SKKN ứng dụng đạo hàm trong các bài toán đại số lớp 12

SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
MỞ ĐẦU
I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI .
Một trong các nhiệm vụ lớn của công tác trong nhà trường và công việc của
mỗi người giáo viên là công tác giảng dạy, phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng
học sinh giỏi các cấp học.
Theo lộ trình năm học, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi là công tác thường
xuyên đòi hỏi nhiều yêu cầu, nhiều công sức kể cả về tri thức của người thầy.
Để đạt được những vấn đề đó là một quá trình, một sự cố gắng tu dưỡng thật
cao của mỗi giáo viên và cùng với công việc đó, luôn phải có một niềm say mê
trong kiến thức, trong lòng yêu nghề và sự quan tâm tới sự phát triển tri thức, trí
tuệ của lớp học trò của mình.
Giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi không những chỉ tìm tòi nghiên cứu để bồi
dưỡng kiến thức cho người thầy mà nó còn có mục đích phát triển tư duy, giáo dục
toàn diện thế hệ trẻ có năng lực về kiến thức.
Đã không ít học sinh “ Học tốt” bị thụ động nhiều về sự đa dạng phủ kín trong
từng bài toán, từ đơn giản đến phức tạp. Người thầy cần thiết phải tìm ra liều thuốc
để học trò luôn bình tĩnh dựa vào chính mình trong giờ khảo thí.
Dạy ôn học sinh giỏi, bên cạnh phương pháp, nghệ thuật của người thầy tạo
hứng thú cho học sinh là một kho kiến thức vô tận của bộ môn. Việc trang bị kiến
thức để đạt được một cách tổng hợp có hệ thống có kết cấu phù hợp trong mỗi
chuyên đề áp dụng với việc nhận thức của đối tượng học trò là một quá trình về
mọi biện pháp của người thầy; công việc đó không phải đơn giản.
Xuất phát từ yếu tố nêu trên, tôi mạnh dạn đưa ra 1 chuyên đề bồi dưỡng học
sinh giỏi lớp 12: “Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán đại số”, nhằm củng cố
kiến thức và cũng là tài liệu tích luỹ cho những thời gian tiếp theo trong công tác
giáo dục của mình.
II. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1. Xác định củng cố kiến thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi 12.
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
1

SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
2. Đưa ra phương pháp tổng hợp nhằm phát triển tư duy cho đối tượng học trò
trong quá trình giảng dạy.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Dạng đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 trong các năm gần đây và một số dạng
bài tập tổng hợp.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Cơ sở thực tiễn:
+ Thông qua các dạng đề thi HSG khu vực.
+ Một số tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi.
NỘI DUNG
A - Cơ sở lí luận:
1. Cơ sở triết học:
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình
phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi
động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết
với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh
trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng
trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt
hơn.
2.Cơ sở tâm lí học:
Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh
nhu cầu tư duy khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục. Vì vậy GV cần
phải để học sinh thấy được khả năng nhận thức của mình với những điều mình đã
biết với tri thức của nhân loại.
Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí
thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và
hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
2

SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú
văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngoài ra còn có những
học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt…
Thực tế giảng dạy cho thấy đây là một mảng kiến thức rất lớn trong các kỳ
thi chọn học sinh gioi Toán các cấp, trong quá trình học tập trên lớp các em thường
chưa được mở rộng về mảng kiến thức này, có tâm lí: không biết ứng dụng của đạo
hàm còn gì nữa ngoài các ứng dụng đã được trình bày trong sách giáo khoa? Vì
vậy GV cần chỉ rõ, cụ thể giới thiệu cho học sinh học tập trên lớp một số bài toán
đơn giản từ đó định hướng và tạo hứng thú để học sinh mong muốn mình đượ tìm
hiểu sâu hơn về lĩnh vực toán học này.
3.Cơ sở giáo dục học:
Để giúp các em học tốt hơn. GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần
cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát
triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi. Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ từng
đối tượng học sinh.
B. Thực trạng của đề tài:
1.Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh giỏi cấp trường năm học 2008-2009 từ đó lựa
chọn đối tượng học sinh năm học 2009- 2010.
2.Khảo sát chất lượng :
Thông qua bài khảo sát chất lựơng đội tuyển, số lượng học sinh đạt yêu cầu
là 60%
3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả còn thấp, vì vậy việc lĩnh hội kiến
thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Sự nhận
thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Kiến thức cơ bản nắm tương đối chắc.
- Có khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.

Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
3
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó
không chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truyền tải kiến thức tới
các em. Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động cơ học
tập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh. Giáo viên cần nắm rõ
đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em trong
quá trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
C. Giải quyết vấn đề
Giáo viên cần phân loại rõ các dạng toán ứng dụng từ đó có kế hoạch hướng
dẫn cho học sinh. Từ nhận thức đó tôi phân loại các dang bài cụ thể:
I.CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH,
BPT
Định lí 1: Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) chính là số giao điểm của 2 đồ
thị y= f(x) và y= g(x)
Định lý 2 : Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên D và m= Min f(x), M = Max f(x) với x
∈
D thì phương trình f(x) = k có nghiệm khi và chỉ khi m
Mk
≤≤
Định lý 3: Bất phương trình f(x)
≥
g(x) nghiệm đúng mọi x
∈
D khi và chỉ khi
Min f(x)
≥
Max g(x) với mọi x

∈
D.
*Các ví dụ
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
mxxxx =+−−++ 11
22
Lời giải:
Xét hàm số f(x) =
11
22
+−−++ xxxx
có TXĐ là D=R
f’(x)=
12
12
12
12
22
+−
−
−
++
+
xx
x
xx
x
;
f’(x)= 0
⇔

2 2
(2 1) 1 (2 1) 1x x x x x x+ − + = − + +
(1)
⇒
2 2 2 2
1 1 3 1 1 3
( ) [( ) ] ( ) [( ) ]
2 2 4 2 2 4
x x x x+ − + = − + +
⇔
x=0
Thay x=0 vào (1) ta thấy không thoả mãn. Vậy f’(x)= 0 vô nghiệm, mà f’(0)= 1>0
∀
x
∈
R.
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
4
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
Mặt khác:
2 2
2
lim ( ) lim 1
1 1
x x
x
f x
x x x x
→+∞ →+∞
= =

+ − + − +
;
lim ( ) 1
x
f x
→−∞
= −
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
⇔
-1< m <1
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình :
2
1 cosax x+ =
(*) có đúng
một nghiệm x
∈
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
Bài giải:
Ta thấy để phương trình có nghiệm thì a
≤
0
Khi đó phương trình (*)
⇔

2
1cos
x
x −
=a
⇔
2
2
2
2
sin






x
x
= -2a.
Xét hàm số f(t)=
sin
( )
t
f x
t
=
với
0;

4
t
π
 
∀ ∈
 ÷
 
Khi đó f’(t) =
2
sincos
t
ttt −
=
2
)(cos
t
tgttt −
<0 với
0;
4
t
π
 
∀ ∈
 ÷
 
⇒
f(t) nghịch biến /
0;
4

π
 
 ÷
 
.
Mà
2 2
( )
4
f
π
π
=
và
0
lim ( ) 1
x
f t
→
=
⇒
2
2
2
sin
2 2 8
2
( ) 1 1; 0;
2
2

x
f t x
x
π
π π
 
< < ⇔ < < ∀ ∈
 ÷
 
 
 ÷
 
Vậy phương trình (1) đã cho có đúng một nghiệm
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
⇔
2 2
8 1 4
2 1
2
a a
π π
< − < ⇔ − < < −
Bài 3: Cho phương trình x

