Bài toán quỹ tich véc tơ

bài toán quỹ tích có sử dụng véc
tơ.


I. Kiến thức bổ sung:
Cho hệ n điểm
n21
A, ,A,A
và bộ n số
n21
, ,,
sao cho
0
n21
+++
. Khi
đó xác định duy nhất điểm I thoả mãn
0IA IAIA
nn2211
=+++
(1)
Điểm I nh vậy gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm
n21
A, ,A,A
theo bộ số
n21
, ,,
.
Khi đó với mọi điểm M bất kỳ ta có:
( )
MI

MAMAMA
n
nn


+++=
+++


21
2211
Chú ý: Nếu
0
n21
=+++
thì ta chứng minh đợc véc tơ:

nn2211
MA MAMAu +++=
là một véc tơ không đổi.
II. Vài dạng toán quỹ tích thờng gặp:
Dạng 1: Quỹ tích của điểm thoả mãn một đẳng thức véc tơ hoặc độ dài véc tơ.
Ta biến đổi đẳng thức đã cho về một trong các bài toán quỹ tích cơ bản sau:
1)
akAM =
(k0), A cố định,
a
không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng thẳng qua A cùng
phơng
a

.
2)
MBMA =
với A, B cố định: Quỹ tích điểm M là đờng trung trực của AB.
3)
aMA =
với A cố định,
a
không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm A, bán kính
aR =
.
Ví dụ 1.
Cho ABC. Tìm quỹ tích điểm M trong mỗi trờng hợp sau:
a)
)Rk(MCkMBkMA =+
b)
MC2MBMAv ++=
cùng phơng với véc tơ
BC
Giải:
a) Ta có:
BCkMA
)MBMC(kMAMCkMBkMA
=
==+
hay
MA
cùng phơng với
BC
. Vậy quỹ tích

điểm M là đờng thẳng đi qua A và song song với cạnh BC của ABC.
b) Gọi I là điểm thoả mãn hệ thức
0IC2IBIA =++
(Điểm I nh thế là tồn tại và duy nhất).
Thì ta có:
MI4IC2MI2IBMIIAMI
MC2MBMAv
=+++++=
=++=
Do đó
v
cùng phơng với
MIBC
cùng phơng với véc tơ
BC
M thuộc đờng thẳng đi
qua I và song song với BC.
Ví dụ 2.
Cho ABC. Tìm quỹ tích điểm M trong các trờng hợp sau:
MCMBMCMB)a =+
MC2MB3MB3MA2)b +=+

MCMBMA2MCMBMA4)c =++
Giải
a) Gọi I là trung điểm BC ta có:

MCMBMCMB =+
2
BC
MICBMI2 ==

Vậy tập hợp điểm M là đờng tròn tâm I, bán kính R=
2
BC
.
b) Gọi K là điểm thoả mãn:

0KB3KA2 =+
L là điểm thoả mãn:
0LC2LB3 =+
Ta có:
MC2MB3MB3MA2 +=+
MLMKML5MK5 ==
Tập hợp điểm M là đờng trung trực của đoạn thẳng KL.
c) Với I là trung điểm của BC. Gọi J là điểm thoả mãn:
0JCJBJA4 =++
Ta có:
MCMBMA2MCMBMA4 =++
MI2MA2MJ6 =
constIA
3
1
MJIA2MJ6 ===
Vậy tập hợp điểm M là đờng tròn tâm J bán kính
IA
3
1
R =
.
Từ lời giải các bài toán trên ta có thể mô tả đợc quy trình giải loại toán này nh sau:
Bớc 1: Biến đổi các đẳng thức cho trớc về một trong các dạng quỹ tích cơ bản theo 2 h-

ớng: Chứng minh biểu thức véc tơ bằng một véc tơ không đổi hoặc dùng tâm tỉ cự.
Bớc 2: Sử dụng các quỹ tích cơ bản để xác định quỹ tích của điểm theo yêu cầu bài toán.
Dạng 2: Quỹ tích của điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hớng hoặc tích độ dài.
Ta biến đổi đẳng thức đã cho về một trong các dạng quỹ tích cơ bản sau:
1)
kMB.MA =
, trong đó A, B cố định, k không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm I
(I là trung điểm của AB), bán kính
k
2
AB
R
2
+=
, nếu
0k
2
AB
2
+
.
2)
kAB.AM =
với A, B là các điểm cố định, k không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng thẳng
vuông góc với AB tại điểm H trên đờng thẳng AB thoả mãn:
AB
k
AH =
3)
kAM

