Số phức luyện thi Đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (486.95 KB, 12 trang )
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014
SỐ PHỨC
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HÀ N
ỘI, 8/2013
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1
CHUYÊN ĐỀ
SỐ PHỨC
BÀI 1: SỐ PHỨC
1. Khái niệm số phức
• Tập hợp số phức:
ℂ
• Số phức (dạng đại số) :
= +z a bi
(a, b
∈ R
, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i
2
= –1)
• z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
• Hai số phức bằng nhau:
'
’ ’ ( , , ', ' )
'
=
+ = + ⇔ ∈
=
a a
a bi a b i a b a b R
b b
2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b
)∈ R
được biểu diễn bởi điểm M(a; 2) hay bởi
( ; )=
u a b
trong mp(Oxy)
(mp phứ3)
3. Cộng và trừ số phức:
•
( ) ( ) ( ) ( )
’ ’ ’ ’+ + + = + + +a bi a b i a a b b i
•
( ) ( )
( ) ( )
’ ’ ’ ’+ − + = − + −a bi a b i a a b b i
• Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
•
u
biểu diễn z,
'
u
biểu diễn z' thì
'+
u u
biểu diễn z + z’ và
'−
u u
biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
•
( )( )
( )
( )
' ' ’ – ’ ’ ’+ + = + +a bi a b i aa bb ab ba i
•
( ) ( )+ = + ∈k a bi ka kbi k R
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
= −z a bi
•
1 1
2 2
; ' ' ; . ' . ';
= ± = ± = =
z z
z z z z z z z z z z
z z
;
2 2
. = +z z a b
• z là số thực ⇔
=z z
; z là số ảo ⇔
= −z z
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2
6. Môđun của số phức : z = a + bi
•
2 2
= + = =
z a b zz OM
•
0, , 0 0
≥ ∀ ∈ = ⇔ =
z z C z z
•
. ' . '
=
z z z z
•
'
'
=
z z
z
z
•
' ' '
− ≤ ± ≤ +
z z z z z z
7. Chia hai số phức:
•
1
2
1
−
=
z z
z
(z
≠
0) •
1
2
' '. '.
'
.
−
= = =
z z z z z
z z
z z z
z
•
'
'= ⇔ =
z
w z wz
z
8. Căn bậc hai của số phức:
•
= +
z x yi
là căn bậc hai của số phức
= +
w a bi
⇔
2
=
z w
⇔
2 2
2
− =
=
x y a
xy b
• w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
• w
0
≠
có đúng hai căn bậc hai đối nhau
• Hai căn bậc hai của a > 0 là
±
a
• Hai căn bậc hai của a < 0 là
.
± −
a i
9. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A
0
≠
).
2
4
∆ = −
B AC
•
0
∆ ≠
: (*) có hai nghiệm phân biệt , (
δ
là 1 căn bậc hai của ∆)
•
0
∆ =
: (*) có 1 nghiệm kép:
1 2
2
= = −
B
z z
A
Chú ý: Nếu z
0
∈
C là một nghiệm của (*) thì
0
z
cũng là một nghiệm của (*).