6
+3x
5
- 6x
4
- ax
3
- 6x
2
+3x +1=0. Tìm tất cả các giá trị
của a để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
Bài giải:
- Vì x= 0 không là nghiệm phương trình, chia 2 vế cho x
3
ta được
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
5
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
3 2
3 2
1 1 1
( ) 3( ) 6( ) 0x x x a
x x x
+ + + − + − =
(1) Đặt
1
x t
x
+ =
,

t
2≥
.
Ta thu được phương trình: t
3
+3t
2
-9t = a + 6 (1’)
• Nếu t =
2±
thì phương trình đã cho có một nghiệm.
• Nếu
t
2>
, thì mỗi giá trị của t phương trình đã cho có 2 giá trị của x,
Nên phương trình(1) có đúng 2 nghiệm phân biệt
⇔
Phương trình (1’) có đúng 2
nghiệm t =
2±
hoặc (1’) có đúng 1 nghiệm t thoả mãn
t
2>
+ TH1: Nếu (1’) có đúng 2 nghiệm t=
2±
⇒





+=
+=
622
62
a
a
Vô nghiệm
+ TH2: (1’) có đúng 1 nghiệm t thoả mãn
t
2>
Xét hàm số f(t) = t
3
+3t
2
-9t với
t
2>
, ta có f’(t)= 3t
2
+6t-9 = 3(t-1)(t+3)
Ta có BBT:
t -
∞
-3 -2 1 2 +
∞
F’(t) + 0 - 0 +
F(t)
27
22 2
Dựa vào BBT ta thấy phương trình (1’) có đúng 1 nghiệm

t
2>
khi và chỉ khi
2< a+6 <22
⇔
-4 <a < 16
Bài 4 : Cho hàm số y = -x+
))(( bxax ++
với a, b là hai số thực dương khác
nhau cho trước. Chứng minh rằng với mỗi số thực s
∈
(0;1) đều tồn tại duy nhất số
thực
α
> 0 sao cho f(
α
) =
s
ss
ba
1
2









+
(HSG Quốc Gia bảng A năm 2006)
Bài giải:
Trước hết ta có BĐT:








+
2
ss
ba
≤
s
ba






+
2
(1), có thể dựa BĐT Becnuli để
CM BĐT này.
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh

6
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
Áp dụng BĐT cauchy và (1) ta có:
<ab
s
ss
ba
1
2








+
<
2
ba +
(*) ( do a
)b≠
Mặt khác ta có : f’(x) =
))((2
))((22
bxax
bxaxbax
++
++−++

ta dễ dàng CM được f’(x) >0 với
mọi x >0, suy ra f(x) đồng biến với x>0 nên
+
→0x
Lim
f(x)=
ab
≤
f(x)
≤
+∞→x
Lim
f(x)=
2
ba +

(**)
Vì f(x) liên tục nên từ (*) và (**) ta có đpcm
Bài tập đề nghị:
1/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất thuộc [0;
4
Π
]
(4-6m)sin
3
x +3(2m-1) sinx +2(2m-2)sin
2
xcosx- (4m-3)cosx = 0
2/ Tìm m để số nghiệm của phương trình: 15x
2

– 2(6m
2
+1)x – 3 m
4
+2m
2
= 0
không nhiều hơn số nghiệm của phương trình:
(3m-1)
2
12
x
+2x
3
+6x= (3
6m
-9)
25.02
8
−
m
( HSG Nghệ An 1988)
3/ Tìm tất cả các giá trị của a để BPT: ln(1+x)
≥
x-ax
2
nghiệm đúng với mọi x
≥
0.
4/ a. Chứng minh rằng nếu a>0 là các số sao cho BPT : a

x

≥
1+x đúng với mọi x
≥
0
thì a
≥
e.
b. Tìm tất cả các giá trịn của a để a
x

≥
1+x với mọi x. ( HSG 12 Nam Định 2006)
II GIẢI PT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ:
Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) thì số nghiệm của pt: f(x)
= k Không nhiều hơn một và f(x) =f(y) khi và chỉ khi x=y
Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn
ngb (hoặc luôn đb) trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x) =g(x) không nhiều hơn
một
Định lý 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt f
(k)
(x) = 0 có m nghiệm,
khi đó phương trình f
(k-1)
= 0 có nhiều nhất là m + 1 nghiệm.
Các ví dụ:
Bài 1:
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
7

SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
Giải pt:
011)(24()392(3
22
=++++++++ xxxxx
(Olympic 30-4 ĐBSCL 2000)
Bài giải:
Ta thấy phương trình chỉ có nghiệm trong (
)0;
2
1
−
)3)12(2)(12()3)3(2)(3(
22
++++=+−+−⇔ xxxxpt
)32()32(
22
++=++⇔ vvuu
(1)
Với u = -3x, v = 2x+1; u,v >0. Xét hàm số
24
32)( ttttf ++=
với t > 0
Ta có
vuvfuft
tt
tt
tf =⇔=⇒>∀>
+
+

+= )()(00
3
32
2)('
24
3
(1)
5
1
123 −=⇔+=−⇔=⇔ xxxvu
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 2: Giải pt:
2cos
2
=+ xe
xtg
với






−∈
2
;
2
ππ
x
, (HSG lớp 12 Nam Định 2006)

Bài giải:
Xét hàm số:
2cos
2
=+ xe
xtg
với






−∈
2
;
2
ππ
x
, ta có








−
=−=

x
xe
xxe
x
tgxxf
xtg
xtg
3
3
2
cos
cos2
sinsin
cos
1
.2)('
2
2
vì
0cos22
3
2
>>≥ xe
xtg
Nên dấu của f'(x) chính là dấu của sinx. Từ đây ta có f(x) ≥ f(0) = 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0
Bài 3: Giải pt: 2003
x
+ 2005
x

= 4006x + 2 (HSG Nghệ An 2005)
Bài giải:
Xét hàm số: f(x)= 2003
x
+ 2005
x
- 4006x - 2
Ta có: f(x)= 2003
x
1n
2
2003+ 2005
x
1n
2
> 0 ∀x ⇒ f"(x) = 0 vô nghiệm
⇒ f'(x) = 0 có nhiều nhất là một nghiệm ⇒ f(x) = 0 có nhiều nhất là hai nghiệm.
Mà ta thấy f(1) = f(0) = 0 nên pt đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = 1
Bài 4: Giải pt: 3
x
= 1 + x + log
3
(1+2x) (TH&TT)
Bài giải:
Đk: x > -1/2
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
8
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
pt ⇔3
x

+ x = 1 +2x + log
3
(1+2x) ⇔ 3
x
+ log
3
3
x
= 1+2x + log
3
(1+2x) (1)
Xét hàm số: f(t) = t + log
3
t ta có f(t) là hàm đồng biến nên
(1) ⇔f(3
x
) = f(1+2x) ⇔ 3
x
= 2x+1 ⇔ 3
x
- 2x - 1 = 0 (2)
Xét hàm số: f(x) = 3
x
- 2x- 1 ⇒ f'(x) = 3
x
1n3 - 2 ⇒ f"(x) = 3
x
1n
2
3 > 0

⇒ f(x) =0 có nhiều nhất là hai nghiệm, mà f(0) = f(1) = 0 nên pt đã cho có hai
nghiệm x = 0 và x = 1
Bài 5: Giải hệ pt:







>
=+
−=−
)3(0,
)2(
5
)1(33sinsin
yx
yx
yxyx
π
Bài giải:
Từ (2) và (3) ta có: x,y
)
5
;0(
π
∈
(1) ⇔sinx-3x= siny-3y. Xét hàm số f(t) = sin-3t với t
)

5
;0(
π
∈
ta có f(t) là hàm nghịch
biến nên f(x0 = f(y) ⇔ x = y thay vào (2) ta có x = y =
10
π
là nghiệm của hệ.
Bài 6: Giải hệ:





+−=−
−=−
)2(811_
)1(
yxy
xytgytgx
(30-4 MOĐBSCL 2005)
Bài giải:
Đk:
(*)
8
1






+≥
−≥
yx
y
(1) ⇔ tgx + x = tgy + y ⇔ x = y (do hàm số f(t) = tgt + t là hàm đồng biến)
Thay vào (2) ta có:
181811 ++−=+⇔+−=−+ yyyyyy
844818281 +−=+⇔++−++−=+⇔ yyyyyyyy
8
1281664489
3
8
1281664489
3
8
8483
22
=⇔





