Bài tập lãi suất tài chính tiền tệ có lời giải

CHƯƠNG 2: GIÁ TRỊ TIỀN TỆ THEO THỜI GIAN

Để thấy nhân tố lãi suất có ảnh hưởng như thế nào đối với quyết định tài
chính, trước hết chúng ta hãy đề cập đến khái niệm giá trị tiền tệ theo thời gian.
Khái niệm hàm ý nói rằng “Tiền tệ có gía trị theo thời gian” có nghĩa là một
đồng tiền nhận được ngày hôm nay có giá trị hơn một đồng nhận được trong
tương lai. Nói cách khác, một đồng nhận được trong tương lai có giá trị ít hơn
một đồng nhận được ngày hôm nay. Nguyên lý này có tầm quan trọng rất lớn
đến quyết định đầu tư nói riêng và các quyết định tài chính.
Chúng ta có thể xem xét qua một ví dụ đơn giản sau: giả sử chúng ta đầu
tư 1.000USD hôm nay và sẽ nhận được 600USD ở cuối năm thứ nhất và
500USD vào cuối năm thứ 2. Chúng ta không thể đánh giá đầu tư trên là hiệu
quả qua con số tổng số tiền thu hồi về lớn hơn tổng số tiền chi ra. Như chúng ta
đã nói ở trên, một đồng nhận được trong tương lai có giá trị ít hơn một đồng
nhận được ngày hôm nay, do vậy tổng số tiền nhận được trong tương lai
1.100USD có thể có giá trị ít hơn 1.000USD đầu tư ban đầu. Tương tự chúng ta
cũng không thể nói được rằng 600USD thu về cuối năm thứ nhất và 500USD
thu về cuối năm thứ hai giống như 500USD thu về cuối năm thứ nhất và
600USD thu về cuối năm thứ hai. Nói tóm lại, tiền tệ xuất hiện ở các ở các thời
điểm khác nhau không thể cộng lại đơn giản với nhau mà không xét đến nguyên
lý giá trị tiền tệ theo thời gian.
Vậy vì sao tiền tệ lại có giá trị theo thời gian? Có 3 lý do dẫn đến nguyên
lý này.
Thứ nhất: Tiền đem đầu tư phải tạo ra tiền lớn hơn, nghĩa là tất cả các
quyết định đầu tư tài chính phải đặt trong bối cảnh sinh lợi của tiền tệ, bỏ một
đồng đầu tư hôm nay luôn mong rằng sau một khoảng thời gian nhất định phải
thu về được một lượng tiền lớn hơn 1 đồng. Đây là nguyên tắc giống như một
chân lý hiển nhiên.
Thứ hai: Trong quản lý tài chính, các nhà quản lý có khuynh hướng thích
chiết khấu số lượng tiền trong tương lai về hiện tại bởi lẽ họ không chắc chắn
rằng những điều mà mình đã dự đoán có thể xảy ra trong tương lai hay không?

Tương lai lúc nào cũng bao hàm một ý niệm không chắc chắn, do đó một đồng
nhận được trong tương lai không thể có cùng giá trị với một đồng nhận được
ngay hôm nay.
Thứ ba: Tiền tệ sẽ bị mất sức mua trong điều kiện có lạm phát. Trong môi
trường lạm phát tiên tệ sẽ bị mất sức mua theo thời gian. Điều này làm một đồng
nhận được trong tương lai có giá trị ít hơn một đồng nhận được ngay hôm nay.
Hiện giá hôm nay của một số lượng tiền nhận được trong tương lai sẽ giảm
đi khi chúng ta xem xét đến chính sách lãi suất hiện hành hoặc sự không chắc
chắn trong tương lai hoặc yếu tố lạm phát hoặc cả 3 yếu tố trên. Một sự giảm sút
trong giá trị hôm nay cũng có nghĩa là sự gia tăng của giá trị tiền tệ theo thời
gian.

15
Tổng hợp ba yếu tố ở phần trên thể hiện yếu tố lãi suất trong quyết định đầu
tư tài chính. Yếu tố lãi suất trong các quyết định đầu tư tài chính phải bao hàm
cùng một lúc cả ba nhận tố này. Thậm chí trong trường hợp không có lạm phát
và hầu như không có rủi ro xẩy ra trong tương lai thì tiền tệ vẫn có gía trị theo
thời gian bởi lẽ vô cùng đơn giản tiền đem vào đầu tư phải luôn sinh lời. Và để
chúng ta dễ dàng tiếp cận khái niệm giá trị tiền tệ theo thời gian, trong chương
này trước hết chúng tôi sẽ trình bày sự khác biệt giữa lãi kép và lãi đơn.
2.1 . LÃI SUẤT VÀ LÃI TỨC
2.1.1. Lãi tức (Tiền lãi).
Lãi tức (tiền lãi): là số tuyệt đối phản ánh phần chênh lệch vốn tích luỹ theo
thời gian trừ đi vốn đầu tư ban đầu.

Lãi tức = Tổng vốn tích luỹ theo thời gian
- Vốn đầu tư ban đầu

2.1.2. Lãi suất.
Lãi suất: là lãi tức (Tiền lãi) trong một đơn vị thời gian chia cho vốn đầu tư

ban đầu tính theo phần trăm (%).


Lãi tức trong một đơn vị thời gian

Lãi suất = x 100%

Vốn đầu tư ban đầu


2.1.3. Lãi đơn.
Là tiền lãi được tính trên số vốn gốc đầu tư ban đầu ban đầu.
Xây dựng công thức tính lãi đơn:
Gọi: + PV: Vốn đầu tư ban đầu.
+ r: Lãi suất.
+ n: Số kỳ đầu tư.
+ I: Tiền lãi đơn thu được sau n kỳ đầu tư.
+ FV
t
: Số tiền cả gốc và lãi có được ở năm t (t=
n,1
).
Ta có: Số tiền cả gốc và lãi có được ở năm t (t=
n,1 ) là:
+ Số tiền sau năm đầu tư thứ 1: FV1 = PV + PV x r = PVx(1+ r)
+ Số tiền sau năm đầu tư thứ 2: FV2 = PV + PVx r + PV x r = PVx(1 + 2r)
……………………………………………………………………….
+ Số tiền sau n năm đầu tư : FVn=PV+PVx r+PVx r + = PVx(1+n x r)
Vậy tổng số tiền thu được (cả gốc và lãi) của khoản vốn sau n kỳ đầu tư là:
FVn = PV + I = PV + PVx rx n = PVx (1+ n x r)

Ö Ta có: Tiền lãi đơn thu được sau n kỳ đầu tư:
I = FVn - PV = PVx (1+ n x r) – PV = PVx r x n (2.1)


16
Ví dụ 2.1: Mua trái phiếu chính phủ (Tính theo lãi đơn): Mệnh giá: 100.000đ,
Lãi suất: 10%/ năm, Thời hạn: 5 năm, Trả gốc, lãi 1 lần sau 5 năm. Yêu cầu:
Xác định tiền lãi thu được sau 5 năm, tổng số tiền nhận về cả gốc và lãi sau 3, 5 năm.
Bài giải: + Tổng tiền lãi thu được (I)= 100.000 x 10% x 5 = 50.000 đ
+ Tổng số tiền thu được sau 3 năm (FV3):
FV3 = 100.000(1+3 x10%) = 130.000đ
+ Tổng số tiền thu được sau 5 năm (FV5):
FV5= 100.000 (1+ 5 x10%) = 150.000đ
2.1.4. Lãi kép
Lãi tức kép: là tiền lãi được xác định dựa trên cơ sở là số tiền lãi của các kỳ
trước cộng vào vốn gốc làm căn cứ tính lãi của kỳ sau.
Như vậy, ta có thể hiểu rằng khi khoản tiền đầu tư với lãi kép, mỗi lần
thanh toán lãi là phần lãi đó lại được tái đầu tư.
Xây dựng công thức tính lãi kép
Gọi: + PV: Vốn đầu tư ban đầu.
+ r: Lãi suất.
+ n: Số kỳ đầu tư.
+ I: Tiền lãi kép thu được sau n kỳ đầu tư.
+ FV
t
: Số tiền cả gốc và lãi có được ở năm t (t=
n,1
).
Ta có: Số tiền cả gốc và lãi có được ở năm t (t=
n,1

) theo lãi kép là:
+ Sau năm thứ 1 : FV1 = PV + PVx r = PVx (1+ r)
1
+ Sau năm thứ 2 : FV2 = FV1 + FV1 x r = FV1x (1 + r) = PVx (1+ r)
2


+ Sau năm thứ 3 : FV3 = FV2 + FV2 x r = FV2 x(1 + r) = PV x (1+ r)
3

+ Sau năm thứ n : FVn = FV
n-1
+ FV
n-1
x r = FV
n-1
x (1 + r) = PV x (1+ r)
n
Vậy tổng số tiền thu được (cả gốc và lãi) sau n năm đầu tư là:
FVn = PV x (1+ r)
n
Ö Ta có: Số tiền lãi thu được sau n năm đầu tư theo lãi kép:
I = FVn - PV = PV x (1+ r)
n
– PV = PV x [(1+ r)
n
-1] (2.2)

