điều khiển tách kênh hệ tuyến tính bằng phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

www .

Lr c

- t

nu . e

du . v

n
ĐẠI HỌC THÁI
NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG
NGHIỆP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ
THUẬT
ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH HỆ TUYẾN TÍNH BẰNG
PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO NGUYÊN LÝ TÁCH
Ngành : TỰ ĐỘNG HOÁ
Mã số:
Học Viên: HOÀNG ĐỨC QUỲNH
Người HD Khoa học : PGS.TS. NGUYỄN DOÃN PHƯỚC
THÁI NGUYÊN -
2009
H

O
À
N
G

Đ
Ứ
C

Q
U
Ỳ
N
H
T
Ự

Đ
Ộ
N
G

H
O
Á
2
0
0
7

–

2
0
0
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

www .

Lr c

- t

nu . e

du . v

n
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
NGÀNH : TỰ ĐỘNG
HOÁ
ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH HỆ TUYẾN TÍNH
BẰNG PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO NGUYÊN
LÝ TÁCH

HOÀNG ĐỨC
QUỲNH
Thái
nguyên
2009
THÁI NGUYÊN 2009
Đi
ề
u

k
h
iể
n

tá
c
h

kênh
h
ệ

tu
y
ế
n

tính bằng phản
hồ

i

đầu
ra
th
e
o

nguyên
lý
t
á
c
h
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn h tt

p : //

www .

Lr c

- t

nu . e

du . v

n
Li m u

Mc lc
Mc lc 1
Chng 1. Tng quan v b iu khin tỏch kờnh
1.1 Ni dung bi toỏn iu khin tỏch kờnh
3
1.2 Hai phng phỏp tỏch kờnh c 4
bn
Chng 2. iu khin tỏch kờnh trong min tn s v nhc im ca nú
2.1 Mụ hỡnh ma trn hm truyn 6
2.2 ỏnh giỏ s tng tỏc cỏc kờnh 11
Chng 3. iu khin tỏch kờnh bng phn hi trng thỏi
3.1 iu khin phn hi trng thỏi 12
3.2 Thut toỏn tỡm cỏc b iu khin ca bi toỏn tỏch kờnh 14
Chng 4. Quan sỏt trng thỏi
4.1 B quan sỏt Luenberger 25
4.1.1 Phõn tớch tớnh quan sỏt c
25
4.1.1.1. Khỏi nim quan sỏt c v quan sỏt c hon ton 25
4.1.1.2. Mt s kt lun chung v tớnh quan sỏt c ca h tuyn
tớnh 26
4.1.1.3. Tớnh i ngu v cỏc tiờu chun xột tớnh quan sỏt c ca
h tham s hng 32
4.1.2 B quan sỏt Luenberger
35
4.1.2.1. Phng phỏp thit k 35
4.1.2.2. Cỏc phng phỏp khỏc nhau phc v bi toỏn thit k b
iu khin phn hi trng thỏi gỏn im cc
38 a. Phng phỏp Ackermann
38 b. Phng phỏp Roppenecker
40 c. Phng phỏp Modal phn hi trng thỏi

42
d. Bài toán điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu
Thiết kế bộ điều khiển LQR phản hồi dương 50
4.2 Các bộ quan sát trạng thái tuyến tính khác 58
4.2.1 Bộ quan sát Kalman 58
4.2.2 Bộ điều khiển tối ưu phản hồi đầu ra LQG 61
4.3 Kết luận về chất lượng hệ kín: NGUYÊN LÝ TÁCH 63
Chương 5. Nghiên cứu khả năng ghép chung bộ điều khiển phản hồi trạng
thái tách kênh với bộ quan sát trạng thái
5.1 Mô phỏng hệ MIMO tuyến tính 2 đầu vào 2 đầu ra 65
5.1.1 Đối tượng thứ nhất 65
5.1.2 Đối tượng thứ hai 70
5.2 Mô phỏng bộ điều khiển tách kênh cho đối tượng MIMO tuyến tính 75
5.2.1 Đối tượng thứ nhất 75
5.2.2 Đối tượng thứ hai 83
5.3 Mô phỏng bộ quan sát Luenberger cho đối tượng MIMO tuyến 91
tính
5.3.1 Đối tượng thứ nhất 91
5.3.2 Đối tượng thứ hai 99
5.4 Nghiên cứu mô phỏng khả năng ghép chung bộ điều khiển phản hồi trạng
thái tách kênh với bộ quan sát trạng thái 105
5.4.1 Đối tượng thứ nhất 105
5.4.2 Đối tượng thứ hai 112
Kết luận 119
Danh mục tài liệu tham khảo
Danh mục các hình vẽ, đồ thị sử dụng trong luận văn
Tóm tắt luận văn
Đi
ề
u