10. Dạng lượng giác của số phức:
•
(cos sin )
ϕ ϕ
= +
z r i
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z
≠
0)
2 2
cos
sin
ϕ
ϕ
= +
⇔ =
=
r a b
a
r
b
r
•
ϕ
là một acgumen của z,
( , )
ϕ
=
Ox OM
•
1 cos sin ( )
ϕ ϕ ϕ
= ⇔ = + ∈
z z i R
11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3
Cho
(cos sin ) , ' '(cos ' sin ')
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = +
z r i z r i
:
•
. ' '. cos( ') sin( ')
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + +
z z rr i
•
cos( ') sin( ')
' '
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − + −
z r
i
z r
12. Công thức Moa–vrơ:
•
(cos sin ) (cos sin )
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = +
n
n
r i r n i n
, (
*
∈
n N
)
•
(
)
cos sin cos sin
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = +
n
i n i n
13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
• Số phức
(cos sin )
ϕ ϕ
= +
z r i
(r > 0) có hai căn bậc hai là:
cos sin
2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
+
− + = + + +
r i
vaø r i r i
•
••
• Mở rộng: Số phức
(cos sin )
ϕ ϕ
= +
z r i
(r > 0) có n căn bậc n là:
2 2
cos sin , 0,1, , 1
ϕ π ϕ π
+ +
+ = −
n
k k
r i k n
n n
VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia
HT 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
1)
(4 – ) (2 3 ) – (5 )
+ + +
i i i
2)
1
2 2
3
− + −
i i
3)
( )
2 5
2 3
3 4
− − −
i i
4)
1 3 1
3 2
3 2 2
− + − + −
i i i
5)
3 1 5 3
4 5 4 5
+ − − +
i i
6)
(2 3 )(3 )
− +
i i
7)
3 2
1
− −
−
+
i i
i i
8)
3
1 2
+
i
9)
1
1
+
−
i
i
10)
m
i m
11)
+
−
a i a
a i a
12)
3
(1 2 )(1 )
+
− +
i
i i
14)
1
2
+
−
i
i
15)
+
a i b
i a
16)
2 3
4 5
−
+
i
i
HT 2: Thực hiện các phép toán sau:
1)
2 2
(1 ) (1 – )
+ −
i i
2)
3 3
(2 ) (3 )
+ − −
i i
3)
2
(3 4 )
+
i
4)
3
1
3
2
−
i
5)
2 2
2 2
(1 2 ) (1 )
(3 2 ) (2 )
+ − −
+ − +
i i
i i
6)
6
(2 )
−
i
7)
3 3
( 1 ) (2 )
− + −
i i
8)
100
(1 )
−
i
9)
5
(3 3 )
+
i
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4
HT 3: Cho số phức
= +
z x yi
. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
1)
2
2 4
− +
z z i
2)
1
+
−
z i
iz
HT 4: Phân tích thành nhân tử, với a, b, c
∈
R:
1)
2
1
+
a
2)
2
2 3
+
a
3)
4 2
4 9
+
a b
4)
2 2
3 5
+
a b
5)
4
16
+
a
6)
3
27
−
a
7)
3
8
+
a
8)
4 2
1
+ +
a a
HT 5: Tìm căn bậc hai của số phức:
1)
1 4 3
− +
i
2)
4 6 5
+
i
3)
1 2 6
− −
i
4)
5 12
− +
i
5)
4 5
3 2
− −
i
6)
7 24
−
i
7)
40 42
− +
i
8)
11 4 3.
+
i
9)
1 2
4 2
+
i
10)
5 12
− +
i
11)
8 6
+
i
12)
33 56
−
i
VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức
HT 6: Giải các phương trình sau (ẩn z):
1)
2
0
+ =
z z
2)
2
2
0
+ =
z z
3)
2 2 4
+ = −
z z i
4)
2
0
− =
z z
5)
2 1 8
− = − −
z z i
6)
(4 5 ) 2
− = +
i z i
7)
4
1
+
=
−
z i
z i
8)
2 1 3
1 2
+ − +
=
− +
i i
z
i i
9)
2 3 1 12
− = −
z z i
10)
2
(3 2 ) ( ) 3
− + =
i z i i
11)
1
(2 ) 3 0
2
− + + + =
i z i iz
i
12)
1 1
3 3
2 2
− = +
z i i
13)
3 5
2 4
+
= −
i
i
z
14)
2
( 3 )( 2 5) 0
+ − + =
z i z z
15)
2 2
( 9)( 1) 0
+ − + =
z z z
16)
3 2
2 3 5 3 3 0
− + + − =
z z z i
HT 7: Giải các phương trình sau (ẩn x):
1)
2
3. 1 0
− + =
x x
2)
2
3 2. 2 3. 2 0
− + =
x x
3)
2
(3 ) 4 3 0
− − + − =
x i x i
4)
2
3 . 2 4 0
− − + =
i x x i
5)
2
3 2 0
− + =
x x
6)
2
. 2 . 4 0
+ − =
i x i x
7)
3
3 24 0
− =
x
8)
4
2 16 0
+ =
x
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5
VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm
HT 8: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
1)
3 4
+ + =
z z
2)
1 2
− + − =
z z i
3)
2 2
− + = −
z z i z i
4)
2 . 1 2 3
− = +
i z z
5)
2 2 2 1
− = −
i z z
6)
3 1
+ =
z
7)
2 3
+ = − −
z i z i
8)
3
1
−
=
+
z i
z i
9)
1 2
− + =
z i
10)
2
+ = −
z i z
11)
1 1
+ <
z
12)
1 2
< − <
z i
HT 9: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
1)
2
+
z i
là số thực 2)
2
− +
z i
là số thuần ảo 3)
. 9
=
z z
VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức
HT 10: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
1)
2(cos sin )
3 3
π π
− i
2) 4 – 4i 3)
1 3.