Ví dụ 2.2: Công ty A gửi vào ngân hàng M khoản tiền 500 triệu, lãi suất: 10%/
năm, Thời hạn: 5 năm, Trả gốc và lãi 1 lần sau 5 năm, tính tiền lãi theo phương

pháp lãi kép. Yêu cầu:
+ Xác định số tiền (gốc + lãi) có được sau năm đầu tư thứ 1,2,3,4,5.
+ Xác định số tiền lãi thu được sau 5 năm đầu tư theo lãi kép.
Bài giải:
+ Số tiền (gốc+ lãi) thu được sau năm 1 (FV1) = 500trx (1+10%)1 = 550trđ
+ Số tiền (gốc+ lãi) thu được sau năm 2 (FV2) = 500trx (1+10%)2 = 605trđ
+ Số tiền (gốc+ lãi) thu được sau năm 3 (FV3) =500trx(1+10%)3 = 665,5trđ
+ Số tiền (gốc+ lãi) thu được sau năm 4 (FV4) =500trx(1+10%)4= 732,05trđ

17
+ Số tiền (gốc+lãi) thu được sau năm 5 (FV5)=500trx(1+10%)5= 805,255trđ
+ Số lãi thu được sau 5 năm đầu tư (I) =500trx[(1+10%)5 -1] = 305,255trđ
Nếu làm trên EXCEL để xác đinh được số lãi thu được qua các năm đầu tư
theo phương pháp lãi kép ta có thể dùng hàm (FV).
Từ Excel\Insert\Funstion\financial\FV\
Câu lệnh của hàm FV là : = FV(Rate, Nper, Pmt, PV, Type)
Trong đó: Rate: là lãi suất đầu tư của phương án
Nper: là số kỳ đầu tư
Pmt: là số tiền bỏ như nhau hàng năm (A)
PV: là số tiền bỏ ra ban đầu
Type: là thời điểm phát sinh PV (giá trị 0 cuối kỳ; giá trị 1 đầu kỳ)
Vận dụng vào bài toán này ta xác định được giá trị tương lai của khoản tiền
500trđ gửi ngân hàng của công ty A và số tiền lãi thu được qua các năm là:
Sau năm thứ 1: FV1=FV(10%,1,0,500.000.000,0) = 550 tr

Sau năm thứ 2: FV2=FV(10%,2,0,500.000.000,0) = 605 tr
Sau năm thứ 3: FV3=FV(10%,3,0,500.000.000,0) = 665,5 tr

Sau năm thứ 4: FV4=FV(10%,4,0,500.000.000,0) = 732,05 tr
Sau năm thứ 5: FV5=FV(10%,5,0,500.000.000,0) = 805,255 tr

Số lãi thu được sau 5 năm đầu tư (I) = 500trx[(1+10%)5 -1] = 305,255tr

2.2. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI, HIỆN TẠI CỦA MỘT KHOẢN TIỀN ĐẦU TƯ
2.2.1. Giá trị tương lai của một khoản tiền đầu tư hiện tại.
a. Xây dựng công thức
Sơ đồ mô phỏng như sau: Sơ đồ 2.1

0 1 2 3 n-1 n
PV0

FV1

FV2 FV3 FV
n-1
FVn




Trong rất nhiều ứng dụng thực tiễn, chúng ta cần xác định giá trị tương lai
của một lượng tiền tệ bỏ ra trong hiện tại. Hầu như chúng ta luôn luôn có nhu
cầu phải biết được giá trị tương lai của một lượng tiền tệ bỏ ra ở hiện tại sẽ được
thanh toán trong tương lai là bao nhiêu. Giả sử ngày hôm nay hoặc ngay bây giờ
chúng ta bỏ một lượng tiền 100USD gửi vào ngân hàng sau 1 năm nữa thì khi đó
giá trị tương lai của 100USD sẽ lớn hơn 100USD và con số cụ thể là bao nhiêu
thì chúng ta có thể dễ dàng tính toán được qua công thức được xác định ngay
sau đây.
Ký hiệu: PV: giá trị của khoản vốn đầu tư ban đầu (Present Value).
FVn: giá trị tương lai của khoản vốn đầu tư ban đầu sau năm thứ n.
r: là lãi suất kép (%/năm)

n: số kỳ đầu tư (năm)
FV
t
: giá trị tương lai của khoản vốn đầu tư sau t năm đầu tư (t=
n,1
).

18
Ta có giá trị tương lai của một khoản tiền đầu tư (PV
o
) sau t năm đầu tư
(t=
n,1
)
+ Sau năm thứ 1 : FV1 = PV + PV x r = PV x (1+ r)
1
+ Sau năm thứ 2 : FV2 = FV1 + FV1x r = FV1x (1 + r) = PV x (1+ r)
2


+ Sau năm thứ 3 : FV3 = FV2 + FV2 x r = FV2 x (1 + r) = PV x (1+ r)
3

+ Sau năm thứ n : FVn = FVn-1 + FVn-1x r = FVn-1 x (1+r) = PV x (1+r)
n
Vậy giá trị tương lai của một khoản đầu tư (PV
0
) sau n năm đầu tư là:
n
rPVoFVn )1( +×=

(2.3)
Giả định mức lãi suất là 10% thì giá trị tương lai của 100USD bỏ ra hôm
nay là:
USDUSDFV 110%)101(1001
1
=+×=
(1+r)
n
gọi là thừa số lãi suất tương lai. Thừa số lãi suất tương lai chính là
giá trị tương lai của 1 đồng vốn sau n năm đầu tư được tính theo lãi kép. Giá trị
tương lai của một đồng phụ thuộc vào 2 yếu tố là lãi suất đầu tư (r) và thời gian
đầu tư (n). Nếu chúng ta ký hiệu thừa số lãi suất trong tương lai (1+r)
n
là
FVF(r,n). Khi đó ta có FVn được xác định như sau: FV
n
= PV x FVF(r,n).
Thừa số lãi suất tương lai FVF(r,n)
được tính sẵn trong bảng phụ lục kèm
theo. Sử dụng bảng phụ lục này ta có FVF(10%,5)=1,6105. Điều này có nghĩa là
gía trị tương lai của 1 đồng sau 5 năm đầu tư với lãi suất 10% sẽ có giá trị là
1,6105. Do đó nếu vốn gốc đầu tư ban đầu là 100USD thì ta có: FV
n
= 100USD
x 1,6105 = 161,05USD.
Chúng ta có thể thấy rằng với mức lãi suất càng cao, sự tăng trưởng giá trị
tiền tệ theo thời gian càng nhanh và với bất kỳ mức lãi suất nào đó thì càng ngày
trở nên có độ dốc cao hơn theo thời gian. Chằng hạn, bạn vừa sinh ra cha của
bạn đã mở một tài khoản tiền gửi tiết kiệm cho bạn là 5.000USD với mức lãi
suất là 10%/năm. Nếu như bây giờ bạn muốn rút ra vốn gốc cộng với tất cả tiền

lãi được tích lũy lại khi bạn đã 25 tuổi, số dư tiền gửi của bạn sẽ là bao nhiêu tại
thời điểm này?
Giá trị tương lai khoản tiền 5.000USD sau 25 năm đầu tư với lãi suất ổn
định 10% / năm đươc xác định:
USDFV 5,173.548347,10000.5%)101(000.525
25
=×=+×=

Giả sử bây giờ lãi suất đầu tư là 20%, thay vì 10%, thì số tiền gửi của bạn
sẽ là:
USDFV 981.4763962,95000.5%)201(000.525
25
=×=+×=
Bạn có thấy điểm khác biệt gì không? Bạn sẽ thấy rằng khi mức lãi suất
tăng lên gấp đôi (từ 10% tăng lên 20%), giá trị tương lai lớn hơn gấp đôi:
476.981USD lớn hơn 2*54.173,5USD = 108.347USD. Điều này phản ánh sự
thật là quan hệ giữa mức lãi suất r và giá trị tương lai FVn không phải là tuyến
tính mà là phi tuyến tính (Sơ đồ 2.2).

