Luận án tiến sĩ phương pháp hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẬU XUÂN LƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT
CHO BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2010


i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẬU XUÂN LƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT
CHO BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 62 46 01 01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU

PGS. TS. TRẦN VĂN ÂN

VINH - 2010


MỤC LỤC

Mục lục

i

Lời cam đoan

iv

Lời cảm ơn

1

Mở đầu

2

1

Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2

Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3

Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

4

Phạm vi nghiên cứu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

5

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

6

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . .

7

7

Tổng quan và cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . .

7

1 Hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân
1.1

11

Các kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của
bài tốn bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . .

12

1.2

Phép chiếu và mối quan hệ với bất đẳng thức biến phân

13

1.3

Phương pháp chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4

Phương pháp hàm phạt

19

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii


iii

1.5

Phương pháp kết hợp phạt-chiếu giải bài toán bất đẳng
thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.6

2 Hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân vector

yếu
36
2.1

Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân vector yếu . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2

Bài toán phạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3

Các định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3 Hàm phạt cho bài toán tối ưu đa mục tiêu
3.1

51

Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu
đa mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.2

Bài toán phạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.3

Các định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Kết luận và kiến nghị

62

1

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2

Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Danh mục cơng trình khoa học của nghiên cứu sinh liên
quan đến luận án
63
Tài liệu tham khảo

63


iv

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi, các
kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng
tác giả cho phép sử dụng và luận án hoàn toàn khơng trùng lặp với
bất kì tài liệu nào khác.

Đậu Xn Lương


1

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Lê Dũng
Mưu và PGS. TS Trần Văn Ân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
nhất tới các Thầy, những người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả
trong cả quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận án này.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Vinh,
lãnh đạo khoa Toán học, Khoa Sau đại học – Trường Đại học Vinh; Lãnh
đạo Viện Toán học, cùng tập thể GS và các Thầy, Cô của Trường Đại học
Vinh và Viện Toán học đã động viên giúp đỡ tạo nhiều điều kiện thuận
lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các nhà khoa học và các Thầy, Cô thuộc
Tổ Giải tích của Khoa Tốn học – Trường Đại học Vinh đã dành thời
gian đọc luận án và cho những ý kiến nhận xét quý báu.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Cao Đẳng Sư phạm Quảng Ninh
và Khoa Tự nhiên thuộc Trường Cao Đẳng Sư phạm Quảng Ninh, người
thân và bạn bè vì những góp ý, ủng hộ và động viên về tinh thần cũng
như vật chất cho tác giả.

Đậu Xuân Lương


2

MỞ ĐẦU

1

Lí do chọn đề tài

1.1 Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 60

([50, 20, 32]), là một công cụ mạnh và thống nhất để nghiên cứu các bài
toán cân bằng. Cho đến nay, những bài toán được quy về các bài toán
bất đẳng thức biến phân gồm có: bài tốn cân bằng mạng giao thơng
(Traffic Network Equilibrium Problem) và bài tốn gần với nó là bài tốn
cân bằng giá khơng gian (Spatial Price Equilibrium Problem) (tham khảo
chẳng hạn [8, 47, 9, 42, 41]), các bài tốn cân bằng tài chính (Financial
Equilibrium Problem), cân bằng nhập cư (Migration Equilibrium Problem), hệ thống môi trường (Environmental Network Problem) và mạng
kiến thức (Knowledge Network Problem) ([11, 25, 26, 10, 40, 41, 29]).
Phương pháp hàm phạt là một trong các phương pháp quan trọng
để giải các bài toán bất đẳng thức biến phân (tham khảo chẳng hạn
[38, 23, 39, 1, 51]). Nhờ vào phương pháp này, một bài tốn với miền
ràng buộc phức tạp có thể được chuyển về một dãy các bài tốn khơng
ràng buộc hoặc với ràng buộc đơn giản hơn. Trong khi đó, phương pháp
chiếu là một lớp phương pháp đơn giản và hiệu quả, đặc biệt đối với các
bài toán thỏa mãn điều kiện đơn điệu. Nhược điểm duy nhất của phương
pháp này là ta phải tính hình chiếu của một điểm lên một miền lồi bất kỳ,
và đó là một bài tốn rất khó trong trường hợp tổng qt, khi mà miền
đó khơng có hình dạng đặc biệt. Do đó, kết hợp phương pháp hàm phạt


3

và phương pháp chiếu sẽ khắc phục được nhược điểm này của phương
pháp chiếu.
1.2

Khái niệm bất đẳng thức biến phân vector được giới thiệu bởi

Giannessi [16]. Từ đó tới nay, người ta đã tìm được nhiều ứng dụng của
bài tốn bất đẳng thức biến phân vector (Vector Variational Inequality