−
i
4)
cos .sin
4 4
π π
− i
5)
sin .cos
8 8
π π
− −i
6)
(1 . 3)(1 )
− +
i i
HT 11: Thực hiện các phép tính sau:
1)
(
)
(
)
3 cos 20 sin20 cos25 sin 25
+ +
o o o o
i i
2)
5 cos .sin .3 cos .sin
6 6 4 4
π π π π
+ +
i i
3)
(
)
(
)
3 cos120 sin120 cos 45 sin 45
+ +
o o o o
i i
4)
5 cos sin 3 cos sin
6 6 4 4
π π π π
+ +
i i
5)
(
)
(
)
2 cos18 sin18 cos 72 sin 72
+ +
o o o o
i i
6)
cos 85 sin 85
cos 40 sin 40
+
+
i
i
7)
0 0
0 0
2(cos 45 .sin 45 )
3(cos15 .sin15 )
+
+
i
i
8)
2(cos 45 sin 45 )
3(cos15 sin 15 )
+
+
i
i
9)
2 2
2(cos .sin )
3 3
2(cos .sin )
2 2
π π
π π
+
+
i
i
10)
2 2
2 cos sin
3 3
2 cos sin
2 2
π π
π π
+
+
i
i
HT 12: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
1)
1 3
−
i
2)
1
+
i
3)
(1 3)(1 )
− +
i i
4)
2. .( 3 )
−
i i
5)
1 3
1
−
+
i
i
6)
1
2 2
+
i
7)
sin . cos
φ φ
+
i
8)
2 2
+
i
9)
1 3
+
i
10)
3
−
i
11)
3 0
+
i
12)
5
tan
8
π
+
i
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6
HT 13: Viết dưới dạng đại số các số phức sau:
1)
cos 45 sin 45
+
o o
i
2)
2 cos sin
6 6
π π
+
i
3)
(
)
3 cos120 sin120
+
o o
i
4)
6
(2 )
+
i
5)
3
(1 )(1 2 )
+
+ −
i
i i
6)
1
i
7)
1
2 1
+
+
i
i
8)
(
)
60
1 3
− +
i
9)
40
7
1 3
(2 2 ) .
1
+
−
−
i
i
i
10)
1 3 3
cos sin
4 4
2
π π
+
i
11)
100
1
cos sin
1 4 4
π π
+
+
−
i
i
i
12)
(
)
17
1
3
−
i
HT 14: Tính:
1)
(
)
5
cos12 sin12
+
o o
i
2)
(
)
16
1
+
i
3)
6
( 3 )
−
i
4)
(
)
7
0 0
2 cos 30 sin 30
+
i
5)
5
(cos15 sin15 )
+
o o
i
6)
2008 2008
(1 ) (1 )
+ + −i i
7)
21
5 3 3
1 2 3
+
−
i
i
8)
12
1 3
2 2
+
i
9)
2008
1
+
i
i
BÀI 2: ÔN TẬP
HT 15: Thực hiện các phép tính sau:
1)
(2 )( 3 2 )(5 4 )
− − + −
i i i
2)
6 6
1 3 1 7
2 2
− + −
+
i i
3)
16 8
1 1
1 1
+ −
+
− +
i i
i i
4)
3 7 5 8
2 3 2 3
+ −
+
+ −
i i
i i
5)
(2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6 )
− + + + − −
i i i i
6)
2 3 2009
1
+ + + + +
i i i i
7)
2000 1999 201 82 47
+ + + +
i i i i i
8)
2
1 , ( 1)
+ + + + ≥
n
i i i n
9)
2 3 2000
. .
