Sử dụng vecto trong chứng minh bất đẳng thức toán THPT

SKKN Sử dụng vecto trong chứng minh bất đẳng thức Lê Thị Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………
A. PHẦN MỞ ĐẦU.
I. Lý do thực hiện đề tài.
1. Cơ sở lý luận.
Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình
toán phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số,
Lượng giác và Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn
mạnh mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng. Chính vì thế, bất
đẳng thức là chuyên đề được mọi người quan tâm đến rất nhiều.
Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không
hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải
biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ năng
biến đổi, suy luận, dự đoán,…
2. Cơ sở thực tiễn.
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho
rằng bất đẳng thức là một phần rất khó không thể giải được. Nguyên nhân là
học sinh không biết cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải.Vì vậy một
bài toán đơn giản cũng trở nên “ vô cùng khó” đối với các em.
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bất
đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên
cứu đề tài: “Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức”.
2
SKKN Sử dụng vecto trong chứng minh bất đẳng thức Lê Thị Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………
II. Phương pháp nghiên cứu.
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận.
2. Phương pháp điều tra thực tiễn .
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
4. Phương pháp thống kê.
III. Đối tượng nghiên cứu.

Các bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tính chất của
vectơ.
IV. Tài liệu tham khảo.
1. Sách giáo khoa toán THPT.
2. Sách bài tập toán THPT.
3. Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức của Giáo sư Phan Huy Khải.
4. Báo toán học và tuổi trẻ.
V. Ứng dụng.
Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và
học về bất đẳng thức.
3
SKKN Sử dụng vecto trong chứng minh bất đẳng thức Lê Thị Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………
B. PHẦN NỘI DUNG.
I. Nhắc lại các tính chất của vectơ.
1. Tính chất 1:
0)(
2
2
≥=
aa
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0
=
a
2. Tính chất 2:
baba
+≥+
.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
và
b
cùng chiều.
3. Tính chất 3:
baba
≤
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
và
b
cùng phương.
II. Sử dụng các tính chất của vectơ để chứng minh bất đẳng thức.
1. Sử dụng tính chất 1.
Ví dụ 1.
Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: cos2A + cos2B + cos2C
2
3
−≥
.
Giải:
Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có:
0)2cos2cos2(cos23
0) (2)(
22
222
2

≥+++⇔
≥+++++=++
CBARR
OAOCOCOBOBOAOCOBOAOCOBOA
Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2 .
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
6cosA.cosB.cosC
≤
cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C (1).
Giải:
Nếu tam giác ABC là tam giác tù (có một góc tù) thì (1) hiển nhiên đúng vì
khi đó vế trái âm, còn vế phải dương.
4
SKKN Sử dụng vecto trong chứng minh bất đẳng thức Lê Thị Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………
Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì trên mặt phẳng ta đặt các
vectơ
OPONOM ,,
sao cho:








=
=
=
COP
BON
AOM
cos
cos
cos
và







−=
−=
−=
BOMOP
AOPON
CONOM
ˆ
),(
ˆ
),(

ˆ
),(
π
π
π
Áp dụng tính chất (1), ta có:
0)(
2
≥++ OPONOM
0.2.2.2
222
≥+++++⇔ MOOPOPNOONMOOPONOM
0)cos.cos.coscos.cos.coscos.cos.(cos2coscoscos
222
≥++−++⇔ CBACBACBACBA
⇔
Điều phải chứng minh.
2. Sử dụng tính chất 2.
Ta thường sử dụng phương pháp này khi gặp các bài toán chứng minh bất
đẳng thức có chứa tổng của các căn bậc hai mà biểu thức trong dấu căn bậc hai
có thể đưa về tổng của các bình phương.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

1
2
++ aa
+
1
2
+− aa

≥
2 (1) với mọi a thuộc R.
Giải: (1)
⇔
22
)
2
3
()
2
1
( ++a
+
22
)
2
3
()
2
1
( +− a
≥
2
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt:
)
2
3
;
2
1

( += au

;
)
2
3
;
2
1
( av −=

Áp dụng tính chất 2, ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng :
22
yxyx ++
+
22
zyzy ++
+
22
xzxz ++
)(3 zyx ++≥
với x,y,z > 0.
Giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta đặt:
5
SKKN Sử dụng vecto trong chứng minh bất đẳng thức Lê Thị Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………
);
2
3

;
2
( y
y
xu +=

);
2
3
;
2
( z
z
yv +=

);
2
3
;
2
( x
x
zw +=

Từ tính chất
wvuwvu

++≥++
ta có đpcm.
Theo cáh này ta có thể chứng minh rất nhanh được các bài toán sau đây:

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi x ta có:
175sin22sin24sin2
22
≥+−++ xxx
Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc.
Chứng minh rằng:

ab
ab
22
2+
+
bc
bc
22
2+
+
ca
ca
22
2+
3≥
Ví dụ 5: . . .
3. Sử dụng tính chất 3.
Ví dụ 1. CMR với mọi a, b, c, d ta có bất đẳng thức:
))((
2222
dbcacdab ++≤+
(3)
Giải: Đặt

),( cau =

;
),( dbv =

.
Áp dụng tính chất 3 ta có ngay đpcm.
Ví dụ 2. Giả sử





=++
=++
16
3
22
22
zyzy
yxyx
có nghiệm.
CMR: xy + yz + zx
8
≤

Giải:
Đặt
)
2

3
;
2
( x
x
yu +=

,
)
2
;
2
3
(
z
yzv +=

Áp dụng tính chất (3) suy ra đpcm.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc mp(ABC). Chứng minh:
m
a
.MA + m
b
.MB + m
c
.MC
2
1
≥
(a

2
+ b
2
+ c
2
).
Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
6
SKKN Sử dụng vecto trong chứng minh bất đẳng thức Lê Thị Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………
Ta có
2
GAMGGAMAGAMAGA +=≥
Tương tự
2
GBMGGBMBGB +≥

2
. GCMGGCMCGC +≥
222222
)( GCGBGAGCGBGAGCGBGAMGMCGCMBGBMAGA ++=+++++≥++⇒
⇔
m
a
.MA + m
b
.MB + m
c
.MC
2

1
≥
(a
2
+ b
2
+ c
2
)(Đpcm)
4. Sử dụng tính chất của vectơ đơn vị.
Ví dụ 1: Xét ví dụ 1 ở phần 1, ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng
cách khác như sau.:
Trên mặt phẳng ta dựng các vectơ
OPONOM ,,
thoả mãn:







=
=
=
1
1
1
OP
ON

OM
và







=
=
=
BOMOP
AOPON
CONOM
ˆ
2),(
ˆ
2),(
ˆ
2),(
Áp dụng tính chất (1), ta có:
0)(
2
≥++ OPONOM
0)
ˆ
2cos(2)
ˆ
2cos(2)

ˆ
2cos(2111 ≥+++++⇔ BAC
2
3
2cos2cos2cos −≥++⇔ CBA
(đpcm).
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC và các số thực x, y, z. Chứng minh rằng:
)(
2
1
2cos2cos2cos
222
zyxCxyBxzAyz ++−≥++

Giải : Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O, bán kính bằng
1.
Ta có
)2cos2cos2cos(2)()(
2222
AyzBxzCxyzyxOCzOByOAx +++++=++
0≥

Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
7
SKKN Sử dụng vecto trong chứng minh bất đẳng thức Lê Thị Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………

4cos32cos2cos3 ≤++ CBA
Giải: Gọi

321
;; eee

theo thứ tự là vectơ đơn vị của các cạnh BC, CA, AB.
Ta có:
(2134)32(
2
321
−++=++ eee

)cos32cos2cos3 CBA ++
0≥
=>
4cos32cos2cos3 ≤++ CBA
(Đpcm).
Theo cách này ta có thể chứng minh các bài toán sau:
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

2
3
coscoscos ≤++ CBA
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC và số thực x. Chứng minh rằng:

1
2
)cos(coscos
2
+≤++
x
CBxA

.
Ví dụ 6: . . .


8
SKKN Sử dụng vecto trong chứng minh bất đẳng thức Lê Thị Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………
C. PHẦN KẾT LUẬN.
I. Kết quả ứng dụng.
Việc sử dụng vectơ để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức đã được
tôi vận dụng khi bồi dưỡng cho học sinh về bất đẳng thức. Kết quả là các em
đã có thiện cảm hơn đối với chuyên đề này, không còn lúng túng như trước
nữa, một số em còn tỏ ra rất hào hứng khi làm các bài toán về bất đẳng thức.
II. Lời kết.
Trên đây là những nghiên cứu và kinh nghiệm của bản thân tôi. Hy vọng đề
tài này sẽ góp phần để việc dạy và học về bất đẳng thức đạt hiệu quả hơn.
Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu chưa được nhiều. Rất mong sự
đóng góp ý kiến của người đọc.
Xin chân thành cảm ơn!

Thống Nhất, ngày 02/ 3/
2008.
Người viết
Lê Thị Thanh Hoa.
9
SKKN Sử dụng vecto trong chứng minh bất đẳng thức Lê Thị Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………
10
SKKN Sử dụng vecto trong chứng minh bất đẳng thức Lê Thị Thanh Hoa
……………………………………………………………………………………………………

11