19
Sơ đồ 2.2: ĐỒ THỊ MỐI QUAN HỆ GIỮA FVAn, r, n

5
4
3
2
1
10
8
642

0
r=0%
r=20%
r=10%
Lãi suất - thời gian

FVn











b. Ví dụ
Ví dụ 2.3: Trường hợp r không thay đổi trong suốt chu kỳ đầu tư.
Ông A mua công trái nhà nước phát hành: Mệnh giá 500.000đồng, lãi suất
r: 7%/năm, thời gian đáo hạn 6 năm, xác định số tiền thu được gồm cả gốc và lãi
khi công trái đáo hạn?
Bài giải:
FVn = 500.000x(1+10%)6 = 885.780,5
Nếu làm trên EXCEL để xác định giá trị tương lai của một khoản tiền
500.000 đồng bỏ ra mua công trái nhà nước ở hiện tại sau 6 năm với lãi suất
tương lai được chọn 7% /năm theo phương pháp lãi kép ta có thể dùng hàm (FV).
Từ Excel\Insert\Funstion\financial\FV\
Câu lệnh của hàm FV là :

= FV(Rate, Nper, Pmt, PV, Type)
Trong đó: Rate: lãi suất đầu tư của phương án
Nper: Số kỳ đầu tư
Pmt: Số tiền bỏ như nhau hàng năm (A)
PV: Số tiền bỏ ra ban đầu
Type: thời điểm phát sinh PV (giá trị 0 cuối kỳ; lấy giá trị 1 đầu kỳ)
Vận dụng vào bài toán này ta xác định được giá trị tương lai của khoản tiền
500.000 đồng khi công trái đáo hạn ông A nhận được là:

FV
5
=FV(10%,6,0,500000,0) = 885.780,5
Ví dụ 2.4: Trường hợp r thay đổi trong suốt chu kỳ đầu tư.
Doanh nghiệp X bỏ vốn đầu tư gửi tiết kiệm Ngân hàng A, vốn đầu tư ban
đầu 145 triệu, thời hạn thu hồi vốn 7 năm, lãi suất 2 năm đầu 10%/năm, lãi suất
3 năm sau: 12%/năm, lãi suất 2 năm cuối 11%/năm. Xác định số tiền thu được
gồm cả gốc và lãi sau 7 năm đầu tư?
Bài giải: FVn

= 145tr x(1+10%)
2
+ 145tr x(1+10%)
2
x(1+12%)
3

+ 145tr x(1+10%)
2
x(1+12%)
3

x(1+11%)
2
= 303,706 tr


20
2.2.2. Giá trị hiện tại của một khoản tiền dự kiến thu được trong tương lai
a. Xây dựng công thức:
Sơ đồ mô phỏng như sau:

0 1 2 3 4 n-1 n



PV

FVn
Trong rất nhiều ứng dụng thực tiễn, chúng ta cần xác định hiện giá của một
lượng tiền tệ trong tương lai. Hầu như chúng ta luôn luôn có nhu cầu phải biết
được hiện giá của một lượng tiền tệ sẽ được thanh toán trong tương lai là bao
nhiêu. Giả sử chúng ta mong đợi có được 100USD sau 1 năm nữa thì khi đó hiện
giá (ngày hôn nay) sẽ thấp hơn 100USD và con số cụ thể là bao nhiêu thì chúng ta
có thể dễ dàng tính toán được qua công thức được xác định ngay sau đây.
Từ công thức (2.3) giá trị tương lai của khoản tiền phát sinh ở hiện tại, ta
suy ra giá trị hiện tại của một khoản tiền dự kiến thu được trong tương lai:
(2.4)
n
rPVoFVn )1( +×=
Ö
n

n
rFVn
r
FVn
PVo
−
+=
+
= )1.(
)1(

(2.5)
Giả định mức lãi suất là 10% thì giá trị hiện tại của 100USD ngày hôm nay là:
USD
USD
PVo 91,90
%)101(
100
1
=
+
=


Tiến trình xác định giá trị hiện tại của một lượng tiền tệ dự kiến trong
tương lai được gọi là chiết khấu và lãi suất được sử dụng để chiết khấu gọi là lãi
suất chiết khấu.

),(
)1(

1
nrPVF
r
n
=
+
gọi là thừa số lãi suất hiện giá hoặc thừa số giá trị hiện
tại. Thừa số lãi suất hiện giá chính là giá trị hiện tại của 1 đồng dự kiến có được
trong năm n chiết khấu về hiện tại với lãi suất chiết khấu là r được tính theo lãi
kép. Giá trị hiện tại của một đồng phụ thuộc vào 2 yếu tố là lãi suất chiết khấu ®
và thời gian đầu tư (n). Nếu chúng ta ký hiệu thừa số lãi suất hiện giá
n
r)1(
1
+
là
. Khi đó ta có PVo được xác định như sau:
),( nrPVF
),(
)1(
nrxPVFFV
r
FV
PVo
n
n
n
=
+
=

Thừa số lãi suất hiện giá PVF(r,n) được tính sẵn trong bảng phụ lục kèm
theo. Sử dụng bảng phụ lục này ta có PVF(14%,5)=0,5194. Điều này có nghĩa là
nếu bạn có số tiền 1 USD sau 1 năm nữa thì hiện giá của nó có giá trị là 0,5194
với lãi suất chiết khấu 14%. Do đó hiện giá của 100USD ở cuối năm thứ 5 là:

Pvo=100USDx 0,5194 = 51,94 USD.

21
Sơ đồ 2.3: ĐỒ THỊ MỐI QUAN HỆ GIỮA PV,r,n








1
,
25
1
0
,
75
0
,
5
0
,

25
10
8
642
0
r=0%
r=20%
r=10%
Lãi suất, thời
PV





b. Ví dụ:
Ví dụ 2.5:
Để có được 12 triệu sau 4 năm nữa. Thì hiện tại ông A phải gửi vào
ngân hàng bao nhiêu (PVo), biết rằng lãi suất ngân hàng ổn định r = 0.5%/tháng,
thời hạn 4 năm.
Bài giải:
tr
tr
PVo 505,9
%)61(
12
4
=
+
=

Nếu làm trên EXCEL để xác định được số lãi thu được qua các năm đầu tư
theo phương pháp lãi kép ta có thể dùng hàm (PV).
Từ EXCEL\INSERT\Funstion\financial\PV\
Câu lệnh của hàm PV là: = PV(Rate, Nper, Pmt, FV, Type)
Trong đó: Rate: lãi suất chiết khấu của phương án
Nper: số kỳ đầu tư
Pmt: số tiền phát sinh đều nhau hàng năm (A)
FV: số tiền dự kiến phát sinh trong tương lai
Type: thời điểm phát sinh FV (giá trị 0 cuối kỳ; giá trị 1 đầu kỳ)
Vận dụng vào bài toán này ta xác định được giá trị hiện tại của khoản tiền
12trđ dự kiến có được sau 4 năm là: PV = PV(6%,4,0,12tr ,0) = 9,505tr

Ví dụ 2.6: Gia đình cô B lên kế hoạch cần 9 triệu để cả gia đình đi du lịch vào
cuối năm 2005 hỏi đầu năm 2000 gia đình cô B phải gửi vào ngân hàng một
khoản tiết kiệm là bao nhiêu. Biết rằng lãi suất tiền gửi ổn định 6%/năm, thời
hạn 6 năm.
Bài giải:
tr
tr
PVo 345,6
%)61(
9
6
=
+
=

Nếu làm trên EXCEL ta dùng hàm PV: = PV(6%,6,0,9tr ,0) = 6,345tr

22
2.3. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI, GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA CHUỖI TIỀN TỆ
PHÁT SINH TRONG ĐẦU TƯ
2.3.1. Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ phát sinh trong đầu tư.
a. Xây dựng công thức:
Trong dự án đầu tư các khoản thu nhập và chi phí thường xuyên xuất hiện
ở những thời điểm khác nhau tạo thành một dòng tiền tệ (chuỗi tiền tệ) và được
biểu diễn trên sơ đồ dòng tiền.
Gọi FVAn: là giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ phát sinh sau n kỳ đầu tư.
FVt: là giá trị tương lai khoản tiền tệ phát sinh ở năm t (t=
n,1
)
CFt: là khoản thu nhập hoặc chi phí phát sinh ở năm thứ t (t=
n,1
)
r(%): là lãi suất (khả năng sinh lời vốn đầu tư)
n: số kỳ đầu tư của dự án.
a1. Trường hợp 1: Trường hợp dòng tiền phát sinh vào cuối các kỳ đầu tư:
Sơ đồ mô phỏng dòng tiền CFt phát sinh qua các kỳ đầu tư như sau:
Sơ đồ 2.4: SƠ ĐỒ MÔ PHỎNG DÒNG TIỀN CFt PHÁT SINH
QUA CÁC KỲ ĐẦU TƯ

0 1 2 3 4 n-1 n
CF1

CF2
CF3
CF4

CFn-1
CFn

+ = FVAn
FV1
FV2
FV3
FV4

FVn









Giá trị tương lai của dòng tiền bất kỳ phát sinh trong đầu tư (dòng tiền biến đổi).
Là dòng tiền có các khoản tiền thu vào hoặc chi ra lớn nhỏ bất kỳ và xuất
hiện ở cuối các thời điểm trong các kỳ của thời gian đầu tư.
- Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ phát sinh qua các năm được xác định như
sau:
+ Giá trị tương lai của khoản tiền phát sinh cuối năm 1 sau n -1 chu kỳ đầu tư:
FV1 = CF
1
(1+r)
n -1

+ Giá trị tương lai của khoản tiền phát sinh cuối năm 2 sau n -2 kỳ đầu tư:
FV2 = CF
2
(1+r)
n -2
+ Giá trị tương lai của khoản tiền phát sinh cuối năm 3 sau n - 3 kỳ đầu tư:
FV3 = CF
3
(1+r)
n -3


+ Giá trị tương lai của khoản tiền phát sinh cuối năm n sau n- n kỳ đầu tư:
FVn = CFn(1+r)
n-n

23
Vậy giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ phát sinh sau n kỳ đầu tư được xác định:
FVAn = FV
1
+ FV
2
+ FV
3
+ + FV
n
FVAn =CF
1
(1+r)
n-1