+=+−
≥
⇔






+=+−
≥
⇔+=−⇔
y
yyy
y
yyy
y
yy
Vậy x = y = 8 là nghiệm duy nhất của hệ đã cho.
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
9
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
III.HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANH:
Định nghĩa: Là hệ có dạng:







=
=
=
)()(

)()(
)()(
1
32
21
xgxf
xgxf
xgxf
n
(I)
Định lý 1: Nếu f,g là các hàm cùng tăng hoặc cùng giảm trên A và (x
1
, x
2
, ,x
n
) là
nghiệm của hệ trên A thì x
1
= x
2
= x
n
Định lý 2: Nếu f,g khác tính đơn điệu trên A và (x
1
, x
2
, ,x
n
) là nghiệm của hệ trên

A thì x
1
= x
2
= x
n
nếu n lẻ và



===
===
−
n
n
xxx
xxx


42
131
nếu n chẵn
Bài 1: Giải hệ:





=+−+−+
=+−+−+

=+−+−+
xzznzz
zyynyy
yxxnxx
)1(133
)1(133
)1(133
23
23
23
Bài giải:
Ta giả sử (x,y,z) là n
0
của hệ. Xét hàm số f(t) = t
3
+ 3t - 3 + 1n(t
2
- t + 1)
ta có: f'(t) = 3t
2
+ 3 +
0
12
12
2
>
+−
−
tt
t

nên f(t) là hàm đồng biến.
Ta giải sử: x = Max {x,y,z}thì y = f(x) ≥ f(y) = z ⇒ z= f(y) ≥ f(z) = x
Vậy ta có x = y = z. Vì pt x
3
+ 2x - 3 +1n(x
2
- x+1) = 0 có nghiệm duy nhất x=1
nên hệ đã cho có nghiệm là x = y = z = 1
Bài 2: Giải hệ:







=−+−
=−+−
=−+−
zxzz
yzyy
xyxx
)6(log62
)6(log62
)6(log62
3
2
3
2
3

2
(HSG QG Bảng A năm 2006)
Bài giải:
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
10
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
Hệ











+−
=−





=
=
=
⇔
+−

=−
+−
=−
⇔
62
)6(log
)()(
)()(
)()(
62
)6(log
62
)6(log
2
3
2
3
2
3
zx
z
x
zgxf
ygzf
xgyf
yy
y
z
xx
x

y
Trong đó f(t) = log
3
(6-t); g(t) =
62
2
+− tt
t
Ta có f(t) là hàm nghịch biến,
0
)62(
6
)('
32
>
+−
−
=
tt
t
tg

)()6;( tgt ⇒−∞∈∀
là hàm đb.
Nên ta có nếu (x, y, z) là nghiệm của hệ thì x=y=z thay và hệ ta có:
62
)6(log
2
3
+−

=−
xx
x
x
pt này có nghiệm duy nhất x=3
Vậy nghiệm của hệ đã cho là x=y=z=3
Bài tập đề nghị
1.
;21212
3
2
3
2
33
xxxx ++++++
2.
256
81
cossin81
1010
=+ xx
3.
;)2()2)(1(
22
2
−
+−=+−
xx
xeexxx
4.

;cos23
coscos
x
xx
+=
5.
xx
x 4.3)42)(1( =++
6.





=−++
=−++
=−++
xzzz
zyyy
yxxx
523
523
523
23
23
23
(HSG QG)
7. Tìm a để hệ số sau đây có nghiệm duy nhất.