k
h
iể
n

tá
c
h

kênh
h
ệ

tu
y
ế
n

tính bằng phản
hồ
i

đầu
ra
th
e
o

nguyên

lý
t
á
c
h
LI M
U
iu khin h thng l bi toỏn can thip vo i tng iu khin
hiu chnh, bin i sao cho nú cú cht lng mong mun. Kt qu ca bi
toỏn iu khin cú th l mt tớn hiu iu khin thớch hp hoc mt b iu
khin to tớn hiu iu khin thớch hp cho i tng. Cỏc b iu khin bao
gm cỏc cu trỳc: iu khin h, iu khin phn hi trng thỏi, iu khin
phn hi tớn hiu ra.
Cú rt nhiu b iu khin c ng dng thnh cụng li ch dựng c cho
h SISO (vớ d: b iu khin PID). s dng cỏc b iu khin ú cho h
MIMO, ta phi can thip s b trc vo h MIMO, bin mt h thng
MIMO thnh nhiu h SISO vi mi u ra ch ph thuc vo mt tớn hiu
u vo.
B iu khin phn hi trng thỏi cú kh nng gi c n nh cht lng
mong mun cho i tng dự trong qỳa trỡnh iu khin luụn cú nhng tỏc
ng nhiu. ng dng tt b iu khin trng thỏi trong vic iu khin h
thng MIMO, cn s dng kt hp vi b Quan sỏt trng thỏi cú th ly
chớnh xỏc v y nht cỏc thụng tin v cht lng ng hc ca i tng.
Xut phỏt t nhng yờu cu cp thit phi nghiờn cu trờn, tỏc gi mun úng
gúp mt phn nh vo vic nghiờn cu kh nng kt hp gia b quan sỏt
trng thỏi vi b iu khin phn hi trng thỏi tỏch kờnh h MIMO tuyn
tớnh cú c b iu khin tỏch kờnh phn hi u ra.
c s hng dn ch bo ca thy PGS.TS Nguyn Doón Phc
Trng b mụn iu khin t ng Trng i hc Bỏch Khoa H Ni
tụi ó tin hnh nghiờn cu ti:

IU KHIN TCH KấNH H TUYN TNH BNG PHN HI
U RA THEO NGUYấN Lí TCH
Đi
ề
u

k
h
iể
n

tá
c
h

kênh
h
ệ

tu
y
ế
n

tính bằng phản
hồ
i

đầu
ra

th
e
o

nguyên
lý
t
á
c
h
ti nghiờn cu thnh cụng s chng minh kh nng kt hp gia b
quan sỏt trng thỏi vi b iu khin phn hi trng thỏi tỏch kờnh h M
M tuyn tớnh. Núi cỏch khỏc, nú s chng minh c nguyờn lý tỏch cng
ỳng trong iu khin tỏch kờnh.
Da trờn lý thuyt c nghiờn cu ca ti s thit k c b iu
khin cho mt s i tng tuyn tớnh trong thc t v hng ng dng kt
qu nghiờn cu vo thit k b iu khin phn hi trng thỏi tỏch kờnh cho
cỏc i tng tuyn tớnh trong cỏc h thng t ng iu khin quỏ trỡnh sn
xut, c bit l vi cỏc quỏ trỡnh chng ct.
Sau mt thi gian hc tp v nghiờn cu n nay bn lun vn ca tụi ó
c hon thnh. Nhõn dp ny tụi xin chõn thnh cm n PGS.TS Nguyn
Doón Phc - Thy giỏo hng dn trc tip, ngi ó a ra hng nghiờn
cu tn tỡnh giỳp , ch bo v to mi iu kin thun li tụi hon thnh
lun vn ny.
Tụi xin cm n tt c cỏc thy cụ giỏo ó tham gia ging dy, giỳp tụi
trong sut quỏ trỡnh hc tp, nõng cao trỡnh kin thc.
Tụi xin gi li cm n n tt c bn bố, ng nghip v ngi thõn ó
giỳp tụi trong sut quỏ trỡnh va qua.
Vỡ iu kin v thi v kh nng ca bn thõn cú hn nờn bn lun vn
ny khụng trỏnh khi nhng thiu sút. Tụi rt mong cỏc thy cụ cựng cỏc bn

ng nghip gúp ý sa i, b xung thờm bn lun vn thờm hon thin.
§i
Ò
u

k
h
iÓ
n

t¸
c
h

kªnh
h
Ö

tu
y
Õ
n

tÝnh b»ng ph¶n
hå
i

®Çu
ra
th

e
o

nguyªn
lý
t
¸
c
h
LỜI CAM
ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi, có sự hỗ trợ từ
Thầy hướng dẫn và những người tôi đã cảm ơn. Các nội dung nghiên cứu và kết quả
trong đề tài này là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ công trình
nào.
Thái nguyên, ngày 25 tháng 07 năm 2009
Tác
giả
Hoàng Đức
Quỳnh
Đi
ề
u