+ CF
2
(1+r)
n-2
+ CF
3
(1+r)
n -3
+ + CF
n
(1+r)
n - n
=
∑
=
−
+
n
t
tn
rCFt
1
)1(
Vậy: FVAn =
∑
(2.6)
=
−
+
n

t
tn
rCFt
1
)1(
Giá trị tương lai của dòng tiền đều phát sinh trong đầu tư (Dòng tiền đều):
Là dòng tiền có các khoản tiền thu vào hoặc chi ra đều nhau và xuất hiện ở
cuối các thời điểm trong các kỳ của thời gian đầu tư.
Khi đó: CF1 = CF2 = CF3 = CF4 = = CFn = A
Do vậy ta có giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ đều nhau phát sinh sau n kỳ
đầu tư được xác định:
FVAn = CF
1
(1+r)
n-1
+ CF
2
(1+r)
n -2
+ CF
3
(1+r)
n -3
+ + CF
n
(1+r)
n - n
Ù FVAn =A(1+r)
n-1
+ A(1+r)

n -2
+ A(1+r)
n -3
+ + A(1+r)
n - n

=
∑
=
−
+
n
t
tn
rA
1
)1(

(2.7)
Chia 2 vế phương trình (2.7) cho (1+r) ta có (2.7) tương đương:
(2.7)
Ù
)1( r
FVAn
+
=
)1(
)1(
1
r

rA
n
+
+
−
+
)1(
)1(
2
r
rA
n
+
+
−
+
)1(
)1(
3
r
rA
n
+
+
−
+ +
)1(
)1(
r
rA

nn
+
+
−

Ù
)1( r
FVAn
+
= +
∑
=
−
+
n
t
tn
rA
2
)1(
)1( r
A
+
(2.7’)
Lấy phương trình (2.7’) - (2.7) ta có:

Ù
)1( r
FVAn
+

- FVAn =
)1( r
A
+
- A(1+r)
n-1

Qua các bước tính toán ta có giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ đều nhau
phát sinh sau n kỳ đầu tư được xác định.

FVAn =
(
)
[
]
r
rA
n
11 −+
(2.8)

()
[
]
r
r
n
11 −+
chính là thừa số lãi suất tương lai của chuỗi tiền tệ đều và
được ký hiệu là FVFA(r, n).

Đây chính là giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ đều trong n năm đầu tư với
lãi suất r. Khi đó ta có FVAn được xác định như sau:
FVAn =
(
)
[
]
),(
11
nrFVFAA
r
rA
n
×=
−+


24
Thừa số lãi suất tương lai của chuỗi tiền tệ đều FVFA(r, n) được tính sẵn
trong bảng phụ lục kèm theo. Sử dụng bảng phụ lục này ta có
FVFA(10%,5)=6,1051. Điều này có nghĩa là nếu đều đặn cuối mỗi năm bạn
nhận được số tiền 1 USD thì sau 5 năm nữa giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ
đều 1USD này có giá trị là 6,1051 với lãi suất tương lai là 10%. Do đó giá trị
tương lai của 100USD nhận được hàng năm sau 5 năm là:
FVAn =100USDx FVFA(10%,5) = 100USDx6,1051 = 610,51USD.
Sơ đồ 2.5
ĐỒ THỊ GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA CHUỖI TIỀN TỆ 100USD
PHÁT SINH HÀNG NĂM VỚI LÃI SUẤT 10%

5

4
321
0
100USD
thời gian
FVA
110 = 100
(
1+0
,
1
)
1
121 =100
(
1+0
,
1
)
2
133
,
1 = 100
(
1+0
,
1
)
3
146

,
41 =100
(
1+0
,
1
)
4
610
,
51USD













Nếu làm trên EXCEL để xác định giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ phát
sinh mỗi năm bằng nhau 100USD nhận được hàng năm sau 5 năm với lãi suất
tương lai được chọn 10% theo phương pháp lãi kép ta có thể dùng hàm (FV).
Từ Excel\Insert\Funstion\financial\FV\
Câu lệnh của hàm FV là : = FV(Rate, Nper, Pmt, PV, Type)
Trong đó: Rate: là lãi suất đầu tư của phương án

Nper: số kỳ đầu tư
Pmt: số tiền phát sinh bằng nhau hàng năm (A)
PV: số tiền bỏ ra ban đầu mốc 0 của dòng tiền
Type: thời điểm phát sinh PMT (giá trị 0 cuối kỳ; giá trị 1 đầu kỳ)
Vận dụng vào bài toán này ta xác định được giá trị tương lai của chuỗi tiền
tệ phát sinh mỗi năm bằng nhau 100USD nhận được hàng năm sau 5 năm với lãi
suất tương lai được chọn 10% là: FV = FV(10%,5,100USD,0 ,0) = 610,51USD

Trong một số tình huống thực tế, các doanh nghiệp thường phải tính toán
lịch hoàn trả nợ cho các chủ nợ. Doanh nghiệp phải tích lũy lại một số lượng
tiền tệ cố định là bao nhiêu mỗi kỳ để thanh toán khoản nợ trong tương lai, bắt
đầu từ hôm nay? Để thấy rõ vấn đề này chúng ta cùng nghiên cứu qua ví dụ sau:
Giả sử rằng, doanh nghiệp bạn phải có trách nhiệm hoàn trả một khoản nợ là

25
10.000.000USD ở cuối năm thứ 10. Doanh nghiệp muốn lập ra một quỹ để hoàn
trả nợ khi đến hạn thanh toán tại một thời điểm trong tương lai. Đây là quỹ mà
doanh nghiệp sẽ phải để dành một lượng tiền cố định mỗi năm bắt đầu từ hôm
nay, và tất cả các khoản tích lũy này sẽ được đem đầu tư với lãi suất 8%/năm để
có được 10.000.000USD vào cuối năm thứ 10.
Số lượng tiền cố định tích lũy hàng năm đem đầu tư với lãi suất 8%/năm để
có được 10.000.000USD vào cuối năm thứ 10 để hoàn trả một khoản nợ là
10.000.000USD ở cuối năm thứ 10 là A. Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ ở
cuối năm thứ 10, FVA10 là:
FVA10 =
(
)
[
]
)10%,8(

%8
1%81
10
FVFAA
A
×=
−+

Ù 10.000.000USD = A x 14,487
Ù A =
487,14
000.000.10
= 690.294,04USD
Vậy doanh nghiệp phải tích lũy mỗi năm số tiền như nhau đem vào đầu tư
với lãi suất tương lai 8% là 690.274,04USD để 10 năm nữa doanh nghiệp có
được khoản tiền hoàn trả một khoản nợ vay 10.000.000USD.
Nếu làm trên EXCEL để xác định giá trị số lượng tiền cố định (A) tích lũy
hàng năm đem đầu tư với lãi suất 8%/năm để có được 10.000.000USD vào cuối
năm thứ 10 để hoàn trả một khoản nợ là 10.000.000USD ở cuối năm thứ 10 theo
phương pháp lãi kép ta có thể dùng hàm (PMT).


Từ Excel\Insert\Funstion\financial\PMT\
Câu lệnh của hàm PMT là : = PMT(rate, Nper, PVA, FV, type)
Trong đó: rate : là lãi suất đầu tư của phương án
Nper: số kỳ tích lũy khoản tiền A để trả nợ
PVA: khoản nợ phải trả ở hiện tại (Trường hợp này PV = 0)
FV: khoản nợ phải thanh toán ở cuối năm thứ t (t=
n,1
)

Type: thời điểm trả nợ (giá trị 0 trả cuối kỳ; giá trị 1 trả đầu kỳ)
Vận dụng vào bài toán này ta xác định được số tiền cố định (A) phải tích
lũy hàng năm trong vòng 5 năm là:
A = PMT(6%,5,0,10.000.000,0) = 690.294,04USD

a2. Trường hợp 2: Nếu dòng tiền CFt phát sinh vào đầu các kỳ đầu tư:
Sơ đồ 2.6: SƠ ĐỒ MÔ PHỎNG DÒNG TIỀN CFt PHÁT SINH
QUA CÁC KỲ ĐẦU TƯ

CF5
CFn

FVn
0 1 2 3 4 n-1 n

CF2
CF3
CF4

+ = FVAn
FV1
FV2
FV3
FV4


CF1

26
Giá trị tương lai của dòng tiền bất kỳ phát sinh trong đầu tư (dòng tiền biến đổi).
+ Giá trị tương lai của khoản tiền phát sinh ở đầu năm 1 sau n chu kỳ đầu tư:
FV1 = CF1(1+r)
n
= CF1(1+r)
n -1
x(1+r)
+ Giá trị tương lai của khoản tiền phát sinh đầu năm 2 sau n -1 kỳ đầu tư:
FV2 = CF2(1+r)
n -1
= CF2(1+r)
n -2
x(1+r)
+ Giá trị tương lai của khoản tiền phát sinh đầu năm 3 sau n - 2 kỳ đầu tư:
FV3 = CF3(1+r)
n -3
= CF3(1+r)
n -2
x(1+r)

+ Giá trị tương lai của khoản tiền phát sinh đầu năm n sau n -(n-1) kỳ đầu tư:
FVn = CFn(1+r)
n-(n-1)
= CFn(1+r)
n-n
x(1+r)
Vậy giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ phát sinh sau n kỳ đầu tư được xác định:

FVAn = FV1 + FV2 + FV3 + + FVn
Ù FVAn =CF1(1+r)
n-1
. (1+r)
1
+ CF2(1+r)
n -2
. (1+r)
1
+ + CFn(1+r)
n - n
. (1+r)
1