+−=
+−=
+−=
1
2
1
3
1
2
3
2
3
3
3
2
2
2
2
2
3
2
2
1
4

4
4
axxxx
axxxx
axxxx
n
8. Tìm m để các pt sau có nghiệm:
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
11
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
a.
);45(12 xxmxxx −+−=++
b.
mxxxx =−+−−++ )6)(3(63
c. tg
2
x + cotg
2
x + m (tgx + cotgx) + 3 = 0;
d)
xtgm
xx
xx
2.
sincos
sincos
22
66
=
−

+
IV. CÁC BÀI TOÁN CỰC TRI - CHỨNG MINH BĐT:
Bài 1: Cho 4 số thực a, b, c, d thoả mãn: a
2
+b
2
=1; c-d=3. CMR:
F = ac + bd - cd
4
269 +
≤
(HSG Nghệ An năm 2005)
Bài giải:
Ta có:
=−++≤ cddcbaF ))((
2222
962
2
++ dd
)(3
2
dfdd =−−
Ta có:
962
2
9
)
2
3
(21

)32()('
2
2
++
++−
+=
dd
d
ddf
vì
962
2
9
)
2
3
(21
2
2
++
++−
dd
d
< 0 nên
4
269
)
2
3
()(

+
=−≤ fdf
ta có điều phải chứng minh.
Bài 2: Cho
.423:.10 ≤++≤≤<< zyxzyx
Tìm gtlh
222
23 zyxF ++=
(TH&TT)
Bài giải:
Từ giả thiết ta có:
3
24 zy
x
−−
≤
thay vào F ta được
)(
3
1
)20129(
3
1
)
2
2
()161610)2(44(
3
1
)(

222
ygyy
y
fyyyzzyfF =+−=
−
≤+−+−+=≤
Ta
xét:
1
3
2
≤≤ y
(vì y
3
2
<
thì Max không xảy ra), khi đó g(y)
≤
g(
16)
3
2
=
3
16
≤⇒ F
dấu "=" có khi
3
1
;

3
2
=== xyz
. Vậy Max F =
3
16

Bài 3: Cho
x
z
z
y
y
x
x
y
y
zx
CMRzyx ++≥++≥≥≥
2
:.0
Bài giải:
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
12
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
Xét hàm số:









++−++=
x
z
z
y
y
x
x
y
y
zx
xf
2
)(
với đk đã cho x ≥ y ≥ z ≥ 0
Ta có:
0)
11
)(()()
11
()('
222
≥−−=−−−=
x
z
zy

x
z
x
y
yz
xf
⇒ f(x) là hàm đồng biến
⇒ f(x) ≥ f(y) = 0 ⇒ đpcm
Bài 4: Cho a>b>c>0. CMR: a
3
b
2
+b
3
c
2
+c
3
a
2
>a
2
b
3
+b
2
c
3
+c
2

a
3
Bài giải:
Xét hàm số:
)()(
323232232323
accbbaaccbbaaf ++−++=
Ta có:
223322
3223)(' caabacbaaf −−+=
. Tiếp tục lấy đạo hàm
[ ]
0)(3)(22266)(''
223332
>−−−+−=−−+= bccbcbacbbcacabaf
do a>b>c>0
⇒f'(a) là hàm đb ⇒ f'(a) ≥ f'(b) = b
4
+ 2bc
3
- 3b
2
c
2
> 0 (ta có thể cm được nhờ Côsi)
Như vậy do f(a)>0 nên f(a) đồng biến hay là f'(a)>f'(b)=0 như vậy ta có đpcm
Bài 5:
Cho x, y, z > 0 CMR:x
4
+y

4
+z
4
+xyz (x+y+z)≥xy (x
2
+y
2
)+yz(y
2
+ z
2
)+zx(z
2
+x
2
)
Bài giải:
Không mất tính tổng quát ta giả sử: x≥y≥z. Xét hàm sô
f(x)=x
4
+ y
4
+z
4
+ xyz (x+y+z) - xy(x
2
+ y
2
) - yz (y
2

+ z
2
) - zx (z
2
+ x
2
)
Ta có: f'(x)=4x
3
- 3x
2
(y+z
4
) + xyz + yz (x+y+z) (y
3
+ z
3
)
⇒ f"(x) = 12x
2
- 6x (y+z)+2yz
⇒ f"(x) >0 (do x ≥ y ≥ z) ⇒ f''(x) ≥ f'(y) = z
2
y-z
3
=z
2
(y-z) ≥0 nên f(x) là hàm đb
⇒ f(x) ≥ f(y) = z
4

