Chuyên đề về lượng giác luyện thi đại học

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
1
Chuyên đề
LƢỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản
22
2
2
sin cos 1
sin
tan
cos 2
1
tan 1
2
cos
k
k


  


  



  




   



 
 
2
2
tan .cot 1
cos
cot
sin
1
cot 1
sin
k
k


  

  



  

2. Công thức LG thường gặp
Công thức cộng:

 
 
 
sin sinacosb sinbcosa
cos cosacosb sinasinb
tan tan
tan b
1 tan tan
ab
ab
ab
a
ab
  







Công thức nhân:
2 2 2 2
3
3
3
2
sin 2 2sin .cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos

sin3 3sin 4sin
3tan tan
tan3 =
1 3tan
a a a
a a a a a
a a a
a a a
aa
a
a

     






Tích thành tổng: cosa.cosb =
1
2
[cos(ab)+cos(a+b)]
sina.sinb =
1
2
[cos(ab)cos(a+b)]
sina.cosb =
1
2

[sin(ab)+sin(a+b)]
Tổng thành tích:
sin sin 2sin cos
22
a b a b
ab



sin sin 2cos sin
22
a b a b
ab



cos cos 2cos cos
22
a b a b
ab



cos cos 2sin sin
22
a b a b
ab

  

sin( )
tan tan
cos .cos
ab
ab
ab



Công thức hạ bậc: cos
2
a =
1
2
(1+cos2a)
sin
2
a =
1
2
(1cos2a)
Biểu diễn các hàm số LG theo
tan
2
a
t 

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
2
2

2 2 2
2 1- 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
  
  


3. Phương trìng LG cơ bản
* sinu=sinv
2
2
u v k
u v k






  

* cosu=cosvu=v+k2


* tanu=tanv  u=v+k


* cotu=cotv  u=v+k


 
Zk 
.
4. Một số phương trình LG thường gặp
1. Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các
công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin
2
x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos
2
x+b.cosx+c=0, a.tan
2
x+b.tanx+c=0, a.cot
2
x+b.cotx+c=0) để giải các
phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG
2. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là
2 2 2
a b c
.
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt
tan
b
a



, ta được: sinx+tan

cosx=
cos
c
a



sinx
cos

+
sin

cosx=
cos
c
a



sin(x+

)=
cos
c
a


sin


ñaët
.
Cách 2: Chia hai vế phương trình cho
22
ab
, ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
xx
a b a b a b

  

Đặt:
2 2 2 2
cos ; sin
ab
a b a b



. Khi đó phương trình tương đương:
22
cos sin sin cos
c

xx
ab



hay
 
22
sin sin
c
x
ab

  

ñaët
.
Cách 3: Đặt
tan
2
x
t 
.
3. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=0 (*).
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với

2
xk



.
+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta được: atan
2
x+btanx+c=0.
Chú ý:
2
2
1
tan 1
2
cos
x x k
x



   



Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc.
4. Phƣơng trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c.

Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện  t 
2
.

sin cos 2sin 2 cos
44
sin cos 2sin 2 cos
44
x x x x
x x x x


   
    
   
   
   
     
   
   
Löu y ùcaùc coâng thöùc:





Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
3
Phần 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.

Ví dụ 1. Giải phương tình: sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x (1).
Giải
Phương trình (1) tương đương với:
1 cos2 1 cos6 1 cos4 1 cos8
2 2 2 2
x x x x   
  

 cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
 4cos5x.cos2x.cosx = 0
5
10 5
2
cos5 0
cos2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0
22

π kπ

π
x
xkπ
x
π π lπ
x x kπ x k l n
x
ππ
xkπ x nπ













        











   






Ví dụ 2. Giải phương trình: cos
6
x+sin
6
x = 2 ( cos
8
x+sin
8
x) (2).
Giải
Ta có (2)  cos
6
x(2cos
2
x1) = sin
6
x(12sin
2
x)
 cos2x(sin

6
x–cos
6
x) = 0
 cos2x(sin
2
x–cos
2
x)(1+sin
2
x.cos
2
x) = 0
 cos2x = 0

2 ,( )
2 4 2
π π kπ
xkπ x k     

Ví dụ 3: Giải phương trình:
6 3 4
8 2cos 2 2sin sin3 6 2cos 1 0x x x x   
(3).
Giải
Ta có:
3 3 3
22
2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin3 1 0