Ù FVAn =
∑
= (2.9)
=
−
++
n
t
tn
rCFt
1
1
r)(1 *)1(
∑
=

+−
+
n
t
tn
rCFt
1
1
)1(
Giá trị tương lai của dòng tiền đều phát sinh trong đầu tư (Dòng tiền đều):
Qua các bước tính toán tương tự như trình tự xây dựng công thức 2.8 trình
bày ở trên ta có giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ đều nhau phát sinh sau n kỳ
đầu tư với lãi suất tương lai r.
FVAn =
()
[
]
1
)1(
11
r
r
rA
n
+⋅
−+
(2.10)
Ví dụ 2.7: Một dự án đầu tư với số vốn ban đầu là 200 triệu đồng, đời sống của
dự án là 6 năm, các khoản thu nhập ước tính như sau: cuối năm thứ nhất 40
triệu; cuối năm thứ hai 50 triệu; cuối năm thứ ba 50 triệu; cuối năm thứ tư 60

triệu; năm thứ năm 50 triệu; năm thứ sáu 50 triệu. Khả năng sinh lời của dự án
là 12%/năm.
Yêu cầu:
1. Xác định giá trị tương lai của các khoản thu nhập, chi phí dự kiến dự án?
2. Doanh nghiệp có nên đầu tư vào dự án này không? Vì sao?
Bài giải:
1. Giá trị tương lai của các khoản thu nhập phát sinh tròng đầu tư:
FVA6 = CF1.(1+r)
5
+ CF2.(1+r)
4
+ CF3.(1+r)
3
+ CF4.(1+r)
2

+CF5.(1+r)
1
+ CF6.(1+r)
0
= 40.(1+12%)
5
+50.(1+12%)
4
+50.(1+12%)
3
+60.(1+12%)
2
+50.(1+12%)
1

+50.(1+12%)
0

= 400,68 triệu
2. Giá trị tương lai của khoản vốn đầu tư ban đầu sau 6 năm đầu tư của dự án:
FV6 = PV0 x (1+r)
6
=200 x (1+12%)
6
= 394,76 triệu
Nếu làm trên EXCEL ta dùng hàm FV: = FV(12%,6,0,200 tr ,0) = 394,76trđ
Ta thấy: FVA6 = 400,68 triệu > FV6 = 394,76 triệu.
Vậy công ty nên đầu tư vào dự án.

27
Ví dụ 2.8: Vào ngày 10/4 hàng năm, gia đình ông A gửi vào ngân hàng khoản
tiền 5.000.000 đồng. Sau 3 năm gia đình ông A chỉ gửi vào ngân hàng 4 triệu
đồng mỗi năm. Vì lãi suất tiền gửi ngân hàng giảm từ 7,2%/năm trong 3 năm
đầu xuống còn 6%/năm trong những năm sau. Hỏi số tiền sau 5 năm gia đình
ông A nhận được bao nhiêu?
Bài giải: Số tiền gia đình ông A nhận được sau 5 năm đầu tư là:
FVA5 = CF1.(1+r)
5
+ CF2.(1+r)
4
+ CF3.(1+r)
3
+ CF4.(1+r)
2
+ CF5 . (1+r)

1

= 5tr.(1+7,2%)
5
+ 5tr.(1+7,2%)
4
+ 5tr.(1+7,2%)
3
+4tr.(1+6%)
2
+4tr.(1+6%)
1
= 19,85tr + 8,73tr = 28,58tr
2.3.2. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ phát sinh trong đầu tư.
a. Xây dựng công thức:
Trong rất nhiều ứng dụng thực tiễn, chúng ta cần xác định hiện giá của một
chuỗi tiền tệ phát sinh trong tương lai. Hầu như chúng ta luôn luôn có nhu cầu
phải biết được hiện giá của một chuỗi tiền tệ sẽ được thanh toán trong tương lai
là bao nhiêu? Giả sử chúng ta dự đoán có được 1000USD cuối năm 1 và
2000USD cuối năm 2 và 1500USD cuối năm 3 thì khi đó hiện giá (ngày hôm
nay) của chuỗi tiền tệ phát sinh trên sẽ thấp hơn 4500USD và con số cụ thể là
bao nhiêu thì chúng ta có thể dễ dàng tính toán được qua công thức được xác
định ngay sau đây.
Trong dự án đầu tư các khoản thu nhập và chi phí thường xuyên xuất hiện
ở những thời điểm khác nhau tạo thành một dòng tiền tệ (chuỗi tiền tệ) và được
biểu diễn trên sơ đồ dòng tiền.
Gọi PVAn: là giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ phát sinh sau n kỳ đầu tư.
PVt: là giá trị hiện tại khoản tiền tệ phát sinh ở năm t (t=
n,1
)

CFt: là khoản thu nhập hoặc chi phí phát sinh ở năm thứ t (t=
n,1
)
r(%): là lãi suất chiết khấu của phương án
n: số kỳ đầu tư của dự án.
a1. Trường hợp1: Dòng tiền CFt phát sinh vào cuối các kỳ đầu tư:
Sơ đồ mô phòng dòng tiền CFt phát sinh qua các kỳ đầu tư như sau:
Sơ đồ 2.7: SƠ ĐỒ MÔ PHỎNG DÒNG TIỀN CFt CỦA DỰ ÁN





0 1 2 3 n-1 n
CF1
CF2

CF3
CFn-1
CFn
PVAn=+
PV1
PV2
PV3

PVn

28
Giá trị hiện tại của dòng tiền bất kỳ phát sinh trong đầu tư (Dòng tiền biến đổi):
Là dòng tiền có các khoản tiền thu vào hoặc chi ra lớn nhỏ bất kỳ và xuất
hiện ở cuối các kỳ của thời gian đầu tư. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ phát
sinh qua các năm được xác định như sau:
+ Giá trị hiện tại của khoản tiền CF1 phát sinh cuối năm 1 của chu kỳ đầu tư:
PV1 =
1
)1(
1
r
CF
+

+ Giá trị hiện tại của khoản tiền CF2 phát sinh cuối năm 2 của chu kỳ đầu tư:
PV2 =
2
)1(
2
r
CF
+

+ Giá trị hiện tại của khoản tiền CFn phát sinh cuối năm n của chu kỳ đầu tư:
PVn =
n
r
CFn
)1( +

Vậy giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ CFt phát sinh sau n chu kỳ đầu tư được
xác định:
PVAn = PV1 + PV2 + PV3 + + PVn
PVAn =
1
)1(
1
r
CF
+
+
2
)1(
2
r
CF
+
+
3
)1(
3
r
CF
+
+
n
r
CFn
)1( +

PVAn =
∑
=
+
n
t
t
r
CFt
1
)1(
= (2.11)
∑
=
−
+
n
t
t
rCFt
1
)1(
Ví dụ 2.9:
Một dự án đầu tư với số vốn ban đầu là 200 triệu đồng, đời sống của
dự án là 6 năm, các khoản thu nhập ước tính như sau: cuối năm thứ nhất 40
triệu; cuối năm thứ hai 50 triệu; cuối năm thứ ba 50 triệu; cuối năm thứ tư 60
triệu; năm thứ năm 50 triệu; năm thứ sáu 50 triệu. Khả năng sinh lời của dự án
là 12%/năm.
Yêu cầu:

1. Xác định giá trị hiện tại của các khoản thu nhập dự kiến dự án?
2. Giá trị hiện tại của khoản vốn đầu tư bỏ ra ban đầu?
3. Doanh nghiệp có nên đầu tư vào dự án này không? Vì sao?
Bài giải: Ta có sơ đồ dòng tiền của dự án như sau: (đơn vị tính: triệu đồng)

40

PVAn=+
PV1
PV2
PV3
PV6
PV4
PV5
50
50
60
50
50
1

2

3 4

5

6

0

Tóm tắt:
CF1 = 40trđ; CF2 = 50trđ; CF3 = 50trđ; CF4 = 60trđ;
CF5 = 50trđ; CF6 = 50trđ r% = 5% ; PVAn =?