Problem, viết tắt là VVIP) và bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu
(Weak Vector Variational Inequality Problem, viết tắt là WVVIP) trong
bài toán tối ưu đa mục tiêu (Multiobjective Optimization Problem, viết
tắt là MOP) (tham khảo chẳng hạn [16, 2, 4, 53, 18], trong bài toán xấp
xỉ vector (Vector Approximation Problem) ([54]), và trong bài tốn cân
bằng giao thơng vector (Vector Traffic Equilibrium Problem) ([55]). Sự
tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu cũng được
nghiên cứu trong nhiều cơng trình (tham khảo chẳng hạn [6, 4, 3, 31, 12]).
Để có thể ứng dụng bài tốn bất đẳng thức biến phân vector yếu vào
thực tiễn, đòi hỏi phải có các thuật tốn giải số hiệu quả cho bài toán
này. Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tơi, cho tới nay chỉ có một vài
cơng trình nghiên cứu về các thuật toán để giải bài toán bất đẳng thức
biến phân vector yếu ([18, 19]). Từ rất lâu, phương pháp hàm phạt đã
được áp dụng để giải các bài toán tối ưu và các bài toán bất đẳng thức
biến phân dạng thường, đưa một bài toán với miền ràng buộc phức tạp
về một dãy các bài tốn có ràng buộc đơn giản hơn hoặc khơng có ràng
buộc. Tuy nhiên, cho tới nay chưa có bất cứ cơng trình nào nghiên cứu
áp dụng phương pháp này cho bài toán bất đẳng thức biến phân vector
yếu mà chúng tôi được biết.
1.3 Khái niệm nghiệm tối ưu Pareto (mà trong luận án này chúng tơi
gọi là nghiệm Pareto) của bài tốn tối ưu đa mục tiêu xuất hiện đầu tiên
trong các cơng trình của Edgeworth [13] và Pareto [44]. Một điểm x được
gọi là nghiệm Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu với hàm mục tiêu
f = (f1 , . . . , fk ) (k mục tiêu) nếu khơng có một điểm nào khác tốt hơn


4

điểm đó, nghĩa là khơng tồn tại một điểm y = x sao cho fi (y) ≤ fi (x)
với mọi i = 1, . . . , k, và fj (y) < fj (x) với một chỉ số j nào đó. Điểm x

được gọi là nghiệm Pareto yếu của bài tốn tối ưu đa mục tiêu nếu khơng
có một điểm nào khác tốt hơn điểm đó xét trên tất cả các mục tiêu, nghĩa
là không tồn tại y sao cho fi (y) < fi (x) với mọi i = 1, . . . , k.
Bài toán tối ưu đa mục tiêu có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh
vực, trong cả khoa học và cuộc sống. Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu được
sử dụng trong bài toán xấp xỉ vector (Vector Approximation Problem),
lý thuyết trò chơi (Game Theory), các bài toán quản lý và hoạch định tài
nguyên (Resource Planning and Management), lý thuyết phúc lợi (Welfare
Theory), các bài toán trong kỹ thuật như điều khiển phi cơ, các hệ thống
cơ khí chính xác, .v.v.. (tham khảo chẳng hạn [48, 49, 33, 24]).
Phương pháp hàm phạt áp dụng cho bài toán tối ưu đa mục tiêu đã
được nghiên cứu trong một vài cơng trình gần đây (tham khảo [52, 21,
22, 34]). Trong [34], Liu và Feng nghiên cứu nghiệm Pareto yếu của bài
toán MOP(D, f ) sử dụng một hàm phạt mũ. Liu và Feng đã chứng minh
rằng nếu x là một điểm giới hạn của một dãy các nghiệm Pareto yếu của
các bài toán phạt và x chấp nhận được (nghĩa là x ∈ D), thì x là một
nghiệm Pareto yếu của bài toán ban đầu. Như vậy, các định lý hội tụ của
họ dựa trên giả thiết rằng điểm giới hạn x của dãy các nghiệm Pareto
yếu của các bài toán phạt nằm trong miền ràng buộc D. Giả thiết này là
một điểm bất lợi trong cách tiếp cận bài toán tối ưu đa mục tiêu với hàm
phạt mũ của Liu và Feng. Từ đó nảy sinh u cầu phải có một mơ hình
hàm phạt cho các kết quả hội tụ tốt hơn, khắc phục được nhược điểm của
mơ hình đề xuất trong [34].
Với các lí do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Phương pháp hàm
phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân” làm đề tài luận án
tiến sĩ. Đề tài tập trung nghiên cứu những vấn đề sau.
(1) Kết hợp phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu để có một