2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos2 )(cos2 cos4 ) (1 cos2 )(cos2 cos4 ) 2
2(cos2 cos2 cos4 ) 2
2
cos2 (1 cos4 )
2
2
cos2 .cos 2
4
2
cos2
28
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
xx
xx
π
xx
    
  
      
  
  

     ,( )kπk

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác:

88
17
sin cos
32
xx
(4).
Giải
Ta có (4)
44
42
1 cos2 1 cos2 17 1 17
(cos 2 6cos 2 1)
2 2 32 8 32
xx
xx

   
      
   
   

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
4
Đặt cos
2
2x = t, với t[0; 1], ta có
22
1
17 13
2

6 1 6 0
13
44
2
t
t t t t
t



       






Vì t[0;1], nên
2
1 1 cos4 1 1
cos 2
2 2 2 2
x
tx

    

cos4x = 0 
4 ,( )
2 8 4

π π π
xkπ x k k     

Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin
3
x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
Ta có (5)  2(1 cos
2
x)sinx + 2 – 2 cos
2
x + cosx – 1 = 0
 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0
 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)
x x k πk
x x x x
   



   



Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện
| | 2t 
, khi đó phương trình (*) trở thành:
2t + t

2
– 1 + 1 = 0  t
2
+ 2t = 0
0
sin -cos ,( )
2(
4
t
π
x x x nπn
t lo


       




¹i)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
4
π
xnπ  
;
2 , ( , ) xkπ n k

Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.

Ví dụ 6. Giải phương trình:
|sin |
cos
x
πx
(6).
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do
|sin | 0,x 
nên
|sin | 0
1
x
ππ
, mà |cosx| ≤ 1.
Do đó
2 2 2
0
|sin | 0 ,( )
(6)
0
| cos | 1 ,( )
kn
xkπ k π n
x x kπk
x
xnπ x nπ
x x nπn







  

    
    


  







(Vì k, n  Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình:
2
1 cos
2
x
x
.
Giải
Đặt

2
( )=cos
2
x
f x x 
. Dễ thấy f(x) = f(x),
x
, do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét
với x ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0  f(x)
đồng biến với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng
0;
2
π



thoả mãn
phương trình:
2
2
sin cos 2
n
nn
xx


.

Giải
Đặt f(x) = sin
n
x + cos
n
x, ta có : f’(x) = ncosx.sin
n-1
x – nsinx.cos
n-1
x.
= nsinx.cosx(sin
n-2
x – cos
n-2
x)
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
5
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng
0;
2




, ta có minf(x) = f
4





=
2
2
2
n

Vậy x =
4

là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
BÀI TẬP
Giải các phƣơng trình sau:
1. cos
3
x+cos
2
x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:
2 ; 2
2
x k x n


  

2. tanx.sin
2
x2sin
2
x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin

2
x ĐS:
;2
43
x k x n


     

3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thƣơng Mại)
ĐS:
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
   

       

4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:
2
xk


.
5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)
ĐS:
2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l


     
      
với
1
sin
4


.
6. sinx4sin
3
x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:
4
xk



.
7.
sin 3 sin2 .sin
44
x x x

   
  
   
   
; (Học Viện BCVT) ĐS:
42

xk



8. sin
3
x.cos3x+cos
3
x.sin3x=sin
3
4x
HD: sin
2
x.sinx.cos3x+cos
2
x. cosx.sin3x=sin
3
4x ĐS:
12
xk


.
9.
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2

x
x
x



  






ĐS:
4
8
5
8
xk
xk
xk






















10.
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x  

HD: Chia hai vế cho cos
3
x ĐS: x =
3
k



,
4
xk


  

11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS:
2
2 ( )
43
x k x k k


      

12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải
(1) 2sinxcosx+2cos
2
x–1=1+sinx–3cosx.
2cos
2
x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
2cos
2
x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đặt t=cosx, ĐK
1t 
, ta được: 2t
2
+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. =(2sinx+3)
2
+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)
2

.

