Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7

Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
PHẦN ĐẠI SỐ
Chuyên đề 1 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa.
a) Giá trị tuyệt đối của một số:
Giá trị tuyệt đối của một số a, ký hiệu
a
, là số đo của khoảng cách từ điểm
biểu diễn số a đến điểm gốc trên trục số.
Ta thường viết định nghĩa dưới dạng:
a
a
a
≥

=

−

nÕu a 0
nÕu a < 0
b) Giá trị tuyệt đối của một biểu thức chứa biến:
Định nghĩa trên vẫn đúng nếu ta thay số a bởi biểu thức A(x), nghĩa là:
( ) ( )
( )
( ) ( )
A x A x
A x
A x A x
≥


=

−

nÕu 0
nÕu < 0
2. Tính chất.
*Tính chất 1: Giá trị tuyết đối của một số không âm. Ta có:
0x ≥
, dấu bằng xảy ra khi x = 0.
*Tính chất 2: Giá trị tuyết đối của một số lớn hơn hoặc bằng số đó. Ta có:
x x≥
, dấu bằng xảy ra khi
0x ≥
.
*Tính chất 3: Giá trị tuyết đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. Ta có:
a b c a b c× ×××× = × ××××
*Tính chất 4: Cho số m > 0, thì:
x m m x m< ⇔ − < <
x m
x m
x m
< −

> ⇔

>

*Tính chất 5: Giá trị tuyết đối của một tổng bé hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt

đối. Ta có:
x y x y+ ≤ +
, dấu bằng xảy ra khi:
0xy ≥
.
*Tính chất 6: Giá trị tuyết đối của một hiệu lớn hơn hoặc bằng hiệu các giá trị tuyệt
đối. Ta có:
x y x y− ≥ −
, dấu bằng xảy ra khi:
0x y≥ ≥
hoặc
0x y≤ ≤
.
3. Dạng bài tập cơ bản thường gặp:
3.1.Dạng tính giá trị tuyệt đối của một biểu thức.
Ví dụ: (Bài tập 29- sách bài tập toán 7, trang 8)
Tính giá trị của biểu thức M = a + 2ab - b với
1,5a =
; b = -0,75.
Giải:
Do
1,5a =
suy ra a = 1,5 hoặc a = -1,5. Ta xét hai trường hợp:
+Nếu a = 1,5 thì M = a + 2ab - b = 1,5 + 2.1,5.(-0,75) - (-0,75) = 0.
+Nếu a = -1,5 thì M = a + 2ab - b = -1,5 + 2.(-1,5).(-0,75) - (-0,75) =
1
1
2
.
3.2.Dạng rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức
( )
3 2 1 5A x x= − − −
1
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Giải:
Ta có:
5 5 5 0 5x x khi x x− = − − ≥ ⇔ ≥

và
5 5 5 0 5x x khi x x− = − − < ⇔ <
.
Ta xét hai trường hợp:
+ Nếu
5x
≥
thì
( ) ( ) ( )
3 2 1 5 3 2 1 5 6 3 5 5 2A x x x x x x x= − − − = − − − = − − + = +
+ Nếu
5x
<
thì
( ) ( ) ( )
3 2 1 5 3 2 1 5 6 3 5 7 8A x x x x x x x= − − − = − − − = − − + = −
3.3.Dạng tìm giá trị của biến trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Tìm x biết rằng
2 3 1 1 5x − + =
.
Giải:

Ta có:
2 3 1 1 5
2 3 1 4
3 1 2
x
x
x
− + =
⇔ − =
⇔ − =
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối thì xảy ra hai trường hợp:
3 1 2 3 3 1x x x− = ⇒ = ⇒ =
hoặc:
1
3 1 2 3 1
3
x x x
−
− = − ⇒ = − ⇒ =
Vậy x = 1;
1
3
x
−
=
.
*Nhận xét: Làm bài tập dạng này thì GV nên nhắc lại cho HS nắm quy tắc dấu
ngoặc, quy tắc chuyển vế và các phép biến đổi đẳng thức.
Ví dụ 2: Tìm x biết rằng
5 3x x− − =

Giải:
Ta có
5 5 5 0 5x x khi x x− = − − ≥ ⇔ ≥

và
5 5 5 0 5x x khi x x− = − − < ⇔ <
.
Ta xét hai trường hợp:
+Nếu
5x ≥
thì đẳng thức đã cho trở thành:
5 3 0. 8x x x− − = ⇔ =
, điều này không xảy ra với
5x ≥
.
+Nếu
5x <
thì đẳng thức đã cho trở thành:
5 3 2 2 1x x x x− − = ⇔ − = − ⇔ =
(thỏa mãn điều kiện x < 5)
Vậy x = 1 là giá trị cần tìm.
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Bài 1: Tìm giá trị các biểu thức
a) A = 3x
2
- 2x +1 với
1
2
x =
;

b) B =
2 2 3 1x x− − −
với x = 4;
c) C =
2 3x y−
với
1
2
x =
và y = -3.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Khi
1
2
x =
thì
3
4
A =
,
Khi
1
2
x = −
thì
3
2
4
A =
.

b) B = - 5.
c) C = - 8.
2
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
a a+
; c)
a a×
; e)
( )
3 1 2 3x x− − +
.
b)
a a−
; d)
:a a
với
0a ≠
;
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a)Khi
0a ≥
thì
2a a a a a+ = + =
.
Khi
0a <
thì
0a a a a+ = − + =

.
b)Khi
0a ≥
thì
0a a a a− = − =
.
Khi
0a <
thì
2a a a a a− = − − = −
.
c)Khi
0a ≥
thì
2
a a a a a× = × =
.
Khi
0a <
thì
2
a a a a a× = − × = −
.
d)Khi
0a >
thì
: : 1a a a a= =
.
Khi
0a <

thì
: : 1a a a a= − = −
.
e)Khi
3x ≥ −
thì
( ) ( ) ( )
3 1 2 3 3 1 2 3 9x x x x x− − + = − − + = −
.
Khi
3x < −
thì
( ) ( ) ( )
3 1 2 3 3 1 2 3 5 3x x x x x− − + = − − − − = +
.
Bài 3: Với giá trị nào của a và b ta có đẳng thức
( ) ( )
2 2a b a b− = −
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Ta có nhận xét
A A= −
. Nên
( ) ( )
2 2a b a b− = −
, theo bài ra ta có:
( ) ( )
2 2a b a b− = −
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
( )

2 0a b− ≥
. Ta xét 4
trường hợp:
+Trường hợp 1: a = 0 , thì b tuỳ ý.
+Trường hợp 2: 2 - b = 0 hay b =2, thì a tuỳ ý.
+Trường hợp 3: a > 0, thì 2 - b > 0 hay b < 2.
+Trường hợp 4: a < 0, thì 2 - b < 0 hay b > 2.
Bài 4: Tìm tất cả số a thoả mãn điều kiện:
a)
a a=
; c)
a a>
; e)
a a≤
.
b)
a a<
; d)
a a= −
;
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a)
0a
≥
. c) Không có giá trị nào của a. e) Mọi giá trị của a.
b)
0a
<
. d)
0a