i i i i
10)
5 7 13 100 94
( ) ( ) ( )
− − −
− + − + + −
i i i i i
HT 16: Cho các số phức
1 2 3
1 2 , 2 3 , 1
= + = − + = −
z i z i z i
. Tính:
1)
1 2 3
+ +
z z z
2)
1 2 2 3 3 1
+ +
z z z z z z
3)
1 2 3
z z z
4)
2 2 2
1 2 3
+ +
z z z
5)
1 2 3
2 3 1
+ +
z z z
z z z
6)
2 2
1 2
2 2
2 3
+
+
z z
z z
HT 17: Rút gọn các biểu thức sau:
1)
4 3 2
(1 2 ) 3 1 3 , 2 3
= + − + + + + = +
A z iz i z z i vôùi z i
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7
2)
(
)
2 3 2
1
( 2 )(2 ), 3
2
= − + − + = −
B z z z z z vôùi z i
HT 18: Tìm các số thực x, y sao cho:
1)
(1 2 ) (1 2 ) 1
− + + = +
i x y i i
2)
3 3
3 3
− −
+ =
+ −
x y
i
i i
3)
2 2 2 2
1
(4 3 ) (3 2 ) 4 (3 2 )
2
− + + = − + −
i x i xy y x xy y i
4)
2 3 (3 1) (5 6) ( 2)
+ + − = − − +
x y i x y i
5)
3
(3 2 )
(1 2 ) 11 4
2 3
−
+ − = +
+
x i
y i i
i
6)
3
(3 2 ) (1 2 ) 9 14
+ + − = +
x i y i i
HT 19: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
1)
8 6
+
i
2)
3 4
+
i
3)
1
+
i
4)
7 24
−
i
5)
2
1
1
+
−
i
i
6)
2
1 3
3
−
−
i
i
7)
1 2
2 2
−
i
8) i, –i
9)
3
1 3
−
+
i
i
10)
1 1
2 2
+
i
11)
(
)
2 1 3
− +
i
12)
1 1
1 1
+
+ −
i i
HT 20: Giải các phương trình sau:
1)
3
125 0
− =
z
2)
4
16 0
+ =
z
3)
3
64 0
+ =
z i
4)
3
27 0
− =
z i
5)
7 4 3
2 2 0
− − − =
z iz iz
6)
6 3
1 0
+ + − =
z iz i
HT 21: Gọi
1 2
;
u u
là hai căn bậc hai của
1
3 4
= +
z i
và
1 2
;
v v
là hai căn bậc hai của
2
3 4
= −
z i
. Tính
1 2
+
u u
1 2
+ +
v v
?