 
1
1
2
cos
2
sin - 2
t
x
tx








loaïi
…(biết giải)
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
6
13. 2sinx+cotx=2sin2x+1.
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin
2
x–sinx+cosx=0.
Đặt t=sinx, ĐK
1t 

.
2(1–2cosx)t
2
–t+cosx=0 … =(4cosx–1)
2
.
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(cos
2
x–sin
2
x)=0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
15. Giải phƣơng trình lƣợng giác:
 
2 cos sin
1
tan cot2 cot 1
xx
x x x




Giải

Điều kiện:
 
cos .sin2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x








Từ (1) ta có:
 
2 cos sin
1 cos .sin2
2sin
sin cos2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
xx
xx
x
x x x
x
x x x


  


2sin .cos 2sinx x x

 
2
2
4
cos
2
2
4
xk
xk
xk







   


  




So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là
 
2
4
x k k


   

16. Giải phƣơng trình:
 
44
sin cos 1
tan cot
sin2 2
xx
xx
x



Giải
 
44
sin cos 1
tan cot
sin2 2
xx
xx

x


(1)
Điều kiện:
sin2 0x 

2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
(1)
sin2 2 cos sin
x
xx
x x x


  


2
2
1
1 sin 2
11
2
1 sin 2 1 sin2 0
sin2 sin 2 2

x
xx
xx

      

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
17. Giải phƣơng trình:
22
2sin 2sin tan
4
x x x


  


.
Giải
Pt
22
2sin 2sin tan
4
x x x


  


(cosx

)0
2
1 cos 2 cos 2sin .cos sin
2
x x x x x



    






(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0

sin2x = 1 hoặc tanx = 1.
18. Giải phƣơng trình:
 
 
3
sin2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3cos sinx 3 3 0x x c x c x x      
.
Giải
3
2 3 2
sin2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos2 8( 3.cos sin ) 3 3 0
2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0
x x x x x x

x x x x x x x x
      
        
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2
2
 xxxxxxxx

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
7
2
2
( 3cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0
cos 4 ( ai)
x x x x
x
xx
x
xx
x
     





  



  





lo

,
3
2
xk
k
xk












19. Giải phƣơng trình: cosx=8sin
3

6
x






Giải
cosx=8sin
3
6
x






cosx =
 
3
3sin cosxx


3 2 2 3
3 3sin 9sin cos 3 3sin cos cos cos 0x x x x x x x    
(3)
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm
(3) 

32
3 3tan 8tan 3 3tan 0x x x  

tan 0 x x k

   

20. Giải phƣơng trình lƣợng giác:
 
2 cos sin
1
tan cot2 cot 1
xx
x x x




Giải
Điều kiện:
 
cos .sin2 .sin . tan cot2 0
cot 1
x x x x x
x









Từ (1) ta có:
 
2 cos sin
1 cos .sin2
2sin
sin cos2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
xx
xx
x
x x x
x
x x x

  


2sin .cos 2sinx x x

 
2
2
4
cos
2

2
4
xk
xk
xk







   


  




So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là
 
2
4
x k k


    

21. Giải phƣơng trình:

cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x   

Giải
Phương trình  (cosx–sinx)
2
– 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos sin 1
cos sin 5 ( cos sin 2)
xx
x x loai vi x x
  



   






2
2
2 sin 1 sin sin ( )
4 4 4
2
xk
x x k Z
xk



  




       




22. Giải phƣơng trình: 2cos3x +
3
sinx + cosx = 0
Giải
3sin cos 2cos3 0x x x  
 sin
3

sinx + cos
3

cosx = – cos3x.
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
8
 cos
cos3
3
xx



 


 cos
cos( 3 )
3
xx



  




32
()
3
k
x
k
xk













 x =
32
k


(kZ)
23. Giải phƣơng trình cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =
2 3 2
8


Giải
Ta có: cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =
2 3 2
8

 cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =

2 3 2
8



 
22
2 3 2
cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin3 sin
2
x x x x x x

   

2
cos4 ,
2 16 2
x x k k Z

     
.
24. Định m để phƣơng trình sau có nghiệm
2
4sin3 sin 4cos 3 cos cos 2 0
4 4 4
x x x x x m
  
     
      
     

     

Giải
Ta có:
*
 
4sin3 sin 2 cos2 cos4x x x x
;
*
 
4cos 3 cos 2 cos 2 cos4 2 sin2 cos4
4 4 2
x x x x x x
  

     
      
     

     


*
 
2
11
cos 2 1 cos 4 1 sin4
4 2 2 2
x x x



   
     
   

   


Do đó phương trình đã cho tương đương:
 
11
2 cos2 sin2 sin4 0 (1)
22
x x x m    

Đặt
cos2 sin 2 2 cos 2
4
t x x x


   


(điều kiện:
22t  
).
Khi đó
2
sin4 2sin2 cos2 1x x x t  

. Phương trình (1) trở thành:
2
4 2 2 0t t m   
(2) với
22t  

2
(2) 4 2 2t t m   

Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường
( ): 2 2D y m
(là đường song song với Ox và cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P):
2
4y t t
với
22t  
.
x
2