5

thuật tốn hồn chỉnh giải các bài tốn bất đẳng thức biến phân dạng
VIP(D, f ), với D lồi đóng khác rỗng và f đơn điệu, liên tục Lipschitz.
Bằng cách này, ta khắc phục được trở ngại lớn nhất của phương pháp
chiếu là sự khó khăn khi tính tốn hình chiếu của một điểm lên một miền
lồi bất kỳ.
(2) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển một bài toán bất đẳng
thức biến phân vector yếu với ràng buộc trên một miền D lồi đóng bất
kỳ về một dãy các bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu với miền
ràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi là các bài tốn phạt. Ta có thể chọn
K = Rk , nghĩa là các bài tốn phạt sẽ khơng có ràng buộc.
(3) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển một bài toán tối ưu đa
mục tiêu với ràng buộc trên một miền D lồi đóng bất kỳ về một dãy các
bài toán tối ưu đa mục tiêu với miền ràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi
là các bài tốn phạt. Ta có thể chọn K = Rk , nghĩa là các bài tốn phạt
sẽ khơng có ràng buộc. Bằng cách sử dụng hàm phạt ngồi, chúng tơi thu
được các kết quả hội tụ tốt hơn so với các kết quả nêu trong [34]. Ngồi
ra, chúng tơi cịn chỉ ra điều kiện đủ để các bài toán phạt đều có nghiệm
Pareto yếu, đồng thời dãy các nghiệm đó có ít nhất một điểm giới hạn và
đó chính là một nghiệm của bài tốn ban đầu.

2

Mục đích nghiên cứu

Luận án nhằm mục đích nghiên cứu áp dụng phương pháp hàm phạt
cho bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân
vector yếu và bài toán tối ưu đa mục tiêu, trong đó bài tốn cuối cùng
trong một số trường hợp đặc biệt là tương đương với bài toán bất đẳng
thức biến phân vector yếu. Qua đó, luận án đưa ra những thuật tốn mới

cho các bài toán vừa nêu ở trên.


6

3

Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp hàm phạt, bài toán bất đẳng thức biến phân dạng thường

và dạng vector yếu, bài toán tối ưu đa mục tiêu.

4

Phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bất

đẳng thức biến phân vector yếu và bài toán tối ưu đa mục tiêu trong
không gian Euclide hữu hạn chiều Rk .

5

Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết trong khi thực
hiện đề tài. Trong chương thứ nhất, bằng việc kết hợp lợi thế của phương
pháp hàm phạt và phương pháp chiếu, chúng tôi đã khắc phục được trở
ngại lớn nhất của phương pháp chiếu là khó khăn trong việc tính hình
chiếu của một điểm lên một miền lồi bất kỳ. Trong chương thứ hai, chúng
tôi nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụng cho bất đẳng thức biến

phân vector yếu, sử dụng các kỹ thuật chứng minh truyền thống trong
lý thuyết hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân và cho bài
tốn tối ưu để chứng minh tính hội tụ của thuật tốn. Điểm khác với các
cơng trình nghiên cứu về bài tốn bất đẳng thức biến phân (dạng thường)
trước đó là chúng tơi đổi vị trí của tham số phạt khi xây dựng bài tốn
phạt. Nhờ đó tính hội tụ của thuật toán được chứng minh. Trong chương
thứ ba, thay vì áp dụng hàm phạt mũ như trong [34], chúng tơi sử dụng
hàm phạt ngồi và áp dụng kỹ thuật chứng minh trong [38], nhờ đó thu
được các kết quả hội tụ tốt hơn các kết quả nêu trong [34].


7

6

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Kết quả của luận án góp phần giải quyết vấn đề giải số các bài toán

bất đẳng thức biến phân dạng thường và dạng vector yếu và bài toán tối
ưu đa mục tiêu.
Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên
cứu sinh chun ngành Tốn giải tích.

7
7.1

Tổng quan và cấu trúc luận án
Tổng quan luận án

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu phương pháp hàm phạt cho

bài toán bất đẳng thức biến phân (dạng thường), bài toán bất đẳng thức
biến phân vector và bài toán liên quan với nó là bài tốn tối ưu đa mục
tiêu.
Chương 1 nghiên cứu vấn đề kết hợp phương pháp hàm phạt và phương
pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân. Chúng tôi nhắc lại
một số định nghĩa và kết quả cơ bản về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
bài toán bất đẳng thức biến phân. Phương pháp chiếu và phương pháp
hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân được trình bày tương
ứng trong các mục 1.3 và 1.4. Kết quả chính của chương này được trình
bày trong mục 1.5. Trong mục này, chúng tơi đưa ra Thuật tốn 3, kết
hợp các phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu để giải bài toán
bất đẳng thức biến phân. Thuật toán này trước hết chuyển một bài toán
bất đẳng thức biến phân ràng buộc trên một miền lồi đóng D bất kỳ
về một dãy các bài toán phạt với ràng buộc đơn giản hơn, sau đó giải
mỗi bài tốn phạt này bằng phương pháp chiếu. Vì các bài tốn phạt có
miền ràng buộc đơn giản, việc tính hình chiếu của một điểm bất kỳ lên