HT 22: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1)
2
5 0
+ =
z
2)
2
2 2 0
+ + =
z z
3)
2
4 10 0
+ + =
z z
4)
2
5 9 0
− + =
z z
5)
2
2 3 1 0
− + − =
z z
6)
2
3 2 3 0
− + =
z z
7)
( )( ) 0
+ − =
z z z z
8)
2
2 0
+ + =
z z
9)
2
2
= +
z z
10)
2 3 2 3
+ = +
z z i
11)
(
)
(
)
+
2
2 2 2 3 0
+ + − =
z i z i
12)
3
=
z z
13)
2
2
4 8 8
+ =
z z
14)
2
(1 2 ) 1 0
+ + + =
iz i z
15)
2
(1 ) 2 11 0
+ + + =
i z i
HT 23: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1)
2
4 4
5 6 0
+ +
− + =
− −
z i z i
z i z i
2)
(
)
( )
(
)
2
5 3 3 0
+ − + + =
z i z z z
3)
(
)
(
)
2 2
2 6 2 16 0
+ − + − =
z z z z
4)
(
)
(
)
3 2
1 3 3 0
− + + + − =
z i z i z i
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8
5)
(
)
(
)
2
2 2 0
+ − + =
z i z z
6)
2
2 2 1 0
− + − =
z iz i
7)
2
(5 14 ) 2(12 5 ) 0
− − − + =
z i z i
8)
2
80 4099 100 0
− + − =
z z i
9)
2
( 3 ) 6( 3 ) 13 0
+ − − + − + =
z i z i
10)
2
(cos sin ) cos sin 0
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + =
z i z i
HT 24: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1)
2
(3 4 ) 5 1 0
− + + − =
x i x i
2)
2
(1 ) 2 0
+ + − − =
x i x i
3)
2
3 2 0
+ + =
x x
4)
2
1 0
+ + =
x x
5)
3
1 0
− =
x
HT 25: Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
1)
3 2
2 2 0
− − − =
z iz iz
2)
3 2
( 3) (4 4 ) 4 4 0
+ − + − − + =
z i z i z i
HT 26: Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện:
1)
( 2)( )
− +
z z i
là số thực.
2)
2
=
z z
3)
(2 ) 10
− + =
z i
và
. 25
=
z z
4)
1
1
−
=
−
z
z i
và
3
1
1
−
=
+
z i
z
5)
2
2
2 . 8
+ + =
z z z z
và
2
+ =
z z
6)
1 5
− =
z
và
17( ) 5 . 0
+ − =
z z z z
7)
1
=
z
và
(
)
2
2
1
+ =
z z
8)
2 2
− + =
z i
. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
9)
1
=
z
và
1
+ =
z z
z
z
HT 27: Tìm số phức
z
thỏa mãn điều kiện cho trước:
1)
2
=
z
và
2
z
là số thuần ảo
2)
2 2
= − −
z z i
và
2
2
−
−
z i
z
là số thuần ảo
3)
1 2 3 4
+ − = + +
z i z i
và
2
−
+
z i
z i
là số ảo.
4)
5
=
z
và
7
1
+
+
z i
z
là số thực.
HT 28: Giải các phương trình trùng phương:
1)
4 2
8(1 ) 63 16 0
− − + − =
z i z i
2)
4 2
24(1 ) 308 144 0
− − + − =
z i z i
3)
4 2
6(1 ) 5 6 0
+ + + + =
z i z i
HT 29: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau:
1)
3
=
−
z
z i
2)
2 2
1
+ =
z z
3)
(
)
( 2)
− +
z z i
là số thực
4)
3 4
= − +
z z i
5)
+
+
z i
z i
là số thực
HT 30: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau:
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9
1)
3 4 2
− + =
z i
2)
(1 )
− = +
z i i z
3)
(2 )( )
− +
z z i
là số thuần ảo
4)
1
=z
z
5)
1
2
+ =
z
z
HT 31: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
'
z
thoả mãn hệ thức sau:
1)
' (1 3) 2
= + +
z i z
biết
z
thỏa mãn:
1 2
− =
z
2)
' (1 3) 2
= + +
z i z
biết rằng
z
thỏa mãn:
1 3
+ ≤
z
3)
' (1 2 ) 3
= + +z i z
biết rằng
z
thỏa mãn:
2
2
3
5
+ =
zz
z
4)
' (1 ) 1
= + +
z i z
biết
2 1
+ ≤
z
HT 32: Hãy tính tổng
2 3 1
1
−
= + + + +
n
S z z z z
biết rằng
2 2
cos sin
π π
= +
z i
n n
.