k
h
iể
n

tá

c
h

kênh
h
ệ

tu
y
ế
n

tính bằng phản
hồ
i

đầu
ra
th
e
o

nguyên
lý
t
á
c
h
CH

ơng
1:
tổng quan về bộ điều khiển
tách
k
ên
h
Page:
3
w
Chng
1
TNG QUAN V B IU KHIN TCH
KấNH
1.1. Ni dung bi toỏn iu khin tỏch kờnh
H thng iu khin nhiu chiu l h cú nhiu i lng iu chnh v
nhiu i lng c iu chnh tc l cú nhiu i lng u vo v nhiu
i lng u ra (MIMO). Cỏc i lng ny khụng c lp m liờn quan cht
ch tỏc ng qua li ln nhau. Ch cn mt s thay i nh ca i lng no
ú cng gõy ra s thay i ca i lng khỏc lm mt cõn bng h thng. Vỡ
vy nú l h thng khú iu khin.
Cú rt nhiu b iu khin c ng dng thnh cụng li ch dựng
c cho h SISO, b iu khin PID l mt vớ d in hỡnh. Vỡ mong mun
s dng cỏc b iu khin ú cho h MIMO, ngi ta ngh n vic can thip
s b trc vo h MIMO, bin mt h thng MIMO thnh nhiu h SISO
vi mi u ra y
i
(t) ch ph thuc vo mt tớn hiu u vo w
i
(t).

y
1
u
1
u
m
y
m
y
1
1
w
m
y
m
Ta núi rng h thng ó c phõn ly, tớn hiu ra ca 1 kờnh bt bin vi tỏc
ng iu khin ca cỏc kờnh khỏc.
1.2. Hai phng phỏp tỏch kờnh c bn
i
i
§i
Ò
u

k
h
iÓ
n

t¸

c
h

kªnh
h
Ö

tu
y
Õ
n

tÝnh b»ng ph¶n
hå
i

®Çu
ra
th
e
o

nguyªn
lý
t
¸
c
h
CH
•

¬ng
1:
tæng quan vÒ bé ®iÒu khiÓn
t¸ch
k
ªn
h
Page:
4
Phương pháp 1: Phương pháp Falb – Wolovich
Xét đối tượng MIMO tuyến tính có m đầu vào u
1
, u
2
,…u
m
và cũng có m đầu
ra y
1
, y
2
,…,y
m
mô tả bởi:


d
x



dt


w
1
w
m
= Ax +
Bu
y =
C

x
u
y
1
M
y
m
x
w
1
y
1
R
w
m
y
m
Để tách kênh, ta phải xác định các bộ điều khiển R và M như ở hình trên mô

tả, sao cho đầu ra y
i
(t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào w
i
(t) với i =
1,2, , m. Sự phụ thuộc đó được mô tả trong miền thời gian bởi phương trình
vi phân bậc r
i
hệ số hằng:
dy
d

r
i
−1
y
d

r
i
y
a
0
+
a
1
+

+
a
, 1
1
+ =
b
w
i
i i
i
i i
dt
i r
i
−
dt

r
i
−
dt

r
i
i
<=>
d
ri
y
dt

ri
r
i
−
1
+
∑
k
=0
a
ik
d
k
y
dt
k
= b
i

w
i
(1.1)
Trong đó b
i
và a
ik
, i = 1, 2, ,m; k = 0,1, ,r
i
– 1 là các tham số tự do được
chọn tuỳ ý theo chất lượng đặt trước của từng kênh. Nói cách khác, nhiệm vụ

thiết kế đặt ra ở đây là phải xác định hai bộ điều khiển tĩnh R và M để với nó
hệ kín có ma trận truyền đạt dạng đường chéo:


0
G
m
(s
0
0 0 0


0

G
m
(s) 0 0



0


G
i
(s) 0

 
G(s) =



0 G
m
(s)

 
Với các phần tử G
i
(s) là những hàm truyền đạt:
G
i
(s)
=
a
b
i
+
a s
+



+
a s
r
i
−
1
+

s
r
i
(1.2)
i

0 i1 i
,r
i
−
1
có các hệ số b
i
và a
ik
, i = 1, 2, ,m; k = 0,1, ,r
i
– 1 cho trước, tương ứng với
chất lượng mong muốn của từng kênh.
Phương pháp 2: Phương pháp Smith - McMillan
Phép biến đổi Smith – McMilan trình bày sau đây cho phép thiết kế các
bộ điều khiển nhằm biến đổi mọi ma trận truyền đạt S (s) của đối tượng,
không cần phải vuông, tức là không cần phải có giả thiết đối tượng có số tín
hiệu vào bằng số các tín hiệu ra, về được dạng:


G
1

(s)








0
)




G
1
(s)
G(s)
=




hoặc
G(s)
=

 


0












0


Điều đó nói rằng mọi hệ thống MIMO đều có thể tách được kênh.
Phép biến đổi Smith – McMilan dựa vào việc thay đổi các dòng hay cột của
ma trận bằng những dòng, cột mới tương đương (phép biến đổi tương đương)
Đi
ề
u

k
h
iể
n

tá
c

h

kênh
h
ệ

tu
y
ế
n

tính bằng phản
hồ
i

đầu
ra
th
e
o

nguyên
lý
t
á
c
h
CH

ơng

2: Đ
i
ều

khiển
tách kênh
tr
o
ng

miền
tần số và nhợc
điểm của
nó
Page:
6
0

G
m
(s
0

0
0 0 0


G
m
(s) 0 0

0
Chng
2
IU KHIN TCH KấNH TRONG MIN TN
S
V NHC IM CA
Nể
2.1. Mụ hỡnh ma trn hm truyn
Phộp bin i Smith McMilan trỡnh by sau õy cho phộp thit k cỏc
b iu khin nhm bin i mi ma trn truyn t S (s) ca i tng,
khụng cn phi vuụng, tc l khụng cn phi cú gi thit i tng cú s tớn
hiu vo bng s cỏc tớn hiu ra, v c dng:


G
1

(s)






0
)

G
1
(s)
G(s)
=




hoc
G(s)
=




0

0


iu ú núi rng mi h thng MIMO u cú th tỏch c kờnh.
Phộp bin i Smith McMilan da vo vic thay i cỏc dũng hay ct ca
ma trn bng nhng dũng, ct mi tng ng (phộp bin i tng ng).
Chỳng bao gm:
- Hoỏn i v trớ vộct hng th i vi hng th k ca S (s). Vic ny
tng ng phộp nhõn I
ik
vi S (s), trong ú I
ik
l ma trn khụng suy
bin thu c t ma trn n v I sau khi i ch hai hng th i v k
(hoc hai ct). Vớ d:
0 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
 
 

t t
 
25

3
 
3


 


 
 


t
1 0 0 0 0


t
1
 

t
1

   


0 0 0 0 1




2
 

5

I S (s) =


0 0 1 0 0




t


=


t

   


0 0 0 1 0



t
4
 

t

4



0 1 0 0 0




t
5
 
t

2

- Hoán đổi vị trí véctơ cột thứ i với cột thứ k của S (s). Việc này tương
ứng phép nhân S (s) với I
ik
, trong đó I
ik
là ma trận không suy biến thu
được từ ma trận đơn vị I sau khi đổi chỗ hai hàng thứ i và thứ k (hoặc
hai cột). Ví dụ:


1 0 0 0 0



0 1



t
1
t
2
t
3
t
4
t
5


 


t
1
t
5
t
3
t
4
t
2


S (s)I
25
=

 


0 0

=

 
 


0 0

 
 


0 0

 
- Hàng thứ i được cộng thêm với tích của c và hàng thứ k trong S (s).
Việc này tương ứng phép nhân C
ik
với S (s), trong đó C
ik
là ma trận

không suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi thay phần tử 0 thứ
ik bằng phần tử c. Ví dụ:


1 0 0 0 0




t
1
 
t
1

 

  
+



0 1 0 c
0




t
2

 

t
2
c.t
4

   
C
24
S (s)
=



0 0 1 0 0




t
3


=


t
3


 

   


0 0 0 1 0



t
4
 
t
4



0 0 0 0 1




t
 
5
 

5

- Cột thứ k được cộng thêm với tích của c và cột thứ i trong S (s). Việc này

tương ứng phép nhân S (s) với C
ik
, trong đó C
ik
là ma trận vuông không
1 0 c
0 1 0
0 0 1
0 0 0

suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi thay phần tử 0 thứ ik bằng
phần tử c. Ví dụ:


1 0 0 0 0



0 0



t
1
t
2
t
3
t
4

t
5


 


t
1
t
2
t
3
t
4
+
c.t
2
t
5

S (s)C
24
=

 


0 0


=

 
 


0 0

 
 


0 1

 
Phép biến đổi Smith – McMilan được tóm tắt như sau:
1. Viết lại S (s) thành
1
d

(s)
P(s)
trong đó d (s) là đa thức bội số chung nhỏ nhất
của tất cả các đa thức mẫu số có trong các phần tử của S (s) và P (s) là ma trận
có các phần tử là đa thức. Ví dụ:

1
−
1



s
2
+
3s
+
2 s
2
+
3s
+
2

 
1
2 2
−
1

S (s)
=


s
+
s
−
4
=
2s

−
s
−
8

=



1

s
2
+
s
−
4 2s
2
−
s
−
8



s
2
+
3s
+

2 s
2
+
3s
+
2

s
2
+
3s
+
2
 
 

s
2
−
4 2s
2
−
8


s
−
2
=
2s − 4


 

s
+
1 s
+
1

d(s P(s)
 
2. Sử dụng các phép biến đổi tương đương đã nói ở trên để đưa P (s) về
dạng “đường chéo” bằng cách đưa dần các phần tử không nằm trên
đường chéo về 0 thông qua việc cộng trừ hàng và cột. Điều này đã
được Smith – McMillan chuyển thành những bước của thuật toán sau:
a. Đặt d
0
(s) = 1.
b. Chọn d
1
(s) là ước số chung lớn nhất của tất cả các phần tử của P
(s).
Ví dụ:
d
1
(s) = ƯSCLN {1, -1, s
2
+ s - 4, 2s
2
- s – 4, s

2
– 4, 2s
2
– 8} = 1
c. Chọn d
k
(s) là ước số chung lớn nhất của tất cả các phần tử là
định thức ma trận vuông kxk lấy từ P (s). Ví dụ:
d
2
(s)= ƯSCLN

1
−
1



1
−
1



s
2
+
s
−
4 2s

2
−
s
−

8


{

det



,




,




}

s
2
+
s

−
4 2s
2
−
s
−

8




s
2
−
4 2s
2
−

8



s
2
−
4 2s
2
−
8


= ƯSCLN
{
3s
2
− 2s −
4,
3s
2
− 4, s(s
2
− 4) }=(s+2)(s-2)
d. Ma trận “đường chéo” G (s) tương đương với S (s) sẽ có các
phần tử G
k
(s) là:
Ví dụ:
G
k
(s) =
1
.
d (s)
d
k
(s)
d
k
−
1

(s)

1
0

 


1 0



(s
+
1)(s
+
2)

G(s)
=



1


0 (s
+
2)(s
−

2)


=


0
s
−
2

s
2
+
3s
+
2
 

s
+
1



0 0

 
0 0
 

 
 
 
S
P
(s)
S(s)
S
T
(s)
G(s)
H×nh 2.1:ThiÕt kÕ bé ®iÒu khiÓn t¸ch
kªnh
theo Smith -
McMillan
Như vậy phép biến đổi Smith – McMillan không cần có giả thiết S (s) phải là
ma trận vuông và có E không suy biến. Ma trận G (s) được tạo thành là tương
đương với S (s) theo nghĩa:
G(s) = S
T
(s)S(s)S
P
(s)
Trong đó S
T
(s) và S
P
(s) là những ma trận không suy biến (với phần lớn các
giá trị s), được sinh ra từ những phép biến đổi hàng cột của S (s). Chúng
chính là hai bộ điều khiển tách kênh đối tượng S (s) như mô tả ở hình vẽ trên.

ji
2.2. Đánh giá sự tương tác các kênh
Tương tác được hiểu là tác động qua lại hoặc ảnh hưởng lẫn nhau giữa các đối
tượng tham gia tương tác. Trong hệ MIMO, sự tương tác được thể hiện qua sự
thay đổi của một biến sẽ ảnh hưởng tới các biến còn lại với các mức độ khác
nhau.
Giữa hai biến x
i
và x
j
trong hệ thống có thể có các quan hệ: tương tác 2 chiều
(sự thay đổi của bất kỳ biến nào cũng sẽ ảnh hưởng tới biến còn lại); tương
tác 1 chiều, chẳng hạn từ x
i
sang x
j
(chỉ sự thay đổi của x
i
mới ảnh hưởng tới
x
j
còn thay đổi x
j
không ảnh hưởng tới x
i
); hoặc giữa 2 biến không có tương
tác.
Mức độ tương tác giữa các biến được thể hiện qua hệ số tương tác. Hệ số
tương tác tĩnh giữa biến vào u
i

và biến ra y
j
ký hiệu là
λ

ji
được định nghĩa là
tỷ số giữa hệ số khuếch đại vòng hở (khi chưa có điều khiển) và hệ số khuếch
đại vòng kín (khi đã có điều khiển). Khi
λ