≤
.
Bài 5: Tìm giá trị của x trong đẳng thức sau:
a)
2
2 3 5x − =
;
b)
2 1 2 3x x− = +
;
c)
1 3 1x x− + =
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Kết quả:
2x
= ±
.
b) Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số, ta có hai số bằng nhau hoặc đối
nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau:

2 1 2 3x x− = +
Hoặc: 2x - 1 = 2x + 3
⇒
0.x = 4 điều này không xảy ra;
hoặc: 2x - 1 = -(2x + 3)
⇒
2x - 1 = - 2x - 3
⇒
4x = -2

1
2
x
−
⇒ =
.
3
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Vậy
1
2
x
−
=
.
c) Kết quả x = 0.
B. BÀI TẬP VỀ NHÀ.
Bài 1: Tìm giá trị các biểu thức
2
5 7 1
3 1
x x
M
x
− +
=
−
với
1
2

x =
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Kết quả: Khi
1
2
x =
thì
2
5
M
−
=
;
Khi
1
2
x
−
=
thì
23
10
M
−
=
.
Bài 2: Rút gọn biểu thức P =
2 3 4 1x x− − −
.

Hướng dẫn hoặc đáp số:
Kết quả:
Khi
1
4
x <
thì P = 2x + 5;
Khi
1
3
4
x≤ <
thì P = 7 - 8x;
Khi
3x
≥
thì P = -2x - 5.
Bài 3: (Thi HSG huyện Lệ Thuỷ năm học 2003 - 2004)
Tìm
x Q∈
, biết
2
2
3
x x+ =
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Kết quả:
2
5

x =
.
Bài 4: (Thi HSG huyện Lệ Thuỷ năm học 2001 - 2002)
Tìm x biết
1ax ax= +
, với a > 0.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Kết quả:
1
2
x
a
−
=
.
Bài 5: Tìm hai số a và b sao cho:
a)
a b a b+ = −
;
b)
a b a b+ = +
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Kết quả:
0a
≥
và
0b
≤
;

b) Kết quả:
0a
≥
và
0b
≥
.
Bài 6: Tĩm x và y biết:
a)
1 1 1
2 3 4
x y− + = − −
;
b)
9
0
25
x y y− + + =
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Kết quả: Không tồn tại x và y thỏa mãn điều kiện bài ra;
b) Kết quả:
9
25
x y
−
= =
.
Bài 7: (Thi HSG huyện Lệ Thuỷ năm học 2001 - 2002)
4

Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
So sánh
m m+
và
m m×
.
Tìm x biết
1ax ax= +
, với a > 0.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Kết quả: m < 0 thì
m m+
>
m m×
;
m = 0 hoặc m = 2 thì
m m+
=
m m×
;
0 < m < 2 thì
m m+
>
m m×
;
M > 2 thì
m m+
<
m m×
.

5
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Chuyên đề 2, 3 TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Tỉ lệ thức.
1.Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số bằng nhau.
Dạng tổng quát:
a c
b d
=
với
0; 0b d≠ ≠
hoặc a : b = c : d.
Trong đó số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, số hạng b và c gọi là trung tỉ.
2.Tính chất:
*Tính chất 1:
a c
a d b c
b d
= ⇔ × = ×
.
*Tính chất 2: Từ tỉ lệ thức
a c
b d
=
ta ruy ra được ba tỉ lệ thức là
; ;
a b d c d b
c d b a c a
= = =

.
*Nhận xét: Trong một tỉ lệ thức ta có thể hoán vị trung tỉ với nhau, hoán vị
ngoại tỉ với nhau, hoán vị cả trung tỉ với nhau và ngoại tỉ với nhau.
3. Các phương pháp chứng minh tỉ lệ thức.
Từ định nghĩa và các tính chất của tỉ lệ thức ta rút ra các phương pháp chứng minh
tỉ lệ thức như sau. Để chứng minh
a c
b d
=
, ta có thể dùng các phương pháp:
*Phương pháp 1: Chứng tỏ a.d = b.c
*Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số
;
a c
b d
có cùng một giá trị.
*Phương pháp 3: Dùng các tính chất của tỉ lệ thức như hoán vị các số hạng, tính
chất dãy tỉ số bằnh nhau, tính chất đẳng thức, để biến đổi giả thiết bài toán thành tỉ
lệ thức cần chứng minh.
Ví dụ minh hoạ:
Cho tỉ lệ thức
a c
b d
=
.
Chứng minh
a c
a b c d
=
− −

với
; ; 0; 0; 0; 0;a b c d a b c d≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
Giải: Ta có thể giải bài này bằng các cách như sau:
*Cách 1:
Để chứng minh
a c
a b c d
=
− −
ta xét tích a(c - d) và c(a - b).
Ta có a(c - d) = ac - cd (1)
và c(a - b) = ca - cb (2),
Theo bài ra:
a c
ad bc
b d
= ⇒ =
(3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra a(c - d) = c(a - b). Chứng tỏ
a c
a b c d
=
− −
(ĐCCM).
*Cách 2:
Đặt
;
a c
k a bk c dk
b d

= = ⇒ = =
.
Ta có:
( )
1 1
a bk bk k
a b bk b b k k
= = =
− − − −
(1)
và
( )
1 1
c ck dk k
c d dk d d k k
= = =
− − − −
(2).
6
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
So sánh (1) và (2) ta suy ra:
a c
a b c d
=
− −
(ĐCCM).
*Cách 3:
Từ
a c a b
b d c d