8

miền ràng buộc đó trở nên dễ dàng hơn. Do đó phương pháp chiếu có
thể giải các bài tốn phạt một cách hiệu quả. Chúng tơi minh họa Thuật
tốn 3 trong ba ví dụ 1.6.1, 1.6.2, và 1.6.3, giải số bài toán bất đẳng thức
biến phân trong trường hợp hai chiều và nhiều chiều, trong đó trường hợp
nhiều chiều lấy theo mơ hình Nash ([28]). Kết quả của Chương 1 được
công bố trong [37].
Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụng
cho bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu WVVIP(D, F ). Kết quả
cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vector
yếu mà chúng tôi sử dụng trong chương này là Định lý 2.1.3 ([6]). Trong

định lý này, tính chất cơ bản mà ánh xạ F cần phải thoả mãn là tính
bức yếu trên D trong trường hợp miền D không bị chặn. Chúng tôi đưa
ra khái niệm D-bức trên K. Với ánh xạ F thỏa mãn điều kiện D-bức
trên K, sự tồn tại nghiệm của các bài toán phạt WVVIP(K, F (t) ) với
t > 0 được đảm bảo. Kết quả này được chứng minh trong Bổ đề 2.2.5.
Trong mục 2.3, chúng tơi trình bày các định lý hội tụ cho mơ hình hàm
phạt. Trước hết, với Bổ đề 2.3.1, chúng tôi chứng minh rằng một điểm
giới hạn bất kỳ của một dãy các nghiệm của bài toán phạt là một điểm
chấp nhận được, nghĩa là nó thuộc vào miền ràng buộc của bài tốn bất
đẳng thức biến phân vector yếu ban đầu. Tiếp theo, với giả thiết về tính
liên tục của ánh xạ F , trong Định lý 2.3.2 chúng tôi chứng minh rằng
một điểm giới hạn bất kỳ của một dãy các nghiệm của các bài toán phạt
WVVIP(K, F (t) ) khi tham số phạt t tiến ra vô cùng sẽ là một nghiệm
của bài tốn ban đầu WVVIP(D, F ). Chúng tơi đưa ra một tính chất
mạnh hơn tính chất D-bức trên K, đó là tính chất D-bức mạnh trên K
của ánh xạ F : Rk → Rr×k . Định lý 2.3.4 chứng minh rằng nếu F là một
ánh xạ liên tục, đơn điệu, thỏa mãn điều kiện D-bức mạnh trên K, thì
(1) các bài tốn phạt ln có ít nhất một nghiệm;


9

(2) một dãy nghiệm bất kỳ của các bài toán phạt ln bị chặn và do đó
có ít nhất một điểm giới hạn;
(3) một điểm giới hạn bất kỳ của dãy các nghiệm của các bài toán phạt
sẽ là nghiệm của bài toán ban đầu.
Kết quả của Chương 2 được công bố trong [35].
Trong Chương 3, chúng tôi áp dụng phương pháp hàm phạt cho bài
toán tối ưu đa mục tiêu MOP(D, f ). Sử dụng các kết quả về sự tồn tại
nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu ([30]) và sự tồn tại

nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu ([6]), trong Bổ
đề 3.2.1 chúng tôi đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của các
bài toán phạt MOP(K, f (t) ) với t > 0. Các kết quả chính về sự hội tụ
của thuật tốn phạt được trình bày trong mục 3.3. Bổ đề 3.3.1 chứng
minh tính chấp nhận được của một điểm giới hạn của một dãy bất kỳ
các nghiệm Pareto yếu của các bài toán phạt MOP(K, f (t) ) khi t tiến ra
vô cùng. Dựa vào bổ đề này, Định lý 3.3.2 chứng tỏ rằng một điểm giới
hạn bất kỳ của một dãy các nghiệm Pareto yếu của các bài toán phạt
MOP(K, f (t) ) khi t tiến ra vô cùng là một nghiệm Pareto yếu của bài
toán ban đầu MOP(D, f ). Dùng kỹ thuật bao nghiệm Pareto yếu của
các bài toán phạt bởi một hình cầu, trong Định lý 3.3.3 chúng tơi đưa ra
một điều kiện đủ để
(1) các bài tốn phạt ln có ít nhất một nghiệm;
(2) một dãy nghiệm bất kỳ của các bài tốn phạt ln bị chặn và do đó
có ít nhất một điểm giới hạn;
(3) một điểm giới hạn bất kỳ của dãy các nghiệm của các bài toán phạt
sẽ là nghiệm của bài toán ban đầu.
Kết quả của Chương 3 được công bố trong [36].