- 2z
3
y+y
2
z
2
= z
2
(x-y)
2
≥ 0 ⇒ đpcm
Bài 6: Cho n, k là các số nguyên dương n≥ 7; 2≤ k<n. CMR: k
n
> 2n
k
(HSG QG bảng B 96-97)
Bài giải:
Bpt ⇔ n1nk > k1nn - 1n2 ⇔ n1nk > k1nn - 1n2
Xét hàm số f(x) = n1nx - x1nn -1n2 với x ∈
[ ]
nn
n
xxfnn
x
n
xfn
1
0)('1)('1;2
=⇔=⇒−=⇒−
72

1
2
≥∀>⇔>
nne
nn
n
n
. Xét hàm số g(x) = e
x
- x
2
⇒ g'(x) = e
x
-2x ⇒ g''x) = e
x
-2>0
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
13
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
⇒ g'(x) > g'(7)=e
7x
-14 >0 ⇒ g(x) > g(7) = e
7
- 49 > 0
Vậy f(x) ≥ Min
{ }
1(),2( −nff
. Ta CM Min
{ }
1(),2( −nff

≥ 0
* f(2) ≥ 0 ⇔ 2
n-1
≥ n
2
ta dễ dàng CM được bằng quy nạp hay đạo hàm
* f(n-1) ≥0 ⇔ (n-1)
n
≥ 2n
n-1
⇔ t > 2(1+
t
t
)
1
∀t ≥ 6 (*) trong đó t = n-1
Ta có (1+
t
t
)
1
< e < 3 ⇒ 2(1+
t
t
)
1
< 6 ≤ t ⇒ (*)đúng
Vậy ta có đpcm
Bài 7: Cho 0 < a ≤ b ≤ c. CMR:
)(

)(
3
222
2
aca
ac
ba
c
ac
b
cb
a
+
−
+≤
+
+
+
+
+
Bài giải:
Đặt
α
=
b
a
và
x
a
c

=
ĐK: 1≤ ∝ ≤ x. Khi đó bpt cần Cm trở thành
)
1
)1(2
2
1
2(1
1
4
1
2
1
22
2
2
α
α
αα
α
α
+
+
++
+
+
≥++⇔
+
++
≤

+
+
+
+
+
xx
x
x
xx
x
xxx
xx
Xét đạo hàm f(x) = x
2
+ x + 1-
)
1
)1(2
2
1
2(
α
α
α
+
+
++
+
+ xx
x

x
với 1≤ ∝ ≤ x
Ta có:
0
)(
2
1
12
)1(
)(
1
2
1
)12(2
(12)('
22
≥






+
−
+
+
−=
+
−

−
+
+
−+=
α
α
α
α
α
α
x
x
x
x
xxf
do 1 ≤ ∝ ≤ x
Như vậy hàm f(x) là đồng biến do đó f(x) ≥ f(∝) = ∝
2
- 3∝ + 3 -
α
1
Nhưng f'(
α
) = 2∝ -3 +
03
1
33
1
3
22

=−≥−
α
αα
α
⇒ f(x) ≥ f(
α
) ≥ f(1) = 0 ⇒ đpcm
Bài 8: Cho a,b,c >0. Cmr:
2
3
≥
+
+
+
+
+ ac
c
cb
b
ba
a
Bài giải:
Đặt x=
1,, =⇒=== xyz
c
a
z
b
c
y

b
a
x
và bất pt đã cho
2
3
1
1
1
1
1
1
≥+
+
+
+
+
+
⇔
zyx
Giả sử z ≤ 1 ⇒ xy≥ 1 nên ta có:
z
z
xy
yx
+
=
+
≥
+

+
+
1
2
1
2
1
1
1
1
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
14
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
)(
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
tf

t
t
t
z
z
z
zyx
=
+
+
+
=
+
+
+
≥
+
+
+
+
+
⇒
với
1≤= zt
Ta có:
2
3
)1()(0
)1(
)1(2