29
1. Giá trị hiện tại của các khoản thu nhập dự kiến của dự án:
PVAn =
1
%)121(
40
+
+
2
%)121(
50
+
+
3
%)121(

50
+
+
4
%)121(
60
+
+
5
%)121(
50
+
+
6
%)121(
50
+

= 35,71tr + 39,86tr + 35,59tr + 38,13tr + 28,37tr + 25,33tr =203tr
Nếu làm trên EXCEL để xác đinh được giá trị hiện tại của các khoản thu
nhập dự kiến của dự án được mô phỏng qua sơ đồ trên theo phương pháp lãi
kép ta có thể dùng hàm (NPV):

Từ Excel\Insert\Funstion\financial\NPV\
Câu lệnh của hàm NPV là :
= NPV(Rate, Velue1, Velue2, Velue3, )
Trong đó:
Rate: là lãi suất chiết khấu của phương án
Velue1, Velue2, Velue3, là các dòng tiền dự kiến phát sinh qua các năm

Vận dụng vào bài toán này ta xác định được giá trị hiện tại của các khoản thu
nhập dự kiến trong tương lai của dự án là: = NPV(12%,40,50,50,60,50,50) = 203 tr


Giá trị hiện tại của dòng tiền đều phát sinh trong đầu tư (Dòng tiền đều):
Dòng tiền đều là dòng tiền có các khoản tiền thu vào hoặc chi ra đều nhau
và xuất hiện ở cuối các thời điểm trong các kỳ của thời gian đầu tư.
Trong rất nhiều ứng dụng thực tiễn, chúng ta cần xác định hiện giá của
một chuỗi tiền tệ đều phát sinh trong tương lai. Hầu như chúng ta luôn luôn có
nhu cầu phải biết được hiện giá của một chuỗi tiền tệ đều nhau xuất hiện ở các
thời điểm trong tương lai là bao nhiêu?
Giả sử Doanh nghiệp đang xem xét mua một thiết bị với giá 500.000USD.
Thiết bị có khả năng làm gia tăng dòng tiền của doanh nghiệp lên 100.000USD
mỗi năm trong vòng 10 năm. Giả sử lãi suất được chọn làm lãi suất chiết khấu là
r = 12%, Vấn đề đặt ra là doanh nghiệp có nên mua thiết bị này hay không? Để
trả lời câu hỏi này chúng ta phải tiến hành so sánh chi phí và hiện giá của thu
nhập mang lại từ đầu tư. Đầu tư cho thiết bị này là 500.000USD, vấn đề còn lại
chúng ta phải quan tâm là giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ đều nhau 100.000USD
này trong 10 năm giá trị là bao nhiêu với lãi suất chiết khấu. Mặc dù thu nhập
trong tương lai tổng cộng cơ học lên đến 1.000.000USD, nhưng chuỗi tiền tệ đó
lại phát sinh ở những thời điểm khác nhau trong tương lai do vậy hiện giá của
chúng phải ít hơn 1.000.000USD. Vậy con số cụ thể là bao nhiêu thì chúng ta có
thể dễ dàng tính toán được qua công thức được xác định ngay sau đây.
Dòng tiền đều là dòng tiền có các khoản tiền thu vào hoặc chi ra đều nhau
và xuất hiện ở cuối các thời điểm trong các kỳ của thời gian đầu tư.
Khi đó: CF1 = CF2 = CF3 = CF4 = = CFn = A
Do vậy ta có giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ đều nhau phát sinh sau n chu
kỳ đầu tư được xác định như sau:

30

PVAn =
1
)1(
1
r
CF
+
+
2
)1(
2
r
CF
+
+
3
)1(
3
r
CF
+
+ +
n
r
CFn
)1( +

Ù PVAn =
1
)1( r

A
+
+
2
)1( r
A
+
+
3
)1( r
A
+
+ +
n
r
A
)1( +

Ù PVAn =
∑
=
+
n
t
t
r
A
1
)1(
= (2.12)

∑
=
−
+
n
t
t
rA
1
)1(
Nhân 2 vế phương trình (2.112) cho (1+r) ta có (2.12) tương đương:
(2.12)
Ù PVAn.(1+r) =
1
)1(
)1(
r
rA
+
+
+
2
)1(
)1(
r
rA
+
+
+
3

)1(
)1(
r
rA
+
+
+ +
n
r
rA
)1(
)1(
+
+

Ù PVAn.(1+r) = A + (2.12’)
∑
−
=
−
+
1
1
)1(
n
t
t
rA
Lấy phương trình (2.12’) - (2.12) ta có
Ù PVAn .(1+r) - PVAn = A -

n
r
A
)1( +

Qua các bước tính toán ta có giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ đều nhau phát
sinh sau n kỳ đầu tư với lãi suất chiết khấu r là:
PVAn =
(
)
[
]
r
rA
n−
+− 11
(2.13)
Ứng dụng vào giải quyết bài toán đặt ra ban đầu ta có giá trị hiện tại của
chuỗi tiền tệ đều nhau 100.000USD phát sinh đều đặn vào cuối mỗi năm trong
vòng 1O năm với lãi suất chiết khấu được lựa chọn là 12% là:
PVA10 =
1
%)121(
000.100
+
+
2
%)121(
000.100
+

+
3
%)121(
000.100
+
+ +
10
%)121(
000.100
+

PVA10 =
(
)
[
]
%12
%1211000.100
10−
+−

Tra bảng giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ phát sinh trong đầu tư ta xác định được:
PVA10 = 100.000 x 5,6502 = 565.020USD

()
[
]
r
r
n−

+− 11
chính là thừa số lãi suất hiện giá của chuỗi tiền tệ đều và
được ký hiệu là PVFA(r, n). Đây chính là giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ đều
trong n năm đầu tư với lãi suất chiết khấu r, Khi đó ta có PVAn được xác định
như sau: PVAn =
()
[
]
r
rA
n−
+− 11
),( nrPVFAA
×
=

Thừa số lãi suất hiện giá của chuỗi tiền tệ đều PVFA(r, n) được tính sẵn
trong bảng phụ lục kèm theo. Sử dụng bảng phụ lục này ta có
PVFA(10%,5)=3,7908. Điều này có nghĩa là nếu đều đặn cuối mỗi năm bạn
nhận được số tiền 1 USD trong 5 năm liên tiếp thì giá trị hiện tại (hiện giá) của
chuỗi tiền tệ đều 1USD này có giá trị là 3,7908 với lãi suất chiết khấu là 10%.
Do đó hiện giá của chuỗi tiền tệ phát sinh mỗi năm bằng nhau 100USD trong 5
năm với lãi suất chiết khấu được chọn 10% là:

31
PVAn =100USDx PVFA(10%,5) = 100USDx3,7908 = 379,08USD.

Sơ đồ 2.8 ĐỒ THỊ GIÁ TRỊ HIỆN TẠI
CỦA CHUỖI TIỀN TỆ 100USD PHÁT SINH HÀNG NĂM
VỚI LÃI SUẤT 10% VÀ THỜI GIAN 5 NĂM

379
,
08USD
5
4
321
0
thời gian
PVA
100/
(
1+0.1
)
1
=90
,
91
100/

(
1+0
,
1
)
2
=82
,
64
100/
(
1+0
,
1
)
3
=75
,
13
100/
(
1+0
,
1
)
4
=68
,
30
100

(
1+0
,
1
)
5
= 62
,
09

Nếu làm trên EXCEL để xác định hiện giá của chuỗi tiền tệ phát sinh mỗi
năm bằng nhau 100USD trong 5 năm với lãi suất chiết khấu được chọn 10%
theo phương pháp lãi kép ta có thể dùng hàm (PV):
Từ Excel\Insert\Funstion\financial\PV\
Câu lệnh của hàm PV là:
= PV(Rate, Nper, Pmt, FV, Type)
Trong đó:Rate: là lãi suất chiết khấu của phương án
Nper: Số kỳ đầu tư
Pmt: Số tiền phát sinh đều nhau hàng năm (A)
FV: Số tiền dự kiến phát sinh trong tương lai (trường hợp này FV=0)
Type: thời điểm tính phát sinh PMT(giá trị 0 cuối kỳ; giá trị 1 đầu kỳ)
Vận dụng vào bài toán này ta xác định được giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ
phát sinh mỗi năm bằng nhau 100USD trong 5 năm với lãi suất chiết khấu được
chọn 10% là: PV = PV(6%,5,100USD,0 ,0) = 379,08tr

Trong một số tình huống thực tế, các doanh nghiệp thường phải tính toán
lịch hoàn trả nợ cho các chủ nợ. Doanh nghiệp phải bỏ ra một số lượng tiền tệ cố
định là bao nhiêu mỗi kỳ, bắt đầu từ kỳ này để thanh toán hết một khoản nợ cho
chủ nợ ở hiện tại? để thấy rõ vấn đề này chúng ta cùng nghiên cứu qua ví dụ sau:
Ví dụ 2.9: Vào ngày 1/1, một công ty TNHH mua một ngôi nhà làm văn phòng

giao dich giá mua 200.000.000đ với sự thoả thuận thanh toán như sau:
Trả ngay 10% số tiền.
Số còn lại trả dần hàng năm bằng nhau trong 5 năm song phải chịu lãi suất
6%/năm của số nợ còn lại (theo phương thức lãi kép). Thời điểm tính trả lãi
hàng năm là cuối năm (31/12).
Xác định số tiền phải trả hàng năm là bao nhiêu để lần cuối cùng là vừa hết nợ?