10

7.2

Cấu trúc luận án

Nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương. Ngồi ra,
luận án có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết
luận và kiến nghị, Danh mục cơng trình khoa học của nghiên cứu sinh
liên quan đến luận án, và Tài liệu tham khảo.

Chương 1 trình bày về sự kết hợp giữa phương pháp hàm phạt và
phương pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân, bao gồm
6 mục. Mục 1.1 trình bày các kết quả cơ bản về sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, Mục 1.2 trình bày phép
chiếu và mối quan hệ với bài toán bất đẳng thức biến phân, Mục 1.3 trình
bày về phương pháp chiếu, Mục 1.4 trình bày về phương pháp hàm phạt,
Mục 1.5 trình bày về phương pháp kết hợp giải bài toán bất đẳng thức
biến phân, Mục 1.6 trình bày các ví dụ.
Chương 2 trình bày về phương pháp hàm phạt áp dụng cho bài toán
bất đẳng thức biến phân vector yếu, bao gồm 3 mục. Mục 2.1 trình bày
các kết quả cần dùng về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân vector yếu, Mục 2.2 trình bày về bài tốn phạt và điều kiện
có nghiệm của bài tốn phạt, Mục 2.3 trình bày các định lý hội tụ của
phương pháp.
Chương 3 trình bày về phương pháp hàm phạt áp dụng cho bài toán
tối ưu đa mục tiêu, bao gồm 3 mục. Mục 3.1 trình bày các kết quả cần
dùng về sự tồn tại nghiệm Pareto yếu của bài tốn tối ưu đa mục tiêu,
Mục 3.2 trình bày về bài tốn phạt và điều kiện có nghiệm của bài tốn
phạt, Mục 3.3 trình bày các định lý hội tụ của phương pháp.


11

CHƯƠNG 1
HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN

Giả sử D ⊂ Rn là một tập lồi đóng khác rỗng và f : Rn → Rn là một
ánh xạ bất kỳ. Ký hiệu ·, · là tích vơ hướng trên Rn . Xét bài toán bất
đẳng thức biến phân sau đây

VIP(D, f ) :

Tìm x ∈ D, sao cho f (x), y − x ≥ 0, với mọi y ∈ D.

Tập nghiệm của VIP(D, f ) được kí hiệu là S. Tập D được gọi là miền
ràng buộc của bài toán; f được gọi là ánh xạ giá của bài toán.
Nếu f là gradient của một ánh xạ lồi g thì VIP(D, f ) tương đương với
bài tốn tìm cực tiểu của g trên D. Tuy nhiên, không phải bài toán bất
đẳng thức biến phân nào cũng tương đương với một bài toán quy hoạch
lồi.
Phương pháp chiếu (tham khảo [15], Chương 12) là một lớp phương
pháp đơn giản và hiệu quả để giải các bài toán bất đẳng thức biến phân
với giả thiết tối thiểu f giả đơn điệu và liên tục. Trở ngại chính trong
phương pháp này là việc tính tốn hình chiếu lên một tập lồi bất kỳ khơng
hề đơn giản. Đó là một bài tốn qui hoạch tồn phương với miền xác định
lồi. Nếu D khơng có hình dạng đặc biệt thì việc xác định hình chiếu lên
D là một bài tốn khó giải.
Trong khi đó, phương pháp hàm phạt (xem [38]) cho phép đưa bài toán


12

bất đẳng thức biến phân trên miền lồi đóng (bị chặn) bất kỳ về một dãy
các bài toán bất đẳng thức biến phân trên một miền bất kỳ bao miền lồi
ban đầu. Ý tưởng của chúng tôi là: đối với VIP(D, f ) trong đó D là một
miền lồi đóng bất kỳ, trước tiên dùng phương pháp hàm phạt để đưa nó
về một dãy các bài tốn trên một miền K bao D, sau đó dùng phương
pháp chiếu để giải mỗi bài toán trên K. Miền K được xác định sao cho
việc tính tốn hình chiếu của một điểm lên K là dễ dàng. Trong trường
hợp K là hình hộp, hình cầu hay khơng gian con, vì phép chiếu của một

điểm lên K có cơng thức hiển đơn giản nên trở ngại chính của phương
pháp chiếu được khắc phục.