ji
= 1: y
j
chỉ phụ thuộc vào riêng u
i
,
λ

ji
= 0 : giữa u
i
và y
j
không có quan hệ gì,
λ

ji
< 1: thể hiện hệ số khuếch đại từ
u

i
sang y
j
sẽ giảm khi khép mạch và ngược lại.
Giả sử hệ thống có n biến vào điều khiển n biến ra và ma trận truyền
đạt: G(s) =
[g
ij
]
nxn
Các hệ số tương tác
λ

ji
tương ứng với các phần tử của ma trận có hệ số
khuếch đại tương đối ký hiệu là ∇ G được xác định theo công thức:
∇ G = G(s) x (G(s)
-1
)
T
=
[
λ (s)]
nxn
ý nghĩa của hệ số tương tác
λ

ji
: Đánh giá mức độ tương tác giữa các biến
trong hệ thống và trợ giúp việc cặp đôi các biến điều khiển và biến được điều

khiển trong trường hợp sử dụng cấu trúc điều khiển phi tập trung, khi
λ

ji
→
1
sẽ dùng u
j
để điều khiển y
i
. Tuyệt đối tránh trường hợp cặp đôi u
j
và y
i
mà
λ

ji
<0. Một trong những nhiệm vụ quan trọng khi điều khiển hệ MIMO là
giảm thiểu hoặc khử t •¬ng t¸c gi÷a c¸c ®Çu ra.
Đi
ề
u

k
h
iể
n

tá

c
h

kênh
h
ệ

tu
y
ế
n

tính bằng phản
hồ
i

đầu
ra
th
e
o

nguyên
lý
t
á
c
h
C
h

Ư
ơng
3: Đ
i
ều

khiển
tách kênh bằng
p
h
ả
n

hồi
tr
ạng
th
á
i
Page:
12
Chng
3
IU KHIN TCH KấNH BNG PHN HI TRNG
THI
3.1. iu khin phn hi trng thỏi
i tng iu khin, cỏc tớn hiu trng thỏi x
1
(t), x
2

(t), , x
n
(t) c vit
chung dng vộct x

(t) = (x
1
(t), x
2
(t), , x
n
(t))
T
, l thnh phn cha ng y
nht cỏc thụng tin cht lng ng hc h thng. Nú phn ỏnh nhanh nht
s nh hng ca nhng tỏc ng bờn ngoi vo h thng, k c nhng tỏc
ng nhiu khụng mong mun. Bi vy, cú th to ra c cho i tng
mt cht lng mong mun, n nh vi cỏc tỏc ng nhiu, cn phi cú c
mt tớn hiu ỏp t u vo l u (t) phn ng kp theo nhng thay i trng
thỏi ca i tng.
w e
Bộ điều
u
khiển
+
Đối tợng
y
điều khiển
x
Hình 3.1a: Bộ điều khiển đặt ở vị

trí
mạch truyền
thẳng
Đi
ề
u

k
h
iể
n

tá
c
h

kênh
h
ệ

tu
y
ế
n

tính bằng phản
hồ
i

đầu

ra
th
e
o

nguyên
lý
t
á
c
h
C
h
Ư
ơng
3: Đ
i
ều

khiển
tách kênh bằng
p
h
ả
n

hồi
tr
ạng
th

á
i
Page:
13
w u
+
Bộ điều
khiển
Đối tợng
y
điều khiển
x
Hình 3.1b: Vị trí bộ điều khiển đặt ở
mạch hồi tiếp
Hỡnh v trờn biu din nguyờn tc iu khin phn hi trng thỏi. B iu
khin s dng tớn hiu trng thỏi x(t) ca i tng to ra c tớn hiu
u vo u (t) cho i tng. V trớ ca b iu khin cú th l mch truyn
thng (hỡnh 3.1a) hoc mch hi tip (hỡnh 3.1b).
H thng iu khin phn hi trng thỏi cú kh nng gi c n nh cht
lng mong mun cho i tng, mc dự trong quỏ trỡnh iu khin luụn cú
nhng tỏc ng nhiu. Xột phn ng ca ngi lỏi xe lm vớ d, trong ú
ngi lỏi xe c xem nh l b iu khin v chic xe l i tng iu
khin. Nhim v ca b iu khin l gi n nh tc xe v v trớ ca xe
phi luụn nm trong phn ng bờn phi ca vch phõn cỏch. Nh vy
ngi lỏi xe (b iu khin) ó:
- Da vo khong cỏch ca xe vi vch phõn cỏch (trng thỏi ca i
tng iu khin) a ra quyt nh phi ỏnh tay lỏi sang phi
mnh hay nh.
- Da vo tỡnh trng ca mt ng nh lờn dc hay xung dc (tỏc
ng ca tớn hiu nhiu ti cht lng h thng) iu chnh s v