32
Bài giải: Tóm tắt:
+ Giá mua: 200.000.000 đồng
+ Số trả ngay: 20.000.000 đồng (=10%x200.000.000 đồng)
+ Số còn phải trả: 180.000.000 đồng (=200.000.000 - 20.000.000)
+ Số còn lại phải dần trong 5 năm: 180.000.000 đồng
+ Lãi suất phải trả: 6%/năm
Vậy số tiền phải trả bao gồm cả gốc và lãi vào cuối mỗi năm được xác định
như sau: PVAn =
()
[
]
r
rA
n−
+− 11

Ù 180.000.000 =
(
)
[
]
%6

%611
5−
+−A

Ù180.000.000 = A x PVFA(6%,5) Ù 180.000.000 = A x 4,2124
Ù180.000.000 = A x 4, 2124 Ù A =
2124,4
000.000.180
= 42.731.352,078 đồng
Vậy công ty này phải trả cả gốc và lãi đều đặn hàng năm (cuối mỗi năm)
trong năm 5 mỗi năm là: A = 42.731.352,078 đồng. Để 5 năm sau doanh nghiệp
trả hết khoản nợ 180 trđ.
Nếu làm trên EXCEL ta dùng hàm (PMT).
Từ Excel\Insert\Funstion\financial\PMT\
Câu lệnh của hàm PMT là : = PMT(rate, Nper, PVA, FV, type)
Trong đó:
Rate: lãi suất chiết khấu của phương án
Nper: số kỳ trả nợ
PVA: khoản nợ phải trả ở hiện tại
FV: số tiền nhận được thêm khi doanh nghiệp trả nợ xong
Type: thời điểm trả nợ (giá trị 0 nếu trả cuối kỳ; lấy giá trị 1 nếu trả đầu kỳ)
Vận dụng vào bài toán này ta xác định được số tiền cố định phải trả đều đặn
hàng năm trong vòng 5 năm là:
A = PMT(6%,5, 180.000.000,0,0) = 42.731.352,078 đồng
a2. Trường hợp 2: Nếu dòng tiền CFt phát sinh vào đầu các kỳ đầu tư:
Sơ đồ 2.9. SƠ ĐỒ MÔ PHỎNG DÒNG TIỀN CFt CỦA DỰ ÁN

0 1 2 3 n-1 n
CF1

CF2
CF3
CFn
CF4
PVAn=+
PV1
PV2
PV3
PVn






33
Giá trị hiện tại của dòng tiền bất kỳ phát sinh trong đầu tư (Dòng tiền biến đổi
PVAn =
0
)1(
1
r
CF
+
+
1
)1(

2
r
CF
+
+
2
)1(
3
r
CF
+
+
1
)1(
−
+
n
r
CFn

PVAn =
∑
=
−
+
n
t
t
r
CFt

1
1
)1(
= (2.14)
∑
=
−−
+
n
t
t
rCFt
1
)1(
)1(
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều phát sinh trong đầu tư (Dòng tiền đều):
Qua các bước tính toán tương tự như trình tự xây dựng công thức 2.13 trình
bày ở trên ta có giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ đều nhau phát sinh sau n kỳ đầu
tư được xác định theo công thức sau .
PVAn =
(
)
[
]
)1(
11
r
r
rA
n

+⋅
+−
−
(2.15)

2.4. PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY TRONG GIẢI TOÁN TÀI CHÍNH
Trong rất nhiều ứng dụng thực tiễn, chúng ta cần xác định lãi suất thực tế
phải trả cho việc được quyền sử dụng một đồng vốn vay do phát hành trái phiếu,
vay của các tổ chức tín dụng… đồng thời cũng cần xác định tỷ lệ sinh lời thực tế
một đồng vốn trong trường hợp chúng ta bỏ vốn đem vào tiến hành hoạt động
sản xuất kinh doanh. Hầu như chúng ta luôn luôn có nhu cầu phải biết được chi
phí sử dụng một đồng vốn vay và tỷ lệ sinh lời một đồng vốn trong một khoảng
thời gian nhất định (ngày, tháng, quý, năm ….) là bao nhiêu?
Giả sử doanh nghiệp đang xem xét vay khoản nợ ngân hàng 600.000USD,
hợp đồng quy định số tiền doanh nghiệp phải trả hàng năm trong vòng 5 năm
mỗi năm 160.000 USD hoặc khách hàng A gửi vào ngân hàng các khoản tiền
sau: năm thứ 1: 3 triệu; năm thứ 2: 3 triệu; năm thứ 3: 4 triệu; năm thứ 4: 5 triệu;
năm thứ 5: 6 triệu. Đến cuối năm thứ năm khách hàng A nhận được 25 triệu
hoặc một dự án đầu tư có vốn đầu tư ban đầu: 300.000USD, dòng thu hàng năm
như nhau: 72.000USD; Đời sống dự án: 6 năm, chi phí sử dụng vốn: 10%.
Với những bài toán giả định trên vấn đề đặt ra trong trường hợp vay vốn
thì chi phí sử dụng một đồng vốn vay là bao nhiêu %/năm? Trong trường hợp bỏ
tiền gửi vào ngân hàng thì lãi suất tiền gửi ngân hàng bình quân trong suốt thời
gian trên là bao nhiêu %/năm, trong trường hợp bỏ vốn vào đầu tư sản xuất kinh
doanh thì tỷ lệ sinh lời 1 đồng vốn là bao nhiêu/ năm?
Để trả lời câu hỏi này chúng ta phải tiến hành đi tìm lãi suất đầu tư thực tế
để giá trị tương lai của dòng thu đúng bằng với giá trị tương lai của dòng chi
hoặc lãi suất chiết khấu thực tế để giá trị hiện tại của dòng thu đúng bằng giá trị
hiện tại của dòng chi. Vậy con số cụ thể là bao nhiêu thì chúng ta có thể dễ dàng
tính toán được qua công thức được xác định ngay sau đây thông qua việc vận

dụng phương pháp nội suy trong giải các bài toán tài chính đối với hai dạng bài
toán điển hình cho mọi trường hợp. Có hai bài toán đặt ra như sau:


34
Bài toán 1: Tìm r (lãi suất chiết khấu) để hàm f(r) = 0
f(r) =
Giá trị hiện tại của
dòng tiền thu vào
-
Giá trị hiện tại của
dòng tiền chi ra
= 0
f(r) =
PVAn dòng tiền thu
vào của dự án
-
PVAn dòng tiền chi
ra của dự án
= 0
Bài toán 2: Tìm r (lãi suất đầu tư) để hàm f(r) = 0
f(r) =
Giá trị tương lai của
dòng tiền thu vào
-
Giá trị tương lai của
dòng tiền chi ra
=0
f(r) =
FVAn dòng tiền thu

vào của dự án
-
FVAn dòng tiền chi
ra của dự án
= 0
Để tìm được r sao cho f(r)= 0 trong 2 bài toán đặt ra trên ta cần xác định
xem hàm f(r) trong hai bài toán trên là hàm nghịch biến hay là hàm đồng biến.
2.4.1. Trường hợp 1: Nếu hàm f(r) là hàm nghịch biến.
Nếu hàm f(r) là hàm nghịch biến tức khi r tăng làm cho f(r) giảm hoặc r
giảm thì làm cho f(r) tăng. Do vậy để xác định r sao cho f(r) = 0 trong trường
hợp này ta cần thực hiện các bước công việc sau:
Bước 1:
Lấy 1 lãi suất đầu tư r = r1 sao cho với r = r1 khi thay vào hàm f(r) làm cho
f(r) >0 và f(r) >0 Æ0 thì độ chính xác r càng cao, gọi giá trị f(r1) là NPV1.
Bước 2:

Lấy 1 lãi suất đầu tư r = r2 sao cho (r2>r1) với r = r2 khi thay vào hàm f(r)
làm cho f(r) <0 và f(r) <0 Æ 0 thì độ chính xác r càng cao, gọi giá trị f(r2) là
NPV2.
Bước 3: Biểu diễn kết quả vừa tìm được ở bước 1, bước 2 lên đồ thị.
+ Trục hoành biểu diễn lãi suất đầu tư.
+ Trục tung biểu diễn giá trị f(r) của dự án
Sơ đồ 2.10: Đồ thị mô phỏng hàm f(r)
trường hợp là hàm nghịch biến trong đoạn
r1<r<r2

r
2
NPV1
f(r)

A
E
r
B
D
C
r
1
NPV2
0

x(r)
y(NPV)











35
Qua các bước tính toán 1,2,3 ta có thể khẳng định rằng lãi suất đầu tư r
làm cho f(r) = 0 nằm trong khoảng r1<r<r2.
Nhìn đồ thị hàm f(r) ta thấy: r = r1 + BE vậy ta chỉ cần tìm giá trị BE là
xác định được r.
- Xét 2

Δ
ABE và ACD, ta có 2 Δ
Δ
ABE và
Δ
ACD là 2 tam giác đồng
dạng do đó ta có tỷ lệ thức như sau:

CD
BE
=
A
C
AB
Ù BE =
AC
CDAB *
=
21
)12(1
NPVNPV
rrNPV
+
−

Ta có lãi suất (r) làm cho f(r) = 0 được xác định như sau:
r = r1 + BE = r1 +
21
)12(1
NPVNPV

rrNPV
+
−
(2.16)
2.4.2. Trường hợp 2: Nếu f(r) là hàm đồng biến.
Nếu hàm f(r) là hàm đồng biến tức khi r tăng làm cho f(r) tăng hoặc r giảm
thì làm cho f(r) giảm. Do vậy để xác định r sao cho f(r) = 0 ta cần thực hiện các
bước công việc sau:
Bước 1:
Lấy 1 lãi suất chiết khấu r = r1 sao cho với r = r1 khi thay vào hàm f(r) làm
cho f(r) <0 và f(r) Æ 0 thì độ chính xác r càng cao, gọi giá trị f(r1) là NPV1.
Bước 2:
Lấy 1 lãi suất chiết khấu r = r2 sao cho (r2>r1) với r = r2 khi thay vào hàm
f(r) làm cho f(r) >0 và f(r) Æ 0 thì độ chính xác r càng cao , gọi giá trị f(r2) là
NPV2
Bước 3: Biểu diễn kết quả vừa tìm được ở bước 1, bước 2 lên đồ thị.
+ Trục hoành biểu diễn lãi suất đầu tư
+ Trục tung biểu diễn giá trị f(r) của dự án
Sơ đồ 2.11: Đồ thị mô phỏng hàm f(r)
trường hợp là hàm đồng biến trong đoạn
r1<r<r2