1.1

Các kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất
nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân

Chúng tơi nhắc lại một vài định nghĩa và kết quả cần thiết.
1.1.1 Định lí. ([15], Hệ quả 2.2.5)
(i) Nếu D là một tập lồi compắc khác rỗng và f liên tục trên D thì
VIP(D, f ) có ít nhất một nghiệm.
(ii) Nếu f thỏa mãn điều kiện bức, nghĩa là
lim
x∈D,||x||→∞

f (x) − f (x), x − x
=∞
||x − x||

với x ∈ D nào đó, thì VIP(D, f ) có ít nhất một nghiệm.
1.1.2 Định nghĩa. ([15], Định nghĩa 2.3.1) Ánh xạ f : D → Rn được
gọi là


13

(i) đơn điệu trên D nếu
f (x) − f (y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ D;

(ii) đơn điệu ngặt trên D nếu
f (x) − f (y), x − y

> 0,

∀x, y ∈ D và x = y;

(iii) đơn điệu mạnh trên D nếu tồn tại hằng số α > 0 sao cho
f (x) − f (y), x − y ≥ α||x − y||2 ,

∀x, y ∈ D;

(iv) liên tục Lipschitz trên D nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho
||f (x) − f (y)|| ≤ L||x − y||,

∀x, y ∈ D;

(v) giả đơn điệu trên D tương ứng với S nếu S = ∅ và
∀x ∈ S : f (y), y − x ≥ 0,

∀y ∈ D.

Một thí dụ điển hình của ánh xạ đơn điệu (mạnh) là đạo hàm của một
hàm lồi (mạnh).
1.1.3 Định lí. ([15], Định lý 2.3.3)
(i) Nếu f đơn điệu ngặt trên D thì VIP(D, f ) có nhiều nhất là một
nghiệm.
(ii) Nếu f đơn điệu mạnh trên D thì VIP(D, f ) có nghiệm duy nhất.

1.2

Phép chiếu và mối quan hệ với bất đẳng thức
biến phân

1.2.1 Định nghĩa. Giả sử D là một tập con lồi đóng khác rỗng của Rn .
Với mọi vector x ∈ Rn , ta định nghĩa
d(D, x) = inf ||x − y||.
y∈D


14

Hàm d(D, .) được gọi là hàm khoảng cách tương ứng với chuẩn Euclide
của x tới D. Nếu tồn tại y ∈ D sao cho d(D, x) = ||x − y|| thì y được
gọi là hình chiếu vng góc hay hình chiếu Euclide của x lên D (gọi
tắt là hình chiếu của x lên D), và được ký hiệu bởi PD (x).
Mệnh đề sau mô tả mối quan hệ giữa phép chiếu và tập nghiệm S của
bài toán bất đẳng thức biến phân.
1.2.2 Mệnh đề ([15], Mục 12.1.1). Cho D ⊂ Rn là một tập con lồi
đóng khác rỗng và f : Rn → Rn là một ánh xạ bất kỳ. Khi đó với
ξ > 0 bất kỳ ta có
x ∈ S⇐⇒f nat (x) = 0,
D
trong đó
f nat (x) ≡ x − PD (x − ξf (x)).
D
1.2.3 Nhận xét. Nếu D là một tập con lồi đóng khác rỗng thì hình
chiếu của một điểm bất kỳ lên D ln tồn tại và là duy nhất. Nếu K là

một hình hộp, hình cầu, hay một khơng gian con thì tính hình chiếu của
một điểm lên K rất dễ dàng.
A. Hình chiếu của một điểm lên một hình hộp
Giả sử rằng
K = {x = (x1 , x2 , ..., xn )T ∈ Rn : ai ≤ xi ≤ bi , i = 1, 2, ..., n},
a = (a1 , a2 , ..., an )T ; b = (b1 , b2 , ..., bn )T ∈ Rn .
Khi đó hình chiếu của x lên K được xác định như sau

a , x < a ,
 i
i
i


(PK (x))i = xi , xi ∈ [ai , bi ],



b , x > b .
i

i

i

(1.1)


15

B. Hình chiếu của một điểm lên một hình cầu
Giả sử
x = (x1 , x2 , ..., xn )T ∈ Rn ,
và C là một hình cầu bán kính R tâm
A = (a1 , a2 , ..., an )T ∈ Rn ,
xác định bởi

n
n

(zi − ai )2 ≤ R2 }.