2
=
, với A cố định, k0 không đổi: Quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm A, bán
kính
kR =
.
Ví dụ 3.
Cho đoạn thẳng AB. Tìm quỹ tích điểm M trong mỗi trờng hợp sau:
2
MAMB.MA)a =
MB.MAMA2)b
2
=
kMB2MA)c
22
=+
với k>0 cho trớc.
Giải:
a) Có
2
MAMB.MA =

( )
0MBMA.MA
0MAMB.MA
2
=
=

=
=
ABMA
0MA
0BA.MA
Vậy quỹ tích điểm M là đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng AB tại A.
b)
MB.MAMA2
2
=
( )
(*)0MBMA2MA
=
Gọi I là điểm thoả mãn:
0IBIA2 =
thì
MIMBMA2 =
.
Do đó:
MIMA0MI.MA(*) =
Quỹ tích điểm M là đờng tròn đờng kính AI.
c) Gọi E là điểm thoả mãn:
0EB2EA =+
ta có:
( ) ( )
(*)EB2EAkME3
kEBMEEAME

kMB2MA
222
22
22
=
=+++
=+
Mặt khác từ
0EB2EA =+
AB
3
1
EB;AB
3
2
EA ==
Nên
22
AB
3
2
kME3(*) =






=
22

AB
3
2
k
3
1
ME
Nếu
2
AB
3
2
k <
: Quỹ tích điểm M là rỗng.
Nếu
2
AB
3
2
k =
: Quỹ tích điểm M là một điểm E.
Nếu
2
AB
3
2
k >
: Quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm E, bán kính

=
2
AB
3
2
k
3
1
R
.
Ví dụ 4: Cho ABC. Tìm quỹ tích điểm M trong các trờng hợp sau:
a)
( )( )
0MCMB2MBMA =
b)
( )( )
0MC2MBMB2MA =++
c)
MC.MAMB.MAMA2
2
=+
Hớng dẫn giải:
a) Gọi I là điểm thoả mãn
0ICIB2 =
ta có:
( )( )

MIBA0MI.BA
0MCMB2MBMA
=
=
Quỹ tích điểm M là đờng thẳng đi qua I và vuông góc với AB.
b) Gọi D và E là các điểm thoả mãn:
0EC2EB0DB2DA =+=+ và
ta có:
( )( )
MEMD0ME3.MD3
0MC2MBMB2MA
=
=++

Quỹ tích điểm M là đờng tròn đờng kính DE.
c) Ta có:
MC.MAMB.MAMA2
2
=+
( )
(*)0MCMBMA2MA =+
Gọi J là điểm xác định bởi
0JCJBJA2 =+
ta có:
MJMA0MJ.MA2(*) =
Quỹ tích điểm M là đờng tròn đờng kính AJ.
Một cách tổng quát ta có quy trình giải các bài toán dạng này nh sau:
Bớc 1: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng
kv.u =
, bằng phép phân tích thành nhân tử, đặt

nhân tử chung, trong đó các véc tơ
v,u
có thể là tổng hoặc hiệu các véc tơ nào đó.
Bớc 2: Dựa vào bài toán chứng minh biểu thức véc tơ không đổi hoặc tâm tỉ cự để biến
đổi đẳng thức
kv.u =
về một trong các dạng quỹ tích cơ bản và kết luận về quỹ tích cần
xác định.
Trên đây là một vài ý kiến minh hoạ cho ý tởng thuật toán hoá phơng pháp giải các
bài toán quỹ tích có liên quan đến véc tơ. Tuy cha thật rõ ràng nhng theo chúng tôi nó
thực sự có ý nghĩa. Mong các bạn tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện ý tởng trên. Việc giải
các bài toán quỹ tích cơ bản ở trên không phải là quá khó, xin đợc dành lại cho các bạn.
III. các bài toán luyện tập .
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. M và N là 2 điểm thay đổi xác định bởi hệ thức:
MDMC2MB2MA3MN +=
.
Chứng minh rằng
MN
là véc tơ không đổi. Tìm tập hợp các điểm M biết
MN
nằm trên
đờng thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD.
Bài 2: Cho ABC.
a) Chứng minh rằng
MC2MB5MA3u +=
không phụ thuộc vị trí điểm M.
b) Tìm quỹ tích các điểm M xác định bởi hệ thức:
MCMBMC2MB2MA3 =+
Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm quỹ tích điểm M trong các trờng hợp sau:
a)

222
MCMB2MA3 +=
b)
2222
aMC2MBMA =+
c)
2
a5
MA.MCMC.MBMB.MA
2
=++
Bài 4: Cho ABC vuông tại A, BC = 6a. Biện luận theo k quỹ tích điểm M thoả mãn:
( )( )
2
kaMCMBMAMCMB =+++
.
Với giá trị nào của k thì quỹ tích điểm M chứa điểm A?