bn p ga.
1
3.2. Thuật toán tìm các bộ điều khiển của bài toán tách kênh
Xét đối tượng MIMO tuyến tính có m đầu vào u
1
, u
2
,…u
m
và cũng có m đầu
ra y
1
, y
2
,…,y
m
mô tả bởi:


d
x


dt


= Ax +
Bu
y =
C

x
w
1
u
M
w
2
R
y
1
y
2
x
w
1
y
w
2
y
2
H×nh 3.2: M« t¶ thuËt to¸n t¸ch kªnh
Để tách kênh, ta phải xác định các bộ điều khiển R và M như ở hình trên mô
tả, sao cho đầu ra y
i
(t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào w
i
(t) với i =

i

i
m
1,2, , m. Sự phụ thuộc đó được mô tả trong miền thời gian bởi phương trình
vi phân bậc r
i
hệ số hằng:
dy
d

r
i
−1
y
d

r
i
y
a
0
+
a
1
+



+
a
, 1

1
+ =
b w
i
i i
i
i i
dt
i r
i
−
dt

r
i
−
dt

r
i
i
<=>
d
ri
y
r
i
−
1
+

∑
a
ik
d
k
y
k
=
b
i

w
i
(3.1)
dt
ri
k

=
0
dt
Trong đó b
i
và a
ik
, i = 1, 2, ,m; k = 0,1, ,r
i
– 1 là các tham số tự do được
chọn tuỳ ý theo chất lượng đặt trước của từng kênh. Nói cách khác, nhiệm vụ
thiết kế đặt ra ở đây là phải xác định hai bộ điều khiển tĩnh R và M để với nó

hệ kín có ma trận truyền đạt dạng đường chéo:


G
i
(s) 0

 
G(s) =


0 G
m
(s)

 
Với các phần tử G
i
(s) là những hàm truyền đạt:
G
i
(s)
=
a
b
i
+
a s
+

+
a s
r
i
−
1
+

s
r
i
(3.2)
i

0 i1 i
,r
i
−
1
có các hệ số b
i
và a
ik
, i = 1, 2, ,m; k = 0,1, ,r
i
– 1 cho trước, tương ứng với
chất lượng mong muốn của từng kênh.
Trước hết ta bàn đến vấn đề bậc r

i
, i = 1,2 , m của mô hình (3.1), cũng như
của hàm truyền đạt (3.2) cần phải có, tức là xét xem với r
i
như thế nào thì vế
phải của (3.1) chỉ có w
i
(t) chứ không có các đạo hàm của w
i
(t).
Để xác định r
i
cho riêng kênh thứ i ta sử dụng khái niệm bậc tương đối tối
thiểu được định nghĩa:
Bậc tương đối tối thiểu r =n-m của hệ SISO có hàm truyền đạt
G(s) =
b
0
+
b
1
s
+



+

b
m

s
n
(m<n)
a
0
+
a
1
s
+



+

a
n

s

G
mm
(



dt






tương ứng của nó bằng công thức sau:
c

T
A
k
B
=


0
khi
0
≤
k
≤
r
−
2


≠

0
khi k = r
−

1


c

T


1

Ký hiệu c

i
, i=1,2, , s là véctơ hàng thứ i của ma trận C, tức là C
=







T


c
s 
thì bậc tương đối tối thiểu r
i
cho kênh thứ i sẽ được xác định theo định lý sau:

Định lý 3.1
Từng phần tử của véctơ hàng (r
1
, ,r
m
) gọi là véctơ bậc tương đối tối thiểu
của hệ MIMO


dx
=
Ax
+
Bu



y =
C
x
có m tín hiệu vào u (t), , u
m
(t) và m tín hiệu ra y
1
(t) , , y
m
(t), mô tả bởi ma
trận truyền đạt:


G
11

(s)
G
12
(s) G
1m
(s)




G(s)
=

C
(sI
−
A)
−
1
B
=


G
21

(s)


G
22
(s)
G
2
m
(s)






G
m1

(s)
G
m
2
(s)
s)




dx
=
Ax

+

Bu
sẽ được xác định từ mô hình trạng thái


dt


y =
C

x
của nó bằng công thức
c

T
A
k
B
=


0
khi
0
≤
k
≤
r

−
2


≠

0
khi k = r
−
1
(3.3)
Trong đó c

i
T
là véctơ hàng thứ i của ma trận C.