= ⇒ =
.
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
a b a b
c d c d
−
= =
−
, suy ra
a a b a c
c c d a b c d
−
= ⇒ =
− − −
.
*Cách 4:
Từ
1 1
a c b d b d a b c d a c
b d a c a c a c a b c d
− −
= ⇒ = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =
− −
(ĐCCM).
II. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
1.Tính chất cơ bản:
Từ dãy tỉ số bằng nhau
3
1 2
1 2 3

n
n
a a
a a
b b b b
= = = =L
thì ta có thể lập được những tỉ số
bằng các tỉ số đã cho
3 1 2 1 2
1 2
1 2 3 1 2 1 2
n n n
n n n
a a a a a a a a
a a
b b b b b b b b b b
+ + + − − +
= = = = = = =
+ + + − − +
L L
L L
L L
.
2.Tính chất nâng cao:
Từ dãy tỉ số bằng nhau
3
1 2
1 2 3
n
n

a a
a a
b b b b
= = = =L
thì ta có thể lập được những tỉ số
bằng các tỉ số đã cho
3 1 1 2 2 1 1 2 2
1 2
1 2 3 1 1 2 2 1 1 2 2
n n n n n
n n n n n
a a k a k a k a k a k a k a
a a
b b b b k b k b k b k b k b k b
+ + + − + −
= = = = = = =
+ + + − + −
L L
L L
L L
.
3.Chú ý:
*Tránh sai lầm khi học sinh áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
Từ dãy tỉ số
a c a c ac
b d b d bd
= ⇒ = =
.
*Nếu x, y , z tỉ lệ với các số a, b, c
x y z

a b c
⇔ = =
hoặc x: a = y : b = z : c
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Bài 1: Cho ba số 6, 8, 24.
a) Tìm số x, sao cho x cùng ba số trên lập thành một tỉ lệ thức;
b) Có thể lập được bao nhiêu tỉ lệ thức?
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Trong ba số 6, 8, 24 có ba cách lập ra tích của hai trong ba số đó. Vậy với
mỗi tích có một cách lập đẳng thức với tích của số còn lại và x. Ta có:
6.8 = 24. x
⇔
x = 2;
6.24 = 8. x
⇔
x = 18;
8.24 = 6. x
⇔
x = 32.
Vậy có ba giá trị cần tìm của x là x = 2; 12; 18.
b) Khi x =2, ta có tích 6.8 = 24. 2 ta lập được 4 tỉ lệ thức:
6 2 6 24 8 2 8 24
; ; ;
24 8 2 8 24 6 2 6
= = = =
.
Tương tự với x = 18; x = 32. Vậy tất cả có 3.4 =12 tỉ lệ thức cần tìm.
Bài 2: Tìm giá trị của x trong các tỉ lệ thức sau:
7
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7

a)
60
15
x
x
−
=
−
;
b)
( )
1 1
13 :1 26 : 2 1
3 3
x= −
;
c)
7 1
1 9
x
x
+
=
−
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Từ
( ) ( )
2 2
60

15 60 900 30
15
x
x x x
x
−
= ⇒ = − × − ⇒ = ⇒ = ±
−
.
*Chú ý: Trong lập luận x
2
= 900 học sinh sai lầm là thường chỉ suy ra x =
30.
b) Tương tự. Kết quả
9
5
x =
.
c) Từ
( ) ( ) ( ) ( )
7 1
7.9 1 . 1 63 1 . 1 .1
1 9
x
x x x x x
x
+
= ⇒ = − + ⇒ = − + −
−
2 2

63 1 64 8x x x x x⇒ = + − − ⇒ = ⇒ = ±
.
*Chú ý: Trong lập luận trên ta sử dụng tính chất phân phối của phép cộng và
phép trừ đối với phép nhân, quy tắc dấu ngoặc.
Bài 3: Cho tỉ lệ thức
4 7
x y
=
. Biết xy = 112. Tìm x, y.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Có thể giải bài này bằng hai cách như sau:
*Cách 1:
Do xy =112 nên suy ra
0; 0x y≠ ≠
.
Từ
4 7
x y
=
, nhân cả hai vế đẳng thức này với x, ta có:
2 2
2
112
64 8
4 7 4 7
x xy x
x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
.
Khi x = -8 thì y = -28;
Khi x = 8 thì y = 28.

Vậy (x, y) = (8; 28); (-8; -28).
*Cách 2:
Đặt
4 ; 7
4 7
x y
k x k y k= = ⇒ = =
.
Do xy = 112
⇒
(4k).(7k) = 112
⇒
28k
2
= 112
⇒
k
2
= 4
4k
⇒ = ±
.
Khi k = 4 suy ra x = 8 thì y = 28,
Khi k = -4 suy ra x = -8 thì y = -28.
Vậy (x, y) = (8; 28); (-8; -28).
*Chú ý: Cần cho học sinh phân biệt cặp số (2; 3) khác với cặp (3; 2).
Bài 4: Cho tỉ lệ thức
a c
b d
=

. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau (với giả thiết
các tỉ lệ thức đều có nghĩa):
a)
2 3 2 3
2 3 2 3
a b c d
a b c d
+ +
=
− −
;
b)
2 2
2 2
ab a b
cd c d
−
=
−
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
8
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
GV dựa vào ví dụ về các phương pháp chứng minh tỉ lệ thức để hướng dẫn
HS giải theo các cách như trên.
Bài 5: Cho tỉ lệ thức
a b c a b c
a b c a b c
+ + − +
=

+ − − −
trong đó
0b ≠
. Chứng minh rằng c = 0.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Do
a b c a b c
a b c a b c
+ + − +
=
+ − − −
, theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
( ) ( )
( ) ( )
2
1
2
a b c a b c
a b c a b c b
a b c a b c a b c a b c b
+ + − − +
+ + − +
= = = =
+ − − − + − − − −
.
Cho nên:
1 2 0 0
a b c
a b c a b c c c
a b c

+ +
= ⇒ + + = + − ⇒ = ⇒ =
+ −
(ĐCCM).
Bài 6: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
10 6 21
x y z
= =
và 5x + y - 2z = 28;
b) 3x = 2y, 7y = 5z và x - y + z =32.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
5 2 28
2
10 6 21 5.10 6 2.21 14
x y z x y z+ −
= = = = =
+ −
.
Suy ra:
2 20
10
x
x= ⇒ =
;

2 12
6
y

y= ⇒ =
;

2 42
21
z
z= ⇒ =
.
Vậy x = 20; y = 12; z = 42.
b) Do 3x = 2y
2 3
x y
⇒ =
và 7y = 5z
5 7
y z
⇒ =
.
Từ
2 3
x y
=
, nhân cả hai vế với
1
5
, ta có:
10 15
x y
=
(1),

Từ
5 7
y z
=
, nhân cả hai vế với
1
3
, ta có:
15 21
y z
=
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
10 15 21
x y z
= =
, theo tính chát dãy tỉ số bằng nhau:
32
2
10 15 21 10 15 21 16
x y z x y z− +
= = = = =
− +
.
Suy ra x = 20, y = 30, z = 42.
Bài 7: (Bài 82 - Sách bài tập Đại số 7, trang 14)
Tìm các số a, b, c biết rằng:
2 3 4
a b c
= =

và a
2
- b
2
+ 2c
2
=108.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Có thể giải bài này bằng hai cách như sau:
*Cách 1:
Từ
2 2 2
2 3 4 4 9 16
a b c a b c
= = ⇒ = =
, theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2 2 2 2 2 2
2 108
4
4 9 16 4 9 2.16 27
a b c a b c− +
= = = = =
− +
.
Suy ra:
2 2
4.4 16 4a a a= ⇒ = ⇒ = ±
;
9
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7

2 2
9.4 36 6b b b= ⇒ = ⇒ = ±
;