C = {z ∈ R :
i=1

Ta cần tìm hình chiếu y = PC (x) của x lên C. Nếu x ∈ C, ta có y ≡ x.
Nếu x ∈ C, hình chiếu của x lên C là giao điểm của đường thẳng nối x
và tâm A của C, ký hiệu là ∆, với mặt cầu
n
n

(zi − ai )2 = R2 }.

S = {z ∈ R :
i=1

Ta có
∆ = {z ∈ Rn : zi = ai + t(xi − ai ), i = 1, 2, . . . , n, t ∈ R}.
Thay zi = ai + t(xi − ai ) vào phương trình của S, ta thu được
n

2

(xi − ai )2 = R2 .

t

i=1

Do đó

1/2

n

(xi − ai )2

t=R

.

i=1

Vì vậy y có tọa độ như sau
yi = ai + (xi − ai )

R
(

n
i=1 (xi

− ai

1/2
)2 )

,

i = 1, 2, . . . , n.

C. Hình chiếu của một điểm lên một khơng gian con


16

Giả sử L ⊂ Rn là một không gian con k chiều với một cơ sở
B = {η 1 , η 2 , . . . , η k }.
Giả sử
x ∈ Rn ,
và

k

yj η j ∈ L,

y=
j=1

trong đó yj là các hệ số thực sao cho w = x − y thỏa mãn
w, η j = 0,

với mọi j = 1, 2, . . . , k (ta sẽ tìm y thỏa mãn điều kiện này sau). Khi
đó y là hình chiếu của x lên L. Thật vậy, vì w trực giao với mọi vector
trong cơ sở của L nên nó cũng trực giao với mọi vector của L. Do đó, với
z ∈ L,
||x − z||2 = x − y + y − z, x − y + y − z
= x − y, x − y + y − z, y − z + 2 w, y − z
= ||x − y||2 + ||y − z||2
≥ ||x − y||2 .
Vì vậy y là hình chiếu của x lên L. Bây giờ ta tìm vector y như thế. Với
mọi i = 1, 2, . . . , k, ta có
x − y, η i = 0.
Nói cách khác, với mọi i = 1, 2, . . . , k ta có
k

η i , η j yj = x, η i .
j=1

Với 1 ≤ i, j ≤ k đặt
aij = η i , η j ,

(1.2)


17

và
bi = x, η i .
Khi đó từ (1.2) ta thu được một hệ tuyến tính k phương trình k ẩn
Ay = b,
trong đó

A = (aij ),
và
b = (b1 , b2 , . . . , bk )T .
Hơn nữa theo định nghĩa, A là một ma trận xác định dương, nghĩa là
det(A) = 0.
Do đó hệ này có đúng một nghiệm. Vì
k

y=

yj η j ,
j=1

một khi ta biết yi , ta xác định được y. Nếu B được chọn là một cơ sở
trực chuẩn của L, nghĩa là

0, i = j
ηi, ηj =
1, i = j,
thì A là ma trận đơn vị. Do đó ta lập tức tính được
yi = bi = x, η i ,

1.3

i = 1, 2, . . . , k.

Phương pháp chiếu

Ta chỉ đề cập ở đây phương pháp chiếu hai lần, vì có thể sử dụng
phương pháp này cho cả VIP(D, f ) với f giả đơn điệu. Trong khi đó

18

phương pháp chiếu một lần có thể khơng hội tụ ngay cả khi f là đơn
điệu. Hơn nữa, khi D có hình dạng đặc biệt thì khối lượng tính tốn
trong mỗi bước lặp là nhỏ nhất so với các phương pháp chiếu khác (vấn
đề phân loại các phương pháp chiếu có thể tham khảo trong [15]). Thuật
tốn chiếu được mơ tả dưới đây.
Thuật toán 1. ([15], Mục 12.1.2)
Dữ liệu: x(0) ∈ D và η > 0.
Bước 0: Đặt k = 0.
Bước 1: Nếu x(k) ∈ S, nghĩa là x(k) = PD (xk − ηf (x(k) )), dừng và trả
ra x(k) là một nghiệm.
Bước 2: Tính
x(k+1/2) = PD (x(k) − ηf (x(k) )),
x(k+1) = PD (x(k) − ηf (x(k+1/2) )).
Gán k := k + 1 và quay lại Bước 1.
Trong Thuật toán 1 tham số η > 0 được gọi là độ dài bước. Sự thay
đổi của η sẽ có ảnh hưởng tới tốc độ hội tụ của thuật toán. Sự hội tụ của
Thuật toán 1 được đảm bảo bởi định lý sau.
1.3.1 Định lí. ([15], Bổ đề 12.1.10, Định lý 12.1.11) Cho D ⊂ Rn là
một tập lồi đóng khác rỗng và f : D → Rn là một ánh xạ giả đơn
điệu trên D tương ứng với S và liên tục Lipschitz trên D với hằng số
L > 0.
(i) Với mọi x ∈ S và với mọi k ∈ N, ta có
||x(k+1) − x||2 ≤ ||x(k) − x||2 − (1 − η 2 L2 )||x(k+1/2) − x(k) ||2 .
(ii) Nếu 0 < η < 1/L thì dãy {x(k) } sinh bởi Thuật toán 1 hội tụ về
một nghiệm của VIP(D, f ).