C hứ ng

m inh :


dt


dt


dt








Sau đây ta sẽ xét bài toán cho hệ MIMO có m tín hiệu vào u
1
(t), , u
m
(t) và
m tín hiệu ra y
1
(t), , y
m
(t) với mô hình trạng thái dạng hợp thức chặt:


dx
=
Ax
+
Bu



y =
C
x
Ta vận dụng định lý 1.2 sau để chứng minh:

Định lý 3.2
Xét hệ SISO tham số hằng với mô hình trạng thái dạng:


dx
=
Ax
+
Bu



y =
C
x + Du
Được viết lại cho phù hợp với tính chất SISO, tức là m = r = 1 như sau:


dx
=
Ax
+
bu



y = c

T
x + d

u
Nói cách khác, do có m = r = 1 nên ma trận B trở thành véctơ b , ma trận C
thành véctơ hàng c

T
và ma trận D trở thành số thực
d. Hệ SISO tuyến tính trên có hàm truyền đạt:
G(s) = c

T
(sI-A)
-1
b +d (3.4)
Gọi A (s) là đa thức đặc tính của hệ (đa thức mẫu số) và B (s) là đa thức tử số


dx
=
Ax
+

bu
của G (s), tức là G (s) =
B(s)
. Khi đó, nếu mô hình trạng thái
A(s)


dt



y
=
c

T
x
+
d

u
không có biến trạng thái thừa (loại biến trạng thái hoàn toàn suy ra được
bằng công thức đại số từ những biến trạng thái còn lại), thì:




dt

A(s) = a
0
+a
1
s+ +a
n
s
n
= det(sI-A)
B(s) = b

0
+b
1
s+ +b
m
s
m
=
c

T
A
adj
b
+
d det(sI
−

A)
với
A
adj
là ma trận bù của ma trận (sI-A)


dx
=
Ax
+
bu

Hàm truyền đạt G (s) luôn hợp thức và nếu mô hình trạng thái


dt


y
=
c

T
x
+
d

u
có d =0 thì G (s) còn là hợp thức chặt (bậc của đa thức tử số nhỏ hơn bậc của
đa thức mẫu số)

C hứ ng

minh :
Chuyển 2 vế của phương trình thứ nhất của hệ


dx
=
Ax
+

bu



y
=
c

T
x
+

d

u
sang miền phức
nhờ toán tử Laplace và để ý rằng các giá trị đầu x
i
(0), i=1,2, , n đều bằng 0,
sẽ có:
sX

(s) = aX

(s) +bU(s) ⇔ X(s) = (sI-A)
-1
bU(s)
Tương tự, ảnh Laplace của phương trình thứ hai là:
Y(s) = c

T
X

(s)+dU(s)
Với hai kết quả trên ta suy ra được điều phải chứng minh thứ nhất:
Y(s) = [c

T
(sI-A)
-1
b+d]U(s)
Tiếp tục, do:
(sI
−
A)
−
1
=
A
adj
det(sI − A)

G
mm
(
Với
A
adj
là ma trận có các phần tử
a

ij
= (−1)
i
+
j
det
A

ji
, trong đó ma
trận
A

ji
thu
được từ (sI-A) bằng cách bỏ đi hàng thứ j và cột thứ i (bỏ đi hàng và cột chứa
phần tử đối xứng với a
iJ
), nên:
G(s) =
B(s)
=
c
T
(sI
−

A)
−
1

b
+
d
=
c

T
A
adj

b
+

d
(3.5)
A(s) det(sI −
A)
và đó là điều phải chứng minh thứ hai.
Cuối cùng, do
A
adj
có các phần tử là định thức của ma trận (n-1) hàng (n-1) cột
lấy từ (sI-A), tức là đa thức có bậc không quá n -1, nên
c
T
A
adj

b

có bậc cao
nhất cũng chỉ là n -1. Bởi vậy từ (3.4) ta suy ra điều phải chứng minh thứ
ba.
Tương tự như hàm truyền đạt cho hệ SISO, ta định nghĩa: ma trận truyền đạt
G (s) cho hệ MIMO là loại ma trận thoả mãn:
Y

(s) = G(s)U

(s)
Trong đó U

(s) là ký hiệu chỉ ảnh Laplace của véctơ tín hiệu vào u(t) và
Y

(s) là ảnh Laplace của véctơ tín hiệu ra y(t) khi hệ có tất cả các trạng thái
đầu vào bằng 0, thì ma trận G (s) cũng được xác định từ mô hình trạng thái
của nó như sau:
G(s) = C(sI-A)
-1
B + D
Vậy với đối tượng MIMO đang xét, ta có ma trận truyền đạt:


G
11

(s)
G
12

(s)
G
1m
(s)




G(s)
=

C
(sI
−
A)
−
1
B
=


G
21

(s)

G
22
(s)
G

2
m
(s)






G
m1

(s)
G
m
2
(s)
s)


Từng phần tử G
ik
(s) của ma trận G (s) chính là hàm truyền đạt giữa tín hiệu