HT 33: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
1)
4 3 2
1
+ + + +
i i i i
2)
(1 )(2 )
− +
i i
3)
2
1
+
−
i
i
4)
1 sin cos , 0
2
π
α α α
− + < <
i
5)
3 cos sin
6 6
π π
− +
i
6)
cot ,
2
π
α π α+ < <
i
7)
sin (1 cos ), 0
2
π
α α α
+ − < <
i
HT 34: Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
1)
( )
(
)
8
6
6 8
(1 )
2 3 2
(1 )
2 3 2
+
+
+
−
−
i
i
i
i
2)
(
)
(
)
4
10 4
( 1 )
1
3 2 3 2
− +
+
− +
i
i i
3)
(
)
(
)
1 3 1 3
+ + −
n n
i i
4)
sin cos
8 8
π π
− + i
5)
cos sin
4 4
π π
− i
6)
2 2 3
− +
i
7)
1 sin cos , 0
2
π
α α α
− + < <
i
8)
1 cos sin
, 0
1 cos sin 2
α α π
α
α α
+ +
< <
+ −
i
i
9)
4 3
−
i
HT 35: Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
1)
( )
(
)
8
6
6 8
(1 )
2 3 2
(1 )
2 3 2
+
+
+
−
−
i
i
i
i
2)
(
)
(
)
4
10 4
( 1 )
1
3 2 3 2
− +
+
− +
i
i i
3)
(
)
(
)
1 3 1 3
+ + −
n n
i i
HT 36: Chứng minh các biểu thức sau có giá trị thực:
1)
(
)
(
)
7 7
2 5 2 5
+ + −
i i
2)
19 7 20 5
9 7 6
+ +
+
− +
n n
i i
i i
3)
6 6
1 3 1 3
2 2
− + − −
+
i i
4)
5 5
1 3 1 3
2 2
− + − −
+
i i
5)
6 6
3 3
2 2
+ −
+
i i
HT 37: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện sau, tìm số phức
z
có môđun nhỏ nhất.
1)
( 1)( 2 )
− +
z z i
là số thực
2)
2 3
− = − −
z i z i
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10
3)
3 2
− = − −
iz z i
HT 38: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện sau, tìm số phức
z
có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.
1)
3
2 3
2
− + =
z i
2)
2 2 2 2
− + =z i
3)
(1 )
2 1
1
+
+ =
−
i z
i
4)
1 2 1
+ − =
z i
5)
2 4 5
− − =z i
HT 39: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau:
4 2 6
; (1 )(1 2 );
1 3
+
− +
− −
i i
i i
i i
1) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.
2) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.
HT 40: Giải phương trình
2
1
2
7
+
= −
−
z
z
z
, Đ/s:
3 4 ; 9
= ± =
z i z
HT 41: Chứng minh rằng: nếu
1
≤
z
thì
2
1
2
−
≤
+
z i
iz
.
BÀI 3: TUYỂN TẬP SỐ PHỨC THI ĐẠI HỌC
HT 42: (ĐH Khối A – 2009) Gọi
1
z
,
2
z
là hai nghiệm của phương trình
2
2 10 0
+ + =
z z
. Tính giá trị của biểu thức:
2 2
1 2
= +
A z z
. Đ/s: A = 20
HT 43: (ĐH Khối B – 2009) Tìm số phức
z
thỏa mãn
(2 ) 10
− + =z i
và
. 25
=
z z
Đ/s:
3 4
= +
z i
hoặc
5
=
z
HT 44: (ĐH khối D – 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức
z
thỏa mãn điều kiện
(3 4 ) 2
− − =
z i
. Đs: Đường tròn tâm I (3;-4), bán kính R = 2
HT 45: (CĐ khối A, B, D – 2009) Cho số phức
z
thỏa mãn:
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )
+ − = + + +
i i z i i z
. Xác định phần thực và
phần ảo của z. Đ/s: Phần thực: 2; Phần ảo: -3
HT 46: (CĐ khối A, B, D – 2009) Giải phương trình:
4 3 7
2
− −
= −
−
z i
z i
z i
trên tập số phức. Đ/s:
1 2
3 2 ; 2
= + = +
z i z i
HT 47: (ĐH khối A – 2010) Tìm phần thực và phần ảo của số phức
z
biết
2
( 2 ) (1 2 )
= + −
z i i
Đ/s:
5, 2
= = −
a b
HT 48: (ĐH khối A – 2010) Cho số phức
z
thỏa mãn:
3
(1 3 )
1
−
=
−
i
z
i
. Tìm mô – đun của
+
z iz
. Đ/s:
8 2
HT 49: (ĐH khối B – 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
thỏa mãn điều kiện
(1 )
− = +
z i i z
. Đ/s: đường tròn tâm I (0;-1) bán kính
2
=
R
HT 50: (ĐH khối D – 2010) Tìm số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2
=z
và
2
z
là số thuần ảo.