19

1.4

Phương pháp hàm phạt

Phương pháp hàm phạt được trình bày sau đây được đề xuất bởi
L. D. Muu [38].
Cho D là một tập con lồi đóng khác rỗng của Rn , K là một tập con
của Rn chứa D. Ta sẽ xây dựng một hàm lồi khả vi P : K → R thỏa
mãn
P (x) ≤ 0⇐⇒x ∈ D.

(1.3)

Hàm P thỏa mãn (1.3) được gọi là hàm phạt của D. Một hàm P thỏa
mãn (1.3) còn được gọi là hàm thưởng-phạt, hay còn gọi là hàm phạt
kiểu Lagrange. Khác với hàm phạt điểm ngồi thơng thường địi hỏi phải
triệt tiêu trên miền ràng buộc D, hàm thưởng-phạt cho phép nhận giá trị
âm tại các điểm thuộc D. Đối với một hàm phạt P thơng thường, ta có
P (x) = 0 với mọi x ∈ D. Điều này có nghĩa lượng phạt sẽ là 0 đối với
mọi phương án thuộc D. Trong khi đó loại hàm thưởng-phạt lượng phạt
sẽ khác nhau đối với mỗi phương án thuộc D. Nếu P (x) < 0, có nghĩa
lượng phạt là âm (tức là thưởng). Nếu
D = {x ∈ Rn : gi (x) ≤ 0 , i = 1, 2, ..., m},
trong đó gi : Rn → R là các hàm lồi khả vi thì hàm phạt P có thể lấy
như sau
m
[max{0, gi (x)}]2 .

P (x) :=

(1.4)

i=1

Dễ thấy P thỏa mãn (1.3), hơn nữa P khả vi khi P được lấy theo (1.4).
Thật vậy, xét
hi (x) := [max{0, gi (x)}]2 = (α ◦ gi )(x),
trong đó

x2 , x > 0,
2
α(x) := [max{0, x}] =
0, x ≤ 0.


20

Dễ thấy với x > 0 ta có α (x) = 2x và với x < 0 ta có α (x) = 0. Tại
x = 0, đạo hàm bên phải của α bằng 0
(∆x)2
α(0 + ∆x) − α(0)
= lim +
= 0,
lim
∆x→0
∆x→0+
∆x

∆x
và bằng đạo hàm bên trái. Do đó α(x) khả vi trên R. Vì gi khả vi, hi là
hàm hợp của hai hàm khả vi, cũng khả vi, với mọi i = 1, . . . , m; nghĩa là
P (x) khả vi trên Rn . Hoặc có thể lấy
P (x) = max (gi (x)).
1≤i≤m

(1.5)

Trong trường hợp này, nếu m = 1 và g1 khả vi thì P ≡ g1 cũng khả vi.
Bây giờ ta xây dựng các bài toán phạt sử dụng hàm phạt vừa định
nghĩa ở trên. Với mỗi t > 0, đặt f (t) = tf + P . Dễ thấy rằng f (t) là
đơn điệu với mọi t > 0 nếu f là đơn điệu. Ta xét bài toán bất đẳng thức
biến phân ứng với tham số phạt t, ký hiệu
VIP(K, f (t) ) : Tìm x(t) ∈ K sao cho f (t) (x(t) ), x−x(t) ≥ 0 , ∀x ∈ K,
trong đó K ⊃ D là một tập lồi đóng bao D sao cho hình chiếu của một
điểm bất kỳ của Rn lên K có thể được xác định dễ dàng, thậm chí là bởi
một cơng thức hiển (ví dụ K là một hình hộp, một hình cầu hay một
khơng gian con).
Kí hiệu S(t) là tập nghiệm của VIP(K, f (t) ) và đặt
t∗ = sup{t ≥ 0 : S(t) ⊂ D}.
1.4.1 Bổ đề ([38]). Giả sử f là ánh xạ đơn điệu trên K, P là một
hàm phạt lồi, khả vi, thỏa mãn (1.3) và bị chặn dưới. Khi đó
(i) S(t) ∩ D = ∅ nếu t > t∗ ,
(ii) S(t) ⊂ D nếu 0 < t < t∗ ,