2

y’

+

y

2 4 2


2 4 2



Trong đoạn
2; 2



, hàm số
2
4y t t
đạt giá trị nhỏ nhất là
2 4 2
tại
2t 
và đạt giá trị lớn
nhất là
2 4 2
tại
2t 
.
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
2 4 2 2 2 2 4 2m    

2 2 2 2m   

.

o0o
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
9
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009
KHỐI A
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2

) của phương trình:
cos3 sin3
5 sin cos2 3
1 2sin 2
xx
xx
x


  



(Khối A_2002).
Giải


ĐS:
5
;

33
xx


.
2. Giải phương trình:
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
   

(Khối A_2003)
Giải

ĐS:
 
4
x k k


  

3. Giải phương trình:
22
cos 3 cos2 cos 0x x x
(Khối A_2005)

Giải
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
10

ĐS:
 
2
k
xk



4. Giải phương trình:
 
66
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x



(Khối A_2006)
Giải

ĐS:
 
5
2

4
x k k


  

5. Giải phương trình:
   
22
1 sin cos 1 cos sin 1 sin2x x x x x    
(Khối A_2007)
Giải

ĐS:
 
, 2 , 2
42
x k x k x k k

  
      

6.
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x

x
x



  






(Khối A_2008)
Giải
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
11

ĐS:
 
5
, , ,
4 8 8
x k x k x k k
  
  

      

7. Giải phương trình:
 

  
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
xx
xx



. (Khối A_2009)
Giải

ĐS:
 
2
,
18 3
x k k

   


KHỐI B
8. Giải phương trình
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x  
(Khối B_2002)
Giải

ĐS:

 
;,
92
x k x k k

  

9. Giải phương trình
2
cot tan 4sin 2
sin2
x x x
x
  
(Khối B_2003)
Giải
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
12

ĐS:
 
,
3
x k k


   

10. Giải phương trình
 

2
5sin 2 3 1 sin tanx x x  
(Khối B_2004)
Giải

ĐS:
 
5
2 ; 2 ,
66
x k x k k


    

11. Giải phương trình
1 sin cos sin2 cos2 0x x x x    
(Khối B_2005)
Giải

ĐS:
 
2
2
3
x k k


   

12. Giải phương trình:
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x

  


(Khối B_2006)
Giải
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
13

ĐS:
 
5
;,
12 12
x k x k k


    

13. Giải phương trình:
2
2sin 2 sin7 1 sinx x x  
(Khối B_2007)
Giải

ĐS:
 
2 5 2
;,
18 3 18 3
x k x k k
   
    

14. Giải phương trình
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x  
(Khối B_2008)
Giải


ĐS:
 
;,
4 2 3
x k x k k
  

     

15. Giải phương trình:
 
3
sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x   
. (Khối B_2009)

Giải

ĐS:
 
2
, 2 ,
42 7 6
k
x x k k
  

     


KHỐI D
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
14
16. Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0 (Khối D_2002)
Giải

ĐS:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x x x x
   
   

17.
2 2 2

sin tan cos 0
2 4 2
xx
x


  


(Khối D_2003)
Giải

ĐS:
 
2 , ,
4
x k x k k

  
     

18. Giải phương trình
  
2cos 1 2sin cos sin2 sinx x x x x   
(Khối D_2004)
Giải

ĐS:
 
2 , ,

34
x k x k k


      

19. Giải phương trình:
44
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x

   
     
   
   
(Khối D_2005)
Giải
Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
15

ĐS:
 
,
4
x k k


  

20. Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0 (Khối D_2006)
Giải

ĐS:
 
2
2,
3
x k k


   

21. Giải phương trình
2
sin cos 3cos 2
22
xx
x

  


(Khối D_2007)
Giải

ĐS:
 
2 , 2 ,

26
x k x k k


     

22. Giải phương trình
sin3 3cos3 2sin2x x x
(CĐ_A_B_D_2008)
Giải


ĐS:
 
42
2 , ,
3 15 5
x k x k k
  

    

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng
16
23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008)
Giải

ĐS:
 
2

2 , ,
34
x k x k k


     

24. Giải phương trình (1+2sinx)
2
cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009)
Giải

ĐS:
 
5
,,
12 12
x k x k k


    

25. Giải phương trình
3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x  
(Khối D_2009)
Giải


ĐS:
 

,,
18 3 6 2
x k x k k
   
     


Hết