)1(
2
)1(
2
)('
22222
=≥⇒≤
+
−
≤
+
−
+
= ftf
t
t
t
t
t
tf

⇒≤∀
1t
đpcm
Nhận xét: Từ bài toán trên ta dễ dàng giải quyết được bài toán sau:
Cho a,b,c>0. CMR:
8
3
)()()(
333

≥
+
+
+
+
+
ac
c
cb
b
ba
q
(chọn đội tuyển thi IMO 2005)
Bài tập đề nghị:
1. Cho
)cos(cos2sinsin.:).
2
;0(,
αβββαα
π
βα
−>−∈ Cmr
2. Cho
Ryox ∈,,
và
22 =− yx
. Tìm gtnn của
2222
)1()3( +++−+= yxyxP
(HSG QG Bảng B năm 1998)

3. Cho a,b>0. Cmr:
)1)(1()1ln()1( ++≥+++ baeaa
b
(HSG 12 Nam Định năm
2004)
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
15
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1.Kết quả
Áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 12 – Ôn thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh
tôi đã thu được kết quả: 5 học sinh đạt giải trong đó gồm 2 giải nhì; 3 giải khuyến
khích.
Quan trọng hơn học sinh đã cảm thấy hứng thú hơn với môn học biết áp dụng
dạng toán trong quá trình học tập trên lớp và trong các buổi ôn thi Đại học – Cao
đẳng
2.Kết luận:
Qua thời gian nghiên cứu đề tài và vận dụng đề tài vào giảng dạy tôi rút ra được
một số ý kiến sau:
• Giáo viên:
Tạo ra tâm l thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính
tích cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội dung môn
học. Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trở lên hấp dẫn
và người học thấy được ý nghĩa của môn học.
Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri thức của
HS, giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức trong
tình huống đa dạng
Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ năng
giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính
độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển nhân cách

của các em.
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
16
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù
hợp.
Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em
không cảm thấy áp lực trong học tập.
Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học
sinh.
Cho học sinh thấy ứng dụng của lý thuyết vào thực hành.
Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh.
• Học sinh:
Chăm chỉ nắm chắc lý thuyết.
Có ý thức học tập, hiểu vấn đề một cách sâu sắc.
Biết chuyển ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ Toán.
Có óc tưởng tượng, phán đoán lôgíc.
3. Khuyến nghị:
Nhà trường nên tạo điều kiện cho Giáo viên mở lớp bồi dưỡng học sinh khá,
giỏi với thời gian sớm hơn để các em có khả năng tìm hiểu sâu hơn kiến thức.
Nên có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng thắn
với nhau về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp .
Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề
tài của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế. Rất mong được sự đóng góp của
các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình.
Móng Cái, tháng 2 năm 2010
Người viết
Ngô Thị Vân Anh
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
17

SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa đại số và giải tích 11.
Sách giáo viên đại số và giải tích 11.
Sách hướng dẫn giảng dạy đại số và giải tích 11.
Sách giáo khoa giải tích 12.
Sách giáo viên giải tích 12.
Sách hướng dẫn giảng dạy giải tích 12.
Phương pháp dạy học môn toán.
Sách chuyên đề nâng cao Giải tích THPT.
Bộ sách chuyên đề của Trần Phương& Lê Hồng Đức
Tạp chí giáo dục và thời đại.
Tạp chí toán học tuổi trẻ.
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
18
SKKN: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 12
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
I.Lý do chọn đề tài 1
II. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
III. Đối tượng nghiên cứu 2
IV. Phương pháp nghiên cứu 2
NỘI DUNG
A. Cơ sở lý luận 2
B. Thực trạng đề tài 3
C. Giải quyết vấn đề 4
I. Bài toán liên quan đến nghiệm PT, BPT 4
II. Giải PT bằng phương pháp hàm số 7
III. Hệ hoán vị vòng quanh 10
IV. Các bài toán CM cực trị, CN BĐT 12

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 16
TÀI LIỆU THAM KHẢO 18
Ngô Thị Vân Anh – Trường THPT Trần Phú - Móng Cái - Quảng Ninh
19