận của
lời giải yếu
u
ε
đến cấp 2 theo
ε
, với
ε
đủ nhỏ.
Chúng tôi đưa thêm giả thiết sau

()
[
)
()
[
)
(
)
HfC R C R

6
2313
00 , g∈×∞× ∈×∞×ΩΩ
,,
.
Gọi
()
uWMT
0
∈
,
là lời giải yếu của bài toán
(
)
P
0
như trong đònh lý 2.3. Gọi
()
u
W
M
T
1
∈
,
(với
M
,
T
thích hợp) là lời giải yếu duy nhất của bài toán

()
(
)
() ()
P
Lu F x t u u u x t T
Bu i
ux ux
i
1
11 111
1
11
0
001
000

, , ,
, ,
,
=∇∈<<
==
==
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
~

,, , ,
&
,
,
&
,
Ω

trong đó

()()()
()()
L
tx
F xtu u u uf xtu u u uf xtu u u
u f xtu u u gxtu u u
uu
u
x
=−
∇= ∇+∇ ∇+
+∇+∇
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2

1 1 11 1 0 00 1 0 00
1000 000
~
,, , ,
&
,, , ,
&
,, , ,
&
&
,, , ,
&
,, , ,
&
&
,
(2.89)
và
B
i
đònh nghóa như (2.5).

Giả sử
()
u
W
M
T
ε
∈

,
là lời giải yếu duy nhất của bài toán
(
)
P
ε
. Đặt

v
u
u
u
u
h
=
−
−
=
−
εε
ε
01
,
khi đó
v
thỏa mãn bài toán sau


[][]
[

]
[
]
(
)
(
)
() ()
L
v
f
v
h
f
h
g
v
h
g
h
x
t
x
t
T
Bv i
vx vx
i
=+−
+

+
−
+
∈
<
<
==
==
ε
α
ε
,, ,
,,
,
&
,.
,,
,
Ω
0
001
000
(2.90)
trong đó

()
[]
[
]
[

]
[
][]
(
)
[][]
()
αε ε ε
εε
,,
&
&
xt fu u fu ufu uf u ufu
gu u gu
uuu
x
=+− − +∇ + +
++−
01 0 10 1010
01 0
(2.91)


21

ở đây, để làm gọn cách viết, ta sử dụng ký hiệu

[]
(
)

f
u
f
x
t
u
u
u
xt
=
,, , ,
(2.92)
Chúng ta sử dụng khai triển Taylor đếùn cấp 2 cho
[
]
f
u
u
01
+
ε
và đến cấp 1
cho
[]
g
u
u
01
+ε tại
()

x
t
u
u
u
,, , ,
&
000
∇
. Sau đó do tính bò chận của các hàm
u
u
u
i
iii
,,
&
,
∇=, 01, trong không gian hàm
(
)
LTH
∞
0
1
,;
, ta thu được

()
(

)
αε ε
,,
~
,xt K xt Q
T
≤∈
2
, h.h , (2.93)
với

()
(
)
~
,, ,,KMKMTf MKMTg
=+932
2
21
, (2.94)

()
[
]
[
]
[
]
[
]

(
[] []
)
KMTf fu f u fu f u
fu f u
uu u
x
u
x
uu uu
x
uu u
x
u
2
,, sup
,
&&
&&
=
′′
+
′′
+
′′
+
′′
′′
+
′′

+
(2.95)
trong đó
sup
lấy trên
010 2≤≤ ≤≤ ∇ ≤
xtTuuuM
, , , ,
&
.
Bây giờ ta đònh nghóa dãy hàm
{
}
v
m
như sau

[][][][]
()()
() ()
v
Lv f v h f h g v h g h x t
xtT
Bv i
vx vx m
mm m
im
mm
0
11

0
0
001
0001
=
=+−+ +−+
∈<<
==
==≥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
−−
,
,
, ,
, ,
, .
εαε
,,
,
,
&
,

Ω
(2.96)

Với
m
= 1, ta có bài toán

()
() ()
Lv
x
t
x
t
T
Bv i
vx vx
i
1
1
11
0
001
000
=
∈
<
<
==
==

⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
αε
,,
,
,
&
,
, , ,
, ,
,
Ω
(2.97)
Tích vô hướng hai vế (2.97) với
&
v
1
, sau đó lấy tích phân theo
t
, kết hợp (2.93)
ta có

()
()
&
,
~

&
,,
vavvKTv
LTL
1
2
11
2
1
0
2
2
+≤
∞
ε
Vì vậy

()
v
C
KT
WT
1
0
2
1
21
1
≤+
⎛

⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
~
ε
. (2.98)
Ta sẽ chứng minh tồn tại một hằng số
C
T
độc lập
m
và
ε
sao cho

()
v
C
Cm
m
WT
T
1
0
2
1
1
1≤+

⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
<∀εε, ,
. (2.99)