2 2
16.4 64 8c c c= ⇒ = ⇒ = ±
.
Mà theo bài ra:
2 3 4
a b c
= =
thì a, b, c cùng dương hoặc cùng âm.
Vậy x = 4, y = 6, z = 8 hoặc x = -4, y = -6, z = -8 là các giá trị cần tìm.
*Cách 2:
Đặt
2 ; 3 ; 4
2 3 4
a b c
k a k b k c k= = = ⇒ = = =
. Thay vào a
2
- b
2
+ 2c
2
=108, ta có:
(2k)
2
- (3k)

2
+ 2(4k)
2
=108
⇒
4k
2
- 9k
2
+ 32k
2
= 108
⇒
27k
2
= 108
⇒
k
2
= 4
2k⇒ = ±
.
+Nếu k= 2, thì x = 4, y = 6, z = 8.
+Nếu k= -2, thì x = -4, y = -6, z = -8.
Vậy x = 4, y = 6, z = 8 hoặc x = -4, y = -6, z = -8 là các giá trị cần tìm.
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ.
Bài 1: Có thể lập được một tỉ lệ thức từ bốn trong các số sau không (Một số chỉ
chọn một lần) ? Nếu có thì lập được bao nhiêu tỉ lệ lệ thức ?
a) 3; 4; 5; 6; 7;
b) 1; 2; 4; 8; 16;

c) 1; 3; 9; 27; 81; 243.
Bài 2: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
a)
37 3
13 7
x
x
−
=
+
; c)
4 5
20 4
x
x
+
=
+
;
b)
( )
1 2
0,2 :1 : 6 7
5 3
x= +
; d)
1 2
2 3
x x
x x

− −
=
+ +
.
Bài 3: Cho tỉ lệ thức
3 3
4
x y
x y
−
=
+
. Tìm giá trị tỉ số
x
y
.
Bài 4: Cho
1
a c
b d
= ≠ ±
và
0c
≠
. Chứng minh rằng:
a)
2
a b ab
c d cd
−

 
=
 ÷
−
 
;
b)
3
3 3
3 3
a b a b
c d
c d
+ −
 
=
 ÷
+
−
 
.
Bài 5: Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức
a c
b d
=
nếu có một trong các đẳng thức sau
(giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa).
a)
a b c d
a b c d

+ +
=
− −
;
b)
( ) ( ) ( ) ( )
a b c d a b c d a b c d a b c d+ + + − − + = − + − + − −
.
Bài 6: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
2 3 4
3 4 5
x y z
= =
và x + y + z = 49;
10
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
b)
1 2 3
2 3 4
x y z− − −
= =
và 2x + 3y - z = 50;
c)
2 3 5
x y z
= =
và xyz = 810.
Bài 7: Cho
a b c

b c d
= =
. Chứng minh rằng:
3
a b c a
b c d d
+ +
 
=
 ÷
+ +
 
Bài 8: Cho ba tỉ số bằng nhau
; ;
a b c
b c c a a b+ + +
, tìm giá trị của mỗi tỉ số đó.
11
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Chuyên đề 4 ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN, ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ
NGHỊCH.
HÀM SỐ Y = AX (A
≠
0)
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Đại lượng tỉ lệ thuận.
1. Định nghĩa:
Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x bởi công thức y = ax với a là hằng
số khác không thì ta nói đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a.
2. Tính chất:

Nếu y = ax (a
≠
0) , thì
1 2
1 2
n
n
y
y y
a
x x x
= = =L
và
1 1 1 1
2 2 3 3
; ;
x y x y
x y x y
= = L
.
3. Chú ý:
3.1/Nếu x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c
: : : :
x y z
x y z a b c hay
a b c
 
⇔ = = =
 ÷
 

.
3.2/Nếu y =ax (a
≠
0)
1
x y
a
⇒ = ×
, nghĩa là nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số
tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ
1
a
.
II. Đại lượng tỉ lệ nghịch.
1. Định nghĩa:
Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x bởi công thức
a
y
x
=
với a là hằng số
khác không thì ta nói đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a.
2. Tính chất:
Nếu
a
y
x
=
(a
≠

0) , thì
1 1 2 2 n n
x y x y x y a= = = =L
và
3
1 2 1
2 1 3 1
; ;
y
x y x
x y x y
= = L
.
3. Chú ý:
3.1/ Nếu x, y, z tỉ lệ nghịch với m, n ,p
( )
1 1 1
: : : :x y z hay xm yn zp
m n p
⇔ = = =
.
3.2/ Nếu
a
y
x
=
(a
≠
0) suy ra
a

x
y
=
, nghĩa là nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ
số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a.
II. Hàm số y = ax (a
≠
0).
1. Nhắc lại về hàm số.
1.1/ Định nghĩa về hàm số: Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay
đổi x sao cho mỗi giá trị của x ta luôn luôn xác định được một và chỉ một giá trị
tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.
Ký hiệu: y = f(x)
1.2/ Các cách cho hàm số: Hàm số có thể cho bằng công thức, bằng bảng, sơ
đồ Ven, đồ thị,….
1.3/ Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp số
tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Từ định nghĩa đồ thị hàm số ta rút ra nhận xét: Cho hàm số y = f(x) và điểm
M(x
0
; y
0
).
+Nếu y
0
= f(x
0
)
⇔
Điểm M(x

0
; y
0
) thuộc đồ thị hàm số y = f(x).
12
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
+Nếu y
0

≠
f(x
0
)
⇔
Điểm M(x
0
; y
0
) không thuộc đồ thị hàm số y = f(x).
2. Mặt phẳng tọa độ Oxy.
2.1/Các khái niệm cần nắm:
m (3; 2)
o
-1
-2
-3
-3
-2
-1
1

2
3
3
2
1
y
x
Cho hình vẽ trên gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy, với Ox và Oy là hai trục số
vuông góc với nhau tại điểm O. Ox gọi là trục hoành, Oy gọi là trục tung, điểm
O(0 ;0) gọi là gốc tọa độ.
Điểm M (3; 2): ta nói điểm M có tọa độ (3; 2), 3 gọi là hoành độ, 2 gọi là
tung độ của điểm M.
2.2/ Chú ý:
+ Tập hợp các điểm có hoành độ bằng 0 chính là trục tung.
+ Tập hợp các điểm có tung độ bằng 0 chính là trục hoành.
+ Tập hợp các điểm có hoành độ bằng a chính là đường thẳng song song với
trục tung và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a.
+ Tập hợp các điểm có tung độ bằng b chính là đường thẳng song song với
trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.
x = a
a
o
y
x

y = b
b
x
y
o

3. Hàm số y = ax (a
≠
0).
3.1/ Đồ thị hàm số y =ax (a
≠
0) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
3.2/ Cách vẽ: Ta có thể chia hai trường của hệ số a để vẽ:
*Trường hợp 1:
Nếu a là số nguyên, cho giá trị x = 1 suy ra y = a. 1 = a. Do đó điểm M (1; a)
thuộc đồ thị hàm số y = ax (a
≠
0). Vậy đồ thị hàm số y = ax (a
≠
0) là đường thẳng
OM.
Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số y = -2x.
Giải:
Ta cho x = 1 suy ra y = (-2).1 = -2. ta có điểm M (1; -2) thuộc đồ thị hàm số
y = -2x.
Ta có đồ thị như sau:
13
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
y = -2x
m
-2
1
x
y
o
*Trường hợp 2:

Nếu a là số hữu tỉ, giả sử
( )
( )
, , 0; , 1
m
a m n Z n m n
n
= ∈ ≠ =
, cho giá trị x = n suy
ra
m
y n m
n
= × =
. Do đó điểm M (n; m) thuộc đồ thị hàm số y = ax (a
≠
0). Vậy đồ
thị hàm số y =ax (a
≠
0) là đường thẳng OM.
Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số
3
2
y x=
.
Giải:
Ta cho x = 2 suy ra
3
.2 3
2

y = =
. ta có điểm M (2; 3) thuộc đồ thị hàm số
3
2
y x=
.
Ta có đồ thị như sau:
M
3
o
y
x
2
y =
2
3
x
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
*Bài tập về đại lượng tỉ lệ thuận.
Bài 1: Một xe tải chạy từ A đến B mất 6 giờ trong khi đó một xe con chạy từ B đến
A chỉ mất có 3 giờ. Nếu hai xe đó khởi hành cùng một lúc thì sau bao lâu gặp
nhau ?
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Ta có sơ đồ đoạn thẳng như sau với C là địa điểm hai xe gặp nhau.
v
2
v
1
a
c

b
Gọi quãng đường xe con đi đến chỗ gặp nhau là s
1
(km) và vận tốc là v
1
(km/h).
14
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Gọi quãng đường xe tải đi đến chỗ gặp nhau là s
2
(km) và vận tốc là v
2
(km/h).
Vì cùng xuất phát một lúc nên thời gian hai xe đi đến chỗ gặp nhau là như
nhau, do đó quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Ta có:
1 1 1 2
2 2 1 2
s v s s
t
s v v v
= ⇒ = =
(chính là thời gian cần tìn).
Xem quãng đường AB là đơn vị quy ước (AB = 1 đơn vị), thì s
1
+ s
2
= 1,
1
1

6
v =
;
2
1
3
v =
.
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
1 2 1 2
1 2 1 2
1
2
1 1
6 3
s s s s
v v v v
+
= = = =
+
+
.
Vậy thời gian cần tìm là 2 giờ.
*Chú ý:+ Khi giải bài toán có lời giải, khác với cách giải toán ở tiểu học trong
dạng này đại lượng cần tìm ta phải đặt nó trong mối liên hệ với một đại
lượng đã biết để tìm hiểu xem chúng là hai đại lượng có quan hệ như thế
nào? (Tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch).
+ Trong dạng toán chuyển động, ta chú ý ba đại lượng quảng đường (s),
vận tốc (v) và thời gian (t), công thức liên hệ
s

v
t
=
. Nếu chuyển động trên
cùng một quãng đường (s không đổi) thì v, t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch;
nếu có cùng thời gian chuyển động (t không đổi) thì s và v là hai đại lượng
tỉ lệ thuận; nếu chuyển động cùng một vận tốc (v không đổi) thì s và t là
hai đại lượng tỉ lệ thuận.
+ Nếu đơn vị của ba đại lượng s, v và t chưa thống nhất thì ta phải tiến
hành đổi đơn vị cho thống nhất.
Bài 2: Mức nước sinh hoạt của gia đình bạn Thủy được thống kê ở bảng sau:
Thời điểm Cuối tháng
6
Cuối tháng 7 Cuối tháng 8 Cuối tháng 9
Chỉ số đồng
hồ đo mức
nước (m
3
).
204 220 237 250
BiÕt tæng sè tiÒn níc nhµ b¹n Thñy ph¶i tr¶ trong quÝ III lµ 92000 ®ång. TÝnh
sè tiÒn níc ph¶i tr¶ trong th¸ng 7, 8, 9.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Ta có số m
3
nước mà nhà bạn Thủy đã dùng trong từng tháng:
+Trong tháng 7: 220 - 204 = 16 m
3
.
+Trong tháng 8: 237 - 220 = 17 m

3
.
+Trong tháng 9: 250 - 237 = 13 m
3
.
Gọi số tiền nước mà nhà bạn Thủy phải trả trong tháng 7, 8, 9 lần lượt là x,
y, z đồng (điều kiện 0 < x, y, z < 92000). Ta phải chia 92000 đồng thành ba
phần tỉ lệ 16, 17, 13. Ta có:
92000
2000.
16 17 13 16 17 13 46
x y z x y z+ +
= = = = =
+ +
Suy ra: x = 16. 2000 = 32000đ; y = 17. 2000 = 34000đ; z = 13. 2000 =
26000đ.
15
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
*Bài tập về đại lượng tỉ lệ nghịch.
Bài 3: Hai ô tô khởi hành từ A đến B. Vận tốc ô tô I là 50km/h, vận tốc ô tô II là
60km/h. Ô tô I đến sau ô tô II là 36 phút. Tính quãng đường AB.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Đổi 36 phút
3
5
=
giờ.
Gọi thời gian xe ô tô I đi hết quãng đường AB là t
1
giờ.

Gọi thời gian xe ô tô II đi hết quãng đường AB là t
2
giờ.
Ta có
1 2
3
5
t t− =
giờ. Với cùng quãng đường AB thì vận tốc và thời gian là
hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau, nên ta có:
2 1 2 1 2
2
1
3
50 3
5
3
60 60 50 60 50 10 50
t t t t t
t
t
−
= ⇒ = = = = ⇒ =
−
giờ.
Vậy quãng đường AB dài 50. 3 =150 km.
Bài 4: Một số A được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5, 2, 4. Biết tổng lập
phương của ba số đó là 9512. Hãy tìm A?
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Gọi ba phần là x, y, z, ta có:

1 1 1
: : : : 4 :10 : 5
5 2 4 4 10 5
x y z
x y z hay k= = = = =
.
Suy ra:
3 3 3 3 3 3
3
9512
8 2
64 1000 125 64 1000 125 1189
x y z x y z
k k
+ +
= = = = = = ⇒ =
+ +
.
Vậy
2 2.19 38.
4 10 5
x y z
x y z
+ +
= ⇒ + + = =
+ +
Do đó A = 38.
*Bài tập về hàm số y = ax (a
≠
0).