NPV2
f(r)
A
r
C
B
D
E

r
2
r
1
NPV1
0













36
Qua các bước tính toán 1,2,3 ta có thể khảng định rằng lãi suất đầu tư r làm
cho f(r) = 0 nằm trong khoảng r1<r<r2. Nhìn đồ thị hàm f(r) ta thấy: r = r1 + BE
vậy ta chỉ cần tìm giá trị BE là xác định được r.
Xét 2 ABE và ACD, ta có 2 Δ Δ
Δ
ABE và
Δ
ACD là 2 tam giác đồng dạng:
Do đó ta có tỷ lệ thức như sau:
CD

BE
=
AC
AB
Ù BE =
AC
CDAB *
=
21
)12(1
NPVNPV
rrNPV
+
−

Vậy ta có lãi suất làm cho f(r) = 0 được xác định như sau:
r = r1 + BE = r1 +
21
)12(1
NPVNPV
rrNPV
+
−
(2.17)
Kết luận:
Qua việc xác định r sao cho f(r) = 0 của bài toán 1 và bài toán 2
trong hai trường hợp: trường hợp 1- f(r) là hàm nghịch biến và trường hợp 2 -
f(r) là hàm đồng biến ta thấy muốn xác định lãi suất r của dự án để hàm f(r) = 0
của 2 bài toán:
Bài toán 1: Tìm r để hàm f(r) = 0

f(r) =
Giá trị hiện tại
của dòng tiền
thu vào
-
Giá trị hiện tại
của dòng tiền
chi ra
= 0
Bài toán 2: Tìm r để hàm f(r) = 0
f(r) =
Giá trị tương lai của
dòng tiền thu vào
-
Giá trị tương lai của
dòng tiền chi ra
=0
thì ta dùng công thức:
r = r1 +
21
)12(1
NPVNPV
rrNPV
+
−
(2.18)
2.4.3. Ví dụ:
Ví dụ 2.10:
Khách hàng A gửi vào ngân hàng các khoản tiền sau: Năm thứ 1: 3
triệu; năm thứ 2: 3 triệu; năm thứ 3: 4 triệu; năm thứ 4: 5 triệu; năm thứ 5: 6

triệu. Đến cuối năm thứ năm khách hàng A nhận được 25 triệu. Lãi suất tiền gửi
ngân hàng bình quân trong suốt thời gian trên là bao nhiêu %/năm?
Bài giải:
Cách 1:
Lãi suất tiền gửi ngân hàng bình quân trong suốt thời gian ông A đầu tư
chính là nghiệm của phương trình sau: (ĐVT triệu đồng)
25 = 3x(1+r)
5
+ 3x(1+r)
4
+ 4x(1+r)
3
+ 5x(1+r)
2
+ 6x(1+r)
1
Vận dụng phương pháp nội suy trong giải toán tài chính để tìm r (lãi suất
tiền gửi ngân hàng). Thực chất là ta tìm lãi suất r sao cho với r làm cho f(r) = 0.
f(r) =25 - [3x(1+r)
5
+ 3x(1+r)
4
+ 4x(1+r)
3
+ 5x(1+r)
2
+ 6x(1+r)
1
] = 0
Ta thấy rằng f(r) là hàm nghịch biến do vậy để xác định r ta cần thực hiện

các bước công việc sau đây:
Bước 1: Chọn r = r1 = 6% thay vào hàm f(r) ta có:

37
f(r1) = NPV1 = 25tr- 24,54tr = +0,46tr
Bước 2: Chọn r = r2 = 7% thay vào hàm f(r) ta có:
f(r2) = NPV2 = 25tr - 25,18tr = -0,18tr

Ta có lãi suất tiền gửi ngân hàng (r) bình quân trong suốt thời gian ông A
đầu tư là:
r = 6% +
18,046,0
%)6%7(46,0
−+
−
= 6,71%
Nếu làm trên EXCEL ta dùng hàm (IRR):
Từ EXCEL\INSERT\Funstion\financial\IRR\
Câu lệnh của hàm IRR là :
= IRR(Velues, Guess)
Trong đó:
Velues: là chuỗi tiền tệ chi ra và thu vào của dự án đang xem xét
Guess: là biến số tuỳ chọn (thường chọn giá trị là 0)
Vận dụng vào bài toán này ta xác định được lãi suất tiền gửi ngân hàng
bình quân trong suốt thời gian ông A đầu tư tài chính là:


A B C D E F G
1
-3 -3 -4 -5 -6 25 = IRR(A1:F1) = 6,71%

Cách 2:
Lãi suất tiền gửi ngân hàng bình quân trong suốt thời gian ông A đầu tư
chính là nghiệm của phương trình sau:
5
)1(
25
r
tr
+
=
0
)1(
3
r
tr
+
+
1
)1(
3
r
tr
+
+
2
)1(
4
r
tr

+
+
3
)1(
5
r
tr
+
+
4
)1(
6
r
tr
+

Vận dụng phương pháp nội suy trong giải toán tài chính để tìm r (lãi suất
tiền gửi ngân hàng). Thực chất là ta tìm lãi suất r sao cho với r làm cho f(r) = 0.
f(r) =
5
)1(
25
r
tr
+
- [
0
)1(
3
r

tr
+
+
1
)1(
3
r
tr
+
+
2
)1(
4
r
tr
+
+
3
)1(
5
r
tr
+
+
4
)1(
6
r
tr
+

] = 0

Ta thấy rằng f(r) là hàm nghịch biến do vậy để xác định r ta cần thực hiện
các bước công việc sau đây:
Bước 1: Chọn r1 = 6% thay vào hàm f(r) ta có:
f(r1) = NPV1 = 18,68tr -18,34tr =+0,34tr
Bước 2: Chọn r2 = 7% thay vào hàm f(r) ta có:
f(r2) = NPV2 = 17,82tr - 17,96tr=- 0,13tr

Ta có lãi suất tiền gửi ngân hàng (r) bình quân trong suốt thời gian ông A
đầu tư là:
r = 6% +
13,034,0
%)6%7(34,0
−+
−
= 6,71%

38
Sơ đồ 2.12
ĐỒ THỊ BIỂU DIỄN CỦA GIÁ TRỊ CỦA HÀM f(r)
VỚI CÁC GIÁ TRỊ CỦA r KHÁC NHAU ĐẶT LÀ NPV
CHO THẤY r LÀM CHO f(r) = NPV = O


7%
NPV1= +0,46tr
f(r)
A
r= 6,71%

B
DC
6%
NPV2 =- 0,18tr
0
r
NPV










Tóm lại để tìm được lãi suất r sao cho f(r) = 0 thì chúng ta cần xem xét
trong 2 trường hợp:
- Nếu hàm f(r) là hàm nghịch biến tức khi r tăng làm cho f(r) giảm hoặc r
giảm thì làm cho f(r) tăng, để xác định r sao cho f(r) = 0 trong trường hợp này ta
cần cố gắng thử một số lãi suất đầu tư (r) cho đến khi xác định 1 lãi suất chiết
khấu r = r1 sao cho với r = r1 khi thay vào hàm f(r) làm cho f(r) >0 và f(r) >0 (
0, gọi giá trị f(r1) là NPV1.
- Nếu Nếu hàm f(r) là hàm đồng biến tức khi r tăng làm cho f(r) tăng hoặc
r giảm thì làm cho f(r) giảm, để xác định r sao cho f(r) = 0 trong trường hợp này
ta cần cố gắng thử một số lãi suất đầu tư (r) cho đến khi xác định 1 lãi suất chiết
khấu r = r1 sao cho với r1 khi thay vào hàm f(r) làm cho f(r) <0 và f(r) >0
Æ 0,
gọi giá trị f(r1) là NPV1. Sau khi đã chọn được r = r1 thỏa mãn tiêu chuẩn trên

thì ta tiếp tục thử 1 lãi suất r = r2 = r1 + 1%. Với r = r2 khi thay vào hàm f(r)
nếu là hàm đồng biến làm cho f(r) >0, gọi giá trị f(r2) là NPV2; nếu là hàm
nghịch biến làm cho f(r)<0, gọi giá trị f(r2) là NPV2 khi đó chúng ta xẽ xác định
được lãi suất đầu tư thực tế r làm cho f(r) = 0 theo công rhức:
r = r1 +
21
)12(1
NPVNPV
rrNPV
+
−

Chú ý: Thông thường r=r1 được lựa chọn là căn cứ vào lãi suất đầu tư
mà nhà đầu tư mong đợi khi đầu tư hoặc là lãi suất vay vốn trên thị trường hoặc
có thể là lãi suất trên các trái phiếu vay vốn
Trong trường hợp dòng tiền của dự án là một chuỗi đều, việc tìm r để
f(r)=0 rất dễ dàng.
Ví dụ dòng tiền của dự án A được cho như sau :

39