1 2 3 4
1 ; 1 ; 1 ; 1
= + = − = − − = − +
z i z i z i z i
HT 51: (CĐ khối A, B, D – 2010) Cho số phức
z
thỏa mãn:
2
(2 3 ) (4 ) (1 3 )
− + + = − +
i z i z i
. Xác định phần thực, phần
ảo của số phức z. Đ/s: Phần thực: -2; phần ảo: 5
HT 52: (ĐH khối A – 2011) Tìm tất cả các số phức z, biết
2
2
= +
z z z
. Đ/s:
1 1 1 1
0; ;
2 2 2 2
= = − + = − −
z z i z i
HT 53: (ĐH khối A – 2011) Tính môđun của số phức z, biết;
(
)
(
)
2z 1 1 i
– ( 1)(1 ) 2 2
+ + + − = −
z i i
Đ/s:
2
3
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11
HT 54: (ĐH khối B – 2011) Tìm số phức
z
biết:
5 3
1 0
+
− − =
i
z
z
Đ/s:
1 3
= − −
z i
hoặc
2 3
= −
z i
HT 55: (ĐH khối B – 2011)Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
1 3
1
+
=
+
i
z
i
Đ/s: phần thực là 2 phần ảo là 2
HT 56: (ĐH khối D – 2011) Tìm số phức
z
biết:
(2 3 ) 1 9
− + = −
z i z i
Đ/s:
2
= −
z i
HT 57: (ĐH khối A-A1– 2012) Cho số phức
z
thỏa mãn:
5( )
2 .
1
+
= −
+
z i
i
z
Tính mô-đun của số phức
2
1
= + +
w z z
Đ/s:
13
=w
HT 58: (ĐH khối B – 2012) Gọi
1 2
,
z z
là hai nghiệm phức của phương trình:
2
2 3 4 0.
− − =
z iz
Viết dạng lượng giác
của
1
z
và
2
z
Đ/s:
1 2
2 2
2 cos sin ; 2 cos sin
3 3 3 3
π π π π
= + = +
z i z i
HT 59: (ĐH khối D – 2012) Cho số phức
z
thỏa mãn:
2(1 2 )
(2 ) 7 8 .
1
+
+ + = +
+
i
i z i
i
Tìm mô-đun của số phức
1
= + +
w z i
Đ/s:
5
=
w
HT 60: (ĐH khối D – 2012) Giải phương trình:
2
3(1 ) 5 0
+ + + =
z i z i
trên tập số phức
Đ/s:
1 2 ; 2
= − − = − −
z i z i
HT 61: (ĐH khối A-A1– 2013) Cho số phức
1 3 .
z i
= +
Viết dưới dạng lượng giác của
z
. Tìm phần thực và phần ảo
của số phức:
5
(1 ) .
w i z
= +
Đ/s:
2 cos sin ;
3 3
z i
π π
= +
phần thực:
16( 3 1)
+
phần ảo:
16(1 3)
−
HT 62: (ĐH khối D – 2013) Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
(1 )( ) 2 2 .
i z i z i
+ − + =
Tính mô-đun của số phức
2
2 1
z z
w
z
− +
=
Đ/s:
10
w =