Bài 5: Đồ thị hàm số y = ax (a
≠
0) đi qua điểm A(4; 2).
a) Xác định hệ số a và vẽ đồ thị hàm số đó.
b) Cho B(-2; -1) và C(5; 3), không cần biễu diễn B và C trên mặt phẳng tọa
độ Oxy, hãy cho biết A, B, C có thẳng hàng hay không?
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Do đồ thị hàm số y = ax (a
≠
0) đi qua điểm A(4; 2) nên ta có:
2 = a. 4
1
2
a⇒ =
. Vậy hàm số đã cho là
1
2
y x=
.
Để vẽ đồ thị hàm số ta vẽ điểm A(4; 2). Đường thẳng OA là đồ thị hàm số
1
2
y x=
.
y =
1
2
x
2
x

y
o
4
A
16
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
b) Ta xét điểm B(-2; -1) và C(5; 3) có thuộc đồ thị hàm số
1
2
y x=
hay
không.
Do
( )
1
1 2
2
− ≠ × −
nên B(-2; -1) không thuộc đồ thị hàm số
1
2
y x=
.
Do
1
3 5
2
≠ ×
nên C(5; 3) không thuộc đồ thị hàm số
1

2
y x=
.
Vậy A, B, C không thẳng hàng.
Bài 6: Cho các hàm số y = 2x và
18
y
x
=
. Không vẽ đồ thị hãy tìm giao điểm của hai
đồ thị hai hàm số này.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Gọi M(x
0
; y
0
) là giao điểm hai đồ thị hai hàm số trên.
Thì M(x
0
; y
0
) thuộc đồ thị hàm số y = 2x
0 0
2y x⇒ =
(1)
và M(x
0
; y
0
) cũng thuộc đồ thị hàm số

0
0
18 18
y y
x x
= ⇒ =
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
2 2
0 0 0 0
0
18
2 2 18 9 3x x x x
x
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
.
Với x
0
= 3 thì y
0
= 6; x
0
= -3 thì y
0
= -6.
Vậy M(3; 6) và M’(-3; -6) là hai giao điểm cần tìm.
B. BÀI TẬP VỀ NHÀ.
Bài 1: Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy
từ B đến A với vận tốc 40km/h. Khoảng cách AB dài 540 km và M là trung
điểm của đoạn AB. Hỏi sau khi khởi hành Bo lâu thì ô tô cách M một

khoảng bằng
1
2
khoảng cách từ xe máy đến M.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Ta có sơ đồ sau:
x
2x
d
m
b
c
a
s
1
s
2
Với t
AC
= t
BD
; v
1
= 65 km/h; v
2
= 40 km/h.
Suy ra
1 2 1 2
1 2
270 270 2 540 2 270 2

65 40 65 40 130 40
s s s s
x x x x
v v
− − − −
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
.
Cho nên t = 3 giờ là thời gian cần tìm.
Bài 2: Một số M được chia làm 3 phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ
với 5 và 6, phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 8 và 9. Biết phần thứ ba lớn
hơn phần thứ hai là 150. Tìm số M.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Gọi ba phần cần tìm của số M là x, y, z. Điều kiện y > z. Ta có:
5
6
x
y
=
và
8
9
y
z
=
kết hợp điều kiện z - y =150. Ta có kết quả: M = 3350.
Bài 3: Hai cạnh của một tam giác là 25 cm và 36 cm. Tổng độ dài hai đường cao
tương ứng là 48,8 cm. Tính độ dài mỗi đường cao.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Trong một tam giác thì cạnh của tam giác và độ dài đường cao tương ứng
với nó là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

17
b
1
-1
y =
x
2
x
y
o
1
A
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Kết quả: Đường cao tương ứng với cạnh 25 cm dài 28,8 cm và đường cao
tương ứng với cạnh 36 cm dài 20 cm.
Bài 4: Để làm xong một công việc thì 21 công nhân làm trong 15 ngày. Do cải tiến
công cụ lao động nên năng suất lao động của mỗi người tăng thêm 25%. Hỏi
18 công nhân làm bao lâu mới xong công việc.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
*Nếu năng suất lao động như cũ:
Số công nhân Số ngày làm
21 18
15 x
Với cùng một công việc và năng suất lao động mỗi người không đổi thì số
công nhân và số ngày làm là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, kết quả: x = 17,5
ngày.
*Giữ nguyên số công nhân là 18:
Năng suất lao động Số ngày làm
100% 17,5
125% y

Với cùng một công việc và số người không đổi thì năng suất lao động và số
ngày làm là hai đại lượng tỉ lệ ngịch, kết quả: y = 14 ngày.
Bài 5: Cho hàm số y = f(x) = 4x
2
- 5.
a) Tính f(3);
1
2
f
 
 ÷
 
;
b) Tìm x để f(x) = -1;
c) Chứng tó rằng với
x
∈
¡
thì f(x) = f(-x).
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Kết quả f(3) = 31;
1
2
f
 
 ÷
 
= -4;
b) Kết quả
1x

= ±
;
c) Lập luận f(x) = f(-x) = 4x
2
- 5, với mọi
x
∈
¡
.
Bài 6: Vẽ đồ thị hàm số y = -3x rồi xác định điểm A(x
0
; y
0
) thuộc đồ thị hàm số
biết:
a) x
0
+ y
0
= -4;
b)
0 0
4x y+ =
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
*Vẽ đồ thị: Học sinh tự vẽ.
a) Do A(x
0
; y
0

) thuộc đồ thị hàm số y = -3x nên y
0
= -3x
0
(1), theo bài ra
x
0
+ y
0
= -4 (2).
Từ (1) và (2) suy ra: x
0
+ (-3x
0
) = -4
⇒
x
0
= 2
⇒
y
0
= -6.
Vậy A(2; -6).
a) KÕt qu¶ A(-1; 3) hoÆc A(1; -3).
Bài 7: Vẽ đồ thị hàm số
y x=
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Ta có:

0
0
x khi x
y x
x khi x
≥

= =

− <


Đồ thị:
18
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Chuyên đề 5 ÔN TẬP - KIỂM TRA
TIẾT 1:
A. ÔN TẬP
I. Đại số.
1. Câu hỏi khắc sâu lý thuyết.
Câu 1: Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x)?
Câu 2: Nêu các phương pháp chứng minh một tỉ lệ thức?
Câu 3: Nêu tính chất của dãy tỉ số bằng nhau?
Câu 4: Khi giải bài toán liên quan đến các đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch ta có
chú ý gì ?
*GV nêu lần lượt các câu hỏi cho HS trả lời và thảo luận, GV thống nhất và đưa ra
các kết luận.
2. Bài tập rèn luyện.
*Các bài tập này tùy tình hình học lực của học sinh mà GV chọn bài để ôn tập, các
bài còn lại ra về nhà cho HS tự giải. Lưu ý rèn kĩ năng trình bày bài giải hoàn

chỉnh cho học sinh, đặc biệt phần lập luận.
Bài 1: Tìm x biết:
a)
4
3,75 2,15
15
x + − − = − −
;
b)
3 7
0
5 3
x x+ − − =
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
a) Biến đổi:

4
3,75 2,15
15
4 8
15 5
x
x
+ − − = − −
⇔ + =
Giải ra:
4 28
;
3 15

x x
−
= =
.
b) Biến đổi:
3 7 3 7
0
5 3 5 3
x x x x+ − − = ⇔ + = −
Hoặc
3 7 7 3
0.
5 3 3 5
x x x+ = − ⇔ = − −
, điều này không xảy ra với các giá trị của x;
Hoặc
3 7 7 3 26 13
2 2
5 3 3 5 15 25
x x x x x
 
+ = − − ⇔ = − ⇔ = ⇔ =
 ÷
 
.
Bài 2: Cho
ax by
M
cx dy
+

=
+
. Chứng minh rằng nếu giá trị của M không phụ thuộc vào x
và y thì bốn số a, b, c, d lập thành một tỉ lệ thức.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Đặt
ax by
M k
cx dy
+
= =
+
(*).
Do giá trị M không phụ thộc vào x và y.
19
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Chọn: x = 0; y = 1 thay vào (*) suy ra
b
k
d
=
(1).
Chọn: x = 1; y = 0 thay vào (*) suy ra
a
k
c
=
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
a b

c d
=
, nngiax là a, b, c, d lập thành một tỉ lệ thức.
*Chú ý: HS làm xong bài này GV nêu vấn đề điều ngược lại của bài toán có
đúng không? Nghĩa là nếu bốn số a, b, c, d lập thành một tỉ lệ thức thì
ax by
M
cx dy
+
=
+
có giá trị không phụ thuộc vào x và y.
Trả lời: Điều ngược lại cũng đúng.
Bài 3: Cho
a b c d
b c d a
= = =
với
0a b c d+ + + ≠
.
Tính giá trị của biểu thức
2 2 2 2a b b c c d d a
c d a d a b b c
− − − −
+ + +
+ + + +
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
1

a b c d a b c d
a b c d
b c d a b c d a
+ + +
= = = = = ⇒ = = =
+ + +
.
Do đó:
2 2 1
2 2
a b a a a
c d a a a
− −
= = =
+ +
, tương tự
2 2 2 1
2
b c c d d a
a d a b b c
− − −
= = =
+ + +
.
Vậy:
2 2 2 2 1 1 1 1
2
2 2 2 2
a b b c c d d a
c d a d a b b c

− − − −
+ + + = + + + =
+ + + +
.
Bài 4: Chu vi của một tam giác là 60 cm. Các đường cao có độ dài 12cm, 15cm và
20cm. Tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác này.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
20cm
15cm
12cn
x
y
z
Ta có hình vẽ như trên.
Gọi các cạnh tam giác tương ứng với các đường cao dài 12cm, 15cm và
20cm lần lượt là x, y, z. Điều kiện x, y, z < 60.
Theo bài ra: x + y + z = 60cm.
Ta có trong một tam giác thì độ dài mỗi cạnh và đường cao tương ứng là hai
đại lượng tỉ lệ nghịch, cho nên:
1 1 1
: : : : 5 : 4 : 3
12 15 20
x y z = =
.
Suy ra:
60
5 25; 20; 15
5 4 3 5 4 3 12
x y z x y z
x y z

+ +
= = = = = ⇒ = = =
+ +
.
II. Hình học.
1. Câu hỏi khắc sâu lý thuyết.
Câu 1: Thế nào là hai tam giác bằng nhau ?
Câu 2: Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác ?
20
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Câu 3: Nêu phương pháp chứng minh hai đường thẳng song, hai đoạn thẳng bằng
nhau, hai góc bằng nhau mà các em thường gặp ?
*GV nêu lần lượt các câu hỏi cho HS trả lời và thảo luận, GV thống nhất và đưa ra
các chú ý.
2. Bài tập rèn luyện.
Bài 1: Cho tam giác ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy song song với BC. Từ điểm M
trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy lần
lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a)
ABC MDE
∆ = ∆
;
b) Ba đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
Hướng dẫn hoặc đáp số:
Hình vẽ
1
1
1
A
c

m
d
b
o
e
x
y
a) Theo tính chất đoạn thẳng chắn ta có AB = DM; AC = ME; AD = BM;
AE = MC. Do đó ED = BC suy ra
ABC MDE∆ = ∆
(c - c - c).
b) Gọi O là giao điểm của AM và BD.
Ta có
AOD MOB
∆ = ∆
(g - c - g) suy ra OD = OB và
¶
µ
1 1
D B=
.
Suy ra
DOE BOC
∆ = ∆
(c - g - c) suy ra
·
·
DOE BOC=
.
Ta có

·
µ
0
1
180DOE O+ =
(Hai góc kề bù)
·
µ
·
0 0
1
180 180BOC O hay COE⇒ + = =
,
chứng tỏ ba điểm E, O, C thẳng hàng.
Vậy ba dường thẳng AM, BD, CCE cùng đi qua một điểm.
Bài 2: Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có AB = A’B’; AC = A’C’; hai góc A và
A’ bù nhau. Vẽ đường trung tuyến AM rồi kéo dài một đoạn MD = MA.
Chứng minh rằng:
a)
·
µ
'ABD A=
;
b)
1
' '
2
AM B C=
.
Hướng dẫn hoặc đáp số:

Hình vẽ
21
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
d
a
b
m
c
c'
A'
b'
a) Ta có
AMC DMB
∆ = ∆
(c - g - c)
·
·
;AC BD CAM MDB⇒ = =
do đó AC // BD
(vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
Suy ra
·
·
0
180BAC ABC+ =
, theo bài ra:
·
µ
0
' 180BAC A+ =

nên
·
µ
'ABD A=
.
b)
' ' 'ABD A B C∆ = ∆
(c - g - c) suy ra AD = B’C’.
Vì
1
2
AM AD=
nên
1
' '
2
AM B C=
.
TIẾT 2, 3:
B. KIỂM TRA 120 PHÚT
I. Đề ra.
Bài 1: Tìm x biết:
a)
1 3
2
2 4
x − =
;
b)
2

1 7
4 2
x +
=
.
Bài 2: Cho bốn số a, b, c, d sao cho a + b + c + d
≠
0.
Biết
b c d c d a a b d a b c
k
a b c d
+ + + + + + + +
= = = =
. Tính giá trị của k.
Bài 3: Một ô tô dự định chạy từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe
chạy với vận tốc 54 km/h thì đến sớm được 1 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc
63 km/h thì đến sớm được 2 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định
đi.
Bài 4: Cho hàm số
( )
1
2
y f x x
−
= =
.
a) Vẽ đồ thị hàm số trên;
b) Chứng ninh rằng với x
1

< x
2
thì f(x
1
) > f(x
2
).
Bài 5: Cho tam giác OAB. Trên tia đối của tia OA lấy điểm C sao cho OC = OA,
Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OD = OB. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các đoạn AB và CD. Chứng minh:
a) DC // AB;
b) O trung điểm của MN.
II. Đáp án và biểu điểm.
Bài Lời giải Điểm
Bài 1:
(1,0 đ)
a)
1 3 1 3 5 5 5
2 2 2
2 4 2 4 4 8 8
x x x x x− = ⇔ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
;
b)
( )
2
2 2 2
1 7
2 1 7.4 1 14 13 13
4 2
x

x x x x
+
= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ±
.
0,5
0,5
22
Cỏc chuyờn bi dng hsg toỏn 7
Bi 2:
(2,0 )
*Cỏch 1: T gi thit suy ra:
1 1 1 1
0
b c d c d a a b d a b c
a b c d
b c d a c d a b a b d c a b c d
a b c d
Do a b c d a b x d
+ + + + + + + +
+ = + = + = +
+ + + + + + + + + + + +
= = =
+ + + = = =
Vy:
3
3
b c d a a a a
k
a a a
+ + + +

= = = =
*Cỏch 2: Theo tớnh cht dóy t s bng nhau:
( )
3 3 3 3
3
3
b c d c d a a b d a b c
a b c d
b c d c d a a b d a b c a b c d
a b c d a b c d
a b c d
a b c d
+ + + + + + + +
= = =
+ + + + + + + + + + + + + +
= =
+ + + + + +
+ + +
= =
+ + +
Vậy k = 3.
0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
1,0
Bi 3:
(2,0 )
Gi t

1
l thi gian i t A n B vi vn tc 54 km/h.
Gi t
2
l thi gian i t A n B vi vn tc 63 km/h.
Theo bi ra t
1
- t
2
= 1 gi.
Vỡ cựng quóng ng AB nờn thi gian v vn tc l hai i
lng t l nghch.
Suy ra:
2 1 2
1
54
63 63 54
t t t
t
= =
.
Theo tớnh cht dóy t s bng nhau:
1 2 1 2
1
1
63 54 63 54 9
1
63 7
9
t t t t

t

= = =

= ì =
Vậy quãng đờng AB dài 7. 54 = 348 km;
Thời gian dự định t
1
+ 1 = 7 + 1 = 8 giờ.
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Bi 4:
(2,0 )
a) V th hm s
( )
1
2
y f x x

= =
.
Cho x = 2
1
2 1
2

y

= ì =
, nờn im A(2; -1) thuc th
hm s. th hm s trờn l ng thng OA.
0,25
0,25
0,5
23
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
o
y
x
2
-1
a
y =
1
2
x
b) Chứng ninh rằng với x
1
< x
2
thì f(x
1
) < f(x
2
).
Ta có:

( ) ( )
1 1 2 2
1 1
;
2 2
f x x f x x
− −
= =
.
Theo bài ra x
1
< x
2

1 2
0x x⇒ − <
.
Xét
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
1 1 1
0
2 2 2
f x f x x x x x
− − −
 
− = − = − >
 ÷
 
chứng tỏ

f(x
1
) > f(x
2
).(Do
1
0
2
−
<
và
1 2
0x x− <
).
0,25
0,25
0,5
Bài 5:
(3,0 đ)
*Vẽ hình đúng và ghi đủ GT, KL:
Hình vẽ
b
m
d
c
n
o
a
a) DC // AB.
Xét

OAB∆
và
OCD∆
, có:
OA = OC; OB = OC (gt) và
·
·
AOB COD=
(hai góc đối đỉnh)
Suy ra:
OAB OCD
∆ = ∆
(c - g - c), do đó
·
·
ABO CDO=
mà hai
góc này ở vị trí so le trong nên DC // AB.
b) O trung điểm của MN.
Theo chứng minh trên
OAB OCD∆ = ∆
suy ra DC = AB.
Mà
1 1
;
2 2
AM AB CN CD= =
suy ra AM = CN, do đó
AOM CON
∆ = ∆

(c - g - c)
·
·
AOM CON⇒ =
và OM = ON (1).
Mà
·
·
0
180NOA CON+ =
suy ra
·
·
0
180NOA AOM+ =
chứng tỏ N, O,
M thẳng hàng (2).
Từ (1) và (2) suy ra O là của MN.
0,25
0,25
0,75
0,25
0,5
0,5
0,5
24
Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7
Chuyên đề 6: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ BÉ NHẤT
A- TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định với x
∈
D.
Nếu có hằng số M sao cho:



=∈∃
∈∀≤
MxfDx
DxMxf
)(:
,)(
00
thì M là giá trị lớn nhất (GTLN) của f(x)
Kí hiệu: M = max f(x).
Nếu có hằng số m sao cho:



=∈∃
∈∀≥
mxfDx
Dxmxf
)(:
,)(
00
thì m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f(x)
Kí hiệu: m = min f(x)
Ghi chú: Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa

II. Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số
1) Dùng tính chất
AA ≥
. Dấu “=” xãy ra
⇔
0
≥
A
.
Ta có:
+
A
≥
0. Dấu “=” xãy ra khi A = 0
+
yx +
≤
x
+
y
. Dấu “=” xãy ra khi xy
≥
0
+
yx −
≥
x
-
y
. Dấu “=” xãy ra khi x = y

2) Giả sử A, B là các hằng số, B > 0 và g(x) > 0.
+ Cho f(x) = A +
)(xg
B
Khi đó: * f(x) lớn nhất
⇔
g(x) nhỏ nhất
* f(x) nhỏ nhất
⇔
g(x) lớn nhất.
+ Cho f(x) = A -
)(xg
B
.
Khi đó: * f(x) lớn nhất
⇔
g(x) lớn nhất
* f(x) nhỏ nhất
⇔
g(x) nhỏ nhất.
3) Phương pháp luỹ thừa bậc chẵn
Ta có
[ ]
F(x)
2n

≥
0 với mọi giá trị của x thuộc tập xác định D, n
∈
N

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) ta biến đổi sao cho:
+ y = M -
[ ]
g(x)
2n
, n
∈
Z+
⇒
y
≤
M
Do đó y
max
= M
⇔
g(x) = 0
+ y = m +
[ ]
h(x)
2k
, k
∈
Z+
⇒
y
≥
M
Do đó y
min

= m
⇔
h(x) = 0
4) Dựa vào các bất đẳng thức đã biết
+ Luỹ thừa bậc chẳn:
A
2k

≥
0 với mọi k
∈
Z+, dấu “=” xãy ra
⇔
A = 0
+ Bất đẳng thức côsi cho hai số không âm
25